PRÁTICA 4: CORPO NEGRO

NOME MATRÍCULACURSO TURMA

PROFESSOR DATA

4.1 OBJETIVO

- Estudar experimentalmente as características da radiação eletromagnética emitida por um corpo negro.

4.2 MATERIAL

- Banco ótico;- Lâmpada incandescente (corpo cinza);- Aberturas colimadoras;- Lente convergente (duas);- Espectrofotômetro;- Sensor de movimento de rotação;- Fonte de Tensão;- Multímetros digitais (dois);- Microcomputador;- Cabos.

4.3 FUNDAMENTOS

Na física, chamamos de corpo negro aquele que absorve toda a radiação eletromagnética que nele incide. Nenhuma luz é refletida pelo mesmo, daí o nome corpo negro. Apesar do nome, corpos negros emitem radiação. Em equilíbrio termodinâmico, ou seja, à temperatura constante, um corpo negro ideal irradia energia na mesma taxa que a absorve. O corpo negro é uma idealização. Na natureza não existem corpos negros perfeitos. Experimentalmente, uma cavidade com um pequeno furo, Figura 4.1, por onde a radiação incidente é absorvida e por onde a radiação da cavidade possa ser emitida para o exterior, se comporta aproximadamente como um corpo negro.

Figura 4.1. Corpo Negro: cavidade com furo.

Na Figura 4.2 temos a distribuição espectral da radiação emitida por um corpo negro para diferentes temperaturas, onde R(λ)dλ representa a potência emitida por unidade de área com comprimento de onda entre λ e λ + dλ.

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Figura 4.2. Distribuição espectral R(λ) (unidades arbitrárias) da radiação emitida por um corpo negro em função do comprimento de onda para várias temperaturas.

Da figura 4.2 podemos notar que o comprimento de onda para o qual a radiação é máxima diminui com o aumento da temperatura.

λm α 1/T (4.1)

λmT = constante = 2,898 X 10-3 m.K

Este resultado, obtido pela primeira vez por Wien em 1893, é conhecido como Lei de deslocamento de Wien. Outra característica do corpo negro é que a energia total irradiada, por unidade de tempo e de área, é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo negro:

u T 4 (4.2)

Este resultado é conhecido como lei de Stefan-Boltzmann, onde σ = 5,6697 x 10-8 joules/(m2.s.K4) é a constante de Stefan-Boltzmann.

Diversas tentativas de descrever o comportamento do corpo negro baseado na teoria clássica mostraram-se inadequadas. Planck, em 1900, propôs que a energia da radiação emitida, era uma variável discreta (quantizada), ou seja, só poderia assumir os valores 0, E, 2E,....nE, onde n é um número inteiro. Além disso era necessário supor que E fosse proporcional à frequência da radiação:

E = nhf n = 0, 1, 2, 3,..... (4.3)

A constante h, que passou a se chamar constante de Planck, foi determinada ajustando a expressão matemática encontrada por Planck aos valores experimentais. O valor atualmente aceito é: h = 6,623 X 10-34 J.s.

Nesta prática será usado o filamento de uma lâmpada, chamado de “corpo cinza”, como uma aproximação do corpo negro. A lâmpada será alimentada por uma fonte de tensão contínua, regulável, e sua temperatura poderá ser determinada conhecendo a relação entre temperatura e

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resistência. A distribuição espectral da radiação emitida pelo corpo cinza será obtida fazendo uso de um espectrofotômetro interfaciado com um microcomputador.

Determinação da temperatura do corpo negro (filamento da lâmpada).

A dependência da resistência do filamento da lâmpada, R, com a temperatura absoluta T é dada por:

( 4.4 )

onde R0 = resistência a temperatura ambiente (0,84Ω, valor aproximado), T0 = temperatura ambiente em Kelvin e 0 = 4,5X10-3/K coeficiente térmico do tungstênio à temperatura ambiente.

Resolvendo a equação 4.4 para a temperatura do corpo negro, vem:

(4.5)

Para uma medida mais precisa da resistência do filamento à temperatura ambiente, R 0, você deve soldar fios aos terminais da lâmpada, para assegurar um bom contato. A resistência do filamento não deve ser medida com a lâmpada no soquete. A determinação da resistência R (filamento aquecido), deve ser obtida da Lei de Ôhm (V = RI) medindo-se V e I através do filamento.

