5.3 campo magnético. soluciones.pdf

7/29/2019 5.3 Campo magntico. Soluciones.pdf

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1

Septiembre 2011. Cuestin 3A.- Dos conductores rectilneos, paralelos y de longitud infinita,separados una distancia d = 30 cm estn recorridos por corrientes elctricas de igual intensidad I = 2A.

a) Determine la intensidad del campo magntico generado por los dos conductores en el puntomedio de la lnea que los une, en el caso de que las corrientes tengan sentidos contrarios.

b) Determine el mdulo de la fuerza por unidad de longitud que se ejercen entre si estosconductores.

Datos: Permeabilidad magntica en el vaco o = 4107

N A2

.Solucin.a. Utilizando la regla de la mano derecha, se determina la direccin que tendrn los campomagnticos creados por cada conductor en el punto medio

21T BBBrrr

+=

En mdulo: { }d

I2III

2d2

I

2d2

IBBB o21

2o1o21

====+=+=

T1067,21030

1042B 6

2

7

=

=

b. Por ser las corrientes de sentido contrario, las fuerzas entre los hilos sern de repulsin, porunidad de longitud su mdulo es:

16

2

7

21o Nm1067,222

10302

104II

d2

F

=

==

l

Junio 2011. Problema 2A.- Un electrn que se mueve con velocidad v = 5103 m/s en el sentidopositivo del eje X entra en una regin del espacio donde hay un campo magntico uniforme B = 10

2 T

dirigido en el sentido positivo del eje Z.

a) Calcule la fuerza Fr que acta sobre el electrn.b) Determine el radio de la rbita circular que describir el electrn.c) Cul es la velocidad angular del electrn?d) Determine la energa del electrn antes y despus de penetrar en la regin del campo magntico.Datos: Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,6010

19

C; masa del electrn = 9,111031

kg.Solucin.a. Segn la ley de Lorentz:

( )BvqFrrr

=

jiBvqkBivqF ee

rrrrr

==

( ) ( ) ( ) j0,1,0

100

001

jji

1,0,00,0,1kir

rrr

rr

====

( ) Nj108j10105106,1F 182319rrr

==


2/33

2

b. Si el electrn describe una trayectoria circular se debe cumplir:

cFFrr

= La nica fuerza que acta sobre el electrn es la que genera el

campo magntico (FB), trabajando en mdulo:

cBFF = ;

R

vmF

2

B=

( )m1085,2

108

1051011,9

F

mvR 6

18

2331

B

2

=

==

c.s

rad1075,1

radm1085,2

sm105

R

v 9

6

3

=

==

d. El trabajo realizado por el campo magntico sobre el electrn es nulo debido a que la fuerza y eldesplazamiento son perpendiculares y por tanto la energa que tiene el electrn es debida a su velocidad

(energa cintica).

( ) J104,11051011,921vm21EE2323312ec ====

Modelo 2011. Cuestin 3A. Una carga puntual Q con velocidad kvv zr

r

= entra en una regin donde

existe un campo magntico uniforme de valor: kBjBiBB zyx

rrrr

++= . Determine:

a) La fuerza que experimenta la carga al entrar en el campo magntico.b) La expresin del campo elctrico que debera existir en la regin para que el vector velocidad de

la carga Q permanezca constante.

Solucin.

a. La expresin para la fuerza experimentada por una carga que se desplaza en un campo magntico

es:

( )BvqFr

rr

=

( )0,vB,vBqBB

00,j

BB

v0,i

BB

v0q

BBB

v00

kji

qF zxzyyxzx

z

zy

z

zyx

z =

==

rr

rrr

r

jvqBivqBF zxzy

rrr

+=

b. Si se pretende que la velocidad de la carga permanezca constante se necesita que la resultante delas fuerzas que actan sobre la carga sea nula, de modo que no exista aceleracin.

0FFR EB =+=rrr

jvqBivqBjvqBivqBFF zxzyzxzyBE

rrrrrr

=+==

Modelo 2011. Cuestin 2B.a) Cul es el mdulo de la velocidad de un electrn que se mueve en presencia de un campo

elctrico de mdulo 4 105 N/C y de un campo magntico de 2 T, ambos perpendiculares entre sy, a su vez, perpendiculares a la velocidad del electrn, para que ste no se desve?

b) Cul es el radio de la rbita descrita por el electrn cuando se suprime el campo elctrico si elmdulo de su velocidad es el calculado en el apartado anterior?

Solucin.a. Para que el electrn no se desve y mantenga su velocidad, la resultante de todas las fuerzas que

actan sobre l debe se nula.

