progressÃo aritmÉtica. elson rodrigues, gabriel carvalho e paulo luiz ramos página 1 aula 01...

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Ano: 2016

PROGRESSÃO

ARITMÉTICA Aulas 01 a 04

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário Progressão Aritmética .................................................. 1

PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 1

Definição de progressão aritmética (P.A) ........................................................................................................... 1

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1

Exemplo 3 ............................................................................................................................................................ 1

Termo geral ......................................................................................................................................................... 1

Exemplo 4 ............................................................................................................................................................ 1

Exemplo 5 ............................................................................................................................................................ 1

Exemplo 6 ............................................................................................................................................................ 2

Classificação ........................................................................................................................................................ 2

Exemplo 7 ............................................................................................................................................................ 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

Propriedades da P.A ............................................................................................................................................ 2

Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 3

Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 3


Representação especial ...................................................................................................................................... 3


Soma dos n primeiros termos ............................................................................................................................. 3


Questões extras .................................................................................................................................................. 4

CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 4

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

AULA 01 Progressão Aritmética

PRELIMINAR 1 Identifique, em cada uma das sequências a seguir, o

padrão de sua formação e escreva seus dois próximos

termos.

I. (2, 4, 6, _____, _____, . . . )

II. (−12, −8, −4, _____, ____, . . . )

III. (1

2,

7

12,

2

3, _____, _____, . . . )

IV. (12, 12, 12, 12, _____, _____, … )

Definição de progressão aritmética (P.A) Uma progressão aritmética é uma sequência onde

cada um dos termos, a partir do segundo, é obtido

acrescentando-se um valor fixo (chamado razão) ao

seu antecessor.

Assim,

𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 ; 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟 ; 𝑎4 = 𝑎3 + 𝑟 ; …

Portanto, de modo geral,

𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑟 , ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2

Ou mais ainda, a razão da PA é dada pela fórmula

𝑟 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1, ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑒 𝑛 ≥ 2

Exemplo 1

Dada a sequência (𝑎𝑛) = (−5, −3, −1, 1, 3, 5, 7),

podemos afirmar se a mesma é uma P.A ou não,

verificando se a diferença entre cada um de seus

termos apresentados e seu antecessor é constante.

Veja:

𝑎2 − 𝑎1 = −3 − (−5) = 2

𝑎3 − 𝑎2 = −1 − (−3) = 2

𝑎4 − 𝑎3 = 1 − (−1) = 2

𝑎5 − 𝑎4 = 3 − (1) = 2

𝑎6 − 𝑎5 = 5 − (3) = 2

𝑎7 − 𝑎6 = 7 − (5) = 2

Como obtivemos resultados constantes e iguais a 2,

temos que a sequência é uma P.A de razão 𝑟 = 2.

Exemplo 2

A sequência (2, 3, 4, 6) não é uma P.A, pois sendo

𝑎2 − 𝑎1 = 1

𝑎3 − 𝑎2 = 1

𝑎4 − 𝑎3 = 2

constata-se que a diferença entre um termo e seu

antecessor não é constante.

Exemplo 3

A progressão aritmética (𝑎𝑛) cujo primeiro elemento

é 1 e a razão é 4 é dada por

𝑎1 = 1 ; 𝑎2 = 1 + 4 = 5 ; 𝑎3 = 5 + 4 = 9; …

Assim, (𝑎𝑛) = (1; 5; 9; 13; … ).

Termo geral O termo geral de uma P.A é dado por:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟; 𝑛 ∈ ℕ∗

Exemplo 4

Sendo (𝑎𝑛) uma P.A cujo termo geral é

𝑎𝑛 = 2 + (𝑛 − 1) ∙ 3,

temos que

𝑎1 = 2 ;

𝑎2 = 2 + (2 − 1) ∙ 3 = 5 ;

𝑎3 = 2 + (3 − 1) ∙ 3 = 8 ; Então

(𝑎𝑛) = (2, 5, 8, 11, 14, . . )

Obs. 1: Note que o termo geral poderia ter sido

apresentado como 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 1.

Exemplo 5

Dada a P.A (𝑎𝑛) = (4, −2, −8, −14, … ), podemos

determinar o seu termo geral 𝑎𝑛 da seguinte forma:

1º) Determine a razão da P.A.

