1. ResumoPor meio do estudo sobre Movimento Peridico e Oscilao, embasado no Movimento Harmnico Simples (MHS) e no Movimento Harmnico Amortecido (MHA), foram realizados experimentos objetivando a analise e discusso, dentre outras, respectivamente, da relao tempo e comprimento do fio e da amplitude (em graus) pelo tempo. Para que tais experimentos fossem executados, utilizou-se um pendulo simples, constitudo por uma massa suspensa por um fio inextensvel; J o pendulo fsico (experimento realizado com tal instrumento para analise da questo perodo sob influencia gravitacional), consiste em uma barra homognea que oscila em relao a um ponto fixo em uma de suas extremidades. Os resultados e suas respectivas analises sero apresentados ao longo deste trabalho.

2. IntroduoNo estudo sobre Movimento Peridico e Oscilatrio tornase importante salientar que estes foram responsveis por alguns grandes avanos cientficos e tecnolgicos, como por exemplo, a inveno dos relgios mecnicos, a primeira medio com preciso da acelerao gravitacional e a comprovao cientifica da rotao da terra. Pode-se considerar tambm, quando tomado referencia a palavra oscilao, sua presena e importncia nas mais diversificadas reas; definido como o movimento realizado repetidamente de um lado a outro, eis alguns exemplos de sua atuao: Quando um taco rebate uma bola de beisebol, o taco pode sofrer uma oscilao suficiente para machucar a mo do batedor ou mesmo se partir em dois. Quando um vento fustiga uma linha de transmisso de energia eltrica, a linha s vezes oscila com tanta intensidade que pode se romper, interrompendo o fornecimento de energia eltrica de uma determinada regio. Tais exemplos demonstram a importncia do estudo e controle sobre as oscilaes.

3. ObjetivosOs experimentos realizados tm como objetivos gerais a analise de resultados, seja por meio da comparao de dados tericos e os obtidos experimentalmente ou atravs da confeco e leitura de grficos; Como objetivos mais especficos, a influencia de massa e ngulo em um pendulo simples, bem como a atuao da gravidade nos experimentos.

4. Fundamentao TericaMovimento peridico caracterizado pela grandeza denominada perodo, sendo este o tempo gasto para completar uma oscilao (ou ciclo) completa quando a posio, velocidade e acelerao de um corpo mvel se repetem em intervalos de tempo iguais.Movimento oscilatrio acontece quando o sentido do movimento se alterna periodicamente, porm a trajetria a mesma para ambos os sentidos.Frequncia considerada como o nmero de oscilaes completas por segundo.Quando relacionado Perodo (T) a Frequncia (f) possvel chegar as seguintes frmulas:

Eq. 4.1Um movimento denominado harmnico quando este pode ser descrito por funes horrias harmnicas (seno ou cosseno), que so assim chamadas devido sua representao grfica:Funo Seno

Fig. 4.1

Funo Cosseno

Fig. 4.2Quando isto acontece, o movimento chamadoMovimento Harmnico Simples (MHS). Em sua forma mais simples, pode ser representado como:x(t) = A . cos( t + ) Eq. 4.2Onde A a amplitude mxima, a frequncia angular e a fase inicial (constante de fase ou ngulo de fase).Para melhor entender a frequncia angular do movimento (), nota-se primeiramente que o deslocamento x(t) deve ser igual a x( t + T ) para qualquer valor de t. Simplificando, iguala-se = 0 na equao 4.2, assim, obtm-se:A . cos t = A . cos ( t + T )Eq. 4.3A funo se repete pela primeira vez quando sua fase aumenta de 2 rad; dessa forma, a equao 4.3 gera:( t + T ) = t + 2Eq. 4.4Assim, de acordo com a equao 4.1, a frequncia angular (em rad/s ): = 2 / T = 2Eq. 4.5Derivando a equao 4.2, obtm-se uma expresso para velocidade de uma partcula em movimento harmnico simples:V(t) = dx(t) / dt = d / dt [ A cos(t + )]Eq. 4.6OuV(t) = - A sen( t + )Eq. 4.7Por meio da velocidade, possvel chegar a expresso de acelerao atravs da derivada. Assim, tem-se: a(t) = dv(t) / d(t) = d / dt [ -A sen( t + )]Eq. 4.8Oua(t) = -A cos( t + )Eq. 4.9Relacionando as equaes 4.2 e 4.9:a (t) = -x(t)Eq. 4.10No movimento harmnico simples, a acelerao proporcional ao negativo do deslocamento, e as duas grandezas esto relacionadas pelo quadrado da frequncia angular.Sabendo a forma como a acelerao de uma partcula varia com o tempo, pode-se usar a segunda lei de Newton a fim de descobrir qual a fora que deve agir sobre a partcula para que ela adquira tal acelerao. Combinando a segunda lei de Newton com a equao 4.10 tem-se, para MHS:F = ma = -( m )xEq. 4.11Tratando-se de um pendulo simples, podemos considerar que:F = P . sen Eq. 4.12