0FFR EB =+=rrr

EB FFrr

=

En mdulo:EB FFrr

= EqsenBvq =


3/33

3

sm102

90sen2

104

senB

Ev

55

=

=

=

b. En el momento que se suprime el campo elctrico, la nica fuerza que acta sobre el electrn esla debida al campo magntico, que es perpendicular a su trayectoria y le hace describir una trayectoria

circular sometido a un movimiento circular uniforme, igualndose la fuerza debida al campo magntico

con la fuerza centrpeta a la que se ve sometido el electrn.

cB FFrr

=

En mdulo:

R

vmsenBvq

2

= m1014,190sen2106,1

104101,9

senBq

vmR 6

19

531

=

=

=

Septiembre 2010. F. M. Problema 2A.-Tres hilos conductores infinitos y paralelos pasan por losvrtices de un cuadrado de 50 cm de lado como se indica en la figura. Las tres corrientes I1, I2 e I3circulanhacia dentro del papel.

a) Si I1 = I2 = I3 =10 mA, determine el campo magntico en el vrtice A delcuadrado.

b) Si I1= 0, I2=5 mA e I3= 10 mA, determine la fuerza por unidad delongitud entre los hilos recorridos por las corrientes.

Dato: Permeabilidad magntica del vaco o = 4107 N A2

Solucin.a. El campo magntico en el punto A es la suma vectorial de los campos magnticos que crean cadauno de los hilos conductores en ese punto.

En el esquema se

adjunta la regla de la mano

derecha, las lneas de campo

magntico siguen el sentido degiro de los dedos que rodean al

hilo, conocido el sentido de

giro, se puede determinar la

direccin del campo

magntico generado por cadaconductor en el punto A.

El campo magntico

en el punto A ser la suma

vectorial de los campos que

generan cada uno de los hilos

conductores.

321A BBBBrrrr

++=

El mdulo del campo magntico generado por un hilo conductor en un punto se obtiene mediante

la Ley de Biot y Savart.

i

ioi

d2

IB

=

Para poder establecer la direccin y sentido de los vectores campo magntico, se sitan unos ejes

de coordenadas sobre el punto A y se determina el sentido de giro de las lneas de campo magntico

mediante la regla de la mano derecha

Hilo 1: j104j5,02

1010104jd2IB 9

37

1

1o1

rrrr

=

==


4/33

4

Hilo 2: Teniendo en cuenta que el campo magntico creado por el hilo es perpendicular a la

diagonal del cuadrado, el vector forma con el eje x un ngulo de 45.

( ) ( ) ( ) ( )( )j45seni45cosd2

Ij45sen

d2

Ii45cos

d2

IB

2

2o

2

2o

2

2o2

rrrrr

+

=

+

=

2

25,05,0d

222 =+=

j102i102j2

2i

2

2

222

1010104B 99

37

2

rrrrr

=

=

Hilo 3: i104i5,02

1010104i

d2

IB 9

37

3

3o3

rrrr

=

=

=

Conocido el campo generado por cada hilo conductor, se calcula el campo total en el punto A.

j106i106i104j102i102j104BBBB 999999321A

rrrrrrrrrr =++=++=

b. Las fuerzas por unidad de longitud entre los hilos conductores sern de igual direccin y mdulo,y de sentidos opuestos porque las corrientes van en el mismo sentido, por lo tanto, bastar con calcular la

fuerza por unidad de longitud en unos de los cables.BlIFrrr

=

( ) ( )( )==== 0,0,110,0,BlIiBklIBlIF 1221122rrrrr

( ) jBlI0,1,0BlI01

00,

01

10,

00

10BlI 121212

r

==

=

jd2

IIj

d2

IIj

d2

IIjBI

l

F 21o21o1o212

2rrrr

r

=

=

==

mN102j

10502

1010105104

l

F 112

3372

=

=

r

r

Septiembre 2010. F. M. Problema 1B.- En un instante determinado un electrn que se mueve con

una velocidad ( ) smi104v 4r

r

= penetra en una regin en la que existe un campo magntico de valorTj8,0B

rr

= siendo ir

y jr

los vectores unitarios en los sentidos positivos de los ejes X e Y

respectivamente. Determine:

a) El mdulo, la direccin y el sentido de la aceleracin adquirida por el electrn en ese instante,efectuando un esquema grfico en la explicacin.

b) La energa cintica del electrn y el radio de la trayectoria que describira el electrn al moverseen el campo, justificando la respuesta.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,61019 C; Masa del electrn me = 9,1103l kg

Solucin.a. La fuerza que experimenta una carga elctrica

cuando se desplaza con una velocidad v

r

dentro de unaregin donde existe un campo magntico B

r

viene dada

por la expresin:

( )BvqFrrr

=

Aplicando a los datos del enunciado

( ) ( )( ) === 0,1,00,0,1BvqjBivqF eerrr

( ) kBvq1,0,0Bvq eer

==

( ) Nk105,12Nk8,0104106,1F 15419rrr

==

Teniendo en cuenta el segundo principio de la dinmica:

amF

rr

= ; smk1063,5smk1012,5101,9

1

Fm

1

a1515

31

rrrr

===


5/33

5

b. ( ) J1028,7104101,92

1vm

2

1E 22

24312c

===

Al entrar en un campo magntico el electrn describe una trayectoria circular, tal como muestra

la figura, por lo tanto la resultante de las fuerzas que actan sobre la carga (electrn) ser igual a lafuerza centrpeta.

