estudo aplicado ao movimento de ondas

7/21/2019 Estudo Aplicado Ao Movimento de Ondas

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Estudo aplicado ao movimento de ondas: casoestacionrio

Stationary waves motion: an applied study

M . C. S . Xavier1, W. A. arias , !. A . "liveira , # . A . Matias

" $en%meno ondulat&rio ' um dos tipos mais interessantes demovimento o(servados na nature)a e cr*tico no seu estudo para aplica+es$*sicas. -or eemplo, o som /ue ouvimos s0o ondas propaadas no ar. Am*dia depende dos avan+os no estudos nesta rea da $*sica. 2m tipo demovimento ondulat&rio em particular s0o as ondas estcionrias, cu3acon4ura+0o n0o varia com o tempo. 5essas ondas podemos o(servarnitidamente n&s ou pontos nos /uais temos a demarca+0o de dadascon4ura+es. 6e uma maneira eral, a compreens0o do movimento dasondas aumentam as possi(ilidades de aplica+es prticas e isso est(aseado no estudo apro$undado do movimento ondulat&rio.

-alavras 7 c8ave: "ndas estacionrias9 "ndula+es9 5&s.

8e ondulations p8enomena is one o$ t8e most interestin ;inds o$motion o(served in nature and its study $or p8ysics application is criticalnowadays. or eample, t8e sounds we 8ear are in t8e $orm o$ musicalwaves widespread t8rou8 t8e air. 8e midia depends on t8e study o$ t8is(ranc8 o$ p8ysics. 8e ;ind o$ wave w8ose patterns does not c8ane alont8e time are called standin waves. metros$*sicos associados. Este tipo de

movimento pode ser o(servado,por eemplo nas ondas marin8as.

Cada con4ura+0o descreve umaonda. 2ma onda, se movimentaou se propaa em umadeterminada rei0o do espa+o? 1 @,

[email protected]


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e pode necessitar ou n0o de ummeio $*sico para se propaar.

6e4nimos ent0o aluns tipos deondas ? @.

"ndas mec>nicas:

Estes tipos de ondas podemser o(servados diariamente,5ecessitam de um meio $*sicopara se propaar, ou se3a, atrav'sda ua, solo , ar ou /ual/ueroutro meio. "ndas do mar, ondassonoras e ondas s*smicas s0oeemplos de ondas mec>nicas.

"ndas eletroman'ticas:

6i$erentemente das ondasmec>nicas, este tipo particular deonda n0o precisa de um meio$*sico para se propaar. A lu)

vis*vel, as ondas de rdio e aradia+0o ultravioleta s0o eemplosde ondas eletroman'ticas.

6e4nimos ainda as ondas demat'ria, mais aplicadas emla(orat&rios, s0o movimenta+esde part*culas elementaresconstituintes da mat'ria ? 1 @.

ratando inicialmente comondas mec>nicas, um dos sistemasmais simples /ue representa estetipo de onda ' uma corda esticada

presa em uma de suasetremidades. Ao movimentar acorda pela etremidade livreapenas uma ve), perce(emos umaBnica ondula+0o ou pulso nacorda. Ao movimentar diversas

ve)es a mesma corda de modocont*nuo, estaremos de certomodo produ)indo uma oscila+0ona corda, /ue eecutar ummovimento 8arm%nico simples? @. emos dois modos deo(servar e estudar este sistema.

-odemos o(servar a $orma oucon4ura+0o da onda em um dadoinstante, ou podemos analisar adire+0o de propaa+0o da onda.omando por (ase o seundo

m'todo, devemos perce(erinicialmente um elemento dacorda. 6e acordo com suamovimenta+0o com a passaem deuma onda ou pulso podemosde4nir dois principais tipos deondas ? @:

"ndas transversais: Duando cadaelemento de onda se movimenta

em uma dire+0o transversal aopulso provocado

"nda lonitudinal: Duando oelemento de onda se movimentana mesma dire+0o de um pulsoprovocado.

anto as ondas transversais/uanto as ondas lonitudinais s0oc8amadas de ondas

proressivas? 1 @, por/ue sepropaam de um luar para outro.

dire+0o da onda

iura 1 7 epresenta+0o es/uemtica de

um movimento ondulat&rio transversal,desen8ada no so$tware Microso$t Word.-erce(emos /ue o elemento de onda,representado pelo ponto vermel8o semove em uma dire+0o transversal F ondaprovocada, de acordo com a seta verticales/uerda.