Onde P . sen a componente fora peso (P) responsvel pelo movimento oscilatrio, j que P . cos se anular com a fora de Tenso do fio.Fig. 4.3Entretanto, o ngulo expresso em radianos que por definio dado pelo quociente do arco descrito pelo ngulo, que no movimento oscilatrio de um pndulo xe o raio de aplicao do mesmo, no caso, dado por (fio), assim: = x / Eq. 4.13Substituindo em F:F = P . senx / Eq. 4.14Assim possvel concluir que o movimento de um pndulo simples no descreve um MHS, j que a fora no proporcional elongao e sim ao seno dela. Porm, quando referido a oscilaes de pequenas amplitudes, 15, o valor do seno do ngulo aproximadamente igual a este ngulo. Dessa forma, considerando pequenos ngulos de oscilao, obtm-se:F = P . senx / = P . x / F = P/ . xEq. 4.15Considerando que P = m.g, sendo m, g e constantes neste sistema, podemos considerar que:K = P / = m . g / Eq. 4.16Ento, reescrevemos fora restauradora do sistema como:F = KxEq. 4.17Dessa forma, conclui-se que para pequenas oscilaes, um pndulo simples descreve um MHS.Como para qualquer MHS o perodo pode ser dado por:T = 2 m / KEq. 4.18E utilizando a expresso 4.16, ento o perodo de um pndulo simples pode ser expresso por:T = 2 / gEq. 4.19O pndulo fsico um equipamento composto por uma barra homognea que oscila em relao a um corpo. Pode-se utiliza-lo para medir a acelerao de queda livre g em um certo ponto da superfcie da terra. Considerando h como sendo a distancia entre o ponto fixo e o centro de massa que L/2, sedo L o comprimento da barra, obtm-se:h = L / 2Eq. 4.20E o momento de Inrcia (I):I = mL/2Eq. 4.21Utilizando a expresso de perodo de um pndulo (pequena amplitude), do qual leva em considerao o momento de inrcia com relao ao ponto fixo:T = 2 I / mghEq. 4.22E assim, explicitando g, gera:g = 8 L / 3TEq. 4.23Desse modo, possvel determinar o valor de g no local em que o pndulo se encontra.O Movimento Harmnico Amortecido (MHA) acontece quando o movimento de oscilao tem sua amplitude reduzida devido ao de foras externas (como o atrito) at cessar; sendo essa realizada em funo do tempo. Considerando tal fora externa como uma fora de amortecimento (Fa) sendo esta proporcional velocidade (v) de um determinado corpo em movimento, tem-se:Fa = -bvEq. 4.24Onde b uma constante de amortecimento e tem unidades de quilograma por segundo no SI. O sinal negativo indica que a fora de amortecimento se ope ao movimento. Como a velocidade a derivada de espao pela derivada de tempo, obtm-se:v = dS / dt = d (L) / dt = L . d / dtEq. 4.25Assim, utilizando as expresses 4.23 e 4.24:Fa = -bL . d / dtEq. 4.26Considerando um pndulo simples, a componente tangencial da fora dada (para ngulos pequenos) por:Ft = -mgEq. 4.27Substituindo na segunda lei de Newton:Fa + Ft = ma = mL . d / dt-bL . d / dt + (- mg) = mL . d / dtReescrevendo a equao:d / dt + b/m . d / dt + g / L . = 0 Eq. 4.28Definindo: = b / mEq. 4.29E: = g / LEq. 4.30Obtm-se a seguinte equao diferencial:d / dt + . d / dt + = 0Eq. 4. 31Sendo que a soluo para essa equao um funo exponencial:(t) = max . e-/2.t cos( t + )Eq. 4.32Desta equao, a amplitude dada por:A(t) = max . e-/2tEq. 4.33E a frequncia angular: = k / m b / 4mEq. 4.34

5. Desenvolvimento Experimental5.1 Materiais utilizados:Pndulo Simples MHS e Pndulo Simples MHA: Massa pendular; Fio de suspenso; Cronmetro; Trena; Fita adesiva; Transferidor; Balana; Suporte na parede.Pndulo Fsico: Barra de metal com suporte (Pndulo Fsico); Cronmetro; Trena; Balana.

