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Estratégias de mitigação do campo magnético originado por

linhas aéreas de transmissão de energia

Catarina Bebiano Coutinho Winck Cruz

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia

Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Doutor Paulo José da Costa Branco

Orientador: Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Co-orientador: Doutor Manuel Ventura Guerreiro das Neves

Vogal: Doutora Celia Maria Santos Cardoso de Jesus

Outubro 2009

iii

À minha família

iv

Agradecimentos Este trabalho não teria sido possível sem a ajuda e o apoio de algumas pessoas a quem gostava de

expressar a minha gratidão. Primeiro, à minha orientadora, Professora Maria Eduarda Pedro pela

disposição e ajuda fornecida durante este ano. Ao Professor Manuel Guerreiro Neves por todas as

boas opiniões durante a execução da tese.

Gostava de agradecer à minha família e amigos por todo o apoio e força que me deram em todos os

momentos, principalmente quando os resultados não eram os esperados e o desespero se apoderava

de mim, e pela grande ajuda a ultrapassar esses momentos difíceis!

Um muito obrigado a todos!

v

Resumo Relativamente às recentes preocupações de que o campo magnético originado por linhas aéreas de

transmissão de energia, pode afectar os sistemas biológicos, a comunidade científica tem vindo a

esforçar-se de modo a encontrar novas soluções que permitam reduzir o campo na vizinhança das

linhas.

Um método de cálculo do campo magnético à frequência industrial, 50Hz, produzido por linhas de

transmissão de energia é apresentado. Este método permite calcular todas as correntes do sistema,

ou seja, as correntes dos subcondutores de cada fase, as dos cabos de guarda e as da malha de

mitigação, caso exista. O facto de a linha ser não uniforme e descrever uma catenária é tido em

conta.

Elaborou-se um programa de cálculo do campo magnético, para diversas geometrias da linha

incluindo linhas hexafásicas, e a presença de uma malha de mitigação. As soluções a que se deu

mais ênfase foram as linhas hexafásicas e a utilização de uma malha de mitigação com n condutores.

Palavras-Chave

Linhas de transmissão, redução do campo magnético, linhas hexafásicas, malha de mitigação.

vi

Abstract

Due to the recent concerns that magnetic field generated by power lines might affect biological

systems, scientific community have been trying to find solutions that will reduce fields surrounding

power lines.

This work presents a method to reduce the magnetic induction field, calculating all the currents of the

system, including the currents on the subconductors of each phase bundle, on the ground wires and

on the mitigation loop (if present). The non uniform character of the trajectory described by the

conductors between towers, drawing a catenary, is considered.

A program for the calculation of magnetic field was developed. It can handle any geometry, six-phase

circuit and the presence of a mitigation loop. Was given special attention to six-phase circuit and use

of a n conductor mitigation loop solutions.

Key Words

Transmission lines, magnetic field reduction, six-phase circuit, mitigation loop.

vii

Índice Agradecimentos ....................................................................................................................... iv

Resumo .................................................................................................................................... v

Abstract ................................................................................................................................... vi

Lista de Figuras ..................................................................................................................... viii

Lista de Tabelas ....................................................................................................................... x

Lista de Abreviações ............................................................................................................... xi

1 Introdução ................................................................................................................. 12

1.1 Introdução ......................................................................................................... 13

1.2 Descrição dos capítulos .................................................................................... 15

2 Equações da Linha de Transmissão ................................................................ 16

2.1 Linha sem perdas ............................................................................................. 17

2.1.1 Introdução ............................................................................................... 17

2.1.2 Cálculo dos coeficientes de indução externos ........................................ 20

2.2 Linha com perdas ............................................................................................. 21

2.2.1 Introdução ............................................................................................... 21

2.2.2 Geometria da Catenária .......................................................................... 23

3 Cálculo do Campo Magnético ........................................................................... 25

3.1 Cálculo do campo magnético ........................................................................... 26

3.1.1 Introdução ............................................................................................... 26

3.1.2 Cálculo das correntes do sistema ........................................................... 28

3.1.3 Algoritmo de Optimização ....................................................................... 33

4 Resultados de Simulação ................................................................................. 34

4.1 Linha de circuito simples em esteira – Caso base ........................................... 35

4.2 Influência da geometria .................................................................................... 37

4.3 Duplo circuito .................................................................................................... 41

4.4 Influência da malha de mitigação ..................................................................... 46

4.5 Influência do número de condutores da malha de mitigação ........................... 48

4.6 Linhas Compactas ............................................................................................ 54

5 Conclusões ....................................................................................................... 66

Referências OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO.OOO69

viii

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Linha multifilar na presença da terra..................................................................................17

Figura 2.2 - Representação da Lei da indução.....................................................................................17

Figura 2.3 – Linha de transmissão multifilar. Parâmetros geométricos.................................................20

Figura 2.4 – Representação do Método de Dubanton..........................................................................23

Figura 2.5 – Variação da altura ao longo de um vão. Parâmetros da catenária...................................24

Figura 3.1 – Representação da Lei de Ampére.....................................................................................26

Figura 3.2 - Especificação das coordenadas necessárias ao método de cálculo do campo magnético

originado pele condutor k no ponto P....................................................................................................27

Figura 3.3 – Geometria de uma linha de 400kV em esteira, com malha de mitigação.........................28

Figura 3.4 – Representação geométrica da malha de mitigação..........................................................29

Figura 4.1 – Geometria de uma linha em esteira de 400 kV, vista no poste (z=0)................................35

Figura 4.2 - Representação transversal da variação do valor eficaz do campo de indução magnética

com a distância em x (x Є [-50m; 50m]) para y=1.8m e z=150m..........................................................36

Figura 4.3 - Representação das três configurações de linha analisadas, vistas do poste (z=0). (a) linha

na vertical, (b) linha em triângulo e (c) linha em triângulo invertido......................................................37


com a distância em x (x Є [-50m; 50m]) com y=1.8m e z=150m para as diversas geometrias

analisadas..............................................................................................................................................39



analisadas alterando o ponto médio......................................................................................................40

Figura 4.6 – Configuração geométrica de uma linha de duplo circuito de 400 kV................................41

Figura 4.7 - Representação transversal da variação de campo de indução magnética B com a

distância em x (y=1.8, z=150 e x Є [-50m; 50m]) para duplo circuito e caso base...............................42

Figura 4.8 – Representação transversal da variação do valor eficaz do campo de indução magnética

com a distância em x (x Є [-50m; 50m]) com y=1.8m e z=150 para caso base, duplo circuito e duplo

circuito com a mesma sequência de fases............................................................................................43


distância em x (y=1.8, z=150 e x Є [-50m; 50m]) para duplo circuito e só o circuito esquerdo do duplo

circuito...................................................................................................................................................44

ix

Figura 4.10 – Curvas de nível de Bef medido a meio vão, (z=150m), para a linha de duplo circuito....45

Figura 4.11 - Representação da linha de 400 kV em esteira com malha de mitigação........................46


distância em x (y=1.8, z=150m e x Є [-50m; 50m])...............................................................................47

Figura 4.13 - Representação geométrica da malha de mitigação num circuito em esteira, (a) com 3

condutores, (b) com 4 condutores e (c) com 6 condutores. Corte transversal em z=0.........................49


com a distância em x (x Є [-50m; 50m]) com y=1.8m e z=150m para diversas geometrias.................50

Figura 4.15 – Representação da variação do valor eficaz do campo de indução magnética ao longo

de um vão (x=0m, y=1.8m e z Є [0;300]) para vários condutores de malha.........................................51

Figura 4.16 – Percentagem de redução do campo magnético com o número de condutores da malha

de mitigação..........................................................................................................................................52

Figura 4.17 – Comparação entre a percentagem de redução do campo magnético variando o raio dos

condutores da malha de mitigação........................................................................................................53

Figura 4.18 - Comparação entre um poste de duplo circuito e um poste de linhas compactas e

respectivas dimensões..........................................................................................................................55

Figura 4.19 - Representação de três configurações de linha analisadas, vistas do poste (z=0)..........56

Figura 4.20 – Diagrama vectorial das correntes das fases consoante a geometria..............................57


distância em x (y=1.8m, z=150m e x Є [-50m; 50m]) para as diversas geometrias analisadas............57

Figura 4.22 - Contorno da intensidade do campo de indução magnética B medida a meio vão,

(z=150m), para as linhas compactas.....................................................................................................59


distância em x (y=1.8m, z=150m e x Є [-50m; 50m]) para o duplo circuito e linhas compactas...........60


distância em x (y=1.8m, z=150m e x Є [-50m; 50m]) para o duplo circuito e linhas compactas...........61


distância em x (y=1.8m, z=150m e x Є [-50m; 50m]) para o duplo circuito, linhas compactas e circuito

simples com e sem malha.....................................................................................................................62

Figura 4.26 – Configuração das linhas compactas...............................................................................63

Figura 4.27 – Representação do grau de compactação.......................................................................63

Figura 4.28 Representação transversal da variação de campo de indução magnética B com a


simples com e sem malha.....................................................................................................................65

x

Lista de Tabelas

Tabela 1.1 – Limites de exposição ao campo magnético......................................................................13

Tabela 4.1- Características dos condutores da linha............................................................................35

Tabela 4.2 – Características dos condutores........................................................................................38

Tabela 4.3. Características de todos os condutores da linha de duplo circuito....................................41

Tabela 4.4. Amplitudes complexas das correntes nos condutores para a linha de duplo circuito........42

Tabela 4.5- Características dos condutores da malha de mitigação.....................................................46

Tabela 4.6- Amplitudes complexas da corrente de todos os condutores com e sem malha de

mitigação incluída..................................................................................................................................46

Tabela 4.7 – coordenadas dos condutores da malha de mitigação......................................................49

Tabela 4.8. Características de todos os condutores da linha compacta...............................................58

Tabela 4.9. Amplitudes complexas das correntes nos condutores para a linha compacta...................59

Tabela 4.10 Características de todos os condutores da linha compacta..............................................64

Tabela 4.11 Amplitudes complexas das correntes nos condutores para a linha compacta..................64

xi

Lista de Abreviações CEM Campo electromagnetic

ROW Right of way

12

Introdução Neste capítulo apresenta-se uma breve descrição do trabalho efectuado. Estabelecem-se os

objectivos a cumprir. É apresentada também uma breve descrição de cada capítulo.

