oscilação cinemática em veículos ferroviários (hunting
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Oscilação Cinemática em Veículos
Ferroviários (Hunting)
PEF 5916 – Dinâmica e Estabilidade das Estruturas
Debora Naomi Higa
Paulo R. Refachinho de Campos
Maio/2017
2017 Polytechnic School at the University of São Paulo.
Motivação
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2017 Polytechnic School at the University of São Paulo.
Oscilação Cinemática em Veículos Ferroviários (Hunting)
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Veículos Ferroviários
[1]
[2]
Diferem-se de outros meios de transporte pelo fato de operarem sobre trilhos.
O mecanismo fundamental para guiar esses veículos é a geometria do rodeiro
ferroviário, que conta com rodas cônicas rigidamente conectadas a um eixo.
[4] [4][3]
Tal geometria é benéfica em vários aspectos... No entanto, existe um efeito
indesejado associado:
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Oscilação Cinemática em Veículos Ferroviários (Hunting)
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A instabilidade causada pelo fenômeno de hunting é um resultado do acoplamento entre deslocamentos lateral
e angular (yaw) e das forças de creep (forças resultantes dos deslizamentos relativos entre roda e trilho).
[5]
[6] [6]
Deslocamento lateral inicial introduz movimento de yaw.
[6]
Yaw induz deslocamentos laterais.
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Objetivo e Metodologia
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Oscilação Cinemática em Veículos Ferroviários (Hunting)
OBJETIVO
Investigar, em nível introdutório, o fenômeno de hunting em veículo ferroviários e apresentardois modelos matemáticos utilizados na representação do problema: as equações de Klingele o as equações de Carter.
METODOLOGIA
I. Estudar as equações de Klingel, assim como as de Carter, entendendo as respostasfornecidas e as limitações de cada modelo.
II. Aplicar os modelos estudados em um caso teórico, com dimensões retiradas daliteratura.
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Modelos Matemáticos: Klingel e Carter
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Equações de Klingel (1883)
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[7]
∆𝑅 = 𝑦𝛾(1)
𝑉 =𝑉𝑙 + 𝑉𝑟2
=𝜔
2𝑅0 + 𝑦𝛾 + 𝑅0 − 𝑦𝛾 = 𝑅0𝜔(6)
𝑦 =𝑑𝑦
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡= ψ𝑉 = ψ𝑅0𝜔(7)
𝑥𝑟 − 𝑥𝑙𝐺
= 𝑡𝑎𝑛ψ = ψ(8)
𝑑
𝑑𝑡
𝑥𝑟 − 𝑥𝑙𝐺
=𝑑ψ
𝑑𝑡→𝑉𝑟 − 𝑉𝑙𝐺
= ψ(9)
ψ =𝑅𝑟 − 𝑅𝑙 𝜔
𝐺=
𝑅0 − 𝑦𝛾 − 𝑅0 + 𝑦𝛾 𝜔
𝐺= −
2𝑦𝛾𝜔
𝐺(10)
𝑦 = ψ𝑅0𝜔(11)
𝑦
𝑅0𝜔= −
2𝑦𝛾𝜔
𝐺→
𝑦
𝑅0𝜔+2𝑦𝛾𝜔
𝐺= 0(12)
𝑦 +2𝑅0𝛾𝜔
2
𝐺𝑦 = 0(13)
−𝐴𝜔𝑛2𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 + 𝐾𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 = 0(17)
𝐾 =2𝑅0𝛾𝜔
2
𝐺(18)
−𝜔𝑛2 + 𝐾 = 0(19)
𝜔𝑛 = 𝐾 =2𝑅0𝛾𝜔
2
𝐺= 𝑅0𝜔
2𝛾
𝑅0𝐺= 𝑉
2𝛾
𝑅0𝐺
𝑇 =2𝜋
𝜔𝑛=2𝜋
𝑉
𝑅0𝐺
2𝛾𝜆 = 𝑉𝑇 = 2𝜋
𝑅0𝐺
2𝛾
(20)
(21) (22)
𝑅𝑙 = 𝑅0 + 𝑦𝛾 𝑅𝑟 = 𝑅0 − 𝑦𝛾(2) (3)
𝑉𝑙 = 𝑅𝑙𝜔 𝑉𝑟 = 𝑅𝑟𝜔(4) (5)𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝑦 = 𝐴𝜔𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑛𝑡 𝑦 = −𝐴𝜔𝑛
2𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡(14) (15) (16)
[7]
Dedução puramente
geométrica
Conclusão importante:A frequência da oscilação
aumenta com o aumento
da velocidade!
Equações de Klingel
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Equações de Carter (1916)
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𝑚 𝑦 + 2𝑓22 𝑦
𝑉− ψ + 𝑘𝑦𝑦 = 0(1)
2𝑓11𝛾𝑙𝑦
𝑅𝑜+ 𝐼𝑧 ψ +
2𝑓11𝑙2 ψ
𝑉+ 𝑘ψψ = 0(2)
Além da conicidade da roda, Carter introduziu o conceito
fundamental de creep (inicialmente desprezado por Klingel) no
contexto da dinâmica lateral de veículos ferroviários.
