aula 1 progressão aritmética exercícios em · pdf filerumo...

RUMO PRÉ-VESTIBULAR MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE B

1

Aula 1 – PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

Definição: Progressão aritmética é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo é igual à soma do termo precedente (anterior) com um constante r chamada razão. Exemplos:

(1,3,5,7,9,11,...) => r = 2 e (0,-4,-8,-12,...)=> r=-4

Calculamos a razão de uma P.A. qualquer (a1,a2,a3,...) através da fórmula: r = an+1 – an, n N*. Exemplo:

Se em uma PA a5 = 10 e a6 = 17:

r = an+1 – an = 17 -10 = 7 (n=5)

Classificamos uma PA como crescente se r > 0 e decrescente se r < 0. Existe também a PA constante em que r = 0. Exemplo: (1,1,1,1,1,...)

Uma PA é tão lógica que podemos calcular um termo qualquer através da fórmula: an = a1 + (n-1).r

Exemplo: se a1 = 10 e r = 2, a20 = 48.

OBS: Podemos estender esta fórmula para obter uma relação intermediária entre dois termos. Exemplo:

a8= a3 + 5r a10 = a6 + 4r a22 = a12 + 10r

Podemos ainda escrever uma PA na forma: (x-r,x,x+r) se com 3 termos; (x-2r,x-r,x,x+r,x+2r) se com 5 termos; ou ainda com (x,x+r,x+2r,x+3r) se com 4 termos.

Os termos que não são o primeiro e não o último, os termos do meio da PA, são chamados de meios aritméticos. Podemos encontrá-los tendo o primeiro e o último termo.

Propriedades de uma PA:

1) A soma dos dois últimos termos é igual à de dois termos equidistantes dos extremos. Exemplo: (2,5,8,11,14,17) => 2+17 = 5+14 = 8+11 = 19

2) Uma sequência (a,b,c) será uma PA se, e somente se, o termo médio b é igual a média aritmética entre a e c. Exemplo: (21,25,29) => 25 = (29+21)/2

3) Em uma PA que tenha número ímpar de termos, o termo médio será a média aritmética dos extremos. Exemplo: (1,6,11,16,21) => 11 = (1+21)/2

Somamos todos os termos de uma PA através da fórmula: Sn = (a1+an).n/2

Exemplo: (2,7,12,17,22,27) => S6 = (2+27) .6/2 = 87

EXERCÍCIOS EM SALA:


2

EXERCÍCIOS PARA CASA:

01.01. O décimo oitavo termo da

progressão (5, 8, 11, 14,...) é:

a)18 b)26 c)46 d) 56 e) 5.

01.02(NIV.PELOTAS-RS) O 150º

número impar positivo é:

a)151 b)291 c)301 d) 299 e) n.d.a

01.03. (UFMA) Numa P.A. temos =

5 e = 61. Então, a razão pertence

ao intervalo:

a) [8, 10]; b)[6, 8 [; c) [4, 6 [ ; d)

[2, 4 [; e) [0, 2 [.

01.04. (PUC-PR) Calculando o número

de termos de uma P.A., onde o

primeiro termo é 0,5, o último termo

é 45,5 e a razão é 1,5, obtém-se:

a)45 b)38 c)43 d) 31 e) 57

01.05. O termo geral de uma P.A. é

dado por = 2n -1. Então o terceiro

termo da P.A. vale:

a)2 b)3 c)5 d)6

01.06. (UEL-PR) Uma criança anêmica

pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento

médico que fez com que engordasse

150g por semana durante 4 meses.

Quanto pesava ao término da 15ª

semana de tratamento?

a)22,50Kg b) 15Kg c)10,7Kg d)

10,55Kg e) 10,7Kg

01.07. (OSEC-SP) Se a soma dos

termos de uma P.A. de três termos é

igual a 15, então o segundo termo da

progressão vale:

a)3 b)0 c)2 d)5 e) não pode ser

calculado, pois não é dada a razão.

01.08. (PUC-SP) Quantos números

impares há entre 14 e 192?

a)88 b)89 c)87 d)86 e)90

01.09 (VUNESP-SP) Um

estacionamento cobra R$ 1,50 pela

primeira hora. A partir da segunda,

cujo valor é de R$ 1,00, até a décima

segunda, cujo valor é R$ 0,40, os

preços caem em progressão

aritmética. Se um automóvel ficar

estacionado 5 horas nesse local,

quanto gastará seu proprietário?

a)R$ 4,58 b)R$ 5,41 c)R$ 5,14

d)R$ 4,85 e)R$ 5,34

01.10. (UFRGS) O número de

múltiplos de 7 entre 50 e 1206 é:

a)53 b)87 c)100 d)165 e)203

01.11. A razão de uma P.A., na qual

+ = 20 e + = 29, vale:

a)3 b)5 c)7 d)9 e)11

01.12. (UFSC) A soma dos 5 primeiros

termos de uma P.A. crescente é zero,

e a soma de 9 unidades ao 2º termo

nos dá o 5º termo. O valor do 2º

termo é:

a)0 b)-3 c)-6 d)3 e)6

01.13. (UFPR) O perímetro de um

triângulo retângulo é 48 cm e seus

lados estão em PA. As medidas desses

lados são?

a)20cm, 16cm, 12cm b) 18cm,

16cm, 14cm c) 13cm, 16cm, 19cm

d) 10cm, 16cm, 22cm e) 26cm,

16cm, 6cm

01.14. (FAAT) A quantidade de

números compreendidos entre 1 e

5000, que são divisíveis por 3 e 7, é:

a)138 b)238 c)137 d)247 e)157


3

01.15. (FGV-SP) Para todo n natural

não nulo, sejam as sequências

(3, 5, 7, 9, ..., , ...) (3, 6, 9, 12, ..., ,

...) ( , , , ..., , ...), com =

+ . Nessas condições, é igual a:

a)25 b)37 c)101 d)119 e)149

01.16.(UNB-DF) Se o número 225 for

dividido em 3 partes, formando uma

P.A. de maneira que a terceira parte

exceda à primeira de 140, essas

partes serão:

a) primas entre si; b) múltiplas de 5 e

10 ao mesmo tempo; c) números cujo

produto é 54.375; d) múltiplas de 5 e

3 ao mesmo tempo; e)

indeterminadas.