Ar


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iura 7 epresenta+0o de um tu(o compist0o /ue cont'm ar, desen8ado noMicroso$t Word. emos /ue a part*cula deonda, representada pelo ponto vermel8ose movimenta paralelamente aomovimento da onda. Ao movimentar o

pist0o para $rente e para trs deslocamos/uantidades de ar na mesma dire+0o em/ue o pist0o ' deslocado. emos portantouma onda lonitudinal.

Ao considerarmos ondasmec>nicas estudaremos uma casoespecial de ondas c8amadas deondas estacionrias para as /uaisuma dada con4ura+0o n0o varia.Estudaremos mais F $undo estestipos de onda, e para elacalcularemos aluns par>metrosassociados com (ase em dadoseperimentais.

2. Fundamentao Terica

Gisto /ue de4nimos um

novo tipo de movimento, devemosassociar a este movimento alunspar>metros. A amplitude de umaonda ' dada como o m&dulo dodeslocamento mimo doselementos F partir da posi+0o dee/uil*(rio /uando a onda passapor eles ? 1 @.

A $orma de uma onda pode

ser descrita por meio de uma$un+0o de duas variveis ? H @, na/ual o deslocamento y de umapart*cula da onda ' dado em$un+0o de e t, onde representaa posi+0o em um eio 8ori)ontalde re$erIncia positivo e t o tempo.

6e4nimos ent0o ? 1 @ esta $un+0ocomo sendo:

y(x , t)=ym sen(kxt) J 1 K

5a e/ua+0o J 1 K temos /ue

o arumento kxt determina

o /ue c8amamos de $ase da onda." termo representado em J 1 K por

ym determina a amplitude do

movimento.

A onda se repete ap&s umadada con4ura+0o demarcada porpicos e ventres. A dist>ncia entredois picos consecutivos ou dois

ventres ' c8amada decomprimento de onda, e '

desinada pela letra . 6entrodo arumento da $un+0o seno

perce(emos um dado k , /ue '

de4nido como nBmero de onda? 1 @, dado por:

k=2

J K

Considerando o movimentoda onda como oscilat&rio ? @,podemos associar alumasrande)as da oscila+0o aomovimento da onda. " per*odo

T de oscila+0o de uma onda ' o

tempo /ue uma part*cula da ondaleva para reali)ar uma oscila+0o

completa. A $re/uIncia f

corresponde ao inverso do periodoe est relacionada F velocidadeanular. emos ent0o:

=2f=2 1

T J K

Gelocidade anular

E desta $orma:


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f=1

T eT=

1

f

J H K

-odemos de4nir ainda avelocidade de onda, /ue ' avelocidade com a /ual a onda sepropaa ? @ , em $un+0o destespar>metros:

v=

k=

T=f J L K

Se a onda propaa7se no

sentido neativo ao eio , a$un+0o de onda ' dada por:

y(x , t)=ym sen(kx+t) J K

y

ym

x

iura 7 r4co de uma $un+0o de onda,desen8ado no Microso$t Word. 5ele,

temos aluns par>metros representados,como a amplitude, o comprimento deonda e a velocidade de onda.

Alumas ve)es, duas oumais ondas passam pela mesmarei0o. " e$eito resultante ' /ueuma part*cula da onda se deslocade modo F o(edecer F uma soma

al'(rica dos deslocamentosindividuais de cada onda. Este

princ*pio ' con8ecido comoprinc*pio da superposi+0o deondas? @, e $ornece uma ondaresultante ou onda total.