R

vmFF

2

c == : nm284m1084,21012,5

1028,72

F

E2

F

mvR 7

15

22c

2

==

===

Septiembre 2010. F. G. Problema 1A.- En una regin del espacio existe un campo elctrico de3105 N C1en el sentido positivo del eje OZy un campo magntico de 0,6 T en el sentido positivo deleje OX.

a) Un protn se mueve en el sentido positivo del eje OY. Dibuje un esquema de las fuerzas queactan sobre l y determine qu velocidad deber tener para que no sea desviado de su

trayectoria.

b) Si en la misma regin del espacio un electrn se moviera en el sentido positivo del eje OYconuna velocidad de 103 m/s, en qu sentido sera desviado?

Dato: Valor absoluto de la carga del electrn y del protn e = 1,61019 CSolucin.a. Para que el protn se desplace en lnea recta dentro de una regin donde existenun campo elctrico y un campo magntico, las fuerzas generadas por ambos sobre l

deben anularse.

ME FFrr

=

La fuerza que genera el campo elctrico sobre el protn viene dado por:

kEqEqF ppE

rrr

==

Siendo E el mdulo del campo elctrico y q p la carga del protn.

La fuerza que genera el campo magntico sobre el protn viene dado por:( ) ( ) ( )( ) ( ) kBvq1,0,0Bvq0,0,10,1,0BvqiBjvqBvqF pppppBrrrrrr

=====

Siendo producto vectorial, v el mdulo de la velocidad y B el mdulo del campo magntico.

Los vectores generados por los campos elctrico y magntico tienen igual direccin y sentidos

opuestos, para que el protn no vare su direccin de desplazamiento, bebern tener igual mdulo.

BE FFrr

=

sm105

T6,0

CN103

B

Ev:BvqEq 5

15

pp =

===

b. Si el electrn se desva al entrar en la regin del apartado anterior, ser debido aque la resultante de las fuerzas que actan sobre el no se anulan, siendo la direccin y

sentido de la desviacin la de la fuerza resultante.

BE FFRrrr

+=

kEqEqF eE

rrr

==

( ) ( ) ( )( ) ( ) kBvq1,0,0Bvq0,0,10,1,0BvqiBjvqBvqF eBrrrrrr

=====

Siendo q el valor absoluto de la carga del electrn.

( ) Nk108,4k6,010103101,6kBvEqkBvqkEqR 143519rrrrrr

=+=+=+=

El electrn se desva en el sentido negativo del eje OZ.


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6

Septiembre 2010. F. G. Cuestin 2B.- Dos conductores rectilneos e indefinidos, paralelos, por losque circulan corrientes de igual intensidad, I, estn separados una distancia de 0,12 m y se repelen con

una fuerza por unidad de longitud de 6109 N m1.a) Efecte un esquema grfico en el que se dibuje el campo magntico, la fuerza que acta sobre

cada conductor y el sentido de la corriente en cada uno de ellos.

b) Determine el valor de la intensidad de corriente 1, que circula por cada conductor.Dato: permeabilidad magntica en el vaco o = 4 10

7

N A2

Solucin.a.

Segn la Ley de Lorentz:

BlIFrrr

=

Aplicando a cada uno de los conductores:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) jBlI0,1,0BlI0,0,10,0,1BlI0,0,1B0,0,1lIBlIF 2112112112112111rrrr

=====

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) jBlI0,1,0BlI0,0,110,0,BlI0,0,1B10,0,lIBlIF 2111221221221222rrrr

=====

b. Las fuerzas que actan sobre los dos hilo son de igual mdulo (por ambos hilos circula la misma

intensidad de corriente), igual direccin y sentidos opuestos.

Si los vectores lr

y Br

forman 90, el mdulo de la fuerza es:

BlIF = La fuerza sobre el conductor 1 depende de la intensidad de la corriente que los recorre (I1) y del

campo magntico creado por el conductor 2 (B2).

211 BlIF =

El mdulo del campo magntico creado por el conductor 2 se obtiene mediante la ley de Biot y

Savart.

d2

IB 2o2

=

Sustituyendo en la expresin del mdulo de F1

d2

IlIF 2o11

=

La fuerza por unidad de longitud es

{ }d2

I

l

F:III:

d2

II

l

F 2o121

21o1

===

=

A106104

1060,122lF

d2

I 27

9

o

1

=

=

=

Septiembre 2010. F. G. Problema 2B.- Una partcula de masa m = 41016kg y carga q =2,85109 C, que se mueve segn el sentido positivo del eje X con velocidad 2,25106 m/spenetra enuna regin del espacio donde existe un campo magntico uniforme de valor B = 0,9 T orientado segn el

sentido positivo del eje Y. Determine:

a) La fuerza (mdulo, direccin y sentido) que acta sobre la carga.b) El radio de la trayectoria seguida por la carga dentro del campo magntico.Solucin.