13

1.1 Introdução

Na história da sociedade, a electricidade, desde a sua descoberta, sempre ocupou um lugar de

destaque, tendo em vista a dependência da qualidade de vida e do progresso económico das

populações. A energia eléctrica proporciona à sociedade trabalho, produtividade e desenvolvimento,

e aos seus cidadãos conforto, comodidade e bem-estar, o que torna a sociedade moderna cada vez

mais dependente do seu fornecimento e mais susceptível a falhas do sistema eléctrico. A sua

facilidade de geração, transporte, distribuição e utilização atribuem-lhe uma característica de

universalidade, sendo, tal como alimento e morada, um direito humano básico. À medida que as

necessidades de energia aumentam, aumenta também a capacidade de transporte das centrais para

os centros de consumo utilizando tensões e correntes cada vez mais elevadas nas linhas de

transmissão. Deste modo torna-se importante estudar os efeitos das linhas de transmissão de energia

à medida que o consumo e as tensões de transmissão aumentam. Neste trabalho o efeito a estudar é

o do campo magnético.

Sempre que há um fluxo de electricidade, campos eléctricos e magnéticos são criados nas

proximidades dos condutores eléctricos e dos equipamentos eléctricos. Desde o final dos anos

setenta têm sido levantadas questões relativamente ao efeito prejudicial ou não na saúde resultante

da exposição a campos electromagnéticos (CEMs) de muito baixa frequência. A partir daí muito se

pesquisou, resolvendo com sucesso importantes questões e estreitando o foco para pesquisas

futuras [1].

Baseando-se nos conhecimentos científicos actuais, a Comissão Internacional para a Protecção

contra as Radiações Não Ionizantes (ICNIRP) definiu um conjunto de limites básicos de exposição ao

campo magnético para baixas frequências, tanto para a população em geral como para os

trabalhadores que actuam junto das linhas [2].

Tabela 1.1 – Limites de exposição ao campo magnético.

Valor eficaz do campo

magnético, H em [A/m]

Valor eficaz do fluxo

magnético, B em [μT]

População em geral < 80 < 100

Trabalhadores < 400 < 500

A população geral consiste em indivíduos de todas as idades e estado de saúde variável, o que pode

englobar pessoas mais susceptíveis à exposição ao campo magnético. Grande parte desta população

desconhece a sua exposição ao campo magnético. Os trabalhadores, expostos ocasionalmente, são

adultos que conhecem as condições a que estão expostos e receberam treino apropriado de forma a

evitarem os potenciais riscos e tomarem as devidas precauções.

Os limites apresentados na tabela 1.1 baseiam-se em valores a partir dos quais os efeitos possam

ser nocivos para a saúde.

14

A maioria da rede eléctrica opera à frequência de 50 ou 60 ciclos por segundo, ou Hertz (Hz). Na

proximidade de certos equipamentos eléctricos, o valor de campo magnético pode ser da ordem de

algumas centenas de micro Tesla. Sob linhas de transmissão, os campos magnéticos podem ser da

ordem de 20μT e os campos eléctricos podem ser de alguns milhares de Volt por metro. Os campos

magnéticos médios nas casas, na frequência da rede, são muito mais baixos, cerca de 0,07μT na

Europa e 0,11μT na América do Norte [1] [3].

Por precaução, o valor máximo que se deveria adoptar é 0,2μT, mas como se pode observar na

tabela 1.1, o valor permitido por lei no nosso país é de 100μT (500 vezes mais do que o

aconselhado). Já em países como a Noruega, a Finlândia, a Suécia ou a Alemanha o limite é de

0,2μT.

Existem dois tipos de efeitos que podem ser causados pela exposição a campos magnéticos, os

efeitos a curto prazo e a longo prazo. Existem efeitos biológicos estabelecidos devido à exposição

aguda a altos níveis (bem acima de 100 µT) que são explicados por mecanismos biofísicos

reconhecidos. Campos magnéticos de muito baixa frequência externos induzem campos eléctricos e

correntes no corpo os quais causam estimulação de nervos e músculos e mudanças na excitabilidade

de células nervosas do sistema nervoso central. Estes correspondem aos efeitos a curto prazo [1].

Relativamente aos efeitos a longo prazo muita pesquisa científica foi focada na leucemia infantil não

sendo esses estudos conclusivos relativamente à causa da leucemia. Estudos epidemiológicos estão

a ser realizados um pouco por todo o mundo, e vão ser uma ferramenta chave para determinar se os

CEMs são responsáveis por efeitos na saúde. Tal como na pesquisa efectuada para os casos de

leucemia também não existe informação suficiente que permita concluir que os campos magnéticos

provenientes das linhas de transmissão possam causar cancro, anomalias reprodutivas ou de

desenvolvimento. A exposição a tais condições ainda não é suficiente para tirar conclusões mais

definitivas [1].

O efeito que o campo magnético provoca na saúde, apesar de não ser alvo de estudo neste trabalho,

é realmente a grande motivação para estudar novas soluções que permitam a sua redução.

Na literatura da especialidade são apresentadas diversas soluções para reduzir a intensidade do

campo magnético originado pelas linhas de transmissão de energia, podem-se enumerar várias:

- aumento da tensão, mantendo-se a mesma potência transferida [12];

- reconfigurar a geometria da linha [4];

- instalar uma malha de mitigação junto aos condutores de fase [4] [5] [13];

- aumento do número de fases, linhas compactas [7] [8] [9] [10].

As soluções abordadas neste trabalho incluem a reconfiguração da geometria da linha, a instalação

de uma malha de mitigação e as linhas compactas. Reconfigurar a geometria da linha não é algo

novo, e sabem-se os resultados positivos na redução do campo magnético. Relativamente à malha

de mitigação, e aproveitando o estudo desenvolvido anteriormente em [4], fez-se um upgrade

aumentando o número de condutores da malha. As linhas compactas, são algo de novo e não muito

15

estudado em Portugal, o que constituiu o verdadeiro desafio deste trabalho.

1.2 Descrição dos capítulos

Este trabalho é constituído por três capítulos essenciais. Começa-se por deduzir as equações de

propagação da linha de transmissão, referindo o método usado no cálculo da matriz de impedâncias

longitudinais da linha, apresenta-se o método utilizado no cálculo do campo magnético e finalmente

mostram-se os resultados de simulação obtidos nos estudos realizados. Estes resultados são obtidos

utilizando um programa elaborado em Matlab para diferentes configurações de linha, utilizando malha

de mitigação e para linha compacta.

No capítulo 2 é realizada a primeira abordagem à linha de transmissão, onde são deduzidas as

equações de propagação da linha. Calculam-se a matriz dos coeficientes de indução da linha ideal,

Le, a matriz de correcções devidas ao efeito pelicular nos condutores aéreos, ∆Zc, e a matriz de

correcções devidas ao efeito pelicular na terra, ∆Zt. A partir da soma destas três matrizes obtém-se a

matriz das impedâncias longitudinais, Z. Descreve-se o método empírico de Dubanton no cálculo da

matriz de correcções devidas ao efeito pelicular na terra. É ainda apresentada a geometria da

catenária e qual a sua influência no cálculo da matriz das impedâncias longitudinais.

O capítulo 3 diz respeito ao método utilizado para calcular o campo de indução magnética. Para tal é

necessário conhecer todas as correntes do sistema em causa. O cálculo das correntes faz-se através

da matriz das impedâncias longitudinais, utilizando como exemplo uma linha em esteira com n

condutores de malha de mitigação. Começa por obter-se a corrente dos condutores da malha de

mitigação, seguida da corrente nos cabos de guarda e posteriormente a corrente nas fases. Obtidas

as correntes do sistema é calculado o campo de indução magnética, B, num ponto genérico, como o

somatório das contribuições de todos os condutores da linha.

No capítulo 4 são apresentados os resultados de simulação obtidos para as várias soluções

estudadas. Analisam-se circuitos simples, duplo e ainda linhas compactas. No caso do circuito

simples estuda-se a influência das várias geometrias e da utilização de malha de mitigação, em curto-

circuito, com n condutores, nos valores do campo de indução magnética.

16

Equações da Linha de

Transmissão

Neste capítulo faz-se uma primeira abordagem à linha de transmissão, onde são deduzidas as

equações de propagação da linha. A partir da linha sem perdas calculam-se os coeficientes de

potencial de modo a serem calculados, posteriormente, os parâmetros da matriz dos coeficientes de

indução externos. Obtém-se a matriz das impedâncias longitudinais a partir da matriz dos coeficientes

de indução externos e das matrizes de correcções devido ao efeito pelicular nos condutores e na

terra.

