MEMORIAQUE TRATA DE HUMAS

NOVJkS TABOAS 3IATIH]EMÂTICAS,E

- DOS USOS QUE ELLAS PODEM TER

TANTO NAS APPLTCAÇES DA SCIENCIAEM GERAL,

COMO NA NAVEGAÇÂO ALTAEM PARTICULAR.

Ao mesmo tempo indica os mais vantajosas soluç6es (los mais in

teressantes Problemas daquelia NavegacSo, com o intuito de pa

tentear, simplificar, rectificar, ampliar sem superfluidade, e tor

nar menos dispendiosa, além de mais universal, e adequada nos

seus fins , a pratica dos respectivos utdissimos cálculos.

SEU AUTHOR

josÉ MAEL& D’ANTAS PEREIRA.

LISBOA. M.DCCCVIL

NA IMPRESSÃO REGIA.

COM LICENÇA DA MEZA Do DESEMBARGO DO rAÇO.

f

LIr

-2

4

jgj itilie est quod farimus , stulta es! gioria.

-

a

_sra— --

i4.:;flats

rj.

1. PRoporcionar os meios aos fitas he o primeiro dever dctodo aquelie que compde, ou que propile, com verdadeira intencio de ser ufil por tanto • como as taboas de que vou tratar soconstruidas para com eftèito servirem , t5o adequada qu5o commodamente , aos calculos da navegaco alta e como nesta se Euutattendtvel a dittreuca de huma legoa na posico do navio ; eiso motivo porque n5o levei muito mais adiante a npmximacio dasmesmas taboas e nisto concordei , no só com Mr. Leveque,mas tatnbem com Mr. de la Lande , que publicou as suas taboas logarithmicas com cinco letras decimoes , vindo aliAs a nodiscordar sensivclmente nem de algumas de Mr. Maskelytie nassuas Rcquesi!e Ta?1cç, nem de alnamns de Mr, Mendosa.

z. Com effeiio, qual ser.í o navegante, que marche com asprecauóes , e acerto convenientes , a quem tres minutes de incerteza na posição do seu navio, ou da sua esquadra, faca perderquelquer operacáo , ou simplesmente nautica , ou ainda mesmonautica-rnrHtar

3. Todavia encontrar-se-lia que, pelas t!boas propostas , po

deremos em muitos nsos (e esses interessantes) chegar a contarcom a probabilidade de apruximacia até bom centesimo de wónu—to ; e em outros ou em todos, até hum decinao , 011 até 1’.

4. Reduzir a hum só volume todas as taboas , que o bom navegante deve manejar a bordo foi traalNo t!asnajatnhado emnossos dias com grande acerto por Mr. Mendosa . membro da

2t %3 —-

3s..

OoOo

MEMORIÂCONCERNENTE

ÁS NOVAS TXBOAS )WInIEMATICAS,

‘.vat

2 —t-v

- etr ‘tst’

— -

-I.

-,s—--a- q

4

Sodejade P.cal de Londres; e por este modo viero a ser real

mente praticavek os meUmdos de Kraft , e outros 1\Jr. i\Iendo—

sa campo: ‘no mao as suas tiboas com g andes tadigas , aliii de

tant:tiovid,1a como proprielade. Nestes termos restava apenas

empreliendar a simplifleacão diqneilas taboas , reduzindo todo o

cál tilo nantieo ao uso de lmmas unhas o mais que possivel fosse

eis o que me prspuz , sem aliás deixar de simplificar alguns me— -

thodos , e produzilios novos o meti ver , ou prefrireis aos que

estão adoptados , ou providenciadores de casos ainda não provi.

IenCL ado

5. Sabe—;e como a Junta das Longitudes , e a Companhia

Oriental , concorrrão para pr?tniar e animar Mr. Mendosa , em

Inglutenn hum ml exemplo conduz—me a julgar que serei tam—

liclu merecedor de algania esfinsa por este trabalho que n’e pro—

ptIz • se coas cifeito o desempenhar ; e eis ahi todo o premiü

a qae verdadeinimente aspiro.

Ú. As novas Taboas, podando em gemi servir com vantagem

lias nuaierosis applicaóes da inadiematica ás cousas is vida so

cial ond5o por Isum quinto das grandes Toboas Inglezas que sci

podem ser empregidas no cálculo das longitudes, e correspondem

a liam turco das de Mv. Mendosa , tão justamente premiadas

na pratica deilas 1a por outro lado a facilidade proveniente da sua

quasi unidade ; e sendo aliás como que linina sim les ampliaçtío

das de liasselden • contém os senos e coseuos naturoes, desde

o mio j até o raio 100, calrulados cora 3 ou ruiu 4 letras de

cimaes vindo consegnintemente K conter os senos , e cosenos

,uturaes correspondentes a dez , cem , e mil vezes os mesmos

raios; donde resulta que, pois chegão até o raio 100000, podem

a taboas ser de grande uso em quasi toda a trigonometria.

7. Porem ermo o destino principal delias he o seu serviço na

navegação , consen-o aos ditos raios , ccscnos , e senos, as res—

pect isos deu omiuacóes Distancies , Lati! odes , e Apartamentos

çUe estão adoptadas pelos nossos navegantes; e posto que as ta—

boas comecem Feia distancia 10, com tudo he curo qie, ex.

5

• gr., se a 10 corresponde 7.100, ai deverá corresponder 0.7100,

e a 10000 corresponderá 7100 ; de modo que a simples mudou-

• ça no lugar do ponto mostrará qual latitude, ou qual apartamen

to, compete a huma distancia 10, 100, 1000 vezes maior, ou

• 10, 100, 1000 , &c. vezes menor , que qualquer das taboas

pois bastará mudar o ponto huma , duas, &c. casas para a direi

ta, ou para a esquerda, no numero tabular, para de-fie deduzi1-.

iam o que procuramos ennhecer, relativamente faDando.

8. A taboada appensa , servindo de patentear a constraccio

das novas taboas, desde logo evidencêa, que os mmm correm ao

largo, e quasi nas extremidades das mesmas taboas, contaijos deminuto em minuto ; mas escrevendo-se fIOS intermedjos tão ómente os minutos, e ollocaido-se pela parte de féra destes arcas o complemento da refracção media , que lhes correspoadei.á

quando elles desi narem alturas app:remes: assim, não precisaremos de recorrer, nem ao cálculo de propercáes para detennj_

Darmos semelhantes refracçóes; nem a boina diminuição especial

para ter conta com a influencia dellas nas alturas observadas, co

mo adiante se fará ver.

9. ‘lambem notaremos estampadas tk sámente as decimbesdas latitudes • e apartamentos intermedios; os inteiros correspon

dentes encontrar-se-lsáo naquelia columna lateral entre a qual, ea de que se tratar , não medear o signa! ; assim 9,265 heo apartamento que compete á distancia 14, e ao rumo 410 4g

mas á distancia 6h , e ao rumo 14 50’ compete o apartamento

43.008. Além de haver seguido neste arranjo de taboas buma

disposicão semelhante ás de MMr. Taylor, Cal[et, Mendosa, eoutros taes como Mr. de la bando nas suas taboas horarias, no

tard que deste mesmo arranio não podem emanar grandes diffl

culdades praticas , e que na carteação das milhas nada influirá;

Pois , não sendo a bordo sensatameute assignavel o rumo com

miudeza superior á de 6’, 5 , encontraremos sempre nas taboa.todo o apartamento , e toda a diferença de latitude , em linina

só ad±cão, na qual poderemos desprezar a derradeira, e ainda

si—-—

1L rr

6 7

mesmo a pemiltima letra decimal ; com tanto que á ultima res

tante augmentemOs 1 quando desprezarmos , ao primeiro caso

mais de 5 , e no segundo mais de 50.

10. Observar-se-lia que os apartamentos correspondem aos in

tenallos das latitudes, o que se fez preferis-el a fim de melhor

erecutar o que se irá dizendo e como noangulo de 4C acobunna daquelies equivalesse á destas, supprirni boina para sub

stituir—lhe a das diferenças entre 1.’ e as inclinaçóes horizon—laes correspondentes ás di; ersas alturas - do oLenador , conta

das corno distancias , e contadas em palmos Portuguezes. Nacompos:cdo desta columna segui a Mr. Ma.skeivne tendo pre—

sentes os trabaiims de Mrs, Lambert , e le Rov. Notarei que

Iii .5 pe4ueuas aiuu as basta es trabir a raiz qindrada ao setupio

de cem yezes o Isuasero dos seus paituos , e busc.dla entre os

senos correapoodentea ao raio 103000 ; pois o arco , que tiver

esse seco , representará muito roxmumenta a distancia des olhos

do observador ao horizonte ; e esse mesmo arco, abatida a sua

decima parte, em. attenço• á refracaão terrestre, deverá equiva

ler á inclinasdo horizontal. -

11. A precedente distancia , em quanto ás alturas da tabon,

arbar-se-ba co:» toda a favilidade ajuntando s correspondentes

iiiclinacóes hum nono das seus valores respectivos : assim , pa

ra 130 palasos de altura, teremos a dLtancia erositnamente iaual

a = «.i e tratns:d-j-se de dois observadores, ou de dois9

objectes, clijas ahoras seião ex. gr. 100,. e 70 palmos, a suas di—

tancia horizontal, suppondo n’alia a influencia da refracco terres

1 si.g÷as.s -, —

tre , seta equnaíente a——

= 10.11.

12. Adifferença entre qunesquer ditas latitudes , ou quiesquer

dois apzrt:t1entOs , conseeut:vamente situados na mesma linha,

encantrar-se-ha nessa linha , - e - arj columua one tem por titulo

DU servirdo estas ditRtencas para ca!cularmes as correspunden—

iva ás partes dcrnns tio minuto nos angulas ou arcos observa—

dos; sendo de advertir que pois ex. gr. 20, 51 fie a diftèrenca

correspondente á distancia 100 , ou dez vezes a correspoidente

á distancia 10, teremos -9 de 20,51 = 2,05;j

de 20,51 = 2,

2G &c. de modo que a mesma comuna das diÍibtencas dá im—

mediatamente , no tocante á ultima delas, todas os que devem

corresponder-lhe por qualquer quantidade decimal • ou centesiujal,de variaco no nitno ou arco.

ia. Semelhanteinente, se quizemios saber a difièrença de qisaes

quer dois numeros , conjunctamente situados na niesina coltimnaencontraUa—hemos expressada no ultimo considerado con() rlechdnasito por exemplo , 1)3 2.a parte da ja columna , 070422 fie adiflèrenca de quaesquer dois numeros coojunetos; e a mesma coli-nua mostra as partes desta Ll,tierença proporcionaes á de em,

CII , 0,12 , &c. nos ourneros respectivos , pois serio evidejite_mente 0.07042, 0.077-tU, 0.08451, &c. istO fie , serão (porassim dizer) os numeras que tbrm!o esta mesma columna.

- 14. Posto que as navegac&a ao redor da terra faco concluir,ue para os usos das mesmas navegacóes hasta considerar o nosso-Planeta coma perliaitamente esferico , Sempre ajunto no fim decada taboada o angsilo da vertical correspondente á latitude deigna—da pelo arco nias visinho-, e suppondo O eixo para o diametroequatorial como 333:334 , hvmothese que diflèra muito da segui..‘da por Mr. Cagnoli no cálculo destes antados.

15. Sendo as Pamilaxes horizontaes para as de qualquer alturaapparente como os raios para os cosenos dessas alturas, claro está,-que entrando com aquellas na co]umna das distancias. CflcOLm(ramreinos as segundas na das latitudes correspondentes dos atinas designados pelas taes alturas assim se a altura for de 41’ 531, e a panlkxe horizontal de 5S’.74, teremos a parailaxe de altura = -II.0g6+0.52332=41.096 + 0.524=41.62; e corno a paraliaxe media do Sol arm’da (conforme Mr. de la Lande) por 0.11 , coiloqueidefronte de 14 o signal Ø, pertendendo assim -significar, que asparaliaxes correspondentes ás diversas alturas deste astro existeom nalinha assignalada , e nas colunmas dos arcos equivalentes a essds

a r

8

alturas, mas devendo passar-se o ponto duas casas para a esquer

da: por tanto, a paraliaxe solar, correspondente a -14 55’ de al

tura , deve ser 09905 , ou 099-10, pois bastará servir-nos da pri

meira; huma e outra reduz-se a 0.99.

i6. Vê-se pois em cada lauda correspondendo a hum arco da

do, não só o que lhe compete , e corresponde , considerado co

me rumo ; sçnáo tambem o que lhe compete , e corresponde.

considerado corno altura além disto , a mesma lauda mostra jácalculadas as partes proporcionaes que mais nos lembraria, ou que

mais necessitariamos calcular, para ampliarmos o uso , e aproxi—

macão das mesmas taboas , que tambem se constituem logariüs—

snicas_trigOfloaletricas por meio das duas linhas conjunctas de ca

da tôpo : ambos tersuinão com as latitudes crescidas corrçsponden—

tes ás simplices designadas pelos rumos; e bastarão 180 laudas pia

ra incluirmos os 90’ do quadrante.