01.17. (UFMG) Mister MM, o Mágico

da Matemática, apresentou-se diante

de uma plateia com 50 fichas, cada

uma contendo um número. Ele pediu

a uma espectadora que ordenasse as

fichas de forma que o número de

cada uma, excetuando-se a primeira e

a última, fosse a média aritmética de

número anterior com o da posterior.

Mister MM solicitou a seguir à

espectadora que lhe informasse o

valor da décima sexta e da trigésima

primeira ficha, obtendo como

resposta 103 e 58, respectivamente.

Para delírio da plateia, Mister MM

adivinhou então o valor da última

ficha. Determine você também este

valor.

01.18. (FUVEST) Os números inteiros

positivos são dispostos em

“quadrados” da seguinte maneira:

1 2 3 10 11 12 19 __ __

4 5 6 13 14 15 __ __ __

7 8 9 16 17 18 __ __ __

O número 500 se encontra em um

desses “ quadrados”. A “linha” e a

“coluna” em que o número 500 se

encontra são respectivamente:

a)2 e2 b)3 e 3 c)2 e 3 d)3 e 2 e)3

e 1

01.19. (MACK-SP) As medidas dos

ângulos assinalados na figura a seguir

formam uma P.A. Então

necessariamente, um deles sempre

mede:

a)108o b)104

o c)100

o d)86

o e)72

o

01.20. (UFAL) As idades de 3 pessoas

são numericamente iguais aos termos

de uma P.A. de razão 5. Se daqui a 3

anos a idade da mais velha será o

dobro da idade da mais jovem, nesta

época, a soma das 3 idades será:

a)36 b)38 c)423 d)45 e)48

02.01.(UEPG) Interpolando-se 5

meios aritméticos entre 4 e 16 ,

o termo médio da P.A. vale:

a)7 b)9 c)11 d)15

e)10

02.02. (FATEC-SP) Inserindo-se 5

números entre 18 e 96, de modo que

a sequencia (18,a2, a3, a4, a5, a6, 96)

seja uma P.A., tem-se que a3 é igual a:

a)43 b)44 c)45 d)46 e)47

02.03. A quantidade de meios

aritméticos que se pode inserir entre

15 e 30, tal que a razão tenha valor 3,

é:

a)3 b)2 c)4 d)5 e)9

02.04. (POLI) Inscrevendo-se 9 meios

aritméticos entre 15 e 45, o sexto

termo da P.A. será igual a:

a)18 b)24 c)36 d)27 e)30

02.05. (CEFET-PR) Inserindo-se k

meios aritméticos entre 1 e k2,

obtém-se uma P.A. com razão:

a)1 b)k c)k-1 d)k+1 e)k2

02.06. (FATEC) Se o termo geral de

um PA é an = 5n – 13, com n IN*,

então a soma de seus 50 primeiros

termos é:

a)5850 b)5725 c)5650 d)5225

e)5150

02.07. (UFPA) Sabendo que a

sequencia (1-3x, x-2,2x+1) é uma PA,

determina o valor de x:

a)-2 b)0 c)2 d)4 e)6


4

02.08.(FGV) A soma dos 50 primeiros

termos de uma PA, na qual a6+a45 =

160, vale:

a)3480 b)4000 c)4320 d)4200

e)4500

02.09. (UEL-PR) Seja a PA (a1,a2, ... ,

a20). Se a soma de todos os seus

termos é 600, então é verdade que:

a)a1+a20=600 b) a3+a17 =300 c)

a5+a16=60 d) a6+a12 = 60 e) a10=30

02.10. (CEFET) Não constitui uma PA:

a)(

) b) (

) c)

(

) d)

(

) e) ( )

02.11. (CEFET) A soma dos n

primeiros termos de uma PA é dada

por 4n2. O oitavo termo desta PA é:

a)256 b)8 c)52 d)60 e)84

02.12. (UFRGS) as medidas do lado,

do perímetro e da área de um

triângulo equilátero são, nessa

ordem, números em uma PA. A razão

desta é:

a)20 /3 b)20 c)40 /3

d)10 /3 e)40

02.13. (CEFET) A soma dos números

naturais, múltiplos de 7

compreendidos entre 100 e 310 é:

a)6150 b)6250 c)6155 d)6355

e)6195

02.14. (PUC) A soma dos n primeiros

termos de uma PA é n2 + 2n. O

décimo primeiro termo desta PA vale:

a)17 b)18 c)19 d)20 e)21

02.15. (PUC) Um veículo parte de uma

cidade A em direção a uma cidade B,

distante 500 km. Na primeira hora do

trajeto, ele percorre 20 km; na

segunda hora 22,5km; na terceira

hora 25km; e assim sucessivamente.

Ao completar a décima segunda hora

deste percurso, a que distância este

veículo estará da cidade B?

a)95 b)105 c)125 d)135 e)155

02.16. (CEFET) Um vestibulando

atrasou a resolução dos exercícios de

sua apostila e resolveu colocá-los em

dia. No primeiro dia resolveu 10

exercícios e propôs-se diariamente a

resolver 3 exercícios a mais que no

dia anterior. Sabendo-se que eram

413 os exercícios atrasados, o

estudante gastou quantos dias para

repor eles em dia:

a)28 dias b)7 dias c)20 dias d)42

dias e)14 dias

02.17. (CEFET) Ao analisar a vida de

um provável alcoólatra, um médico

notou que ele ingeria a cada semana,

dois litros de bebida a mais que na

semana anterior. Na data da análise

ele já havia consumido 675 litros de

bebida e estava a 25 semanas neste

processo. Com base nestas

informações indique quantos litros

ele ingeriu na primeira semana

analisada pelo médico?

a)2 b)3 c)27 d)5 e)25

02.18. (UNESP) Um coronel colocou

em posição parte de seu regimento

em um triângulo completo, colocando

um homem na primeira linha, dois na

segunda e assim por diante. Formou-

se então um triângulo de 231

homens. Qual o número de linhas?