Apresenta-se a expressão para a geometria da catenária, que traduz a variação da altura da linha ao

longo de um vão.

17

2.1 Linha sem perdas

2.1.1 Introdução

A linha de transmissão sem perdas é constituída por um sistema de condutores metálicos perfeitos,

dispostos sobre a superfície da terra, suposta plana e condutora perfeita. O meio dieléctrico que

envolve os condutores metálicos é o ar.

Na figura 2.1 representa-se a linha de transmissão, constituída por um sistema de n condutores de

raio rk (k=1, ..., n):

Figura 2.1 Linha multifilar na presença da terra.

Para estabelecer as equações de propagação da linha considera-se um troço de um dos condutores,

condutor k, compreendido entre as abcissas z e z+∆z, figura 2.2.

Figura 2.2 Representação da Lei da indução.

Da equação da continuidade:

(2.1)

e aplicando o teorema de Gauss à superfície cilíndrica fechada ilustrada na figura 2.2 obtém-se:

(2.2)

18

onde ne é a normal exterior à superfície S1, resulta:

(2.3)

Fazendo ∆z tender para zero a equação anterior toma a forma:

(2.4)

Aplicando a lei geral da indução ao caminho indicado na figura 2.2:

(2.5)

Fazendo a circulação do campo eléctrico ao longo do caminho , tendo S1 uma superfície que se

apoia no caminho de circulação e a normal de stokes obtém-se a seguinte equação:

(2.6)

Sendo:

(2.7)

Substituindo em (2.6) e dividindo por ∆z, tem-se:

(2.8)

Fazendo ∆z tender para zero a equação anterior escreve-se na forma:

(2.9)

As equações (2.4) e (2.9) podem ser escritas na forma matricial:

(2.10)

Sendo v e i os vectores das tensões e das correntes, respectivamente. As matrizes Le e C de

dimensões nxn correspondem às matrizes dos coeficientes de indução externos e de capacidade,

respectivamente.

Derivando a primeira equação de (2.10) em ordem a z e a segunda em ordem ao tempo obtém-se:

(2.11)

O produto das matrizes Le e C é uma matriz diagonal,

em que é a matriz identidade

19

e c a velocidade da luz. Para a linha ideal tem-se

sendo S denominada matriz

dos coeficientes de potencial.

Tendo-se a matriz S dos coeficientes de potencial inverte-se a matriz de forma a obter-se a matriz C

dos coeficientes de capacidade.

Através da matriz dos coeficientes de capacidade é possível obter-se a matriz dos coeficientes de

auto-indução externos, Le. Sabendo que o produto entre LeC é independente da geometria da secção

transversal da linha e depende apenas das propriedades do meio dieléctrico [11]:

(2.12)

A partir de (2.14) é possível obter a matriz dos coeficientes de indução externos:

(2.13)

No domínio da frequência as equações da linha são:

(2.14)

Em que,

(2.15)

20

2.1.2 Cálculo dos coeficientes de indução externos

Como referido na secção anterior os coeficientes de indução externos podem ser determinados a

partir dos coeficientes de potencial.

Tendo em conta que o raio dos condutores da linha multifilar é muito menor que a distância entre

condutores e muito menor que a distância à superfície da terra então é válida a aproximação de

condutores finos, ou seja, o sistema pode ser analisado como um sistema de n filamentos de carga,

colocados nos eixos dos condutores reais [11]. Para calcular o potencial num ponto genérico recorre-

se ao método das imagens, ou seja, considera-se o sistema constituído pelas cargas filiformes qi (i=1,

On) e as suas imagens com carga simétrica –qi, tal como se ilustra na figura 2.3.

Figura 2.3 Linha de transmissão multifilar. Parâmetros geométricos.

Na figura 2.3 está representado o método das imagens, onde cada carga filiforme e a respectiva

imagem formam um par simétrico.

O coeficiente de potencial próprio do condutor i, coeficiente que relaciona o potencial no condutor i

originado pela carga qi e a sua imagem –qi é dado por:

(2.16)

sendo ε0 a constante dieléctrica do ar, ri o raio do condutor cilíndrico e hi a distância do condutor à

superfície da terra.

Nesta análise considera-se que no plano da terra o potencial é zero.

21

O coeficiente de potencial mútuo entre o condutor k e o i relaciona o potencial no condutor k devido à

carga no condutor i e sua imagem:

onde Dki é a distância entre a imagem do condutor i e o condutor k e dki é a distância entre os

condutores k e i, ver figura 2.3.

sendo hi e hk as distâncias à terra e xi e xk a posição dos condutores i e k, respectivamente.

2.2 Linha com perdas

2.2.1 Introdução

Sendo os condutores metálicos e a terra imperfeitos, ou seja tendo condutividade finita, o campo

electromagnético penetra no seu interior, efeito pelicular, o que origina quedas de tensão

longitudinais.

A equação de propagação (2.8) deixa de ser válida, mas para uma determinada gama de valores de

frequência pode-se desprezar a componente longitudinal da corrente de deslocamento face à

corrente de condução. Pode-se utilizar então a mesma equação acrescentando-se apenas os termos

correctivos, que traduzem a penetração do campo electromagnético nos condutores, no cálculo dos

parâmetros da linha.

A matriz das impedâncias longitudinais é considerada como a soma de três parcelas [4] [5]:

(2.17)

Onde Le representa a matriz dos coeficientes de indução externos, a matriz de correcção devido

ao efeito pelicular nos condutores aéreos e a matriz de correcção devido ao efeito pelicular na

terra.

22

A matriz é diagonal, pois despreza-se o efeito de proximidade entre os condutores, e depende da

frequência. Calcula-se recorrendo a funções de Bessel mas para baixas frequências, como é o caso,

os seus elementos determinam-se de forma aproximada através da relação:

(2.18)

A matriz é uma matriz cheia, dependente da frequência e os seus elementos podem ser

determinados através do método de Dubanton (ou método do plano complexo). Este método,

empírico, determina a matriz aplicando o método das imagens a um plano fictício

colocado à distância complexa do plano da terra real. O autor relaciona esta distância com a

profundidade de penetração δ,

(2.19)

sendo µ a permeabilidade magnética, σ a condutividade e ω a frequência.

(2.20)

Sendo :

(2.21)

(2.22)

Através de (2.18) conclui-se que a profundidade de penetração do campo electromagnético num meio

bom condutor é inversamente proporcional à frequência, daí designar-se efeito pelicular.

23

Figura 2.4 – Representação do Método de Dubanton

Assim como no caso da linha sem perdas, no cálculo dos parâmetros da matriz dos coeficientes de

indução, também os parâmetros da matriz são calculados tendo como base o método das

imagens. Neste caso a diferença é que o método é aplicado a uma superfície fictícia deslocada de

da superfície real da terra.

2.2.2 Geometria da Catenária

Os condutores da linha não estão em todos os pontos à mesma altura, descrevem periodicamente

uma catenária. O efeito da catenária é significativo na amplitude do campo magnético. A contribuição

da catenária torna-se especialmente significativa para valores de flecha superiores a 10% da altura

do condutor no poste [4].

Ao longo de um vão (distância entre dois postes), de comprimento l, a distância dos condutores da

linha ao solo varia com z. A forma exacta de um condutor suspenso entre dois postes com a mesma

altura pode ser descrita através da seguinte relação:

(2.23)

sendo hmax a altura máxima no poste, f a flecha, hmin altura mínima (meio vão) e zi a coordenada ao

longo de z.

24

Figura 2.5 – Variação da altura ao longo de um vão. Parâmetros da catenária.

Tendo em conta a catenária, é necessário calcular a matriz de impedâncias longitudinais Z não

esquecendo a variação da altura ao longo da coordenada z. A altura de cada condutor ao longo de z

é dada por (2.23) em que os dois postes que delimitam o vão estão colocados em e , com

(2.24)

A matriz de correcções devidas ao efeito pelicular nos condutores, ∆Zc, vai ser influenciada devido à

flecha, o que vai determinar um novo comprimento dos condutores :

′ (2.25)

onde é o número de vãos em estudo.

25

Cálculo do Campo Magnético Neste capítulo é descrita a metodologia de cálculo do campo magnético adoptada na realização do

programa.

Para se calcular o campo magnético é necessário conhecer todas as correntes do sistema. Este

capítulo refere também o método para o cálculo das correntes, visando a existência de fases

geminadas, malha de mitigação e cabos de guarda.

Apresenta-se também uma explicação do método de optimização utilizado caso exista malha de

mitigação.

26

3.1 Cálculo do campo magnético

3.1.1 Introdução

O cálculo do campo magnético conduz-nos até à Lei de Ampére que nos diz que, uma corrente Ik no

ponto (xk, yk) origina um campo magnético no ponto P (xP, yP) com uma intensidade:

(3.1)

sendo rkp a distância entre o condutor k e o ponto de observação P.

Pode-se então dizer que o campo magnético originado por uma linha de transmissão de energia se

relaciona com a corrente eléctrica nos condutores. O vector tem direcção perpendicular a

como se observa na figura 3.1. O módulo do vector do campo magnético , varia no tempo

sinusoidalmente de acordo com a corrente Ik.

Figura 3.1 – Representação da Lei de Ampére.

