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Orlando Gonnelli Netto
ANÁLISE DA DIDATIZAÇÃO DO TEMA RADIAÇÃO DE CORPO
NEGRO SOB A LUZ DA TEORIA ANTROPOLÓGICA DO
DIDÁTICO
Dissertação submetida ao Programa de
Pós-graduação em Educação Científica
e Tecnológica, da Universidade Federal
de Santa Catarina para a obtenção do
Grau de Mestre em Educação Científica
e Tecnológica.
Orientador: Dr. Frederico Firmo de
Souza Cruz.
Co-orientador: Dr. Paulo José Sena dos
Santos.
Florianópolis
2014
AGRADECIMENTOS
Cada contribuição ao trabalho, sendo no início, no fim ou no
meio deste é infinitamente enriquecedora, independente do momento em
que surgiu.
Agradeço:
Os meus mestres orientadores do grupo de pesquisa Prof. Dr.
Frederico Firmo de Souza Cruz, Prof. Dr. Paulo Sena dos Santos e Profª.
Drª. Sonia Maria Correa de Souza Cruz, sempre pacientes, precisos e
geniais nas orientações. Vocês são exemplos a serem seguidos.
Aos membros da banca avaliadora que despenderam o seu
precioso tempo e contribuíram com suas ideias para este trabalho.
Aos professores do PPGECT, pela competência na arte de
ensinar, e aos colegas da turma de mestrado de 2011 que iniciaram
comigo essa jornada e com quem troquei importantes experiências.
Ao Thiago Foca, Tiago Loro, Elton, Marcelão, Spliter e Diego
Milhouse, amigos inesquecíveis, pelos churrascos e diversão quase sem
limites durante as partidas de Smash Bross.
Ao Roberto, Caio, Bruno Cani, Paiotti, Pedrão, Lucas Casé e
Lucas Sorriso, amigos, colegas e parceiros com quem passo horas e
horas conversando sobre música, praia e assuntos filosóficos e cujas
amizades faço questão de manter.
Ao meu irmão Eduardo, meu fiel e mais antigo amigo, que está
comigo desde que está vivo; grande parceiro na música, nas artes e nos
conselhos.
À minha linda namorada Barbara, sempre carinhosa e
companheira que compartilha comigo desta etapa na vida. E um
agradecimento especial a este trabalho de dissertação que cruzou nossos
caminhos.
Aos meus pais Sueli e Vilmar e aos meus avós Valdir e Lídia,
meus maiores exemplos, por terem me ensinado o valor dos estudos e,
principalmente, a não desistir dos meus sonhos. A vocês devo tudo que
sou e o que ainda virei a ser.
E por fim, à Capes, pela bolsa de estudos que financiou este
projeto e proporcionou minha estadia na ilha da magia.
RESUMO
Neste trabalho de dissertação, analisamos a transposição do tópico
Radiação de Corpo Negro para o ensino superior. A análise baseou-se
em dois livros-textos propostos para a disciplina Estrutura da Matéria 1,
da Universidade Federal de Santa Catarina, nos exercícios das listas de
tarefas e nas provas aplicadas durante a apresentação do conteúdo aos
alunos. O referencial teórico utilizado para a análise foi da Teoria
Antropológica do Didático, de Yves Chevallard, que permite modelar a
atividade didática em dois blocos (“saber” e “saber fazer”) e posicionar
a tríade aluno-conhecimento-professor imersa numa instituição social e
governada pelas regras e praxeologias da instituição. Foi elaborada uma
versão didatizada do tema Radiação de Corpo Negro a partir de
referências bibliográficas, com a finalidade de definir um texto padrão
que permita gerar praxeologias que enfatizem nossa visão de ruptura
entre Mecânica Clássica e Mecânica Quântica e suas consequências.
Essa didatização foi então comparada à análise das praxeologias da
disciplina. Ao todo, 2 livros-textos, 9 provas e 2 listas de exercícios
deram origem a 72 exercícios analisados. Os resultados mostram que a
didatização presente no livro Física Quântica - Átomos, Moléculas,
Sólidos, Núcleos e Partículas, dos autores Robert Eisberg e Robert
Resnick, traz uma técnica para a dedução da fórmula de Planck que
prioriza a Teoria Ondulatória e associa a quantização da energia das
ondas eletromagnéticas ao trabalho de Planck, entre outros resultados.
Os exercícios propostos para a disciplina priorizam tarefas que
envolvem cálculo, o que acaba por não discutir conceitos fundamentais
em Física. Nossa análise parece indicar que há uma tentativa de
adequação do tópico Radiação de Corpo Negro ao modelo tradicional de
ensino de física utilizado em outros conteúdos, o qual enfatiza
exercícios de cálculo em detrimento de outros que poderiam permitir
uma discussão mais profunda dos conceitos físicos fundamentais.
Palavras-chave: Radiação de Corpo Negro. Teoria Antropológica do
Didático. Praxeologia. Tradição de Ensino de Física.
ABSTRACT
In this thesis it is analyzed the transposition of the theme Blackbody
Radiation for higher education. The analysis was based on two proposed
textbooks for the discipline Matter Structure 1, at the Federal University
of Santa Catarina, in the exercises of the lists of tasks and tests given
during the presentation of the content to the students. The theoretical
framework used for the analysis was the Anthropological Theory of
Didactics, by Yves Chevallard, which allows modeling the didactic
activity in two blocks (practical block and theoretical block) and
position the triad student-teacher-knowledge immersed in a social
institution and governed by the rules and praxeologies of the institution.
It was elaborated a text version of the theme blackbody radiation from
the references in order to set a default text that may allow generate
praxeologies that emphasizes the vision of rupture between classical
mechanics and quantum mechanics and its consequences. This
didactization was then compared to the analysis of the discipline‟s
praxeologies. Altogether, 2 textbooks, 9 tests and 2 lists of tasks, led to
72 exercises analyzed. The results shows that the didactization in
Quantum Physics - Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles
book, by Robert Eisberg and Robert Resnick, brings a technique for
derivation of Planck's formula that prioritizes Wave Theory and
associates the quantization of energy of electromagnetic waves by
Planck's work, among other results. The exercises proposed for the
discipline prioritize tasks involving calculation, which turns out not to
discuss fundamental concepts in physics. The analysis suggests that
there is an attempt to adapt the topic blackbody radiation to the
traditional model of physical education used in other contents that
emphasizes calculation over others skills that could enable further
discussion of fundamental physical concepts.
Keywords: Blackbody Radiation. Anthropological Theory of Didactics.
Praxeology. Tradition of Physics Teaching.
LISTA DE ABREVIATURAS
EM – Ensino Médio
ES – Ensino Superior
FMC – Física Moderna e Contemporânea
RCN – Radiação de Corpo Negro
TAD – Teoria Antropológica do Didático
UFSC – Universidade Federal de Santa Catarina
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Esquema que representa os constituintes básicos da
praxeologia e resume brevemente seus significados para a TAD. ........ 28
Figura 2: Possíveis movimentos de uma molécula diatômica: (a)
movimento de translação do centro de massa, (b) movimento de rotação
ao redor de vários eixos, e (c) movimento de vibração ao longo do eixo
molecular. .............................................................................................. 40
Figura 3: Gráfico do calor específico molar do hidrogênio em função da
temperatura. A escala horizontal é logarítmica e o gráfico mostra
claramente os graus de liberdade “acionados” conforme há aumento de
temperatura. ........................................................................................... 41
Figura 4: Gráfico do calor específico molar do Silício e Germânio
(sólidos) em função da temperatura. Pela lei de Dulong-Petit,
deveríamos esperar um valor constante para o calor específico, mas
observamos que, em baixas temperaturas, o calor específico tende a
zero. ....................................................................................................... 41
Figura 5: Representação de um corpo (2) no interior da cavidade oca de
um corpo (1). ......................................................................................... 42
Figura 6: corpo negro cuja cavidade se comunica com o meio externo
por um orifício minúsculo que deixa escapar a radiação da cavidade.
Esta radiação deve possuir a forma da distribuição de um corpo negro.44
Figura 7: Intensidade espectral como função do comprimento de onda
obtida por Lummer e Pringsheim em novembro de 1899. A figura
mostra os valores calculados (“berechnet”) e obtidos experimentalmente
(“beobachtet”). ...................................................................................... 58
Figura 8: Curvas da energia da radiação versus temperatura, medidas
através dos raios residuais (“reststrahlen”), usando-se pedras de sal
( ) e comparadas (“berechnet nach” significa “calculado
após”) com as fórmulas de Wien, Lord Rayleigh, Thiesen e Planck. ... 60
Figura 9: Figura que ilustra, numa projeção em duas dimensões, como o
número de modos no intervalo , e pode ser substituído por um
incremento no espaço de fase de volume , onde
. ................................................................................................. 62
Figura 10: Gráfico da radiância espectral de um corpo negro e sua
respectiva legenda, retirados do livro-texto (1). .................................... 82
Figura 11: Gráfico da radiância espectral segundo os resultados
experimentais em comparação com a previsão de Rayleigh e Jeans
(teoria clássica) e sua respectiva legenda retirados do livro-texto (1). . 90
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Quantidade de Exercícios, Tarefas e Tipos de Tarefas
encontrados em provas, livros-textos e listas de exercícios. ................. 99
Tabela 2: quantidade de Tipos de Tarefas segundo tipos de atividades,
de forma que a porcentagem refere-se à quantidade total de Tipos de
Tarefas em cada objeto da tabela 1 anterior. ....................................... 100
Tabela 3: Quantidade de vezes que as fórmulas e expressões são
utilizadas no cálculo de determinado Tipo de Tarefa que envolve
Cálculo. Nesta tabela, é levado em conta que alguns tipos de tarefas
fazem uso de duas expressões ou mais. .............................................. 101
Tabela 4: Classificação das tarefas ( ) que envolvem cálculo conforme o
modo como exploram os conceitos físicos envolvidos na resolução das
mesmas. A porcentagem em cada coluna é sempre referente ao TOTAL
na última linha..................................................................................... 102
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Quadro esquemático que sintetiza a abordagem de Rayleigh e
Jeans ao fenômeno Radiação de Corpo Negro segundo Longair (1986).
............................................................................................................... 69
Quadro 2: Quadro esquemático que sintetiza a abordagem de Planck ao
problema do Corpo Negro segundo Longair (1986). ............................ 70
Quadro 3: esquema que sintetiza a técnica ( ) utilizada pelo livro-
texto (1) para deduzir a fórmula de Planck. Nele, destacamos os
exemplos trabalhados ao longo do Capítulo 1 do livro-texto (1), o
percurso seguido por ele e as respectivas etapas da técnica ( )
associadas ao percurso. ......................................................................... 96
Sumário
INTRODUÇÃO ............................................................................................... 19
1. A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO COMO
REFERENCIAL TEÓRICO .......................................................................... 23
1.1 Detalhando a TAD .................................................................................. 24
1.1.1 Objetos, pessoas e instituições......................................................... 24
1.1.2 Relação Institucional e Relação Pessoal .......................................... 25
1.2 A Praxeologia ......................................................................................... 27
1.2.1 Os constituintes da praxeologia ....................................................... 28
1.3 Os principais elementos da TAD para este trabalho e a praxeologia como
possibilidade de pesquisa .............................................................................. 31
2. O CONTEXTO DA RUPTURA ENTRE A FÍSICA CLÁSSICA E A
MECÂNICA QUÂNTICA .............................................................................. 33
2.1 O contexto da Ruptura ............................................................................ 36
2.1.1 O congelamento dos graus de liberdade. ......................................... 36
2.1.2 O corpo Negro de Kirchhoff ............................................................ 42
2.1.3 A Lei de Stefan-Boltzmann ............................................................. 44
2.1.4 Lei de Deslocamento de Wien ......................................................... 47
2.1.5 O espectro de radiação do corpo negro de Wien ............................. 48
2.1.6 Planck no início da carreira ............................................................. 51
2.1.7 Como Planck Chegou no espectro de radiação do corpo negro ....... 55
2.1.8 A equação de Rayleigh-Jeans .......................................................... 60
2.1.9 A Teoria de Planck sobre a Radiação de Corpo Negro e o ponto de
Ruptura ..................................................................................................... 64
2.2 O contexto da Ruptura sintetizado .......................................................... 68
2.3 Exemplos de praxeologias a partir do contexto da ruptura ..................... 71
2.4 Comentários gerais .................................................................................. 72
3. INVESTIGANDO A RELAÇÃO INSTITUCIONAL .............................. 75
3.1 O caráter institucional do livro-texto e as evidências da tradição de
ensino ............................................................................................................ 75
3.2 A determinação do livro-texto e dos documentos a serem analisados .... 78
3.3 A sequência metodológica adotada ........................................................ 79
3.4 Etapa 1: praxeologia e o livro-texto ....................................................... 80
3.4.1 Introdução ....................................................................................... 80
3.4.2 Radiação térmica ............................................................................ 80
3.4.4 Teoria de Planck da radiação de cavidade ...................................... 89
3.4.5 O uso da lei da radiação de Planck na termometria ........................ 93
3.4.6 O postulado de Planck e suas implicações ...................................... 93
3.4.7 Um pouco de história da física quântica ......................................... 94
3.5 A técnica ( ) do livro-texto (1) ......................................................... 95
3.6 Etapa 2: Categorização das tarefas ( ) e tipos de tarefas ( ) .................. 97
3.6.1 Tipos de Tarefas que envolvem cálculo ........................................ 101
3.6.2 Tipos de Tarefas Interpretação-Explicação: ................................. 104
4. CONCLUSÕES ......................................................................................... 109
4.1 O que se ensina .................................................................................... 109
4.2 A tradição de ensino e considerações finais ......................................... 112
Referências .................................................................................................... 115
Anexo 1 .......................................................................................................... 121
Professor 1 ................................................................................................. 121
Professor 2 ................................................................................................. 122
Professor 3 ................................................................................................. 123
Anexo 2 .......................................................................................................... 125
Provas Professor 1 ...................................................................................... 125
Provas Professor 2 ...................................................................................... 128
Livro-texto (1) ............................................................................................ 129
Livro-texto (2) ............................................................................................ 133
19
INTRODUÇÃO
Historicamente, nos cursos de formação de professores de
Física, é atribuído ao tópico Radiação de Corpo Negro (RCN) papel
privilegiado para discutir a ruptura entre a Mecânica Clássica e
Mecânica Quântica. Os Sistemas Quânticos são uma nova classe de
sistemas físicos que desafiam o senso comum e as explicações a partir
da Física Clássica. O tópico RCN é sugerido como um dos tópicos a ser
trabalhado no Ensino Médio (OSTERMMAN; MOREIRA, 2000)
(OSTERMMAN; PEREIRA, 2009) e é citado no PCN e PCN+ por ser
um tema controverso em aplicações como radiação solar, efeito estufa e
formas de medir a temperatura em Astronomia e Astrofísica.
A partir de levantamento na literatura, encontramos trabalhos
que propõem ou realizam algum tipo de intervenção direta do tópico
RCN no Ensino Médio (EM) e Ensino Superior (ES). Valadares e
Moreira (2004) apresentam um texto didático que aborda analogias e
sugestões conceituais e práticas para se introduzir tópicos de Física
Moderna e Contemporânea no EM; Vitor e Corrêa-Filho (2007)
descrevem atividades de leitura, palestras e organização de mapa
conceitual com alunos do EM sobre a temática RCN; Meggiolaro e Betz
(2012) e Alvarenga (2008) trabalham o tema RCN com alunos do EM
através de discussões, análise gráfica computacional e roteiro de
atividades.
Além disso, é possível encontrar trabalhos referentes ao estado
da arte da área de ensino da Física Moderna e Contemporânea (FMC),
onde o tópico RCN está inserido. Ostermman e Moreira (2000),
Ostermman e Pereira (2009) e Silva e Almeida (2011) realizam revisão
da literatura sobre o ensino de FMC através da consulta a artigos
publicados nas principais revistas de ensino de ciências do Brasil e do
exterior nos últimos anos. É possível constatar que a maioria dos artigos
se refere a bibliografias de consulta direcionadas para professores de
física que atuam no EM e ES. Tais bibliografias são constituídas de
textos de apoio, de recursos didáticos, de propostas de unidades
didáticas e divulgação científica, o que mostra uma tentativa de
inovação das tradicionais formas de apresentação do conteúdo (aula
expositiva e livro-texto) (OSTERMMAN ; PEREIRA, 2009).
Porém, segundo Ostermman e Pereira (2009), há poucos
trabalhos que investigam os mecanismos envolvidos no processo de
construção de conhecimentos relativos a temas de FMC em sala de aula,
tanto no EM como no ES. Ainda conforme Ostermman e Pereira (2009),
20
poucos trabalhos foram categorizados como “Mudanças no ensino de
FMC em nível superior”, sendo que apenas quatro destes tratam de
temas referentes à Mecânica Quântica numa abordagem
fenomenológica-conceitual, diferente das tradicionais1. Os resultados
apresentados mostraram que os estudantes que tiveram contato com a
nova abordagem tiveram uma melhor compreensão da teoria quando
comparados a outros que receberam instrução numa abordagem
tradicional (OSTERMMAN e PEREIRA, 2009).
Sanches (2006), ao analisar livros-textos para o EM, reforça a
existência de tentativa de inserção da FMC no EM por parte dos livros
didáticos, mas destaca que a abordagem encontrada nos livros
analisados ainda é muito inadequada. Por vezes, os assuntos são
resumidos, sintéticos e apresentados como notas complementares,
enquanto a repetição dos exercícios, dos problemas e das atividades
propostas tende a mecanizar o processo de resolução deles. Quanto à
análise de livros didáticos no ensino superior, não foi possível encontrar
qualquer trabalho com temática em FMC ou RCN até a data de término
desta dissertação.
Do exposto até aqui, notamos que o tópico RCN não é foco
específico de análises ou propostas dos trabalhos em ensino de FMC, o
que se apresenta como um paradoxo, pois ele é fundamentalmente o
início do próprio processo de construção do conhecimento quântico.
Notamos também que a análise de Sanches (2006) não contempla o
texto didatizado adotado pelos livros e não expõe quais as capacidades
exigidas dos alunos na resolução das atividades e exercícios propostos.
1 Os quatro artigos são:
GRECA, I. M; MOREIRA, M. A; HERSCOVITZ, V. Uma Proposta para
o Ensino de Mecânica Quântica. Revista Brasileira de Ensino de Física,
São Paulo, v. 23, n. 4, p. 444-457, dez. 2001.
GRECA, I. M.; FREIRE Jr., O. Does an emphasis on the concept of
quantum status enhance student‟s understanding of Quantum Mechanics?
Science & Education, New York, v. 12, n. 5-6, p. 541-557, Aug. 2003.
GRECA, I. M.; HERSCOVITZ, V. E. Construyendo significados en
mecánica cuántica: fundamentación y resultados de una propuesta
innovadora para su introducción en el nivel universitario. Enseñanza de
las Ciencias, Barcelona, v. 20, n. 2, p. 327-338, jun. 2002.
GRECA, I. M.; HERSCOVITZ, V. E. Superposição linear em ensino de
mecânica quântica. Revista Brasileira de Pesquisa em Educação em
Ciências, Belo Horizonte, v. 5, n. 1, p. 61-77, jan. 2005.
21
Um livro didático manifesta uma série de escolhas ao
determinar seu conteúdo, ao selecionar sua técnica, tarefas e teoria, e
estas escolhas refletem o que uma determinada instituição (comunidade
de professores e pesquisadores de Física) considera como “saber a ser
ensinado”. Neste trabalho de dissertação, pretendemos analisar a versão
transposta do tópico RCN por livros-textos do ES (ou seja, a didatização
do tópico RCN) e analisar melhor as praxeologias existentes nos cursos
de formação dos professores (termo que será melhor detalhado no
próximo capítulo). Concentraremos a análise em dois livros didáticos do
ES e nos problemas e questões que os estudantes do curso de Física têm
contato.
Como objetivos mais específicos, pretendemos identificar em
apenas um livro-texto sua praxeologia, termo chave na Teoria
Antropológica do Didático (TAD), e categorizar as atividades
(exercícios e tarefas) que os estudantes estão sujeitos em categorias de
análise desenvolvidas para expor mais claramente quais os saberes são
necessários para a realização destas atividades. Também, elaboramos
uma versão didatizada do tema Radiação de Corpo Negro a partir de
referencias bibliográficas escolhidas de maneira pertinente aos nossos
propósitos (que serão discutidos no capítulo 2) com a finalidade de
definir um texto padrão que permita gerar praxeologias que enfatizem
nossa visão de ruptura entre Mecânica Clássica e Mecânica Quântica e
suas consequências. Esta didatização evidencia a ruptura entre a Física
Clássica e a Mecânica Quântica como a mudança no entendimento da
maneira como os sistemas físicos trocam energia entre eles: da maneira
contínua para a maneira quantizada. Podemos, por fim, gerar
comparações entre a didatização proposta e as praxeologias encontradas
na disciplina sob análise.
Para tanto, no Capítulo 1 vamos apresentar o referencial teórico
da Teoria Antropológica do Didático e os componentes da praxeologia
de Chevallard. No Capítulo 2 apresentaremos nossa versão didatizada
do tópico RCN. No Capítulo 3 analisaremos a disciplina Estrutura da
Matéria 1 da UFSC e o livro-texto adotado para ela, ou seja, será
caracterizado o que chamamos de Relação Institucional entre Objeto
Radiação de Corpo Negro e a instituição Disciplina. No Capítulo 4
apresentaremos os resultados, discussões e conclusões da análise.
Sendo assim, assumiremos as seguintes hipóteses:
a) Existe uma maneira tradicional de ensinar RCN, maneira que se
manifesta fortemente nos livros e programas dos cursos de
formação;
22
b) A escolha do livro-texto implica escolha de atividades e tarefas
e formas de avaliação características que variam pouco, embora
não se possa afirmar sobre as ações de diferentes professores;
c) De forma propositada, vamos dar ênfase ao livro-texto, devido
ao seu papel crucial na definição do saber que deve ser
ensinado ao aluno, com sua ligação orgânica com a tradição de
ensino de física e seu papel para aluno e professor,
caracterizando a relação destes com a instituição na reprodução
desta tradição.
O fenômeno didático é um fenômeno ternário envolvendo o
professor, o aluno e o saber. No que concerne ao professor e aluno,
pretendemos caracterizar uma instituição de ensino. O foco no livro-
texto justifica-se, em primeiro lugar, por ter um papel fundamental na
definição, para o aluno, sobre o que é o conhecimento a ser aprendido e,
para o professor, sobre o conteúdo a ser ensinado. Nele residem as
escolhas feitas sobre o valor, a ênfase e o significado que cada conteúdo
tem no contexto da situação didática proposta pelo curso ou disciplina,
isto é, a instituição.
Os livros-textos adotados num número muito grande de
instituições definem os programas e, mesmo, a ementa das disciplinas e
definem até menos critérios de valor com relação aos conteúdos. Além
disso, o nível e a profundidade de alguns cursos são muitas vezes
analisados a partir do livro didático escolhido. É importante frisar que,
embora a subjetividade e as idiossincrasias de professores e das relações
que estabelecem com os alunos sejam de fundamental importância,
nossa análise no momento focaliza a tradição e a instituição. Não se
trata aqui de negligenciar a atividade do professor, mas, sim, de uma
tentativa de caracterizar melhor o papel institucional. Em outro trabalho
talvez possamos analisar as relações, flexibilidades e/ou imposições que
definem o professor, mas acreditamos que nossa análise pode dar bons
indícios sobre o professor enquanto persona institucional, isto é,
caracterizar o conhecimento institucional do professor e o conhecimento
institucional do aluno.
Para tanto, vamos utilizar o referencial teórico da Teoria
Antropológica do Didático, que será tratada em detalhes no próximo
capítulo.
23
1. A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO COMO
REFERENCIAL TEÓRICO
Ao observarmos um médico receitando medicamentos, um
jornalista escrevendo a respeito do universo, um engenheiro atuando
numa linha de produção, um professor ensinando adição, etc., não nos
damos conta que todos ali estão participando socialmente na difusão do
conhecimento matemático através de diferentes grupos. A matemática é
feita de atividades humanas e pode ser produzida, difundida, manuseada,
ensinada, através de uma grande variedade de instituições sociais. Nesse
mesmo contexto, ainda podemos perceber que a receita médica do
século XXI não é a mesma do século XIX, ou seja, os elementos do
conhecimento em geral não podem ser considerados produtos finais
acabados ou eternos. Eles são criados e desenvolvidos por seres
humanos, e sua função varia de acordo com lugares, sociedades e
períodos de tempo (CHEVALLARD, 1989b).
