ESTUDO NUMÉRICO DE ESCOAMENTO NÃO-ESTACIONÁRIO SOBRE UM PERFIL DEAEROFÓLIO TIPO NACA0012 SUJEITO A OSCILAÇÃO FORÇADA

Antonio Carlos Henriques Marques1

1Universidade Federal da Fronteira Sul - UFFS, Chapecó-SC, Brasil, achm@uffs.edu.br

Resumo:Simulação DNS bidimensional (aplicação dos mé-todos da fronteira virtual, Runge-Kutta e esquema VONOS)de escoamento incompressível (Re = 1.000) sobre aerofó-lio NACA0012 sujeito a oscilação forçada harmônica (suave,baixa frequência) para análise de esforços em arfagem e ele-vação. Os campos de velocidade e pressão e as forças dearrasto e sustentação são discutidas

Palavras-chave:fluidodinâmica, fronteira virtual, oscilaçãoforçada.

1. INTRODUÇÃO E OBJETIVOS

A teoria bidimensional para aerofólio com comporta-mento não-estacionário tem uma história de mais de 75 anos.Soluções de forma fechada tem sido obtidas para cargas so-bre aerofólios devido a etapa de resposta (arfagem ou raja-das), a oscilações no domínio da frequência e ao movimentodo aerofólio no domínio laplaciano. Modelos recentes tra-tam do comportamento fluido-estrutura através de frontei-ras imersas com aplicações em projeto de microaeronaves(MAV’s) através do estudo dos fenômenos de instabilidadecausados pelo ”bater de asas“ que pode ser decomposto poranálise modal. Seja um sistema den graus de liberdade coma mesma quantidade de frequências naturais, sendo que paracada uma delas, existe um estado de vibração correspondenteconhecido como modo de vibrar, que é um estado de movi-mento em que todas as massas, em sistemas não contínuos,oscilam alcançando deslocamentos máximos e passando porsuas posições de equilíbrio simultaneamente. Tomando osmovimentos de arfagem e elevação e a partir do modelo deTheodorsen para aerodinâmica da placa plana, pode-se usara teoria bidimensional sobre um perfil de aerofólio para estu-dar os modos de vibrar com escoamento de baixo número deReynolds; frequência reduzida,k, não muito grande,k < 2;e ângulo de ataque efetivo inferior ao ângulo crítico (ângulode estol). Uma limitação desse processo é pressupor umarelação linear entre as funções de força e as leis do mo-vimento do aerofólio de modo que a permitir a superposi-ção/decomposição em dois graus de liberdade. Esta limita-

ção restringe a abordagem a movimentos de pequena ampli-tude, ou seja, o aerofólio poderá sofrer oscilações suaves combaixa frequência em escoamento uniforme de velocidade li-vre u∞. O problema é essencialmente o mesmo da aerodi-nâmica estática exceto para o fato de que a posição verticalagora é uma função do tempo, figura 1, e que quando combi-nado com a arfagem procura reproduzir o modelo de vôo deum inseto grande. ondeα(t) é o ângulo geométrico de ataque

Figura 1 – Modelo para simulação com oscilação forçada

medido entre a corda da seção e a direção do escoamento li-vre, y(t) é o deslocamento vertical do centro de rotação doperfil do aerofólio,Ay é a amplitude vertical,Aα amplitudede arfagem,fα frequência de arfagem,fy frequência de ele-vação et tempo. A adimensionalização é feita a partir dacorda do aerofólio: comprimentoc∗ = c

c , amplitude de osci-laçãoA∗ = A

c , velocidade do escoamento incidenteV∗ = Vu∞

O movimento cinemático é descrito pelas equações 1 e 2:

α(t) = α0 + Aαcos(2π fαt + ϕα) (1)

y(t) = Aysen(2π fyt + ϕy) (2)

Tomando-sec = 1, u∞ = 1, α0 = 0 eϕα = 0, os parâme-tros adimensionais para esta configuração serão o número deReynolds; a amplitude de elevação normalizadah = Ay

c ; afrequência reduzida, adimensionalizada pela corda do aero-fólio, k = 2π fhc

u∞; e kh = πS t que é também igual à velocidade

de pico de elevação normalizada pela velocidade de escoa-mento livre.

Embora aerofólios finos apresentem vantagens emRemuito baixos, como alta taxa sustentação-arrasto, apresen-tam grandes flutuações na sustentação causadas principal-mente pela separação do escoamento instável no bordo defuga, [1]. O carater desta separação é altamente instável,em frequências bastante baixas, e geralmente sem “recola-mento” se o ângulo de ataque for alto (próximo ao ângulocrítico). Aumentando-se o ângulo de ataque aumenta-se acondição de estol e aumenta-se a instabilidade no coeficientede sustentação.

