Os c il a ções

Física 2 aula 9

2o semestre, 2012

Movimento Harmônico simples:

conexão entre vibrações e ondas

Energia no pto. de equilibrio é cinética!

Energia Mecânica de um OHS é

Proporcional ao quadrado de sua Amplitude!

Energia no MHS

• Energia Mecânica Total:

2 21 1

2 2E mv kx

Energia

Cinética

Energia

Potencial

Elástica

Quando x=A ou x=-A (extremos):

2 2 21 1 1(0) ( )

2 2 2E m k A kA

x=-A

x=A

x=0

F=-kx

Quando x = 0 (ponto de equilibrio):

2 2 2

0 0

1 1 1(0)

2 2 2E mv k mv

Conservação de energia mecânica

222

2

1

2

1

2

1kAEEkxmv

Movimento harmônico simples e

oscilador harmônico

MHS e Movimento Circular Uniforme:

amplitude,frequência e periodo

cos /x A cosx A

t

cosx A t 2 f

cos2x A ft 2cos

tx A

T

A

θ

x

2 2A x

x

y v0

v

θ

z

v

x A

x

z y

ω: velocidade angular

ou

0 0 0

2sin sin 2 sin

tv v v ft v

T

0 cos2F

a a ftm

MHS e MCU

y = R cos = R cos (t)

x

y

-1

1

0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

2

http://faraday.physics.utoronto.ca/PVB/Harrison/Flash/ClassMechanics/Circular2SHM/Circular2SHM.html

Dinâmica do MHS • Sabemos que em todo instante

F=ma

• Mas neste caso F = -kx e ma =

• Portanto: -kx = ma =

2

2

d xm

dt

2

2

d x kx

dt m Equação diferencial para x(t) !

2

2

d xm

dt

k

x

m

F = -kx

a

Dinâmica do MHS

2

2

d x kx

dt m

22

2

d xx

dt

k

m

Tentemos a solução x = Acos(t)

sindx

v A tdt

2

2 2

2cos

d xa A t x

dt

definamos

Solução do MHS

f

2

)cos( tAy

cos0 Ayt Fase!!!

)cos( tAy

cos0 Ayt

02

y

1)0cos(2

Ay

A

f/2

2

)( tAsen

?2

cos0 Ayt

02

y

1)cos(2

Ay )( tAsen

Condições iniciais & resumo

0F mggVa gVmg a

O empuxo funciona como força restauradora

“Oscilador de Arquimedes”: solução

ghAF aempuxo

Solução para um paralelepípedo oscilador

h (equilíbrio)

)]([)( tyhgAtF aempuxo

(fora do equilíbrio no instante t)

“Oscilador de Arquimedes”: solução

“Oscilador de Arquimedes”: solução

)]([)( tyhgAtF aempuxo

2

2

)]([dt

ydmtyhgAmgF a

gAyym aAym

gy a

m

gAa Freqüência do oscilador

Pêndulos

• O período não

depende da massa!

• O período depende

apenas do

comprimento do

pêndulo.

2T l g

Galileu Galilei observando as oscilações de um candelabro: relogio de precisão

http://phet.colorado.edu/en/simulation/pendulum-lab

Parentêses: sen e cos para

pequenos valores de

3 5sin ...

3! 5!

2 4

cos 1 ...2! 4!

&

Portanto para <<1,

sin cos 1 e

Dinâmica do pêndulo 2

2

dt

rdmF

lr 2

2

2

2

dt

dml

dt

rdm

mgmgsendt

dml

2

2

O sinal negativo é porque quando a aumenta, θ diminui

Dinâmica do pêndulo II

mgmgsendt

dml

2

2

l

g

22

2

d xx

dt

Comparando com o oscilador harmônico

l

g

1 1

2

gf

T L Frequência do pêndulo

Pêndulo III

• A dedução é para o limite de pequenas oscilações.

Como fica para amplitudes de oscilação maiores?

...

737280

173

3072

11

16

112 6

0

4

0

2

0 g

lT

http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum

Pêndulo, MHS e movimento periódico mas não simples

http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics)

Uma questão fundamental: equivalências das massas inercial e gravitacional

gmgsenmdt

dlm ggi

2

2

lm

gm

i

g

Primeira verificação experimental foi realizada por Newton com o pêndulo!

Distinguindo as massas inercial e gravitacional teríamos:

gm

lmT

g

i2

Newton conseguiu estabelecer que

a razão entre as massas é igual a 1 para uma parte em mil

http://einstein.stanford.edu/STEP/information/data/gravityhist2.html

Tópicos adicionais

• Amortecimento

• Oscilações forçadas

• Ressonância

• Pêndulo físico

Oscilador Harmônico Amortecido

2

20

d x dxm b kx

dt dt

0

0

0

2

2

2

2

2

2

xdt

dx

dt

xd

xm

k

dt

dx

m

b

dt

xd

kxdt

dxb

dt

xdm

o

F kx bv

Queremos soluções para esta equação

MHS e MH amortecido

Oscilador Harmônico Amortecido

2

20

d x dxm b kx

dt dt

02

02

2

xdt

dx

dt

xd

onde m

kem

b 2

0

02

02

2

xdt

dx

dt

xdSolução da Eq.