Este panorama exemplifica a posição epistemológica de Yves
Chevallard (1989a, 1999), que situa a atividade de estudar matemática e
seus elementos de conhecimento no conjunto das atividades humanas e
instituições sociais. Para ele, a didática é a ciência da difusão do
conhecimento e das práticas dos grupos humanos. Seja numa sala
escolar ou numa instituição qualquer, a didática visa compreender
melhor os fenômenos de difusão dos “saberes” e do “saber fazer”
humanos, permitindo-nos uma relação menos ingênua e mais armada
desses fenômenos.
A Teoria Antropológica do Didático (TAD) surge como
resposta às críticas sobre a Teoria da Transposição Didática,
estabelecida no livro La Transposición Didáctica: del saber sabio al
saber enseñado (Chevallard, 1991). Nele, Chevallard se refere ao “saber
sábio”, ou apenas ao “saber”, para designar a fonte dos saberes a
ensinar. Desse modo, a crítica de Caillot (1996) aponta para o fato de
que a Teoria da Transposição Didática assume como verdade, ou ponto
de partida, a existência de um único saber ou referência que, não sendo
de uma área específica, poderia ser transposto para outras didáticas
(RICARDO, 2012).
Do ponto de vista da TAD, este problema é contornado quando
Chevallard insere a atividade matemática e, por conseguinte, a atividade
do estudo da matemática, em um conjunto mais amplo de atividades
humanas e de instituições sociais, que podem ser descritas e
caracterizadas por sua praxeologia; noção capital na TAD (RICARDO,
24
2012). Sendo assim, Chevallard (1991) aponta para a possibilidade de
uma antropologia dos saberes e define, para o caso das matemáticas, que
seus objetos seriam as práticas sociais matemáticas ou, mais
propriamente, as práticas sociais com matemáticas, lançando a ideia de
uma teoria antropológica da didática (RICARDO, 2012 – destaque do
autor).
Logo, o fenômeno didático em geral pode ser considerado como
a realização de uma tarefa ou atividade humana, o que atribui a ele o
caráter Antropológico e que possibilita denominar a teoria como
Antropológica do Didático. Deste modo, não é possível compreender a
aprendizagem individual sem compreender a aprendizagem
institucional, ou seja, aquela aprendizagem mediada por uma instituição
social.
Com relação ao termo “didático”: [...] Chevallard questiona agora qual seria o objeto
das didáticas? E responde que seria o didático.
Entretanto, Chevallard (1991) destaca que o
didático não se reduz ao sistema didático. Para o
autor, didático se associa ao termo estudo,
proveniente do grego didaktikos, ou seja, “próprio
à instrução”, “relativo ao ensino”. (RICARDO,
2012, p. 124 – destaques do autor)
Ricardo (2012) ainda destaca que o significado do termo
didático não está explícito em Chevallard (1991). O sentido atribuído
aqui foi extraído de outras publicações do autor. Passaremos a descrever
a TAD com mais detalhes.
1.1 Detalhando a TAD
1.1.1 Objetos, pessoas e instituições
Os principais conceitos da TAD são Objetos (O), Pessoas (X) e
instituições (I). Os objetos (O) são caracterizados como tudo aquilo que
estiver na mira de uma atividade humana ou toda obra que é produto de
uma ação intencional humana. Os saberes, em geral, podem ser
considerados objetos, por exemplo: número, tópico ou conceito
(aparelhos celulares, tablets, conceito de energia, derivadas, Radiação de
Corpo Negro, etc.), até mesmo um sentimento (ansiedade, medo, etc.).
As pessoas (X) são os sujeitos propriamente ditos (um garoto,
estudantes, professor, funcionário, etc.) e as instituições (I) são
organizações que possuem suas próprias regras, métodos, tecnologias e
25
ideias, e que impõem estes últimos a qualquer pessoa (X) que seja
membro dela (CHEVALLARD, 1989a). Por exemplo, tornar-se cientista
é institucionalizar-se, no sentido de que a pessoa submeteu-se a uma
determinada instituição (I‟), a Comunidade Científica, e passou a aceitar
suas condições, ficando de acordo com ela. Nessa teoria, a interação
entre as unidades estruturais acima gera o que denominamos de
“Relação” entre elas.
1.1.2 Relação Institucional e Relação Pessoal
A Relação Institucional é definida como a relação entre a
instituição (I) e o objeto (O). Esta relação é estabelecida quando o objeto
(O) é inserido nessa instituição (I), e passa a fazer parte dela. A partir de
então, de acordo com Chevallard (1989a), as Relações Institucionais
definem o que a instituição (I) faz com um determinado conhecimento,
determinam a finalidade deste, bem como a forma como é trabalhado e
interpretado, quais aspectos do objeto serão mais enfatizados e
priorizados, etc.
Portanto, para Chevallard (1992), nessa abordagem
antropológica, um objeto (O) só vai existir, se for definido ou aceito por
uma determinada instituição (I). Por exemplo, o tópico Radiação de
Corpo Negro é um objeto reconhecido e estabelecido pela instituição
social Comunidade Científica. A partir de então, tal instituição pode
definir, por exemplo, através de um livro didático, qual o significado
desse objeto para ela e quais aspectos do objeto serão enfatizados aos
alunos membros da instituição.
Como sabemos que existem diversos materiais didáticos
produzidos no mercado, cada qual enfatizando determinado aspecto de
um dado saber, é típico da instituição escolher o material que melhor lhe
represente. Este livro didático pertencente à instituição social
Comunidade Científica acaba por caracterizá-la e torna-se uma
manifestação dela. Desta maneira, o livro didático assume também
caráter institucional, e nele estarão presentes as “regras do jogo”, ou
seja, tarefas, exercícios e técnicas que deverão ser apresentadas aos
alunos. Chevallard, Bosch e Gascón (2001) ressaltam que o significado
de tarefa, entendida como ações dos seres humanos, reflete o sentido
antropológico da teoria, logo é planejada e possível de ser realizada,
revelando, com isso, o principal objeto de análise da TAD como sendo o
conjunto de tarefas.
26
A Relação Pessoal é definida como a relação estabelecida
quando um objeto (O) passa a existir dentro da mente individual de uma
pessoa (X), o que significa que esta pessoa (X) conhece este objeto (O),
e passa a ter uma relação pessoal com ele. Segundo Chevallard (1989), a
Relação Pessoal é definida como toda a coleção de conhecimento,
habilidades, percepções e intelecto que uma pessoa (X) possui em
relação a um determinado objeto (O). Numa visão mais ampla: é toda
relação entre o indivíduo e o conhecimento. O conjunto de Objetos (O) que possuem relação com uma
pessoa (X) é denominado de Universo Cognitivo da pessoa (X). Estes
objetos podem ter relação com diferentes instituições (I), e acabam por
definir Universo Cognitivo de maneira ampla, no sentido de que este é
todo o conhecimento que a pessoa possui do mundo. Por exemplo, os
Objetos ( ) de uma determinada pessoa (X) podem ser
“tênis”, “skate” “café” ou “teoria da perturbação”. Analisar
especificamente uma relação entre determinado objeto (O) e a pessoa
(X) é, portanto, entender melhor parte do universo cognitivo desta
última.
Nota-se, então, que, para estabelecer a Relação Pessoal de (X)
com (O), é necessário que (X) esteja situada socialmente. Isso significa
que a relação pessoal se forma sob a influência da instituição (I), da qual
a pessoa (X) faz parte ou está diretamente ligada (CHEVALLARD,
1989). Dessa maneira, quando uma pessoa (X) passa a fazer parte de
uma instituição (I), sua relação pessoal com um dado objeto (O) irá ser
alterada conforme as regras determinadas pela instituição (I), isto é, a
partir da relação institucional de (I) com (O). Consequentemente, o
Universo Cognitivo da pessoa (X) é modificado ou, caso esta pessoa (X)
não possua qualquer tipo de relação com (O), esta relação será criada.
Uma vez estabelecida a Relação Pessoal, (X) passa a adquirir
determinado papel dentro da instituição (I), desempenhando
determinada função e definindo o que chamamos de persona. Como (X)
pode fazer parte de diferentes instituições (I), (X) adquire diferentes
papeis em cada uma delas, com diferentes características, assumindo
uma persona diferente em cada instituição (I). Esta persona então é o
conjunto de relações com vários objetos. E, conclusivamente, a persona
é alterada se a relação pessoal com determinado objeto (O) alterar-se. A
pessoa (X) é o indivíduo invariante, o que muda é a persona.
Nessa teoria, a aprendizagem é definida como sendo a alteração
na relação pessoal entre (X) e (O). Os mecanismos que estabelecem
essas relações pessoais estão ligados às tarefas e atividades que (X)
desenvolve em relação a um determinado objeto (O), conforme as regras
27
da instituição (I). Desta forma, não somente as tarefas, mas também, a
maneira de realizá-las, definem “o que aprender” e “como aprender”.
Assim, é introduzido o conceito de Praxeologia.
1.2 A Praxeologia
Para realizar atividades e tarefas, a TAD leva em conta dois
aspectos complementares da atividade humana: o primeiro é o aspecto
funcional, que pode ser analisado por meio da teoria dos momentos
didáticos (DIOGO et. al. 2007). O segundo é o aspecto estrutural da
atividade. No que diz respeito a este último, Chevallard postula que
todas as atividades humanas desempenhadas regularmente podem ser
descritas através de um modelo único, que recebe o nome de
Praxeologia (CHEVALLARD, 1999). Explicitando melhor, Chevallard,
Bosch e Gascón (2001, p. 251) escrevem: Na atividade matemática, como em qualquer outra
atividade, existem duas partes, que não podem
viver uma sem a outra. De um lado estão as
tarefas e as técnicas e, de outro, as tecnologias e
teorias. A primeira parte é o que podemos chamar
de “prática”, ou em grego, a práxis. A segunda é
composta por elementos que permitem justificar e
entender o que é feito, é o âmbito do discurso
fundamentado – implícito ou explícito – sobre a
prática, que os gregos chamam de logos.
Primeiramente, a praxeologia propõe que as atividades humanas
seguem um roteiro para serem realizadas: uma tarefa deve ser cumprida
e, para tanto, uma técnica deve ser utilizada. Esta técnica é justificada
por uma tecnologia, que por sua vez é fundamentada por uma teoria
mais geral. Por exemplo, um estudante de física que cursa a disciplina
Estrutura da Matéria 1 e está diante do tópico Radiação de Corpo Negro
deverá desempenhar tarefas para que possa criar relação pessoal com
este objeto em estudo. Tais tarefas, que podem ser agrupadas em tipos
de tarefas, são, na maioria das vezes, encontradas nas provas e testes
aplicados durante a disciplina. Para que as tarefas sejam cumpridas,
determinadas técnicas serão utilizadas. O que garante a validade da
técnica é um discurso fundamentado, uma tecnologia, que justifica o uso
de determinada técnica. Esta tecnologia é encontrada no livro-texto da
disciplina, e será lida pelo estudante. Ela só possui garantia porque uma
teoria mais geral a fundamenta, uma vez que, para adquirir um
conhecimento completo de todo o trabalho realizado, é importante que a
28
teoria, tecnologia, técnica e tarefa sejam bem compreendidas pelo
estudante ou leitor. Um exemplo prático será descrito em detalhes mais
adiante.
Um segundo aspecto a ser considerado é que, apesar de a TAD
ter sido criada no campo da didática da matemática, tomando como base
a citação de Chevallard, Bosch e Gascón (2001, p. 251), podemos
estendê-la a outras atividades humanas e áreas do conhecimento, como a
física, a química, a biologia, entre outras. Portanto, o fenômeno didático,
enquanto atividade humana, também pode ser decomposto em tipos de
tarefas, técnicas, tecnologias e teorias.
1.2.1 Os constituintes da praxeologia
A seguir, a figura 1 exemplifica os constituintes básicos da
praxeologia.
Figura 1: Esquema que representa os constituintes básicos da praxeologia e
resume brevemente seus significados para a TAD.
Fonte: (KURNAZ ; ARSLAN, 2009, p.75)
29
1.2.1.1 O Bloco prático
Vamos explicar um pouco melhor os constituintes básicos da
praxeologia. Designamos tarefas por ( ), e estas podem ser agrupadas
em determinados tipos de tarefas, designados por ( ). Na maioria dos
casos, uma tarefa (e um tipo de tarefa associado a ela) se expressa por
um verbo: limpar o quarto, interpretar o texto, subir uma escada,
calcular a intensidade máxima no pico de emissão, etc. Um tipo de
tarefa representa um grupo de atividades bastante preciso. Subir uma
escada é um tipo de tarefa, mas subir, simplesmente, não é. Da mesma
maneira, calcular a intensidade máxima no pico de emissão é um tipo de
tarefa, mas calcular, simplesmente, é o que se denomina um gênero de
tarefas, que necessita de um complemento (CHEVALLARD, 1999).
Ainda conforme Chevallard (1999), tarefas, tipos de tarefas e gêneros de
tarefas são construções institucionais.
Como exemplo, considere o exercício a seguir, conforme Diogo
et. al. (2007): Dois automóveis A e B percorrem a mesma reta no mesmo
sentido com velocidades e . Num
determinado instante, A está 100 m atrás de B. Determine a posição e o
instante em que A alcança B. Este exemplo é uma tarefa ( ) a ser
realizada e ele se enquadra num tipo de tarefa ( ) bastante direta:
determinar a posição e o instante de encontro de dois móveis.
A fim de realizar corretamente as tarefas ( ) pertencentes a ( ),
deve-se determinar uma maneira para tal. Esta maneira recebe o nome
de técnica (do grego tekhnê, saber fazer), designada por ( ) (CHEVALLARD, 1999). Portanto, a praxeologia possui um bloco
prático, o “saber fazer”, onde cada tipo de tarefa ( ) possui ao menos
uma determinada maneira de ser realizado. Esta determinada maneira
não é única, sendo possível priorizar técnicas mais eficientes e
superiores que outras para a execução de ( ); prioridade que depende
fortemente da instituição (I) onde ( ) está contido.
Voltando ao nosso exemplo, uma técnica ( ) que possibilita
realizar tarefas pertencentes ao tipo de tarefa ( ) pode ser escrita
seguindo, respectivamente, as etapas:
1) Escrever as funções horárias (posição em função do tempo) dos
dois móveis;
2) Igualar as funções horárias para determinar o instante do
encontro;
30
3) Substituir o valor obtido para o instante do encontro em uma
das funções horárias, para obter a posição de encontro.
Esta técnica não é a única que pode ser utilizada. Como escrito
em Diogo et. al (2007), outra técnica ( ) que permite resolver esse tipo
de tarefa ( ) consiste nas etapas:
1) Escrever as funções horárias dos dois móveis;
2) Traçar um sistema cartesiano no qual o eixo das ordenadas
representa a posição, e o eixo das abscissas, o tempo;
3) Construir o gráfico das duas funções horárias;
4) Determinar o ponto de interseção das duas retas, obtendo-se a
posição e o instante do encontro.
Notemos que cada técnica possui sua diferença, sendo a técnica
( ) desenvolvida com ajuda de equações, enquanto a técnica ( )
prioriza a construção de gráficos no plano cartesiano. Cada uma exige
conhecimentos distintos por parte do aluno que a utiliza, portanto, cada
uma pode gerar interpretações diferentes do mesmo problema. Fica claro
que a escolha de uma determinada técnica por parte da instituição (I)
acaba delimitando o que o aluno vai aprender.
1.2.1.2 O bloco Teórico
A tecnologia, representada por ( ), é o discurso que justifica
racionalmente a técnica ( ), mostra o porquê de ela estar correta. A
tecnologia compõe o bloco do saber (logos), e fica a critério de cada
instituição (I) determiná-la. Geralmente, uma instituição (I) adota uma
única tecnologia (CHEVALLARD, 1999).
Em nosso exemplo, uma tecnologia possível, a tecnologia ( ), que permite justificar e explicar a técnica ( ) pode ser descrita,
conforme Diogo et. al (2007, p.5), da seguinte maneira: a função horária da posição em função do tempo,
de um objeto que se move em trajetória retilínea
com velocidade constante é dada por: ( ) , onde: ( ) é a posição do objeto num
instante , em relação à origem do sistema de
referência adotado; é posição inicial do objeto,
em relação à origem do sistema de referência
adotado; é a velocidade do móvel. Dois objetos
se movendo em uma mesma direção se
31
encontrarão, ou seja, ocuparão a mesma posição,
quando suas funções horárias forem iguais:
( ) ( ). Ao se igualar as duas funções
determina-se um valor para a variável
independente , que revela o instante do encontro.
A posição do encontro é determinada pela
substituição do valor encontrado para o instante
do encontro em qualquer das funções horárias.
O outro componente do bloco do saber é a teoria, representada
por ( ). Esta passa a ser um nível superior de justificação-explicação-
produção, que adquire, em relação à tecnologia, o papel que esta última
tem em relação à técnica. No geral, a teoria possui enunciados teóricos
que aparecem frequentemente como “abstratos”, muito diferentes das
simples preocupações técnicas ou tecnológicas. Este efeito de abstração
possibilita a grande generalidade dos enunciados teóricos e sua
capacidade para justificar, para explicar, para produzir
(CHEVALLARD, 1999). A teoria que explica e justifica a tecnologia
é a Mecânica Clássica de Newton, sintetizada nas Leis de Newton,
das quais podemos derivar a equação horária da posição de um móvel
em movimento retilíneo e uniforme num referencial inercial.
1.3 Os principais elementos da TAD para este trabalho e a
praxeologia como possibilidade de pesquisa
Uma instituição é definida pelo conjunto de tarefas, técnicas,
tecnologias e teorias que adota, isto é, a sua praxeologia ou conjunto de
praxeologias. A princípio, podemos definir a Física Moderna como uma
grande instituição ( ), que possui suas determinadas organizações
praxeológicas. Paralelamente, podemos olhar para uma instituição ( )
diferente, a Disciplina Estrutura da Matéria 1 da UFSC, que tem por
característica o ensino daquelas praxeologias de ( ). A instituição ( )
teve sua origem na instituição ( ), a Física moderna, ou mais
pontualmente, a Física da Radiação de Corpo Negro, da qual ( ) foi
objeto de transposição.
Neste trabalho de dissertação, os três principais elementos da
Teoria Antropológica do Didático são definidos da seguinte forma:
Instituição ( ) Disciplina Estrutura da Matéria 1 da
Universidade Federal de Santa Catarina;
Objeto (O) Tema Radiação de Corpo Negro;
32
Pessoas (X) Estudantes de Física cursando Estrutura da
Matéria 1 da Universidade Federal de Santa Catarina;
Nessa perspectiva, a relação institucional é expressa ou
manifesta-se a partir do livro-texto da disciplina, das atividades
propostas por ele, das listas de exercícios e, principalmente, das provas
de avaliação. Estes são elementos de institucionalização e acabam por
definir o que o estudante deve saber com relação ao conteúdo proposto.
Essas atividades e a maneira como executá-las constituem as regras e os
valores da instituição ( ), ou seja, são a Relação Institucional entre a
instituição Disciplina Estrutura da Matéria 1 da Universidade Federal de
Santa Catarina e o objeto Radiação de Corpo Negro.
Uma vez colocado este panorama, é possível identificarmos
quais modificações ocorreram na transposição do conjunto de
praxeologias da instituição ( ) Física da Radiação de Corpo Negro, tal
qual ocorreu na sua construção histórica, para a instituição ( )
disciplina Estrutura da Matéria 1. Tais modificações podem ser
identificadas através de uma análise epistemológica e didática, nos
termos de Chevallard (1991), das praxeologias da instituição ( ) em
comparação com as praxeologias de ( ). Usando o referencial da TAD,
nossa investigação referente às praxeologias de ( ) é guiada pelas
seguintes questões: quais são os tipos de tarefas ( ) presentes nas
atividades que envolvem o tópico RCN? Elas têm a mesma natureza que
os tipos de tarefas ( ) referentes a outros conteúdos tradicionais? Quais
os componentes do modelo praxeológico são mais enfatizados num
livro-texto da disciplina que visa trabalhar RCN?
Como um último comentário, é importante pontuar que, a partir
do momento em que um professor, inserido na disciplina Estrutura da
Matéria 1 da Universidade Federal de Santa Catarina passa a trabalha
com um livro didático proposto, ele está aceitando quais são as
prioridades, métodos e interpretações do objeto RCN propostos pela
instituição disciplina. Assim, o sujeito professor é momentaneamente
tirado do foco da análise. Indiretamente, estamos penetrando na forte
tradição educacional que uma instituição (I) cria ao longo do tempo, o
que possibilita uma reflexão crítica acerca desta tradição, e somos
levados a questionar acerca da capacidade da instituição disciplina
formar professores completos, que trabalham os diferentes pontos de
vista da ciência, inclusive a Ruptura entre as Físicas Clássica e
Mecânica Quântica. No próximo capítulo, definiremos com clareza o
termo “ruptura”.
33
2. O CONTEXTO DA RUPTURA ENTRE A FÍSICA CLÁSSICA E
A MECÂNICA QUÂNTICA
Neste capítulo, desenvolvemos um texto cujos pontos principais
caracterizam de forma fidedigna o trabalho de caráter fenomenológico
do físico alemão Max Planck (1858 - 1947) e aspectos relevantes da
Física Clássica e Mecânica Quântica associados ao fenômeno da
Radiação de Corpo Negro (RCN). A construção deste texto e o registro
do mesmo dentro desta dissertação tem um papel metodológico
importante para a investigação e análise. A análise dentro do referencial
da TAD enfatiza as escolhas de técnicas, tecnologias e teorias na
praxeologia didática, o que indica que a análise de um dado fenômeno
didático não se encerra em si mesma, pois necessita também da
contextualização das escolhas e implica situar estas escolhas dentro de
finalidades didáticas e pedagógicas. O problema da RCN é um tema
associado à construção dos conceitos que levaram à Mecânica Quântica,
é um momento onde se toma consciência da necessidade de uma nova
física, é um momento, portanto, de ruptura. Usualmente a grande
justificativa deste tema se baseia nos argumentos acima. As escolhas
praxeológicas deveriam então brindar estes aspectos, e a análise da
praxeologia deve também levar isto em conta. O texto escolhido vai ter,
assim, um papel metodológico.
Alguns critérios foram utilizados na escolha do texto: o livro de
Longair (1986) contextualizou historicamente as perguntas centrais da
física da época que envolvem o problema da RCN. O texto desenvolve
com a profundidade necessária as várias técnicas, tecnologias e teorias
(termodinâmica e eletromagnetismo) empregadas no ataque a estas
questões; trata com o devido cuidado histórico as ligações entre
problemática de Planck e os problemas de sua época; enfatiza as
questões do contexto da ruptura e, numa linguagem moderna, discute de
forma didática os conhecimentos necessários para que alunos possam
compreender que o problema central reside na compreensão do
equilíbrio térmico da radiação em corpos aquecidos e na maneira como
a energia é compartilhada diferentemente da esperada em sistemas
clássicos. Portanto, o texto não pretende ser a expressão histórica nem a
reprodução dos textos científicos que historicamente contribuíram para
as conclusões de Planck. Ao invés disso, ele é uma versão já didatizada
do momento histórico e dos desenvolvimentos científicos que levaram à
conclusão de Planck sobre a existência de uma classe de objetos que não
se adequavam ao tratamento clássico. Em resumo, a escolha específica
34
desse livro-texto justifica-se em função de observarmos nele a presença
das características principais que norteiam a nossa análise segundo a
TAD: contextualização histórica, exposição clara de todas as técnicas,
tecnologias e teorias envolvidas no problema Radiação de Corpo Negro,
contextualização da ruptura quântica.
Além disso, o texto é uma espécie de modelo no sentido físico
do termo, isto é, ele tem uma idealização do objeto a ser analisado e,
como todo modelo, é obviamente uma aproximação que tem como
função guiar a investigação sobre o objeto. Portanto, não estamos
propondo que o texto de Longair (1986) seja uma proposta didática
ideal, e nem que seja o único modelo. Na literatura, outros textos
poderiam ser utilizados para a construção deste referencial de análise2.