02.19. (FGV) Um jardineiro tem que

regar 60 roseiras plantadas ao longo

de uma vereda retilínea e distando

um metro uma da outra. Ele enche

seu regador em uma fonte situada, na

mesma vereda, a 15 m da primeira

roseira e, a cada viagem, ele rega 3

roseiras. Começando e terminando na

mesma fonte, qual é o percurso total

que ele terá que caminhar até que ele

regue todas as roseiras?

a)1240m b)1360m c)1820m

d)1630m e)2000m


5

Aula 2 – PROGESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)

Definição: Uma PG é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q chamada de razão da PG.

Exemplo: (3,9,27,81) => q = 3.

Calculamos a razão de uma PG (a1,a2,a3,a4,...) através da fórmula: q = an+1/ an n N*.

Exemplo: (1,4,16,64) => q = 64/16 = 16/4 = 4/1 = 4

Podemos classificar uma PG como crescente se q > | | e decrescente se q < | |. Temos também a PG constante quando q = 1 e a PG oscilante ou alternante que é quando q < 0 e devido ao seu sinal fica mudando de positiva para negativa (3,-6,12,-24) => q = -2.

Obs.: A PG (0,0,0,0,0) é constante mais possui razão indeterminada. A PG (3,0,0,0,0) não está incluída nestas classificações, chamamos ela de PG quase nula.

Para encontrarmos um termo geral de uma PG temos a seguinte fórmula: an = a1.q

n-1. Podemos encontrar através

desta fórmula termos intermediários da PG. Ex.: a8 = a3.q5.

Podemos ainda escrever uma PG na forma: (x/q,x,x.q) ou (x,x.q,x.q

2,x.q

3) ou (x/q

2,x/q,x,x.q,x.q

2). Isto auxilia na

resolução de exercícios.

Os termos que não são o primeiro e não o último, os termos do meio da PG, são chamados de meios geométricos. Podemos encontrá-los tendo o primeiro e o último termo.

Propriedades de uma PG:

1) Em uma PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Ex: (1,2,4,8,16,32) => 32.1 = 16.2 = 4.8 = 32

2) A sequência (a,b,c) será uma PG se, e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos: b

2 = a.c => Ex.: (3,6,12) -> 6

2 = 3.12

3) Em uma PG com número ímpar de termos, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos. Ex.: (1,2,4,8,16) => 4

2 = 1.16

Podemos somar os termos de uma PG finita através da fórmula:

Sn = (an.q–a1)/(q-1) ou Sn = a1(qn-1)/(q-1).

Já para uma PG infinita se q < 1 temos:

S∞ = a1/(1-q).

O produto dos termos de uma PG é dado por:

Pn = a1n.q

n(n-1)/2.



6


03.01. (UMSP) O quarto termo da

sequência geométrica (3/2,1,2/3,...)

é: a)2/9 b)1/3 c)9/4 d)4/9 e)1

03.02. (OSEC-SP) O número de termos

da PG (1/9,1/3,1,...,729) é:

a)8 b)9 c)10 d)81 e)4

03.03. (UFRGS) O primeiro termo de

uma PG em que a3 = 1 e a5 = 9 é?

a)1/27 b) 1/9 c)1/3 d)1 e)0

03.04. (CESCEM) Três números iguais

constituem:

a)uma PA razão 1 b)uma PG de

razão 0 c)uma PA de razão 0 e uma

PG de razão 1 d)uma PA e uma PG de

razões iguais e)nenhuma das

alternativas.

03.05.(PUC-SP) Numa PG de termos

positivos, o primeiro termo é igual a

razão e o segundo termo é 3. O oitavo

termo da PG é: a)81 b)37 c)27

2/3

d)12 e)333

03.06. (CEFET-PR) A razão “q” de uma

PG de 4 termos, cujo primeiro termo

é e o último é

, vale:

a)5/3 b) c) √ d)3√

e)3/5

03.07. (UFRGS) Numa PG limitada

com 5 termos, o último é 9 e a

razão é , o primeiro termo é:

a) b) 5 c)1/3 d)3 e)

03.09. (UNIFOR-CE) O trigésimo

termo da sequência (1/2,1/6,1/18,...)

é:

a)

b)

c) d)61/3 e)29/6

03.10. (MACK) O terceiro termo de

uma PG, de termos positivos é .

Sabendo-se que o sétimo termo é

16 , a razão da PG é: a) b)2

c)1/2 d)1/5 e)

03.11. (CESGRANRIO) Desde 1992,

certo instituto de pesquisa vem

monitorando, no início de cada ano, o

crescimento populacional de uma

pequena cidade no interior do

estado. Os itens a seguir mostram o

resultado dos três primeiros anos, em

milhares de habitantes:

I) Ano de 1992, população (em

milhares) = 25,6

II) Ano de 1993, população (em

milhares) = 38,4

III)Ano de 1994, população (em

milhares) = 57,6

Mantendo-se esta progressão de

crescimento, o número de habitantes

desta cidade no ano de 2000 foi

aproximadamente de (em milhares):

a)204 b)384 c)576 d)656 e)728

03.12. (CESGRANRIO) As medidas dos

ângulos internos de um triângulo

estão em PG de razão 2. Então, a

soma destes ângulos é: a)72o b)90

o

c)180o d)270

o e)360

o

03.13. (UFRN) Se numa PG a soma do

terceiro com o quinto termo vale 90 e

a soma do quarto com o sexto vale

270, então a razão é igual a: a)1 b)2

c)3 d)5 e)7

03.14. (UFAL) Se o número 111 for

dividido em três partes que

constituem uma PG de razão ¾, a

menor destas partes será?

a)12 b)16 c)18 d)21 e)27

03.15. (PUC-RG) Na segunda feira,

foram colocados três grãos de feijão

em um vidro. Na terça o vidro

recebeu mais 9 grãos e na quarta 27

grãos, e assim por diante. No dia em

que o vidro recebeu 2187 grãos o

vidro ficou completamente cheio. Isto

ocorreu:

a)em um sábado

b)em um domingo

c)numa segunda feira

d)no décimo dia

e)no trigésimo dia


7

03.16. (PUC-RG) Se o valor de um

automóvel novo é P0 e sofre uma

desvalorização de 12% ao ano, o

preço do veículo após x anos é: a) P =

(0,2)x.P0 b) P = (1,2)

x+P0 c) P =

(0,12)x.P0 d) P = (0,88)

x+P0 e) P =

(0,88)x.P0

03.18. (CESGRANRIO) Um artigo de

uma loja custa hoje 100 reais e seu

preço é aumentado, mensalmente,

em 12% do seu preço anterior. Se

fizermos uma tabela do preço deste

artigo, mês a mês, obteremos uma

progressão:

a)aritmética de razão 12

b) aritmética de razão 0.12

c) geométrica de razão 12

d) geométrica de razão 1.12

e) geométrica de razão 0.12

03.19. A população de uma cidade

aumenta 10% ao ano. Sabendo que

em 1990 a população era de 200 mil

habitantes, qual foi a população em

1994?