Determinação do comprimento de onda da radiação emitida pelo corpo negro

No nosso experimento a radiação proveniente do corpo negro incide em um prisma equilátero e sofre dispersão. O ângulo de dispersão θ depende do comprimento de onda da radiação e do índice de refração do vidro de que é feito o prisma.

Consideremos a trajetória de um raio como mostra a Figura 4.3. Como o ângulo do prisma é 60o, temos:

θ2 + θ3 = 60o (4.6)

Figura 4.3. Trajetória de um raio no prisma.

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Aplicando a Lei de Snell em cada face, temos:

sen(60o) = n sen θ2 (4.7)

sen θ = n sen θ3 (4.8)

Combinando equações 4.8 e 4.6, vem:

sen θ = n sen (60o - θ2) (4.9)

sen θ = n(sen 60o cos θ2 - senθ2 cos 60o) (4.10)

Usando uma identidade trigonométrica para trocar cos por sen, temos:

sen θ = n[sen 60o (1 – sen2 θ 2)1/2 - sen θ 2 cos 60o] (4.11)

sen θ = sen 60o (n2 - n2 sen2 θ 2)1/2 - nsen θ 2 cos 60o (4.12)

Combinando as equações 4.7 e 4.12, vem:

sen θ = sen 60o (n2 - sen2 60o )1/2 – sen60o cos 60o (4.13)

Resolvendo para n:

(4.14)

(4.15)

A equação de Cauchy fornece a relação entre o comprimento de onda e o índice de refração:

(4.16)

Onde A e B depende do tipo de vidro usado para fazer o prisma. Para o prisma usado no nosso experimento, A = 13900 e B = 1,689 (para comprimentos de onda em nanômetros). Resolvendo equação 4.16 para λ, vem:

(4.17)

Combinando equações 4.15 e 4.17, temos:

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(4.18)

Desta forma é possível determinar o comprimento de onda da radiação emitida pelo corpo negro, conhecendo o ângulo de desvio θ. Esta equação está inserida no programa “blackbody” que será utilizado no Procedimento 4.

4.4 PROCEDIMENTOS

PROCEDIMENTO 1: Ajustes iniciais.

Neste experimento faremos uso do espectrofotômetro da PASCO, modelo OS – 8537. A

aquisição de dados (intensidade de luz e posição angular) será feita por sensores conectados a um

microcomputador através de portas USB.

ALINHAMENTO DO ESPECTROFOTÔMETRO

1.1 Verifique se a lente colimadora está próxima do disco graduado, mas sem tocar.

1.2 Coloque o suporte com as fendas colimadoras a 10 cm da lente colimadora, Figura 4.4.

Figura 4.4. Arranjo experimental.

1.3 Coloque a fonte de luz tão próxima quanto possível das fendas.

1.4 Conecte a fonte de tensão à lâmpada (Corpo Negro), a um voltímetro e a um amperímetro,

como mostra a Figura 4.5. Escolha escalas tendo em mente que aplicaremos tensões de até 7 V e

que a corrente na lâmpada é da ordem de até 1 A.

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Figura 4.5. Circuito para ligação da lâmpada.

1.5 Ligue a fonte de tensão. Utilize tensão contínua (Function, posição mais à esquerda).

Escolha uma tensão de 4 ou 5 V (leitura na fonte de tensão).

1.6 Verifique se a fenda colimadora escolhida (sugerimos fenda 3) está alinhada (bem em frente)

com a lâmpada.

OBS: UTILIZE SEMPRE FENDAS COM MESMA ABERTURA. POR EXEMPLO, SE VOCÊ

ESCOLHER A FENDA COLIMADORA 3 NA SAÍDA DA LÂMPADA, TAMBÉM UTILIZE

A FENDA 3 NO DISCO COM FENDAS EM FRENTE AO SENSOR DE LUZ.

PROCEDIMENTO 2: Calibração do Sensor de Rotação.