Mas consideramos que o conteúdo de Longair (1986) nos dá os
instrumentos adequados e suficientes para fazer a análise proposta.
Logo, enfatizamos que, metodologicamente, este texto funciona como
ferramenta de análise, onde, a partir dele, descrevemos organizações
praxeológicas da instituição ( ) Física da Radiação de Corpo Negro,
associadas ao trabalho de Planck e de Rayleigh e Jeans, que dão atenção
aos momentos de ruptura na construção do conhecimento científico,
criando, assim, critérios, a partir dos quais pudéssemos, depois, realizar
uma comparação entre este texto e a análise das praxeologias da
instituição ( ) disciplina Estrutura da Matéria 1.
A RCN é um tópico dentro dos primeiros cursos de Física
Moderna que tratam das origens da Mecânica Quântica. A problemática
em torno da RCN e suas discrepâncias com as teorias e conhecimento
físico da época manifestam as limitações da Física Clássica, e apontam
para a necessidade de uma nova teoria, sendo que o problema da RCN é
um dos pontos mais significativos na ruptura entre Física Clássica e a
Mecânica Quântica. Existe uma classe de fenômenos, estudos,
experimentos e evidências espalhadas ao longo de anos que
caracterizam em definitivo uma determinada ruptura entre a Física
Clássica e a Mecânica Quântica. Sabemos que o trabalho de Planck e a
consequente quantização da energia não estabelecem de início uma
ruptura ou quebra de paradigma na maneira de pensar ou fazer física da
época, o que ainda levou anos para a aceitação por parte da comunidade
científica e até mesmo do próprio Planck. Vamos utilizar o termo
2 Podemos citar como exemplos: artigos originais de Planck; Blackbody Theory
and the quantum discontinuity - 1894-1912, de Thomas Khun; Quantum
Mechanics - volume1, de Shin'ichiro Tomonaga; Física Atômica, de Max Born,
entre outros.
35
ruptura neste trabalho no sentido de apontar a mudança na maneira de
descrever como os sistemas físicos absorvem e emitem energia, ou seja,
como a energia destes sistemas varia: num sistema mecânico clássico, a
troca de energia ocorre continuamente, enquanto que em sistemas físicos
quânticos (átomos e moléculas), a variação de energia ocorre
discretamente em porções de energia bem definidas, ou quantas de
energia. Este apontamento mistura-se a uma classe de outros fenômenos
que caracterizam um momento de ruptura ou contexto de ruptura muito
maior e que, para nossos propósitos, não se encontram descritos aqui.
Assumimos esta visão de ruptura por ela ser uma das diferenças mais
profundas entre a Física Clássica e a Mecânica Quântica e possibilitar
uma ampla discussão conceitual em diversas áreas da Física.
Nos cursos e livros didáticos, na apresentação deste tema, este
momento de ruptura é enfatizado. Destacamos a seguir pequenos
fragmentos introdutórios de alguns livros-textos: Eisberg e Resnick
(1994), Longair (1986) e Tipler e Llewellyn (2008): “[...] as repetidas contradições com as leis
clássicas nos mostrará a necessidade da mecânica
quântica [...]” (EISBERG; RESNICK, 1994, p.
19).
“[...] esta é uma das passagens mais maravilhosas
da história intelectual [...] Nós vamos encontrar
um contraste impressionante entre as coisas que
podem ser provadas classicamente e aquelas que
são necessariamente quânticas em essência.”
(LONGAIR, 1986, p. 171 e 172).
“[…] já havia rachaduras vexatórias na fundação
do que hoje chamamos de física clássica [...] o
fracasso da teoria para explicar o espectro de
radiação emitida por um corpo negro e os
resultados inexplicáveis da experiência de
Michelson-Morley. Na verdade, a ruptura da física
clássica ocorreu em diversas áreas [...]” (TIPLER;
LLEWELLYN, 2008, p. 2).
Como ficará evidente ao final do capítulo, a escolha das
referências na construção do texto amplia sensivelmente a teoria ( ) por
trás de possíveis futuras didatizações do tópico RCN, o que possibilita
diversificar tarefas ( ) e estabelecer diferentes técnicas (τ) e tecnologias
( ) para executá-las. Com isso, pode-se criar praxeologias que
enfatizem os momentos de ruptura na construção do conhecimento
científico; auxilie na compreensão dos modelos e idealizações em física;
mostrem a natureza do trabalho científico, a importância do debate de
36
ideias, o fato de uma teoria não nascer “da noite para o dia”; evidenciem
a integração das diferentes áreas da física e ajudem na superação da
visão ingênua de linearidade da ciência. Conclusivamente, acreditamos
que, durante a formação do professor, é importante que ele tenha contato
com didatizações desta natureza, contribuindo com uma possível
vigilância epistemológica dentro de seus limites. A versão didatizada
deste capítulo receberá a nomenclatura de “Contexto da Ruptura”. O
Contexto da Ruptura traz o conceito de Corpo Negro segundo a
construção cronológica, desde os primeiros pesquisadores a atacarem o
problema até os passos de Max Planck para o desenvolvimento de sua
teoria e a descoberta da quantização da energia.
2.1 O contexto da Ruptura
2.1.1 O congelamento dos graus de liberdade.
Historicamente, o prelúdio de uma Ruptura surge pela primeira
vez com o problema do “congelamento dos graus de liberdade”. Tal
problema é de suma importância, pois é onde nos deparamos, pela
primeira vez, através dos reflexos dinâmicos da estrutura molecular
sobre os calores específicos, uma indicação clara de que a mecânica
clássica deixa de ser aplicável no domínio atômico (NUSSENZVEIG,
2002).
Podemos descrever classicamente os gases como minúsculas
partículas esféricas idênticas em constante movimento para todas as
direções. A descrição detalhada da teoria cinética dos gases pode ser
encontrada em Nussenzveig (2002), volume 2, capítulo 11, página 237.
A partir de um tratamento estatístico num gás contido dentro de um
pistão, é possível concluir que a energia cinética média ⟨ ⟩ de uma
molécula desse gás é dada por
⟨ ⟩, onde é a massa da partícula e
⟨ ⟩ é a média de sua velocidade ao quadrado nas três direções
espaciais. Inicialmente, para um modelo simples de um gás
monoatômico, a única forma de energia expressa pelo gás seria a energia
de translação, ou seja, sua energia cinética. Logo, é possível
escrevermos a energia cinética média total do gás de partículas
( de partículas) como sendo sua energia interna :
⟨ ⟩
⟨ ⟩ (2.1)
37
Por outro lado, consideremos a 1ª Lei da Termodinâmica e a 2ª
Lei da Termodinâmica:
1ª Lei: (2.2)
2ª Lei:
(2.3)
Onde é uma quantidade de calor infinitesimal fornecida ao
sistema num processo reversível à temperatura , é uma variação
infinitesimal da entropia do sistema, é a pressão do gás mantida
constante e é a variação infinitesimal do volume do gás, de tal forma
que é o trabalho realizado pelo gás numa transformação
reversível. Para mais detalhes, vide Nussenzveig (2002), volume 2,
capítulo 10, páginas 222 e 223.
Essas Leis podem ser combinadas da seguinte maneira:
(2.4)
A função entropia é uma função de estado, o que significa
dizer que, para um fluido, cujo estado é definido por qualquer par das
variáveis ( , e ), podemos considerar como função de qualquer um
desses pares: ( ); ( ); ( ). Também
consideramos a expressão para a pressão do gás em função da energia
interna , cuja demonstração pode ser encontrada em Nussenzveig
(2002), volume 2, capítulo 11, página 244:
(2.5)
Utilizando-se as expressões (2.5) na expressão (2.4):
(2.6)
A energia interna do gás é função apenas da temperatura ,
de tal forma que podemos escrever:
( ) (2.7)
(2.8)
38
Assim, utilizando (2.8), reescrevemos (2.6) da seguinte forma:
(2.9)
Como é função apenas de ( ), também podemos escrever:
(
) (
) (2.10)
Comparando agora a expressão (2.9) com a expressão (2.10),
chegamos à conclusão que:
(
)
( )
e
(2.11)
Notemos, em relação à expressão acima que
não depende de
. Como as operações de derivação parcial em relação a e a são
independentes, podemos aplicá-las em qualquer ordem na função :
(
)
(
) (2.12)
Mas, como
não depende de , o lado esquerdo de (2.12)
resulta em zero (derivada de uma constante). Portanto, podemos
escrever a partir de (2.12) e (2.11):
(
)
(
( )
)
(
( )
) (2.13)
Portanto, a expressão entre colchetes representa uma constante.
Como ( ), para uma dada temperatura T, tem o mesmo valor para
todos os gases, concluímos que essa constante é uma constante universal:
(2.14)
39
Escrevendo
e utilizando (2.1), temos:
⟨ ⟩
(2.15)
Onde é a constante de Boltzmann ( ⁄ ) e a
temperatura absoluta do gás no recipiente. Esta última expressão fornece
uma interpretação microscópica da temperatura absoluta, como medida
da energia cinética média de translação das moléculas de um gás ideal.
Podemos calcular então a capacidade térmica de um gás ideal
monoatômico em volume constante e em pressão constante
através das expressões:
e (2.16)
Isso resulta em
e
. Experimentalmente,
quando determinados os calores específicos e, consequentemente, a
capacidade térmica de um gás diatômico, os valores encontrados são
maiores que os deduzidos acima, mostrando claramente que, além de
energia cinética de translação, deve-se levar em conta outras
contribuições à energia das moléculas.
Segundo um teorema fundamental da mecânica estatística
clássica, o Teorema da Equipartição de Energia, numa situação de
equilíbrio térmico à temperatura T, a energia média associada a cada
grau de liberdade é igual a
por molécula. Por “grau de liberdade”
entende-se “maneiras de um sistema utilizar a energia”. Por exemplo, a
energia de translação (visto que uma molécula pode transladar pelas 3
coordenadas espaciais) é
, ou seja, a partícula
pode ter velocidade (energia cinética) em cada dimensão espacial. Caso
a molécula seja diatômica (forma de halter), ela pode rodar em torno de
mais dois eixos (exceto seu próprio eixo – partículas pontuais), e a
energia de rotação será
. Caso a distância entre os
átomos da molécula diatômica se modifique, como presos a uma mola, temos aí mais dois graus de liberdade (um termo cinético e outro
potencial), e a energia total da vibração será
.
40
Figura 2: Possíveis movimentos de uma molécula diatômica: (a) movimento de
translação do centro de massa, (b) movimento de rotação ao redor de vários
eixos, e (c) movimento de vibração ao longo do eixo molecular.
Fonte: disponível em Kshitij Education India Private Limited.
Podemos utilizar estes resultados para calcularmos os calores
específicos de moléculas monoatômicas, diatômicas e poliatômicas, uma
vez que os calores específicos se relacionam com a energia total do gás
e, consequentemente, com os graus de liberdade. Segundo a teoria,
moléculas monoatômicas deveriam apresentar
e
.
Moléculas diatômicas rígidas, que transladam e giram como halteres,
deveriam apresentar
e
, moléculas diatômicas com
vibração
e
, e moléculas poliatômicas e
. Para sólidos, cujo modelo do arranjo atômico assume átomos
presos a uma rede cristalina ocupando posições bem definidas, a energia
térmica estaria associada a pequenas vibrações dessas partículas em
torno da posição de equilíbrio. Como há 3 direções independentes de
oscilação para cada partícula, teríamos de energia total de vibração,
o que ocasionaria (Lei de Dulong e Petit).
Deveríamos esperar que uma mínima variação de temperatura,
ou seja, o mínimo aumento de energia fosse distribuído igualmente para
todos os graus de liberdade do sistema, o que ocasionaria valores de
e constantes para qualquer temperatura, e todos os graus de liberdade
estariam contribuindo e absorvendo igualmente a energia fornecida.
Portanto, segundo o Teorema da Equipartição e as leis clássicas, a taxa
de variação da energia de um corpo com a temperatura deveria ser uma
constante, dependendo apenas do número de graus de liberdade.
No entanto, na faixa de baixas energias, ou seja, na região de
temperaturas muito baixas, o que se observa é que, conforme
aumentamos a temperatura, somente alguns graus de liberdade são
acionados, isto é, recebem energia. Os demais permanecem
“congelados”, e passam a se manifestar a partir de uma temperatura
41
maior. Fica evidente que a maneira como o sistema absorve energia do
meio não obedece à descrição clássica.
Figura 3: Gráfico do calor específico molar do hidrogênio em função da
temperatura. A escala horizontal é logarítmica e o gráfico mostra claramente os
graus de liberdade “acionados” conforme há aumento de temperatura.
Fonte: (KITTEL, 2006).
Figura 4: Gráfico do calor específico molar do Silício e Germânio (sólidos) em
função da temperatura. Pela lei de Dulong-Petit, deveríamos esperar um valor
constante para o calor específico, mas observamos que, em baixas temperaturas,
o calor específico tende a zero.
Fonte: (KITTEL, 2006).
Maxwell foi provavelmente o primeiro a perceber este
problema; numa conferência que deu em 1869, referindo-se a ele nesses
42
termos: “Apresentei-lhes agora o que considero a maior dificuldade até
hoje encontrada pela teoria molecular” (NUSSENZVEIG, 2002). A
explicação deste fenômeno só veio a ser fornecida pela mecânica
quântica, mais precisamente, quantização da energia e os trabalhos de
Planck. O problema com os graus de liberdade internos das moléculas
(vibração e rotação) indica que os corpos absorvem energia de maneira
diferente da apregoada pela física clássica, apontando para uma
anomalia. Este episódio é a primeira evidência clara de que a mecânica
clássica não consegue explicar fenômenos de natureza microscópica.
2.1.2 O corpo Negro de Kirchhoff
O estudo da Radiação de Corpo Negro teve origem com os
trabalhos de Gustav Kirchhoff (1824 – 1887). Amparado pelas leis da
Termodinâmica, Kirchhoff formula uma lei que relaciona a emissão e
absorção de radiação por corpos em geral e, no inverno de 1859 e 1860,
anuncia resultados importantes (KUHN, 1978). Aqui será descrita uma
linha de raciocínio que nos leva às conclusões de Kirchhoff. Apesar de
ele ter interpretado a energia irradiada e absorvida por um corpo na
forma de ondas de calor, conceito não mais aceito hoje, ele as trata com
características semelhantes à luz, o que faz seus resultados concordarem,
depois de 30 anos de suas publicações, com os resultados de Maxwell e
Hertz.
Imagine o corpo extenso (1) que possui uma cavidade em seu
interior mantido a certa temperatura T. Colocamos então um corpo (2)
com temperatura diferente de T no interior dessa cavidade, conforme
figura 5.
Figura 5: Representação de um corpo (2) no interior da cavidade oca de um
corpo (1).
Fonte: arte do autor
43
Este corpo (2) irá absorver a energia originada da radiação no
interior da cavidade e irá se aquecer até alcançar uma temperatura de
equilíbrio. Em equilíbrio, o corpo deve continuar absorvendo energia da
radiação incidente, mas também deverá emitir radiação no mesmo
passo, pois só assim ele se manterá em equilíbrio, isto é, com a mesma
temperatura. Se o corpo (2) estiver a uma temperatura maior, ele irradia
mais energia que absorve. Logo, ambos os corpos (1) e (2), na mesma
temperatura T, emitem energia na mesma taxa que absorvem. Baseado
na Termodinâmica, caso não haja influência externa, o equilíbrio será
mantido.
O corpo (2) no interior da cavidade está imerso na radiação da
cavidade. Esta radiação tem sua energia distribuída pelas ondas
eletromagnéticas de várias frequências e intensidades. Portanto, sobre o
corpo (2) incide um fluxo de energia por unidade de área que é função
dos diferentes comprimentos de onda e da temperatura T, dado por
( ). Para um corpo qualquer, uma fração da energia é absorvida,
parte pode ser refletida e/ou transmitida sem ceder energia para o corpo.
O corpo por sua vez, na medida em que aquece, emite radiação térmica.
Por outro lado, quando este corpo alcançar o equilíbrio térmico, ele
deverá emitir tanta radiação quanto a que ele absorve. Se definirmos o
fluxo de energia emitida como , o equilibrio entre emissão e absorção
deve se estabelecer para cada componente da luz, isto é, para cada
frequência . Portanto, podemos escrever ( ). Se supusermos que outro corpo (3) feito de outro material está
agora imerso na cavidade no lugar do corpo (2) e absorve mais devido
às características de sua composição química, ele consequentemente tem
que emitir mais para que se estabeleça o equilíbrio. Portanto, a razão
entre emissão e absorção de energia por um corpo não pode depender
das características do material que o compõe, somente da temperatura
em que se encontra, caso queiramos obedecer à Segunda Lei da
Termodinâmica. Assim, para dois corpos 1 e 2 quaisquer, temos
sempre:
( ) (2.17)
Isso mostra que a função ( ) vale para qualquer material e é
portanto universal. Para o caso em que um corpo é perfeitamente negro,
ou seja, absorve toda radiação que nele incide, teremos , e a
emissão do corpo tomará a forma da função ( ). Portanto, esta
44
função universal descreve como a Intensidade se distribui para cada
comprimento de onda, isto é, ( ) dá a distribuição da energia por
comprimento de onda, ou a Intensidade por comprimento de onda, numa
dada temperatura, que é emitida por um corpo negro. É importante
observar que um corpo negro é também, quando em equilíbrio térmico,
um emissor perfeito. Kirchhoff também notou que, se um corpo negro
possui uma cavidade com um pequeno orifício que se comunica com o
meio externo, a intensidade da radiação que sai por este buraco pode ser
observada e pode-se, assim, obter experimentalmente a função ( ) no equilíbrio. Esta radiação deve ter a forma da distribuição de corpo
negro.
Figura 6: corpo negro cuja cavidade se comunica com o meio externo por um
orifício minúsculo que deixa escapar a radiação da cavidade. Esta radiação deve
possuir a forma da distribuição de um corpo negro.
Fonte: arte do autor
Portanto, Kirchhoff deu aos físicos um objeto hipotético (corpo
negro) e um experimento hipotético (irradiador de cavidade) que pode
ser usado para estudar o espectro de emissão de um corpo negro. Ele
também notou que uma descrição matemática completa deste espectro
deveria guiar a um entendimento profundo sobre o equilíbrio
termodinâmico da radiação.
2.1.3 A Lei de Stefan-Boltzmann
O primeiro passo para o entendimento da radiação emitida por
um objeto ao ser aquecido surge dos trabalhos de Joseph Stefan (1835 -
1893), com a lei empírica de Stefan, de 1879. Esta lei diz que a
densidade de energia total emitida por um objeto a cada segundo é
proporcional à temperatura elevada à quarta potência:
45
(2.18)
Em 1884, Ludwig Eduard Boltzmann (1844 - 1906) deduz a
mesma expressão através de considerações da termodinâmica clássica.
Em seu modelo, um recipiente de volume que possui uma parede
móvel na forma de pistão é preenchido por radiação eletromagnética.
Este “gás” de radiação, mantido à pressão constante , recebe uma
quantidade de calor do ambiente, sofrendo uma variação de energia
interna e expandindo de um volume . Conforme a 1ª Lei da
Termodinâmica:
(2.19)
Rearranjando esta expressão para introduzirmos a variação da
entropia
, temos:
(2.20)
Dividindo ambos os lados de (2.20) por , temos:
(
) (
) (2.21)
Consideremos também uma das Relações de Maxwell (o leitor
mais interessado pode encontrar em Longair (1986), páginas 149 e 150,
a dedução desta relação):
(
) (
) (2.22)
Com isso, podemos escrever a equação que relaciona a pressão
do “gás” eletromagnético à temperatura contido no volume com a
energia interna (equação de estado do “gás” eletromagnético)
substituindo (2.22) em (2.21):
(
) (
) (2.23)
46
Boltzmann pode relacionar a pressão que a radiação causa ao
chocar-se com as paredes de um recipiente à energia total dessa
radiação. Esta relação é deduzida a partir das equações de Maxwell
quando partimos do modelo de uma caixa quadrada cujas paredes
internas refletem a radiação. Ao ser refletida, esta radiação “empurra” as
paredes, o que causa o efeito de pressão. Esta passagem é feita em
detalhes em Longair (1986), página 175 até 182, e pode-se mostrar que a
soma das densidades de energia das ondas refletidas e incidentes
unidimensionais entre duas placas condutoras, isto é, a densidade de
energia total da radiação, é igual à pressão exercida na parede:
(2.24)
Expressão válida para o caso unidimensional (uma onda que se
propaga em ). No caso tridimensional, cada coordenada recebe de
energia. A pressão total então é , e, ao longo de , temos:
(2.25)
Note que, para esta dedução, utilizamos argumentos do
eletromagnetismo e termodinâmica clássicos. Utilizando e
(2.25) na expressão de Boltzmann (2.23), encontramos:
( (
)
)
( ( )
)
(2.26)
Precisamos resolver esta equação a fim de determinar ( ). Podemos rearranjar (2.26) da seguinte maneira:
(
) (
( )
)
(2.27)
(
) (
)
(2.28)
(
)
(2.29)
(
)
(2.30)
47
(
)
(2.31)
(2.32)
Quando resolvida, chegamos à relação:
( ) ( ) (2.33)
(2.34)
Esta lei foi vista com pouca credibilidade até 1897, quando
experimentos cuidadosos corroboraram sua validade (LONGAIR,
1986). Mesmo assim, até este ponto, o espectro de emissão do corpo
negro não era inteiramente conhecido. Uma expressão que descrevesse
qual a densidade de energia do espectro em função dos comprimentos de
onda da luz emitida pelo corpo aquecido, ( ), ainda não era
conhecida. É de se pensar que os argumentos termodinâmicos e
eletromagnéticos permitem descrever perfeitamente essa função, uma
vez que Boltzmann obteve sucesso em sua análise baseado nessas duas
áreas da física. Wilhelm Wien também utilizará de argumentos
termodinâmicos e eletromagnéticos clássicos na tentativa de encontrar
uma função que relacione a energia irradiada pelo corpo negro para cada
frequência de radiação emitida.
2.1.4 Lei de Deslocamento de Wien
O trabalho de Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien
(1864 - 1928) foi publicado em 1894, e assume papel crucial no
desenvolvimento da teoria do corpo negro. Como dito anteriormente,
Wien mistura eletromagnetismo e termodinâmica para atingir seus
resultados. Ele ataca o problema inicialmente, imaginando o que
acontece com um gás de radiação se ele for expandido adiabaticamente
dentro de uma cavidade esférica de raio . A expansão adiabática sugere
que não está havendo trocas de calor com o meio externo, logo a
temperatura da cavidade e, consequentemente a temperatura da radiação,
permanecem em equilíbrio termodinâmico à temperatura .
Utilizando a equação de estado de Boltzmann (2.23), agora com
, e a lei de Stefan-Boltzmann, concluímos que a temperatura do
gás é inversamente proporcional ao raio: quanto maior o raio da
48
cavidade, menor a temperatura do gás de radiação. O leitor mais
interessado pode encontrar essa discussão mais detalhada em Longair
(1986), páginas 182 e 183. A consideração anterior é possível se
assumimos uma cavidade que expande muito pouco:
(2.35)
O que Wien faz em seguida é buscar uma relação entre o
comprimento de onda da radiação e o raio da cavidade. Com isso, é
possível relacionar o comprimento de onda com a temperatura a partir
da relação (2.35). Se imaginarmos a radiação incidindo sobre um
espelho plano que se afasta com determinada velocidade, conseguimos
extrair uma relação da mudança do comprimento de onda da luz
incidente e refletida após várias reflexões em função da velocidade de
afastamento. Imaginando agora uma cavidade esférica de raio que
expande para muito lentamente, Wien consegue a relação:
(2.36)
Novamente, optamos por não demonstrar a dedução rigorosa.
Esta se encontra em Longair (1986), página 183 até 187. Comparando
(2.35) com (2.36), concluímos que:
ou (2.37)
Este é um dos aspecto da Lei de Deslocamento de Wien. O que
essa lei mostra é que o comprimento de onda da radiação é “deslocado”
conforme a temperatura da cavidade é alterada, o que é perfeitamente
observado na prática.
