Progressão Aritmética

Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante. 

Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente. 

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente. 

PA (2,5,8,11,...) P.A constate: r = 0, então os elementos

serão todos iguais. PA (2,2,2,2,...)

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente. 

PA (18, 16, 14, 12, ...)

a1 : 1o termoan : termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)r : razãon : número de termosSn : soma dos termosTM : termo médio

Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3,

a4, ... , an) de razão igual a r :

a2 – a1 = r → a2 = a1 + r 

a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r 

a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r … 

a n = a1 + (n – 1) . r 

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula

Sn = (a1 + an) . n             2 

Termo Médio de uma P.A.

Representação de 3 termos na P.A.

{(x-r) ; x ; (x+r)}

Considerando a função f:→ e x1,

x2,...,x3...xn. ...

elementos de uma PA, f será uma função afim, definida por f(x) = ax+b, se, e somente se, f(x1), f(x2), f(x3),..., f(xn),... for uma PA de razão a.r, sendo a o coeficiente angular da f e r razão da PA inicial.

Exemplo: Sejam a função afim f(x)=4x-2 e a PA (-6, -1, 4, 9, 14, 19, ...) de razão 5. A sequência (f(-6), f(-1), f(4), f(9), f(14), f(19), ... ), dada por (-26, -6, 14, 34, 54, 74, ...) é uma PA de razão 20 (4 . 5).

A função f:→ será uma função quadrática, definida por f(x) = ax2+bx+c, se, e somente se, para toda PA (x1, x2,x3...xn. ...) as diferenças f(x2)- f(x1), f(x3)- f(x2), f(x4)- f(x3),...,f(xn)- f(xn-1) formarem uma nova PA. A razão dessa nova PA será 2ar2, sendo a o coeficiente de f e r razão da PA inicial.

Exemplo: Sejam a função quadrática f(x)=-

x2+2x-2 e a PA(3,5,7,9,11,...) de razão 2. A sequência (f(5)- f(3), f(7)- f(5), f(9)- f(7),f(11)- f(9),...), dada por (-12, -20, -28, -36, ...), é uma PA de razão -8 (2.(-1).22 )

Progressão Geométrica

Sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos.

1. Crescente: 

2. Decrescente:

3. Alternante ou Oscilante: quando q < 0.4. Constante: quando q = 1

5. Estacionária ou Singular: quando q = 0  

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira: 

a1 = a1

a2 = a1xq

a3 = a1xq2

...

an = a1 x qn-1

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

a1 : 1o termoan : termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)q : razãon : número de termosSn : soma dos termosP : produto dos termos

Em toda P.G. qualquer termo em módulo, excetuando-se os extremos, é média geométrica entre o seu antecedente e o seu conseqüente.

Ex.: (3,6,12,...) → 62 = 3.12

Em toda P.G. limitada o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos

Ex.: (1,2,4,8,16,32) → 2.16 = 1.32

Dados a função do tipo exponencial f:→ definida por f(x) = b.ax e x1,

x2,...,x3...xn. ...

elementos de uma PA, a sequência (f(x1), f(x2), f(x3),..., f(xn),...) é uma progressão geométrica de razão ar.

Exemplo: Sejam a função do tipo exponencial

f(x)=3.(½)x e a PA (-3, -1, 1, 3, 5, 7, ...), de razão 2, a sequência (f(-3), f(-1), f(1), f(3), f(5), f(7), ...), dada por (24, 6, 3/2, 3/8, 3/32, 3/128, ...), é uma PG de razão ¼ = (½)2.

{(x/q , x, x.q )}

FIM