Como o sistema em estudo está em regime alternado sinusoidal as grandezas podem caracterizar-se

no domínio da frequência. Assim o cálculo do campo magnético requer a determinação das

amplitudes complexas das correntes de todos os condutores do sistema, tais como cabos de guarda,

condutores que constituem a malha de mitigação, no caso desta existir, bem como é necessário

determinar a repartição de correntes pelos subcondutores de cada fase.

A amplitude complexa do campo de indução magnética é o somatório das contribuições de todos

os condutores:

(3.2)

onde corresponde às fases, aos cabos de guarda e à malha de mitigação.

27

O campo magnético no ponto P, de coordenadas (xP, yP), devido às correntes nos condutores k e k’

(imagem de k), figura 3.2 é dado por:

′ (3.3)

Figura 3.2 - Especificação das coordenadas necessárias ao método de cálculo do campo magnético

originado pele condutor k no ponto P.

Onde,

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Admitindo as correntes axiais, ou seja, apenas com componente segundo z (desprezo da corrente de

deslocamento) então o campo é puramente transversal e,

′′

′ (3.7)

ou seja,

(3.8)

Para nc condutores o valor eficaz do campo é dado por:

(3.9)

28

O campo de indução magnética é obtido através da equação de constituição do meio,

(3.10)

3.1.2 Cálculo das correntes do sistema

Na figura 3.3 apresenta-se um sistema genérico constituído por uma linha em esteira com condutores

de fase geminados, cabos de guarda e com malha de mitigação:

Figura 3.3 – Geometria de uma linha de 400kV em esteira, com malha de mitigação.

Tendo em conta a equação da linha, no domínio da frequência, primeira equação de (2.14), em que V

é o vector das tensões e I o vector das correntes caracterizados por:

(3.11)

Onde os índices f, g e m estão relacionados com os condutores de fase, os cabos de guarda e a

malha de mitigação, respectivamente.

A corrente total em cada uma das fases é especificada, enquanto a sua repartição pelos condutores

do feixe, bem como as correntes nos cabos de guarda e nos condutores de mitigação são

determinados posteriormente. De notar que a corrente não se reparte uniformemente quer pelos

condutores do feixe ( !), quer pelos cabos de guarda (ou seja ), quer pelos condutores

de mitigação porque o fluxo magnético que abraça cada um dos condutores é diferente.

Na figura 3.4 está representada a malha de mitigação, que se considerou de comprimento , sendo

este um múltiplo do vão da linha.

29

"

"

"

"

Figura 3.4 – Representação geométrica da malha de mitigação.

Integrando (2.14) entre e , obtém-se:

′ (3.12)

onde, # é a matriz de impedâncias por unidade de comprimento e é o vector das amplitudes

complexas das correntes definidas em (3.11).

A matriz de impedâncias é calculada dividindo a linha em análise num número elevado de

pequenos troços de comprimento [4] [5]. Deste modo, estando cada vão dividido em $ troços a

matriz é determinada por:

′% (3.13)

Onde, corresponde ao número de vãos em estudo e com $.

A matriz Z que corresponde à matriz de impedâncias longitudinais da linha pode ser definida como:

(3.14)

Para o caso da figura 3.3 e desdobrando as sub-matrizes das tensões e correntes fica-se com os

elementos relativos aos subcondutores de fase:

!

! &

&

!&

"

30

!

! &

&

!&

"

A equação (3.12) pode-se escrever da seguinte forma:

'

(

)

(3.15)

Sabendo que os subcondutores de cada fase estão ligados um ao outro e que os cabos de guarda

estão ligados à terra (desprezando a resistência do poste) pode-se afirmar que:

!

!

(3.16)

!

Em relação à queda de tensão na malha de mitigação, observando a figura 3.4, pode-se dizer que:

"

" (3.17)

"

Tendo em conta todas as considerações anteriores já se podem calcular as correntes do sistema:

(3.18)

Para determinar as correntes na malha pode-se recorrer a matrizes auxiliares. Essas matrizes são:

(3.19)

(3.20)

A matriz D de dimensão ((nm-1)xnm) permite transformar o vector de tensões da malha num vector de

zeros, ou seja D∆V=0. A matriz E de dimensão (nmx(nm-1)) traduz a aplicação da lei dos nós,

Im=E[Im2.... Imm]T.

31

De (3.15) tira-se:

(3.21)

Multiplicando ambos os membros da equação (3.21) pela matriz D e substituindo Ig de (3.21) por

(3.18), obtém-se:

(3.22)

Onde:

(3.23)

(3.24)

Sabendo que:

(3.25)

Substituindo em (3.25) as equações (3.18) e (3.22) fica-se com:

(3.26)

Multiplicando ambos os membros de (3.26) pela matriz auxiliar:

de dimensão (3x6), sendo três o número de fases e seis o número de fases geminadas.

Obtém-se,

(3.27)

onde,

32

O vector de correntes de (3.27), tendo em conta a 4ª equação de (3.16), pode decompor-se em:

(3.28)

Recorrendo à matriz auxiliar (3.29),

(3.29)

de dimensão (6x3), pode-se decompor um dos vectores de (3.28) em:

(3.30)

Substituindo (3.30) em (3.28) e depois em (3.27) obtém-se:

(3.31)

Utilizando os valores obtidos em (3.31) na equação (3.28) obtêm-se todas as correntes nos

subcondutores do feixe. Em seguida calculam-se os vectores e depois (.

33

3.1.3 Algoritmo de Optimização

Sabendo como calcular o campo magnético e as correntes do sistema elaborou-se um programa em

Matlab, utilizando a função fminimax, para minimizar o valor eficaz do campo de indução magnética

no ponto x=0, y=1.8m e z=150m. A função objectivo definida, tem como incógnitas os vectores xm e

ym as coordenadas dos centros dos condutores de mitigação.

A função utilizada, fminimax, é um método quasi-Newton de minimização/maximização baseado num

algoritmo de Powell para optimização não-linear [6]. A optimização recorrendo à função fminimax,

baseia-se na análise do gradiente da função objectivo. É definido um domínio limitado em x e y onde

a solução é procurada. Fornece-se um ponto de partida e analisando o gradiente a função descobre

para que ponto se deve dirigir para proceder a uma nova análise, e assim sucessivamente até que se

encontre o valor mínimo para a função objectivo.

Tendo como base a linha de circuito simples em esteira, onde o perfil de potencial é praticamente

simétrico relativamente a y, [4] [5], e desejando manter o perfil com a mesma forma impôs-se simetria

na disposição dos condutores de malha. Assim, reduziu-se o número de incógnitas do problema.

Logo se o número nm de condutores de malha for par os vectores xm e ym das incógnitas terão

dimensão *. Se nm for ímpar o vector xm terá dimensão * , pois o condutor central será colocado

em x=0, e o vector ym terá dimensão * .

Quanto a restrições impostas, neste caso há apenas uma, a não sobreposição dos condutores de

malha de mitigação, ou seja +

+

sendo (xi, yi) e (xj, yj) as coordenadasdos

centros dos condutores de mitigação i e j.

Relativamente ao domínio de procura de soluções, os limites em y foram definidos de forma a que os

condutores de malha não estivessem muito próximos dos condutores de fase da linha, nem muito

próximos da superfície da terra. Em x os limites definiram-se tendo em consideração o corredor da

linha (ROW), ou seja, o condutor não deve aumentar muito o corredor já definido pelas fases da linha.

34

Resultados de simulação Neste capítulo apresentam-se os resultados obtidos nos diversos estudos realizados. Estudou-se a

influência da configuração geométrica dos condutores da linha e de sequência de fases no valor

eficaz do campo de indução magnética. Analisaram-se diversas soluções para a mitigação do campo,

nomeadamente malha de mitigação, linhas compactas e linhas hexafásicas.

35

4.1 Linha de circuito simples em esteira – Caso base

Na figura 4.1 apresenta-se uma configuração típica de uma linha de 400 kV. A linha é uma linha

trifásica em esteira com dois condutores por fase e dois cabos de guarda.

Figura 4.1 – Geometria de uma linha em esteira de 400 kV, vista no poste (z=0).

Na tabela 4.1 apresentam-se as características dos condutores. Nos estudos realizados considerou-

se um vão de 300m e uma resistividade para o solo de ρ=100Ωm. A corrente nas fases é trifásica

simétrica, em sequência directa, com frequência igual a 50Hz e 2kA de valor eficaz.

Tabela 4.1- Características dos condutores da linha.

Condutor

Diâmetro (mm)

Coordenada X no poste (m)

Coordenada Y no poste (m)

Flecha (m)

Resistência Linear a 50˚C

(mΩ/km) R - a 31.8 -12.2 26 12 57.3 R - b 31.8 -11.8 26 12 57.3 S - a 31.8 -0.2 26 12 57.3 S - b 31.8 0.2 26 12 57.3 T - a 31.8 11.8 26 12 57.3 T - b 31.8 12.2 26 12 57.3 G1 14.6 -8 36 9 372 G2 14.6 8 36 9 372

Os resultados obtidos com esta configuração foram usados neste capítulo como termo de

comparação nos vários estudos realizados.