2.1.5 O espectro de radiação do corpo negro de Wien
Wien foi além e, a partir da lei de Stefan-Boltzmann e desta
última relação (2.37) entre o comprimento de onda e a temperatura da
cavidade, obteve informações sobre a forma que a radiação no interior
da cavidade deve assumir (LONGAIR, 1986). Primeiramente, Wien
nota que, quando aprisionamos radiação numa cavidade, todo o sistema
deve atingir uma temperatura de equilíbrio, uma vez que a radiação está
sendo refletida nas paredes e sendo emitida por elas. Se esperarmos
tempo suficiente para o equilíbrio, o que teremos é o próprio espectro de
49
radiação do corpo negro. Tal espectro isotrópico é caracterizado
somente pela temperatura da cavidade e pelo comprimento de onda da
radiação que ela emite e absorve.
A segunda característica a ser notada é o fato de que, se o
sistema transita entre a temperatura e em expansão quase-estática,
ou seja, muito vagarosamente, a radiação deve estar em equilíbrio com a
cavidade a cada pequena variação da temperatura durante a expansão.
Logo, o espectro da radiação toma forma do espectro do corpo negro
durante toda a expansão, e tem uma íntima relação com a temperatura da
cavidade.
Então, para cada aumento do volume, teremos uma temperatura
e um conjunto de comprimentos de onda. Consideremos uma porção de
radiação entre os comprimentos de onda e . A densidade de
energia contida nessa porção de radiação será ( ) . Pela lei de
Stefan-Boltzmann (2.34), essa quantidade de energia é proporcional à
. Se considerarmos dois estados diferentes (1) e (2) para a cavidade,
podemos escrever a relação abaixo:
( )
( ) (
) (2.38)
Mas, como , teremos , e podemos
escrever ( ⁄ ) . Substituindo na equação (2.38), teremos:
( )
( )
(2.39)
Conclusivamente:
( )
(2.40)
Usando (2.37) novamente, podemos escrever:
( )
(2.41)
Perceba que ( ) é a densidade de energia em função do
comprimento de onda. Este espectro de radiação é a equação que
queremos. Como sabemos, através dos argumentos acima, que o
espectro de radiação deve depender somente da temperatura e do
comprimento de onda, e que a única combinação entre T e constante é
50
o produto entre eles, para que a relação ( )
seja constante, ela deve ser
igual a uma função que envolva o produto . Assim:
( ) ( ) ( ) (2.42)
Quando escrito em termos da frequência, temos:
( ) (
) (2.43)
onde ( ) é a densidade de energia por intervalo de frequência da onda
eletromagnética. Agora, o problema limita-se em encontrar a função
(
). Wien alcança este resultado a partir de considerações
essencialmente termodinâmicas. Estes resultados, publicados em 1894,
eram resultados de ponta quando Planck se interessa pela primeira vez
pela questão do corpo negro (LONGAIR, 1986).
Wien ainda arriscou uma função para (
) segundo sua teoria
de corpo negro. Para ele, a forma da função de distribuição de energia
assemelhava-se à distribuição de Maxwell para velocidades de
moléculas de um gás. Segundo Studart (2000, p.526), Wien argumentou
que:
“o número de moléculas é proporcional a
–
expressão que deveria ser válida também para
moléculas no sólido – e „uma visão atualmente
aceita é que as cargas elétricas das moléculas
podem excitar ondas eletromagnéticas...[e] como
o comprimento de onda da radiação emitida por
uma dada molécula é uma função de , também
é uma função de ‟.”
Publicada em 1896, a proposta era coerente com os dados
experimentais daquele ano: esta função deveria tender para zero no
limite de altas frequências e possuir um valor finito para baixas
frequências, de tal forma que a intensidade é zero quando a frequência é
zero. Ele então propõe uma expressão para sua Lei de Distribuição que
pode ser escrita da seguinte maneira:
( )
(2.44)
51
(
)
(2.45)
onde e são constantes (WIEN, 1897).
2.1.6 Planck no início da carreira
Planck inicia a carreira universitária assistindo às aulas de
Kirchhoff e Hermann von Helmholtz (1821 – 1894), que, segundo ele
mesmo, não eram bons professores, apesar de físicos excepcionais.
Planck se interessa pela Segunda Lei da Termodinâmica e suas
aplicações, além dos trabalhos de Rudolf Clausius (1822 - 1888), que o
estimulam a escrever uma dissertação nesta área. Após a morte de
Kirchhoff, Planck assume sua cadeira na Universidade de Berlim em
1889. Ele tem contato com o fenômeno do corpo negro a partir da
publicação de Wien, em 1894, e começa a tratar o assunto (LONGAIR,
1986).
É importante mencionar que Planck tem resultados originais em
Termodinâmica: escreveu um livro sobre o assunto e um dos princípios
da Termodinâmica recebe seu nome (princípio de Kelvin-Planck).
Portanto, sua ênfase para analisar a Radiação de Corpo Negro é na
Termodinâmica. Esta é uma abordagem diferente da abordagem
estatística de Boltzmann, que havia deduzido a Segunda Lei da
Termodinâmica a partir de considerações estatísticas, e mostrado, em
termos de probabilidade, que um sistema isolado possui grande chance
de aumentar a entropia, mas uma chance pequena, porém finita, de que
ela decresça. Planck e seus estudantes publicaram artigos criticando
alguns passos da abordagem de Boltzmann.
O primeiro grande passo de Planck foi tratar as paredes da
cavidade do corpo negro como osciladores que interagem com a
radiação. Esses osciladores nada mais são do que cargas elétricas da
parede da cavidade, as quais, ao oscilarem, produzem ondas
eletromagnéticas que se espalham pela cavidade. Dado um tempo
suficientemente grande, os osciladores e a radiação entrariam em
equilíbrio. Desta forma, o Eletromagnetismo de Maxwell também é
pressuposto válido obrigatório para o desenvolvimento da teoria. Segundo esta teoria, uma carga elétrica acelerada emite radiação
conforme a equação:
(
)
| |
(2.46)
52
A dedução da (2.46) pode ser encontrada em Caruso (2006),
capítulo 5 - seção 5.6.7 e capítulo 10 - seção 10.2.2. Notemos que, de
(2.46), a taxa de radiação total emitida é conhecida e depende da carga
do elétron ao quadrado e da aceleração dele ao quadrado.
O próximo passo de Planck foi analisar a dinâmica de um
oscilador harmônico e agora amortecido. A conclusão a seguir é
demonstrada em detalhes em Longair (1996), página 194 até 196. É
possível escrever a taxa de emissão de energia do oscilador em termos
da constante de amortecimento e da energia média do oscilador:
(
) (2.47)
As polarizações do campo eletromagnético imprimem um fator
3 à equação (2.47). Durante o desenvolvimento de (2.47), Planck
consegue mostrar que não há energia dissipada na forma de calor,
somente na forma de radiação. Também, percebe-se que uma possível
constante de amortecimento dependeria somente de constantes
fundamentais, diferentemente se tratássemos as perdas de energia
através de calor, o que resultaria em amortecimento dependente do
material, o que não iria condizer com a lei de Kirchhoff.
O próximo passo é tratar o elétron como oscilador amortecido e
forçado, excitado por uma radiação externa advinda da cavidade. Como
o trabalho realizado pelo campo elétrico incidente é suficiente para
suprir as perdas de energia por segundo do oscilador, o sistema mantém-
se em equilíbrio, ou seja, os osciladores permanecem em equilíbrio
térmico com a radiação da cavidade. Portanto, esta condição de
equilíbrio térmico nos permite afirmar que a radiação emitida que
preenche a cavidade e escapa em pequena quantidade para o exterior
toma a forma de uma distribuição de corpo negro.
Consideremos uma carga elétrica que oscila com frequência
natural a partir de uma amplitude inicial . A equação do oscilador
harmônico amortecido é dada por:
(2.48)
Tal equação pode ser reescrita como:
(2.49)
53
onde
. Se uma onda eletromagnética incide sobre o oscilador, a
energia pode ser transferida para ele, e então é possível escrever no lado
direito da equação (2.49) um termo referente à força elétrica:
(2.50)
Consideremos uma força externa do tipo , onde
é a frequência de oscilação do campo elétrico externo, é a amplitude
de oscilação deste campo elétrico e é a carga elétrica. Como solução
geral de (2.50), podemos adotar , e substituir em (2.50) para
encontrarmos:
( )
(2.51)
Esta expressão (2.51) possui um fator complexo no
denominador. Estamos interessados em encontrar uma expressão para a
aceleração da carga elétrica para utilizarmos na equação (2.46). Como
havíamos assumido que , tomando a parte real deste
número, temos:
( ) (2.52)
Assim, a aceleração pode ser dada por:
(2.53)
Dessas duas últimas expressões:
( ) (2.54)
Mas, como em (2.46) aparece o módulo da aceleração ao
quadrado, devemos trabalhar com o módulo ao quadrado da expressão
da amplitude , para depois substituirmos o resultado em (2.54).
Calcular o módulo ao quadrado de um número complexo é multiplicarmos este número por seu complexo conjugado:
| |
54
| | (
(
)) (
(
))
O que resulta em:
| |
[( ) ]
(2.55)
Por fim, se introduzirmos (2.54) em (2.46), temos:
(
)
( ) (2.56)
Introduzindo-se (2.55) em (2.56), temos:
(
)
( )
*(
) +
(2.57)
Os próximos passos estão desenvolvidos em detalhes em
Longair (1986), páginas 197 e 198: inicialmente a média temporal da
expressão (2.57) é extraída para que seja eliminado o termo quadrático
do cosseno. Em seguida, na expressão resultante, deve-se substituir a
amplitude do campo elétrico pela soma de todas as amplitudes das ondas
que atingem as paredes da cavidade. Mas, esta soma ainda pode ser
substituída por toda a intensidade incidente ( ) contida num intervalo
de frequência. Se considerarmos que a intensidade incidente varia
lentamente em comparação com a resposta do oscilador e possui o valor
constante de ( ), encontraremos:
(
)
( ) (2.58)
Onde é o raio clássico do elétron dado por
⁄ . A expressão (2.58) é a taxa de perda de radiação de
um elétron oscilante. Agora, podemos igualar (2.58) à taxa de emissão
de energia do oscilador (2.47):
( ) (2.59)
Rearranjando a equação:
55
( ) ( )
(2.60)
onde ( ) é a densidade de energia numa dada frequência . Como
esta equação é válida para qualquer frequência, podemos utilizar
para encontrarmos:
( )
(2.61)
A equação (2.61) surpreende, pois não possui informação sobre
os argumentos eletrodinâmicos utilizados inicialmente por Planck nem
as características específicas do modelo de elétron como oscilador
harmônico, como por exemplo, sua massa ou carga elétrica! Planck
atinge esses resultados e os publica em junho de 1899. Basta agora
encontrar a relação da energia cinética média do oscilador com a
temperatura e a frequência.
2.1.7 Como Planck Chegou no espectro de radiação do corpo
negro
De acordo com a teoria clássica e como visto na sessão 2.1.1
desta dissertação, no equilíbrio termodinâmico, cada grau de liberdade
de um sistema recebe
de energia, e por isso, a energia média do
oscilador é , devido aos graus de liberdade associados a e . A
resposta então seria:
( )
(2.62)
Esta é a conhecida expressão de Rayleigh-Jeans para baixas
frequências, que será discutida em breve. Mas, Planck não procedeu
dessa forma. Para ele, analisar a energia ou qualquer sistema físico do
ponto de vista estatístico não era adequado, uma vez que, em meados de
1899, não era clara quão correta era a abordagem através da equipartição
de energia (basta lembrar que a abordagem estatística de Maxwell para
calcular os calores específicos das substâncias não gerava resultados
satisfatórios – “congelamento dos graus de liberdade”).
Diferentemente dos demais físicos, Planck suspeitava que
deveria encontrar relações fundamentais se entendesse como a entropia
56
do sistema estava relacionada com a energia da cavidade (LONGAIR,
1986). A expressão de variação de entropia que ele encontra para um
oscilador que recebe uma variação de energia é:
(2.63)
Desta equação (2.63), a variação da entropia ocorre quando a
energia do oscilador varia uma quantidade . Assim, se e tem
sinais opostos, e o sistema tende a retornar à posição de equilíbrio, isto
é, variação de entropia positiva, podemos concluir que a função
deve
necessariamente assumir valor negativo. Um valor negativo para a
função
indica que deve haver um máximo de entropia e, portanto, se
e tem sinais opostos, o sistema deve tender ao equilíbrio.
Planck assume que a Lei de Distribuição de Wien (2.45) para o
espectro do corpo negro seja correta. E, para tanto, (2.45) deve respeitar
a Segunda Lei da Termodinâmica. Portanto, Planck passa a trabalhar
com a Lei de Distribuição de Wien e a estuda segundo os princípios
termodinâmicos. Esta Lei está bastante de acordo com os dados
experimentais da época. Planck, comparando (2.61) com (2.44) obtém:
(2.64)
Podemos notar que, da expressão (2.20) escrita por Boltzmann:
(
)
, a variável energia interna pode ser considerada a energia
média do sistema em nossa análise. Da expressão (2.64), podemos
encontrar uma relação entre e ⁄ , o que resulta em:
(
)
(
) (2.65)
Se tomarmos a segunda derivada desta expressão, temos:
(2.66)
Na definição da lei de distribuição de Wien a constante , a
frequência e a energia média devem assumir valores positivos e,
57
portanto,
é negativa. Logo, além de ser uma expressão de grande
simplicidade, a lei de distribuição de Wien é totalmente consistente com
a Segunda Lei da Termodinâmica, conforme discutido a partir de (2.63).
Estes resultados foram expostos em junho de 1900, mas, em outubro
daquele mesmo ano, as coisas mudaram novamente. Medidas mais
precisas da Radiação de Corpo Negro realizadas por Lummer e
Pringsheim comprovam que a lei de Wien é inadequada para descrever o
espectro de energia irradiada na região de baixas frequências e altas
temperaturas (LONGAIR, 1986). As medidas indicam que, nesta faixa
de frequências e temperaturas, a intensidade da radiação deve ser
proporcional a , o que é claramente incoerente com a lei de
distribuição de Wien, a qual tende a uma expressão independente de
para altas temperaturas.
58
Figura 7: Intensidade espectral como função do comprimento de onda obtida
por Lummer e Pringsheim em novembro de 1899. A figura mostra os valores
calculados (“berechnet”) e obtidos experimentalmente (“beobachtet”).
Fonte: (STUDART, 2000, p. 526).
59
Planck agora sabe que a lei de distribuição deve tender a algo
proporcional à temperatura quando a razão
, ou seja, para baixas
frequências: ( ) . Portanto: . Da primeira Lei da
Termodinâmica, temos:
. Logo:
e
para baixas
frequências.
Sabemos também que, para altas frequências, a Lei de Wien é
uma ótima aproximação. Logo, a partir da Lei de Wien, Planck conclui
que:
. Agora, levando em conta essas condições de limites, nas
palavras do próprio Planck (PLANCK, 2000, p.536): “[...] finalmente comecei a construir expressões
completamente arbitrárias para a entropia que,
embora mais complicadas do que a expressão de
Wien, ainda parecem satisfazer completamente
todos os requisitos da termodinâmica e da teoria
eletromagnética. Fui especialmente atraído por
uma das expressões, então construídas, que é
quase tão simples quanto a expressão de Wien, e
que mereceria ser investigada uma vez que a
expressão de Wien não é suficiente para cobrir
todas as observações.”
Obtemos essa expressão, colocando:
( ) (2.67)
Que, quando resolvida, resulta:
(2.68)
Substituindo este resultado em (2.61), temos:
( )
(2.69)
Agora, para que a função da energia esteja de acordo com a
expressão (2.43), e, consequentemente, com a lei de deslocamento de
Wien (2.37), a constante deve ser proporcional à frequência do
oscilador. Integrando a expressão
para encontrar a expressão da
entropia do oscilador, Planck atinge o seguinte resultado:
60
*(
) (
)
(
)+ (2.70)
Figura 8: Curvas da energia da radiação versus temperatura, medidas através
dos raios residuais (“reststrahlen”), usando-se pedras de sal ( ) e
comparadas (“berechnet nach” significa “calculado após”) com as fórmulas de
Wien, Lord Rayleigh, Thiesen e Planck.
Fonte: (STUDARD, 2000, p.528).
2.1.8 A equação de Rayleigh-Jeans
Lorde Rayleigh faz uma abordagem diferente para tratar a
Radiação de Corpo Negro e atinge um resultado curioso. Seu interesse
no problema da Radiação de Corpo Negro surge quando toma ciência
das inadequações da Lei de Deslocamento de Wien ao comportamento,
em baixas frequências, da Radiação de Corpo Negro em função da
temperatura (LONGAIR, 1986). Rayleigh aplica a teoria de ondas para
tratar o problema. O nome de Jeans é posteriormente introduzido à
equação por ter publicado um trabalho na Nature, em 1906, onde corrige
um fator numérico erroneamente calculado por Rayleigh (LONGAIR,
1986).
61
Lorde Rayleigh primeiramente inicia o tratamento do problema
considerando a radiação eletromagnética sob a forma de ondas no
interior de um cubo com lados de comprimento . Tais ondas no interior
da cavidade cúbica oscilam para todas as direções. Em notação atual, a
equação que descreve o sistema é:
(2.71)
onde é a velocidade das ondas. Considerando as paredes fixas e
metálicas, um resultado clássico do Eletromagnetismo mostra que as
ondas formam nós sobre as paredes, ou seja, para e teremos . A solução da equação de ondas (2.71) para essas
condições é conhecida e tem a forma:
(
) (
) (
) (2.72)
onde é uma constante, é a frequência angular de vibração das ondas
e e são números inteiros. Esta equação garante que a radiação no
interior da cavidade cúbica mantém-se sob a forma de ondas
estacionárias, cujos modos normais de vibração, são dados pelas
combinações de e . Os modos são todos independentes e, portanto,
representam maneiras independentes de as ondas oscilarem. Também
formam um conjunto ortogonal completo. Logo qualquer distribuição
pode ser escrita como uma soma de modos normais de vibração.
Substituindo a expressão de na equação de onda (2.71), obtemos uma
relação entre e com :
( ) (2.73)
Escrevendo , temos a relação:
(2.74)
De acordo com o Teorema da Equipartição da Energia, deve-se
distribuir igualmente a energia por todos os graus de liberdade do
sistema, ou seja, os modos normais de vibração. Para tanto, é necessário
que se conheça quantos modos existem no intervalo entre e . O
procedimento padrão é desenhar uma grade tridimensional de
62
coordenadas e e contar o número de modos normais contidos em
um oitavo da esfera, cuja projeção é representada na Figura 9 a seguir.
Figura 9: Figura que ilustra, numa projeção em duas dimensões, como o número
de modos no intervalo , e pode ser substituído por um incremento no
espaço de fase de volume
, onde .
Fonte: (LONGAIR, 1986).
Se for grande, o número de modos é:
( )
(2.75)
Expressando este resultado em função de , a partir de (2.74),
temos:
(2.76)
(2.77)
E, portanto:
( )
(2.78)
Como estamos trabalhando com ondas eletromagnéticas, não
podemos nos esquecer de que há duas polarizações independentes para
63
cada valor , o vetor de onda. Portanto, temos o dobro de modos
normais do que a equação (2.78) mostra:
( )
(2.79)
Como sabemos que , e, consequentemente, , substituímos por (2.79), para escrevermos:
( )
(2.80)
Para finalizar, a densidade de energia total do espectro irradiada
por segundo deve ser o número total de ondas estacionárias multiplicado
pela energia média de cada onda (lembrando que é necessário dividir a
expressão final pelo volume da cavidade, já que estamos escrevendo a
densidade de energia):
( )
( )
(2.81)
( )
(2.82)
Este resultado é igual ao que Planck deduziu percorrendo um
caminho diferente. A constante de proporcionalidade de ambas é
idêntica. A diferença crucial agora reside no cálculo da energia média
dos osciladores, onde as hipóteses de como ocorre a troca de energia
entre a cavidade e a radiação devem ser consideradas. Rayleigh busca na
mecânica estatística o valor da energia média para cada grau de
liberdade, considerando o Princípio da Equipartição da Energia como
válido e substituindo :
( )
(2.83)
Este resultado está em desacordo com os dados experimentais.
Em seu artigo de 1900, Rayleigh ainda sugere que um termo
exponencial seja introduzido ad hoc em sua fórmula de maneira a
ajustá-la às observações. Mas, experimentos posteriores mostram a
incompatibilidade com tal proposta.
64
Certamente Planck se impressionou com a facilidade de
Rayleigh em obter a mesma relação entre a densidade de energia da
radiação e a energia média dos osciladores atacando o problema pelo
método estatístico. Também atentou para o fato de que a diferença entre
sua lei de distribuição e a proposta por Rayleigh reside agora no cálculo
da energia média dos osciladores. Apesar do método estatístico da
equipartição de energia mostrar-se errado para descrever o problema,
Planck sabe que deve olhar com cuidado para a maneira como essa
dedução da energia média é desenvolvida. Para tanto, ele também deve
trabalhar com a mecânica estatística que havia evitado até agora.
Planck percebeu que sua expressão para a Radiação de Corpo
Negro deveria basear-se em fundamentos sólidos, e não somente em
ajustes da sua equação com os dados experimentais, como ele havia
feito (LONGAIR, 1986). Mesmo mostrando que esses ajustes estavam
de acordo com a termodinâmica, não havia qualquer informação sobre
as constantes presentes na fórmula (2.69).
2.1.9 A Teoria de Planck sobre a Radiação de Corpo Negro e o
ponto de Ruptura
A expressão (2.69) encontrada por Planck descreve
perfeitamente os dados observacionais do espectro da radiação do corpo
negro, mas não era claro o porquê. Para tanto, Planck utiliza agora a
teoria estatística da termodinâmica para obter com mais detalhes a
entropia do sistema, como havia feito a partir da Termodinâmica dos
osciladores. Nas palavras de Planck (FELDENS et al, 2010, p. 2602-7): “Mas mesmo que a validade absolutamente
precisa da fórmula da radiação seja assumida, na
medida em que ela tenha meramente o status de
uma lei revelada por uma sorte da intuição, ela
não poderia esperar possuir mais do que um
significado formal. Por essa razão, no próprio dia
em que formulei a lei, comecei a devotar-me à
tarefa de investiga-la com um real sentido físico.
Essa procura automaticamente levou-me a estudar
a inter-relação de entropia com probabilidade, em
outras palavras, a perseguir a linha de pensamento
inaugurada por Boltzmann.”
A análise que Planck faz dos osciladores é semelhante à de
Boltzmann para um conjunto de partículas. A dedução em detalhes pode
ser encontrada em Longair (1986), páginas 114 até 120. O modelo
65
proposto tem início assumindo ressonadores, cada qual com energia
média , de modo que a energia total do sistema é . Esta
energia total pode ser dividida em pequenos pedaços de energia ϵ. Se
tendermos esse pequeno pedacinho a um valor muito pequeno,
precisaremos de infinitos pedacinhos para compor a energia total,
dizendo assim que a energia é contínua.
Para Planck, a energia total é , onde é o número total
de elementos de energia do sistema. O que Planck faz a partir daí é
descobrir quantas maneiras existem de distribuir os elementos entre os
osciladores. Conforme Planck (PLANCK, 2000, p.539): “É evidente que agora a distribuição dos
elementos de energia entre os ressonadores não
pode ocorrer segundo um número finito e
determinado de maneiras. Chamaremos cada uma
destas repartições de um „complexo‟
[complexion], segundo o termo utilizado por
Boltzmann para uma noção semelhante. Se
designarmos os ressonadores pelos números 1, 2,
3, ..., , se os escrevermos uns em seguida aos
outros, e se, debaixo de cada ressonador,
colocarmos o número de elementos de energia que
lhes são atribuídos quando de uma repartição
arbitrária, obtemos para cada complexo um
padrão da seguinte forma:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 38 11 0 9 2 20 4 4 5
Fizemos a suposição aqui de que ,
. O número de todos os complexos
possíveis é visivelmente igual ao número de todos
os arranjos possíveis de números que se pode
obter para a linha inferior, quando N e P forem
fixos. Para sermos precisos, notemos que dois
complexos devem ser considerados como distintos
se apresentarem os mesmos números, mas
dispostos em ordem diferente.”