04.01. (FGV-SP) A média aritmética

dos seis meios geométricos que

podem ser inseridos entre 4 e 512 é:

a)48 b)84 c)128 d)64 e)96

04.02.(CESGRANRIO) Se x e y são

positivos e x, xy e 3x estão, nesta

ordem, em P.G., então o valor de y é:

a) b)2 c) d)3 e)9

04.03. (PUC-SP) Se a sequência (4x, 2x

+ 1, x-1) é uma P.G., então o valor de

x é:

a) -

b)-8 c) - 1 d) 8 e)

04.04. (UFPA) A soma da série infinita

1+

+

+

... é:

a)

b)

c)

d) 4 e)

04.05.Sabendo que o produto dos

termos de uma P.G. finita pode ser

expresso por:

Pn = .

. Calcule o produto

dos 10 primeiros termos da P.G.

onde: =-2 e q=2. Observação: Essa

fórmula fornece o produto já com o

sinal.

04.06.(UFCE) Sejam x e y números

positivos. Se os números 3, x e y

formam, nessa ordem, uma P.G. e se

os números x, y e 9 formam, nessa

ordem, uma P.A., então x+y é igual a:

a)

b)

c)

d)

04.07.(UFPR) Somando um mesmo

número aos números 5, 7, 6 nesta

ordem, obtém-se uma P.G. O número

somado é:

a)

b)

c)

d) -

e)

04.08(UFPR) A soma dos termos da

P.G. :: 1 :

:

:

: ... é:

a)2 b)0 c)1,75 d)3 e)n.d.a

04.09(FGV-SP) Seja k a raiz da

equação x +

+

+

+ ... = 9. O

valor de k é:

a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

04.10. Dado um quadrado de lado 2,

una os pontos médios dos lados,

obtendo uma novo quadrado. Una os

pontos médios deste novo quadrado,

obtendo um outro quadrado, e assim

sucessivamente. Então a soma das

áreas de todos os quadrados vale:

a)4 b)5 c)6 d)7 e)8

04.11. (CEFET-PR) Interpolando-se

100 meios geométricos entre “a” e

“ .a”, obtemos uma P.G. cujo 3º

termo é:

a)27 a b)81 a c)729 a2 d)729 a

e)27 a2


8

04.12. (UEPG) Inserindo quatro meios

geométricos entre K e 3 125, obtemos

uma P.G. crescente de razão 5. Qual o

valor de K?

a)5 b)15 c)20 d)25 e)1

04.13. (ICMG-MG) O número de

bactérias em um meio se duplica de

hora em hora. Se inicialmente,

existem 8 bactérias no meio; ao fim

de 10 horas, o número de bactérias

será?

a)24 b)2

7 c)2

10 d)2

13 e)2

15

04.14. (FEI-SP) Dada a P.G. 1,3,9,27, ...

se a sua soma for 3280, então ela

apresenta:

a) 9 termos b)8 termos c)7 termos

d) 6 termos e) 5 termos

04.15. (UFPE) Em certa cidade a

população de ratos é 20 vezes a

população humana. Supondo que

ambas as populações crescem em

P.G., onde a população humana

dobra a cada 20 anos e a de ratos a

cada ano. Quantos ratos haverá por

habitante dentro de 20 anos?

a)10.220

b) 10.219

c)20.220

d)40.220

e)20.218

04.16. (UEL-PR) Numa aplicação

financeira, chama-se montante em

certa data à soma da quantia aplicada

com os juros acumulados até aquela

data. Suponha uma aplicação de R$

50.000,00 a juros compostos, à taxa

de 3% ao mês. Nesse caso, os

montantes em reais, no inicio de cada

período de um mês, formam uma

P.G. em que o primeiro termo é

50.000 e a razão é 1,03. Os juros

acumulados ao completar 10 meses

de aplicação são:

Dado: 1,0310

= 1,3439

a) R$10.300,00 b) R$15.000,00 c)

R$17.195,00 d) R$21.847,00 e)

R$134.390,00

04.17. (UFRS) Na sequência de

figuras, cada quadrado tem 1cm2 de

área. Supondo que as figuras

continuem evoluindo no mesmo

padrão aqui encontrado, a área da

figura 20 terá valor:

a) entre 0 e 1.000

b) entre 1.000 e 10.000

c) entre 10.000 e 50.000

d) entre 50.000 e 100.000

e) maior que 100.000

04.18. (FATEC-SP) O produto dos dez

primeiros termos da progressão ( ,

2 , 2 , 4 ...) é:

a)

b)

c) d) . e)

04.19.(UNB-DF) Conta uma lenda que

o rei de certo país ficou tão

impressionado ao conhecer o jogo de

xadrez que quis recompensar seu

inventor, lhe dado qualquer coisa que

ele pedisse. O inventor, então, disse

ao rei: “Dê-me simplesmente 1 grão

de trigo pela primeira casa do

tabuleiro, 2 grãos de trigo pela

segunda casa , 4 grãos pela terceira, 8

pela quarta e assim, sucessivamente,

até a 64ª casa do tabuleiro.” O rei

considerou o pedido bastante simples

e ordenou que fosse cumprido.

Supondo que um grão de trigo tem

massa igual a 0,05g e que a produção

mundial de trigo em 1997 foi de 560

milhões de toneladas, julgue os itens

abaixo:

1) O número de grãos de trigo devido

ao inventor apenas pela 11ª casa do

tabuleiro é menor que 1.000.

2) Até a 30ª casa, seriam devidas ao

inventor mais de 50 ton de grãos.