Vai-se verificar o que acontece no caso de a linha ser não uniforme, ou seja, descrever uma

catenária. Neste caso utiliza-se a equação (2.22) para calcular a altura dos condutores ao longo da

catenária e obtém-se o valor do campo e indução magnética para xp=0m e yp=1.8m:

36

Na literatura é normalmente feita uma abordagem mais simples, utilizando a altura média dos

condutores para calcular o campo magnético. O valor obtido para o campo magnético tem em conta a

linha com altura média, que para um condutor k define-se por:

(4.1)

Utilizando os valores da tabela 4.1 obtêm-se as alturas médias dos condutores de fase ,-,

e para os cabos de guarda . /0 ,. Assim o valor da intensidade do campo magnético para

xp=0m e yp=1.8m é:

O que corresponde a um campo de indução magnética de:

Na figura 4.2 apresentam-se os dois perfis da variação do campo de indução magnética, B, com a

altura média e descrevendo uma catenária. O perfil de B quando descreve uma catenária foi obtido a

meio vão, ou seja, z=150m.


com a distância em x (x Є [-50m; 50m]) para y=1.8m e z=150m.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

X [m]

B [µ

T]

caso base

altura média

37

Como se pode observar na figura 4.2 o valor eficaz do campo de indução magnética para a linha

considerando a altura média é inferior ao calculado para uma linha não uniforme. A utilização da

altura média no cálculo do campo é uma abordagem simplista e faz uma estimativa por defeito do

valor do mesmo.

4.2 Influência da geometria

A intensidade do campo magnético na vizinhança da linha depende da geometria da própria linha. A

forma como os condutores estão dispostos determina a distribuição das correntes, o que vai

influenciar o campo magnético.

As configurações que vão ser analisadas são em esteira vertical, em triângulo e em triângulo

invertido.

Figura 4.3 - Representação das três configurações de linha analisadas, vistas do poste (z=0). (a)

linha na vertical, (b) linha em triângulo e (c) linha em triângulo invertido.

Considerando as características diâmetro e resistência linear a 50ºC as mesmas presentes na tabela

4.1, apresentam-se na tabela 4.2 as características que diferenciam as geometrias da figura 4.3.

38

Tabela 4.2 – Características dos condutores.

Vertical Triângulo Triângulo invertido

Condutor Coordenada X no poste

(m)

Coordenada Y no poste

(m)

Coordenada X no poste

(m)


(m)


(m)


(m)

Flecha (m)

R - a -0.2 50 -0.2 36.4 -0.2 26 8 R - b 0.2 50 0.2 36.4 0.2 26 8 S - a -0.2 38 -7.7 26 -7.7 36.4 8 S - b 0.2 38 -7.3 26 -7.3 36.4 8 T - a -0.2 26 7.3 26 7.3 36.4 8 T - b 0.2 26 7.7 26 7.7 36.4 8

G 0 60 0 46.4 0 46.4 5

Tomando o mesmo ponto de observação do campo (x=0m, y=1.8m e z=150m) os valores do campo

de indução magnética obtidos para as diferentes geometrias da linha são:

â

â

Comparando os valores obtidos com o caso base, linha em esteira horizontal, nota-se que o campo

reduz o seu valor consideravelmente, sendo o valor de campo mais elevado na linha em esteira e o

valor mais reduzido na geometria de triângulo invertido. Este facto deve-se às distâncias ao solo de

cada condutor, na geometria em esteira, serem iguais. Na figura 4.4 pode-se verificar essa redução.

39



analisadas.

Através da figura 4.4 tem-se rapidamente a percepção de que as melhores soluções são as de

geometria vertical e a de triângulo invertido, sendo esta última a que apresenta um valor mais

reduzido do campo de indução magnética. A redução é mais acentuada no centro da linha.

Neste caso o triângulo invertido apresenta ser a melhor solução no caso de se alterar a geometria do

circuito simples em esteira, mas só com estas coordenadas, ou seja, considerando que o vértice mais

baixo do triângulo está à mesma altura de todas as fases do caso base. Mas se o ponto médio do

triângulo corresponder à altura das fases do caso base o resultado não é o mesmo, como se pode

observar na figura 4.5.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

X [m]

B [µ

T]

caso base

vertical

triângulo

triângulo invertido

40



analisadas alterando o ponto médio.

Como se pode observar na figura 4.5 alterando o ponto médio do triângulo os resultados não

satisfazem o objectivo de reduzir o campo de indução magnética. Tal facto pode ser explicado devido

à existência de condutores a uma altura mais próxima do solo, o que faz com que o campo de

indução magnética seja mais elevado.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

X [m]

B [µ

T]

caso base

vertical

triângulo

triângulo invertido

41

4.3 Duplo circuito

Figura 4.6 – Configuração geométrica de uma linha de duplo circuito de 400 kV.

Tal como feito anteriormente, apresentam-se na tabela 4.3 as características dos condutores. Os

valores do vão e da resistividade do solo mantiveram-se.

Tabela 4.3. Características de todos os condutores da linha de duplo circuito.

Circuito Condutor Diâmetro (mm)



(m)

Flecha (m) Resistência Linear a

50˚C (mΩ/km)

1 R – a 31.8 -8.2 37.5 8 57.3 1 R – b 31.8 -7.8 37.5 8 57.3 1 S – a 31.8 -7.7 30 8 57.3 1 S – b 31.8 -7.3 30 8 57.3 1 T – a 31.8 -7.7 45 8 57.3 1 T – b 31.8 -7.3 45 8 57.3 2 R – a 31.8 8.2 37.5 8 57.3 2 R – b 31.8 7.8 37.5 8 57.3 2 S – a 31.8 7.7 45 8 57.3 2 S – b 31.8 7.3 45 8 57.3 2 T – a 31.8 7.7 30 8 57.3 2 T – b 31.8 7.3 30 8 57.3 G1 14.6 -6 52.5 5 372 G2 14.6 6 52.5 5 372

Apresentam-se de seguida as amplitudes complexas das correntes dos condutores para a

configuração de duplo circuito.

42

Tabela 4.4. Amplitudes complexas das correntes nos condutores para a linha de duplo circuito.

Circuito Condutor Amplitude complexa da corrente sem malha de mitigação 1 R – a 1000.1 + 0.1i 1 R – b 999.9 - 0.1i 1 S – a -501.6 - 863.1i 1 S – b -498.4 – 869i 1 T – a -500 + 862.8i 1 T – b -500 + 869.2i 2 R – a 1000.2 + 0.0i 2 R – b 999.8 - 0.0i 2 S – a -501.4 - 863.2i 2 S – b -498.6 - 868.9i 2 T – a -499.8 + 862.7i 2 T – b -500.2 + 869.3i G1 58.7 - 52.4i G2 -31.9 + 64.3i

O valor de campo obtido para esta configuração da linha e no mesmo ponto de observação (x=0m,

y=1.8m e z=150m) é:

É possível verificar de imediato que o valor do campo em duplo circuito é muito menor que em circuito

simples em esteira, onde o valor do campo no mesmo ponto de observação é . Com o duplo

circuito obtêm-se valores 4 vezes menores comparando com o circuito simples em esteira. Este facto

deve-se à sequência de fases usada em cada um dos circuitos. Trocando duas fases num circuito

relativamente ao outro consegue-se reduzir o campo na vizinhança da linha.


distância em x (y=1.8, z=150 e x Є [-50m; 50m]) para duplo circuito e caso base.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

X [m]

B [µ

T]

duplo circuito

caso base

43

Na figura 4.8 apresenta-se uma comparação entre o caso base, o duplo circuito e o duplo circuito

com a mesma sequência de fase em ambos os circuitos.

Figura 4.8 – Representação transversal da variação do valor eficaz do campo de indução magnética

com a distância em x (x Є [-50m; 50m]) com y=1.8m e z=150 para caso base, duplo circuito e duplo

circuito com a mesma sequência de fases.

Como se pode observar na figura 4.8 o perfil do campo considerando a mesma sequência de fases

em ambos os circuitos aumenta praticamente para o dobro. Pode-se notar que a sequência de fases

correcta tem um efeito positivo na redução do campo de indução magnética.

Na figura 4.9 apresenta-se uma comparação entre o duplo circuito com as fases a transmitir a mesma

potência e só um dos circuitos a funcionar.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

X [m]

B [µ

T]

duplo circuito

mesma sequência

caso base

44


distância em x (y=1.8, z=150 e x Є [-50m; 50m]) para duplo circuito e só o circuito esquerdo do duplo

circuito.

Pode-se observar que tendo apenas um dos circuitos a operar, neste caso escolheu-se o circuito

esquerdo, o valor do campo aumenta e o máximo está deslocado para o lado do circuito que está a

funcionar.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

1

2

3

4

5

6

7

8Duplo circuito VS Duplo circuito só c/ um circuito a funcionar

X [m]

B [µ

T]

Duplo circuito

só circuito esquerdo

45

Figura 4.10 – Curvas de nível de Bef medido a meio vão, (z=150m), para a linha de duplo circuito.

Na figura 4.10 estão representadas curvas de nível do campo de indução magnética medida a meio

vão. Apenas se representam as curvas correspondentes a 100μT, 20μT e 1μT. A curva interior, ou

seja, de cor magenta, corresponde a 100μT, isto é, o limite de referência para o campo de indução

magnética a 50Hz, para a exposição do público em geral [2].

1

1

1

1

1

1

1

1

20

20

20

20

100100

X [m]

Y [

m]

-60 -40 -20 0 20 40 60

-20

0

20

40

60

80

46

4.4 Influência da malha de mitigação

No estudo que se segue introduziu-se a malha de mitigação para verificar o seu efeito no campo. Na

figura 4.11 representa-se a linha em esteira do caso base com e sem malha de mitigação.

Figura 4.11 - Representação da linha de 400 kV em esteira com malha de mitigação.