Conclusivamente, o número total de maneiras de distribuir a
energia por N osciladores é:
( )( ) ( )
( )
( ) (2.84)
Podemos fazer a aproximação:
66
( )
( ) ( )
(2.85)
De acordo com a fórmula de Stirling temos, como primeira
aproximação . Utilizando em (2.85):
( )
( )
(2.86)
A hipótese adicional de Planck é considerar (2.86) como sendo
a probabilidade de encontrar os osciladores num determinado estado .
Conforme Planck (PLANCK, 2000, p.539 e 540): Consideremos agora que a entropia do sistema
é, a menos de uma constante aditiva arbitrária,
proporcional ao logaritmo da probabilidade ,
sendo que os ressonadores tem todos em
conjunto a energia total :
( ) No fundo, esta relação se torna, me parece, uma
definição da probabilidade , porque, nas
hipóteses sobre as quais se baseia a teoria da
radiação eletromagnética, nenhuma indicação nos
permite dar a esta probabilidade um sentido ou
outro. Convém utilizar esta definição por sua
simplicidade, e também pela sua conexão íntima
com um teorema da teoria cinética dos gases.”
Substituindo (2.86) na expressão da entropia de Boltzmann
( [ ]), estamos aptos a calcular a entropia do conjunto de
osciladores:
( )
[( ) ( ) ] (2.87)
Considerando: e , podemos escrever
.
Logo:
*(
) (
) (
) (
)+ (2.88)
*(
) (
)
(
)+ (2.89)
E, portanto, a entropia S de cada oscilador será dada por:
67
*(
) (
)
(
)+ (2.90)
Esta é análoga à expressão da entropia do oscilador (2.70).
Comparando ambas, descobrimos que . Como é proporcional à
frequência do oscilador, Planck conclui que cada pedacinho de energia é
proporcional à frequência e escreve esta conclusão da forma como a
conhecemos hoje:
(2.91)
Considerando a estatística clássica, deveríamos agora fazer o
valor de tender à zero, mas isso entraria em discordância com a
expressão da entropia do oscilador (2.90). Os pequenos pedaços de
energia não podem desaparecer da expressão e possuem uma magnitude
finita . Planck poderia muito bem ter rejeitado esses resultados, mas
como foi dito e enfatizado algumas vezes anteriormente, ele está muito
bem amparado pelas bases sólidas da Termodinâmica: olhar para a
entropia dos osciladores através da Termodinâmica clássica está em
completo acordo com a análise do problema através da descrição
estatística da Termodinâmica. Portanto, esses resultados são válidos e
merecem ser interpretados. Eis o ponto de Ruptura!
Devemos notar também que a constante (da teoria de
Boltzmann, é a sua própria constante
). Assim, a expressão de Planck
para a distribuição de energia do corpo negro é:
( )
(2.92)
É justo notar que ninguém havia entendido o que Planck
acabara de fazer (LONGAIR, 1986). Sua teoria não foi aceita de
imediato. Mas vale enfatizar que, gostando ou não dela, o conceito de
quanta aparece naturalmente através do conceito de energia, porque,
sem ele, não é possível escrever a equação de Planck. Podemos terminar
por aqui nossa descrição do Contexto da Ruptura e, a partir disso, gerar
algumas considerações e comentários que serão úteis para os propósitos
deste trabalho.
68
2.2 O contexto da Ruptura sintetizado
A leitura acima nos mostra que Longair (1986) aproxima-se de
uma discussão sobre a mudança no entendimento da maneira de
descrever a troca de energia entre sistemas, mostra também onde falha o
Princípio da Equipartição da Energia, e sua pretensão é descrever, o
melhor possível, o processo da construção e obtenção da fórmula de
Planck (2.92). Para tanto, Longair (1986) descreve a abordagem de
Planck e também a abordagem dos cientistas Rayleigh e Jeans, que,
como visto, percorrem caminhos diferentes. Faremos então um quadro
esquemático que mostra o percurso de cada abordagem e suas
conclusões.
69
Quadro 1: Quadro esquemático que sintetiza a abordagem de Rayleigh e Jeans
ao fenômeno Radiação de Corpo Negro segundo Longair (1986).
Fonte: Dados da pesquisa
70
Quadro 2: Quadro esquemático que sintetiza a abordagem de Planck ao
problema do Corpo Negro segundo Longair (1986).
Fonte: Dados da pesquisa.
71
Inicialmente, destacamos as teorias encontradas nas abordagens,
o que podemos chamar de saber clássico. Em Rayleigh e Jeans, a Teoria
Ondulatória é utilizada em quase todo o processo. Em Planck, temos:
Eletromagnetismo, Mecânica Estatística, Mecânica Newtoniana e,
principalmente, Termodinâmica. Essas teorias envolvidas demonstram
claramente a complexidade do objeto Radiação de Corpo Negro (RCN),
sendo que cada abordagem enfatiza determinada teoria e uma
determinada técnica.
Também concluímos que conceitos como as leis da
Termodinâmica, equilíbrio térmico entre corpo negro de Kirchhoff e
radiação de cavidade, função de distribuição e alguma noção de
mecânica estatística são fundamentais para que se compreenda o
problema da RCN como um todo.
2.3 Exemplos de praxeologias a partir do contexto da ruptura
Podemos localizar a síntese desenvolvida acima na organização
praxeológica de Chevallard. Segundo o Modelo, existe um conjunto de
tarefas ( ) que devem ser executadas, técnicas (τ) que possibilitam
resolvê-las, tecnologias ( ) que justificam as técnicas e as teorias ( )
nas quais os pesquisadores basearam-se.
Para Planck, o problema central era compreender a
termodinâmica dos osciladores. Dessa forma, podemos nomear as
teorias envolvidas: Eletromagnetismo ( ); Mecânica Estatística ( ); Mecânica Clássica ( ); Termodinâmica ( ), com uma ênfase na teoria
Termodinâmica ( ). Segundo a abordagem de Rayleigh e Jeans, cujo
problema maior consistia em determinar o número total de ondas
estacionárias na cavidade, é possível identificar grande ênfase na Teoria
Ondulatória ( ). Da análise do trabalho de Planck, uma praxeologia possível a
partir da teoria ( ) é considerar a Segunda Lei da Termodinâmica
como tecnologia ( ). Esta tecnologia justifica a técnica ( ) que se
mostrou satisfatória para deduzir parte da expressão para a distribuição e
energia ( ). ( ) pode ser escrita da seguinte maneira:
1) Derivar a expressão de variação de entropia para um
oscilador em função da variação de energia ;
2) Estudar a Lei de Wien e mostrar sua consistência com a
Segunda Lei da Termodinâmica;
72
3) Ajustar a expressão para a derivada segunda da entropia do
oscilador em função da energia para os limites de altas e baixas
temperaturas;
4) Resolver a expressão
( );
5) Comparar o resultado com a lei de deslocamento de Wien e
concluir que a constante . Dessa maneira, nota-se que a teoria ( ) é bastante explorada.
A técnica ( ) permite realizar parte do tipo de tarefa ( ): deduzir a forma da função de distribuição de Planck. E, obviamente, esta
técnica ( ), explicada pela tecnologia ( ), não é a única que possibilita
executar o tipo de tarefa ( ), pois outras técnicas e tecnologias
permitem trabalhar diferentes teorias para a resolução de um mesmo tipo
de tarefa.
Na abordagem de Rayleigh e Jeans, que despendeu grande parte
dos esforços em contar o número de modos normais de vibração das
ondas eletromagnéticas, a teoria Termodinâmica ( ) não é enfatizada
ou discutida. Pode-se notar que o princípio da equipartição de energia
foi utilizado como uma etapa da técnica desenvolvida, o que diminui as
possibilidades de aproximação da técnica com a noção de mudança na
maneira como os sistemas trocam energia. Quando assumimos
determinada praxeologia e a didatizamos e a inserimos num livro
didático, estamos selecionando e enfatizando determinados saberes ao
invés de outros, o que torna importante pensar cuidadosamente sobre a
didatização de determinado conteúdo. Podemos afirmar aqui que
escolher desenvolver uma técnica ao invés de outra define o saber a ser
ensinado.
2.4 Comentários gerais
Como fechamento do capítulo, elencamos alguns pontos que
não podem ser negligenciados ou mantidos em segundo plano a respeito
do que foi construído:
a) Em qualquer tipo de didatização referente à RCN, é importante
existir sempre a definição clara do que significa equilíbrio
térmico entre radiação e cavidade. Também apresentar uma
noção detalhada do que é o corpo negro;
b) Pesquisadores atacam o problema da Radiação de Corpo Negro
a partir de modelos diferentes e atingem resultados que
73
mostram que o ponto chave reside nas considerações a respeito
da maneira como os sistemas absorvem e emitem energia. É
isto que está por trás do problema do congelamento dos graus
de liberdade, a catástrofe do ultravioleta de Rayleigh e Jeans e
onde se encontra o postulado de Planck. Em Longair (1986), a
didatização escolhida enfatiza muito este aspecto;
c) As diversas tentativas de Planck para resolver o problema da
Radiação de Corpo Negro basearam-se na Física Clássica. As
conclusões às que ele chega a partir delas enfatizam a
necessidade de postular algo novo e romper com a velha física.
Portanto, como ficou demonstrado, o postulado não é uma
hipótese inserida a priori, como se caísse dos céus e omitisse as
tentativas de soluções a partir da física clássica;
d) Para a Física, a importância de modelos e idealizações é
inegável, e, em Longair (1986), é enfatizado os modelos de
cada pesquisador: Planck e cargas oscilando; Wien e cavidade
esférica expandindo; Boltzmann e o pistão preenchido com “gás
de radiação”; Rayleigh e ondas estacionárias. Na perspectiva do
ensino de física, podemos dizer que o estudante de física só tem
a ganhar quando em contato com esta riqueza de ideias e
criatividade por parte dos pesquisadores;
e) É notável a resistência do cientista a novas e diferentes
abordagens daquelas comumente aceitas pela comunidade
científica. Planck rejeita a Mecânica Estatística até o limite em
que se vê obrigado a utilizá-la para atacar o problema mais a
fundo. Ocorre, portanto, uma superação pessoal do cientista
diante de suas crenças em teorias amplamente aceitas que,
dentro de certos limites, não conseguem mostrar resultados
satisfatórios: é necessário aceitarmos o novo e o diferente para
entendermos os fenômenos recentes! Esta superação é um viés
do processo de desenvolvimento da ciência, aspecto quase
nunca tocado no processo de formação do futuro cientista ou
professor. É importante ensinar isso ao aluno?
Acreditamos que, até este ponto, ficam determinadas e
delimitadas técnicas e teoria que caracterizam o momento da ruptura.
Podemos, inclusive, afirmar categoricamente que, dada a riqueza de
conceitos que envolvem a temática do Corpo Negro e a dinamicidade
com que esta teoria atinge diferentes áreas da Física, é importante que o
aluno de Física saiba que existe um processo de construção de
conhecimento culminando na quantização da energia, e que esta
74
quantização não pode ser apresentada meramente na forma de passagens
ou técnicas matemáticas isentas de um significado mais profundo. No
próximo capítulo, vamos investigar como a instituição ( ) disciplina
efetivamente transpõe este tópico aos seus alunos.
75
3. INVESTIGANDO A RELAÇÃO INSTITUCIONAL
Segundo a TAD, investigar a Relação Institucional que
determinada instituição possui com o objeto é revelar quais os aspectos
deste objeto são importantes para ela e o que esta instituição pretende de
fato ensinar às pessoas pertencentes a ela. Conforme já descrito
anteriormente, os três principais elementos da nossa investigação, sob o
ponto de vista da TAD, são definidos da seguinte forma:
Instituição ( ) Disciplina Estrutura da Matéria 1 da
Universidade Federal de Santa Catarina;
Objeto (O) Tema Radiação de Corpo Negro;
Pessoas (X) Estudantes de Física cursando Estrutura da
Matéria 1 da Universidade Federal de Santa Catarina;
Portanto, neste capítulo procuramos entender melhor como o
tópico Radiação de Corpo Negro é tratado no livro-texto e nos
exercícios, provas e demais atividades trabalhadas na disciplina
Estrutura da Matéria 1 da Universidade Federal de Santa Catarina. Isso
significa observar as praxeologias desta instituição ( ) e expandir
nossas conclusões a partir dos dados e resultados atingidos.
3.1 O caráter institucional do livro-texto e as evidências da
tradição de ensino
O curso de Física da Universidade Federal de Santa Catarina
(UFSC) conta com a disciplina Estrutura da Matéria 1, cuja parte da
ementa é o estudo das evidências que levaram ao surgimento da
Mecânica Quântica3, sendo que é nesta etapa que o tópico Radiação de
Corpo Negro é apresentado aos alunos. Na UFSC, a disciplina é de
caráter obrigatório e tem a duração de um semestre para os cursos de
Bacharelado em Física e Licenciatura em Física, sendo o conteúdo
programático de ambos os cursos iguais. A disciplina é oferecida nos
cursos de graduação em Física em diversas outras instituições de ensino
de nível superior do país, podendo apresentar nomenclatura diferente da
encontrada na UFSC, mas com ementa e, principalmente, bibliografia
similar.
3 Ementa, programa e bibliografia podem ser consultados em:
http://www.fsc.ufsc.br/ensino/cursodegraduacaoemfisica/gradefsc2009/FSC550
6.pdf
76
A partir de um levantamento junto à ementa das disciplinas
destes diversos cursos de graduação4 é possível constatar que, na grande
maioria, inclusive na disciplina Estrutura da Matéria 1 da UFSC, três
livros são citados:
a) Física Quântica - Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e
Partículas, dos autores Robert Eisberg e Robert Resnick;
b) Física Moderna, dos autores Paul Tipler e Ralph
Llewellyn;
c) Física Moderna: Origens Clássicas e Fundamentos
Quânticos, dos autores Francisco Caruso e Vitor Oguri.
Dentre estes três livros, “Física Quântica - Átomos, Moléculas,
Sólidos, Núcleos e Partículas” aparece em oito das dez bibliografias; o
livro “Física Moderna”, em cinco das dez bibliografias; o livro “Física
Moderna: Origens Clássicas e Fundamentos Quânticos”, em três das dez
bibliografias.
Embora haja liberdade de escolha bibliográfica para o
professor, é sintomático que estes livros citados nas bibliografias sejam
sempre os mais utilizados. O aparecimento dos dois primeiros livros
como os mais citados sugere que seu conteúdo e a maneira de transpô-lo
sejam similares, enquanto que o terceiro livro “Física Moderna: Origens
Clássicas e Fundamentos Quânticos”, dos autores Francisco Caruso e
4 Cursos de graduação em Física de importantes instituições de ensino superior
que disponibilizam o programa das disciplinas na internet foram consultados e
encontram-se abaixo.
PUC-Rio - http://www.puc-
rio.br/ferramentas/ementas/ementa.aspx?cd=FIS1061
UDESC -
http://www.joinville.udesc.br/portal/ensino/graduacao/fisica/disciplina.php?d=F
MO1001&c=fisica
UFC - http://www.fisica.ufc.br/ementas/fisica/CD222.htm
UFMG - http://www.fisica.ufmg.br/fisicamoderna/
UFPR - http://fisica.ufpr.br/grad/cf099.pdf
UFRGS - http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01208/index.html
UnB - http://www.fis.unb.br/cgrad/cg/e118346.txt
Unicamp -
http://portal.ifi.unicamp.br/images/stories/imagens/arquivos/programas_discipli
nas.pdf (pag. 51)
USP – São Carlos -
https://uspdigital.usp.br/jupiterweb/obterDisciplina?sgldis=FFI0775
USP – São Paulo -
https://uspdigital.usp.br/jupiterweb/obterDisciplina?sgldis=4300375
77
Vitor Oguri, não se assemelha a eles. De fato, este último possui
características especiais: é um livro recente que traz contexto histórico,
aproxima-se mais do contexto da descoberta, apresenta o tópico RCN a
partir da abordagem de Planck, isto é, desenvolve o conteúdo do ponto
de vista teórico de Planck, com suas técnicas e enfatiza a
Termodinâmica. Este livro fica de fora da maioria das bibliografias por
destoar dos tradicionais livros utilizados, o que nos permite dizer que ele
não caracteriza as escolhas institucionais. Por esta razão, vamos nos
fixar nos livros-textos mais citados.
Como já foi discutido no capítulo 2 desta dissertação, os livros-
textos desempenham papel duplo em nossa análise. Vamos assumir aqui
que, devido à forte tradição dos cursos de física, os livros-textos têm
papel central nas relações institucionais entre algumas disciplinas e
determinados tópicos em física e definem o papel da relação tanto entre
professor e “saber a ser ensinado”, quanto entre aluno e “saber a ser
aprendido”. Os livros-textos manifestam fortemente as escolhas
didáticas da instituição disciplina, isto é, escolhas de determinadas
tarefas ( ), técnicas ( ), tecnologias ( ) e teorias ( ) que caracterizam a
sua transposição. Além disso, vamos assumir também que a escolha de
determinado livro-texto implica fortemente na escolha de exercícios
para as provas e listas de tarefas, o que acaba por definir os exercícios,
questões e problemas do livro-texto como base de boa parte das
atividades.
Em nossa análise, é possível identificar que os professores da
disciplina Estrutura da Matéria 1 utilizam os livros mais citados nas
bibliografias dos outros cursos de graduação5: “Física Quântica -
Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas” dos autores Robert
Eisberg e Robert Resnick e o livro “Física Moderna” dos autores Paul
Tipler e Ralph Llewellyn. O livro “Física Moderna: Origens Clássicas e
Fundamentos Quânticos” dos autores Francisco Caruso e Vitor Oguri,
não é mencionado.
Existe uma maneira quase que institucionalizada de se ensinar
este tema, maneira que se manifesta fortemente nos programas de cursos
de formação, na bibliografia utilizada, nas listas de atividades,
problemas, exercícios e nas avaliações. De todos os aspectos citados, o
livro-texto tem papel marcante, pois nele se encontra não apenas o
5 Num primeiro momento ou pesquisa exploratória, um questionário foi
aplicado aos professores que ministram e já ministraram esta disciplina na
UFSC. O questionário e respostas encontram-se em anexo.
78
conteúdo associado às disciplinas de Física Moderna, mas também
mostra os caminhos adotados, a forma de didatização com suas
respectivas técnicas de derivação, forma de apresentação, recursos
didáticos, aspectos enfatizados e a escolha de atividades e tarefas. Em
suma, os livros-textos contêm todo o conhecimento, teorias e
justificação das técnicas utilizadas, como também as atividades e tarefas
propostas, o que pode ser compreendido como o “know how” das
técnicas que ele utiliza. Os livros-textos trazem o “saber” e o “saber
fazer”, ou seja, uma praxeologia ou conjunto de praxeologias referentes
a determinado objeto.
3.2 A determinação do livro-texto e dos documentos a serem
analisados
Segundo o que foi colocado, é possível afirmar aqui que o livro
“Física Quântica - Átomos, Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas”,
dos autores Robert Eisberg e Robert Resnick, possui forte caráter
institucional, muito representativo de uma tradição de ensino, sendo
largamente utilizado nas instituições de ensino nacionais e estrangeiras.
Apesar de não possuirmos estudo mais detalhado, é possível afirmar que
este livro é utilizado como balizamento para outros e, portanto, vamos
analisá-lo em detalhes e com bastante rigor, a fim de clarificarmos
melhor sua didatização do objeto RCN.
No livro “Física Moderna”, os autores Paul Tipler e Ralph
Llewellyn seguem a mesma abordagem do primeiro livro, descrevem as
mesmas técnicas e derivações, apenas com rigor matemático menor e
sem aprofundamento de certos conteúdos. Por isso, optamos por não
apresentamos aqui a análise do seu texto, pois ela seria completamente
redundante. Mas, como as atividades deste livro são utilizadas pelos
professores, conforme citado no questionário, vamos analisar as tarefas
e exercícios propostos nele.
Vamos aqui identificar os livros-textos como (1) e (2):
Livro-Texto (1) - Eisberg, Resnick – Física Quântica: Átomos,
Moléculas, Sólidos, Núcleos e Partículas, edição 1 e 2 – em
português;
Livro-Texto (2) - Paul A. Tipler, Ralph Llewellyn – Física
Moderna, 5ª edição;
79
Por fim, baseado na TAD, é possível considerar as provas da
disciplina, ou seja, a avaliação do desempenho do aluno durante o
semestre como a forte manifestação daquilo que a instituição disciplina
acredita que o aluno deveria conhecer ou aprender. Podemos escrever
que o desempenho do aluno nas avaliações ou provas mostra a
adequação dele à relação da instituição disciplina com o objeto de
conhecimento, e nelas encontramos as tarefas ( ) ou tipos de tarefas ( )
que devem ser executadas. Conclusivamente, a partir do questionário
respondido pelos professores, na disciplina Estrutura da Matéria 1, da
UFSC, as provas são baseadas nos exercícios dos livros-textos e nas
listas de exercícios, o que torna fundamental analisá-los.
Foram coletados junto aos professores os seguintes documentos
aplicados durante a apresentação do tópico Radiação de Corpo Negro:
9 (nove) provas;
2 (duas) listas de exercícios.
3.3 A sequência metodológica adotada
Inicialmente, definimos uma versão didatizada do tópico RCN
que atende aos nossos propósitos e identificamos as praxeologias
envolvidas (Capítulo 2). Em seguida, analisamos em detalhes as
praxeologias da instituição disciplina estrutura da matéria 1 da UFSC
( ). Temos, portanto, dois resultados que podem ser comparados. Para
investigar a relação entre ( ) e o objeto Radiação de Corpo negro,
elaboramos duas etapas de análise que complementam a metodologia
desenvolvida para este trabalho de dissertação. São elas:
a) Etapa 1 – Praxeologia e o Livro-texto: definição das tarefas ( ) técnicas ( ), tecnologias ( ) e teorias ( ) desenvolvidas no
capítulo que trata da RCN. Ao mesmo tempo, tecemos
comentários e críticas, sempre em comparação com o Contexto
da Ruptura construído no Capítulo 2, para depois sintetizarmos
os resultados da análise num esquema que torne sua
visualização mais clara.
b) Etapa 2 – Categorização das tarefas ( ) e tipos de tarefas ( ):
classificação das atividades que os alunos do curso de física
realizam em tarefas ( ) e tipos de tarefas ( ) a fim de
compreender um pouco melhor quais saberes são necessários
para suas realizações. Tais atividades são exercícios do livro-
texto (1), do livro-texto (2) e dos documentos coletados.
80
3.4 Etapa 1: praxeologia e o livro-texto
O capítulo de abertura do livro-texto (1) denomina-se
“Radiação térmica e o postulado de Planck”. Ele se divide em sete
sessões ou subcapítulos e se encerra com vinte questões e dezoito
problemas.
3.4.1 Introdução
A primeira sessão denomina-se “Introdução”, e situa o leitor,
mesmo que muito pouco, nos fatos históricos da física na virada do
século XIX para o XX. Segundo o livro, a publicação do trabalho de
Planck sobre o espectro do corpo negro, em 14 de Dezembro de 1900, é
considerado o nascimento da mecânica quântica, cujos aspectos
bastantes gerais são também comentados nesta sessão introdutória, que
contextualiza brevemente o momento da ruptura.
3.4.2 Radiação térmica
A sessão dois denomina-se “RADIAÇÃO TÉRMICA”. Nela,
são definidos os conceitos importantes que serão utilizados no decorrer
do capítulo. São eles: radiação térmica, equilíbrio térmico, corpo negro,
radiância espectral, radiância total, Lei de Stefan e Lei de Deslocamento
de Wien. Também é apresentado, nessa sessão, o gráfico da radiância
espectral de um corpo negro em função da frequência da radiação. Na
citação a seguir, encontramos as primeiras definições:
“A radiação emitida por um corpo devido a sua
temperatura é chamado radiação térmica. Todo
corpo emite esse tipo de radiação para o meio que
o cerca, e dele a absorve. Se um corpo está
inicialmente mais quente do que o outro, ele irá se
esfriar, porque a sua taxa de emissão de energia
excede à taxa de absorção. Quando o equilíbrio
térmico é atingido, as taxas de absorção e emissão
são iguais”. (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 20)
Nota-se que, da maneira como as definições são introduzidas,
há pouco aprofundamento na teoria termodinâmica se a compararmos
com o Capítulo 2. Com isso, o aprofundamento teórico no decorrer da
discussão do tópico pode permanecer superficial ou ficar comprometido
81
com os exemplos que aparecerão em breve. Em seguida, uma descrição
qualitativa sobre o fenômeno da emissão de radiação visível por objetos
aquecidos é realizada, evidenciando uma relação entre a cor aparente da
radiação e a temperatura, sem mencionar a condição de equilíbrio
térmico dos corpos aquecidos. O conceito de corpo negro é definido
como corpos cujas superfícies absorvem toda a radiação térmica
incidente sobre eles, sem mencionar o trabalho de Kirchhoff.