𝑟 = 𝑎2 − 𝑎1 = −2 − 4 = −6

Assim,

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ 𝑟

𝑎𝑛 = 4 + (𝑛 − 1) ∙ (−6)

𝒂𝒏 = −𝟔𝒏 + 𝟏𝟎

Determinação da P.A

Para determinar uma P.A basta conhecer o primeiro

termo e a razão. Caso ela seja finita, também

precisamos da quantidade de termos.


Exemplo 6

Seja (𝑎𝑛) = (1, 𝑎2, 5, … ) uma P.A, determine o seu

décimo termo.

Vamos começar determinando o seu termo geral,

𝑎3 = 5 ⇔ 𝑎1 + 2𝑟 = 5 ⇔ 1 + 2𝑟 = 5 ⇔ 𝑟 = 2

Assim, o termo geral é

𝑎𝑛 = 1 + (𝑛 − 1) ∙ 2

Finalmente, com o termo geral em mãos, podemos

determinar 𝑎10 :

𝑎10 = 𝑎1 + 9 ∙ 𝑟

= 1 + 9 ∙ 2

= 1 + 18 = 19

Obs.2: Perceba que podemos determinar a razão

utilizando a fórmula do termo geral, o primeiro termo

e algum termo já conhecido.

Classificação Uma progressão aritmética pode ser classificada

quanto ao seu crescimento, veja como:

𝑟 > 0 ⇒ a P.A é crescente.

𝑟 < 0 ⇒ a P.A é decrescente.

𝑟 = 0 ⇒ a P.A é constante.

Exemplo 7

(2; 6; 10; … ) possui razão 𝑟 = 4 > 0, logo é

crescente.

(2, −2, −6, … ) possui razão 𝑟 = −4 < 0,

logo é decrescente.

(2, 2, 2, … ) possui razão 𝑟 = 0, logo é

constante.

AULA 02 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Escreva o termo geral das seguintes progressões

aritméticas:

a) (0, 5, 10, 15, 20, … )

b) (−4, 2, 8, 14, … )

2.2. Em relação a P.A (52, 44, 36, 28, . . ), determine:

a) 𝑎19

b) 𝑎10 + 𝑎25

2.3. Uma P.A. possui o 4º termo igual a 24 e o 9º

termo igual a 79. Determine os 10 primeiros termos

da P.A e classifique-a quanto ao seu crescimento.

2.4. Dada uma progressão aritmética (𝑎𝑛) tal que

𝑎3 + 𝑎8 = 14 e 𝑎5 = 2𝑎10 + 88, determine 𝑎7.

2.5. Faça a interpolação aritmética de 6 meios entre

62 e 97.

AULA 03

Propriedades da P.A i. Se (𝑎, 𝑏, 𝑐) forma uma P.A, então o termo do

meio é a média aritmética dos extremos, ou seja

𝑏 =𝑎 + 𝑐

2

ii. A soma de dois termos equidistantes dos

extremos é igual à soma dos extremos da P.A.

Determinação do termo geral

Para determinar o termo geral de uma P.A é

necessário encontrar a razão (𝒓) e o primeiro termo

(𝒂𝟏). Lembre-se, 𝒓 = 𝒂𝒏 − 𝒂𝒏−𝟏, ∀𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑛 ≥ 2.

Nem sempre 𝒂𝟏 e 𝒓 são dados de forma direta.

Utilize as informações dadas na situação-problema

para buscar esses parâmetros.

TAREFA 1 – Resolver os exercícios fundamentais 2.1.

a 2.5.

Como entender o “funcionamento”

da versão generalizada do termo geral de uma PA?

DICA DO PROFESSOR – PRINCÍPIO DO ELEVADOR

Encare os termos da fórmula 𝒂𝒋 = 𝒂𝒊 + (𝒋 − 𝒊) ⋅ 𝒓

como:

𝒂𝒊 : morador de um andar 𝒊 (inferior);

𝒂𝒋 : morador de um andar 𝒋 (superior).

Desse modo, o expoente (𝒋 – 𝒊) representa o número

de andares que o morador do andar 𝒊 precisa subir

para chegar ao andar 𝒋.