3) A quantidade de trigo devida

apenas pela 31ª casa corresponde a

quantidade recebida até a 30ª casa

acrescida de um grão?

4) Seriam necessárias mais de 1.000

vezes a produção mundial de trigo do

ano de 1997 para recompensar o

inventor.


9

Aula 3 – ÂNGULOS E TRIÂNGULOS

Começamos a introduzir agora conceitos que relacionam outra área da matemática a Geometria. Para tal temos que aprender uma linguagem básica que irá ser utilizada para definirmos formas que encontramos na natureza. Os triângulos são tão aplicados que chamamos o estudo deles de trigonometria. A verdade é que há várias formas geométricas importantes e podem ser muito aplicadas na prática. Vamos então às definições e aplicações. Primeiro iremos introduzir um assunto

Definição: Ângulo é o nome dado pela região formada por duas semi-retas que fazem parte de um mesmo ponto. Indica-se AÔB ou α são os lados do ângulo, O é o vértice do ângulo.

Classificação:

Ângulos complementares: Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90° (α+β = 90°).

Ângulos suplementares: Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.

Ângulos opostos pelo vértice: São ângulos em que os lados de um são semi-retas opostas aos lados do outro. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais.

Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice do ângulo, que o divide em dois ângulos congruentes.

Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal:

Teorema de Tales: Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais.

Classificamos os triângulos de acordo com o número de lados iguais:

a) Equilátero é o triângulo que possui todos os lados iguais. b) Isósceles é o triângulo que possui apenas dois lados iguais. c) Escaleno é o triângulo com nenhum lado igual.

Podemos classifica-los em termos dos ângulos internos:

a) Acutângulo possui todos os ângulos menores de 90°. b) Obtusângulo possui um ângulo maior que 90°. c) Retângulo possui um ângulo igual a 90°.

Elementos de um triângulo: São pontos que definem um triângulo. Ajuda muito em exercícios!

a) Mediana: é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto deste triângulo. Um triângulo possui 3 medianas. O ponto de encontro destas medianas se chama baricentro. b) Bissetriz: é o segmento com extremidades em um vértice e no lado oposto que divide o ângulo de mesma medida. O ponto de encontro das 3 bissetrizes é chamado de incentro (centro da circunferência inscrita). c) Altura: A altura de um triângulo relativa a um lado ou o seu prolongamento formando um ângulo reto ao vértice oposto. O ponto de encontro das 3 alturas é chamado de ortocentro. d) Mediatriz: é a reta que passa pelo ponto médio do lado formando um ângulo reto. O ponto de encontro das 3 mediatrizes é o circuncentro do triângulo.


10

PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS: 1) Teorema angular de Tales: A soma dos ângulos

em qualquer triângulo é igual a 180°.

2) Em um triângulo, ao maior lado se opõe o maior ângulo e vice versa.

3) Em um triângulo, qualquer lado é menor que a

soma dos outros dois e maior que a diferença.

SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS: Dois triângulos que são semelhantes têm as medidas dos lados correspondentes proporcionais e os ângulos iguais, dois a dois. Existem três casos mostrados a seguir:

TRIÂNGULO RETÂNGULO, O TEOREMA DE PITÁGORAS E O TRIÂNGULO EQUILÁTERO:



11


05.01.(VUNESP) Uma rampa lisa de

20m de comprimento faz ângulo de

30o com o plano horizontal. Uma

pessoa que sobe essa rampa inteira

eleva-se verticalmente:

a)17m b)10m c)15m d)5m e)8m

05.02. (UNOPAR-PR) Sabendo que cos

=

, o valor de x no triângulo

retângulo abaixo é: a)15cm b)18cm

c)20cm d)25cm e)5

05.03.(UFRGS) Um barco parte de A

para atravessar o rio. A direção de

seu deslocamento forma um ângulo

de 120o com a margem do rio:

Sendo a largura do rio 60m, a

distância, em metros, percorrida pelo

barco foi de:

a) 40 b) 40 c) 45 d)50

e) 60

05.04.(UFPR) No triângulo retângulo,

temos:

I. sen t =

II. cos t =

III. tg t = 2

A(s) afirmativa(s) verdadeira(s)

é(são):

a)I b)II c)III d)II e III e)I, II e III

05.05.(UNI-RIO) Deseja-se medir a

distância entre duas cidades B e C

sobre um mapa sem escala. Sabe-se

que AB= 80 km e AC= 120 km, onde A

é uma cidade conhecida, como

mostra a figura, logo a distância entre

B e C, em Km é:

05.06. (VUNESP-SP) Na figura, os

pontos A, B e C estão sobre uma

circunferência de raio 1 cm, e o

ângulo ACB mede 45o.

Essas condições, o comprimento da

corda AB, em cm, vale:

a) b)

c)

d)

e)

– 1

05.07. (PUCCAMP-SP) Uma pessoa

encontra-se num ponto a, localizado

na base de um prédio, conforme

mostra a figura adiante:

Se ela caminhar 90 metros em linha

reta, chegará a um ponto B, de onde

poderá ver o topo C do prédio, sob

um ângulo de 60o. Quantos metros

ela deverá se afastar do ponto A,

andando em linha reta no sentido A

para B, para que possa enxergar o

topo do prédio sob um ângulo de

300?

a)150 b)80 c)270 d)300 e)310

05.08. (MACK-SP) Supondo = 1,7,

a área do triângulo da figura vale:

a)1,15 b)1,25 c)1,30 d)1,35

e)1,45

05.09. Na figura abaixo, tem-se um

triângulo ABC, inscrito em uma

circunferência de raio 4 cm e centro

no ponto O:

Qual o comprimento do lado BC?

05.10. (PUC-PR) Determinar à

distância do ponto A ao ponto B,

inacessível, sendo conhecidos os

dados conforme figura:

( = 1,7)

a)100m b)102m c)104m d)106m

e)108m

05.11. (UNICAMP-SP) A água utilizada

na casa de um sítio é captada e

bombeada do rio para uma caixa

d’água a 50m de distância. A casa

está a 80m de distância da caixa

d’água e o ângulo formado pelas

direções caixa d’água bomba e caixa

d’água casa é de 60o. Se a ideia é

bombear a água no mesmo ponto de

captação até a casa, quantos metros

de encanamento são necessários?