17. Observarei aiada que, visto ser ex- gr. 8-1771 a parte de—

cimal do logarithmn de 70422, as mesmas taboas poderão submi

nistrar os logarithsnos de todos os numeros até 100000, com tais—

to que procuremos estes numeros na linha dos apartamentos cor.

respondentes á distancia 100, e reciprocamente.

is..&’s precedentes commodidades, e vantagens, que no 550

as unicas , devo aeerescentar ; 1 •O que quaesquer dois numeros si

tuados em hv.rna linha estão na razão dos senos dos arcos a quem

correspondem como apartamentos, e dos cosenos daqueiles a quem

correspondem como latitudes; estando aliás cada apartamento pa

la a sua latitude , como o raio para a tangente do arco corres

pondente; ou como a cotangente desse arco para o raio: 2.0 que

quaesquer dois numeros , situados na mesma colomna , estão na

razão, não só das distancias correspondentes, mas tambem na de

outros quaesquer dois numeros que, estando colocados em huma

columna , correspondfío a essas distancias , on exit5o nas linhas

dos primeiros , formando todos quatro por assim me explicar,

os quatro vertices dos angulos de hum rectangiflo; de modo que

quatro numeres assim situados estarão sempre em proporção: e por

-9tunto, eis-aqui que pôde a taboa servir para com dIa effeituarmos

multiplicacées , ou divisóes por meio de simplicissimas sonmas

ou dituinuicões , e muitas vezes até sem estas sommas , ou dimi—

nuic&’s; quando alils se trabalha, não com artifieiaes indicadores

tios numeros verdadeiros , mas sim com estes mesmos numeros , e

por tanto, sem haver precisão de passar , nem destes para aquel

les, nem daquelles para esfes ; donde se segue que a taboa, não

sendo logaridimica, pôde servir como til : com effeito e,Jstindo,

por exemplo, 31.919:33.339: :31,885:38,261, claro está que,

[ . - . 38.339x31.385se houvessemos de executar a operacao indtcada por019

se reduziria a procurar na talsoa estes tres Ilunieros na sua situa—

cão conveniente , e o quarto 53.261 seria’o procurado. Adiante

mostrarei melhor o grande uso, que eftctivamente cumpre fizer,

deste principio tão feeimdo como vantajoso.

19. Refiectirei finalmente que a taboa, pois conténs os Senos ecosenos para os diAèrentes aogsilos, e para os diiirentes raios des

de 1 até 10000 , pôde sei-vir com singularissima vantagem , não

só para a rcsoiuçáo de todos os triangulos da derrota, ou rectan—golos , mas tambem para a dos obliquangulos , e por conseguintepara a prática, tanto das tres architecturas e da geodezia, comoem geral dw trigonometria : além do que, patentearei o eu usona solucão de todos os problemas da navegacão alta , entrandouiesmo nesta conta Os mais interessantes, pois tal devemos reputar o celeberrimo Problema das longitudes : a todas estas solucües•chegarei por caminhos -( a meu ver) ou naifa , ou pouco rrill,a—dos , sendo aliás novo, e não suneriluo em ahnmm deilas , e sim—plificando-as qunsi todas : mas resen-o as demonstracées, e ünaly—

para outra obra maior , que me proponho fiar á luz , animado pelo mesmo cspirito, que me determina á publicarão desta;espirito que, sendo o do desejo de pestar serviço aos màus con—cidaddes , e camaradas, (leve conciliar—me a sua attenção, e ainda mesmo a sua atPaicão; bem este sem duvida o mais appeteci—vel , e o maior a que posso aspirar; bem que com effeito (ouza—

8

r

1

1. ?

r

7--

r—1

1

a-r‘o

rei dizeilo) ambiciono tanto quanto ele fie itspeitavel , e eu a

respeito.

4dzefle,,eja relativa aos Proilernas seguintes.

20. Vendo, por exemplo, a orandeza 21.127 na TinIu 30, e

como apartamento correspondente a 41°4(Y, diremos que 30 Ise o

umnem da linha, e 14’ 46’ o da columna da dita grandeza: as

sim semeiliantemeute será 30 o numero da linha, e 45° 14’ o da

cohunna da grandeza 21299. A°s colmnnas, cujos numeros fo.

Tem entre si complementarios, chamaremos confundas.

Proflemas arith,,,etit-os.

21. Dada liame grandezsz e o numero da sua co(amua, de—

terminar o da sua linha Seja 36.209 hum numero dado como

grandeza pertencente á columna 45’ j41 buscando-o nesta r&uma

correspcnder-Use-ha na das distancias 51 , 9110 fie o procurado nu

mero da linha.

22. Se o numero dado fosse 36.50D , vendo que 36209 be o

en mmediato infixior , tonmria:nosa ditt&enrq 0291 , que pro—

curadaj1a mesma columna mostraria 41 na das distancias, e por

conseguinte 51.41 seria o numero pedida.

23. Dada a rolu,ana , e o numero da linha , determiuar a

grandeza correspondente. Por esempio, se na cohmnm 45° 14’ qui—

zenzios determinar a grandeza correspondente á linha , cujo nu

mera fez 75.E67, acbarernos que essa granueza deve ser compos

ta pelas conespondeites a 75, s6, e 70, mas pelo modo seguinte

.53. 249Ou

5

53. 8(55

24. Dado o numero ta linha • e a grandeza . (letermznar o

á £Pjanlq. &ia a linha 70 , e a grawieza 49.699 , o da co—

lt

lumna será 43’ 14’; mas se a grandeza for 49.510, vendo que a

proxima inferior na linha 70 fie -19.497 , tomaremos a diftirença

3 ; e como na linha das diferenças 3 corresponde a 15 na das

distancias, concluiren,os que o numero pedido equivale muito pro

ximamente a 4.5°0’.zJ. = 45’ d,21.

25. Dado o ,zI,mero de huma linha existente nas (abas , e o

de havia columna que neilas nflo existe , determinar a grandeta

correspondente. Seja 70 o munero da linha, 150 0’,21 o da co—

lumna, vendo que a 45°0’ compete 40.497 , multiplicaremos 70

por 0.21 • bunremos a diftèrença correspondente ao producto

1,47, e achando 3, concluiremos que a grandeza pedida fie igual

a 49.497±0.003=19.500.

• 20. O §. 12. evidenrêa, que osdois problemas precedentes se

yáo resolvidos ainda mais facilmente, quando se reportarem ás li-

dias 10 ou 100; com efeito fie alias bem claro, que as divisóes,

ou multiplicacóes , por estes numeros se esecutáo com facilidade

muito superior á que deve corresponder aos numeros como 70, o

outros ainda mais coLnpostos: por isto convirá preferir o uso da

queilos duas linhas , quando nisso poder entrar o nosso arbitrio.

A taboa he &is commslrnida por tal ‘nodo , que sempre encontra

remos os dois ultimos problemas muito menos vezes do que OS

primeiros.

27. Achar oproducto deduas grandezas taes corno 70422, e

87.59. Defronte da distancia 100 busque-se huma das grandezas,

e na columna deda grandeza determine-se qnal Ise a que deve

existir lia 11m1ma designada iwla outra : esta tdtiina (depois de mim—dado o ponto duas casas para a direita) será justamente a procusoda. Assim vendo quc 70.422 proenrado na linha 100 pertence 5çolumna 44° -16’, e tendo que nesta columna deve corresponder

a87—6J267 .

a — 105 } cuja somma = 01.075

concluiremos que 6mU.s lmt o numero peditlo.

28. Achar o qnocic,:te de duas grandezas loas como 78 , e

45.154. Na linha da primeira grandeza busque-se a segunda , e

31

ii

r12

na co!uma desta , defronte de 100 , acharemos 70.711 , dond&

dedo remos que o quociente pedirlo tlcve ter 0.7071

t!q. Se o manetas tossem taea ruma 70711 , e 55.671 hus

calii! o primeiro cetronte de 100 , sabiriamos pela nus columna

e o numero da linha deste ,

a esquerda , seria o quociente pe

caso presente por meio da opera.

cO seguinte

55.671

55.154— 79

517 —

0.7S73

30. Se tivessemes 556.71 em vez de 55.671 deveria o pio

ciente ser 7.573 , e assim por diante mas se o divisor fosse

707.11 , o qucciente seria 0,07873 ; e assim por diante. Esta re—

ilexão teni lugar em tedos os problemas da tutureza dos prece

dentes.

31 .Acar batiza quarta proparcknat a ires gnmdezas da—das.

1. Se dias forem taes como 55 , 60.104, e 97.15, defron

te da primeira buscaremos boina das outras na linha da que

restar, e na colunma ila que houvermos buscado, encontraremos

a quarta, que no caso proposto deverá ser

por 97 ,, 6S.ssg

por 15 ,, ioG

por 97.15 ,, Gs,Ós

II. Sendo elas taes• como 60.104, 55, 97.15, na linha da

segunda buscaremos a primeira, e subindo ou descendo pela co

lumna desta , determinaremos o numero da linha da terceira,

que será o pedido :assim

97.15

91.[2—.130 7.4 n.° pedido.

5

111. Suppondo os numeros tacs como 60.10-1, Sg.S6, 97.39;

13

achado o primeiro buscaremos na sua linha bom dos eniros , e

na ua columna o que 1-estar ; aquele, que estiver no lugar onde

se cruzar a linha do ultimo com a columua do penultinto , se-ri

precisamente o quarto tento perlido. Eis a regra geral 1aru todos

os casos desta naturoza ; a sua applicaco ao presente dará

- per 91.92 — 91.55

por Ts_-tE a.° pedido.

- 32. Se o primeiro termo da propor:ia for 150, reputahio-be—

mos como IS, e multiplicaremos o resultado por 10 , imidando

o ponto !mma casa para a direita. Senielhintementa obraremos

uan’Jo o primeiro termo for s6o, ou 3GO0 e poderemos obrar

quando for 60. Em Lodos estes casos drigir—nos-hcmos pela par

te 1. do n.° 31., que torna suoerfluas os lngarithmos iOgitcos

e os proporcionaes , ou que pelo menos póde substituilhos.

33 . Assim tombem , se defronte de 13 buscarmos qualquer

quantidade de gráos, acharemos defronte de 10 ou de 100 o de—cuplo ou o centuplo do tempo correspondente, e ‘ice-versa.

1. Achar liuma meia proporcional entre duas grandezas da—das. Seja 13.26 a primeira , e 78.15 a segunda . entrando coma semi—sonmui :1.1 culumna das distancias , buscaremos a Semi—diferença na das latitudes, e o apartamento correspondente dese—

rã ser a meia proporcional pedida. -

78.13

13.26

Diff. =

Semi-ditE = 32.16 por 72 ,, 51)7

Semi-som. = 45.72 meiaprop. ,, 32.107.

35. Quando se tratar de huma raiz quadrada , tudo se deve

rá reduzir a determinar huma meia proporcional entre a nnida—

dade , e o numero dado e quando as quantidades extremas ti

verem mais de cinco algarismos , attenderemos tEu sóinento aos

primeiros Cinco da esquerda de cada huma dehla, com tanto que

nos bastem outros tantos lia meia proporcional, pois tal he oh—

a- eacoistntrnios o segundo

dado o ponto duas casas para

dido. Encontralio-biamos no

1ÇHz

1por 45 31.690

4

1

ii

‘4 is

mite da aproximaco das laboas. Esta reflexo tem toda a gene.ralidade possivel.

Prol/em as relativos ds linhas trigono mci ricas.

36. No que disser agora procurarei reportar-me á liplia ,

raio 100.