Tabela 4.5- Características dos condutores da malha de mitigação.

Condutor Diâmetro (mm)


Coordenada Y no poste (m)

Flecha (m)

Resistência Linear a 50˚C

(mΩ/km) m1 22.4 -12 16 9 131 m2 22.4 12 16 9 131

Apresentam-se na tabela 4.6 as amplitudes complexas das correntes de todos os condutores

representados na figura 4.11 e cujas características já foram apresentadas.

Tabela 4.6- Amplitudes complexas da corrente de todos os condutores com e sem malha de

mitigação incluída.

Condutor Amplitude complexa da corrente sem malha de mitigação

Amplitude complexa da corrente com malha de mitigação em CC

R – a 994.3 – j5.6 994.8 – j5.6 R – b 1005.7 + j5.6 1005.2 + j5.6 S – a -515.1 – j861.6 -513.6 – j861.7 S – b -484.9 – j870.4 -486.4 – j870.4 T – a -502 + j873.8 -501.5 + j873.7 T – b -498 + j858.3 -498.5 + j858.3 G1 -104.3 + j7 -97+ j9.5 G2 108.1 + j31.9 100.7 + j29.3 m1 0 -232.5 + j65.5 m2 0 232.5 - j65.5

47

O valor do campo de indução magnética no ponto de observação (x=0, y=1.8, z=150) com malha em

curto-circuito é:

Verifica-se que com a presença de malha de mitigação o valor do campo diminui consideravelmente,

uma redução de cerca de 17% para o mesmo ponto em análise. Tal pode ser verificado na figura

4.12.


distância em x (y=1.8, z=150m e x Є [-50m; 50m]).

Observando a figura 4.12 nota-se claramente uma redução do valor do campo magnético, em todos

os pontos, utilizando a malha de mitigação em curto-circuito. Relativamente à curva que utiliza malha

de mitigação verifica-se uma redução um pouco mais eficaz no condutor colocado em x = -12m.

Como se pode observar a utilização de uma malha de mitigação, dentro dos limites do corredor da

linha, é uma solução para reduzir o valor do campo magnético.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

X [m]

B [µ

T]

com malha em CC

sem malha

48

4.5 Influência do número de condutores da malha de

mitigação

O aumento do número de condutores da malha de mitigação vai reduzir o valor do campo magnético.

Realizaram-se diversas experiências variando o número de condutores, de 2 condutores de malha a

6 condutores, e utilizou-se o algoritmo de optimização, descrito no capítulo 3, para determinar a

localização desses condutores utilizando a função fminimax para minimizar o campo de indução

magnética e impondo como domínio de busca de solução os intervalos inferior e superior dados por:

lb=[0.02 12];

ub=[13 21];

Os limites inferiores estão representados no vector lb e os superiores no vector ub, em que a primeira

posição de cada vector refere-se à coordenada x e a segunda posição à coordenada y. O limite

inferior da coordenada x foi escolhido considerando a existência de um condutor centrado x=0, se o

número de condutores é impar, e tendo em conta que a distância entre dois condutores, de modo a

respeitarem a restrição imposta, é o diâmetro dos condutores, ou seja 22.4mm, e o limite superior

escolheu-se tendo em conta a posição das fases mais afastadas do poste. Em relação aos limites da

coordenada y dependem da flecha dos condutores das fases, de modo a que as linhas não se

toquem nem se cruzem, evitando também que fiquem muito próximos do solo. A flecha considerada

para os condutores de malha é 9m.

Na figura 4.13 estão representadas algumas das localizações obtidas variando o número de

condutores de malha. As coordenadas onde se encontram os condutores de malha foram obtidas

através do programa de optimização descrito no capítulo 3.

49

Figura 4.13 - Representação geométrica da malha de mitigação num circuito em esteira, (a) com 3

condutores, (b) com 4 condutores e (c) com 6 condutores. Corte transversal em z=0.

Na tabela 4.7 apresentam-se as coordenadas obtidas para cada um dos casos analisados.

Tabela 4.7 – coordenadas dos condutores da malha de mitigação.

Nº de Condutores Coordenada x [m] Coordenada y [m]

2 -11.92 20 11.92 20

3 -12 20 0 20 12 20

4

-13 20 -9 20 9 20 13 20

5

-12 20 -6 20 0 20 6 20 12 20

6

-11.81 20 -9.76 20 -0.4 20 0.4 20

9.76 20 11.81 20

-15 -10 -5 0 5 10 15

20

25

30

35

40

45

X [m]

Y [

m]

Posição dos condutores de malha

caso base

ncm

=2

ncm

=4

ncm

=6

50

Como se pode observar através da figura 4.13 e da tabela 4.7 os condutores de malha localizam-se

maioritariamente junto aos condutores de fase mais afastados do poste e praticamente no limite

superior relativamente a y.

Na figura 4.14 representam-se os perfis de variação do valor eficaz do campo de indução magnética

e o caso base.


com a distância em x (x Є [-50m; 50m]) com y=1.8m e z=150m para diversas geometrias.

Na figura 4.14 pode-se observar a redução do valor do campo de indução magnética com o aumento

do número de condutores na malha. A preto está representada a curva sem malha de mitigação a

azul a malha é composta por 2 condutores, a verde é composta por 4 condutores e a vermelho por 6

condutores.

Relativamente à malha com 2 condutores e, comparando com a figura 4.12 pode-se observar uma

mudança na forma da curva, ou seja, já não se verificam aquelas pequenas deformações que

indicavam a presença de condutores de malha. Este facto deve-se à altura a que estão colocados os

condutores de malha, que neste caso estão colocados mais próximos dos condutores de fase o que

permite que a mitigação do campo seja feita duma forma mais suave, eliminando as pequenas

deformações.

Observando a curva a vermelho da figura 4.14 nota-se que o perfil é simétrico e ao contrário das

outras curvas a redução é apenas visível na zona central, entre -10 e 15, e não ao longo de todo o

espaço.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

Z [m]

B [µ

T]

sem malha

2 condutores

4 condutores

6 condutores

51

Na figura 4.15 estão representados os perfis da variação do campo de indução magnética ao longo

de um vão, tendo como coordenadas fixas x=0m e y=1.8m.

Figura 4.15 – Representação da variação do valor eficaz do campo de indução magnética ao longo

de um vão (x=0m, y=1.8m e z Є [0;300]) para vários condutores de malha.

Através da figura 4.15 observa-se claramente que a pior situação é a meio vão, ou seja, z=150m, tal

como seria de esperar.

Na figura 4.16 representa-se a redução do valor eficaz do campo de indução magnética relativamente

ao caso base.

0 50 100 150 200 250 3005

10

15

20

25

30

35

Z [m]

B [µ

T]

sem malha

2 condutores

4 condutores

6 condutores

52

Figura 4.16 – Percentagem de redução do campo magnético com o número de condutores da malha

de mitigação.

Através da figura 4.16 observa-se facilmente que com o aumento do número de condutores da malha

de mitigação maior é a redução do valor eficaz do campo magnético.

A redução do valor do campo magnético é o objectivo principal, mas há que ter em atenção alguns

problemas que possam surgir com um número elevado de condutores da malha. Ao aumentar o

número de condutores da malha está-se a aumentar o peso que o poste tem que suportar e,

financeiramente mais condutores significa maior investimento, ou seja, mais gastos.

Deste modo elaborou-se um estudo reduzindo o raio dos condutores da malha para metade de forma

a verificar se os valores do campo magnético sofriam alterações, e se as alterações eram

significativas.

Reduzindo o valor do raio para rmitigação=5.6mm, o que corresponde a metade do valor utilizado,

verifica-se que a percentagem de redução do campo de indução magnética é inferior relativamente

aos valores apresentados para o dobro do raio. Esta grande diferença verifica-se especialmente para

5 e 6 condutores, sendo da ordem dos 5% essa diferença. Tal pode ser verificado na figura 4.17 onde

se apresenta essa mesma comparação.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2 3 4 5 6

% d

e r

ed

uçã

o d

o C

am

po

ma

gn

éti

co [

μT

]

nº de condutores da malha de mitigação

% de redução do campo magnético com o

número de condutores da malha de mitigação

53

Figura 4.17 – Comparação entre a percentagem de redução do campo magnético variando o raio dos

condutores da malha de mitigação.

Mudando o valor do raio para metade, os condutores da malha tornam-se mais pequenos, e o peso

que estes exercem no poste também será reduzido.

Sendo a diferença da redução de aproximadamente 5% pode-se optar pelos condutores de malha

com secção menor, o que é benéfico em termos financeiros.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2 3 4 5 6

% d

e r

ed

uçã

o d

o C

am

po

ma

gn

éti

co [

μT

]

nº de condutores da malha de mitigação

Comparação entre a % de redução do campo

magnético variando o raio dos condutores de

mitigação

R=11,2mm

R=5,6mm

54

4.6 Linhas Compactas

Compactar linhas de alta tensão permite transmitir a mesma quantidade de energia que as linhas

convencionais utilizando um menor espaço. A compactação de linhas pode ser realizada de duas

formas:

- reduzindo o espaçamento entre condutores, que se consegue usando uma concepção de

linha diferente, com postes e isoladores diferentes dos usuais. Nestas linhas podem nem ser

usados cabos de guarda sendo a protecção contra as descargas atmosféricas assegurada

por descarregadores de sobretensões.

