bibliografia recomendada -...

Bibliografia Recomendada

• Barros Neto, B.; Scarminio, I. S.; Bruns, R. E. Como Fazer

Experimentos.

• Montgomery, D. C. Design and Analysis of Experiments.

• Box, G. E. P.; Hunter, J. S.; Hunter, W. G. Statistics for

Experimenters.

• Cornell, J. A. Experiments with mixtures.

• Portal de periódicos da CAPES

• http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ebona

Análise de Regressão

• Nos planejamentos fatoriais os fatores são estudados em dois níveis.

Modelo Linear

MAIS

INFORMAÇÕES!!!

Planejamentos Fatoriais

com dois níveis são uma

etapa inicial!!!

Níveis Intermediários


• Exemplo de análise de regressão

• 1ª Tentativa: modelo linear

• Na forma matricial


• Qual a melhor reta?

• A melhor reta é aquela que passa o mais perto possível de todos os pontos.

• Para a melhor reta a soma dos quadrados dos resíduos deve ser a menor possível MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS


• Equações normais:

Equação de Reta


• Valores previstos e resíduos

ΣResíduos = 0

ΣResíduos2 ≠ 0


• O exame dos resíduos é fundamental para avaliar a qualidade do ajuste de qualquer modelo.

• A avaliação numérica dos resíduos é feita através da ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA).

• A análise de variância é baseada na decomposição algébrica dos desvios das respostas observadas em relação à média.


COEFICIENTE DE

DETERMINAÇÃO


• ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA):

– Para cada soma quadrática está associado um grau de liberdade (GL): • SQT (n – 1)

• SQR (p – 1)

• SQr (n – p)

– SQ/GL = MQ

– MQr é uma estimativa da variância dos pontos em torno do modelo

– MQr pode ser interpretada como uma medida do erro médio quadrático da equação de regressão


• ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA):

– As MQ são utilizadas para avaliar se a equação

de regressão é estatisticamente significativa.

– Para o teste de significância é usada uma

distribuição F.

O MODELO DE REGRESSÃO É

ESTATISTICAMENTE SIGINIFICATIVO


• TABELA ANOVA


• Vamos praticar no STATISTICA!!!


• Expansão da faixa de trabalho

• Analisem os novos dados!!!


• Acréscimo do termo quadrático

• Ajuste dos coeficientes pelo método dos

mínimos quadrados.

MODELO

QUADRÁTICO

ajustedefaltapuroerroresíduo SQSQSQ

Falta de Ajuste – Lack of Fit

• Um exame cuidadoso dos gráficos dos resíduos

deve ser considerado obrigatório.

• Se o experimento for realizada em duplicata, é

possível usar essa informação para a estimativa

do erro aleatório.

Desvio dos dados em

torno da média

Desvio do modelo em

torno da média

Falta de Ajuste – Lack of Fit

ANOVA

MAIS INFORMAÇÕES = MAIS EXPERIMENTOS

Repetições

Verdadeiras!!!


• Expansão da faixa de trabalho com experimentos duplicados.

• Analisar a falta de ajuste do modelo linear.

• Fazer o ajuste para o modelo quadrático e analisar a falta de ajuste.

Metodologia da Superfície de Resposta

• As principais aplicações da MSR são: – Mapeamento de uma superfície dentro da região explorada;

– Escolha das condições operacionais para obtenção de uma resposta especificada;

– Busca das condições ótimas ou, pelo menos, das melhores condições na região de interesse.

• A estratégia para otimização pode ser resumida em duas etapas: – Experimentos de varredura para selecionar as variáveis

(delineamentos fatoriais).

– Localizar/certificar a sub-região ótima usando análise da superfície de resposta para modelagem, refinamento e otimização.

Delineamentos Centrais Compostos

• São os mais indicados para a obtenção de modelos quadráticos.

2

0

1 1 1

k k k k

i i ij i j ii i

i i j i i

y x x x x

Quantidade de

Fatores (k)

Planejamentos Experimentais

3k DCC

2 9 9

3 27 15

4 81 25

5 243 43


• Um planejamento central composto

para k fatores é formado de três

partes:

– Uma parte chamada de fatorial

(ou cúbica), contendo um total

de nf pontos de coordenadas -1

ou +1.

– Uma parte axial (ou em estrela),

formada por 2k pontos com todas

as coordenadas nulas exceto

uma, que é igual a um certo valor

a (ou –a).

– Um total de nc ensaios realizados

no ponto central, onde todas as

coordenadas são 0.


• Para realizar um planejamento composto central, precisamos definir

como será cada uma dessas três partes.

• Os pontos cúbicos são idênticos aos de um planejamento fatorial

completo ou, dependendo do número de fatores, fracionário.

• Do ponto de vista da resolução, é recomendável usar um fatorial

fracionário de resolução V.

• A escolha de resoluções menores não é muito trivial e dificulta a

análise dos resultados.

Escolha de a

• Planejamento esférico

– Para o estudo de regiões esféricas a melhor escolha seria

• Planejamento Rotacional

– A rotacionalidade permite uma homogeneidade da variância em todas as

direções. Para ser rotacional um planejamento cuja porção cúbica seja

um fatorial completo ou um fatorial fracionário de resolução V deve ter

• Planejamento Box-Behnken

– É um planejamento esférico e no mínimo aproximadamente rotacional,

porém são necessários apenas três níveis para as variáveis.