Exemplo 1

Dada a sequência (𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟔, 𝟐𝟎), temos que 𝒂𝟐 e

𝒂𝟒 são equidistante dos extremos, e assim,

𝑎2 + 𝑎4 = 8 + 16 = 24 = 4 + 20 = 𝑎1 + 𝑎5

iii. Se 𝑎𝑚 é o termo médio da progressão aritmética,

então

𝑎𝑚 =𝑎1 + 𝑎𝑛

2

Exemplo 2

Dada a sequência (𝟒, 𝟖, 𝟏𝟐, 𝟏𝟔, 𝟐𝟎), temos que o

termo médio 𝒂𝟑 é dado por

𝑎3 =𝑎1 + 𝑎5

2=

4 + 20

2= 12

Obs.1: Lembre-se que apenas uma sequência finita

com quantidade ímpar de termos, possui termo

médio.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Dada a P.A (3𝑥 − 5, 3𝑥 + 1, 25), determine x.

3.2. Obtenha o termo 𝑎10 do exercício fundamental

2.2. utilizando a propriedade iii).

AULA 04

Representação especial Em situações que envolvem P.A com poucos termos,

podemos utilizar algumas notações especiais.

Para uma P.A de 3 termos

A P.A (𝑥1, 𝑥1 + 𝑟, 𝑥1 + 2𝑟), pode ser representada por

(𝑥2 − 𝑟 , 𝑥2 , 𝑥2 + 𝑟)

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. A soma dos três números que compõem uma P.A

é 72 e o produto dos extremos é 560. Determine a

P.A.

Soma dos n primeiros termos Seja 𝑺𝒏 a soma dos 𝑛 primeiros termos de uma P.A,

ou seja,

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛

Temos que

𝑆𝑛 =(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛

2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.2. Calcule a soma dos quinze primeiros termos da

PA (−45, −41, −37, −33, … ).

4.3. A soma dos 𝑛 primeiros termos de uma

progressão aritmética (𝑎𝑛) é dada por

𝑆𝑛 = 𝑛2 − 2𝑛, ∀𝑛 ∈ ℕ∗. Determine

a) 𝑎1 b) 𝑎𝑛 c) 𝑎8

4.4. (DESAFIO) Calcule o valor de

502 − 492 + 482 − 472 + ⋯ + 22 − 12

TAREFA 2 – Ler os exercícios resolvidos 1, 2, 4, 5, 6,

8, 9, 11 e 13 e

FAZER os PSA 1(a, b), 2(b), 3, 5, 8(a, b, c), 9, 16, 18 e

22.

Ler as representações especiais para uma P.A de 4

termos e 5 termos.

Notação especial

A notação especial é outro jeito de descrever a

mesma P.A. Note que, quando for pedido a soma dos

termos, a notação especial é vantajosa, pois os "𝒓"

irão se anular. Veja:

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = (𝒙𝟐 − 𝒓) + 𝒙𝟐 + (𝒙𝟐 + 𝒓) = 𝟑𝒙𝟐

Note que continuaríamos com duas incógnitas caso

tivéssemos optado por definir a P.A sem a notação

especial, veja:

Se (𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑) = (𝒙𝟏, 𝒙𝟏 + 𝒓, 𝒙𝟏 + 𝟐𝒓), então

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟑𝒓

TAREFA 3 – Ler os exercícios resolvidos 19, 20 e 21;

e FAZER os PSA 26, 32, 37 e 45.


EXTRA

Questões extras 1) Em uma progressão aritmética de 41 termos e de

razão 9, a soma do termo central com o seu

antecedente é igual ao último termo. Então, o

termo central é

a) 369

b) 189

c) 201

d) 171

e) 180

2) Interpolando 7 meios aritméticos entre 5 e 29,

nesta ordem, tem-se que o quinto termo dessa

sequência é

a) 14

b) 141

7

c) 17

d) 20

e) 21

3) Uma sequência (𝑎𝑛) é gla que 𝑎1 = 8 e 𝑎𝑛 =

𝑎𝑛−1 + 12, 𝑛 ∈ ℕ∗ e 𝑛 ≥ 2. A soma dos vinte

primeiros termos dessa sequência é

a) 228

b) 4720

c) 3260

d) 2360

e) 2440

4) Considere uma progressão aritmética (𝑎𝑛), 𝑛 ∈

ℕ∗, na qual 𝑎3 = 7 e 𝑎19 = −25. Determine 𝑎11.