5.2 Montagem ExperimentalFig. 5.2-1

Pndulo FsicoFig. 5.2-2A medida h equivalente barra de metal.

5.3 Descrio do experimentoPndulo Simples MHSForam adotados ngulos, massas, e comprimentos diferenciados para cada grupo na turma, em seguida, foi realizada a aferio da massa pendular; Um fio de comprimento em torno de 3,00 m foi cortado sendo que uma de suas extremidades foi amarrada a massa pendular; a outra, com auxilio da fita adesiva, fixada no suporte acoplado a parede. Com o auxilio da trena, foi possvel manter o comprimento predeterminado do fio.Para a realizao do experimento, deslocou-se a massa pendular da sua posio de equilbrio at o ngulo tambm previamente definido, sendo ele menor que 15; Em seguida, houve a liberao da massa pendular, demarcando o tempo de 10 oscilaes completas (tempo de ida e volta); Foram repetidas trs vezes a operao para cada comprimento do fio, quatro ao total.

Pndulo Simples MHAAtravs do uso de um transferidor, marcou-se na parede a partir do centro do suporte, ngulos de 5 em 5 graus, at o valor final de 20 graus; Utilizando um fio de comprimento acima de 3,00 metros, fixou-se uma de suas extremidades no suporte acoplado a parede (com auxilio da fita adesiva) e a outra a massa pendular; para manter o fio a uma altura adequada, tornou-se necessrio o uso da trena.O fio foi descolado at a marca de 20 na parede; liberou-se a massa pendular e assim que esta atingiu a marca de 15, o primeiro tempo foi anotado; assim, conforme a amplitude foi diminuindo e atingindo as marcas de 10 e 5, seu tempo era marcado.

Pndulo fsicoUtilizando o pndulo fsico foi determinado um ngulo 15 , feita a aferio da barra e realizado 10 oscilaes com a marcao de tempo por meio do cronometro. Este processo foi efetuado trs vezes.

5.4 Dados obtidos experimentalmentePndulo Simples - MHSTabela 5.4 1: Equipe 1: = 14 Massa = 86. 55 gL (cm)Tempo 1 (s)Tempo 2 (s)Tempo 3 (s)

10020.0020.3420.31

11521.7521.6021.47

15024.5924.5524.44

19527.9427.8127.81

Tabela 5.4 2: Equipe 2: = 8 Massa = 97.36 gL (cm)Tempo 1 (s)Tempo 2 (s)Tempo 3 (s)

10020.7821.0020.78

12522.8823.0722.78

16025.9726.0026.32

17526.6627.1126.94

Tabela 5.4 3: Equipe 3: = 11 Massa = 68.50 gL (cm)Tempo 1 (s)Tempo 2 (s)Tempo 3 (s)

8519.0019.0419.01

10020.3020.4020.56

18023.2223.1923.38

18527.7227.6027.53

Tempo mdio e perodo mdio:Tabela 5.4 4: Equipe 1:L (cm)Tempo mdio (s)Perodo mdio (s)

10020.212.021

11521.602.160

15024.522.452

19527.852.785

Tabela 5.4 5: Equipe 2:L (cm)Tempo mdio (s)Perodo mdio (s)

10020.852.085

12522.912.291

16026.092.609

17526.902.690

Tabela 5.4 6: Equipe 3:L (cm)Tempo mdio (s)Perodo mdio (s)

8519.011.901

10020.422.042

13023.262.326

18527.612.761

Tabela 5.4 7: Comprimento do fio com seus respectivos perodos:L (cm)T (s)

851.901

1002.049*

1152.160

1252.291

1302.326

1502.452

1602.609

1752.690

1852.761

1952.785

*Mdia de T referente L = 100 cm das tabelas 5.4-4, 5.4-5 5.4-6.