Coeficientes de creep longitudinal e
lateral: 𝑓11 e 𝑓22, respectivamente.
Por conveniência, utiliza-se aqui o
parâmetro 2𝑙 (equivale a 𝐺).
𝑚 e 𝐼𝑧 representam, respectivamente, a
massa e o momento de inércia do rodeiro.
Por fim, 𝑘𝑦 e 𝑘ψ representam as rigidezes
nas direções lateral e de yaw.
Através das equações de Carter é possível prever os
seguintes cenários de Hunting:
[3]
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Aplicação
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Solução
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Características de um rodeiro típico [7]
𝑚 = 1250 𝑘𝑔 𝑅𝑜 = 0.45 𝑚 𝑙 = 0.7452 𝑚𝐼𝑧 = 700 𝑘𝑔.𝑚² 𝛾 = 0.1174𝑓11 = 7.44 𝑀𝑁 𝑘𝑦 = 0.23 𝑀𝑁/𝑚
𝑓22 = 6.79 𝑀𝑁 𝑘ψ = 2.5 𝑀𝑁.𝑚/𝑟𝑎𝑑
Parâmetros de um rodeiro típico foram selecionados na literatura:
Os modelos estudados foram implementados no programa Mathematica® e, no
caso das equações de Carter, a função ParametricNDSolve[ ] foi utilizada para
resolver o sistema [8].
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Solução
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Resumo dos resultados das equações de Klingel:
𝑽 [km/h] 𝝎𝒏 [rad/s] 𝑻 [s] 𝝀 [m]
144 23.7 0.26 10.6
267.3 43.9 0.14 10.6
270 44.4 0.14 10.6
Resumo dos resultados das equações de Carter:
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Solução
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Solução
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Comentários sobre análise da estabilidade do sistema:
A determinação da velocidade crítica, ou seja, aquela a partir da qual o sistema torna-se instável, pode ser
feita através do Primeiro Método de Lyapunov.
𝑚 𝑦 + 2𝑓22 𝑦
𝑉− ψ + 𝑘𝑦𝑦 = 0(1)
2𝑓11𝛾𝑙𝑦
𝑅𝑜+ 𝐼𝑧 ψ +
2𝑓11𝑙2 ψ
𝑉+ 𝑘ψψ = 0(2) ψ = −
1
𝐼𝑧
2𝑓11𝛾𝑙𝑦
𝑅𝑜+2𝑓11𝑙
2 ψ
𝑉+ 𝑘ψψ
𝑦 = −1
𝑚2𝑓22
𝑦
𝑉− ψ + 𝑘𝑦𝑦
Redução
sist. 1ª. ordem
𝑥1 = 𝑦
𝑥2 = ψ
𝑥3 = 𝑦
𝑥4 = ψ
𝑥1 = 𝑥3
𝑥2 = 𝑥4
𝑥3 = 𝑦
𝑥4 = ψ
𝒙 = 𝑨𝒙 →
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4
=
0 0 1 00 0 0 1
−𝑘𝑦𝑚
2𝑓22𝑚
−2𝑓22𝑚𝑉
0
−2𝑓11𝛾𝑙
𝐼𝑧𝑅𝑜−𝑘ψ
𝐼𝑧0 −
2𝑓11𝑙2
𝐼𝑧𝑉
𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4
Extração dos autovalores de 𝑨:
Se 𝑅𝑒𝑘 < 0, L-Estável
Se 𝑅𝑒𝑘 > 0, L-Instável
Se 𝑅𝑒𝑘 = 0, L-Crítico
Portanto, é possível determinar 𝑉 de tal forma a se
obter uma das condições acima.
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Solução
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OBRIGADO!
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Oscilação Cinemática em Veículos Ferroviários (Hunting)
REFERÊNCIAS
[1] Figura retirada de: http://www.goodhopefreight.com/freightimg/freight-train.jpg (10/05/2017)
[2] Figura retirada de: http://static3.businessinsider.com/image/57a4cae68d3eae23650ac95c-1190-625/this-animated-map-shows-how-radically-a-high-speed-train-system-would-improve-travel-in-the-us.jpg (10/05/2017)
[3] Figura retirada de: TOURNAY, H. The Fundamentals of Vehicle/Track Interaction. In: INTERNATIONAL HEAVY HAUL ASSOCIATION Guidelines to Best Practices For Heavy Haul Railway Operations: Management of the Wheel and Rail Interface. Virginia: Simmons-Boardman Books, Inc., 2015. Cap. 1.
[4] Animação retirada de: https://en.wikipedia.org/wiki/Hunting_oscillation (10/05/2017)
[5] Figura retirada de: WICKENS, A. H. A History of Railway Vehicle Dynamics. In: IWNICK, S. Handbook of Railway Vehicle Dynamics. Boca Raton: CRC Press, 2006. Cap. 2.
[6] Figura retirada de: http://the-contact-patch.com/book/rail/r0418-hunting (10/05/2017)
[7] Dados retirados de: WICKENS, A. H. Fundamentals of Rail Vehicle Dynamics: Guidance and Stability. Lisse: Swets & Zeitlinger Publishers, 2005.
[8] Mais informações em: https://reference.wolfram.com/language/tutorial/NDSolveOverview.html
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