“No entanto, a experiência nos mostra que há um
tipo de corpo quente que emite espectros térmicos
de caráter universal. Esses corpos são chamados
de corpos negros, isto é, corpos cujas superfícies
absorvem toda a radiação térmica incidente sobre
eles. O nome é apropriado porque esses corpos
não refletem a luz e são negros”. (EISBERG;
RESNICK, 1994, p. 20)
Novamente, aqui, o texto não toca nos aspectos termodinâmicos
com clareza, isto é, não é clara a ligação de corpo negro com o
equilíbrio térmico ou com a permanência da temperatura do sistema
constante. Se utilizarmos a definição acima para aproximar corpos
realísticos do modelo de corpos negros ideais, como, por exemplo, um
atiçador de ferro no fogo ou sistemas mais complexos como o Sol, não
conseguiríamos. Segundo a definição do livro-texto (1), seria impossível
caracterizar corpos diferentes de uma cavidade ou que não sejam
perfeitamente negros como corpos negros. Segundo a definição acima,
os corpos tem que ser negros. O atiçador de ferro no fogo emite luz, e
portanto não é negro! Muito menos o Sol.
A discussão de Kirchhoff que introduz o modelo de corpo
negro, como escrito no Capítulo 2, caberia muito bem neste trecho do
texto, mas somente no final desta sessão é discutido o balanço
energético entre absorção e emissão de radiação de um corpo negro,
citando, mesmo que em apenas uma linha, a lei de Kirchhoff.
A radiância espectral é definida como a distribuição espectral
da radiação do corpo negro, e o gráfico característico da radiância em
função da frequência para diferentes temperaturas é apresentado como
resultado experimental a partir de Lummer e Pringsheim, em 1899, com
seus limites e máximos discutidos. A radiância espectral, talvez um dos
conceitos mais importantes do capítulo, é apresentada sem ligação com
o equilíbrio térmico e e de forma pouco aprofundada. Claro que essas
82
lacunas podem ser supridas pelo professor, mas no texto as explicações
estão ausentes.
Figura 10: Gráfico da radiância espectral de um corpo negro e sua respectiva
legenda, retirados do livro-texto (1).
Fonte: (EISGERG ; RESNICK, 1994, pg. 21).
Através de uma análise qualitativa da função de distribuição
expressa pelo gráfico, o livro-texto (1) apresenta a radiância total do
corpo negro, a Lei de Stefan e a lei de Deslocamento de Wien, sem
mencionar argumentos do Eletromagnetismo e da Termodinâmica que
foram utilizados originalmente para a dedução dessas leis. Este é o
momento em que poderia haver comentários mais significativos sobre a
teoria Eletromagnética no texto, como visto no Capítulo 2. Vide citação
a seguir: “A integral da radiância espectral ( ) sobre
todas as frequências é a energia total emitida por
unidade de tempo por unidade de área por um
corpo negro a temperatura . É dita Radiância .
Isto é ∫ ( )
,. Como vimos da
discussão precedente, da figura 1.1, ( ) cresce
rapidamente com o aumento da temperatura. De
fato, este resultado é chamado lei de Stefan, e foi
enunciado pela primeira vez em 1879 sob a forma
de uma equação empírica. , onde é
chamada de constante de Stefan-Boltzmann. A
83
figura 1.1 também mostra que o espectro se
desloca para maiores frequências à medida que T
aumenta. Este resultado é chamado de lei de
deslocamento de Wien: , onde é a
frequência na qual tem seu valor máximo
para uma dada temperatura”. (EISBERG;
RESNICK, 1994, p. 21 e 22)
Antes de concluir a sessão, é mostrado que a Radiação de Corpo
Negro pode ser substituída pela radiação de uma cavidade mantida a
uma temperatura fixa, que escapa para o exterior através de um orifício
pequeno, o que caracteriza uma Radiação de Corpo Negro. Tal
substituição do objeto “corpo negro” para “cavidade” será importante
para a didatização que o livro adota, uma vez que ele passará a trabalhar
com a radiação que preenche a cavidade, e não com as paredes ou a
superfície de um corpo negro. Neste ponto, podemos perceber que a
escolha em enfatizar a radiação e não a matéria e os exemplos que serão
colocados a seguir começam a dar indícios da teoria ( ), tecnologia ( )
e técnica ( ) que o livro-texto (1) pretende desenvolver para tratar o
fenômeno da Radiação de Corpo Negro.
A seguir, são mostrados os dois exemplos numéricos, “a” e “b”,
para aplicação da lei de Stefan e lei de deslocamento de Wien, segundo
a hipótese de que a superfície das estrelas são corpos negros. E esta
hipótese parece não ter coerência com a definição de corpo negro
apresentada há pouco pelo livro, o que pode tornar confuso o
entendimento do leitor. “a) Como , a velocidade constante da luz, a
lei de deslocamento de Wien também pode ser
colocada na forma , onde
é o comprimento de onda na qual a
radiância espectral atinge seu valor máximo para
uma dada temperatura T. O valor determinado
experimentalmente para a constante de Wien é
. Se supusermos que as superfícies
estelares se comportam como corpos negros,
podemos obter uma boa estimativa de sua
temperatura medindo-se . Para o Sol,
, enquanto que para a Estrela do
Norte (Estrela Polar) . Achar a
temperatura dessas estrelas. Para o Sol,
. Para a Estrela do Norte,
.
84
b) Usando a lei de Stefan e a temperatura obtida
acima, determinar a potência irradiada por 1 cm²
da superfície estelar. Para o Sol,
( )
Para a
Estrela do
Norte,
( )
” (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 23
e 24)
3.4.3 A teoria clássica da radiação da cavidade
A sessão três denomina-se “A teoria clássica da radiação de
cavidade”. Inicialmente, é definido com clareza que o cálculo utilizado
nela será aquele desenvolvido essencialmente por Rayleigh e Jeans.
Segue a descrição: “No início deste século, Rayleigh, e também
Jeans, fizeram o cálculo da densidade de energia
da radiação da cavidade (ou do corpo negro), o
qual mostrou uma séria divergência entre a física
clássica e os resultados experimentais. Este
cálculo é análogo aos que aparecem ao
considerarmos muitos outros fenômenos (por
exemplo, calor específico dos sólidos), que serão
tratados mais tarde. Apresentaremos os detalhes
do cálculo aqui, mas, como uma forma de facilitar
a sua compreensão, faremos antes uma digressão
sobre o problema.” (EISBERG; RESNICK, 1994,
p. 24)
Dessa maneira, a sessão define uma tarefa a ser realizada:
descrever a função da distribuição espectral da radiação da cavidade.
Denominaremos essa tarefa de ( ). Notamos também que as definições
e exemplos da sessão anterior parecem servir de base tecnológica para o
que será desenvolvido nesta sessão, de maneira que o problema da
Radiação de Corpo Negro se resume em determinar a forma da
distribuição espectral. Ainda conforme citação anterior, o livro-texto
parece justificar, de maneira geral, a escolha da abordagem de Rayleigh
e Jeans (em detrimento da maneira desenvolvida pelo Planck, por
exemplo) por sua abrangência em tratar outros fenômenos discutidos
mais adiante em outros capítulos, inclusive o calor específico dos
sólidos. Esta é a sua opção didática. A seguir, o livro apresenta um
resumo da sessão:
85
“Consideremos uma cavidade com paredes
metálicas aquecidas uniformemente a uma
temperatura T. As paredes emitem radiação
eletromagnética na faixa térmica de frequências.
Sabemos que isso acontece, basicamente, por
causa dos movimentos acelerados dos elétrons nas
paredes metálicas, que surgem como resultado da
agitação térmica (vide apêndice B). No entanto,
não é necessário estudar detalhadamente o
comportamento dos elétrons nas paredes da
cavidade. Em vez disso, estudaremos o
comportamento das ondas eletromagnéticas em
seu interior. Rayleigh e Jeans procederam da
seguinte maneira. Inicialmente, a teoria
eletromagnética clássica é usada para mostrar que
a radiação dentro da cavidade deve existir na
forma de ondas estacionárias com nós sobre as
superfícies metálicas. Usando-se argumentos
geométricos, faz-se uma contagem do número
dessas ondas estacionárias cujas frequências estão
no intervalo de e , de forma a determinar
como esse número depende de . Então usa-se um
resultado da teoria cinética clássica dos gases para
calcular a energia total média dessas ondas
quando o sistema está em equilíbrio térmico. A
energia total média depende, na teoria clássica,
apenas da temperatura T. O número de ondas
estacionárias no intervalo de frequências,
multiplicado pela energia média das ondas e
dividido pelo volume da cavidade, nos dá a
energia média contida em uma unidade de volume
no intervalo de frequências de e . Esta é a
quantidade desejada, a densidade de energia
( ). Façamos agora tudo isso em detalhes.”
(EISBERG; RESNICK, 1994, p. 24 e 25)
Este resumo define a técnica utilizada pelo livro-texto (1), que
vamos denominar ( ), para realizar o cálculo da densidade de energia
da radiação de um corpo negro, e explicitamente aponta para a maneira
como Rayleigh e Jeans procederam no tratamento do problema,
assemelhando-se ao esquema sintetizado na sessão 2.3 do Capítulo 2
desta dissertação.
Atentamos para um fato curioso neste ponto. Ao afirmar que
não é necessário estudar os elétrons nas paredes metálicas da cavidade, o
livro opta por usar o modelo das ondas eletromagnéticas aprisionadas
86
numa cavidade de paredes metálicas para tratar os modos normais,
passando, portanto, a estudar a radiação eletromagnética da cavidade.
Consequentemente, como agora ele trabalha somente com a radiação e
não com a matéria, qualquer resultado que venha a ser atingido,
inclusive a quantização que será descrita em breve, será referente às
ondas eletromagnéticas, e não à energia dos osciladores como do
modelo proposto por Planck.
Em seguida, acontece a descrição detalhada da técnica ( ) proposta acima. Inicialmente é estabelecido o modelo de ondas
eletromagnéticas dentro de uma cavidade metálica cúbica: “Suponhamos para simplificar que a cavidade
com paredes metálicas contendo radiação
eletromagnética tenha a forma de um cubo cujas
arestas medem . Então a radiação que é refletida
sucessivamente pelas paredes pode ser
decomposta em três componentes, ao longo das
três direções mutualmente perpendiculares
definidas pelas arestas da cavidade. Como as
paredes opostas são paralelas, as três componentes
da radiação não se misturam, e podemos trata-las
separadamente. Consideremos inicialmente a
componente e a parede metálica em .
Toda radiação nessa direção que incide sobre a
parede é refletida por ela, e as ondas incidente e
refletida se combinam formando uma onda
estacionária. Como a radiação eletromagnética é
vibração transversal, com o vetor campo elétrico
perpendicular à direção de propagação, e como
a direção de propagação para essa componente é
perpendicular à parede considerada, seu vetor
campo elétrico é paralelo à parede. No entanto,
na parede metálica não pode haver campo elétrico
paralelo à superfície, pois as cargas sempre fluem
de forma a neutralizar o campo elétrico. Portanto,
essa componente de deve ser sempre zero na
parede. Isto é, a onda estacionária associada à
componente da radiação deve ter um nó
(amplitude zero) em . A onda estacionária
também deve ter um nó em , pois não é
possível ai a existência de campo elétrico paralelo
a essa parede. Além disso, condições semelhantes
se aplicam às duas outras componentes.”
(EISBERG; RESNICK, 1994, p. 25)
87
Após esta passagem, que brevemente faz considerações
eletromagnéticas sobre a radiação na cavidade, é realizada a contagem
de modos normais desta radiação em apenas uma dimensão espacial. A
contagem dos modos é necessária, pois, conforme a Teoria Ondulatória,
estes são os graus de liberdade do sistema ondulatório, ou seja, a
maneira como as ondas absorvem energia. Optamos, aqui, por não
transcrever as passagens do livro-texto (1) nesta descrição, pois ela é
semelhante à contagem de modos desenvolvida por Rayleigh e Jeans já
descrita em detalhes no Capítulo 2 desta dissertação.
Em seguida, o resultado do número de modos normais em uma
dimensão é generalizado para o caso tridimensional. Depois, são
realizadas considerações a respeito do equilíbrio termodinâmico do
sistema para que seja possível classificar os modos normais de vibração
como constituintes gerais (entes) de um sistema em equilíbrio
termodinâmico, a fim de que, por fim, possamos utilizar aqui, como
consideraram Rayleigh e Jeans, o princípio da equipartição da energia, e
atribuir
de energia a cada grau de liberdade do sistema, que, no caso
de ondas estacionárias, são os modos normais de vibração. “No entanto, para um sistema contendo um grande
número de entes físicos do mesmo tipo, que estão
em equilíbrio térmico entre si, a uma temperatura
, a física clássica faz uma previsão bem definida
dos valores médios das energias desses entes. Isso
se aplica ao nosso caso, já que o grande número
de ondas estacionárias que constituem a radiação
térmica dentro da cavidade são entes do mesmo
tipo que estão em equilíbrio térmico entre si a
uma mesma temperatura , a temperatura das
paredes da cavidade.” (EISBERG; RESNICK,
1994, p. 31)
Conclusivamente, a fórmula de Rayleigh-Jeans para a densidade
de energia da cavidade é alcançada multiplicando-se o número de ondas
estacionárias no intervalo de frequências pela energia média dessas
ondas, obtendo-se:
( )
(3.1)
O último parágrafo desta sessão trata do episódio conhecido
como Catástrofe do Ultravioleta:
88
“Na figura 1-8 comparamos as previsões dessa
equação com os dados experimentais. A
discrepância é evidente. No limite de baixas
frequências, o espectro clássico se aproxima dos
resultados experimentais, mas, à medida que a
frequência cresce, a previsão teórica vai a infinito.
A experiência nos mostra que a densidade de
energia sempre permanece finita, como é óbvio
que deveria permanecer; na realidade, a densidade
de energia vai a zero para frequências muito altas.
O comportamento grosseiramente não realista da
previsão da teoria clássica para altas frequências é
conhecido na física como a „catástrofe do
ultravioleta‟. O termo sugere e enfatiza a não
validade da teoria clássica nesta região.”
(EISBERG; RESNICK, 1994, p. 31)
Do Capítulo 2 desta dissertação, sabemos que o cerne do
problema reside justamente no princípio da equipartição da energia, que
leva em conta a maneira como os sistemas trocam energia entre si, mas
ao citar a “catástrofe do ultravioleta” e a discrepância experimental,
conforme a última citação, o livro-texto (1) não indica onde está
exatamente localizado o problema. Não está especificado se a
discrepância é causada por imprecisão do equipamento de medida, ou
por alguma falha na teoria eletromagnética, ou alguma consideração na
teoria ondulatória, ou no princípio da equipartição da energia, ou tudo
isso ao mesmo tempo, o que pode gerar confusão para o leitor. Portanto,
não há clareza quanto ao objetivo de discutir a “catástrofe do
ultravioleta” da maneira como foi feito.
Conclusivamente, podemos constatar que a didatização do
livro-texto (1) desenvolve a descrição da função densidade de energia
conforme a abordagem de Rayleigh e Jeans descrita no Capítulo 2 desta
dissertação. Fica evidente também que a Teoria Ondulatória é
predominante durante a descrição e que a ênfase desta abordagem está
no cálculo dos modos normais de vibração. Alguns resultados da Teoria
Termodinâmica são citados ao se definir rapidamente o conceito de
corpo negro, equilíbrio térmico e ao fazer uso do Princípio da
Equipartição da Energia. A Teoria Eletromagnética é citada rapidamente
quando o livro faz uso das condições de contorno das ondas
eletromagnéticas nas paredes metálicas da cavidade. Radiância total,
radiância espectral, lei de Stefan, lei de deslocamento de Wien são
introduzidos a partir de dados experimentais. Dois exemplos numéricos
89
para a utilização da Lei de deslocamento de Wien e Lei de Stefan são
resolvidos.
Tendo agora uma visão geral da sessão dois, novamente
escrevemos a tarefa ( ) que a praxeologia presente na didatização do
livro pretende executar: descrever a função da distribuição espectral da
radiação da cavidade. Para executá-la, o livro-texto (1) constrói um
percurso didático em etapas, isto é, está definindo as etapas da técnica
que utiliza, da qual denominaremos aqui de ( ). Veja que, primeiro,
ele expõe a técnica ( ,) para, depois, comentar sobre a incoerência
entre experiência e saber clássico. Podemos então escrever as três
primeiras etapas da técnica ( ) na seguinte ordem:
1) definir conceitos básicos;
2) desenvolver em detalhes a técnica ( ); 3) comentar sobre incoerência entre experimento e teoria.
3.4.4 Teoria de Planck da radiação de cavidade
A próxima sessão, quarta na sequência, intitula-se “Teoria de
Planck da radiação de cavidade”. Remetendo ao Capítulo 2 desta
dissertação, somos levados a notar certa estranheza neste título, uma vez
que Planck não possui uma teoria para a radiação da cavidade, e sim
para o modelo de cargas oscilantes e suas energias nas paredes dessa
cavidade, o que acaba exemplificando a transformação do saber durante
o processo de sua transposição. A primeira afirmação desta sessão é a
seguinte: “Ao tentar solucionar a discrepância entre a teoria
e a experiência, Planck foi levado a considerar a
hipótese de uma violação da lei de equipartição da
energia sobre a qual a teoria se baseava.”
(EISBERG; RESNICK, 1994, p. 32)
O próximo passo do livro-texto (1) é mostrar de que maneira
Planck foi levado a considerar uma violação no princípio da
equipartição da energia. A próxima citação e a figura 10 tentam mostrar
de que maneira Planck atingiu este feito:
90
Figura 11: Gráfico da radiância espectral segundo os resultados experimentais
em comparação com a previsão de Rayleigh e Jeans (teoria clássica) e sua
respectiva legenda retirados do livro-texto (1).
Fonte: (EISGERG ; RESNICK, 1994, pg. 32).
“Da figura 1.8, é claro que a lei [de Rayleigh e
Jeans] dá resultados satisfatórios para baixas
frequências. Portanto, podemos supor
A discrepância para altas frequências poderia ser
eliminada se houvesse, por algum motivo, um
corte, de forma que
Em outras palavras, Planck descobriu que, nas
circunstâncias que predominam no caso da
radiação de corpo negro, a energia média das
ondas estacionárias é uma função da frequência...
Isso contradiz a lei da equipartição da energia...”
(EISBERG; RESNICK, 1994, p. 32)
Dois comentários são importantes neste ponto. Primeiramente,
não podemos nos esquecer de que as diversas tentativas de Planck para
resolver o problema da Radiação de Corpo Negro basearam-se na Física
Clássica, e as conclusões que ele atinge a partir delas enfatizam a
necessidade de postular algo novo e romper com a velha física. Segundo
citação acima, Planck é levado a esta hipótese de violação analisando simplesmente os limites do gráfico da radiância espectral, como se o
problema fosse resumido a um ajuste de curva. Em segundo lugar,
conforme citação anterior, Planck atinge suas conclusões trabalhando
com o modelo de ondas eletromagnéticas estacionárias na cavidade
91
metálica, o que discorda de seu trabalho original, onde ele modela os
elétrons nas paredes da cavidade como osciladores, conforme visto no
Capítulo 2 desta dissertação. Há, aqui, portanto, uma discordância com
os trabalhos originais, que culminará com a quantização da energia do
campo eletromagnético, e não quantização da energia dos osciladores
nas paredes da cavidade.
Em sequência, o livro-texto (1) frisa a origem da equipartição
da energia através da distribuição de probabilidades de Boltzmann,
distribuição esta deduzida num apêndice no final do livro. Em seguida,
usa-se esta probabilidade para se calcular a energia média, segundo:
∫ ( )
∫ ( )
(3.2)
onde ( ) é a probabilidade de encontrar um dado ente de um
sistema com energia num intervalo . Neste caso, os entes são um
conjunto de ondas estacionárias oscilando em movimento harmônico
simples em equilíbrio térmico em uma cavidade de corpo negro. Por
fim, como os entes de um sistema podem assumir qualquer energia,
somar todas elas é o papel da integral escrita em (3.2).
Em seguida, lê-se a frase: “A grande contribuição de Planck surgiu quando
ele descobriu que poderia obter o corte necessário,
se modificasse o cálculo que leva de ( ) a , tratando a energia como se ela fosse uma
variável discreta, em vez de uma variável
contínua, como sempre foi considerada na física
clássica.” (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 33)
Todo o trabalho termodinâmico, estatístico e eletromagnético de
Planck é resumido em uma frase, bastando agora resolver novamente a
equação para , trocando a integral por uma soma discreta, uma vez que
ela não pode mais assumir qualquer valor.
Em seguida, há a passagem: “Planck descobriu que ele poderia obter
quando a diferença entre energias sucessivas for pequena, e quando é grande. Como
ele precisava obter o primeiro resultado para
baixos valores de frequência , e o segundo para
grandes valores de , ele obviamente precisava
fazer de uma função crescente de . Alguns
cálculos lhe mostraram que ele poderia tomar a
relação mais simples possível entre e com
92
essa propriedade. Isto é, ele supôs que essas
grandezas fossem proporcionais.” (EISBERG;
RESNICK, 1994, p. 34 e 35)
Juntamente a este trecho, é apresentada a equação ,
onde é a constante de Planck. Depois, basta utilizarmos a expressão de
com as novas informações, para que seja realizada uma soma e
encontrada a nova expressão para a energia média:
(3.3)
Desta forma, o livro-texto (1) descreve a maneira como Planck
solucionou o problema da Radiação de Corpo Negro, mostrando,
primeiramente, a origem do Princípio da Equipartição da Energia na
Mecânica Estatística, para, depois, introduzir o postulado de Planck e,
finalmente, revisar o Princípio da Equipartição da Energia e recalcular . Logo, a técnica ( ) ganhou mais etapas.
Após conseguir a nova expressão para , o livro-texto trabalha
seus limites, para mostrar sua coerência com resultados experimentais
do gráfico da radiância espectral em função da frequência.
Multiplicando esta nova expressão de (3.3) pelo número de modos
normais de vibrações das ondas na cavidade (3.1), conforme obtido por
Rayleigh e Jeans, escrevemos o espectro de corpo negro de Planck:
( )
(3.4)
Segundo o livro: “Devemos lembrar que Planck não alterou a
distribuição de Boltzmann. „Tudo‟ que ele fez foi
tratar a energia das ondas estacionárias
eletromagnéticas, oscilando senoidalmente com o
tempo, como grandeza discreta em vez de
contínua.” (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 37)
Novamente, aqui, é reforçada a ideia de que Planck, em todo
seu trabalho, idealizou um modelo para a radiação, e não para as paredes
da cavidade. Em seguida, como exemplo, é realizado o cálculo
detalhado da expressão a seguir (3.5), que nos dá a energia média,
considerando-se a energia discreta e múltipla de :
∑ ( )
∑ ( )
(3.5)
93
Também como exemplo, é demonstrado o cálculo detalhado de
como escrever o espectro de corpo negro de Planck na variável λ. Ainda
no final da sessão, é comentado, sem detalhes de cálculo, como é
possível deduzir a lei de Stefan e a lei de deslocamento de Wien a partir
do espectro de corpo negro de Planck. Estes exemplos são discutidos
para mostrar que a fórmula de Planck é consistente com os resultados
clássicos já conhecidos. “A lei de Stefan é obtida integrando-se a lei de
Planck sobre todo o espectro de comprimento de
onda. Obtém-se que a radiância é proporcional à
quarta potência da temperatura, sendo a constante
de proporcionalidade identificada
com , a constante de Stefan, que tem o valor
determinado experimentalmente de . A lei de deslocamento de Wien é obtida
fazendo-se ( ) . Encontramos
, e identificamos o lado
direito desta equação com a constante de Wien,
determinada experimentalmente como sendo
. Usando-se esses dois valores
medidos, e supondo-se um valor para a velocidade
da luz, podemos calcular os valores de e . De
fato, isto foi feito por Planck, estando os valores
obtidos bastante próximos dos obtidos
posteriormente por outros métodos.” (EISBERG;
RESNICK, 1994, p. 39)
3.4.5 O uso da lei da radiação de Planck na termometria
Na sequência, a sessão cinco, intitulada “O uso da lei da
radiação de Planck na termometria”, discute o princípio de
funcionamento do pirômetro óptico para aferir a temperatura de corpos
aquecidos. Esse exemplo se justifica por ser possível utilizar a equação
de Planck numa aplicação prática e pelo auxílio da termometria na
descoberta da radiação cósmica de fundo em micro-ondas.