Pndulo Simples MHAMassa = 97.35 g L = 2.5 mTabela 5.4 8: Amplitude em graus e tempo para cada amplitude:A (graus) = ()t (minutos e segundos)

20.00.00

15.051 segundos

10.01 minuto e 16 segundos

5.03 minutos e 31 segundos

Tabela 5.4 9: Amplitude em graus e tempo para cada amplitude:A (graus) = ()t (segundos)

20.000.00

15.051.00

10.076.00

5.0211.00

Pndulo fsico:Barra: 75.35 cm; peso: 583. 35 gngulo: 15Tempos: 12.15 s; 13.60 s; 12.60 s Tempo Mdio: 12.78 sPerodo (T): 1.278 sAcelerao gravitacional: 12. 129 m/s

5.5 Interpretao de resultadosPndulo Simples MHS Para calcular o perodo foi utilizado a equao 4.1, onde 1 foi substitudo pelo tempo e f substitudo pelo numero de oscilaes (10). Figura 5.5 1: Grfico T x L (perodo em funo do comprimento do fio) em anexo;Pndulo Simples MHAFigura 5.5 2: Grfico A x t (Amplitude em funo do tempo) em anexo;Pndulo Fsico Para calcular o perodo foi utilizado a equao 4.1 onde 1 foi substitudo pelo tempo e f pelo nmero de oscilaes (10).Para chegar ao resultado da acelerao gravitacional foi necessrio o uso da equao 4.23, substituindo as variveis com seus respectivos valores, sendo que L foi transformado de centmetros para metros.

6. Anlise de resultados:Observando a relao entre os dados obtidos experimentalmente, no experimento realizado sobre Movimento Harmnico Simples, expostos na tabelas 5.4-1, 5.4-2, 5.4-3, possvel perceber o ntido aumento proporcional entre tempo e comprimento do fio, porm, esse mesmo aumento proporcional no encontrado quando trata-se de angulao, j que comparando os valores de tempo quando o comprimento encontrava-se em 100 cm, o que possua menor angulao demorou mais para completar a sequencia de oscilaes; valido dizer que a massa pendular de tal era a mais pesada, o que influenciou diretamente no movimento realizado pelo pndulo, consequentemente, em seu tempo e em seu perodo.Com relao ao perodo e comprimento, tambm pode ser analisada a proporcionalidade de tal funo. O grfico demonstra esta situao.Quando se analisa o Movimento Harmnico Amortecido, possvel perceber a diferena existente com relao ao MHS, j que esse tem sua amplitude reduzida ao longo do experimento enquanto o outro se mantm. Como efeito de reduo da amplitude, a relao entre tempo e ngulo torna-se inversa, isto , conforme a amplitude (em graus) tende a diminuir, o tempo tende a aumentar.Atravs do pendulo fsico, a presena da gravidade se torna mais ntida, principalmente por que por meio deste se possvel calcular de acelerao de queda livre g.Os erros que poderiam ter influenciado diretamente nos resultados encontram-se, principalmente, no momento determinar as medidas na parte experimental, por exemplo, na hora de demarcar a angulao para que a massa pendular fosse solta, seja por instrumentos menos precisos, como tambm erro de preciso por parte da pessoa que esta realizando o experimento, j que muito difcil ter uma reao perfeita no momento de soltar a massa, bem como o de marcar o tempo no cronmetro.

7. ConclusesPor meio deste trabalho foi possvel observar o diferente comportamento de dois movimentos peridicos e oscilatrios, sendo que um possui amplitude constante e outro tem a sua reduzida conforme o tempo devido ao de fora externa, com enfoque principal ao atrito. Os experimentos realizados proporcionaram uma maior noo, alm do que j foi destacado, com relao atuao da gravidade, principalmente no experimento realizado com o pendulo fsico. claro dizer que os resultados no foram extremamente precisos, porm foi o suficiente para observar relaes entre tempo, perodo, frequncia e comprimento, bem como a influencia da massa pendular nos pndulos simples.

8. Referncias Bibliogrficas[1] D. Halliday, R. Resnick Fsica Vol.2 8 edio Cap. 15[2] H. Mukai e P. R. G. Fernandes Apostila de Laboratrio de Fsica Experimental 2 2013[3] http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/movpereosc.php - data de acesso: 17/08/2013; hora de acesso: 15:00 hrs.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING (UEM)LABORATRIO DE FSICA EXPERIMENTAL 2ENGENHARIA MECNICA

MOVIMENTO PERIDICO E OSCILAOCAPTULO 9

ACADMICO: ANDRESSA BUENO RA: 84965

TURMA: 2 PROFESSORA: CARLA FABIANA

MARING, 17 DE AGOSTO DE 2013