Thiago Dal´Bello Palheiro

Johann Carl Friedrich Gauss, aos sete anos entrou para a escola. Segundo uma história famosa, seu diretor, Butner, pediu que os alunos somassem os números inteiros de um a cem. Mal havia enunciado o problema e o jovem Gauss colocou sua lousa sobre a mesa, dizendo: ligget se! Sua resposta, 5050, foi encontrada através do raciocínio que demonstra a fórmula da soma de uma progressão aritmética. Alguns autores argumentam que o problema seria de ordem bastante mais complexa, sugerindo que poderia ser uma soma de uma progressão aritmética como 81097 + 81395 + 81693 + ..... + 110897

Butner ficou tão atônito com a proeza de um menino de dez anos que pagou do próprio bolso livros de aritmética para ele, que os absorvia instantaneamente. Reconhecendo que fora ultrapassado pelo aluno, passou o ensino para seu jovem assistente, Johann Martin Bartels (1769-1856), apaixonado pela matemática. Entre Bartels, com dezessete anos, e o aluno de dez nasceu uma boa amizade que durou toda a vida. Eles estudavam juntos, ajudando-se em suas dificuldades.

Ficou conhecido como o príncipe dos matemáticos, muitos o consideram o maior gênio da história da matemática

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão. Exemplos:A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever:a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r..................................................... Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . rA expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Qual o milésimo número ímpar positivo?Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n , de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo:PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

A PA serve para calcular acréscimos (ou reduções) de um certo valor quando a variação é sempre numericamente igual. Ex: se você sabe quanto da para andar em um dia, você sabe quanto andara em tantos dias e então calcular o tempo da viagem...

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na PA :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?*a) 9b) 8 c) 7 d ) 6 e) 5

Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5 A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2) Sn = (16n – 2n2) / 10 Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:(16n – 2n2) / 10 < 0 Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:16n – 2n2 < 0 Portanto, n(16 – 2n ) < 0Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter:16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8. Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em PA , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:a) 8 b) 12c) 15 d) 24 e) 33

Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma PA , podemos escrever:2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 03x + 4 – x2 = 0 Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:x2 – 3x – 4 = 0Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1. Assim, teremos:x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

“A Matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números é a

rainha das matemáticas.” (Gauss)

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