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7

a. La fuerza que genera el campo magntico sobre una carga en movimiento viene dada por la

expresin:

( ) ( ) ( )( ) ===== 0,1,01,0,0BvqjiBvqjBivqBvqFrrrrrrr

( ) kBvq1,0,0Bvq10

01,0,0Bvq

r

==

=

Teniendo en cuenta que la carga es negativa, la fuerza tendr sentido opuesto

k105,77k9,01025,21085,2F 369rrr

==

b. Si la partcula cargada describe una trayectoria circular, ser debido a que la resultante de lasfuerzas que concurren sobre ella es igual a la fuerza centrpeta. Teniendo en cuenta que sobre la partcula

la nica fuerza que acta es la debida al campo magntico, y trabajando en mdulo, se cumplir:

cB FF =

R

vmBvq

2

= :Bq

vm

Bvq

vmR

2

==

cm35m35,09,01085,2

1025,2104

Bq

vm

R 9

616

==

==

Junio 2010. F.M. Cuestin 2A.- Un protn y un electrn se mueven en uncampo magntico uniformeBr

bajo la accin del mismo. Si la velocidad del electrn es 8 veces mayor que la del protn y ambas son

perpendiculares a las lneas del campo magntico, deduzca la relacin numrica existente entre:

a) Los radios de las rbitas que describen.b) Los periodos orbitales de las mismas.

Dato: Se considera que la masa del protn es 1836 veces la masa del electrn.

Solucin.a. Si ambas partculas describen una trayectoria circula ser porque:

cB FFrr

=

Trabajando en mdulo:

R

vmBvq

2

= ;R

vmBq = ;

Bq

vmR =

Aplicando la ecuacin a cada partcula y comparando:

=

=

===

===

=

=

+

+

++

++

+

+

++

+

pe

ep

ee

pp

ep

e

ee

p

pp

e

p

e

ee

e

p

pp

p

v8v

m1836m

vm

vm

qq

Bq

vm

Bq

vm

R

R

:

Bq

vmR

Bq

vmR

2

459

8

1836

v8v

m1836m

8vm

vm1836

pe

ep

pe

pe==

=

===

+

+

+

+

2

459

R

R

e

p=

+

b. Partiendo de la misma igualdad que en el apartado a:

{ }( )

:T

2:RmBvq:

R

RmBvq:Rv:

R

vmBvq 2

22

==

===

qvB

Rm4

T:RT

2

mBvq

22

2

=

=


8/33

8

+

+

+

+

++

++

+

++

++

+

=

=

=

=

e

p

pe

ep

2

e

2

p

ee

e

2

e

pp

p

2

p

2

e

2

p

ee

e

2

e2

e

pp

p

2

p2

p

R

R

vm

vm

T

T

:

Bvq

Rm4

Bvq

Rm4

T

T

:

Bvq

Rm4T

Bvq

Rm4T

+

+

+

+

=

e

p

pe

pe

2

e

2

p

R

R

vm

v8m1836

T

T

:8

183681836

T

T

2

e

2

p=

+

: 1836T

T

e

p=

+

Junio 2010. F.M. Problema 2B.- Por un hilo conductor rectilneo y de gran longitud circula unacorriente de l2 A. El hilo est situado en el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido

positivo. Un electrn se encuentra situado en el eje Y en el punto P de coordenadas (0, 20, 0) expresadasen centmetros. Determine el vector aceleracin del electrn en los siguientes casos:

a) El electrn se encuentra en reposo en la posicin indicada.b) Su velocidad es de 1 m/ssegn la direccin positiva del eje Y.c) Su velocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva del eje Z.d) Su velocidad es de 1 m/s segn la direccin negativa del eje X.

Datos: Permeabilidad magntica del vacio o = 4107

N A2

Masa del electrn me =9,1 1031

kg

Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,61019

C

Solucin.

a. Teniendo en cuenta la ley de Lorentz:( )

{ } 0a:amF0F:0v

BvqF===

=

=rrr

b. La intensidad o mdulo del campomagntico a 20 cm del hilo conductor viene

dada por la Ley de Biot y Savart, la direccin y

sentido por la regla de la mano derecha tal y

como se muestra en la figura.

T,

B

d

IB o

o 5

2

7

102110202

12104

2

=

==

( ) ( ) ( )( ) === 0,0,1B0,1,0vqBvqFrrr

( ) Nk1092,1kT102,1s

m1C106,11,0,0qvB

001

010

kji

qvB24519

rr

rrr

===

=

Conocida la fuerza que acta sobre el electrn, se calcula la aceleracin, que tendr igualdireccin y sentido que la fuerza.

amFrr

= : ( ) 262431 smk101,2kN1092,1

Kg101,9

1F

m

1a

rrrr

=

==

c. ( ) ( ) ( )( ) === 0,0,1B1,0,0vqBvqFrrr

( )==

= 0,1,0qvB

001

100

kji

qvB

rrr

( ) Nj1092,1jT102,1s

m1C106,1 24519rr ==


9/33

9

( ) js

m101,2jN1092,1Kg101,9

1F

m

1a 624

31

rrrr

=

==

d. ( ) ( ) ( )( ) === 0,0,1B0,0,1vqBvqFrrr

0

001

001

kji

qvB =

=

rrr

{ } 0a:amF0F ===

Junio 2010. F.G. Cuestin 3A.- Dos partculas de idntica carga describen rbitas circulares en elseno de un campo magntico uniforme bajo la accin del mismo. Ambas partculas poseen la misma

energa cintica y la masa de una es el doble que la de la otra. Calcule la relacin entre:

a) Los radios de las rbitas.b) Los periodos de las rbitas.

