escoamento couette laminar e incompressível - autenticação · aproximações de camada limite...
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Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
h
U
x
0=∂
∂
t
0=∂
∂
z
0=∂
∂
x
vr
• Escoamento permamente,
• Escoamento independente da direcção z,(bi-dimensional)
• Escoamento completamente desenvolvido,
y
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Couette Laminar e Incompressívely
h
U
• Condições de Fronteira
- Impermeabilidade das paredes:
- Não escorregamento:
x
000 =⇒==⇒= vhyvy
Uuhyuy ˆ00 =⇒==⇒=
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Equação da continuidade
• Condição de fronteira
0=v
.0 constvy
v=⇔=
∂
∂
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Balanço de quantidade de movimento,
• Balanço de quantidade de movimento,
• A pressão só pode variar com
tem de ser indepedente de
y
2
21
0y
u
x
p
∂
∂+
∂
∂−= ν
ρ
y
p
∂
∂−=
ρ
10
x
x
=
∂
∂0
x
vx
r
dx
dp
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Balanço de quantidade de movimento,
• Condições de fronteira
y
u
ydx
dp
y
u
yx
yx
∂
∂=
∂
∂==
∂
∂
µτ
τ
ρρν
112
2
x
Uuhy
uy
ˆ
00
=⇒=
=⇒=
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Solução
• Comprimento e velocidade de referência
( )
−+=
−−=
2
ˆ
2
1ˆ
hy
dx
dp
h
U
yhydx
dpU
h
yu
yx µτ
µ
UU
hL
ref
ref
ˆ=
=
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Solução com variáveis adimensionais
• Números adimensionais
−Λ−=
−Λ−=
h
y
U
h
y
h
y
U
u
yx
2
121
Re
2
ˆ21
11ˆ
2ρ
τ
dx
dp
U
h
hURe
µ
ν
2
ˆ
2
=Λ
= Número de Reynolds
Parâmetro do gradiente de pressão
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
• Números adimensionais
Número de Reynolds
Parâmetro do gradiente de pressão
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
h
U
dx
dp
h
U
h
U
Re
µ
µ
ρ
=Λ
∝
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Couette Laminar e Incompressível
-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Λ=-2
Λ=-1
Λ=0
Λ=1
Λ=2
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Λ=-2
Λ=-1
Λ=0
Λ=1
Λ=2
h
y
h
y
UU ˆ 2UR yxe ρτ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
y
v
yx
v
y
u
xy
p
y
vv
x
vu
x
v
y
u
yx
u
xx
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
ννρ
ννρ
21
21
0
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente
Viscosidade constante, ν=constante
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
0
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
νρ
νρ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Incompressível Bi-dimensional em regime permanente
Adimensionalização das equações
Valores de referência
VelocidadeComprimentoPressão *22
**
**
,
,
pUpU
LyyLxxL
vUvuUuU
ee
eee
ρρ =→
==→
==→
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
( ) ( )
( ) ( )
====
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
2*
*2
2*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
2*
*2
2*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
1
1
0
L
UL
UU
LULUR
y
v
x
v
Ry
p
y
vv
x
vu
y
u
x
u
Rx
p
y
uv
x
uu
y
v
x
u
e
ee
eee
e
e
µ
ρ
νµ
ρ efeitos convectivosefeitos difusivosO[ ]
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
• Aplicações práticas são normalmente escoamentos a números de Reynolds, Re, elevados
y
u
∂
∂= µτ (tensão de corte em uni-dimensional)
Ar µ � 1,8×10-5kgm-1s-1 ν �1,1×10-5m2s-1
Água µ � 1,0×10-3kgm-1s-1 ν �1,0×10-6m2s-1
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
• Efeito das tensões de corte restritos a pequenas regiões em que existem grandesvariações de velocidade em pequenasdistâncias
• Camadas de corte delgadas (thin shear layers)- Espessura da camada de corte delgada, δ,é muito inferior a L, δ/L≪1
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
Camada Limite(Boundary-layer)
Esteira(Wake)
Camada de Mistura(Mixing layer)
Jacto(Jet)
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Escoamento Incompressível Bi-dimensionalem regime permanente
Camadas de corte espessas (corpos não fuselados)(Bluff body)
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Simplificações de Prandtl(1904)