A determinação do comprimento de onda da radiação dispersa pelo prisma requer um

conhecimento preciso do ângulo de desvio. Para calibrar o sensor de rotação, determine a razão

entre o raio do disco graduado e o raio do pino do sensor de rotação, como segue:

2.1 Remova o suporte com o prisma e o braço com o sensor de luz. Inicialmente desenrosque a

porca tipo borboleta que prende o suporte com prisma pela parte inferior. Desenrosque o suporte

com prisma. Retire os parafusos A e B que prendem o braço ao disco graduado.

Figura 4.6. Montagem do braço com sensor de luz e suporte com prisma.

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2.2 Alinhe o disco graduado de modo que a marca de zero grau fique coincidente com a linha

lateral de referência.

2.3 Ligue o microcomputador.

2.4 Conecte o sensor de posição angular e o sensor de luz à portas USB do microcomputador.

2.5 Inicie o programa “DataStudio” clicando no ícone correspondente.

2.6 Na janela “Bem-vindo ao DataStudio” clique em “Criar experimento”.

2.7 Clique em “Iniciar” para iniciar a aquisição de dados e imediatamente gire o disco graduado,

lentamente e continuamente, no sentido horário, até completar uma rotação. Interrompa a

aquisição de dados clicando em “Parar”.

OBS: Caso você queira apagar um conjunto de dados, clique na aba “Experimento (x)” e escolha

uma das opções: “Excluir a última série de dados (L)” ou “Excluir TODAS as séries de dados

(R)”.

2.8 Anote o ângulo máximo:____________. Divida o ângulo máximo por 2π. O resultado é a

razão entre o Raio do disco graduado e o Raio do pino do sensor de rotação. Anote esse

resultado:

Ratio =

Este resultado será usado na equação para a determinação do comprimento de onda.

2.9 Monte de volta o suporte com o prisma e o braço com o sensor de luz, conforme Figura 4.6.

Verifique se o suporte com o prisma permanece fixo enquanto o braço gira. O plano do suporte

do prisma deve ficar perpendicular ao feixe de luz. Faça ajustes se necessário.

2.10 Coloque a lente focalizadora entre o prisma e o disco com fendas, na posição marcada no

disco graduado.

PROCEDIMENTO 3: Determinação do ângulo inicial usados no cálculo do comprimento

de onda.

3.1 Gire o braço com o sensor de luz, no sentido anti-horário (visto de cima), até que o mesmo

atinja a posição inicial para a rotação.

3.2 Para determinar o ângulo inicial (ângulo inicial que o braço com o sensor de luz faz com a

direção de propagação da luz incidente), clique em “Iniciar” para iniciar a aquisição de dados e

imediatamente gire o disco graduado, lentamente e continuamente, no sentido horário, até que a

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luz que passa em linha reta por baixo do suporte do prisma incida cobre a abertura em frente ao

sensor de luz. O ângulo inicial é o ângulo registrado quando o braço com o sensor de luz está

nessa posição. Interrompa a aquisição de dados clicando em “Parar”.

3.3 Na janela do gráfico selecione “Ferramenta inteligente” para obter as coordenadas dos pontos

no gráfico. Determine a posição angular máxima e anote. Este valor é o ângulo inicial:

“Init” = __________.

3.4 Feche o programa “DataStudio” sem salvar.

PROCEDIMENTO 4: Obtenção da distribuição da intensidade da luz emitida em função

do comprimento de onda em diferentes temperaturas.

4.1 Anote os valores dos parâmetros efetivamente utilizados no cálculo da temperatura:

T0 = _________________, α0 = __________________ e R0 = _________________,

4.2 Ajuste a tensão na Fonte de Tensão de acordo com os valores indicados na Tabela 4.1. Inicie

pelo experimento 1 regulando a tensão na fonte em 4,0 V. Anote os valores de tensão na lâmpada

(leitura do voltímetro) e corrente (leitura do amperímetro) na Tabela 4.1 e calcule a temperatura

correspondente do filamento (corpo negro), pela equação 4.5.