Solucin.

a. Si una partcula con carga describe una rbita en el seno de un campo magntico, se cumple:

cB FFrr

=

Trabajando en mdulo:

r

vmBvq

2

= ;r

vmBq =

Por ser ambas partcula de idntica carga y estar inmersa en el mismo campo magntico:

Partcula 1:1

11

r

vmBq =

Partcula 2:2

22

r

vmBq =

Igualando:

2

22

1

11

r

vm

r

vm =

Elevando los dos miembros de la igualdad al cuadrado:

22

222

221

212

1r

vm

r

vm =

Teniendo en cuenta que: c22 Em2vm =

22

c2

21

c1

r

Em2

r

Em221 = ;

22

c2

21

c1

r

Em

r

Em21 =

Teniendo en cuenta el enunciado:

=

=

12

cc

m2m

EE21

22

1

21

1

r

m2

r

m= ;

22

21 r

2

r

1= ; 21

22 r2r = ; 12 r2r =

b. Partiendo de la igualdad2

22

1

11

r

vm

r

vm = , y teniendo en cuenta rv =

2

222

1

111

r

rm

r

rm

=

; 2211 mm = :

T

2= :

22

11

T

2m

T

2m

=

;

2

2

1

1

T

m

T

m=

Volviendo a tener en cuenta el enunciado: 12 m2m =

2

1

1

1

T

m2

T

m

= ; 12 T2T =


10/33

10

Modelo 2010. Cuestin 3A.-Una carga puntual Q con velocidad ivv xr

r

= entra en una regin donde

existe un campomagntico uniforme kBjBiBB zyx

rrrr

++= .Determine:

a) La fuerza que se ejerce sobre la carga en el campo magntico.b) El campo elctrico Er que debera existir en la regin para que la carga prosiguiese sin cambio

del vector velocidad.

Solucin.

a. La fuerza que acta sobre una carga elctrica en movimiento dentro de un campo magntico Br

viene dada por la expresin:

( )BvqFrrr

=

Representa producto vectorial

( ) ( )( ) ( )yxzxzyx

xzyxx Bv,Bv,0Q

BBB

00v

kji

QB,B,B0,0,vQF ===

rrr

r

kBQvjBQvF yxzx

rrr

+=

b. Para que la carga se desplace manteniendo constante su vector velocidad, la suma de las fuerzas

que actan sobre ella debe ser cero.La fuerza a la que se ve sometida la carga cuando se desplaza por una regin donde coexisten un

campo magntico y uno elctrico es:

( )BvqEqFrrrr

+=

Si la fuerza resultante debe ser nula:

( ) 0BvqEq =+rrr

( )BvqEqrrr

= ( )BvErrr

=

Teniendo en cuenta el apartado a:

kBvjBvBv yxzx

rrrr

+=

( ) kBvjBvkBvjBvBvE yxzxyxzxrrrrrrr

=+==

Modelo 2010. Cuestin 2B.-a) Cul es la velocidad de un electrn cuando se mueve en presencia de un campo elctrico de

mdulo 3,5105 N/C y de un campo magntico de 2 T, ambos mutuamente perpendiculares y, asu vez, perpendiculares a la velocidad del electrn, para que ste no se desve?

b) Cul es el radio de la rbita descrita por el electrn cuando se suprime el campo elctrico?Datos: Masa del electrn me = 9,110

31Kg. Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,610

19C

Solucin.Para facilitar los clculos, y teniendo en cuenta que los

vectores de campo elctrico, campo magntico y velocidad son

perpendiculares entre si, los consideramos sobre los ejes

coordenados tal y como muestra la figura (la eleccin de los ejes es

arbitraria).

La fuerza que experimenta una partcula cargada que se

desplaza a lo largo de un campo magntico mFr

viene dada por la

expresin ( )BvqFmrrr

= , donde representa producto vectorial y q la carga elctrica de la partcula,

aplicando al caso propuesto:

( ) ( ) kvBqkvBq00B

0v0

kji

qBvqF eeem

rr

rrr

rrr

====

La fuerza que experimenta una partcula cargada que se desplaza a lo largo de un campo

elctrico EFr

viene dada por la expresin EqFErr

= , aplicando a este caso:


11/33

11

kEqEqF eE

rrr

==

Nota: La direccin y sentido de los vectores mFr

y EFr

se corresponden con el dibujo tenindose en

cuenta el valor negativo de la carga del electrn.