Análise da ordem de grandeza dos termos das equações da continuidade e de balanço de quantidade de movimento
Hipótese de partida Re≫1. (δ/L≪1)ν
xUR e
e =
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Simplificações de Prandtl(1904)
Ordem de grandeza da variável ξ, O[ξ], é dadapelo limite superior de variação de ξ
Ordens de grandeza conhecidas
O[x]→ L
O[y] → δ O[u]→ Ue
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação da continuidade
[ ]
[ ]L
Uv
v
L
U
y
v
x
u
e
e
δ
δ
=
=+
=∂
∂+
∂
∂
0
0
O
O
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Equação de Bernouilli aplicada ao escoamentoexterior (fluido perfeito)
L
U
L
p
dx
dp
dx
dUU
dx
dp
constUp
ee
ee
e
e
2
2
11
0
.2
1
==
=+
=+
ρρ
ρ
ρ
O
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção x
++=+
++=+
++=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
2
22222
22
222
2
2
2
2
11
111
1
1
δ
δ
ν
δν
νρ
L
R
L
LUL
U
L
U
L
U
L
U
U
L
U
L
U
L
U
L
U
y
u
x
u
x
p
y
uv
x
uu
e
e
eeee
eeeee
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção x
Análise do termo difusivo
+
2
11
δ
L
Re
111
01
2
2
2
2
2
ee
e
RL
L
Rx
u
Rx
u
=⇒
=
∂
∂
≅=
∂
∂
δ
δν
ν
O
O
≪
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção y
O
O
++
∂
∂−=+
++
∂
∂−=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
∂
∂+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
δ
δδν
ρ
δδ
δ
δν
ρ
δδ
νρ
L
L
U
L
U
LUy
p
L
U
L
U
L
U
L
U
y
p
L
U
L
U
y
v
x
v
y
p
y
vv
x
vu
ee
e
ee
eeee
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
2
2
2
2
1
111
11
L
U
y
p
Ry
p
U
L
e
ee
δ
ρ
ρδ
=
∂
∂−
++
∂
∂−=+
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção y
Como eR
L=
2
δ
O
O
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
0
2
11 222
20
≅∂
∂
=
=
∂
∂∫
y
p
UUR
UL
dyy
pee
e
e ρρρδδ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
Balanço de quantidade de movimento na direcção y
Através da camada limite
pelo que
O ≪
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
21
0
y
u
dx
dp
y
uv
x
uu
y
v
x
u
νρ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
• O sistema de coordenadas tem de respeitar asseguintes condições:
1. A coordenada x tem de estar alinhada com oescoamento exterior
2. A coordenada y é normal à superfície
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
21
0
y
u
dx
dp
y
uv
x
uu
y
v
x
u
νρ
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
• A pressão estática é independente da coordenada y.A variação de pressão com x (dp/dx) pode ser obtidaa partir do escoamento exterior, p(x)≃pe(x), pelo quea pressão não faz parte das incógnitas.
A pressão é um dado do problema
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Aproximações de Camada Limite (Boundary-Layer)
• As equações deixam de exibir carácter elíptico nadirecção x. Para um valor de x qualquer, o escoamento depende apenas do que se passa a montante. Nestas condições, é possível obter a solução através de um processo de marcha na direcção x (problema de valor inicial).
∂
∂+−=
∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂
2
21
0
y
u
dx
dp
y
uv
x
uu
y
v
x
u
νρ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Formas simplificadas das equações de Navier-Stokes
• Equações de camada limite ou camadas de corte delgadas(Boundary layer, thin shear layer equations)
― Pressão determinada pelo escoamento exterior à regiãoviscosa,
― Difusão na direcção principal do escoamento desprezada,
0≅∂
∂
y
p
02
2
≅
∂
∂
x
uν
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Formas simplificadas das equações de Navier-Stokes
• Equações de Navier-Stokes parabolizadas(Parabolized Navier-Stokes equations)
― Pressão na direcção principal do escoamento imposta apartir das condições exteriores à região viscosa,
― Difusão na direcção principal do escoamento desprezada,
x
p
x
p e
∂
∂≅
∂
∂
02
2
≅
∂
∂
x
uν
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Formas simplificadas das equações de Navier-Stokes
• Equações de Navier-Stokes reduzidas(Reduced Navier-Stokes equations)
― Difusão na direcção principal do escoamento desprezada,
02
2
≅
∂
∂
x
uν