3.4.6 O postulado de Planck e suas implicações
A sessão seis, intitulada “O postulado de Planck e suas
implicações”, generaliza o postulado de Planck e discute basicamente
94
suas implicações em sistemas macroscópicos, generalizando o termo
“coordenada” para “qualquer quantidade que descreva a condição
instantânea do ente”. Vide citação a seguir: “Qualquer ente físico com um grau de liberdade
cuja „coordenada‟ é função senoidal do tempo
(isto é, executa oscilações harmônicas simples)
pode possuir apenas energias totais e que
satisfaçam a relação , onde
é a frequência de oscilação, e uma constante
universal.” (EISBERG; RESNICK, 1994, p. 40)
É importante frisar que, conforme obtido no Capítulo 2 dessa
dissertação, o postulado de Planck refere-se a um sistema vibratório
material, o que não inclui as ondas eletromagnéticas. O trecho citado
anteriormente parece ser introduzido a fim de generalizar o postulado
para abranger qualquer “ente” de um sistema que oscile, inclusive a luz.
Não há discussão profunda sobre as origens dessa generalização, e
novamente neste ponto é reforçada a ideia de que Planck introduz o
postulado a fim de quantizar as ondas eletromagnéticas. Esta sessão seis
do livro-texto (1) é encerrada com breve discussão de um exemplo de
sistema macroscópico: o pêndulo simples.
3.4.7 Um pouco de história da física quântica
Já na sétima e última sessão deste capítulo, intitulada “Um
pouco de história da física quântica”, o livro comenta de forma
superficial sobre o percurso historicamente trilhado por Planck e escreve
sobre a não generalidade do postulado em seu trabalho original. A
citação ainda não deixa claro quem ou de que maneira é possível
ampliar a abrangência do postulado: “Em sua forma original, o postulado de Planck
não era tão abrangente quanto na forma em que
expusemos. O trabalho inicial de Planck foi feito
tratando, detalhadamente, o comportamento de
elétrons nas paredes do corpo negro e seu
acoplamento ou interação com a radiação
eletromagnética dentro da cavidade. Este
acoplamento leva ao mesmo fator que
obtivemos se partirmos de argumentos mais
gerais, devido a Rayleigh e Jeans. Através deste
acoplamento, Planck associou a energia a uma
dada frequência da radiação de corpo negro à
energia de um elétron na parede oscilando
95
senoidalmente com a mesma frequência, e ele
postulou apenas que a energia da partícula
oscilante é quantizada. Somente mais tarde foi que
Planck aceitou a ideia de que as próprias ondas
eletromagnéticas eram quantizadas, e o postulado
foi ampliado de forma a incluir qualquer ente cuja
coordenada oscilasse senoidalmente.” (EISBERG;
RESNICK, 1994, p. 42)
A análise do capítulo 1 do livro-texto (1) encerra-se aqui.
3.5 A técnica ( ) do livro-texto (1)
Agora, é possível escrever todas as etapas da técnica ( )
adotada pelo livro-texto (1):
1) Definir conceitos básicos;
2) Descrever a técnica de Rayleigh e Jeans ( ); 3) Comentar sobre a incoerência entre o experimento e o saber
clássico;
4) Mostrar a origem do Princípio da Equipartição da Energia na
Mecânica Estatística;
5) Introduzir o postulado de Planck;
6) Revisar o Princípio da Equipartição da Energia para recalcular
; 7) Multiplicar número total de modos normais das ondas na
cavidade pela nova expressão de ; 8) Trabalhar os limites da expressão de Planck;
9) Generalizar o postulado de Planck.
Utilizando esta técnica ( ), o livro-texto (1) realiza a tarefa
( ): descrever a função da distribuição espectral da radiação da
cavidade. Apesar de justificar essa didatização adotada por ser útil em
outros capítulos, o livro-texto (1) aparentemente a escolheu por ser uma
maneira bastante didática (simples e rápida) de deduzir a expressão de
Planck para a Radiação de Corpo Negro. É importante, neste ponto,
sintetizarmos o percurso didático e os demais exemplos discutidos ao
longo da análise nessa Etapa 1 num esquema que facilite a sua
visualização. Este esquema também foi montado propositalmente para
destacar os exemplos trabalhados pelo livro-texto (1) ao longo do
percurso. Tal destaque auxilia a análise dos demais dados nas próximas
etapas metodológicas.
96
Quadro 3: esquema que sintetiza a técnica ( ) utilizada pelo livro-texto (1)
para deduzir a fórmula de Planck. Nele, destacamos os exemplos trabalhados ao
longo do Capítulo 1 do livro-texto (1), o percurso seguido por ele e as
respectivas etapas da técnica ( ) associadas ao percurso.
Fonte: dados da pesquisa
97
Os exemplos discutidos ao longo do Capítulo foram
propositadamente não incluídos na técnica ( ). Isso se deve ao fato
que, como será discutido na próxima etapa, somente o conhecimento de
tais exemplos é suficiente para a realização de muitas tarefas, reduzindo
a utilidade da técnica ( ) em resolver tarefas propostas. A didatização
trazida pelo livro-texto enfatiza o bloco tarefa-técnica [ , ]. Com isso, fica caracterizado o saber a ser ensinado segundo a
didatização presente no livro-texto (1), que, conforme nossa análise,
privilegia a Teoria Ondulatória e a Mecânica Estatística. Uma pessoa
(X) pertencente a uma instituição disciplina que se relaciona com o
objeto RCN da maneira como foi identificada, pode criar uma relação
pessoal com este objeto RCN com ênfase na Teoria Ondulatória e
técnica de contagem de modos normais de vibração numa cavidade.
Também constatamos que a técnica descrita acaba quantizando o campo
eletromagnético, ou as ondas eletromagnéticas, e não a energia dos
osciladores nas paredes da cavidade. Portanto, fica assim definido o que
a pessoa vai aprender.
O livro-texto (1) procede desta maneira, pois aparentemente sua
pretensão é deduzir o mais rápido possível a fórmula de Planck. Este
percurso caracteriza a relação institucional do livro-texto (1) com o
objeto Radiação de Corpo Negro. Na próxima Etapa, vamos analisar as
tarefas ( ) e tipos de tarefas ( ) propostas para este conteúdo transposto
na técnica ( ).
3.6 Etapa 2: Categorização das tarefas ( ) e tipos de tarefas ( )
Primeiramente, é feita a contagem das Tarefas ( ) e Tipos de
Tarefas ( ) identificadas no material coletado. Notemos que os
elementos que constituem este material aparecem em momentos de
estudos diferentes durante a apresentação do tópico RCN; momentos
que abrangem as relações entre a tríade aluno-saber-instituição. As listas
de exercícios caracterizam o momento de estudo do aluno e a relação
estudante-saber, enquanto que as provas são posteriores e caracterizam o
momento de avaliação da instituição. As listas de exercícios balizam o
aluno sobre o que o professor considera importante, enquanto que as
provas contêm aquilo que o aluno “deveria saber”. Em consequência, os elementos do material coletado ficam
assim classificados: provas, livros-textos e listas de exercícios. Em cada
um deles, um problema ou questão pode dar origem a diferentes tarefas
98
( ), que, por sua vez, podem ser agrupadas em Tipos de Tarefas ( ). Por
exemplo, nos livros-textos, encontramos o seguinte exercício: “Encontre da radiação de corpo negro para (a)
(b) e (c) .”
Neste exercício são identificadas três Tarefas ( , , ) representadas ali pelos itens “a”, “b” e “c”, que se enquadram num
mesmo Tipo de Tarefa ( ): calcular dada a temperatura do corpo
negro. Neste próximo exemplo, em uma das provas, encontramos o
seguinte exercício: “Suponha que a temperatura do filamento de uma
lâmpada incandescente de 50 W é de
aproximadamente 3.000 K. Supondo que o
filamento se comporte como um corpo negro: (a)
determine o comprimento de onda no máximo
da distribuição espectral. (b) determine a
frequência máxima no máximo da distribuição
espectral;”
Nesse caso, identificamos no exercício duas tarefas ( ) ali
representadas pelos itens “a” e “b”, respectivamente: em “a”, calcular
dada a temperatura do corpo negro, e em “b”, calcular a frequência
no máximo de distribuição a partir da temperatura ou . Em
princípio, ( ) podem ser enquadradas, respectivamente, em:
( ) (calcular dada a temperatura do corpo negro); novo tipo
de tarefa ( ) (calcular dada a temperatura do corpo negro). Porém,
( ) e ( ) são semelhantes, bastando utilizar a Lei de Deslocamento de
Wien para resolvê-las. Portanto, podemos ainda enquadrar as tarefas
( , , , , e ) no mesmo tipo de tarefa ( ): calcular , ou
temperatura a partir da Lei de Deslocamento de Wien. As Tarefas ( ), Tipos de Tarefas ( ) e os exercícios coletados encontram-se no anexo 2.
A tabela abaixo mostra a contagem de exercícios, tarefas ( ) e tipos de
tarefas ( ) dos elementos ou objetos provas, livros-textos e lista de
exercícios.
99
Tabela 1: Quantidade de Exercícios, Tarefas e Tipos de Tarefas encontrados em
provas, livros-textos e listas de exercícios.
Atividades
Objetos dos diferentes momentos didáticos
TOTAL Provas
Livro-Texto
(1)
Livro-Texto
(2)
Lista de
exercícios
Exercícios 11 38 12 11 72
Tarefas 37 48 25 23 133
Tipos de
Tarefas 14 38 9 9
70
Fonte: Dados da pesquisa.
Na tabela 1, considerando todos os objetos coletados, contamos
133 tarefas que agrupamos em 70 tipos de tarefas. Destes 70 tipos de
tarefas, algumas se encontram repetidas em objetos diferentes. Da
mesma tabela, notamos que o livro-texto (1) consegue diversificar mais
os Tipos de Tarefas que os demais objetos listados. Podemos considerar
que muitas tarefas categorizadas em poucos tipos de tarefas exigem do
aluno a repetição da mesma atividade diversas vezes. Em si, a repetição
não é ruim, uma vez que, para o registro da atividade, é necessário que o
aluno repita a operação algumas vezes. Porém, o que seria ideal evitar é
a utilização absoluta de uma mesma técnica, sem a exploração de outra.
Para expor os saberes presentes nos Tipos de Tarefas ( ), os
classificamos segundo Tipos de Atividades mais comuns praticadas
durante a resolução dos exercícios num curso de Física. Algumas
categorias são baseadas em Kurnaz e Arslan (2009). São elas: Tipos de
Tarefas que envolvem Cálculo, Interpretação-Explicação, Construção de
Gráficos, Análise de Gráficos e Análise-Interpretação de Dados
Experimentais. Vide tabela 2 a seguir.
100
Tabela 2: quantidade de Tipos de Tarefas segundo tipos de atividades, de forma
que a porcentagem refere-se à quantidade total de Tipos de Tarefas em cada
objeto da tabela 1 anterior.
Tipos de
Atividades
Quantidade de Tipos de Tarefas TOTAL
Provas Livro (1) Livro (2) Lista
Cálculo 8 (57%) 16 (42%) 7 (77%) 8 (89%) 39
Interpretação-
Explicação 4 (29%) 22 (58%) 2 (23%) 0 28
Construção
Gráfica 1 (7%) 0 0 1 (11%) 2
Análise de
Gráficos 1 (7%) 0 0 0 1
Análise-
interpretação de
dados
experimentais
0 0 0 0 0
Fonte: Dados da pesquisa.
Os Tipos de Tarefas que envolvem Cálculo englobam aquelas
que exigem manipulação de equações ou substituição de valores
numéricos nas expressões e fórmulas, originando como resposta um
valor numérico ou uma expressão matemática. Tarefas Interpretação-
Explicação são aquelas que exigem discussão dos conceitos ou
discussão dos significados das grandezas físicas e explicação e
justificação das respostas, sendo algumas difíceis e emblemáticas. As do
tipo Construção de Gráficos são tarefas que exigem construção de
gráficos no plano cartesiano e conhecimento das propriedades de
derivação, integração, inclinação das curvas, máximos e mínimos,
enquanto que Análise de Gráficos são tarefas que conectam os gráficos
com significados de conceitos físicos e suas interpretações. Tarefas que
apresentam dados experimentais e os conecta com conceitos e os
significados destes conceitos enquadram-se no Tipo de Tarefas Análise-
Interpretação de Dados Experimentais.
Da Tabela 2, concluímos que tipos de tarefas que exigem
cálculo são as mais priorizadas em todo o material coletado, exceto no
livro-texto (1), ou seja, o bloco tarefa-técnica [ , ] é privilegiado. Logo,
tipos de tarefas que envolvem cálculo devem ser analisados com maior rigor, a fim de expor os saberes ali envolvidos. Também, notamos na
tabela 2, que os tipos de tarefas que exigem interpretação-explicação
somam um número expressivo. Logo, também é interessante analisá-los
mais a fundo.
101
Ainda em relação à tabela 2, notamos que tipos de tarefas que
exigem análise e conhecimento gráfico são praticamente inexistentes
(elas representam
ou do total dos Tipos de Tarefas em todo o
material coletado), e tipos de tarefas que poderiam permitir analisar ou
interpretar dados experimentais não estão presentes.
3.6.1 Tipos de Tarefas que envolvem cálculo
Explorando melhor a categoria cálculo, é possível classificá-las
segundo as fórmulas utilizadas e manipuladas. Encontramos aqui os
resultados mais famosos da teoria da Radiação de Corpo Negro,
conforme descrito no Capítulo 2 desta dissertação. Vide tabela 3 a
seguir.
Tabela 3: Quantidade de vezes que as fórmulas e expressões são utilizadas no
cálculo de determinado Tipo de Tarefa que envolve Cálculo. Nesta tabela, é
levado em conta que alguns tipos de tarefas fazem uso de duas expressões ou
mais.
Fórmulas
Quantidade de vezes que a fórmula é
utilizada para a realização dos Tipos de
Tarefas ( ) que envolvem cálculo TOTAL
Provas
Livro-
texto
(1)
Livro-
texto (2) Lista
Lei de Planck 2 4 4 3 13
Lei de Deslocamento
Wien 1 3 2 3
9
Lei Stephan-
Boltzmann 1 3 2 2
8
Outros 2 4 1 0 7
Valor médio 0 5 0 0 5
Relação de Kirchhoff 2 0 0 0 2
Lei de Rayleigh-
Jeans 0 1 0 0
1
Fonte: Dados da pesquisa.
Na Tabela 3, a categoria “outros” engloba conhecimentos gerais
pouco importantes ou alheios ao conteúdo Radiação de Corpo Negro,
como a aplicação direta de regras de três, relação fundamental da
ondulatória, fórmulas sobre Relatividade, constante solar e resolução de
integrais em geral. Tais conhecimentos são encontrados nas provas e
102
significam pouco para a teoria da RCN discutida em sala. O cálculo do
valor médio é cobrado 5 vezes em tarefas presentes no livro-texto (1), o
que tende a reforçar sua própria técnica ( ), porém parece ser
estranho às atividades trabalhadas em sala e desinteressante para as
provas, conforme podemos ver da tabela 3.
Apesar de as tarefas que envolvem cálculo aparentemente serem
executadas de poucas maneiras, pode haver ainda um caráter
interpretativo na manipulação das equações, permitindo conduzir o
aluno a uma discussão mais profunda. Não somente isso: ao executar
um tipo de tarefa que envolve cálculo, podemos esperar que o aluno
aprenda determinadas técnicas de cálculo, que explore equações
fundamentais, que ele desenvolva uma interpretação física sobre o tema
através da análise do conceito e equações em diferentes contextos,
situações e limites. Na tabela a seguir, classificamos as tarefas ( ) que
envolvem Cálculo segundo a maneira como os conceitos físicos são
explorados durante a realização da tarefa. São eles: manipulação das
equações, exploração de relação entre conceitos, exploração do
significado dos conceitos e exploração de significados na relação entre
conceitos.
Tabela 4: Classificação das tarefas ( ) que envolvem cálculo conforme o modo
como exploram os conceitos físicos envolvidos na resolução das mesmas. A
porcentagem em cada coluna é sempre referente ao TOTAL na última linha.
Categorias
Quantidade de tarefas ( ) Quantidade
total Provas
Livro-
texto
(1)
Livro-
texto
(2)
Lista
Manipulação das
equação
15
(68%)
8
(44,5%)
14
(61,1%)
16
(73%)
53
(62%)
Exploração de
relação entre
conceitos
5
(23%)
2
(11,1%)
6
(26%)
5
(23%)
18
(21%)
Exploração de
significado dos
conceitos
2
(9%)
3
(16,7%)
1
(4,3%)
1
(4%)
7
(8,5%)
Exploração de
significado na
relação entre
conceitos
0 5
(27,7%)
2
(8,6%) 0
7
(8,5%)
TOTAL 22 18 23 22 85
Fonte: Dados da pesquisa.
103
Conforme a tabela 4, mais da metade do cálculo presente no
material coletado prioriza a manipulação das equações, isto é, a
substituição de valores numéricos em fórmulas prontas buscando um
resultado numérico final tão somente e também a manipulação algébrica
de equações que necessitam de conhecimento matemático, mas não a
necessidade de conhecimento conceitual aprofundado. Nesta categoria,
grande parte das tarefas necessita da lei de deslocamento de Wien, Lei
de Planck e Lei de Stefan-Boltzmann para serem executadas, o que está
de acordo com a tabela 3.
Na categoria “exploração de relação entre conceitos”, são
enquadradas tarefas que envolvem mais de uma fórmula ou conceito
para serem executadas. Na categoria “Exploração de significado dos
conceitos”, são enquadradas as tarefas cujas equações, ou até mesmo a
resposta numérica final, trazem um significado ou conceito importante
para realização da tarefa, os quais não podem ser negligenciados. Nas
provas, as questões de Cálculo que exploram o significado dos conceitos
são minoria, sendo que a única questão encontrada, que envolve o
conceito de equilíbrio térmico, está citada a seguir: Um corpo negro (c.n.) esférico (com raio r = 10
cm) está em equilíbrio térmico. Sua temperatura é
mantida em 1000 K devido a um feixe de luz que
incide diretamente sobre ele. Qual a potência
irradiada pelo c.n.? Qual a energia irradiada em 10
s? Qual a energia absorvida pelo corpo negro em
10 s?
O livro-texto (1) ainda diversifica um pouco mais as tarefas. Em
algumas, ele tenta explorar os conceitos que envolvem RCN em
situações físicas distintas. Na tarefa citada a seguir, o livro tenta utiliza a
Lei de Stefan, que no seu texto é pouco explorada, juntamente com a
equivalência massa-energia; resultado da relatividade restrita não
explorado no texto: (a) Supondo que a temperatura da superfície do
sol é 5700 K, use a lei de Stefan, para determinar
a massa de repouso perdida por segundo pelo sol
sob forma de radiação. Considere o diâmetro do
sol como sendo . (b) Que fração da
massa de repouso do sol é perdida a cada ano sob
forma de radiação eletromagnética? Considere a
massa de repouso do sol sendo . É natural que o livro-texto extrapole o conhecimento
desenvolvido por ele para aspectos não tocados anteriormente. Uma
finalidade para tal extrapolação é a sondagem do grau de apropriação do
104
conhecimento pelo aluno. Mas, é possível notar que, para as questões
que exploram o significado dos conceitos e o significado na relação
entre conceitos, semelhantes à citada anteriormente, não é possível
desenvolver uma resposta satisfatória apenas com a leitura do livro-texto
(1) e de sua técnica ( ), pois os conhecimentos necessários para
responder estes tipos de tarefas encontram-se fora do percurso didático
escolhido pelo livro e envolvem conceitos que não estão presentes na
leitura. Outras tarefas desta categoria estão listadas no anexo 2.
3.6.2 Tipos de Tarefas Interpretação-Explicação:
Diferentemente das tarefas que envolvem prioritariamente o
cálculo, Interpretação-Explicação são questões conceituais, necessitam
de aprofundamento teórico e possuem potencial de explorar o
significado dos conceitos e a relação entre eles, enfatizando, portanto, o
bloco tecnologia-teoria [ , ] da praxeologia. Porém quando tentamos
respondê-las, alguns imprevistos aparecem. Abaixo, encontramos alguns
exemplos de exercícios que contêm tarefas agrupadas em Interpretação-
Explicação presentes no livro-texto (1): “Um corpo negro sempre apresenta ser negro?
Explique o termo corpo negro.”
Nesta pergunta, não fica clara a intenção do autor, pois pode
gerar uma resposta superficial e mecânica, bastando repetir a definição
do livro. Mesmo assim, utilizando-se apenas o livro-texto (1), há a
possibilidade de confusão. Segundo a definição do livro, corpos negros
“são corpos cujas superfícies absorvem toda a radiação térmica
incidente sobre eles. O nome é apropriado porque esses corpos não
refletem a luz e são negros.” Tal sentença sugere que este objeto teórico
é sempre negro. Adiante, introduz-se o conceito de radiação de cavidade
e de corpos negros considerados como cavidades. No entanto, o livro-
texto utiliza a estrela Sol ou um atiçador de ferro no fogo como
exemplos de corpos negros. Como o aluno enfrenta o fato de o Sol não
ser negro e poder ser modelado como um corpo negro? Esta questão
pode surgir da pergunta colocada na prova e suscita nova investigação,
não podendo ser respondida nesta dissertação.
Vejamos a próxima questão abaixo, também presente no livro-
texto (1): “Mostre que a constante de Planck tem dimensões
de momento angular. Isso necessariamente sugere
que o momento angular é quantizado?”
105
Neste caso, apesar de tratar-se do conteúdo do capítulo, é
necessário profundo conhecimento de espaço de fase para que uma
resposta satisfatória seja construída, mas o livro-texto (1) não dá
subsídios para tanto. Apesar de que apenas uma análise dimensional da
constante de Planck mostre a igualdade da sua dimensão com a do
momento angular, quais argumentos devem ser considerados para uma
resposta completa? Na questão a seguir, encontramos o mesmo
problema: “As partículas elementares parecem ter um
conjunto discreto de massa de repouso. Pode-se
encarar esse fato como uma quantização da
massa?”
A análise segundo o livro não leva a uma discussão profunda
sobre o que é quantização e quais grandezas são quantizadas. Como se
vê historicamente, nem mesmo Planck considera sua solução suficiente
para implicar a quantização da luz, então parece que podemos esperar
muito pouco de outras grandezas ou sistemas físicos. Como o aluno
pode então discutir a colocação desta questão? Quais os parâmetros
sobre os quais os alunos poderiam se apoiar para concluir positivamente
ou negativamente esta questão? Tais parâmetros não parecem estar
nessa didatização do livro-texto (1). O ponto central é que, sem
parâmetros para sequer pensar sobre o assunto, resta pouco ao aluno.
Estes três exemplos acima são típicos do livro-texto (1). Neles,
notamos claramente um caráter subjetivo, cuja técnica descrita pelo
livro-texto (1) e os exemplos por ele apresentados no capítulo não são
suficientes para que uma pessoa, que só tenha seguido o livro-texto (1),
consiga desenvolvê-los por completo, dependendo praticamente do
apoio do professor. Esta conclusão é facilmente estendida às demais
tarefas Interpretação-Explicação presentes no livro-texto (1). Em
particular, vamos comentar a questão a seguir, também do livro-texto
(1): ela foi repartida em três tarefas, onde uma delas exige cálculo e
explora significados nas relações entre os conceitos físicos para ser
respondida, e as outras duas tarefas são de Interpretação-Explicação.