- aumentando o número de fases na linha, para 6 ou 12 fases. Nestas linhas os condutores

são geralmente dispostos com os centros sobre uma circunferência.

A utilização das linhas compactas em zonas urbanas e sub-urbanas teve como objectivos iniciais:

- Reduzir o terreno ocupado, ou seja, reduzir o corredor da linha (ROW);

- Reduzir o impacto visual, isto é, reduzir a altura do poste, a distância entre fases e a

distância de cada fase ao poste.

- Melhorar a estética do poste, tornando-o mais estreito e pequeno.

No entanto, a utilização de linhas compactas, em particular as que utilizem sistemas hexafásicos ou

dodecafásicos, permitem reduzir quer o campo eléctrico na superfície do condutor quer o campo

magnético na vizinhança da linha.

Neste trabalho abordou-se apenas a compactação por aumento do número de fases da linha, tendo-

se usado para o efeito o sistema hexafásico.

55

Figura 4.18 - Comparação entre um poste de duplo circuito e um poste de linhas compactas e

respectivas dimensões.

Através da figura 4.18 podem-se observar as diversas mudanças necessárias para um poste de

linhas compactas. Essas mudanças aqui apresentadas implicam uma redução na altura do poste para

68%, ou seja, uma redução na altura dos condutores de fase para 68% e uma redução da distância

entre fases para 31%. Estas novas dimensões vão possibilitar a redução do corredor da linha (ROW)

para 50% [7]. Estes valores não são únicos, sendo apenas uma solução apresentada na literatura.

Utilizando um circuito hexafásico em vez do habitual trifásico, as correntes encontram-se desfasadas

de 60˚ e não de 120˚ e o valor eficaz da corrente hexafásica tem que ser metade da trifásica, de

modo a que a potência transmitida seja a mesma, sendo comparável com o caso base. Estas

modificações de fase e de módulo da corrente permitem transformar um circuito trifásico num circuito

hexafásico [8].

Na figura 4.19 estão representadas algumas configurações que foram analisadas, e como se pode

observar a única coisa que se alterou foi a sequência das fases, em que:

R 0˚

S -60˚

T -120˚

U 180˚

V 120˚

W 60˚

56

Figura 4.19 - Representação de três configurações de linha analisadas, vistas do poste (z=0).

57

Na figura 4.20 estão representados diagramas vectoriais relativos às correntes que circulam nas

fases, correspondentes às configurações da figura 4.19:

Figura 4.20 – Diagrama vectorial das correntes das fases consoante a geometria.

Na figura 4.21 estão representados perfis do valor eficaz do campo de indução magnética ao longo

de x, tendo como ponto de referência y=1.8m e z=150m.


distância em x (y=1.8m, z=150m e x Є [-50m; 50m]) para as diversas geometrias analisadas.

Através da figura 4.21 pode-se observar uma grande diferença de resultados entre as várias

sequências de fase. O pior resultado, representado na figura 4.21 a vermelho, corresponde à

geometria (b), o melhor caso, onde se pode realmente observar uma redução do campo magnético

corresponde à geometria (c), e está representado a verde na figura 4.21.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

14

X [m]

B [µ

T]

(a)

(b)

(c)

58

Os valores obtidos para o campo de indução magnética no ponto de observação (x=0, y=1.8, z=150)

foram:

Como se pode observar através da figura 4.21, a geometria que obtém melhores resultados é a

geometria (c). Logo, vai ser sobre a geometria (c) que vai ser efectuado um estudo comparativo com

outras soluções.

As características dos condutores apresentadas na tabela 4.8, mais concretamente as coordenadas X

e Y no poste, estão de acordo com as modificações da figura 4.18. Estas modificações implicam:

1"2 456 4$ 0.615 4/4.$5

1"2 456 4$ 0.615 4/4.$5

Tabela 4.8. Características de todos os condutores da linha compacta



(m)


(m)

Flecha (m) Resistência Linear a 50˚C

(mΩ/km) R – a 31.8 -2.387 20.4 8 57.3 R – b 31.8 -2.263 20.4 8 57.3 S – a 31.8 2.542 25.5 8 57.3 S – b 31.8 2.418 25.5 8 57.3 T – a 31.8 -2.387 30.6 8 57.3 T – b 31.8 -2.263 30.6 8 57.3 U – a 31.8 2.387 20.4 8 57.3 U – b 31.8 2.263 20.4 8 57.3 V – a 31.8 -2.542 25.5 8 57.3 V – b 31.8 -2.418 25.5 8 57.3 W – a 31.8 2.387 30.6 8 57.3 W – b 31.8 2.263 30.6 8 57.3

G 14.6 0 35.7 5 372

As correntes obtidas tendo em conta as características da tabela 4.8 apresentam-se na tabela 4.9.

59

Tabela 4.9. Amplitudes complexas das correntes nos condutores para a linha compacta

Condutor Amplitude complexa da corrente R – a 497.2 - 2.7i R – b 502.8 + 2.7i S – a 247.8 - 431.3i S – b 252.2 - 434.7i T – a -248 - 429.6i T – b -252 - 436.4i U – a -497.2 + 2.7i U – b -502.8 - 2.7i V – a -247.8 + 431.3i V – b -252.2 + 434.7i W – a 248 + 429.6i W – b 252 + 436.4i

G -0 - 0i

Na figura 4.22 estão representadas as curvas de nível da intensidade do campo de indução

magnética medida a meio vão. Apenas se representam as curvas correspondentes a 100μT, 20μT e

1μT. A curva interior, ou seja, de cor magenta, corresponde a 100μT, isto é, o limite de referência

para o campo de indução magnética a 50Hz, para a exposição do público em geral [2].

Figura 4.22 - Contorno da intensidade do campo de indução magnética B medida a meio vão,

(z=150m), para as linhas compactas.

Na figura 4.23 apresenta-se uma comparação entre os valores do campo magnético entre o caso

base e a linha compacta.

1

1

1

1

1

1

1

20

20

20

100

100

X [m]

Y [

m]

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

60

Figura 4.23- Representação transversal da variação de campo de indução magnética B com a

distância em x (y=1.8m, z=150m e x Є [-50m; 50m]) para o duplo circuito e linhas compactas.

Observando a figura 4.23 é notoriamente perceptível que os valores do campo magnético no caso

das linhas compactas são mais reduzidos que no caso base. A redução é de aproximadamente 84%.

Na figura 4.24 faz-se a comparação entre a linha compacta e o duplo circuito. Neste caso o valor

eficaz da corrente utilizada é de 2kA de modo que a comparação seja mais realista, ou seja, ambos

os circuitos estão a fornecer a mesma potência.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

X [m]

B [µ

T]

linha compacta

caso base

61


distância em x (y=1.8m, z=150m e x Є [-50m; 50m]) para o duplo circuito e linhas compactas.

Pode-se observar que entre -5 m e 5 m o campo originado pela linha compacta é superior ao campo

obtido com o duplo circuito, enquanto no restante espaço se verifica o contrário. Em grosso modo,

nas linhas compactas obtêm-se campos mais intensos junto ao eixo da linha, pois os condutores

estão colocados mais perto do solo mas numa região mais estreita porque os condutores estão mais

próximos entre si.

Neste caso o valor de campo obtido na linha compacta e no ponto de observação anteriormente

mencionado é:

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

2

4

6

8

10

12

X [m]

B [µ

T]

linha compacta

duplo circuito

62



simples com e sem malha.

Observando a figura 4.25 verifica-se que os valores mais elevados de campo correspondem ao caso

base e que se verifica uma redução acentuada no caso da linha compacta e no duplo circuito ainda

mais.

Para proceder a uma comparação mais rigorosa dos vários casos considera-se em todos eles que a

potência transmitida é a mesma. Assim na linha compacta e no duplo circuito considerou-se o valor

eficaz da corrente igual a 1kA.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

X [m]

B [µ

T]

duplo circuito

linha compacta

ncm

=6

caso base

63

No segundo caso dispuseram-se os centros dos condutores sobre uma circunferência. Esta

configuração pode ser observada na figura 4.26.

Figura 4.26 – Configuração das linhas compactas.

Nesta nova configuração considerou-se que os condutores estão dispostos sobre uma circunferência

e a distância entre os sub-condutores do feixe manteve-se 0.4m [10]. As coordenadas das fases num

sistema hexafásico podem-se saber através do grau de compactação. O grau de compactação é a

relação entre a tensão da linha e a distância entre fases adjacentes [9].

456 4$ çã5

Sabendo que num sistema hexafásico as fases estão desfasadas de 60º, pode-se imaginar um

hexágono, onde as fases estão posicionadas nos vértices do mesmo, que se pode dividir em seis

triângulos equiláteros, onde o comprimento dos lados corresponde ao grau de compactação, figura

4.27. Deste modo conseguem-se saber as coordenadas de todas as fases.

Figura 4.27 – Representação do grau de compactação.

64

Neste caso:

Através de razões trigonométricas é possível saber as coordenadas dos condutores da linha que se

apresentam na tabela 4.10.

Tabela 4.10 Características de todos os condutores da linha compacta.