Las fuerzas que ejercen los campos elctrico ( )Er

y magntico ( )Br

sobre el electrn son vectores

de la misma direccin y sentido opuesto. Para que la velocidad del electrn mantenga constante sudireccin, los mdulos de ambas fuerzas deben ser iguales.

B

Ev:EqvBqFF:

EqF

vBqF

eeEm

eE

em===

=

= rrr

r

Donde E es el mdulo del campo elctrico y B el del campo magntico.

sm1075'1

T2

CN105'3

B

Ev 5

5

=

==

b. S 0E =r

y Ti2Brr

= la fuerza que produce el campo magntico tiene carcter normal

(centrpeta).

Bq

mvR:

R

vmvBqFF

e

2

ecm ===rr

m1098'42106'1

1075'1101'9

Bq

mvR 7

19

531

e

==

Septiembre 2009. Problema 2B.- Un hilo conductor rectilneo de longitud infinita est situado en eleje Z y transporta una corriente de 20 A en el sentido positivo de dicho eje. Un segundo hilo conductor,

tambin infinitamente largo y paralelo al anterior, corta al eje X en el punto de coordenada x = 10 cm.

Determine:

a) La intensidad y el sentido de la corriente en el segundo hilo, sabiendo que el campo magnticoresultante en el punto del eje X de coordenada x = 2 cm es nulo.

b) La fuerza por unidad de longitud que acta sobre cada conductor, explicando cul es sudireccin y sentido.

Dato Permeabilidad magntica del vaco o= 410-7N A2

Solucin.

a. El sentido de la corriente del segundo hilo (I2), se obtiene teniendo en cuenta que en el puntox = 2, el campo es nulo y por tanto, los campos magnticos creados por los dos conductores deben ser

igual mdulo y sentidos opuestos.

Conociendo el sentido de la

intensidad en el primer conductor (I1),y aplicando la regla de la mano

derecha se obtiene la direccin y

sentido del campo creado por l, y portanto el creado por el segundo

conductor (opuesto).

La direccin y sentido del

campo creado por el segundoconductor nos permite establecer el

sentido de las lneas de campo y el sentido de la intensidad (I2) aplicando de nuevo la regla de la manoderecha.

El valor de la intensidad del segundo conductor se obtiene a partir de la igualdad de los mdulos

de los vectores de campo creados por cada conductor en el punto x = 2.

21 BBrr

=

Empleando la expresin del modulo del campo magntico:


12/33

12

2

2o

1

1o

a2

I

a2

I=

Simplificando las constantes y sustituyendo los datos, se calcula I2.

22

2 108

I

m102

A20

=

: A80I2 =

b. La fuerza que ejerce un campo magntico ( )Br

sobre un hilo conductor de longitud l por el que

circula una corriente I viene dada por la expresin:

BlIFrrr

=

donde l es la longitud del hilo que, se considera un vector de mdulo la longitud del hilo, de direccin la

del conductor y de sentido el de la corriente.

El mdulo de la fuerza ser:

senBlIF =

la direccin, perpendicular al plano que determinan lr

y Br

y elsentido el de avance del tornillo que gira de l sobre B como muestra la

figura.

La direccin y sentido de la fuerza, tambin se puede obtener

mediante el producto vectorial de los vectores lr

y Br

.

2111 BlIFrrr

=

( )

( )( ) ( )( ) iBlI

001

100

kji

BlI0,0,1B1,0,0lIF:0,0,1BB

1,0,0ll1111112111

22

11r

rrr

r

r

r

===

=

=

1222 BlIFrrr

=

( )( )

( ) ( )( ) iBlI

001

100

kji

BlI0,0,1B1,0,0lIF:0,0,1BB

1,0,0ll1111111222

11

22 r

rrr

rr

r

=

==

==

La fuerza por unidad de longitud ser el cociente entre la fuerza y la longitud del hilo conductor.

senBIl

F=

El mdulo de la fuerza por unidad de longitud sobre el 2 conductor es:

m

N102,3

1,02

2010480

d2

II90senBI

l

F 37

1o212

2

2

=

=

==

El mdulo de la fuerza por unidad de longitud sobre el 1 conductor es:

mN102,3

1,028010420

d2II90senBI

lF 3

72o

1211

1

=

=

==

Junio 2009. Cuestin 4.- Analice si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:a) Una partcula cargada que se mueve en un campo magntico uniforme aumenta su velocidad

cuando se desplaza en la misma direccin de las lneas del campo.

b) Una partcula cargada puede moverse en una regin en la que existe un campo magntico y uncampo elctrico sin experimentar ninguna fuerza.

Solucin.a. FALSO. Cuando una partcula con carga elctrica y en movimiento, se

desplaza en una zona donde existe un campo magntico, se ve sometida a la

accin de una fuerza denominada Fuerza de Lorentz, cuyo valor viene dado por la

expresin:( )Bvq

rrr

=F


13/33

13

Como vr

es paralelo a Br

, su producto vectorial es nulo.