Segue a questão: “Considere duas cavidades de material e formato
arbitrários, as duas a uma mesma temperatura T,
ligadas por um tubo estreito no qual podem ser
colocados filtros de cor (supostos ideais) que vão
permitir a passagem apenas de radiação com uma
dada frequência . (a) Suponha que em uma certa
freqüência , ( ) para a cavidade 1 seja
maior que ( ) para a cavidade 2. Um filtro
106
que permite a passagem apenas da frequência é
colocado no tubo que liga as duas cavidades.
Discuta o que vai acontecer em termos de fluxo de
energia. (b) O que vai acontecer com as
respectivas temperaturas? (c) Mostre que isto
violaria a segunda lei da termodinâmica; portanto,
prove que todos os corpos negros a uma mesma
temperatura devem emitir radiação térmica com o
mesmo espectro, independentemente dos detalhes
de sua composição.”
A essência deste problema aparece na discussão de Kirchhoff
sobre o corpo negro, conforme descrito no Contexto da Ruptura, no
Capítulo 2. Mas, no livro-texto (1), esta discussão é citada muito
rapidamente na forma de exemplo. Nota-se também que, para responder
satisfatoriamente o que foi colocado, é necessário algum conhecimento
de Termodinâmica, cujo conteúdo em nenhum momento foi trabalhado
no texto em profundidade suficiente para que pudesse gerar uma
resposta.
Nas provas da disciplina encontramos outros tipos de tarefas
Interpretação-Explicação baseadas no livro-texto (1) da disciplina. São
elas: “Explique o que é a „catástrofe do ultravioleta‟.”
“Explique sucintamente as principais diferenças
entre a teoria clássica da radiação e a teoria de
Planck.”
“O problema da teoria clássica da radiação estava
no cálculo do número de modos dos ressonadores
ou na energia por modo? Diga o porquê da sua
resposta.”
“Defina corpo negro e radiação de cavidade.”
Estas questões são dissertativas e envolvem sem sombra de
dúvida mobilização de conceitos, mas são desbalanceadas. Enquanto a
primeira exige o conhecimento sobre a catástrofe, isto é, a sua descrição,
clareza sobre as hipóteses (condições físicas supostas), clareza sobre as
implicações e finalmente explanação dos paradoxos e problemas
gerados por estas consequências, a segunda exige, praticamente, uma
revisão de toda a seção. Como o texto dá ênfase ao processo de
construção da fórmula de Planck, há o temor que as diferenças sejam
explicadas apenas pelo contraste das fórmulas com os dados
experimentais. Uma das perguntas envolve de forma intrigante o
número de modos dos ressonadores (aparentemente osciladores das
paredes), mas o desenvolvimento utilizado fala sempre em ondas
107
estacionárias. As respostas a estas questões daria uma dissertação sobre
o tema. Esses tipos de tarefas encontram-se repetidos nas provas e,
certamente, para afirmações mais diretas, deve ser investigado o que o
professor esperaria como resposta a elas para enfim afirmar
veementemente se há alguma espécie de tentativa de quebra da tradição
ou não.
108
109
4. CONCLUSÕES
4.1 O que se ensina
Da análise apresentada neste trabalho, mostramos que a
didatização do tópico RCN presente no livro-texto (1) concede ênfase
maior na Teoria Ondulatória, prioriza, em parte, a contagem de Modos
Normais de Vibração da radiação eletromagnética contida na cavidade,
conforme executado por Rayleigh e Jeans e exposto no Capítulo 2 desta
dissertação; enfatiza a Mecânica Estatística como base teórica para o
cálculo da energia média dos modos normais de vibração; não enfatiza a
teoria Eletromagnética, apesar de comentar alguns resultados; e não cita
a Teoria Termodinâmica. Não há detalhamento do modelo utilizado por
Planck (paredes da cavidade como cargas oscilando), apenas breve
citação. O postulado de Planck parece surgir da análise dos limites de
gráficos experimentais, e ser inserido providencialmente, a fim de
resolver o cálculo da energia média dos modos normais das ondas em
concordância com os dados experimentais, isto é, sem justificativas
teóricas profundas.
As definições inseridas a priori nas sessões iniciais do livro-
texto (1) não discutem o objeto teórico corpo negro, a Lei de
Deslocamento de Wien e a Lei de Stefan-Boltzmann a partir de
fundamentos termodinâmicos ou eletromagnéticos. O livro-texto (1)
apenas relaciona essas leis com o gráfico da radiância espectral para
dizer que são leis verificadas experimentalmente. Isso as tornam isentas
de significados termodinâmicos ou eletromagnéticos mais profundos, e,
como visto, quando é exigido conhecimento detalhado desses conceitos
em tipos de tarefas Interpretação-Explicação, não há como aprofundar a
resposta.
Os exemplos numéricos no decorrer da técnica do livro-texto
(1) exploram o cálculo (manipulação da equação para atingir um
resultado numérico ou uma equação final) (vide Figura 11 e tabela 4), e
a técnica ( ) adotada pelo livro-texto (1) segue as etapas:
1) Definir conceitos básicos;
2) Descrever a técnica de Rayleigh e Jeans ( ); 3) Comentar sobre a incoerência entre o experimento e o saber
clássico;
4) Mostrar a origem do Princípio da Equipartição da Energia na
Mecânica Estatística;
5) Introduzir o postulado de Planck;
110
6) Revisar o Princípio da Equipartição da Energia para recalcular ; 7) Multiplicar número total de modos normais das ondas na
cavidade pela nova expressão de ; 8) Trabalhar os limites da expressão de Planck;
9) Generalizar o postulado de Planck.
Utilizando esta técnica, o livro-texto (1) realiza a tarefa ( ): descrever a função da distribuição espectral da radiação da cavidade. No
decorrer do desenvolvimento da técnica ( ), o livro-texto (1)
apresentou a quantização da energia como sendo a energia das ondas
eletromagnéticas, e não as energias dos osciladores nas paredes de uma
cavidade ou corpo negro, conforme Planck.
Diante disto, é possível concluir que a didatização presente no
livro-texto (1) explora o resultado da técnica e não a técnica em si, isto
é, prioriza o bloco tarefa-técnica [ , ] da praxeologia, o que justifica o
fato de ele deduzir de maneira rápida e prática a fórmula de Planck e de
definir os conceitos de corpo negro e sua relação com equilíbrio térmico,
Lei de Deslocamento de Wien e Lei de Stefan-Boltzmann da maneira
como fez. Esta ênfase torna-se mais evidente a partir da análise das
tarefas propostas.
Com relação às atividades propostas para os estudantes, tarefas
que exigem cálculo são as mais comuns, seguidas das tarefas de
Interpretação-Explicação. Como vimos nas tabelas 3 e 4, conceitos
como Lei de Planck, Lei de deslocamento de Wien, Leis de Stefan-
Boltzmann, são os mais cobrados nas tarefas de cálculo e, quando
cobrados, seguem o padrão dos exemplos discutidos no decorrer do
texto do livro-texto (1). Dessa maneira, utilizá-las em cálculos repetidas
vezes pode levar o aluno a sua memorização tão somente. Os exemplos
destacados na figura 11 da Etapa 1 foram escritos de modo a não
pertencerem à técnica ( ) do livro-texto (1). Como eles são
suficientes para a resolução de grande parte das tarefas que envolvem
cálculo, podemos dizer que a técnica ( ) do livro-texto 1 não é útil
para resolver os Tipos de Tarefas que envolvem Cálculo.
Nota-se também que a Equação de Rayleigh e Jeans é
mencionada apenas uma vez nas atividades de Cálculo. Porém, é nela
que encontramos um ponto de conflito entre a teoria Clássica e a
Mecânica Quântica, o que pode levar a discutir aspectos relevantes da Ruptura. Também, podemos dizer que no momento de interação entre
aluno e conhecimento, representado pelos exercícios dos livros-textos
(1) e listas de exercícios, não há a utilização da técnica ( ) do próprio
livro, com exceção do cálculo do valor médio (tabela 3).
111
É justo notar que, se, por um lado, a lista de exercícios é uma
particularidade do professor, por outro, esta particularidade se destaca
pouco ou deixa de ser particular quando constatamos que a lista possui
quase que inteiramente atividades semelhantes às do livro-texto e
exploram prioritariamente o cálculo (tabelas 2 e 3). Seria uma forte
manifestação da força da instituição disciplina em impor uma
praxeologia padrão a ser seguida?
Como visto da tabela 2, as provas (momento de avaliação
daquilo que a instituição disciplina considera que o aluno deveria
conhecer ou aprender) priorizam o cálculo, cujas tarefas configuram
mais da metade das atividades, assemelhando-se à distribuição de tarefas
do livro-texto (2), às listas de exercícios e exercícios resolvidos do livro-
texto (1). Novamente, a particularidade do professor, que poderia estar
presente nas provas, não é notada.
Mostramos também que, diferentemente da maioria das tarefas
de cálculo, os tipos de tarefas Interpretação-Explicação necessitam de
aprofundamento nos conceitos que nos instrumentalizam para resolvê-
las. Isso significa que, para realizar tipos de tarefas ( ) Interpretação-
Explicação presentes no próprio livro-texto (1), é necessário que se
conheça e se discuta a tecnologia ( ) e a teoria ( ), isto é, o modelo
praxeológico por completo. As questões discutidas no capítulo 3 desta
dissertação exigem que se conheça e entenda a fundo os conceitos de
equilíbrio térmico, radiação térmica, Lei de deslocamento de Wien, etc.,
mas, quando tais conceitos são transpostos pelo livro-texto (1), acabam
sendo apenas definidos, e não discutidos, dando-se pouca ênfase ao
bloco tecnologia-teoria [ , ] da praxeologia.
As tarefas interpretação-explicação têm potencial para discutir
aspectos profundos do contexto da ruptura definido neste trabalho.
Como extrapolação de nossos resultados, e assumindo que,
tradicionalmente, os conteúdos de Física são transpostos e cobrados com
ênfase no cálculo, é possível dizer que o livro-texto (1) apresenta uma
tentativa de quebra de tradição, mas da maneira como apresenta a
didatização do tópico RCN, pode ocasionar uma forma de rejeição aos
tipos de tarefas Interpretação-explicação, uma vez que os alunos podem
encontrar grande dificuldade em respondê-las somente com a técnica
( ) do livro-texto (1).
112
4.2 A tradição de ensino e considerações finais
Mostramos que a didatização de um tópico presente em um
livro-texto referência no ensino de Física Moderna e Contemporânea
adotado em diversas Universidades brasileiras não é satisfatório para
discutir aspectos importantes do ponto de ruptura entre Física Clássica e
Mecânica Quântica estabelecido neste trabalho. Esta transposição
privilegia o cálculo.
A “fixação” por atividades que envolvem cálculo aparece em
outros trabalhos e objetos de ensino na física, o que indica forte ênfase
neste tipo de atividade dentro da tradição de ensino de física (KURNAZ;
ARSLAN, 2009) (PIETROCOLA; BROCKINGTON, 2005).
Mostramos que esta ênfase também ocorre no tópico RCN, inserido
numa disciplina que tem características especiais, pois trata do contexto
da construção de um conhecimento. Os conteúdos visados em Física
Moderna e Contemporânea que tratam do momento de Ruptura, além de
apresentarem problemas intrínsecos devidos às peculiaridades dos
fenômenos Quânticos, enquadram-se no contexto da descoberta,
enquanto que o ensino trata tradicionalmente do contexto da
justificativa. Nossa análise parece indicar que há uma tentativa de
adequação do tópico RCN ao modelo tradicional utilizado em outros
conteúdos da física, como se estivéssemos assumindo uma única
maneira de se ensinar física: ênfase em cálculo ou bloco tarefa-técnica
[ , ] da praxeologia proposta.
É notável, por exemplo, que um livro-texto recente, que traz
contexto histórico, que se aproxima mais do contexto da descoberta e
que apresenta o tópico RCN a partir da abordagem de Planck, isto é, que
desenvolve o conteúdo do ponto de vista teórico e das técnicas de
Planck, enfatizando a Termodinâmica, como é o caso do livro “Física
Moderna: Origens Clássicas e Fundamentos Quânticos”, dos autores
Francisco Caruso e Vitor Oguri, sugerido para a disciplina Estrutura da
Matéria 1 da UFSC, não seja citado pelos professores que ministram ou
já ministraram a disciplina, nem esteja presente em grande parte das
ementas de disciplinas de cursos similares em outras universidades
brasileiras.
Quanto ao referencial teórico da Teoria Antropológica da Didática, mostramos sua potencialidade na análise das propostas
didáticas que são hegemônicas no ensino de física moderna. Outro
apontamento relevante é a sutileza em colocar a pessoa professor em
segundo plano, pois o que analisamos são os parâmetros institucionais
113
que acabam por definir o professor, definir o que há de fundamental em
sua prática. Não estamos desprezando o sujeito professor, estamos
apenas falando sobre ele de uma maneira geral. Os professores que
possuem aulas diferentes e que trabalham o conteúdo de maneira
singular ou enfatizam o bloco tecnologia-teoria [ , ] da praxeologia
não caracterizam a tradição de ensino que estamos apontando, e a
tentativa deste professor de escapar da tradição cai por terra quando a
prova ou avaliação dele acaba por basear-se inteiramente no livro-texto
da disciplina. O que caracteriza a tradição de ensino são as tarefas ( ), técnicas ( ), tecnologias ( ) e teorias ( ) que a instituição assume, ou
seja, a praxeologia adotada por ela e utilizada pelo professor.
Apesar de este estudo concentrar-se num ponto específico do
curso de Física, não é difícil encontrar indícios de aspectos similares
ocorrendo em outras disciplinas. Portanto, o que devemos esperar do
aluno de graduação, futuro professor de física, quando atuar no ensino
médio ou ensino superior: uma pessoa (X) formada pela instituição
disciplina apontada neste trabalho?
114
115
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120
121
Anexo 1
As entrevistas aconteceram no período de 19 a 23 de Março de 2012.
Professor 1
1) Quanto tempo ministrando a disciplina? (experiência do
professor)
Resposta: 6 anos.
2) Qual o livro adotado para a disciplina? Resposta: Eisberg, Resnick - Quantum physics e Paul A. Tipler,
Ralph Llewellyn - Modern Physics.
3) Eram cobradas listas de exercícios? Eram baseadas no livro-
texto? Haviam outras atividades?
Resposta: Eram cobradas listas de exercícios. As listas traziam questões diferentes das do livro-texto. As provas eram baseadas nas
listas e na leitura do livro-texto.
4) Você se incomoda em disponibilizar as listas, provas e
demais atividades para análise? Resposta: Não.
5) Qual o objetivo central em transmitir Efeito Fotoelétrico
e Radiação de Corpo Negro?
Resposta: estes conceitos são o fundamento da Física Moderna e contemporânea; A Radiação de Corpo Negro possui importância
história, o que é fundamental para o estudante; O Efeito Fotoelétrico
pode ser utilizado para estudar a física atômica;
6) O que você gostaria que os alunos aprendessem desses
conceitos?
Resposta: no tópico Corpo Negro, frisar em aula a importância
de abstrações e idealizações em Física; aluno ter noção de que fenômenos complicados podem ser descritos com poucas variáveis (por
exemplo, Corpo Negro definido apenas pela temperatura); aluno entender a construção da Física Moderna através da história. Quanto
ao tópico Efeito Fotoelétrico, o aluno deve conhecer Einstein e sua
contribuição para a Física Moderna.
122
Professor 2
1) Quanto tempo ministrando a disciplina? Resposta: 8 anos.
2) Qual o livro adotado para a disciplina? Resposta: Paul A. Tipler, Ralph Llewellyn - Modern Physics.
Este livro traz uma abordagem histórica e conceitual do Efeito
Fotoelétrico que despertou o interesse do professor, mas não possui muita aplicação deste fenômeno. Há a necessidade de outras leituras.
Ele indicava para os alunos textos da área da Física Médica e rádio terapia.
3) Eram cobradas listas de exercícios? Eram baseadas no livro-
texto? Haviam outras atividades?
Resposta: As listas de exercícios eram os exercícios do livro-texto. Fichas de exercícios eram atividades praticadas em aula, e
continham exercícios propostos pelo professor. As provas eram
baseadas no livro-texto e nas atividades em sala.
4) Você se incomoda em disponibilizar as listas, provas e
demais atividades para análise? Resposta: Não.
5) Qual o objetivo central em transmitir Efeito Fotoelétrico
e Radiação de Corpo Negro?
Resposta: Com relação ao Efeito Fotoelétrico, o objetivo central é ajudar o aluno a construir a noção de fóton (utilizava para
isso o livro-texto); mostrar para o aluno a quantidade de fenômenos cotidianos associados a este efeito.
Com relação à Radiação de Corpo Negro, o objetivo central
era transmitir a “beleza da coisa”, utilizando a cor da radiação como agente estimulante da curiosidade do estudante; sua relação com o
conceito de eqüipartição de energia.
6) O que você gostaria que os alunos aprendessem desses
conceitos? Resposta: Mudar a visão de mundo do aluno, permitindo com
que ele enxergue o mundo através do olhar do físico, deixando, assim, o
mundo mais belo.
123
Professor 3
1) Quanto tempo ministrando a disciplina? Resposta: 2 anos.
2) Qual o livro adotado para a disciplina? Resposta: Eisberg, Resnick - Quantum physics.
3) Eram cobradas listas de exercícios? Eram baseadas no livro-
texto? Haviam outras atividades?
Resposta: As aulas eram essencialmente expositivas no modelo tradicional, com a diferença de que perguntas eram dirigidas aos
alunos na introdução dos tópicos com a finalidade de sondar o
conhecimento prévio e provocar interesse e curiosidade em aprender os tópicos. Haviam listas de exercícios inteiramente baseadas no livro-
texto.
4) Você se incomoda em disponibilizar as listas, provas e
demais atividades para análise? Resposta: Não foi possível encontrar esses materiais.
5) Qual o objetivo central em transmitir Efeito Fotoelétrico
e Radiação de Corpo Negro?
Resposta: Frisar o enfoque histórico, o sentimento de poder do cientista e a resistência dos cientistas às mudanças; transmitir a
necessidade de mente aberta perante às mudanças de paradigmas
(podendo fazer um link com a ciência atual em tópicos como energia escura e exoplanetas); transmitir a emoção em descobrir algo novo.
6) O que você gostaria que os alunos aprendessem desses
conceitos?
Resposta: o conteúdo formal de ambos os tópicos; o fato de a física mudar com o tempo e a ciência se desenvolvendo (a física não é
estática).
124
125
Anexo 2
Abaixo, seguem os exercícios e atividades propostas pelos
professores, livros-textos e listas de exercícios, assim como Tipos de
Tarefas identificadas nesses objetos. Antes, é necessário construir uma
identificação que auxiliará na análise dos dados. Os Tipos de Tarefas
são identificados por , onde diferencia um Tipo de Tarefa do outro.
Em azul, está indicado o número de Tarefas referentes ao determinado
Tipo de Tarefa.
As provas estão divididas segundo dois professores,
identificados aqui por professor 1 e 2. O Professor 1 disponibilizou seis
provas, enquanto que o Professor 2 disponibilizou três. Para cada
professor, as provas são identificadas por . Cada Tipo de Tarefa
possui à sua frente, a identificação azul de quantas Tarefas são
identificadas ali, e a identificação para a prova onde a Tarefa aparece.
Por exemplo, no primeiro Tipo de Tarefa abaixo: apenas 1 tarefa
pertence a ele, e ela se localiza na prova número 1. Já o Tipo de Tarefa
apresenta 3 tarefas, uma na prova 1, outra na 4 e a última na prova 5.
Provas Professor 1
126
127
– Construir o gráfico da Radiância em função da frequência para um
corpo negro (1)
– Utilizar lei de Wien para calcular frequência, comp. De onda,
temperatura ou constante da lei de Wien , (3)
- Explicar a que o termo “catástrofe do Ultravioleta” se refere (3)
, , – Explicar como a teoria de Planck corrige a catástrofe do ultravioleta
(5)
– Transformar a expressão de Planck ( ) em ( ) (1)
– Analisar gráfico (3) , , – Aplicar Lei de Stefan para calcular potência irradiada por um corpo
negro, temperatura, constante; (1)
– Calcular energia irradiada por um corpo negro dado potência e
tempo; (1)
– Calcular energia absorvida pelo corpo negro dado potência e tempo
de emissão; (1)
- Calcular razão entre energia absorvida e refletida. (1)
128
Provas Professor 2
- Definir corpo negro (1)
- Definir radiação de cavidade (1)
- Calcular temperatura, comprimento de onda, frequência de máxima
emissão (6)
- Calcular temperatura dada a potência, radiância (4) , - Calcular a freqüência de máxima emissão dado comp. Onda (1)
- Calcular taxa de emissão de radiação pela lei de Planck dados
temperatura e comprimentos de onda , (3)
- Traçar gráfico da densidade de energia em função do comp. Onda,
dados temperatura e com. de onda máximo (1)
129
Nos Livros Texto, as Tarefas são contadas para cada livro-texto.
Novamente em azul, identificamos o número de Tarefas em cada livro,
e agora o sinal na frente do Tipo de Tarefa indica que ela é encontrada
em ambos os livros.
Livro-Texto (1) - Eisberg, Resnick - Quantum physics, edição
1 e 2 – em português;
Livro-Texto (2) - Paul A. Tipler, Ralph Llewellyn - Modern
Physics, edição 5;
Livro-texto (1)
130
131
– Calcular temperatura, comprimento de onda ou frequência de
máxima intensidade (6)
- calcular constante de proporcionalidade entre ( ) ( );
( )
e ( )
. (1)
- discutir detalhes específicos do corpo negro: (1)
– Calcula potência irradiada de um orifício de raio r a partir da
temperatura numa dada faixa de comp. de onda. (1)
- Aplicar lei de Planck para radiância total (2)
- Calcular massa de repouso do Sol dado a temperatura da superfície
e diâmetro. (1)
– Calcular fração de massa de repouso perdida por ano (1)
- Calcular radiância, ou potência, ou temperatura (3)
- Conhecer a constante solar e aplicá-la (1)
– mostrar que a lei de Rayleigh-Jeans não é consistente com a lei de
Wien (1)
- calcular média de tentativas/medidas/números (3)
– mostrar as relações de valor médio para um conjunto definido de
valores (1)
– mostrar a relação ∑ ( ) para um conjunto definido de
valores (1)
– calcular valor médio de uma função contínua (1)
– comparar resultados de valor médio de funções contínuas e
discretas. (1)
132
- Resolver o cálculo para energia média assumindo energia contínua
(1)
- Deduzir lei de Stefan-boltzman a partir da lei de Planck (1)
- Deduzir a lei de deslocamento de Wien a partir da lei de Planck
(1)
Tipos de tarefas de até estão na figura a seguir, representadas
pelos números de 1 até 20.
133
Livro-texto (2)
134
– Calcular comprimento de onda, frequência ou temperatura de
máxima (11)
- Deduzir lei de Stefan-boltzman a partir da lei de Planck (1)
– Escrever fórmula de Planck em outra variável: a expressão ( )
em ( ) (2)
– Calcular freqüência máx. a partir do comp. de onda máx. (1)
– Calcular potência total ou temperatura; (4)
- calcular energia média por modo, dado o comprimento de onda (2)
- comparar energia média quântica (calculada por Planck) e clássica
(
) para pequenos e longos comprimentos de onda. (1)
- Identificar comprimento de onda no espectro eletromagnético; (1)
- derivar a constante da lei de Wien ou equação de deslocamento de
Wien a partir da fórmula de Planck (2)
135
A contagem de Tipos de Tarefas e Tarefas da Lista de
Exercícios encontra-se abaixo.
136
– Determinar , comp. De onda máximo ou Temperatura (12)
– Determinar valor de em função de , e . (1)
– Escrever equação de Planck em outra variável: a expressão ( )
em ( ) (1)
– Determinar Potencia total irradiada ou temperatura (3)
– Utilizar a Lei de Plank para calcular a constante da Lei de Wien (1)
– Construir gráfico (1)
– Calcular inclinação do gráfico (1)
– Calcular erro percentual entre constante tabelada e medida (2)
– Calcular σ dados valores medidos de Radiância e Temperatura (1)