12

05.12.(FAAP-SP) A seguir, está

representado um esquema de uma

sala de cinema, com o piso horizontal.

De quanto deve ser a medida AT para

que um espectador sentado a 15

metros da tela, com os olhos 1,2

metros acima do piso, veja o ponto

mais alto da tela, que é T, a 30o da

horizontal?

DADOS:

sen 30o = 0,5

sen 60o = 0,866

cos 30o = 0,866

cos 60o = 0,5

= 1,41

= 1,73

tg 30o = 0,577

tg 60o =

a)15,0m b)8,66m c)12,36m

d)9,86m e)4,58m

05.13. (FEPAR-PR) Sabendo-se que, na

figura, o segmento AB mede 30 cm,

pode-se dizer que o segmento CE, em

cm, mede:

a) 20 b) 25 c) 80 d) 35

e) 40

05.14. (CEFET-PR) Se na figura abaixo

AB = 9cm, o segmento DF mede, em

cm:

a)5 b)4 c)8 d)7 e)6

05.15. (UEL-PR) Em um trapézio

isósceles de altura 4 cm e base menor

3 cm, um dos ângulos internos mede

o dobro de um outro. O perímetro

desse trapézio, em centímetros:

a) 12 + 6 b) 10 + 6 c) 8 + 6

d) 6 + 6 e) 4 + 6

05.16. (FUVEST-SP) No quadrilátero

ABCD da figura a seguir, e é um ponto

sobre o lado AD, tal que o ângulo

ABE mede 60o e os ângulos EBC e BCD

são retos. Sabendo-se ainda que

AB=CD= e BC=1. Determine a

medida de AD:

05.17. (UEL-PR) Trafegando num

trecho plano e reto de uma estrada,

um ciclista observa uma torre. No

instante em que o ângulo entre a

estrada e a linha de visão do ciclista é

de 60o, o marcador de quilometragem

da bicicleta acusa 103,50 Km. Quando

o ângulo descrito passa a ser 90o, o

marcador de quilometragem acusa

104,03Km.

Qual é, aproximadamente, a distância

da torre à estrada? (Se necessitar use

= 1,41; = 1,73; = 2,45)

a)463,4m b)535,8m c)755,4m

d)916,9m e)1.071,6m

05.18 (UMC-SP) Para ter um anúncio

que se encontra no alto de um

edifício de 90 metros de altura, uma

pessoa desloca seus olhos, a partir da

horizontal, de um ângulo de 30o.

Suponde-se que o piso térreo do

edifício e os olhos do observador

estão num mesmo nível horizontal e

dados os valores (sen 30o = ½ cos 30

o

= /2), pode-se afirmar que:

a) a distância entre a pessoa e o topo

do edifício é de 120 metros.

b) a distância entre a pessoa e o

edifício é de 180 metros.

c) a distância entre a pessoa e o


d) a distância entre a pessoa e o topo

do edifício é de 90 metros.

e) a distância entre a pessoa e o



13

Aula 4 – TRIGONOMETRIA

Definição no ciclo trigonométrico: A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo θ real qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto (x,y) pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de Pitágoras afirma que: .

E ainda, para cada ânguloθ existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o segmento faz um ângulo θ com o eixo x.

Neste caso, o seno é definido como a projeção do segmento sobre o eixo y. O cosseno é definido como a projeção do segmento com o eixo x. Isto é:

As outras funções podem ser definidas conforme as relações a seguir:

Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos (menores que 90°), concorda com a definição no triângulo retângulo. Basta observarmos o triângulo retângulo incristo dentro do primeiro quadrante do círculo. Através de semelhança entre triângulos, podemos aumentar este com hipotenusa unitátia para uma com qualquer medida h, para tal teremos que aumentar os catetos para certas medidas proporcionais, a e b (cateto adjacente e cateto oposto). Desta forma, podemos observar a igualdade das definições das funções seno, cosseno e tangente.

A fim de definir as funções trigonométricas de um ângulo agudo não nulo α, considera-se um triângulo retângulo que possui um ângulo igual a α. As funções são definidas como:

Deve-se observar que as funções ficam assim bem definidas, ou seja, a relação entre os lados do triângulo não depende da escolha particular do triângulo, mas apenas dos ângulos do triângulo.

ÂNGULOS NOTÁVEIS: são os ângulos mais utilizados:

As leis a seguir podem ser aplicadas a qualquer triângulo!

LEI DOS SENOS: Em qualquer triângulo as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles. A constante de proporcionalidade é igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo:

LEI DOS COSSENOS: Em qualquer triângulo o quadrado de um lado é igual à soma dos dois outros lados, menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ciclo_trigonom%C3%A9trico

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Ciclo.png








14



15


06.01 (UDESC-SC) A menor

determinação positiva de um arco

1000o

é:

a)280o b) 270

o c) 390

o d) 300

o

e) 310o

06.02. (UNOPAR-PR) A medida, em

radianos, de um arco de 210o

é:

a)

b)

c)

d)

e)

06.03.(UFMG) Sendo A = 80o

20’,

B=39o

30’ e C=

rad, a expressão A+B

– C é igual a:

a)

rad b) 116

o 40’ c) 86

o 40’ d)

115o

e) 60o

06.04. (UDESC-SC) A alternativa

incorreta é:

a)

rad = 72

o b) 1 rad = 180

o c)

rad = 135o d) rad = 180

o e)

rad =

22,5 o

06.05. (UEPG-PR) O arco de medida

rad tem sua extremidade

pertencente ao:

a) 4º quadrante b) 3º quadrante c)

2º quadrante d) 1º quadrante e)

eixo das ordenadas.