2. METODOLOGIA

Analisar estes tipos de fenômenos exige modelos apro-priados para modelar o fenômeno físico, modelos numéricoseficientes e recursos computacionais compatíveis. O com-portamento do escoamento incompressível foi descrito pe-las equações de Navier-Stokes, as quais passam por um pro-cesso de acoplamento dos campos de pressão e de veloci-dade de modo a solucioná-las adequadamente; um modelode fronteiras imersas foi escolhido para modelagem da inte-ração fluido-estrutura; a integração no tempo foi obtida porum método de Runge-Kutta de ordem 4; e o esquema VO-NOS foi usado para a discretização espacial. Os campos doescoamento ao longo do perfil do aerofólio foram calculadose os resultados comparados com os obtidos por [2] para mos-trar a capacidade de predição do modelo de interação fluido-estrutura. Para avaliar o efeito da oscilação forçada no campodo escoamento e carga aerodinâmica, um estudo paramétricobidimensional foi realizado em um aerofólio fino com ân-gulo de ataque de 0o para elevação, com oscilação verticalde ±0,1 do comprimento da corda; arfagem de±2o, ±10o

e com frequência (senoidal) na arfagem,fs, de 1Hz, 2Hz,5Hz e 10Hz; e atraso de fase de 90o entre a oscilação ver-tical e a arfagem. Os resultados foram comparados com osobtidos por [3] e [4]. O ponto pivotante foi posicionado a0,5c, permitindo variações dinâmicas através de oscilaçõesprescritas, e a prescrição da frequência reduzida tomada deforma a abranger, para fins de comparação, alguns resultadosda literatura.

2.1. Modelo numérico

O método da fronteira virtual [5] designa uma classe demétodos de contorno onde os cálculos são efetuados em umamalha cartesiana que não se adapta à forma do “corpo vir-tual” que serve como obstáculo ao escoamento. As condi-ções de contorno na superfície do corpo não são impostas di-retamente, ao invés disso, um termo extra, chamado de termoforçante, é adicionado às equações governantes. As equaçõesgovernantes, na forma conservativa, são dadas por:

ρ

(

dudt+ u · ∇u

)

+ ∇p = µ∆u + f , (3)

∇ · u = 0 , (4)

f (x, t) =∫ Lb

0F(s, t)δ2(x − X(s, t))ds , (5)

0 ≈∂X(s, t)∂t

= u(X(s, t), t) =∫

Ω

u(x, t)δ(x − X(s, t))dx , (6)

u(x, t)→u∞ com |x|→∞ (7)

Da Eq.(3) à Eq.(7)x = (x, y) é o vetor posição,u(x, t) =(u(x, t), v(x, t)) é o campo de velocidades do fluido ep(x, t) éo campo de pressão. As equações (3) e (4) são as equações deNavier-Stokes. As equações (5) e (6) representam a interaçãofluido-estrutura e a fronteira imersa. A função delta de Diracem ambas as equações é um funcional composto por duasoutras funções delta,δ2(x) = δ(x)δ(y). Na Eq.(5) a força éaplicada ao fluido pela fronteira imersa.

O método da fronteira virtual usa diferenças finitas emuma malha euleriana-lagrangiana para interação entre ofluido e a estrutura. Duas malhas são necessárias para adiscretização: uma malha bidimensional para representar ofluido e uma malha de pontos para representar a fronteiraimersa. Os pontos da malha euleriana, que representam ofluido, são fixos enquanto os pontos na malha lagrangiana,que representam a fronteira, são móveis. Foi usada umamalha cartesiana retangular com espaçamento não-uniforme216× 250 com∆xmin = 0,01,∆ymin = 0,01,∆xmax = 0,35 e∆ymax = 0,35 em um domínio 6×3 unidades adimensionais,[6]. O centro geométrico do perfil de aerofólio NACA0012foi posicionado nob ponto de coordenadas 1,5 na direçãoxe 1,5 na direçãoy, Fig. 2 e Fig. 3.

x

y

0 1 2

1

1.5

2

2.5

Figura 2 – Posicionamneto do perfil NACA0012 na malha

Figura 3 – Bordo de fuga do perfil NACA0012 e a malha refi-nada

3. RESULTADOS

As figuras 4a) e 4b) mostram a variação do coeficiente dearrasto para arfagem deα = ±2o e α = ±10o e frequênciasde 2Hz, 5Hz, 15Hz e 20Hz. Da figura 5, pode-se notar que oaumento da frequência perturba a esteira de vórtices provo-cando aumento do coeficiente de arrasto e consequentementede sustentação. Estes resultados podem ser comparados comos apresentados por [3] para o caso em que a arfagem é de±10o. A figura 7 mostra uma sequência de um ciclo completo

a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

CD

Ângulo

1 Hz

2 Hz

5 Hz

10 Hz

15 Hz

20 Hz

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

CD

Ângulo

1 Hz

2 Hz

5 Hz

10 Hz

15 Hz

20 Hz

b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

−10 −5 0 5 10

CD

Ângulo

1 Hz

2 Hz

5 Hz

10 Hz

15 Hz

20 Hz

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

−10 −5 0 5 10

CD

Ângulo

1 Hz

2 Hz

5 Hz

10 Hz

15 Hz

20 Hz

Figura 4 – Distribuição de CD para α = ±2o, α = ±10o e α =±30o com frequências de1Hz, 2Hz, 5Hz, 10Hz, 15Hz e20Hz.