37. As taboas d5o todos os sonos , e cosenos de minuto cm

minuto desde 0’ até 90’, e por meio das diferenças extendem—se as decimaes do minuto: por exemplo, 70.916 1w o co’eno,e 70.503 o seno de 44° 50’; se quizessemos buma e outra linhatrigonometrica para o arco de 14° 50’.lS, enconüariamos nas columnas das diftirencas , que estas relativamente a 0.18 devemser s , e por conseguinte os re!pectivos 5db e Coseno sráo70.911, e 70.510. —

-1 38. Quando se tratar de arcos superiores a 90’, bastará quelhes tiremos 9 dcrenas de gráos , e que em vez de coseno ouseno procuremos o 5db DLI coseno ; pois com efeito Im sena325° 12’ = cos. 35° 12’, &c. Em todos os casos será tambem coseno do semi-arco igual ao apothema do polvgono regular, cujosingulo central tiver por medida o arco.

--ag. Quesendo os senos-versos,, ou os coscnos-vcrsos de qtuies.

quer arcos , ul,WlIos-hemos tpmando o complcnwnto dos respe,a vos cosenos ou senos excepto quando os arcos excederem ago’, pois eritSo obteremos o seno-verso ajuntando o raio ao ca.seno. Neste paragrafo devemos entender por complemento afrrenca entre o raio , e o Sesso OU COSCflO : as-sial teremos s.V.44° 50’ = 29.091, e em. v. de 44° O’ = 29.495

40. Determinaremos as cardas dos arcos , tomando metadedelies , procurando os Selsos destas itietades defronte da Wstaiu ia

20, e pasnndo o ponto hu;na casa para a direita Il:sm cordade 89° 40’ = 141.01.

41. Para asigi;aiarmos a tangente dc hum arco , tudo se retini a dividir o seno pe’° cascam (29) ; ç, a wputar o epseno

raib , mi á ver qual sena corresponde ao coseno , quando este

he igual ao raio; assim no arco de 44° teremos

por 70.998,, 70.422

por 28.399,, 28.t69

por 603,, 598

tang. pedida = 99.189

Poderemos tambcm determinar a tangente procurando o

columna do coseno, pois em tal caso o numero da linha

deverá indicar o valor da tangente. Assim

Oi 70.288 ,, 99por 134,, 19

por 70.432 ,, 99.19

43. Obteremos a cotangonte de bom arco recorrendo aos doisprecedentes paragrafos, depois de tomado o complemento do arco;

nu tansbom mudando neilca a expresso seno em cose’o , e reci—

procamente. Deste ultimo modo acharemos

por 0.4Z2 ,, 100

por 57t5., 82

cot. 11’46’ = 100.82

44. A secante de qualquer arco achar-se-ha procurando o raio

na columna dos cosenos do arco : assim no arco de 41° 46’ te

remos

1 por 99.-lo,, 140

por Go,, 85

secanle = 140.85

45. Para determinar a cosecante procurar-se-lia o raio na co

lumna dos senos : assim teremos

por 98.59 ,, 140

por III,, 2.0

cosecante = 142.0

46. Nos paragrafos antecedentes temos passado dos arcos pan as suas respectivas linhas tHgonometricas; chegando, ou po—dendo chegar, a indicar essas linhas com cinco algarismos : por

42.

seno na

do seno

E

E1

1-

É

_

iS

veredas oppostas passariamos das linhas para Os arcos. Ex. gr. da

da a secante 110.85 achariamos o arco determinando o seu cose-no, ou dividindo 100.000 por 140.85. Além disto cumpre notar,que ao cálculo de proporcücs taes como 1 tg. a b x , ou1 sue. g: e: s-, deveremos substituir o de outros taes como cos.a:sen.a::b:x; cos.g:1: :c:y.

Pio/lemas relativos aos triongnlos rectangalos , e Porconseguinte (IS descolas.

47. Bastará notar que , tomando as distancias como Fypothe—auras, as latitudes como lados oppostos aos aiigulos inf&iores nosprimeiros 45’ do quadrante , e superiores nos segundos 45 e osapartamentos como ladosi oppostos aquelles angsüos a quem se re—ferem ; encontraremos nas teimas resolvidos immediatamente to—

dos os triangulos rectangiilos , cujas lwpoihenuzas t,io excederem

a 100 , e cqjos angulos constarem de minutos exactamente : ha

vendo derimaes de minuto , as columnas das difti?rencas serviro

lia fórma dita , e cosmmada. Ira todas as lsvpotlienuzas desde

100 até i00000, o L 13. e outros, assim como a prática respe

ctiva a tees casos, no deixo dúvida alguma no tocante ao que

deveremos fazer ; por tanto contentar—me-hei de apontar hum só

exemplo , suppondo a hypothenuza equivalente a 9875 , e Jitun

angulo a 14’ 50’, pede-se a resolução do triangulo : em quanto

aos angulos he assás clara, em -quanto aosi lados temos

por 98 ,, 69.498 ,, 69.095por 75 ,, 532 ,, 529

lado conj. ao ang. = 7003.0 6962-1 = lado op. ao ang.

Prol-lemas relativos aos triangulos otiiquangnlos.

48. Se forem dos soluveis por huma simples analogia, esteio—11105 no caso do §. 30., aliàs dividiremos o triangulo em dois re

‘7ctangulos , cuja resolucio obteremos pela maneira dita §. 47.por tanto mencionarei o caso uniro de calcular hum angulo por

meio dos tres lados. Neste caso Focederernos a sommar os la

dos, e a tirar da semi-somma o lado opposto ao angiflo procura

do, o que dará hum resto; entáo procurando defronte de 100 hum

dos outros dois lados, determinaremos o numero da linha que na

sua columna deve corresponder ao resto mencionado; depois dis

to, ao outro dos dois lados, á somma de todos, e ao numero da

linha, assignalaremos huma quarta proporcional , a quem tirare

mos o raio 100 , e procurando o que ficar entre os cosenos da

linha 100 • acharemos correspondente o angulo pedido; cumprin

do todavia advertir, que quando não podermos tirar 100, toma—

remos o complemento do resultado a respeito de 100, e prorurais

do-o entre ossenos respectivos ao mesmo 100 encontraremos o au-

guio meaos 9 dezenas de grão, que Tacilmente lhe ajuntaremos.

Pra Ilemas relativas aos tnangulos. esfrricos rectangulos.

- 49. Como todos estes se resolvem por lume analogia, estaremos sempre no caso do §. 30., se não preferirmos o uso dos lo

garithmos.

Pra &lemos concernenlcs aos triangulos csferkos otliqunngulos.

- 50. Direi por agora o mesmo que nos ructilineos, com tantoque tambem nos sirvamos dos triangislos supplenientarios ; e queno tocante ao caso dos tres lados, substituamos as expressóes se—nos dos lados, seno do resto, e dobro do seno da semisoIna;quando se tratar do manejo das taboas, -

Protkmntrs prepara/unos para os da VaiegaçJo alta.

• -51. Determinar o ç//Wto da inclina çflo das faces do espelhecentral. Posto que esta origem de erros se aniquilo reduzindo d

C

1

L

e- aWt Lt ?sr-—

r

espelho a reflectir os raios de luz na sua face anterior , a qualcntáo he a que deve ser coliocada parailela á do espelho menor;rom tudo, se lIso estamos nestas cirnjnstaucias, consirá que pata cada instrumento se construa huma taboa privativa pelo metho510 assaZ sabido , e muito claramente escrito por Mc. fluval-le

pag. Les propondo-me transcrever a sua tabelia XX. adYertirei que , como em iguaes angulos observados os erros sáopl-oporcionaes ás inclinac&s, conhecidos pela taboa os que conespoudem a hum minuto de inclinaco e por experiencia o quecorresponde á do nosso espelho em husn argiflo prelixo (que de—re ser assaz grande, e determinado por hum meio tomado entreduas series de observacües) ad,are,nos inunediatamente as conce—c5es relativas aos outros angulos , calculando simplicissimas pra.porcões pelo modo expendido em o §. 30. Mas de qualquer ma-paira que neste cálculo se proceda, cumprirá notar em que sentido são inclinadas as faces do espelho a respeito da linha vizual,ou do &xo do oculo; pois conforme o vertice do angiflo destasfaces cahir para cá, ou para lá , do centro do instrumento emre)acáo ao dito eixo, assim variani consequente , e cungruente—mente o signal da correcço, signal que tambem pácle ser deda—rado pela experiencia precedenteniente referida, pois dçlla se deduzirá se o erro he por flulta “ por excesso e se quizermosservir-nos das toboas na deteminação destas concccóes poderemosobrar da maneira seguinte. Na linha 22 buscaremos a latitudecoirespondente ao angulo formado peo eixo do oculo com o espelho menor - e entrando com esta latitude na linha 33 dpsceremos pela columna conjuocta até á linha 99; o numero, que en—pontrarmos , dividido pelo apartamento do dito angulo, tomadona linha 33, dará hum primeiro quociente: acharemos o segundo,repetindo o procedimento precedente , depois de havermos tiradoao aniilo metade daquelie que suppozermos, ou tivermos obser—vadq ; a difibrenca dos dois quocientes, multiplicada pelo anguloas faces expresso em minutos, deverá pradnzir a correcçio pro

curada, expressa i almente em minutos de grâo.

52. Corrigir da desviaç3o. Poderemos seguir qualquer das tresregras abaixo mencionadas; porém talvez se predra o uso de hu

tabus privativa, que por este motivo publicarei appensa,confoi-me se encontra em Mr. Mendoza , que ampliou a de Mr. deBorda; exceptuarei todavia o ang-ulo de 1800, e procederei comose verá.

1. Recra. Na columna da; distancias , existente na pagina doangislo da dcsviacáo, entre-se com o seno do semi-angulo observado, a latitude que corresponder a esta distancia na columua doprimeiro angulo será o seno do semi-angulo verdadeiro.

TI. Regi-a. Na coluiuna da semi—desviaço marque—se o senoou apartamento, correspondente á distancia 13751 e considerando-o corno distancia torne-se a marcar o apartamento respectivo ; COSSI este se custará na cedumna das latitudes do semi-angtl—lo observado, e o apartamento que lhe con-esponder será o erro.

III. Regra. Na columna do semi-angulo observado malque-seo apartamento correspondente ao quadrado da desviacdo considera-do como distancia, e entrando com esse apartamento na conjunctacolumna das latitudes , n’arque-se a distancia correspondente : oseBo de 1’ que competir a esta distancia será o erro procurado.

• Este erro he selupre subtractivo , mas tornalio—hemos additivotentando o seu complemento para 1.0

53. Corrigir da inclinaçJo horizontal. Veja-se o . 10.51. Corrigir da refração. Seguindo arcara de3Ir du Sejoiir

• poderiamos obter a refracado media procurando na linha ioo oruLno , ou angulo , correspondente á latitude) que enrouitmz s&fl]O5

na columna tia altura apparente , defronte da distancia 99. SJ 51xis tornando a sexta parte da diflbrenca dos dois ;sngulos , esasexta parte seria a refracdo ; mas por poupar trabalho em humartigo que tanto se repete, ajunto já catculadas estas refraccões,e- por tanto resta mostrar como deveremos reduzillas ás effectivasem IluIn dado estado da aUsinosfera. Pan isso, servindo-nos da;regras de Bradley, poderemos achar, ou separada, ou cumulativamente , as correccües relativas ao Barometro, e ao Thermome—

iS

C3

tro de Fahrenbeit. Querendo-as separadamente , prixielpiaremos

aticulaxs’Jo o quarto termo de huma proporcâo , oxide o j seja2q’ ,6 , o 2.’ a difl’crenca entre o 1 e a altura do Barometroe o 1’ a refracçáo media ; entendendo todavia que este terceirotermo púde alternar com o scgtmdo , o que a mesma alternativatem lugar em quaesquer proporcáes : na presente reputaremos r

quarto termo augmentativo ou subtractivo da refraccáo mediacnforme a altura do baromefro for superior ou inferior aem fim , depois de calculada a proporco precedente , caleulare..mos outra onde seja i.° termo os grios do thermometm ± 350,2.’ o numero 50 menos os mesmos aráos , 3. a refraccEo media; o -l . deverá ser augmentado, ou subtrahido, ao 3° coii—fiwme 50 for maior ou nienor do que os gráos do thermometro.Querendo porém ipplicar ambas as correcções simultaneamente,procederemos ao calculo da proporcdu 25,9 ± 0.074 dos gráosdo tjxecnj umetro , para a altura do barometro , como a refracçáomedia , para a verdadeira ; calculo que pode ser dispensado mediante lmma taboada respectiva.