Supomos a solução p tetz

zpdt

zdepz

dt

dz 2

2

2

Com derivadas

A Eq. diferencial transforma-se em eq. algébrica

02

0

2 pp

Oscilador Harmônico Amortecido,

solução..

02

0

2 ppEsta Eq.

tem solução

2

0

2

42

p

se 0

2

Temos amortecimento subcrítico

(raiz de número negativo)

4,

2

2

2

0

ip

titit

beaeetz

2

tBtAsenetxt

cos2

A solução do problema é

Tomando a parte real

ou

f

tAetxt

cos2

f

itit

AeCCeetz ,2ou

A solução subcrítica

f

tAetxt

cos2

mke

mb 2

0

4

2

2

0

http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm

Amortecimento Supercrítico

02

ttt

BeAeetx

2

Podemos usar a solução diretamente

2

0

2

4

onde

Exemplo do decaimento

ttt

BeAeetx

2

Todos os regimes

Exemplo de circuitos elétricos

http://www.oz.net/~coilgun/theory/dampedoscillator.htm

O Circuito LC - Analogia mecânica

mEmvkx

22

22

ULi

C

q

22

22

vi m;L ;/1 ; kCxq

CLm

k 1

Oscilações Forçadas

Ressonância

Oscilações Forçadas

2

2 002

cosFd x

x tdt m

tFtF cos0

Força externa com

frequencia angular

Supomos uma solução da Eq. inomogênea do tipo

tietz

Solução do problema

f tAtx cos

22

0

0

m

FA

Procedendo como antes temos uma equação algébrica cuja parte

real tem como solução

onde

00

,0 ff

e

em fase fora de fase

Interpretação

(baixas frequências)

tm

Fx

dt

xd cos02

02

2

0

tm

Fx

cos

2

0

0

se

A solução está em fase com a força!!!!

Interpretação

(altas frequências)

tm

Fx

dt

xd cos02

02

2

0

se

tm

Fx

cos

2

0

A solução está em fora de fase com a força!!!!

Condições iniciais

0022

0

0 coscos f

tBtm

Ftx

0,000

t

dt

dxx

Solução geral = Solução particular + solução geral do Eq. H

B e f0 constantes arbitrárias.

Suponho que (condições iniciais)

22

0

0

00

022

0

0

000

0cos0

ff

f

m

FB

senv

Bm

Fx

0

0

0

0coscos tt

m

Ftx

ttsentd

dtt0

0

0

0

0

coscoscos

lim

É uma derivada!!

dai 00

0

0

2

ttsen

m

Ftx

Condições iniciais...

RESSONÂNCIA!!!

tm

Fx

dt

dx

dt

xd cos02

02

2

Usando a mesma técnica mostrada anteriormente, temos a solução:

22222

0

2

2

02

m

FA

f tAtx cos

f

22

0

1tg

Oscilações amortecidas

forçadas

Amortecimento fraco 0

Para 0 temos 00

4

1

2 2222

0

2

0

02

m

FA

f

22

0

1tg

Ressonância

RLC em série – Ressonância

CL XX

CL

d

d

1

LCd

1

Circuitos de sintonia

Relaxando um pouco...

http://phet.colorado.edu/sims/resonance/resonance_en.html

http://www.exploratorium.edu/snacks/coupled_resonant_pendlm/index.html

O Pêndulo Físico

• Um pêndulo é feito ao pendurar uma

vareta de comprimento L e massa m

por uma de suas extremidades.

Vamos encontrar a freqüência de

oscilação para pequenos

deslocamentos.

L

mg

z

x CM

O Pêndulo Físico...

• O torque em relação ao eixo de rotação (z) é

= -mgd = -mg(L/2)sin -mg(L/2) para

pequeno

• Nesse caso

• E portanto = I fica

L d

mg

z

L/2

x CM

I 1

3

2mL

2

22

dt

dmL

3

1

2

Lmg

d

dt

2

2

2

3

2

g

L onde

d I

Ou...

2 ImgR

I

mgR

Pêndulo físico geral

Problemas...

Pêndulo de Torção...

• Como = -k = I torna-se

kd

dt

I

2

2

d

dt

2

2

2

k

Ionde I

fio

Que é similar ao caso “massa-mola” exceto que

I tomou o lugar de m (o que não deveria provocar surpresa…).