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Escoamento em camada limite

Curso de Engenharia CivilEscoamento ao redor de corpos imersos: teoria da

camada limite

CC75D Mecânica dos fluidos Prof. Fernando Oliveira de Andrade


• É a camada do escoamento na região adjacente a uma fronteira sólida onde os efeitos da viscosidade são importantes

• Camada limite interna: em escoamentos em condutos forçados a camada limite ocupa toda a seção transversal

• Camada limite externa: em escoamentos externos (ao redor de corpos imersos) a camada limite é bastante delgada

Definição de camada limite


Exemplo: camada limite em escoamento em conduto forçado


Exemplo: camada limite ao redor de um perfil aerodinâmico *


Estudo de caso: camada limite sobre uma placa plana lisa com largura infinita


• A espessura da camada-limite, d, é definida como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade é 99% da velocidade de corrente livre

• A espessura de deslocamento, d*, é a distância da qual a fronteira sólida teriaque ser deslocada em um escoamento sem atrito para dar a mesma diferençade vazão em massa que existe na camada-limite

0

* )( dybuUbU d

0

* 1 dyU

ud

d

d0

* 1 dyU

u

Espessura da camada limite


• A espessura de quantidade de movimento, q, é definida como a espessura dacamada de fluido, de velocidade U, para a qual o fluxo de quantidade demovimento é igual ao déficit do fluxo de quantidade de movimento atravésda camada-limite

0

2 )( dybuUubU q

Para escoamento incompressível

01 dy

U

u

U

uq

d

q0

1 dyU

u

U

u


SC

VCSC AdVV

t

dVVFFF

.

21

.. AdVuAdVuF xS

Abordagem integral da camada limite na placa plana


21

.. AdVuAdVuF xS

placa

w

placa

wD dxbdAF

2

2

1

2 )()( dAudAUF xS

2

2

1

2 )()( dAudAUFF DxS


2

2

1

2 dAudAUFD d

0

22 bdyubhUFD

.).(0

mcbdyubhU d

d

0

2 dyUubbhU

dd

0

2

0dyubdyUubFD

d

0

)( dyuUubFD


d

0

)( dyuUubFD

• Observações:

• O arrasto será nulo se o escoamento for de fluido ideal (u=U). A equação indica que o escoamento na camada limite sobre uma placa plana é o resultado do equilíbrio de forças do arrasto e do déficit da quantidade de movimento do fluido

• Ao longo do comprimento da placa a espessura da camada limite aumenta e o arrasto também. O aumento da espessura da camada limite é necessária para equilibrar o arrasto provocado pela tensão de cisalhamento viscosa na placa


d

q0

1 dyU

u

U

u d

0

)( dyuUubFD

d

0

2 1 dyU

u

U

ubUFD q bUFD

2

A distribuição de tensão de cisalhamento é obtida diferenciando-se a equação resultante em relação a x

dx

dbU

dx

dFD q 2

dx

dbUbw

q 2

dxbdF wD

dx

dUw

q 2


0

y

Wy

u

yU

ud

d

U

W

Exemplo: Considere o escoamento laminar de um fluido incompressível sobre uma placa plana posicionada no plano com y=0. Admita que o perfil de velocidade é linear, u = Uy/d para y < d e u = U para y > d. Determine a tensão de cisalhamento na placa utilizando a abordagem integral

Solução:

dx

dUw

q 2

d

q0

1 dyU

u

U

u


d

q0

1 dyU

u

U

u

d

ddq

01 dy

yy

6

dq

dx

dUW

q 2

dx

d

dx

d

d

d

dx

d dd

d

qq

6

1

dx

dU

U d

d

6

12 dxU

d

dd

6

x

dxU

d00

6dd

d

xU

d 6

2

2

U

xd

122

d/

12 22

Ux

x

x

x

Re

46,3d

A tensão de cisalhamento na parede pode ser obtida combinando as eq. anteriores

dx

dUW

d

6

12

/

12

6

122

1

UxUW

xU

d

12

xUdx

d 112

2

1 d

/577,0

22

1

Ux

UW

d

ddq

0

2

32

32

yy


Comparação de espessuras e coeficientes de atrito e arrasto


Camada limite turbulenta

A transição ocorre em torno de5105/Re Uxx


• Admitindo que o perfil de velocidade na camada limite é dado por u/U = (y/d)1/7

queremos determinar as espessuras da camada limite, d e q, e o coeficiente de arrasto, CDf

• Vamos assumir que a tensão de cisalhamento na parede é dada por

• Considere o escoamento de uma camada limite turbulenta de um fluido incompressível sobre uma placa plana lisa e infinita

4

22

1

045,0d

U

Uw


dx

dUw

q 2

d

q0

1 dyU

u

U

u 1

0

71

71

1 dq d dq72

7

4

22

1

045,0d

U

Uw

dx

dUw

d

72

72dx

d

U

d

d 72

7

/

0225,04

dxU

d4 /

241,04

1

dd

x

dxU

d0 40 /

241,04

1

dd

d

xU4 /

241,0

5

44

5

d

54

5 /

383,0x

U d x

Ux5 /

383,0

d

xx

5 Re

383,0d


dx

dUw

d

72

1422

151

5

4

/

383,05

x

Udx

d

d

52

21 Re

0596,0

x

wf

Uc

q bUFD

25

2

Re

383,0

72

7

L

D

LbUF

522

1 Re

074,0

L

DDf

bLU

Fc


Escoamentos com gradiente de pressão

Exemplo de escoamento de fluido ideal ao redor de uma esfera lisa


Exemplo de escoamento de fluido real ao redor de uma esfera lisa


• A força de arrasto possui duas componentes, a força de arrasto de pressão e força de arrasto viscosa

• A importância relativa do arrasto de pressão e do arrasto viscoso depende da geometria do corpo e de Re

• A força de sustentação é a força resultante na direção vertical devida a distribuição de pressão ao redor do corpo

FFF pD

A

p pdAF A

wdAF


AV

FC D

D 22

1

Força de arrasto sobre corpos rombudos

• A força de arrasto sobre corpos rombudos é normalmente determinada mediante a obtenção experimental do coeficiente de arrasto CD


Coeficiente de arrasto em função de Re sobre esfera e cilindro liso


• Esfera lisa• Para baixo número de Reynolds (Re<1) a força de arrasto pode

ser descrita pela lei de Stokes

• Com o aumento do número de Reynolds (1<Re<1000) o coeficiente de arrasto diminui

• Com 1000<Re<500.000 o coeficiente de arrasto é praticamente constante

• Na ordem de Re=500.000 há a transição da camada limite laminar para turbulenta e uma diminuição de CD, que volta a níveis semelhantes em Re>107

VdFD 3 Re24DC


• Bola de golfe (esfera lisa vs. rugosa)

• A força de arrasto sobre a esfera é predominantemente devida ao arrasto de pressão

• O arrasto de pressão pode ser reduzido mediante o deslocamento do ponto de separação da camada limite para a parte posterior da bola


• Bola de futebol: curva


• Perfis aerodinâmicos: arrasto de pressão vs. arrasto viscoso


Força de sustentação sobre corpos imersos

A

L pdAF

AV

FC L

L 22

1

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