55. Da ron’raeçJo dos semz-rharnelros. Como a contraecffo dossemi-diametros verncaes provem da diflèrenca das refracções, quedevem corresponder ás alturas apparentes dos limbos , e dos ccxi—tros achada esta d,itcrcnça , teremos neila a respectiva contracooe vice—versa. Esta correcçilo nem sempre he identica para os dois

semi—diametros, a saber o inferior , e o superior ao centro; dIa

deve ser applicada no sentido aogmentativo , ou no subtractivo

conforme se tratar do limbo superior, ou do inferior e porém

poderemos sempre deixar de coxesideralla huma vez que reduza-

11103 O ponto observado á sua altura verdadeira , applicando á appa—

rente do mesmo ponto a correcolo da refracclo que a essa altura

compete; pois era summa reportado elle á sua verdadeira posio,

teremos a do centro de qualquer astro augmentando—lhe , ou di—

minuindo-lhe a sua distancia vertical a este centro, conforme se

tratar de ponto inferior ou superior ao mesmo centro. Esta reile—

2T

-gar os diametros assim como a refracdo a encurtailos; effeito es

te que ainda nio lembrou considerar. Mas se be inutil huma ta—

boa que trate do encurtamento dos semi-diametros verticaes , alio

acontece o mesmo a reepeito daqisella parte da bxboa que mos

trar o dos inclinados ao horizonte. Com tudo cumpre que presi—

dlio á coustrucçljo desta taboa principios assáz clive rsos dos adopta

dos presentemente, pois em summa deve a tahoa mostrar as dif—ferenças entre as respectivas distancias verdadeiras, e aplsarentes,do centro e limbo do astro , quando este existe em aI taras pre—fixas , e ao mesmo temnx, o somi—diameter, , que vai no ponto observado do limbo , fôrma com o horizontal hum angulo dado

ora sendo B e 11’ as alturas verdadeira, e auparente do limbo

e a media; o senti-diametro, e o angulo que elie Lia com

o horizontal; poderemos suppôr que a altura verdadeira do cen

tro he B ± seu. 7 , conforme elle dever estar msis ou menos

alto a respeito do ponto do limbo ; desta altura derivaremos com

toda a Licilidade a correspondente altura apparente , cuja ditie—

rença á vertIa’ eira poderemos desigiiar por A’, designando por

a media altura do centro, e por A a diiUrenca E Ii’; donde re

i’ sultará que deveremos determinar quanto diversiflcáo as distancias

verdadeira e apparente , do centro e limbo , quando conhece

mos a primeira , além das alturas medias do mesmo centro , elimbo ; o que conseguiremos mediante o calculo da seguinte

formula x A+A’-2eos.()+fl+ø ( seI1.. (-f$-)

± —— seu. - ± formula que na hvpothese de ser

ou .=.à’, da ±x=2Atg.gtg., qiepoderemos converter em ±x = ?A tg. fi; de modo que só suppondo A produzido unicamente pelas refracções, e que estas sáo como as tangentes das distancias ao zenth, acontecerá que designan

do 7 a refracco para 49 de altura, deva ser ± x = i’r, ou ata—

tes x = 0,000276 ; mas seja a hypothese qual for, teremos

r1

r

lio lie evidentemente applieavcl á pareilaxe , que tende a alar—

22

no zenith ± x = O; e no horizonte (quandoy = O, e ig. fi == 0,0000000423 A’.

s6. Das Parailares. Da Ephemeride earahe-se a parailaxe

horizontal equatorial da Lua, e a primeira reduccln que devemosapplcnr-lhe lia a competente á figura da terra para este fimsersir-nos-liemOS do denominado raio relativo, ou R. rei, das ta—boas e procurando-o como distancia , o apartamento que lhe

corresponder , na columna da paraliase equatorial , deverá ser a

pnral5ae horizontal correspondente á latitude de que se trata, e

para a qual se tomou o U. rei.; parailase que nos dará a de qual

quer altura poio modo espendido em o n.° 14.

57. Para maior smplicidade, não escrevo defronte deR, rei.,

senão as mflesinlas, e decimas-milesimas deste raio ; suppondo o

do equador igual á unidade pois como as decimas, e ceutesimas

são constantemente representadas pelo mlmero 99 , segue-Se ccc

bastará tomar o apartaineisto correspondente ás referidas milesi—

mas, e decimas-mi1esimas , contallo como decimal , e ajuntalb

ao que estiver defronte de 99 , tudo na rolumna da parailase

equatorial, para com dfièito conhecermos a que lhe corresponde

na nossa latitude alús poderemos entrar na colnnsna das distan

cias com o complemento das duas letras do R. rei. e o aparta

mento respectivo (considerado como decimal , isto 1w, mudado

o ponto duas casas para a esquerda) será justamente a correccão

que deveremos applicar á primeira parailaxe para obter a segunda.

55. Do augnento do semi—dia,uetro horizontal. Este augmen—

to he sensivel no tocante á Lua, e como segue muito proxima

mente a razão dos senos das alturas, encootraflo-hemos nos apitr

tameotos , que a essas alturas corresponderem , defronte dos res

pectivos semi—diametros horisontaes 55v, is’4, 151, 16’, 169-,

1 6’,j7, marcados ao lado da columna das distancias deveremos

porám cootar esses apartamentos, como se as distancias represen—

Lsssem decimaes de minuto. Assim teremos , por exempio, que

o augnacoto correspondente a 44’ 16’ de altura, e 15’ de diame

tio horizontal, iw 0,15.

23

59. Redurç.o das Latitudes. As latitudes na esfera flcarSo re—

duzidas aos correspondentes angulos no centro da terra , dimi—

nuiado-ilmes os respectivos angulos da vertical.

60. &duçráo diu a/luras. Os angoios. das alturas tambem

admittem o ser reduzidos aos que devem corresponder-lhes, snppondo o observador no centro da terra; para o que basta entrar

com o angulo da vertical na columna das distancias, e a latitude

que lhe corresponder , na columna do respectivo angulo azimu—

thal, deverá ser a correcção, ou equação da altura ; subtnctiva

quando o angulo azimuUaal he agudo, e additiva quando Gtduzo.

Si. Estas reducções fazem que possamos prescindir de outras

attencóes á figura esferoidal da terra.

62. Mostrarei ainda o uso das projdcmdas taboas por meio

deste exemplo. Observando-se, de ftente para o Astro , a alturado ftmbo inferior da Lua achou-se de 45’ 11’, quando 15’, 67era o valor do seu semi-diametro horizontal , e 60’, 5 o ria pa—railase horizontal correspondente á latitude do observatorio a

temperatura da adimosfera náo diflria sensivelmente da media, oinstrumento esistia em perfeito estado , e os olhos do observador

esümváo 30 palmes acima do nivel do mar queremos saber qual

era, naqueile instante, o altura verdadeira do centro da Lua.

c. Mi. ap. obs. = 45 14’

Ci. me. hor. = 55, 51_

45 09,51

59, 05

= 42,30k

35

Semi-diam. horiz. 15, 57Seu augmento

Altura verd. = 46’ 7’, 05

63. Deste eemplo deduz-se, que a passagem da altura appa—rente da Lua, para a verdadeira do centro, eWeituou-se median

1 Mt. ap. ÇCi. ref. mcd.Para!, da alt.

19

—5- na

Lat. La = 116.952.a = 72.946

CI. = 27054

Ang. azim. = 105° 42’

-4 ÇÁZL-.. ‘

II

1te huma siinplicissima somma, e abrindo huma só pagina das taboas; sena calculo algum de partes proporcionaes, e sem recorrera columnas privativas a este calculo sendo aliás para observar,que de proposito se procurou altura de Lua , por que requermaior numero de correcç6es ; devendo por tanto concluir-se,que maior simplicidade haverá no tocante ás estrellas , e Sol. Ese em algumas occasióes houvermos de diminuir os numeros ta—bolares , como essas tio as menos numerosas , nem convinhaatteodellas com preferencia na constroccio das taboas , nem ilei—xaremos de converter quasi totalmente a diminuicio em sommatomando o com emento dos aiumeros para lmm gráo, maneirado que se praticou com a indit;acáo horizontal.

64. Pcrmitta-se-me rematar este artigo com a determinaciodo instante mais proprio para observar a altura de bom astro , afim de calcular o angulo horario. Sabe-se que este instante 1w oda passagem do Astro pelo primeiro vertical ; por tanto procurando o cosmo tia distancia polar entre os apartamentos correspondentes á latitude , e passando para a distancia respectiva deveráesta representar o seno da altura, que mais convem observar para o calculo do an sito horario. Teremos pois que, tia latitude de45, quando a distancia polar for de 45° 11’, deveremos observar-o Astro quaudo estiver na altura designada pelo seguinte calculo

Cos. 15° 11’ = 70.422 ,, 99.Sgl = seu. 84° 49’

- 2%

Probledas da Vzvegaçto e/la.

65. C’onherendo a altura z’c,Nkdeira, a decliuaçflo , e a

de, calcular o angu/o orimufhol. Escreveremos em colunma a la

titude a altura, a distancia polar , a soiunut destes tres arcos , a

sua semi—somma , e esta senii_somma menos a distancia , o que

dará seis arcos, que denominaremos 1.0 , 2° , &c. até 6.0 de

pois, tomando as taboas , e procurando 200 como latitude do ar—

co 1.0 , marcaremos a que na mesma linha correspo;ader ao 6.0

esta, procurada entre as do arco 2.0 mostrará outra na isesnia li

adia, fias na cobimisa do 5,0 a diferença &sta ultima latitude

a 100 , procurada conio tal latitude defronte de t00, fará canhe—

cer o angulo pedido , que devera ser agudo ou obturo, conforme

for 10c< ott > que a dillrç:n

Are. 1° = 10° 20’,OO

2° = 6 20,01

3 = tal 9,97

40= 120 49,98

= do 2•I,99

= 43 4-1,98

66. Conhecendo o angu/o horario , a latitude e a declina—

pio , deternirnar a altura. Buscaremos na linha 100 os aparta—

inentos correspondrutes á distancia polar , e á smlaiua desta dis

tancia com a latitude ; entrando com o prhiaeiro na columna das

distancias , seguiremos a sua 1 inha 9té encontrar a eoiumna do

angulo cquivalen’e á latitude do navio, e ah marcando a tabu—

lar respectiva , escreveremos o seu compk°meistu pnm 100: com

esta ultima latitude voltaremos ás distancias , para seguir a sualinha até á columna do angulo hurario; onde encontraremos ou-

• tra latitude ; entáo escrei-endo esta terceira latitude , ou o seu

complemento para 100, conforme o angulo liorario for agudo ouobtuso • ommarenaos os dois ultimos numeros com o segundo

D

71

escuzailo-hemos servindo-nos de huma adequada taboa.

- 67. Conhecem/o a altura vi-dar/eira de liam astro , a sua dis—ta,:c ia ao polo .suerior, e a latitude de l-o,-do , -a/eu/ar o angu—lo hora,io. Escreva-se a latitude, e logo iminediatomeate a distancia, a altura, a somam destes tres arcos, a sua seIni-sonima,e esta teu]i-,omaua menos a altura, o çne dará seis arcos. Buscando entáo 200 entre as latitudes do arco 1•, marcaremos na sua

o aparainenro correspondente au 6’; e procurando—o entreos do arco a’ marcaremos a latitude que na mesma linha corresponder ao 5’; o complemento della para ioo, buscado entre asda linha i cio, mostrará , ou o angolo horario -, ou o seu snpple—niento , conforme o complemento for por falta ali por excesso.

cl. - - - - = iG.ics

= 54 4,93 Ang. flor. - = S0’42’

6s. C’onhecida a diflre;iça dos tempos em que bem ou riaisastros , che1Jo a liam mesmo a!nucantarath , quer da lesmaquer de diveisas pai/es do ,,uridi,uz e conhecidas • tanto as e/is—

-tanrias polares , e a dificrença das asr,’nsSes rectas dos astros , -nos

instantes das observafóes , como a latitude do observador, deter—-mitiar a hora de 1-are/o. Exemplo, que pôde servir de modelo, ele regra geral.

Interv. das obs. = la’

Dif. das ascen. rec. = 23 9,40

Resto = 10 5,00

O[-sen’ariies

= 8.9455v

= 0.05032

= 0.76692

Som. = 0.66281

are. suba, M.= 0.76692

= 9.90389

Cl. log. cog. = o.00aGB

log.cns.= 9.32716

Sem. = q.qoq6sMe log. cos.( / 8- M)

1 •a Tratando-se de hum só astro, cumprirá que elie mudesensivelmente de declinado no intervailo das duas passageus.