06.06. Considerando as informações:

I.

rad = 30

o

II. 135o =

rad

III.

rad = 300

o = 80gr

IV. 50gr =

rad = 45

o

V. 1 rad = 180 o

Podemos afirmar que:

a) todas são falsas

b) duas são verdadeiras

c) apenas uma é verdadeira

d) duas são falsas

e) todas são verdadeiras

06.07. (UEL-PR) A medida do menor

ângulo determinado pelos ponteiros

de um relógio que marca 10h 20 min

é:

a)170o b)165

o c) 160

o d) 155

o e)

150o

06.08. (ITA-SP) Transformando 12o

em radianos, obtém-se:

a)

b)

c) 160

o d)

e)

06.09. (UFPI) Supondo que o

movimento dos ponteiros de um

relógio seja contínuo (não aos saltos),

o ângulo que esses ponteiros formam

quando o relógio marca 11h 45 min é:

a) 60o

30’ b) 72o

c) 82o

30’ d) 80o

e)

85o

06.10. (ITAUNA) Numa eleição

presidencial registriu-se o seguinte

resultado:

Candidato A – 48%

Candidato B – 24%

Candidato C – 18%

Nulos ou brancos D – 10%

O ângulo central corresponde aos

24% dos votos do candidato B é, em

radianos:

a) 0,24 b) 0,50 c) 0,84 d) 0,48

e) 0,42


16

06.11. (FUVEST-SP) O ângulo formado

pelos ponteiros de um relógio à 1

hora e 12 minutos é:

a) 27o

b) 30o

c) 36o

d) 42o

e) 72o

06.12. (PUC-SP) Qual dos pares dos

ângulos é côngruo de 120o

?

a) - 240o

e 1920o b) 300

o e 21560

o c)

200o

e 600o d) - 100

o e 0

o o e) - 200

o e

780o

06.13. (MACK-SP) A menor

determinação positiva de - 4900o

é:

a) 100o

b) 140o

c) 40o

d) 80o

e) 20o

06.14. (UFPA) Um arco côngruo a

rad é:

a)

rad b) 3 rad c)

rad d) 2

rad e)

rad

06.15. (CEFET-PR) Sabendo-se que (3x

– 45o) e (2x – 135

o) exprimem as

medidas de dois arcos côngruos,

pode-se afirmar que “x” é dado por:

a) 120o

. (2K + 1), sendo K b)

160o

. (3K + 1), sendo K c) 120

o

. (2K + 1), sendo K Z

d) 180o

. (2K + 1), sendo K e)

180o

. (2K + 1), sendo K Z

06.16. A expressão geral dos arcos

côngruos a

rad é igual a:

a) x =

+ k b) x =

+ 2k c) x

=

+ 2k d) x =

+ k e) x =

+ 2k

06.17. Sobre o arco

rad. É correto

afirmar que:

I. 100o

é um arco côngruo

II. Sua expressão geral é

+ 2k

III. É a 6ª determinação positiva

IV. É a 7ª determinação positiva

V. -

rad é a 1ª determinação

negativa

VI. -

rad é um arco côngruo

a) I, II e V são verdadeiras

b) II e III são as únicas falsas

c) todas são verdadeiras

d) IV e V são verdadeiras

e)todas são falsas

06.18. (FUVEST-SP) Considere um

arco AB de 110o numa circunferência

de raio 10 cm. Considere, a seguir um

arco AB e 60o numa circunferência de

raio 5 cm. Dividindo-se o

comprimento do arco AB pelo arco

A’B’ (ambos medidos em cm), obtém-

se:

a)

b) 2 c)

d)

e)11

06.19. (VUNESP-SP) Uma curva de

certa rodovia tem o formato de um

arco de circunferência. Se numa tal

curva a rodovia muda sua direção 8o

20’ em 31,4m, o raio dessa curva é:

(adote = 3,14)

a) 192m b) 200m c) 208m d) 216m

e)224m

06.20. (FAAP-SP) Dois ciclistas

percorrem, no mesmo sentido, uma

pista circular de 50 metros de

diâmetro. A cada volta o primeiro

percorre 2,5m a mais do que o

segundo. Supondo que mantenham o

mesmo ritmo, o primeiro ciclista terá

percorrido 1 radiano a mais que o

segundo após x voltas. Calcule x.


17

Aula 5 – CIRCUNFERÊNCIA

Assim como no estudo dos triângulos tivemos que definir vários pontos e padrões, temos agora, no estudo da circunferência, novas definições, nomenclaturas e princípios importantes, que são base para o estudo das funções circulares, bem como de certas figuras geométricas.

Definição: Chamamos de circunferência o lugar geométrico dos pontos de um plano que são equidistantes a um ponto fixo. A distância do centro aos pontos da circunferência é chamada de raio.

Comprimento (perímetro) da circunferência: C = 2πR

Corda e Arco:

Teorema da Corda:

Ângulo central:

Teorema da tangente: Teorema das tangentes tiradas de um ponto exterior:

Ângulo central e ângulo inscrito: Teorema do triangulo retângulo:

Círculo:

Setor circular:

Segmento circular:

Potência de um ponto: Sendo P um ponto exterior ou interior a uma circunferência, a potencia desse ponto é definida como o produto das medidas de dois segmentos.

1) Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptassem, então o produto das medidas das suas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra. 2) Se, por um ponto P exterior a uma circunferência, conduzimos dois segmentos secantes e PC, então o produto das medidas do primeiro (PA) pela sua parte exterior (PB) é igual ao ponto das medidas do segundo (PC) pela sua parte exterior (PD).

OBS.: A potência do ponto P em relação a circunferência é o produto PA.PB ou PC.PD. Se um dos seguimentos for tangente, a relação será: PA.PB = PT

2.


18

Estudamos estas definições na circunferência devido a

sua aplicação no estudo e definição das funções circulares

que foram introduzidas através de um circulo e do triângulo

retângulo. São as nossas chamadas funções trigonométricas

seno, cosseno e tangente que só são definidas em termos de

ângulos formados por arcos. Como todas as “coisas” que

medimos possuem unidade, as unidades de ângulo são três:

grau, grado e radiano. É importante saber converte-las, pois

usaremos muito essas funções nos exercícios e nas próximas

aulas.

Grau: O arco ou ângulo central de 1° (grau) é aquele

que corresponde à 1/360 da circunferência. Logo a

circunferência possui 360°.

Grado: O arco ou ângulo central de 1 gr é aquele que

corresponde a 1/400da circunferência. Logo a circunferência

possui 400 gr.

Radiano: O arco ou ângulo central de 1 rad é aquele

cujo comprimento é igual ao raio da circunferência. Logo a

circunferência possui 6,28... rad ou 2π rad.