-ode ocorrer um outro tipode intera+0o entre duas ou maisondas, sendo esta umainter$erIncia de ondas. Ainter$erIncia ocorre, /uando asondas envolvidas possuem omesmo comprimento de onda e amesma amplitude. !eralmenteisto ocorre com ondas senoidais? 1 @. Adotando o princ*pio da

superposi+0o de ondas, a somadas respectivas $un+es descreveessa inter$erIncia. Duando asduas ondas se movem em sentidode propaa+0o contrrios, asuperposi+0o continua vlida.

Consideremos ent0o o casoem /ue temos duas ondas comsentidos de propaa+0o opostos.

Aplicando a superposi+0o de

ondas para diversos instantes detempo, perce(emos /ue alunspontos do per4l de onda n0o

variam sua posi+0o. Estes pontoss0o denominados de n&s, e a ondaresultante ' c8amada de ondaestacionria, visto /ue acon4ura+0o de n&s n0o varia como tempo.

-ara e$etuar a anlise deuma onda estacionria, tomamosduas $un+es de ondas, em /ueuma se propaa no sentidopositivo, e outra no sentidoneativo:

y1(x ,t)=ym sen(kxt) J N K

y2

(x , t)=ym sen (kx+t) J O K

v


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Somando ent0o as duas $un+esprecedentes, ap&s manipula+0oal'(rica ? L @ e aplica+0o derela+es trionom'tricas o(temos:

y'

(x ,t)=[2y m sen kx ]cost

J P K

Due ' uma e/ua+0o /ue descreveo movimento de ondasestacionrias. " termo entrecolc8etes pode ser consideradocomo a nova amplitude da ondaresultante. 6esta $orma, se aamplitude ' sempre positiva oseno dever ser positivo, o /uenos di) /ue:

kx=n J 1Q K

Su(stituindo ent0o o

comprimento de onda k ,

o(temos:

x=n2 J 11 K

"nde n representa o nBmero den&s.

Consideremos aora umaoutra situa+0o: 2ma corda 'esticada e presa em suas duasetremidades. Ao produ)irmos

uma onda senoidal, a onda vai evolta ao lono do comprimento dacorda, por'm pode ocorrer umainter$erIncia entre uma onda eoutra presentes no mesmo meio.-ara certas $re/uIncias, estainter$erIncia pode provocar umaonda estacionria /ue por sua ve)s& ' erada /uando eisteresson>ncia ? @ na corda. 5estas

situa+es, a corda ressoa so($re/uIncias de resson>ncia. Se a

$re/uIncia do movimento n0o $ordeste tipo, ent0o o movimentoondulat&rio n0o ' estacionrio.

omando a e/ua+0o J 11 K e

manipulando ale(ricamente,podemos o(ter uma nova $orma:

=2x

n J 1 K

Sendo x o comprimento < entre

os dois etremos da corda, temos/ue:

=2Ln J 1 K

A Bltima e/ua+0o de4ne ocomprimento de onda para uma

onda estacionria. ncia:

f=v

=n v

2L J 1H K

A 4ura F seuir ilustraalumas con4ura+es de ondasestacionrias:

n& 1

n&

J a K

n& 1 n& n&

J ( K

L

1


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iura H 7 Am(as representa+es J a K eJ ( K , $oram desen8adas no Microso$tWord. Em J a K temos uma corda decomprimento < em movimentoondulat&rio. emos um Bnico per4l deonda, ou onda estacionria, de4nida pelos

n&s 1 e . A Rea representa um

ventre este per4l denomina7se $orma$undamental da onda. 5ele temos oprimeiro 8arm%nico. Alterando 7se ocomprimento de onda de aluma maneiratemos um per4l de seundo 8arm%nico,o(temos uma onda estacionria com dois

ventres 1 e 2 e com trIs n&s, como

ilustrado em J ( K. " nBmero de 8arm%nicos 'dado pelo nBmero de ventres presentes na

con4ura+0o da onda.

Consideremos ent0o umBnico pulso de uma ondaestacionria. 5ele superpomosuma eometria circular:

iura L 7 -ulso de uma ondaJ lin8a verdeK e um semento de onda de comprimento

l . Este semento est su3eito F tens0o

em am(os os lados. A eometria circular

tem $un+0o apenas de auiliar a determina+0ode e/ua+es. Este desen8o $oi desenvolvido no

Microso$t Word.