2.a Quando , neste intervailu , o navio mudar de posic5o,orrigillo-hemos conforme direi na eollecco das mitilua memo—rias navaes. -

3.’ Faiendo o intervallo = 1 , a diferença das ascensóes rectas = A, a soqama das distancias polares = o-, e a sua didren

= ‘ se chamarmos À á latitude • resultará CofleluirnIos, queo precedente calculo deriva das formnl-as tg. Ã (à-i) cI. ‘Ig. o- =

lg. M; tg. ii cos. M sec. (A-i) tg. = cos. (4 8-1W) ; formulasextrabidasda equaçáo tg. À (cos. ii — cos. II?) = seu. D’cos. h — seu. Ocos. H , onde 1) e 1)’ rcpresent5o as distancias polares ; e 1-1 osdois angulos horarios nos instantes das obsenaciles: ora , no casochamado dasoiturascorrespendentes, podemos suppur D’= O + dD,

dO ((tg. : sen. II) - (cot. D:

a equaçáo para u respectivo calcula02

426

apartamento , e depcis de descontados os complementos restarálutas terreiro apartameoro , que na linha 100 deverá mostrar aaltura pedida.

(Asco

e-

pedido

1 = 104’ D’MZ2 10 20,00

3’ = 114 20,97

4’ = 80 42,00

= 6 20,00

ipart. 1’ = 96.959

2 =Cl. da La. i a = l.6i4

lat. 2fl = 15.415

Som. = 11.025

,, Jog. tg.

log. eot. 1

log. tg. b

a. He log. tg.

b ,, log. tg.-

,, log. tg.

Semi-resto = 5 2,50

Dist. maior = 86 41,50

polar 1. menor = 73 53,87

- Dif. = 12 47,67

-Semi-d,ffer. = 6 23,83 =- mais’ menor = 80 17,66 =

Latit.doNav. 38 12,67

-- semi-rest, supr. = 5 2,50- Arc. suhsid. M = 77 44,22

S-M = 2 18,78

Ângulo horario = 85 5,50

Arco 1’ = 10’ 20’,OO

= 104 9,973°

= 6 20,01

4° = 120 -Iti, 98

= 6o 24, 99eApartamento = 167.05

Latitude - — = 83.832

.1*nr

L

1

eh=H-dH, oquedá 4,dH

tg. II)) que fie precisamente

__ c*

Dislancia-

maiorpolar 1 menor

= só’ 41’;50

= 73 53,b3

Diferença = 12 47,67= 6

23,3

= 50 17,66 = a,,= 1711 13’ 22”

7 1500

56 22

293530

23’ 32”

=9— o

= 37’

T s.t

cot. = 0.95032

tag. = 0.76692

tg. b = 0-75533

Som. = 2.47277He lug. cot. y

Diferença = 5

Swnma = 80

Somma = 37 30 6Guri. 2. su’otract.

Ang. hor. ç Menk.correcto de 1. Aldeb.

= 296 1844W

ou--- 4 59 II

= 37 30,01

= 42 32,50

Regra para o calculo do angulo azzmuthal.

Baseando 100 entre as latitudes existentes na columna damaior altura, marcaremos na mesma linha o aparta-iwnto correspondente á distancia polar ; e contando-o como distancia tabular

r1’1

da hora ; calculo que simplificaremos por nieto dc apprapriadasTaboas.

4.a Se na hvpothese , aqui seguida , quizcssenrns prescindirda latitude estimada, careceríamos de fazer tres ohsenacóes, eprocede-riamos -ao calculo que em outm lug:lr publicarei.

Gg. Dados , otserewlos, ou culta/tidas , os angu/os horariosde dois adros conhecidos , qucu:do estes existem no mesmo a/ali—

- cantarati, desconhecido • achar a lat:tude do ol’serea,lor. Exemplo.Em huin -almicautarath desconhecido observai, Menkar , quando o relogio apontava 711* da tarde ; 52’9” depois vimos Aldebaran nu mesclo altnicantarath estes astros , tendo passado pelomeridiano, voltáráo ao dito almicantarath, a saber, i\lenknr pelas 5h j31 22’ da iniiihã , e Mdebaran pelas 711 25’ 5 imme—diatos as suas distancias polares erdo 86’ 41’ 30”—c 730

53 5Q!,

pergunta-se em que latitude estava o obscn-ador.

Semi-diferençamais a menorHoras de f2.asMenkar j jas

2,49 cot. a = 9.23308

2,51=b,,cos. =9.23788

y - —= O 11,57 ,,cl.sen. = 2.17278

y mais a dif. prec. = 5 14,06 en. = 3.96015

Latitude = 33’ 42’, 7Som. = 990389

Helog.tgiatitude

70. Huma das quatro observações he desnetessaria quando,úo queremos verilicar , ou a boa execncáo deilas • ou a marcha

do relogio. Estas observações tornaráó capazes de serviço açueilesinstrumentos de refieáo , que já o uáo forem relativamente ás do

costume.

71. Dcter,nhiar o angu/o horario , o ozi,outho/ , e a /atitudeverdadeira, quanr/o , além da estimada , conhecemos (luas alturasde hum mesmo astro, e a .Ç&a distancia polar s:tppsta coast ante-no intcn’aulo da.ç otsrvaçóes , que Iam tens suppomos conhecido.Regra geral para o calculo do angulo horario.

Buscando 100 entre os apartamentos na columna da distancia , marcaremos na mesma linha a latitude correspondente ásemi—sornma das aburas. 11. Buscando esta latitude entre os apartamentos do semi-i,ltenallo , reduzido a gráos , sustaremos namesma linha o que corresponder á sensi-diWerença das alturas.

MI. Buscando este apartamento entre as latitudes tabulares existentes na columna da estimada , passardnios para a distancia res—

pectsva. a qual. considerada como apartamento pertencente á lijilu 100 fará conhecer hum angulo subsidiario, cuja diflèrersca

ao sensi—interlalIo será jisstatnente o valor do angulo horario correspondente á maior altura.

Diferencada Dif. ou ç temp.Ang. her. em 1. grúos

Corr.1 a addltiva = 370230520

30 3’

marcaremos o que lhe corresponder na columna do angulo hora.rio ; este , procuradrs na linha 100 , fará conhecer a amplitudeda altura , ou o complemento do nugulo azimuthal.

Poderemos tambem seguir neste calculo a vereda , que voullateikar. Marcadas na [i,iha 100 as latitudes conespondentes ámaior altura , e á dcciinacáo, subiriamos pela columna da j.a atéencontrar a 2. , e na linha desta marcando o apartamento corirspondence acangulo horario , será esse apartamento aqu&e que,procurado na linha 100 • mostrará o sobredito complemento doangulo az nuthal.

-

Poderiamos ainda õhrar pela mal]eira seguinte , que transcrevo para dar idéa dos diversos modos de nialmejar as taboas.Depois de marrar na linha 100 , quer as latitudes corresponden..-Les á maior altura, e á declinaçáo • quer o ;iplr;amento conipe.tente ao angsmh’ horario , suba—se pela columna da primeira quan—ti±mde até encontrar linina das oul ris ; onde a li nua desta se cruzar com a coltmmna da que restar , existirá lluma quarta qimamtidade , que será o apartamento correwondente , na linha i , aomesmo sobredito complemento. Este apartamento cabina d&sdelogo na sua linha , - se principiassemos subindo pela columna da2a ou 3 quantidade , até encontrar a 1 •a

Berra pn;a o calculo da latitu,le.

Buscando na linha 100 os apartamentos correspondeTitesdisutiscia polar , e ii maior altura • escreveremos o segundo, e entrando- com o primeiro nas distancias tabni;ires, marcaremos a respectiva latitude na cnlumna do angulo da latitude estimada , oescreveila—hemos ; depois considerando—a como distancia, marcaremos a latitude , que li ie corresponder na culumima do angulohorario , passando a escrevell , ou o seu camnplcnie’mto , toiitbr—me o angulo hurario, exceder , ou não, a po’ ultimamente,snminando os tres nunseros escritos , e entrando com a summanos aparlaincmnus da linha 100 cotil[cectemo a altura meridianado astro, e por eonsequeneia a latitude.

Poderiamos ali-is conhecer immecflatimente esta hilmtude

adiando a serni—ikitirenca , e a sensi—somma do angulri horanio

com o azimuilmai , e assim tambem metade da difiereuca entre

90, e a somnla mia distancia polar com a menor altura ; depois

ajuntando o complemento dii logaritltuto do seno tio 0 arco

com o logarithino do senu rIo 2, e o logarithmo da tangente do30, teremos o da eomangente de hum .1’ arco de circulo , cujo

do’jro menos go’ deve equivaler á lati [‘ele.

72. Iluda, ou oI-sr’rerda , a dhtanrin apjmarerte da Lua au

— Sri , ou a huma estreita e conhecendo ar simultom,eas alturaap»ure;ites dos astros oIsereados detmrmiflt!r a rlj,tancja j’errfu

deita , e a longitude de tonto, Deternainando a difft-renca das

duas distancias , e conhecendo a primeira , eotmhcccretuos a se—

gundi ; com tanto que tombem determinemos o sentdo em que

a diflèrenca existe.

&ra geral.

1. As altoras apparcnies applicaremos metade das correcçées

que deveriamos applicar—lhes, se quizessemos assignalar is corres

pondentes alturas verdadeiras e reportando—as aos centros dos

dois astros , chamar—lhes—hemos semi—correctas. II. Escreveremos

successivasflente e em columtut, as alturas seini-correctas do Sol

ou Estrela, e da Lua; a distancia appare:mte dos centros dos dois

astros, a somma destes tres arcas, a sua semni-snmma, a mesnt;

nemi—sonuna menos a primeira altura e a mesma semi—sotvma

menos a segunda altura : ao lido das alUiras escreveremos lambem

as correcções towes • que denominaremos la e 2a , escrevendo

outro sim apoz a 2a o seu complemento para hum gso. DI. Busca

remos a correcelo ja na colutumia das latitudes do arco 1’. , e na sua

linha marcaremos o apartamento correspondente no are o70

e se

rá esse o apartamento 1. IV. Semelhantemente , procurando acorrecciio a entre as latitudes do arco 2°, marcaremos na sua li

nha o apartamento respsctivo ao arco (7, e chamar—lhe—hemos 2°.

V. Diminuiudo o C apartauseuto do 2’, (diminuicito que podem-e—

a:1

A

a,

a

32

nios converter em somma por meio dos complementos) buscaremos o resultado entre os apartamentos do arco 3°, e lia sua li—nua marcaremos a latitude correspondente ao 5 arco. VI. Som-mando entiio duas vezes esta latitude com a correcção ia , o

compleniento da 2a , e a distancia apparente, descontaremos mimgráo, e teremos a distancia verdeira.

Ere;i;pio.

,, Corr. ia = 75,55

2 =31,70= 28,30

Corr. ia ÷ Cemp. LIa 2° - - =

appar. = 105’ 42,05

D!sbmcia verdad. = 108 27,54

O is e tt’ a r6es

1.a As senhi-correcc&s poderáo deixar de ser applidas todas as vezes , que dflëituarnsos as obsen-acfies em circlmstaneins

flworaveis a esta simplilicacio ; o que exporei mais largmaeii[enas minhas nielnorias n:aaes onde tamtwm lisos trarei , que po—derenjos jttel[Ier á esphencidade da terra , ou ftzendo este calculo só n’lis a diferença de toiuarnios por alturas apparentes ascorrectas do cífeito do augulo da vertical ; ou procedendo a doiscalculos semelhantes, a siber; 1° contando com as correeç5es devidas á refracçáo ; e assim obteremos a distancia verdadeira,;- istada superfcie da terra ; 2° partindo desta distancia, e das alturascorrectas, tanto da refracçáo como do sobredito eflèito do ansillo da vertical , e tornando por correccóes as procedentes da paral—taxe ; o que deverá conduzir-nos á distancia verdadein tal qual

e

ieve corresponder ao centro da terra. Bem entendido , que as

correccôes, ralativas á refmc;áo , serão em todos os msos referi

das ás alturas appareutes propriamente taes, e udo a outras quaes—

9 uer , que lhes substituamos.2.a No manejo das taboas será bastante contar os arcos pri

meiro até setimno em gáos , e minutos ; vindo consequentemente

a udo precizar calculo algum de partes proporcionaes.3,a Quando se trata de descobrir a distancia verdadeira ol

nilundo a sua diiièrença a respeito da apparente , cuido que estemetlmodo be actualmente o mais itiiples , sem alin lhe faltar aexactiddo prcizz d’e tem a vantagem de proceder sempre com

uniformidade, e até de marchar com passo5 táo semelhantes , que

deve entrar , e firmar—se com facilidado , na memoria de quem

quizer a1,rendello , e executaio.4.5 Em quaiiro aos metitodos que passio de huma para a ou

tra distancia, calculando a verdadeira, como não conheço algum

que deva preferir áquelle, cujo calculo prático está táo facilitado

pelas taboas de Mr. Mendosa ; e corno cuido que a constmccão

destas taboas ndo está patenteada aos olhos do publico parece—

me que ndo serei inutil procurando patentealla, e por consequen—

cia tornando menos empvrico o uso das mesmas taboas.