5) A soma 𝑆𝑛 dos 𝑛 primeiros termos de uma

progressão aritmética é dada por 𝑆𝑛 = 2𝑛2 − 3𝑛,

em que 𝑛 ∈ ℕ∗. Calcule o produto entre o terceiro

termo e a razão dessa progressão.

6) Considere a progressão aritmética (𝑎𝑛), com 𝑛 ∈

ℕ∗, dada por (2; 6; 10; … ). Acerca dessa

progressão, julgue os itens a seguir.

(A) ( ) Essa progressão aritmética tem razão

𝑟 = −4.

(B) ( ) 𝑎10 = 42

(C) ( ) 𝑎13 + 𝑎17 = 𝑎11 + 𝑎19

(D) ( ) 𝑎16 =𝑎14+𝑎20

2.

(E) ( ) A soma dos vinte primeiros termos

dessa sequência é igual a 440.

7) Considere os números inteiros de 17 a 321.

Quantos desses números são múltiplos de 3?

(A) 101

(B) 102

(C) 103

(D) 104

(E) 105

CAIU NO VEST 1) (UnB – 2012) Os recordes na corrida de 100

metros rasos podem ser estimados da seguinte

forma: a partir do recorde obtido em 1983, de

9,930 s, o primeiro recorde seria 𝑅1 = 9,930 −

𝑎1; depois de alguns anos, o segundo recorde

seria 𝑅2 = 𝑅1 − 𝑎2; assim , o n-ésimo recorde, a

partir de 1983, seria 𝑅𝑛 = 𝑅𝑛−1 − 𝑎𝑛, em que 𝑎𝑖

é uma progressão geométrica de razão 𝑞 = 0,98 e

o primeiro termo 𝑎1 = 0,009.

1. O segundo recorde a partir de 1983 é inferior a

9,912 s

2. Considerando-se que, a partir da forma proposta

para a estimativa dos recordes, o tempo vai

diminuindo ate um limite mínimo, calcule esse limite,

em centésimo de segundos.

2) (ENEM – 2013) As projeções para a produção de

arroz no período de 2012 – 2021, em uma

determinada região produtora, apontam para

uma perspectiva de crescimento constante da

produção anual. O quadro apresenta a quantidade

de arroz, em toneladas, que será produzida nos

primeiros anos desse período, de acordo com essa

projeção.

PARA REVISAR – Conhecendo avaliações

4, 6, 9, 14, 33, 34, 37, 41


ANO Projeção de produção (t)

2012 50,25

2013 51,50

2014 52,75

2015 54,00

A quantidade total de arroz, em toneladas, que

deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será

de

a) 497,25 b) 500,85. c) 502,87 d) 558,75 e) 563,25

3) (UECE) Seja (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎8) uma progressão

aritmética. Se 𝑎2 + 𝑎5 = 8 e 𝑎8 = 7, então 𝑎3 +

𝑎7 é igual a

a) 8 b) 28/3 c) 10 d) 32/3

4) (ITA – 2012) Sabe-se que (𝑥 + 2𝑦, 3𝑥 − 5𝑦, 8𝑥 −

2𝑦, 11𝑥 − 7𝑦 + 2𝑧) é uma progressão aritmética

com o último termo igual a −127. Então, o

produto 𝑥𝑦𝑧 é igual a

a) -60 b) -30 c) 0 d) 30 e) 60

GABARITO:

FUNDAMENTAIS

2.1. a) 5 5na n b) 6 10na n

2.2. a) 92 b) 160

2.3. 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54

2.4. 22

2.5. 62, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97

3.1. 6

3.2. 20

4.1. 20, 24, 28 ou 28, 24, 20

4.2. 255

4.3. a) 1 1a b) 2 3na n c) 8 13a

4.4. 1275

QUESTÕES EXTRAS

1) B

2) C

3) E

4) 9

5) 28

6) EECCE

7) B

CAIU NO VEST

1) E 948

2) D

3) C

4) A

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