escoamento interno viscoso e incompressível - greo...
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o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
Escoamento internoviscoso e incompressível
Paulo R. de Souza Mendes
Grupo de ReologiaDepartamento de Engenharia Mecânica
Pontifícia Universidade Católica - RJ
agosto de 2010
o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
Sumário
o conceito de desenvolvimento hidrodinâmicodefinição de escoamento desenvolvidoescoamento laminar desenvolvido em tubo
análise de energia em escoamentos internosbalanço de energiaavaliação da perda de carga distribuídaavaliação das perdas de carga localizadas
solução de problemas de escoamentos em tubulações
tubulações com bombasdistribuição das energias mecânicasseleção de bombas
o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
definição de escoamento desenvolvido: caso laminar
comprimento de entrada LD/D = Re/20
região de esc.desenvolvido
z
ru(r)u(r,z)
• na entrada do tubo, forma-se uma camada limite quecresce na direção axial
• nesta região de entrada, a velocidade muda com z• quando a camada limite alcança o centro do tubo, não há
mais variação com z• a partir desta posição diz-se que o escoamento é
hidrodinamicamente desenvolvido
o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
escoamento desenvolvido turbulento
comprimento de entrada LD/D ≈ 10 a 60
região de esc.desenvolvido
u(r)≈(1-r/R)1/7
u(r,z)
-
-laminar turbulento turbulento
z
r
• na entrada do tubo, a camada limite é laminar• antes do desenvolvimento a c.l. torna-se turbulenta• a espessura da c.l. turbulenta cresce mais rápido• logo, o compr. de desenvolvimento é menor• o perfil de velocidade é mais chato
o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
balanço de força em um elemento de fluido: esc.laminar
z
ru(r)
∆z∆r
p |z p |z+∆z
τrz |r+∆r
τrz |r
R
Lpo pL
p|z 2πr∆r + (rτrz)|r+∆r 2π∆z
−p|z+∆z 2πr∆r − (rτrz)|r 2π∆z = 0
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balanço de força em um elemento de fluido
z
ru(r)
∆z∆r
p |z p |z+∆z
τrz |r+∆r
τrz |r
R
Lpo pL
p|z 2π/ r∆r + (rτrz)|r+∆r 2π/∆z
−p|z+∆z 2π/ r∆r − (rτrz)|r 2π/∆z = 0
o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
expansão em série de Taylor:
p|z+∆z = p|z +dpdz
∆z
e(rτrz)|r+∆r = (rτrz)|r +
d(rτrz)
dr∆r
substituindo,
p|zr∆r +
[(rτrz)|r +
d(rτrz)
dr∆r]
∆z
−[p|z +
dpdz
∆z]
rdr − (rτrz)|r ∆z = 0
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logo,d(rτrz)
dr− dp
dzr = 0
ou1r
d(rτrz)
dr=
dpdz
mas, como p = p(z) e τrz = τrz(r), então ambos os lados têmque ser constantes:
1r
d(rτrz)
dr=
dpdz
= C
integrando dpdz = C, obtemos∫ pL
po
dp = C∫ L
0dz ⇒ C = −po − pL
L≡ −∆p
L
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integrando 1r
d(rτrz )dr = −∆p
L , obtemos∫ rτrz
0d(rτrz)′ = −∆p
L
∫ r
0r ′dr ′
rτrz = −∆pL
r2
2ou τrz = −∆p
Lr2
para um fluido newtoniano,
τrz = µdudr
nesse caso,
µdudr
= −∆pL
r2
integrando, ∫ 0
udu′ = −∆p
L1
2µ
∫ R
rrdr
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u =∆pL
14µ
(R2 − r2)
ou
u =∆pL
R2
4µ
[1−
( rR
)2]
velocidade máxima:
umax = u(0) ou umax =∆pL
R2
4µ
vazão volumétrica:
Q =
∫A|V · n|dA =
∫ R
0u(r)2πrdr
A = πR2 é a área de secção reta
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Q =∆pLπR4
2µ
∫ 1
0
[1−
( rR
)2]( r
R
)d( r
R
)=
∆pLπR4
2µ
[12− 1
4
]ou
Q =πR4
8µ∆pL
velocidade média:
u ≡ QA
=QπR2 ou u =
R2
8µ∆pL
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fator de atrito
o fator de atrito f para um tubo de diâmetro D = 2R é umaqueda de pressão (perda de carga) adimensionalizada pelapressão dinâmica:
f ≡∆pL D
12ρu2
para o escoamento laminar desenvolvido,
f =8µuR2 D12ρu2
=16µ4D
D2
ρu=
64ρuDµ
ouf =
64Re
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balanço de energia em uma tubulação típicaQ − Weixo − Woutros =
ddt
∫∀C
(u +
V · V2
+ gz)ρd∀
+
∫SC
(u +
pρ
+V · V
2+ gz
)ρV · n dA
Hipóteses:
• escoamento permanente• propriedades uniformes• Weixo = 0; Woutros = 0
g
z
xy
1
2
escoamento
VC
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Q = m[(
u +pρ
+V 2
2+ gz
)2−(
u +pρ
+V 2
2+ gz
)1
]rearranjando,
(pρ
+V 2
2+ gz
)1︸ ︷︷ ︸
energia mecânica que entra
−(
pρ
+V 2
2+ gz
)2︸ ︷︷ ︸
energia mecânica que sai
= (u2 − u1)− Qm︸ ︷︷ ︸
energia térmica
• a equação acima tem dimensões deenergia por unidade de massa.