Tahoas de AIr. Arca dose.

73. Sabe-se que se x e ‘ representarem as alturas verdadei—

n , e apparente do centro da Lua, a e as si,nultaneas do Sol

ou Estrella, e as correspondentes distancias dos centros; de

ve ser

nas. — sen. sen. — nas. - sen. sen.

cos. ? cas. — cos. cos. ,‘ (A)

desta equaçào A deduz-se

• cos.—cos. (_,) — cos.’—cns.(x’—d)

cos. nas. nas. cos.(B)

Arco 1 =

3° =

6’ 23’,79

54 27,50lOS 42,05

4° = iGy 33, ($1

5°= 54 46,82

6’ 78 23, 03

7°= 30 19,02

Apart. 1° =

= 53, 45

Di&ren. = -19, 62

Latitude = 4, 82

1

E

h±J

34 35

_________________

--

À C05. ecos.= cos. (?t-c) + , , (cos.à _cos.(il_e’))

(Xis. À ais. e

desta ultima equaco , suppondo cos. e : 2 cos. e’ = a bania constante k, e ais. : cos. a! = ais. , deduzio Mr. Kraft, seu.V.sen.v.Q_c) + sen.v.(’ +9) sen.v.(_9)_sen•

1’. (À’-e’+ D)-sen.v.Q/-e’_ç).

71. Mr. Mendosa • quer no conhecimento dos tempos de 1796,quer na sua obra intitulada flec/:erches sur les sohaions das /irbzcipazir ro&lei,,e, de l’as1ro,,o,,,j’ lau(iqfle , impressa em Londres no anno 1797 • quer nas tabo4s que deu á estampa emMadrid no anuo isuo , quer em fins lias actuaes de que es•tou tratando, serve-se deste mesmo raciocinio applicado á formula A, mas deduzindo delia a segi lute, que tambem 1w assaz conhecida, e que com cONto he mais vantajosa ou facil na prática.

cos. è + cos. ( +e) = coa. ‘ + cos. (‘ + “ (C)cos. cos. o• ais. a! coa. e’donde vem a resultar seu. v. = seu. v. (150’ — - e) + sai. V.

(V+9) +sen.v.(F-ç)+sen.v.(À’+e’+ç) +sen.v.-( a! + e’

- 9) — 4; formula que converte em

44-sen. v. ‘= sus. v. (À+e) -a- (seu. v. (‘ + ç) + sen.v. (“ -

± (sen.v. (x’+ e’+ ç) ± sen.v. O’+e’- 9))chamando suseno verso de + e a seu. v. (180’ - À - e).

75. Com effeito na Tabna XI., os numeres III. equivalem a4, ou quatro vezes o raio, mais o seno-verso dos angulos marginaes ; e os numeros II. represcr.tâo os susenos versos dos angu—

los zí margem, menos latim gráo, o que 1w motivado, porque nasalturas do Sol, ou estreilas, em vez de se diminuir o effeito darefracçán , ajunta-se -o seu complemento para hum gráo, que nàose desconta, e por tanto vem as alturas resultantes a conter humgráo mais do que devem. Na mesma Taboa os numeres 1. equi—valem ás somrnas dos senos—versos naturaes das sommas , e diffih—rnnças dos dois angulos dos argumentos, a saber; •o vertical, e ohorizontal mais Üf: a olnmissáo destes 6o corresponde á prati.

cada sm Taboa X. , melhorando nisto a sua correspondente na

edicáo de i\Iadj-id ; pois em vez de se suostrar na mesma Taboa

X. o ‘alor de , mostra-se táo sómente o de - 60, deduzido

da equacáo /k coa. À: cos. ‘ = cos. 9: na tabelia parcial, que eu

analyzei , difere k muito pouco de 0,500134, valor que lhe foi

attribuido por Kraft : outro melhoramento 1w patenteado pela

margem da mesma Taboa, nas columnas_addicionaes, pois nes

tas se encontra a correccáo correspondente a varias alturas do

Sol, e das estrellas ; correccilo que poderemos deduzir de equa1

cões taes como a seguinte, onde supponho que 20’ designe aquela

altura do Sol, da qual resulta cos. e : 2 cos. e’ = te, e s a diffe

renca entre o verdadeiro 9 e o das taboas , que chamarei 9’::

com efeito acharemos , que deve ser muito proximameute -

/ ais, e cos. 20 .sen.=cot.Ç’( 1-— x )OU

cos. e’ cos. 19 57’ 24” /seu. = cot. 9’ (1 - 0,99973 cos. e: ais, e’)

de modo que , fazendo 0,99973 coa, e: cos. e’ = seu. v. X , 501*

sen. = cot. 9’ cos. ‘e. -76. Na primeira Ephemeride Conimbrirense, obra verdadei

ramente digna da illustre peuna que lhe deu o ser, lê-se tanibelfl

Imm methodo de calcular a distancia verdadeira , cuja demons—

traçijo (segundo penso) nilo vio ainda a -luz pública ; por isso

rematar& o artigo preseiite , dizendo em summa , que o calculo

alI expendido he tal , qual deve derivar—se da formula B , de.

pois de transformada cdnio indiedo as seguintes

cos.= cos. (À—e) - (c:Àos. e:cos.ilcos.

(cos. (À_e)+coa.(À+e))Qos.(il_e’)_Cotf’cos.=cos.(-e)- -- (M)

- cos. (À’-e) +cos4À’+’)

cns.= cos. (À - e)- cos.(À-e) -j— cos. (À± e)

cos. (a!- e’)‘—

ais. (À’—)—e’) cos.Os’±’) —1—cosi’mas COs.(À’- e’)

- coLr=1—l ais. (a!-e’)—cOS., ,logo

E2

‘14

ti,rcm. (À’ -ci) —--cos. (À’4-e’)

cos. - e’) - cus.

jr____ -

36

er

preeatari em anibos os casos a difii,renca dos a,i,nnth; dos

dois astros.

73 130 ronhc,iu,cnto das alturas , e distancias, mencionadano pio ilc,,,a prende ,,tt’ , deduzir gz longitude, a latitude, a ia—

e a hora dc tordo,

Regra geral.

- 1. Reputando prallaxe, e diamtro horizontal da Lua pan

ii hora da observacão , o paralhixe , e o tliametro , que na hpiic—

meride corresponderem (no dia ±1 mesma absersaclio) ao ii,

te que mais se lhe avisinhar , calcularemos cinnt no problenia

precedente liuma primeira distancia verdadeira.

II .AEhenei& mostrará qual hora , no seu meridiano

corresponde á distancias calculada j e para essa , que será muito

proinha á da obsers-aço, calcularemos novamente a parailaxe , e

o diamctro i,erivontal da Lua , - procedendo immediatamente ao

calculo de outra distancia , que chamaremos correcta ; e coa,,

dia descobriremos a hora respectiva no semi—meridiano da £phc-.

meride.

- fli. Pira esta hora calcularemos as distancias polares dos

dois astros • com as quaes -, e com a distancia correcta , deter

minaremos o angulu desta distancia com a polar do Sol , ou

Estrelhi.

T\’. Co,» 25 alturas verdadeiras , e com a distancia corft’ct.,

determinaremos o aaguio desta distancia com o vertical do Sol, ou

Estreila.

V. Com a differenca dos dois rngu!os precedentes , com a

altura , e com a distancia polar do Sol , ou Essrclla , determina

remos, 1. a laLi!ntle , 2.’ o an;ulo azimnthal , 2.’ o aisgiilo Im—

rido • se no qui zermo.s a,at ôr a detc-rminaçáo dos angelos ti

da latitude, mediante as t&mulas de Nuper.

cm. (>. -cosJ=cos.Qt_).. -

(04. —fr o’) —1— eis.

11nas. (À-e) cos.

cqlsnço que , para ser resolvida coas o soecorro das Taboas 1.;e IV. di Episeincaide , convém que se inm4urme ciii

Co Cos.G0cos.(c)- (60 CO5.Qu)±6Ocos.(À±c))[60 (60+

( Gücus. (,14. o’) ± 60cm. j Qso6ocos.’-’)-6ocos.n))]

77. Ii, oquacáo AI (adoptada pelo Senhor Travassos em i 803)

nibstituindo os secos versos aos unsenos , resultaria s. v. (I$0°

‘ + “)- s.v. (À’ +d) :s,v. C1SO-k+ a’,) -5. V. (i + )5. v. —s. v. (À’—a) s. -s- s. v. (À —4— o) , lnporco na qual,bem remo nas formulas preced.’aics, snpponho tiritamenle À >o-,pois aflâs cm s-e de À — cscre ra 2 e ar.’ os scoos versesparecem preliriveis na prática aos cesenos por n5o nmdareau designal q:aaOLiO os arcos passo de 90° ; cai colLscqlit’ncia do queIio prodozean mudaoças de sommas em diminuiçdes , e vice veria introduzindo_os na equacalo C -, - resultará s. v. (1 0 - — o’)

—s. v. s.v.(1S0..À_o) — s.vJ , proporcáo onde iso’ — ‘_ ‘

representa a somafla das distancias a1warentes ao Zenith ,‘ — o’

a diferença das mesmas distancias; 180° — À — o a somma das rUas—tanr as verdad&ras ao Zenith , e À 7,q priflirenca destas dista».v4as; ultimamente observarei que conforme -suppozesseanos -

v, (.‘ - o’) - . .=s.v.x, ou

5:v Qd—c)-I—s.v.(À’—j—c) -2

2(5. ‘e. (180’- À’ - e’) + . ‘e. (180- fl-2)

s.v.

essim re—ol,arias.v. (À—o) —s.v.s(s.v. (À—o)—J—sv

- 2)=s.v.?, ou s.v. (1SO’-À-e) 45v. (1$O’-a’)

1

j.

VL A diferença entre o anguto azimuthal calculado , eque deveremos ter observado , fani conhecer a variaçio da agulha conheceremos a longitude combinando o angiflo herario coma hora correcta do semi-meridiano da Ephemeride.

Regra para o calculo do nu,ncro 1H.

79. Escreva-se em col,mna a distancia correcta dos centros,a polar do Sol , ou Estreita, e a da Lua,asonsnsa de trxlas , asua seini—sointua , e esta semi—zomma menca a ultima distanciaprocurando usEi] 200 entre os apartamentos do arco i, marcaremos o que na mesma linha corresponder ao niluno, e buscando-o na colmuna dos do arco 2’, marcaremos o cuz na sua linhocorresponder ao peoultimo: a este subirabiremos 100, e confor—sue elle for maior , ou menor, do que 100 • assim o resto • tiro;curado entre as latitudes da linha 100,, mostrará o angulo de quese trata, ou o Scu supplemento.

Regia para o calculo do num cm iv

so. &Lt regra, que poderia ser tal qual a precedente , tC áSd’tancias polares substituissemos as correspondentes distancias aoZeiiith , mudar-se-lia na seauinte • se preferirmos o emprego dasalturas verdadeiras. Escreva—se em humo columna a distancia correcta dos dois astros, a altura verdadeira do Sol , ou Estreila , a altura vcrdadera da Lua, a spasrna destes tres arcos , a sua semi—somma e esta mesma szmi—ornma melios a altura da Lua pro

curando euto 200 entre os apartamentos do arco 1.’, usas-coremos o que na mesma linha corresponder ao ultimo ; e entrandoCom cite na colunista das latitudes do arco 2, marcaremos a que

na linha deUe corresponder ao arco penultimo o complenicnrqdesi las iauie para 100 , procurado na, linha. 100 ,. mostmi’ti o ar

co pdido, ou o seu supplemento; conforme elia for menor ou

maior do que 100.

39

Regra para o calcula da latitude.

-81. Dos dois nngulos precedentes deduza-se o parailactico doSol , ou EstreIta , e escreva-se consecutivamente IY distanciadeste astro ao Pólo superior

., 2. a sua altura verdadeira • 3.’ asonsusa dos arcos e 2 , 17 o sobredito angun paralhcsico:buscando então na linha 100 os apartamentos dos arcos e 3’,emraremos com o primeiro na columna das distancias, e marcaremos a latitude , que lhe corrspender na ceumna das tio arco 20

com esta, corno distancia, iremos tombem deten&nar a latitudeque no 4 orço Use corresponder, e nccrescetitsEa-bernos , ou tiralia-hemos á sua precedente , c@nfirine o angelo paraUacticofor obtuso ou agudo; o resultado, subtrahido do segundo apartamento, e procurado como tal na linha 100, deverá mostrar-naso latitude.