0Bv:0

senBvBv=

=

= rrrrrr

Por lo tanto al no estar sometida a fuerza, la partcula sigue una trayectoria rectilnea y uniforme

(M.R.U).

b. VERDADERO. Si las fuerzas que experimenta la carga debido alcampo elctrico y al campo magntico son iguales y opuestas, la fuerza neta

resultante ser nula.

Para que la fuerza magntica (FM) y la fuerza elctrica (FE) tengan lamisma direccin bastar con que la direccin del campo elctrico sea

perpendicular al campo magntico y a la velocidad de la partcula. Para que

tengan sentidos opuestos, ( )( ) ( )EqSignoBvqSigno v

, teniendo en cuenta el

signo de la carga. La figura adjunta muestra el caso de una carga positiva.Para que tengan igual mdulo, la relacin que deben tener las magnitudes ser:

EqsenBvqFF:EqF

senBvqF

EmE

m

==

=

= rrr

r

: = senBvE

Septiembre 2007. Cuestin 4.-a) Cul es la velocidad de un electrn cuando se mueve en presencia de un campo elctrico de

mdulo 3,5105 N/C y de un campo magntico de 2 T, ambos mutuamente perpendiculares y, asu vez, perpendiculares a la velocidad del electrn, para que ste no se desve?

b) Cul es el radio de la rbita descrita por el electrn cuando se suprime el campo elctrico?Datos: Masa del electrn me =9,1 10

31 kg; Valor absoluto de la carga del electrn e = 1,610-19 CSolucin.

Para facilitar los clculos, y teniendo en cuenta que los

vectores de campo elctrico, campo magntico y velocidad son

perpendiculares entre si, los consideramos sobre los ejescoordenados tal y como muestra la figura (la eleccin de los ejes es

arbitraria).

La fuerza que experimenta una partcula cargada que se

desplaza a lo largo de un campo magntico mFr

viene dada por la

expresin ( )BvqFmrrr

= , donde representa producto vectorial y q la carga elctrica de la partcula,

aplicando al caso propuesto:

( ) ( ) kvBqkvBq00B

0v0

kji

qBvqF eeem

rr

rrr

rrr

====

La fuerza que experimenta una partcula cargada que se desplaza a lo largo de un campo

elctrico EFr

viene dada por la expresin EqFErr

= , aplicando a este caso:

kEqEqF eE

rrr

==

Nota: La direccin y sentido de los vectores mFr

y EFr

se corresponden con el dibujo tenindose en

cuenta el valor negativo de la carga del electrn.

Las fuerzas que ejercen los campos elctrico ( )Er

y magntico ( )Br

sobre el electrn son vectores

de la misma direccin y sentido opuesto. Para que la velocidad del electrn mantenga constante su

direccin, los mdulos de ambas fuerzas deben ser iguales.

BEv:EqvBqFF:

EqF

vBqFeeEm

eE

em===

== rrr

r


14/33

14

Donde E es el mdulo del campo elctrico y B el del campo magntico.

sm1075'1

T2

CN105'3

B

Ev 5

5

=

==

b. S 0E =r

y Ti2Brr

= la fuerza que produce el campo magntico tiene carcter normal

(centrpeta).

Bq

mvR:

R

vmvBqFF

e

2

ecm ===rr

m1098'42106'1

1075'1101'9

Bq

mvR 7

19

531

e

==

Septiembre 2007. Problema 2A.- Tres hilos conductores rectilneos, muy largos y paralelos, sedisponen como se muestra en la figura (perpendiculares al plano del papel pasando por los vrtices de un

tringulo rectngulo). La intensidad de corriente que circula por todos ellos es la misma, I = 25 A, aunqueel sentido de la corriente en el hilo C es opuesto al de los otros dos hilos.Determine:

a) E] campo magntico en el punto P, punto medio del segmentoAC.b) La fuerza que acta sobre una carga positiva Q = 1,6l019 C si 10

cm se encuentra en el punto P movindose con una velocidad de

106m/s perpendicular al plano del papel y con sentido hacia fuera.

Datos: Permeabilidad magntica del vaco o= 4 107 N A

2

Solucin.a. En cualquiera de los tringulos rectngulos se calcula el valor

de a.

En el tringulo BPC:25a:100a2:aa10 2222 ==+=

Cada hilo conductor genera un campo magntico en P de igualmdulo y distinta direccin. La direccin de cada campo se calcula con

la regla de la mano derecha, obteniendo los vectores que se muestran en

la figura.

El campo magntico creado por los tres hilos en el punto P es

la suma vectorial del campo generado por cada uno de los hilos.

CBAP BBBBrrrr

++=

( )

+=+

== j

2

2i

2

2

a2

Ij45seni45cos

a2

IBB ooCA

rrrrrr

( )

+

=+

= j

2

2i

2

2

a2

Ij45seni45cos

a2

IB ooB

rrrrr

Sumando los campos creados pos cada hilo se obtiene el campo magntico total.