-or eometria ? @, temos om&dulo da $or+a /ue atua so(re o

semento de comprimento l

dado por:

F=2 ( sen ) J 1L K

Considerando pe/uenos >nulos,

temos /ue sen= , e com

(ase na eometria 2= l

R .


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a corda est su(metida e damassa espec*4ca linear.

3. Resultados e Discusso

# /ue de4nimos alumase/ua+es anteriormente, podemosaplic7las para o(ten+0o de alunspar>metros $*sicos associados aomovimento ondulat&rio. -ara talprecisamos de aluns dados,o(tidos no presente tra(al8o pormeios eperimentais. "eperimento relativo, $oi reali)adona 2niversidade Estadual da-ara*(a no la(orat&rio de $*sica docampus G, Araruna 7 -T , so( aorienta+0o do pro$essor Msc.Mrio C'sar Soares e do t'cnicola(oratorial Elisa$e 6onato.

Com os dados, podemosent0o e$etuar o clculo dospar>metros associados, e F partirdos resultados somos levados Fuma maior compreens0o dos

$en%menos ondulat&rios. " estudoapro$undado deste tipo demovimento propicia tam('m>m(ito para aplica+es $*sicas, eestas podem ser importantes paraa vida diria.

-rimeiro, $oi $eita uma anlise dosdados de di$erentescomprimentos de onda e suarela+0o com a $or+aaplicadaJtensesK para o(ten+0odas respectivas con4ura+es deonda para uma Bnica corda, :

a(ela 1 7 6ados coletados para anal*se darela+0o das tenses com as con4ura+esde ondas estacionrias e os respectivoscomprimentos de onda.

N de

ns

N de

ventre

s

F (N) (m)

1 2 1 0,32 0,48

2 3 2 0,08 0,243 4 3 0,04 0,164 5 4 0,02 0,12

U o(servado ent0o /ue a$or+a ' proporcioal ao /uadradodo comprimento de onda:

a(ela 7 Ap&s simples clculosal'(rico, os dados o(tidos mostram uma

rela+0o constante entre a $or+a e ocomprimento de onda ao /uadrado e s0odispostos na ta(ela a seuir.

F (N) (m) F/2(N/m)0,32 0,48 1,38888890,08 0,24 1,38888890,04 0,16 1,56250000,02 0,12 1,3888889

Constru*mos assim, dois

r4cos /ue relacionam essasrande)as no prorama "riin-ro:

iura 7 !r4co da $un+0o de reress0olinear mostrando a correla+0o da $or+acom o comprimento /uadrado. !r4coo(tido no "riin-ro.


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iura N 7 !r4co da $un+0o daetrapola+0o polinomial /uadrticamostrando a correla+0o da $or+a com ocomprimento. A curva descreve uma

$un+0o /uadrtica, como previsto. !r4coo(tido no "riin-ro.

A seunda parte /uedemonstram a teoria aplicadaeperimentalmente ' uma anlisepara H di$erentes tipos de corda/ue possuem variadas densidadeslineares representada pela letra

rea mantendo7se uma

mesma $re/uIncia do movimentoondulat&rio na seundacon4ura+0o de onda, as cordass0o enumeradas de 1 a H. Adensidade linearJ massa espec*4caK de cada corda $oi determinadapela medi+0o das massas e doscomprimentos:

a(ela 7 .6ados de massas espec*4casdas di$erentes cordas utili)adas emla(orat&rio e a tra+0o utili)ada nessascordas para o(ten+0o do seundacon4ura+0o de onda.

Cord (N) (10!

3"#/m)1 0,08 0,1$502 0,23 0,48363 0,24 0,$2684 0,30 0,822$

Com os dados da ta(ela e a (asematemtica da e/ua+0o 1,o(temos os valores de velocidade:

a(ela H 7 .6ados de velocidade depropaa+0o das ondas no seundo8arm%nico dispostos em ta(ela.

Cord (m) v (m/s)

1 0,24 21,382 0,24 21,803 0,24 18,1$4 0,24 19,10


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