• desta equação vemos que a energiamecânica perdida por um kg de massa aoescoar pelo tubo tem dois destinospossíveis: ou sai pelas paredes na formade calor ou se armazena na forma deenergia interna.
g
z
xy
1
2
escoamento
VC
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equação de energia(
pρ
+V 2
2+ gz
)1−(
pρ
+V 2
2+ gz
)2
= hlT
onde
hlT ≡ (u2 − u1)− Qm> 0
é a perda de carga totalobs: “carga” = “energia mecânica”
g
z
xy
1
2
escoamento
VC
Decomposição de hlT
hlT = hl︸︷︷︸perda distribuída
+ hlm︸︷︷︸perdas localizadas
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equação de energia em função de alturas
dividindo a eq. de energia por g, temos(pρg
+V 2
2g+ z)
1−(
pρg
+V 2
2g+ z)
2= HlT =
hlT
g
• os termos têm dimensões de comprimento• esta forma da eq. de energia é ainda bastante utilizada em
manuais de bombas e tubulações• as diferentes energias e a perda de carga são dadas em
termos de alturas, o que pode facilitar a interpretaçãofísica
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perda distribuída
• a perda de carga distribuída (ou “perdas maiores”) ocorreao longo dos trechos de tubo reto
• está relacionada ao cisalhamento viscoso• para escoamento turbulento tem que ser determinada
experimentalmente
L
p1 p2
z1 z2 = z1
V1 V2 = V1
∆p = p1 - p2
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análise dimensional
L
p1 p2
z1 z2 = z1
V1 V2 = V1
∆p = p1 - p2
∆p = φ2(D,L,e,V , ρ, µ)
onde e é a rugosidade da parede interna do tubo
Da análise dimensional,
∆pρV 2 = φ1(
ρVDµ
,LD,
eD
)
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Nos experimentos, nota-se que a dependência com L/D élinear. Logo,
f ≡∆pL D
12ρV 2
= φ
(ρVDµ
,eD
)onde f é o fator de atrito, ρVD
µ ≡ Re é o número de Reynolds, eeD é a rugosidade relativaPortanto,
f = φ(
Re,eD
)Em 1944, a função φ foi determinada experimentalmente porMoody e apresentada em forma gráfica
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o diagrama de Moody
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correlações
• Colebrook (transcendental)
f =
{2 log
(e/D3.7
+2.51
Re√
f
)}−2
• Blasius, para tubos lisos (e/D = 0)
f =0.316Re0.25
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obtenção da rugosidade relativa
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cálculo da perda distribuída(pρ
+V 2
2+ gz
)1−(
pρ
+V 2
2+ gz
)2
= hl + hlm
simplificando (note que hlm = 0),
hl =∆pρ
Portanto, com este experimento podemos medir hl
f pode também ser escrito em função de hl :
f ≡∆pL D
12ρV 2
=2hl
DL
V 2
logo,
hl = fLD
V 2
2
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perdas localizadas• as perdas de carga localizadas (ou “perdas menores”)
ocorrem em posições axiais específicas da tubulação• são causadas por joelhos, válvulas, contrações,
espansões e outros acidentes• estão normalmente relacionadas a recirculações ou
escoamentos secundários• têm que ser determinadas experimentalmente
p1 p2
∆p
p3 p4
p
válvula
p1p2
p3p4
Leq
hlm=∆p/ρ
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formas de apresentar as perdas localizadas
• coeficiente de perda K :
hlm ≡ KV 2
2
• comprimento equivalente de tubo reto Leq:
hlm ≡ fLeq
DV 2
2
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• para difusores, a energia cinética em 2 é menor que em 1,causando aumento da pressão:(p1
ρ+
V 21
2+ 0
)−
(p2
ρ+
V 22
2+ 0
)= hlm
1
2
se hlm fosse zero, a pressão em 2 seria p2 ideal > p2. Logo,
hlm =p2,ideal − p2
ρ
Definindo o coeficiente de recuperação Cp como
Cp ≡p2 − p1
12ρV 2
1
temos
hlm =V 2
12
(1−
(A1
A2
)2
− Cp
)=
V 21
2(Cp,ideal − Cp
)pois V1A1 = V2A2.