(m)


(m)

Flecha (m) Resistência Linear a 50˚C

(mΩ/km) R – a 31.8 -0.2 20.4 8 57.3 R – b 31.8 0.2 20.4 8 57.3 S – a 31.8 -6.2 23.9 8 57.3 S – b 31.8 -5.8 23.9 8 57.3 T – a 31.8 -6.2 30.8 8 57.3 T – b 31.8 -5.8 30.8 8 57.3 U – a 31.8 -0.2 34.3 8 57.3 U – b 31.8 0.2 34.3 8 57.3 V – a 31.8 5.8 30.8 8 57.3 V – b 31.8 6.2 30.8 8 57.3 W – a 31.8 5.8 23.9 8 57.3 W – b 31.8 6.2 23.9 8 57.3

G 14.6 0 40 5 372

Tabela 4.11 Amplitudes complexas das correntes nos condutores para a linha compacta.

Condutor Amplitude complexa da corrente R – a 493.387 + 9.5679i R – b 506.613 - 9.5679i S – a 250.2694 - 426.6528i S – b 249.7306 - 439.3726i T – a -256.0866 - 430.8787i T – b -243.9134 - 435.1467i U – a -506.6707 + 9.6515i U – b -493.3293 - 9.6515i V – a -249.6707 + 439.2083i V – b -250.3293 + 426.8171i W – a 244.0253 + 434.9072i W – b 255.9747 + 431.1182i

G 46.0177 + 76.6092i

Na figura 4.28 apresentam-se os perfis das diferentes configurações estudadas ao longo do trabalho.

A diferença entre a figura 4.28 e a figura 4.25 é a disposição dos condutores no caso da linha

compacta.

65

Figura 4.28 Representação transversal da variação de campo de indução magnética B com a


simples com e sem malha.

O valor do campo de indução magnética para a linha compacta com esta configuração é:

Comparando as figuras 4.25 e 4.28 é fácil perceber que a única diferença é no perfil das linhas

compactas, e que no segundo caso os valores do campo são mais elevados que no primeiro caso, a

diferença é de mais do dobro.

Esta configuração reduz o campo magnético relativamente à linha simples em esteira e utilizando seis

condutores de malha, em relação ao perfil, porque o valor máximo é superior no caso da linha

compacta, mas tal já não se verifica quanto ao duplo circuito.

Conclui-se então que a primeira configuração para a linha compacta é a melhor solução para a

redução do campo magnético.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

X [m]

B [µ

T]

duplo circuito

linha compacta

ncm

=6

caso base

66

Conclusões Este capítulo apresenta as conclusões relativamente ao estudo efectuado ao longo do trabalho. Dá-

se ênfase às melhores soluções e fazem-se comparações entre elas. Propõem-se novas soluções a

implementar.

67

Neste trabalho elaborou-se um programa de cálculo do campo magnético originado por linhas de

transmissão de energia. Este programa calcula o campo magnético originado por linhas aéreas com

diversas geometrias, permite considerar uma malha de mitigação constituída por n condutores e

permite ainda a análise de linhas compactas hexafásicas.

O programa desenvolvido permite traçar: o perfil do campo de indução magnética ao longo da

coordenada x, fixando as coordenadas y e z; o perfil ao longo de z, fixando x e y; as curvas de nível

no plano (x,y) transversal à linha.

Foram realizados diversos estudos com o objectivo de analisar a influência de vários factoresno

campo de indução magnética originado pelo sistema de condutores. Os factores analisados foram: a

geometria da linha, a existência de uma malha de mitigação e a utilização de linhas hexafásicas.

Foram feitos estudos comparativos, tendo-se usado como caso base os resultados obtidos com a

linha em esteira horizontal.

Influência da geometria da linha:

Circuito simples:

Analisaram-se quatro geometrias diferentes: esteira horizontal; esteira vertical,

triângulo e triângulo invertido.

Verificou-se que a geometria em triângulo invertido é a que conduz a um valor de

campo de indução magnética mais reduzido. No entanto, esse resultado depende

fundamentalmente do posicionamento do condutor inferior. Se este condutor estiver à

mesma altura que os condutores do circuito simples em esteira é realmente esta

configuração a que apresenta um valor de campo mais reduzido. Considerando que o

ponto médio do triângulo está à mesma altura que os condutores da linha de circuito

simples em esteira tal já não se verifica. Neste caso a configuração que apresenta

um valor mais reduzido para o campo é o caso base.

Circuito duplo:

No caso do duplo circuito existem dois factores que permitem que o valor do campo

magnético seja inferior ao do caso base. O primeiro é a posição dos condutores pois,

em ambos os circuitos os condutores estão dispostos na vertical, o que resulta num

perfil mais estreito e com valor máximo menor. O segundo factor é a existência de

duas fases trocadas num dos circuitos, o que permite reduzir o campo na vizinhança

das linhas.

Influência da malha de mitigação:

Relativamente à presença da malha de mitigação esta solução reduz o campo de indução

magnética independente do número de condutores de malha. Mas com o aumento destes,

maior é a redução verificada.

68

Utilização de linhas hexafásicas:

Na primeira solução apresentada para linhas hexafásicas existem várias conclusões que se

podem tirar. A sequência de fases da linha é uma delas, isto é, a sequência de fases usada

influencia a redução verificada. Verifica-se a existência de campos mais intensos junto ao

eixo da linha, pois os condutores estão colocados mais perto do solo mas numa região mais

estreita porque os condutores estão mais próximos entre si.

Na segunda solução, os condutores são dispostos sobre uma circunferência a redução

verificada é menor, relativamente à solução anterior, mas comparando com o caso base a

redução é elevada.

Pode-se concluir então que a primeira solução apresentada para as linhas hexafásicas é a

melhor solução para a redução do campo magnético.

Por último fez-se um estudo comparativo entre o caso base, o duplo circuito, a utilização de malha de

mitigação com seis condutores e a linha compacta.

Considerando em todas as situações a mesma potência transmitida, verificou-se que em todas as

soluções apresentadas o valor de campo magnético era inferior ao obtido no caso base. Os melhores

resultados correspondem ao duplo circuito. No entanto o duplo circuito foi criado para atender às

demandas de potência, transmitindo o dobro do circuito simples, e não para mitigar o campo

magnético. O facto de na realidade os valores de campo serem inferiores é uma benesse, mas o

duplo circuito não se pode considerar uma solução de mitigação.

Assim sendo das soluções de mitigação propostas a utilização da malha de mitigação é uma boa

solução na redução do campo magnético. Tendo em conta que independente do número de

condutores da malha o valor do campo é reduzido pode-se optar por reduzir o campo com menos

gastos, ou seja utilizando menos condutores de malha.

Em termos comparativos com as restantes soluções as linhas hexafásicas são também uma boa

solução, relativamente à linha em esteira e à utilização de malha de mitigação, sendo a primeira

solução apresentada a que evidencia uma maior redução do campo. O único senão desta opção é os

custos financeiros que advêm da adaptação do poste.

Futuramente propõe-se o estudo de um sistema dodecafásico, aumentando o número de fases para

doze, tal como o efectuado para seis.

69

Referências [1] WHO – World Health Organization. Extremely low frequency fields. Environmental Health Criteria,

Vol. 238. Geneva, World Health Organization, 2007.

[2] ICNIRP – International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection (1998). Guidelines for

limiting exposure to time varying electric, magnetic and electromagnetic fields (up to 300 GHz). Health

Physics 74(4), 494-522.

[3] Limites para a exposição humana aos campos electromagnéticos, originados por linhas e

instalações eléctricas de média, alta e muito alta tensão. Projecto de lei nº 690/X. Assembleia da

República, 17 de Março de 2009.

[4] J. F. G. Casaca, “Cálculo do campo electromagnético originado por linhas aéreas de transmissão

de energia”, Dissertação de mestrado de Eng. Electrotécnica e de Computadores, Setembro 2007.

[5] J. A. Brandão Faria e M. E. Almeida, “Accurate Calculation of Magnetic-Field Intensity due to

Overhead Power Lines with or without Mitigation Loops with or without Capacitor Compensation”,

IEEE, Jan. 2006

[6] Brayton, R.K., S.W. Director, G.D. Hachtel, and L.Vidigal, "A New Algorithm for Statistical Circuit

Design Based on Quasi-Newton Methods and Function Splitting", IEEE Trans. Circuits and Systems,

Vol. CAS-26, pp. 784-794, Sept. 1979.

[7] M. Barbarito, A. Clerici, L. Paris, P. Pelacchi, “A New Type of Compact Line for Urban and

Suburban Areas”, IEEE International Conference on Overhead Line Design and Construction: Theory

and Practice (up to 150 kV), 28-30 November 1988, London.

[8] A. A. Dahab, F. K. Amoura and W. S. Abu-Elhaija, “Comparison of Magnetic-Field Distribution of

Noncompact and Compact Parallel Transmission-Line Configurations”, IEEE Transactions on Power

Delivery, Vol. 20, No. 3, July 2005.

[9] Hanafy M. Ismail, “Magnetic field of high-phase order and compact transmission lines”, Int. J.

Energy Res. 2002; 26:45-55.

[10] Jacob Bortnik, “Transmission Line Compaction using High Phase Order Transmission”,

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[11] J. F. Borges da Silva, “Electrotecnia teórica”, IST, UTL, Lisboa, 1995.

[12] “EMF Reduction and Mitigation Research”, Maryland EMF status report, 1993.

[13] A. B. Shperling, L.Menemenlis-Hopkins, B. Fardanesh, B. Clairmont and D. Childs, “Reduction of

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Report 36-103, Paris, 1996.

70

[14] A. R. Memari and W. Janischewskyj, “Mitigation of magnetic field near power lines”, IEEE Trans.

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estratégias de mitigação do campo magnético originado por linhas aéreas de ... · um método...

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