para o caso em que a arfagem é deα = ±30o e frequência1Hz. Devido ao ângulo de ataqueα, o comportamento da es-teira sofre variações significativas próximo ao bordo de fugaprovocadas pela oscilação e há formação de recirculação noextra-dorso e intra-dorso, alternadamente, próximo ao bordode ataque. A figura 5 mostra os resultados computacionaisobtidos paraα = 30o e 5Hz e os resultados experimentaisobtidos por [4] a partir do trabalho de [Ohmi et al]. O com-portamento obtido pela simulação computacional apresentaboa concordância qualitativa com o experimental e a esteirade vorticidade aumenta de complexidade com o aumento dafrequência.

Apesar da baixa frequência, pode-se notar, figuras 7 e 5, aformação de vorticidade, no extra-dorso e intra-dorso, devidoao elevado ângulo de oscilação de arfagem. Esses vórticespercorrem a superfície do aerofólio até o bordo de fuga esão responsáveis pelo surgimento dos fenõmenos da bolhade separação e estol.

A tabela 1 mostra os valores máximos para os coefici-entes,CL, CD e CP, para oscilação forçada de±α = 2o apartir dos quais se obtem as forças aerodinâmicas. Os resul-

x

y

1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 5 – Resultados computacional e experimental [4] - osci-lação±30, posição−30o

tados obtidos para os coeficientes de sustentação, arrasto epressão acompanham os valores apresentados por [4] e [8].Da tabela 1 pode-se notar que aumentando-se a frequência,aumenta-se os coeficientes de sustentação, o arrasto e pres-são, ou de outra forma, aumentando-se o número de Strouhalaumenta-se a sustentação e o momento de forças aerodinâ-micas. A comparação quantitativa com o o valor obtido por

Tabela 1 – Valores deCL, CD eCP obtidos da simulação

FrequênciaHz movimento CLmax CDmax CPmax

arfagem 1,507 0,131 0,4211

elevação 0,236 0,1225 0,305

arfagem 2,015 0,182 0,7632

elevação 1,206 0,130 0,413

arfagem 2,418 0,445 0,4915

elevação 2,721 0,141 0,398

arfagem 5,228 1,676 0,72310

elevação 3,501 0,154 0,412

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

CD

t/T

Simuladosenoidal

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

CD

t/T

Simuladosenoidal

Figura 6 – CD para arfagemα = ±2o com frequências de5Hz.

[9] (CD−max = 0,475) pode ser observada na figura 6.

a)

b)

c)

d)

Figura 7 – Linhas de corrente, para um ciclo, posições a)α = 0o,b) α = 30o, c)α = 0o e d)α = −300, com1Hz

4. CONCLUSÃO

Os efeitos da oscilação forçada de um aerofólio finoNACA0012 para performance de um MAV foram estuda-dos por meio de uma simulação direta bidimensional comnúmero de Reynolds ultra-baixo (Re = 1000). O perfil deaerofólio foi submetido aos movimentos de elevação e arfa-gem independentemente. O método numérico foi aplicadopara verificação de sua precisão e capacidade de previsão so-bre os problemas de escoamento ao longo de um aerofólioNACA0012. Observou-se que o aumento da frequência deoscilação aumenta a relação sustentação-arrasto e as simu-lações fornecem um padrão de previsão para as varições desustentação e arrasto. Para uma análise mais aprofundada,deve-se fazer um estudo dos efeitos tridimensionais do esco-

amento, da transição do escoamento laminar para turbulento,bem como comparação com dados experimentais mais espe-cíficos para essa faixa de número de Reynolds. Uma apli-cação do presente trabalho é a determinação preliminar dofenômeno de flutter.

Referências

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[3] A. A. Johnson and T. E. Tezduya, 1994, “Mesh up-date strategies parallel finite element computations andinterfaces of flow problems with moving boundaries”Computer Methods in Applied Mechanics and Engi-neering, vol. 119, pp 73-94, 1994,

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[6] A. C. H. Marques, J. L. Doricio, and P. C. GrecoJúnior, 2008, “Método da Fronteira Virtual: simu-lação de escoamento incompressível sobre aerofólioNACA0012 com malha não uniforme” In Proceedingsof the 29th Iberian Latin American Congress on Com-putational Methods in Engineering, november 2008.

[Ohmi et al] K. Ohmi, M. Coutanceau, O. Daube and T. P.Loc, 1991, “Further Experiments on Vortex Formationaround an Oscillating and Translating Airfoil at LargeIncidences” Journal of Fluid Mechanics, vol. 255, pp607-630, 1991.

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