Tabela 4.1. Valores medidos para o cálculo da temperatura.Experimento Tensão na Fonte

V (V)Tensão na Lâmpada

V(V)I (A) T (K)

1 4,02 5,03 6,04 7,05 8,0

4.3 Clique no ícone “blackbody” para abrir o programa.

4.4 Clique em “Calcular” e proceda como segue:

- Escolha em “Definição” a opção:

“Wavelenth = filter(0,8000,(139000/(((1,547*sen((Init – Angle)/Ratio)+0,5)^2 + 0,75)^0,5 –

1,689))^0,5

- Clique no botão à esquerda de “Init” e defina como constante. Insira o valor de “Init” obtido no

Procedimento 3.3.

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- Clique no botão à esquerda de “Angle” e defina como “Medição de dados”. Na janela

“Selecione uma fonte de dados” escolha “Posição angular (rad)” e OK.

- Clique no botão à esquerda de “Ratio” e defina como constante. Insira o valor de “Ratio” obtido

no Procedimento 2.8.

- Clique em “Aceitar” e feche a janela “Calculadora”.

4.5 Passe o mouse sobre a legenda “tempo” no eixo horizontal do gráfico e escolha

“wavelength”. No eixo vertical escolha “Intensidade relativa %”.

4.6 Clique em “Configurar” e na janela “Configuração de experimentos” escolha a “Taxa de

Amostras” em 50 Hz. Repita esta escolha para o sensor de posição.

4.7 Estando o ambiente no escuro, zere o sensor de luz como segue:

- Gire o braço com o sensor de luz, no sentido anti-horário (visto de cima), até que o mesmo

atinja a posição inicial para a rotação.

- Bloqueie a luz colocando sua mão entre as fendas colimadoras e a lente.

- Enquanto bloqueia a luz, pressione o botão “tare” no sensor de luz.

4.8 Retire sua mão da trajetória da luz e inicie a aquisição de dados. Gire lentamente o braço com

o sensor de luz de modo a registrar o espectro. Pare a aquisição de dados.

4.9 Regule a tensão na fonte para outro valor indicado na Tabela 4.1, anote a tensão e a corrente

na lâmpada e repita os procedimentos 4.7 e 4.8.

4.10 Repita o procedimento anterior para os outros valores indicados na Tabela 4.1.

4.11 Não deixe a lâmpada ligada em 8,0 V por muito tempo. Desligue a fonte imediatamente

após registrar a última distribuição espectral.

4.12 Com a “Ferramenta inteligente” localize os pontos de “Intensidade relativa %” máxima e

anote o comprimento de onda correspondente na Tabela 4.2.

Tabela 4.2. Resultados experimentais.

ExperimentoTemperatura

(K)Comprimento de onda onde a

intensidade da luz é máxima (nm)12345

4.12 Ao concluir a aquisição de dados, o gráfico obtido deve ser salvo para ser reproduzido em

seu relatório. Para isso selecione na coluna à esquerda na tela “Gráfico”. Faça CTRL-C (copiar) e

em seguida CTRL-V (colar) em um programa para figuras (por exemplo: Paint).

4.13 Feche o programa “blackbody” NÃO salvando as alterações.

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4.5 QUESTIONÁRIO

1- Qual o efeito do aumento de temperatura do corpo negro na intensidade de luz emitida?

2- Qual o efeito no padrão de distribuição da intensidade de luz com o comprimento de onda ao

aumentar a temperatura?

3- Mostre em um desenho: a direção de propagação da luz emitida pelo corpo negro, o ângulo

inicial “Init”, o ângulo medido pelo sensor de posição angular para um comprimento de onda

qualquer e o ângulo (Init – Angle) usado na equação que calcula o comprimento de onda.

4- Verifique se os dados experimentais obtidos na Tabela 4.2 satisfazem a lei do deslocamento

de Wien. Comente.

5- De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann todos os corpos emitem radiação, sendo a energia

total irradiada proporcional à temperatura absoluta elevada à quarta potência; então por que

não podemos ver no escuro? O que é o escuro?

6- Considerando o Sol como um corpo negro a 6000K, estime a intensidade da radiação solar

que incide na Terra. O raio do Sol é 7X108 m e o raio médio da órbita da Terra é 1,5X1011m.

7- Um filamento de tungstênio em uma lâmpada incandescente, mantido a 2500K, tem 3 mm de

diâmetro, 10 mm de comprimento e sua emissividade é essencialmente 1. Qual é a potência

da lâmpada em watts?

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