- Regra para o calculo angu?o azi,nu:kal.

82. Entrando com o primeiro apartamento , da regra precedente , na columna das latitudes tabnlares correspondentes á donavio, marcaremos na sua linha o apartamento correspondente aoangulo parailactico ; este aptamento. buscado como tal san linha 100, deverá isidicar-»os o valor do augnio azinauihal.

1

Regra para o calculo do ungido harario.

83. Na linha 100 marcaremos a latitude correspondente á altura do Sol, ou Estreita e entrando com eito latitude tabula:ria colmnna das que corresponderem á do nalo,. marcaremos ‘ia

sua respectiva linha o apartamento que encontrarmos pertencente ao angulo parallctko: este apartamento, j;rocurado entre osda linha 100, mostrará o angido pedido.

- aS

40 41

Conclu3ao.

84. Tendo dado 1maio idéa da construccáo , e dos usos dasnovas Taboas , assim como de alguns additamentos que devemter, para maior commodidade do seu possuidor; concluirei apresente memona , recapitulando os accrescentamentos que estacommod!dade parece exigir , Os quiles se reduzem a humas vin

te paginas de taboas nnalags aís que Mr. Mendma demarcou

com nulueros 1,5,8,23,21,25,2G,27,28,29,30.31,32,33,36,37,

35 e 41 , ajuntando-lhes a 20a de Mr. DumI , e a ‘i de Mr.

Makay. E digo analogas, pois, por exemplo , na 5a cai vez deflsctores preferirei as correcoSes propriamente taes , transforinan—

do—as todas em additivas , ou positivas , mediante hum artificio

to simples quo geralmente opplicavel; pois bastará que a todas

as quantidades augmentemos huma superior á maior das negati

vas , e cula subtraccáo seja fitcillima tal púdo ser no caso

desta taboa 5 susim tambëm na das marés canvirá consultar

os trabalhos de l\Ír. Romme ; e encurtando algumas das outras,

reduzir em todas os segundos a decimacs de minuto ; além do

que formarei a taboa 8 conforme com os principios desenvolvidos

no §. 55.

85. Tanto nestas taboas, como nos methodos de calcular, que

modifico , ou torno mais exactos, ou de novo proponho sem ser

superfino , venlso a publicar o que a minha refiexáo , a minha

experieacia , e osmeus estudõs-navies me tInem pal-ecer mais

conveniente e preferivel tias inaterias de que tenho tratado ; as.

quaes serdo mais largamente discutidas, se- com efibito a voz pú

blica me animar , confirmando o conceito que formo das vanta

gens, quer das taboas, quer dos calculos.

fl) :uMnails..: ;n; o()

• - Etu relativa ao §. 17. Se tntre as latitudes crescidas , e

os logarithmos dos sdnot, coliocarmos linhas taes qunes as se

giu utes

flJg. ç I ,9,,lO,,1 5

5cm 12,7,, 1,,l ,,2,.o,,a,14,,4,,5,,G,, O,,V,, 8,, 8,, 13,, Q,,l0,,l 1,,t 1 ,,l2 ,,12,,1-3

facilitaremos todo o calculo logarithmico , o me 1w evidente:

pois , por exemplo , no tocante aos numeros, se quizermos O

Iogaritbmo de 70572, vendo nas taboas o de 70567, cuja dure

rença para o numero proposto 1w 5; e vendo que a esta corres

ponde a logarithmica 3 , concluiremos que log. 7057.2 - (em quan

to á decimaes) he 8-1560 ± 3, ou 84863; ajuntando-lhe agora

a caracteristica , o que 1w bem facil , teremos log. 70572 =

4,81803. Semelhantemente, se quizermos o logarithmo de 7057,

ou servir-nos-hemos do de 70567 com humo unidade menos na

taracteristica ; ou , se precisarmos maior exactidáo , deter

minaremos primeiro o de 70570 , e tirar.llw—hemos a mesma

unidade. Por outro lado , a diferença por iÇ que neste caso 110

.

2,7, multiplicada pelas partes decinsaes de minuto , a que de

veremos attender , produzirá promptamente a que houver de cot

responder a estas partes assim , querendo nós o log. seu.

53’,7, acharemos que deve ser 9.818004—12,7 x 0,7 = 9.845(k)

+ 5,9 = 9,54869.

Nota tctatiua ao 4 -78. Parte V Quando o Zenith , e o

Pólo superior cahirem para diversos lados da distancia , o angulo

parailactico será igual á somma dos dois precedentes cm quanto

a hum dos Astros, e ao supplemento desta somma para 360’ em

quanto ao outro: convirá pois evitar a observacfio nestas circun—

- stancias , se quizermos que a regra do calculo pratico seja sempre

a inesnia. -

Nota relativa ao §. Si. Esta regra pôde ser mais semelhan

te á do paragrafo 66.Nota reiativa aos . 82. e 83. A estas duas regras podere

mos substituir a seguinte. Marcado lia linha 100 o apartamento

dorrespoudente ao- ung’.ilo parailactico , entre-se com elIe tia Co—

ii

-

-- Iz_w

-z

Irmana das latihmdes tabulares c-rcspondentes á do navio ; e notando na sua reqiectiva linha t. o apartamento corrcspoudente 4distancia polar , 2.° a latitude qLLC corresponder á altura do astro esta latitude , procurada (01110 apartanietito na linha 100mostrani

. ando isorario , ou o seu sup;lclnento e aqueileapartamento’, procurado corno lititilde na meslna linha • deverámostrar—nos

- o angulo azirnuthal , ou o seu supplcruento.r 65,, SUS. 1Ç.z = 2 cos. (« + 1 + d) cos. (a-)— 1— d)

sec.asec./ - ,

66,,sen.azrsen.(J±4)_;endcos.lsen.v.h67,,scl,.v.h=2sen.4(d+1ia)co.(d+l+a)

cosec. cl sec. /çcot.y = tg. scot. J (cl’- cl) tg. (cl’—bd)

3Xtg. 1 cot.k(d’dy ca.-?soseë.ysen.(•q—l—D)rsen(h).=sen.(a_al)tos.%@+ a’)cosec.d

1 sec.1cosec&j -‘Á7l sen.z = sen.dsen. hsec. a -

seu. (1 + d) ouseri. 1 = sen. a + Sen. dcos. 1 sen

L v.h -

semelhante á do . 55 ; tomando-se por ponto- do72 limbo de bom astro o centro do outro , e fazen

— do à’ negativo a respeito de à - -

79,, sus.v.s=2sen.(+d_ct)sca..õ(+ d+ cl’)coscc. cosec. d.

80,, seu. ‘.‘. y = 2 seu. (J + u - i)cos. ( +cosee. èsec. o-.

81,, sen. 1 = sen. (o- + cl) — seu. cl em. o- cm. sr.

S2,, cm. z = sen. Ir sec. 1 seti, cl -

1 sa,, seu. li = seu. ir sec. (vos. o-.

A formula 72 , supposto = ytf, reduz-se a

Ascn.9 A’scn., -

— —

nas, cm. 9

e se for tambem = fi, resultará a- — lg. 0 (A. - A’) , que be

LI

11

o‘l

Ert

-La

1,

ooo

• a--c

1o

.1

aoo•0’

1

43

caso mais simples , e por tanto o prcf&rivel ; mas s tivermostão sórnente fl= 9, será a- = tg. tg. (A - A’). Ultimansen

te= 9 = 45°, dá neste caro a- = (à - A’) tg. -

e

FIM DA .MflIORIA. ‘

1 :jI:..44

..

t.,” -----‘.::

.1c

:-L,

—-—i-t—.—__- -.

TY]PO DAS NOVAS TAIBOAS MAT.E[EMAflCÂS.

57’105

5C5 5C3 t’161

— 7’ 174 (76 — 6 (79 32 — 164

725g_•

913671

720 717 $5:703

634 -— 6,31 -s’LzS -s—

623 622 SI? 6,6

333 347 337 3.33 33 327 324

L32 049,.

045 976042 o 03

tvj

cio

já! ‘‘ 702 03 709 763 7(74o 466 44 3” 43

4,3411

451417

47 423

lo (09 77! 113167

117 (22 116 (32

lia ‘ 13 S7 623 ‘ 5:3 Sj:

516 33 523 2 - 525 ‘ 517 534 53 5430 llJ

305

oi ‘o 005 on 74 jv9s ; 790 956

6ai .9. &s 7 641 7° 647 C52693 637

693 662

33 342 3 ,1 °‘363 37

: g 3;; 512

564S: 3534,5 5463 541r0536

476 °,$2514453

11779 iI64 25637v 250(76 143, —!3979533 70_313

6$, LIa _ 613 667 660 654 oz647 60$

o96 359 230 3 :si 3’ 294061 6_ 3S 2(4

104 cys 0>1p, OlJoco 077

co;070 063

694Ic 779 693

772706 75 7(3 7’ 720 717

a»545 501

404 411 417 426 434

‘‘‘094 I72‘((Q

Il7 —1125 (40

940 ç 93.3 , 71,SI

91,$13

9075a $37 67

631 55333 521

62.,

II, 603 /45 60(5.3

35°,,s 341 217 1353:5

143 317 :51Co7 057 923 JJ1

C44, E3 Ols 933 966//6-( ,ó$_, _L31 ‘n°647 t&55 ‘664 t673

; ;903

_.

894 45 33 575 ‘J566 __3 857 753 772

611341

613 1, 466 370 31,3 330 ‘ 4»‘ 499

3_1 ali 1: 0c._ 36 ‘3 - 3 10

030 !, 010 2- 37— °° 950 3I 77191!

:a9.; 719. 719 705 697’ 637 673 616

443 :3 433:‘ —‘s’, ‘‘7 407 373 376

314j36

314

157 i3 135 9975

779 ‘!.2ioo104 031

673 612 675 705 ‘ 766‘ 727 737

OH 378 .35 9400” - 4(1 4:1 33 344

os3’c95’l:1 3(j;Sl$(39 l50

757 ‘ Sou70 Si: $13 8a4

936 946925

70_4,46_OSL.6 °5!7 “15”554064455.

.12 » —‘311 372 — -

—

117 I01 c:,, Cli‘ 072, 0601

313 3I6I 104 751 ;9o?; 76! _, 756,3

a-

525 3135(3

330 35243 476 463359

SaS34 733 7!? 9c4 379

664 65! 635 625 LII 600 577

(31730 (49 163 176 O j59 307

:72 115

OS:741 9. S5 363

041 02990$

CC_ 922

54’ • ‘ 563 764 574 551 60I 7—3 6:5‘_

621

231416 os6 so

459273 307 431

31! s

6i3 327,551 4!! 415 1’’ 430

33° o’’.3.6 o38 30, 101 117 ‘2. 1:: (46 “ (5!

“3 773 ;, sol s23J?;’ 733 552 : !‘43J 443 431 4(7 401 37 2‘72 (56 939 74! ,., (25

‘‘Irl

9095

_•

079

75! ,j 61S 69 333 6469,2 7oj 673 693

310 335 351 361 “ 334 4

‘1:10 JC16’ 1 ‘c5S ‘o74 090 “,oç

L37!., 1111 _jj 975 743 764943

7S0726 910

lia

716410

700U7

66740

£51 436 503 519

3H ,, 341 3 3:6 376 0* 192 3 :09 ‘ 226

534 647 ‘‘ 365 6h 593 715 932

57o ‘ 3’ 6C.t 6fl 6a9

737 4 564 s&:232 979 1H 0(7 234 052

1/061 3659 3957 91/705 500723

679 662 3_• 615 3936:6

4H 41390 ••_ 455

j33261

3.0 O?O 077316 _9 171

07763

077 736 06!504

L42 623 024 14! 006

4 76; sn731 596 584

773 (77 1(6 234 ,_

403

‘‘3 _,090_l9_3 IS,,, (4 7’? •‘ .7 l11

733 ‘34 3s ,:_ 646 Ss6 7ai 34518

642 1146,3 313 603 554 351

545 391 5’ 4(0

979 ,3 312 035 2o3 “dc;;

153 07? 2,341:6

060 - 724 ‘34 764 793 76! 941

‘l’ 1’? ‘1° 3” 1; 5:7

IS 167 (46 :6 (23 - o3, ;_, 065

76 375 55a 33 1’t0s’3,:s 214;

lar. cre,ç. f jno.2j21’.Ç

Lg.