Usamos a regra de três para converter uma unidade

em outra sabendo da igualdade: 360°=400gr=2π.

Vamos estudar mais um pouco o círculo trigonométrico.

Iremos sempre que adotar um sentido, geralmente dizemos

que o sentido anti-horário é positivo e o horário é negativo

(apenas convenção). Além disto, separamos o círculo em 4

chamando-os de quadrantes (primeiro, segundo, terceiro e

quarto quadrante). Percebemos que ao percorrer podemos

chegar quantas vezes quiser a um mesmo ponto, dando

voltas pela circunferência. A cada volta aumentamos 360°

ou 400 gr ou 2π do ângulo em que começamos. Iremos ver

que estes ângulos ou arcos são chamados de arcos

côngruos, pois temos uma regra matemática de criação que

nada mais do que descreve o que acabamos de comentar

sobre as voltas pelo círculo trigonométrico:

, aonde EG é o

ângulo final que queremos encontrar, α é o ângulo inicial

(0≤α≤360°) e K é o número de voltas. Desta forma, existem

infinitos ângulos ou arcos côngruos.

O objetivo de saber converter um ângulo qualquer em

um ângulo α (0≤α≤360°) é devido à facilidade de fazer

contas com ângulos menores, pois estes são geralmente

mais conhecidos. Para determiná-los fazemos os seguintes

cálculos:

Para arco dado em GRAUS: Divide-se por 360°, o quociente

indica o número de voltas e o resto a menor determinação

do arco.

Para arco dado em RADIANOS: Decompõem-se em duas

outras frações de mesmo denominador, tal que o numerado

da primeira seja o maior número contido no numerador da

fração dada que, dividindo pelo denominador, dê para

quociente um número par. A segunda fração serão arco de

menor determinação.



19


04.01. Na figura abaixo, temos os

segmentos PA e PB ambos tangentes

a circunferência. Pode-se dizer que o

valor de x é:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13

04.02. (PUC-RJ) Um setor circular com

arco de 36o e raio igual a 1m tem

como área:

a) π/2 m2 b) π m

2 c) π/10 m

2

d) 2π m2

e) n.d.a.

04.03. (UFSC) Na figura abaixo, AB é

tangente a circunferência. Se o raio da

circunferência é 8 cm, e (AB) = 15 cm;

calcule em centímetros a medida do

segmento BC:

04.04. (UFO-RS) Na figura AB=AO =

2cm e O é o centro do circulo. A área

do setor circular O A B, em cm2,

mede:

a) π/3 b) 2π/3 c) π d) 2π e)

4π

04.05. (CESGRANRIO-RJ) Um ciclista

de uma prova de resistência deve

percorrer 500 km sobre uma pista

circular de raio 200m. O número de

voltas que ele deve dar é:

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e)

500

04.06. (PUC-SP) Na figura, a área

hachurada vale:

a) a2 – πa

2/4 b) a

2 – πa

2/2 c)

πa2/8

d) a

2π/4

e) n.d.a.

04.07. (UEBA-BA) Na figura abaixo,

são dadas AE/EC = 1/3, BE = 8 e ED = 6

(todos em cm). O comprimento de

AC, em cm, é:

a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e)

20

04.08. (CEFET-RJ) Quando o

comprimento de uma circunferência

aumenta de 8 cm para 14 cm, raio da

circunferência aumenta de:

a) π/6 b) 3/π c) π/3 d)1,5

e) 3

04.09. (ESPM-SP) Uma circunferência

esta inscrita em um quadrado cuja

diagonal mede 20 cm. O comprimento

da circunferência é:

a) π cm b) 5π cm c)

10π cm d) 20 π cm

e)30 π cm


20

04.10. (FAAP-SP) Na campanha

eleitoral para as recentes eleições

realizadas no país, o candidato de um

determinado partido realizou um

comício que lotou a praça circular

com 100 metros de raio. Supondo

que, em média, havia 5 pessoas/m2,

uma estimativa do número de

pessoas presentes a esse comício é de

aproximadamente:

a) 78500 b) 100 000 c) 127 000 d)

10 000 e) 157 000

04.11 (UFRGS-RS) Na figura a seguir,

OP = 2, AB = 8, O é o centro dos

círculos e AB é tangente em P ao

círculo menor.

A área do disco maior é:

a) π cm b) 10π c) 20π d) 64π

e) 68π

04.12. (UFOP-MG) De um ponto P

exterior a uma circunferência traçam-

se uma secante (PB) de 32 cm, que

passa pelo seu centro, e uma

tangente (PT) cujo comprimento é 24

cm. Posto isto, o comprimento é 24

cm. Posto isto, o comprimento desta

circunferência é:

a) 7π cm b) 8π cm c) 10π cm d)

12π cm e) 14π cm

04.13. (UFAL) Na figura a seguir têm-

se 4 semicírculos, dois a dois

tangentes entre si e inscritos em um

retângulo:

Se o raio de cada semicírculo é 4 cm ,

a área da região sombreada, em

centímetros quadrados é: (Use π=3,1)

a) 24,8 b) 25,4 c) 26,2 d) 28,8

e) 32,4

04.14. (UFMS) A figura representa um

triângulo equilátero ABC de lado igual

a 16 uc; MN, NP e PM são arcos de

circunferência com centros,

respectivamente, nos vértices A, B e C

e de raio igual a 8 uc. Se a área da

região sombreada é igual a F, calcule

o valor de R, onde

. (uc =

unidade de comprimento)

04.15. (UFSC) Um arco circular de

arame tem 2 cm de raio. Esse arco é

cortado, e o arame é estendido ao

longo de uma polia circular de raio 9

cm. Qual é o ângulo central, em graus,

que o arco, formado pelo arame,

determina na polia?

04.16. (MACK-SP) Na figura a seguir,

M, N e P são pontos de tangência e a

medida OM é 16. Então o perímetro

do triângulo assinalado é:

04.17. (UDESC-SC) Duas cordas AB e

CD, de uma circunferência, se

interceptam num ponto P sendo PB o

dobro de AP, CP igual à AB e DP = 4

cm. A medida de CD, em cm é:

a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22

aula 1 progressão aritmética exercícios em · pdf filerumo...

Documents