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problemas típicos
em geral,
∆p = φ1(L,Q,D,e,∆z, configuração, ρ, µ)
para uma dada tubulação (material e finalidade) e um dadofluido, são parâmetros fixos: e,∆z, configuração, ρ, µ.Logo, a forma funcional se reduz a:
∆p = φ2(L,Q,D) ou φ(∆p,L,Q,D) = 0
quatro casos:
caso dados incógnita(a) L,Q,D ∆p(b) ∆p,Q,D L(c) ∆p,L,D Q(d) ∆p,L,Q D
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procedimento para solução
Caso (a): L,Q,D dados, ∆p incógnita1. calcular Re e e/D com Q e D mais os parâmetros fixos;2. do diagrama de Moody ou da eq. de Colebrook, obter f ;3. calcular hl e hlm;4. da eq. de energia, calcular ∆p.
Caso (b): ∆p,Q,D dados, L incógnita1. da eq. de energia, calcular hlT ;2. calcular Re e e/D com Q e D mais os parâmetros fixos;3. do diagrama de Moody ou da eq. de Colebrook, obter f ;4. obter L a partir da expressão para hlT .
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Caso (c): ∆p,L,D dados, Q incógnita1. obter V em função de f , usando a eq. de energia e as
expressões para hl e hlm;2. “chutar” um valor para f , (0.02 é um bom chute);3. obter V usando a expressão do item 1;4. calcular Re com o valor presente de V ;5. com e/D e o valor presente de Re, obter f ;6. se |f − fanterior| > ε (e.g. ε = 0.01f ), voltar ao item 3. Caso
contrário, terminar.
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Caso (d): ∆p,L,Q dados, D incógnita1. “chutar” um valor para D;2. calcular Re e e/D com o valor presente de D;3. obter f , hl e hlm;4. da eq. de energia, obter ∆pcalculado;5. se |∆pcalculado −∆pdado| > ε (e.g. ε = 0.01∆p), voltar ao item
1. Caso contrário, terminar. Nota-se que, se∆pcalculado < ∆pdado, deve-se diminuir o valor “chutado” paraD, e vice-versa.
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uma tubulação típica
po
po
∆z
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uma tubulação típica
po
po
∆z
1
15
2 3 4
5
6 7 8
9
10
1112 13
14
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equação de energia para tubulações com bomba
(pρ
+V 2
2+ gz
)1− Wbomba
m−(
pρ
+V 2
2+ gz
)2
= hlT
onde Wbomba < 0, pois a bomba adiciona energia ao fluido no∀C.Logo, o termo −Wbomba/m é positivo.
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distribuição das energias
1 152 3,4 5,6 7,8,9 10,11 12,13 14
energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
po
po
∆z
1
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2 3 4
5
6 7 8
9
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
po
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
po
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
po
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
distribuição das energias
1 152 3,4 5,6 7,8,9 10,11 12,13 14
energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
po
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∆z
1
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o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
distribuição das energias
1 152 3,4 5,6 7,8,9 10,11 12,13 14
energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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distribuição das energias
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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distribuição das energias
1 152 3,4 5,6 7,8,9 10,11 12,13 14
energia mecânica totalenergia de pressão energia potencialenergia cinética
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o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
ponto de operação
∆p
Q
o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
ponto de operação
∆p
Q
curva da bomba
o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
ponto de operação
∆p
Q
curva da bombacurva da tubulação
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ponto de operação
∆p
Q
curva da bombacurva da tubulação
ponto de operação
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curvas de bombas fornecidas por fabricante
o conceito de desenvolvimento hidrodinâmico análise de energia em escoamentos internos solução de problemas de escoamentos em tubulações tubulações com bombas
tabelas de bombas fornecidas por fabricante