CI. 11e6’. { 59’,33 591,04 57’,24 57’,24 57’,74

Ç Srr. ‘.94’;: 7.54733 7.84796 .54807 7.84712 9.64934 9.93147 7.84560 7.34173 9.54895 9.34593 7.64711 9.94913

‘Ia,,. *75646 9.79372 7.93677 9,99712 50U747 9.97’73 5.77757 j.9Szj 7.57848 749374 .y;Sy, 9,75914 749347

3733,0 3:51.4 30)5.! 3:77.2 3213.6 3120.0 3215.5 3022.9 3214.3 30:5.7 3027.1 325.5 309.9

57’,25 59’,05 57’,05 57’ ,25 59’ ,35 59,25 599,23 57,05 59’,05

44° 46’ 47 45’ 49’ 50’ 51’ 52’ 53’ 54’ 55’ 56’ 57’ 55’ 59’ 15’

Latit.Apart.J..A. LA. LA. L.A. LA. LA. LA. L.A. L.A. LA. LA. LA. L,A.L.eA.

7.34736 7.54748 Cal. 5 do are.

9.95975 ,:.cco Co:. )_ inter.

‘0II

03

Ø14

‘5II

Is

‘9

70

‘II

1324

1151:5

[(6’

3334

33.3637

a,

40

41

41

‘2.344

4346474,49

50

SI51

5354

5551

57

5,

d0

El

626364

65á’‘766

,_49

70

7’

7373

77iS7,

70

SI51

LI$4

96579339

90

7’727374

95‘497735,

120

;i2.45! 453 ‘ 456 f 451

—,431

;: 913

(0.631 (0.563 566 634 570640..

363

37657,37:3 :71 ‘3’ 4 127 ISI

II 1— 2 67 053 ‘ 0j7

9CjO

956

7,7’,0 Irá’ 630.1 693

69 , ,6 69i

13.410 l3.,5o —“ -54 492 371 47$ 331 376

74.170 (479296 c5 093

(97 °,iS fOI

13.910 (4—37903 7)3 51! 57; Lo: Sil 306

(5.620 . ,, 6(5 6!! 606..

002

6.37066.727

315 310 3(5

77.040 ,c, 035 706030

711L15 9(6 911

17.”jO 17.606 744 611 7a’ 6i6 734 611 61)

18.459 (33(0456

313 310 3;6 33!19.119 19.014

764 i5 o: z3 ,‘ o.õltIfl ‘9

S 1 —

10.359 203:29j s 571 334

a;: 566

!.oc—: ; ,3 IV) 3 — V

1” ;ï 413 316 2 -:c- 402

—1J7 :3.744 3,3— 1, 93 iis 765 772

14.639 24.647 131,... 333 6%: 529 677

2.5.539:.,:

53 .339 ‘ 377 53’ 373 33:‘—‘ ,.c,6 °‘064 -j1 -7! C9 ‘3’ oS,

:6.r9 ,, 6097! 914

‘

745

:7.639 27:465 661 673 49! 497

:5.399 11.767 391 333 1 3 (74 “ 231

:s.srj ‘°‘ $4: 092 £90 0>1 O927

29.SH 29.’7 5176 lo: 3 6I:70317 30.152

510190

5(2 297 aos 494 317

.3(2.37 32.756 995 004 III 0(3103 012

51.947 .31.893 ,, 931 702‘

33 32394 6z 304630 4(7 63! 313

61 431

.33.357 35.c,3 329 ‘5 ?° (:1 3.31

a,.so.069 6 C9 3:2 331

040942

39.759 .34.507 (7 765 ‘ ‘4 547

33.477.

,‘——‘‘ ‘31 232451

21

36,109 ‘‘ . 395 ‘ 333 377 167

.3,.?!, ._.3 .. 4 7,1 3/

.31.919 36.6:0903 641 651 661

J,.6_9 6i 60, 346 as7 - 317731.339 36.2117

a_5 039 3(7 050J 061 —72 073

37.049 8.,JI026, 766

004275

39.,,? 374’’.’’ 341 ,36 460 473 • ‘ 4173

40.469 40.14! ‘5 52 ‘63 9 (76412

41.177 4064s 167 ‘7’ 369 3 $3,‘

S,j

41A37 41.549 $77 ‘°3 573 9,j S6 1

41.599 31.153 537 5 :‘7 561 290 303

33’ 41.9,7:96 773 :j4 953 2’

44’’ 43.662co6 675 357 7h 36

44.,1? 3436’‘3 392 4W

67, 453

45,33 45.073420

c33 4’3 027 377 3 (23

46(47 ‘3’ 721 Se, S, ‘3 5:541,5,7 45.479 ? 492 3’ 526 • 519 - 533

37.733 59741 110 114

514:33

13.119 4r.S7’ 7? 921 7(3 9n :145119 469(,0

10 o:u 640

49.699 47.195674 —w

770 324 339 333

‘6

57.329 51.301 423 4,3$ Ç’ 4‘‘

411

31.337 5.fl1 5—3 323 so5 — 4,

53.149 52.7,’233 71 949 :on

S6 577

53.759s,,

933 5v92: 552 56 583

4.6) 32364, 141

63 25173 ‘ 259

35.373 449 3 935 ‘34 -“ ‘ 994

56.031 01 650o56 666

040661

56.799 35.337 7171 371 aS’ 424

57.501 ‘491 o59 ‘‘‘ W5’9, 072 —‘

lOS

1.:,5 46101

..

so 777 ‘‘ 914

55.7fl 514,0715 461 4175

,,.jíl 539

59.633 59.135604 207 124

60.345 57.95’ 33’ 576313 2917

71)1-;

919

6i.c3 62.533045 53!

013 6,6 134

6!. 63 61.117‘ :75 3 ri —, 3:! ‘ 339

63.4 61.97:460

4±il2°14 c:6 17 044

6.iSo 62.676 ‘i° 674 0’ 7(13 73! 749

63.199 ‘j5o 399497 436 454

64.609 13.074590 123 I 140 59

65.3(3 (4.733 297 5:6 ‘. 545 79 363

::g990.

:j 567

67.349 66.701419 91!

409 943 960 777

69.153 67.605133 625 P9. 043 665

,

635

66.513 63.309 H.319;’:739 37fl 39Q

69.5.3 69,034 034343 254 073

,_

095

3.115 69.7(17‘‘ 733 759 9 Soa

70.412 443‘ 413 ‘‘ 434 505

5 ct: 069,Sj

.._,3o....,..,3

479 43! ‘, 3.435

‘ (57 ‘s 7.172

7C5 s,3902 3.579

6,4 6co 62470.607

.320.,

317 (3.3(4

0:304

014 12.oSl

735 731 -. (1.7:6

427439 13.435

£50 46 14.141

53 » (4.349

561 .e 75.556

:13 :66 1 (6.163

713 775 66471

677 6%’ ‘6’i7.3

373 -, 390 ,‘3 17.335

(03 077 l7.cy:

777 Sc‘

79.799

513 394 512 20.506

219•

219 —. 172(3

933 237 1(722

64!14

633321

348 , 341 13.335

o56 049 24.044

76J 756., 14.749

471 453 15.456679 ii 16.763

356 g 2 1.57u

s::: 595 27.577

371 ,, 2)3 ,_ 23.134’

Cul’ L4 776 707 3

19.473

423 •. 473 .Ç 32.426

133 fl2 ‘ 31.113

7J3 Sol 3: 31.3:0

546 g 336.

35.517

153 , 243 _‘ 33.234701 93! 33.941

661 6:5£53

63334645

376 366 . 35.355c93 073 36.062

77’ 5 ‘‘ 36.770

473 71 417 37.4772:6 (95 35.134

973 902 38.57!621

6 ° 39.593

32.7 337 40.335

036 ; c:3I; 41.011

744 6757311727 41,719

351.

41.426

,S 546 4,3.134

266‘

:‘ 43.34!

574 —— 56! 44.547

:9, :63 45.255

1 . 45.96:

6936” 153 W

40.669

424 390 47.376

III _ 077 49.073

21r2’ So3 41.793

52647

57239 47.477

2.34 .119

, ; 50.105

743 726 ,, 50.9(2

647 633 - ,‘ 51.616

j6 275 34’ 52.311

0l31c, 0.8 0,953.033

7711..7 :56 53.740

429 ,6463 ‘‘ 54.437

196 1—— ‘° 55.153

$74 ; 776

‘‘. s35 ,.,

56.569

309 2, 171 1? 57.276

I6 ;,; 000 ‘ 57.953‘24 717 5*690

432301

464 57.397

‘06 1110 61.724

93’ 529 coSi:

55 :61.513

H9243 61,213

76, 396 ;,‘,61.933

‘‘‘ r6S

‘,63.644

354 355 63.347

09110;6 33. 65.051,99 ,, 750 - — 65.711507 429 477 60.466

136 j 156

627 609 £3.555

337 357 69296033 014 70.004

“51 731670

70.71L

Wí.em ‘Q

1,. A.- -

2,25 — — 57.40

1,16 :‘:s1,46 ‘L Si.’,2,67 57.25

1,57 ;‘ 56.94

j,cS ‘ 54.533,73 ‘23,!? 3,o

3,69 56.533,93

4,10,

56.34

3031 Ç- 56.25

4,51 56.164,71 56.274,92 55.99

-55.91

‘ 55.135,54

3, 53.745,74 55.66

55.59

6,15 55.556,3% 6’6,56

6’o 5’376,’ 6’So6,93

7:0155.23

7,13‘2

7,,39 “, 53.17

7,59 ‘ — 55.127,So 7,63

S,lo :d3,11 —. 54.31,4! 54.763.6, ‘? 54.691,5: 54.63

, —$ 53.519,44 75 54.459,64

9699,75

970lo,05

(01054.27

10,16 53.21

(0,4612,6? 54.0910,13

(0911,03 53.78

11,13,, 53.92

11,47II” 5.31

12,6;‘‘‘

53.2:,70

1:9612,10 12’[6 33.7511.31

,53.6$

12,51 53.60

12,72 53.5;12,fl ,;“,, 53.50

53.45

13431 40

53.40

f’61 53’3‘3,75

U•

14,36 14,23

141.36 14 4334,37 1464 53.10

13,77 53.05

(3,77,.‘_

53.05

(5,37r 6

51.75

15,59 ,?‘67 52.76

5,3,‘‘

52.72

16,co ,716,19 ‘?‘

(6,417649

52,6116,62

16;7051.63

16,1216n

52,59

31,03 52.54

17,13 52.50

— 52,4617,64

1 ‘52.4!

i’,7s 52.37

‘3!’ Z3Z,5,:c7

isj;5:.:t

(9,34, , 52.2]

11,4’1 3’6 5’ ‘

‘S’: 5’’

,,‘,_

51.10

19,21 (235 5”°

i,49•19 —; 51,93

‘‘,° izojo 5’’4—,i0 __5I.7020.31

“331 53.5520,51

o’61:art.Lat,t. A. T.

45’ 14’ 15’ 13’ 11’ 10’

Ci. Rcf. { 57’,5S

A.LA.LA.LA.LA.LA.L.A.L.A.LA.LA.LA.LA.L

99 8’ 7’ 6’ 5’ 4’ 3’ 2’

11. C Taa. :0.07354 2.735:1 0.’323 0.1:273 0.00253 0.00127 tOdo: 0.00I’7 0.00(52 0.00126 0.10121 :.oc:;C

j,Ssn. 7.75(15 9.35112 9.55100 9.13057 9.65174 3.85262 7.35049 3,33037 9.33324 5.330!: 9.34999 994966

59’ ,06 p’,e6 579,06 59’,06 59,06 s9’,o6 599,06 s9,os SV,25 599,05 57,25 5i’,øs 55,05 59’,05

1’ 45• rel.=Ss

7,at. cro.c. { O49.3 3219.4 3246.2 3145.5 3244.1 3044.7 3041.3 3037.1 3035.4 3037.0 3235.6 3034.2 37.32.6 3131,3 32?4

0.2:051 0.10125 10.000 Cor. 5 103 aro.

7.14974 7.64963 9.34943 Co,. Isuper.

•nuod

11

III!ii

91

rJafl

1;::,

V!JIZ

•npa.’osopiiivpznpa1as

18

9

[2

5UJflOapOSOjiflO9)O

1’9fl

816

nu .5vi3