4fna

ka

Escolha de a

• Planejamento cúbico

– Permite o estudo de regiões cúbicas fazendo a = 1.

Quantidade de Pontos Centrais

• As repetições no ponto central têm duas finalidades:

– Fornecer uma medida do erro puro;

– Estabilizar a variância da resposta prevista.

• Para estabilizar a variância é ideal fazer de 3 a 5 ensaios repetidos se o planejamento for esférico ou 2 a 3 se for cúbico.


• Uma outra vantagem dos planejamentos centrais compostos é que,

por serem formados por partes distintas, podemos construí-los

seqüencialmente.

• Para evitar a existência de erro sistemático em relação as respostas

dos diferentes blocos é necessário que a blocagem seja ortogonal. A

blocagem será ortogonal se

• Quando fazemos o planejamento em blocos ortogonais estamos

sacrificando a rotacionalidade, porém, existem exceções

2

f a ca

f cf

n n n

n na

Exemplo 1

• Planejamento central composto

rotacional para três fatores:

Desidratação osmótica de abacaxi

(Barros Neto et al., 2001).

• Fatores: (A) tempo de contato; (B)

temperatura do processo; (C)

concentração da solução osmótica.

• Resposta: perda de peso relativa.

Regr. Coefficients; Var.:%PP; R-sqr=,75191; Adj:,70229 (2**(3) central composite, nc=8 ns=6 n0=2 Runs=16 (Spreadsheet16 in MSR01) in MSR01)

3 factors, 1 Blocks, 19 Runs; MS Residual=3,50942

DV: %PP

Factor

Regressn

Coeff.

Std.Err. t(15) p -95,%

Cnf.Limt

+95,%

Cnf.Limt

Mean/Interc.

(1)A (L)

(2)B (L)

(3)C (L)

54,12842 0,429775 125,9460 0,000000 53,21238 55,04446

1,24252 0,506923 2,4511 0,026983 0,16204 2,32300

2,55285 0,506923 5,0360 0,000148 1,47236 3,63333

1,90296 0,506923 3,7539 0,001915 0,82248 2,98344

ANOVA; Var.:%PP; R-sqr=,75191; Adj:,70229 (2**(3) central composite, nc=8 ns=6 n0=2 Runs=16 (Spreadsheet16 in MSR01) in MSR01)

3 factors, 1 Blocks, 19 Runs; MS Pure Error=,56473

DV: %PP

Factor SS df MS F p

(1)A (L)

(2)B (L)

(3)C (L)

Lack of Fit

Pure Error

Total SS

21,0843 1 21,08431 37,3352 0,003632

89,0020 1 89,00202 157,6010 0,000232

49,4550 1 49,45502 87,5729 0,000726

50,382411 4,58022 8,1105 0,028910

2,2589 4 0,56473

212,182718

46 48 50 52 54 56 58 60

Observed Values

46

48

50

52

54

56

58

60

62

Pre

dic

ted V

alu

es

46 48 50 52 54 56 58 60 62

Predicted Values

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Raw

Resid

uals

C = 0

56

54

52

50

48

46

44

42

40

C = 0

56

54

52

50

48

46

44

42

40 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

A

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

B

Critical values; Variable: %PP (2**(3) central composite, nc=8 ns=6 n0=2 Runs=16 (Spreadsheet16 in MSR01) in MSR01)

Solution: maximum

Predicted value at solution: 58,42687

Factor

Observed

Minimum

Critical

Values

Observed

Maximum

A

B

C

-1,68179 0,868892 1,681793

-1,68179 0,640952 1,681793

-1,68179 0,788969 1,681793

Predicted Value; Var.:%PP; R-sqr=,95699; Adj:,92962 (2**(3) central composite, nc=8 ns=6 n0=2 Runs=16 (Spreadsheet16 in MSR01) in MSR01)

3 factors, 1 Blocks, 19 Runs; MS Residual=,8296007

DV: %PP

Factor

Regressn

Coeff.

Value Coeff. *

Value

Constant

(1)A (L)

A (Q)

(2)B (L)

B (Q)

(3)C (L)

C (Q)

2L by 3L

Predicted

-95,% Conf.

+95,% Conf.

-95,% Pred.

+95,% Pred.

56,31824

1,24252 0,868900 1,07963

-0,71500 0,754987 -0,53982

2,55285 0,641000 1,63637

-1,46984 0,410881 -0,60393

1,90296 0,789000 1,50144

-0,86173 0,622521 -0,53644

-0,84750 0,505749 -0,42862

58,42687

57,47891

59,37482

56,20933

60,64440

1

2100,8689 53 210 256,05

53

tempox tempo

2

400,6410 6 40 43,85

6

temperaturax temperatura

3

650,7890 3 65 67,38

3

concetraçãox concentração

Exemplo 2

• Planejamento Box-Behnken para três fatores: Preparo de pudins com introdução de proteína solúvel de soja e soro de queijo (Castro, 1991).

• Fatores: (x1) proteína de soja; (x2) leite integral; (x3) soro.

• Resposta: aceitabilidade obtida através de escala hedônica.

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