+++

+

=++= j

2

2

2

2

2

2i

2

2

2

2

2

2

a2

IBBBB oCBAP

rrrrrr

( )j3ia4

2Ij

2

23i

2

2

a2

IB ooP

rrrrr

+

=

+

=


15/33

15

Sustituyendo por los valores:

( ) ( ) ( ) ( )TmA

Nj3i105j3i

m254

2A25A

N104

j3ia4

2IB 7

2

7

oP

+=+

=+

=

rrrrrrr

b. Q = +1,6l019

C; smk10v6r

r

= . Sobre la carga Q acta la fuerza de Lorentz:

( ) ( )ji3qvB031

100

kji

qvBBvqF P

rr

rrr

rrr

+===

( ) ( )Nji3108ji3T105s

m10C106'1F 207619rrrrr

+=+=

Junio 2007. Cuestin 4.- Un protn que se mueve con velocidad constante en el sentido positivo del

eje X penetra en una regin del espacio donde hay un campo elctrico k104E 5rr

= N/C y un campo

magntico j2Brr

= T, siendo kr

y jr

los vectores unitarios en las direcciones de los ejes Z e Y

respectivamente.a) Determine la velocidad que debe llevar el protn para que atraviese dicha regin sin ser

desviado.

b) En las condiciones del apartado anterior, calcule la longitud de onda de De Broglie del protn.Datos: Constante de Planckh = 6,63 x10

34J s; Masa del protn mp = 1,6710

27 kg.

Solucin.a. Para que el protn atraviese la regin sin ser desviado, la

resultante de todas las fuerzas que concurren sobre el debe ser nula.

Las fuerzas que actan sobre la carga que se desplaza se pueden

observar sobre la figura adjunta.

BE FFRrrr

+=

kEqEqFpE

rrr

+==

( ) jiBvqjBivqBvqFppB

rrrrrrr

=== ++

( ) ( ) ( ) ( ) k1,0,010

01,

00

01,

01

000,1,00,0,1ji

rrr

==

==

kBvqFpB

rr

+=

0kvBqkEqFFRppBE

==+= ++rrrrr

vBqEqpp ++

= s

m1022

104

B

Ev 5

5

=

==

b. La longitud de onda de De Broglie viene dada por la expresin:

m1064,3102101,9

1063,6

mv

h 9

531

34

DB

=

==

Modelo 2007. Cuestin 3.-Indique el tipo de trayectoria descrita por una partcula cargadapositivamente que posee inicialmente una velocidad vv = i al penetrar en cada una de las siguientes

regiones:

a) Regin con un campo magntico uniforme: B = B ib) Regin con un campo elctrico uniforma: E = E ic) Regin con un campo magntico uniforma: B = Bjd)

Regin con un campo elctrico uniforme: E = Ej

Nota: Los vectores i yj son los vectores unitarios segn los ejes X e Y respectivamente.

Solucin.


16/33

16

a) Campo magntico uniforme: Br

= B ir

. Cuando una partcula con carga

elctrica y en movimiento, se desplaza en una zona donde existe un campo

magntico, adems de los efectos regidos por la ley de Coulomb, se ve sometida a

la accin de una fuerza denominada Fuerza de Lorentz, cuyo valor viene dado por

la expresin:

( )Bvqrrr

=F

Como vr

es paralelo a Br

, su producto vectorial es nulo.

0Bv:0

senBvBv=

=

= rrrrrr

Por lo tanto al no estar sometida a fuerza, la partcula sigue una trayectoria rectilnea y uniforme

(M.R.U).

b) Campo elctrico uniforma: Er

= E ir

. Cuando una partcula con carga

elctrica y en movimiento, se desplaza en una zona donde existe un campo

elctrico se ve sometida a una fuerza cuyo valor viene dado por la expresin:

Eqrr

=F

La partcula se ve sometida a una fuerza paralela al campo elctrico, y portanto a una aceleracin en la misma direccin del campo y sentido, el mismo si la

carga es positiva y opuesto si es negativa.

En el caso propuesto:

iaFrrr

Eqmp== +

La partcula se ve sometida a una aceleracin en la misma direccin y sentido que su velocidad,

por tanto describe una trayectoria rectilnea uniformemente acelerada, suponiendo que el campo elctrico

es constante.

c) Campo magntico uniforma: Br

= Bjr

. La carga se ve sometida a una

fuerza (Fuerza de Lorentz) perpendicular en todo momento a la velocidad (fuerza

centrpeta), lo que provoca una trayectoria circular en el plano XZ de radio R.

( ) kqvBjiqvBBvqrrrrrr

===F

Bq

vmR:

R

vmvBq:FF

p

p2

ppcM+

+

++ ===

d) Campo elctrico uniforme: Er

= Ejr

. La carga se ve sometida a una

fuerza cuyo valor viene dado por la expresin:

Eqrr

=F : jqErr

=F

j

m

qEa:jqEam

p

rr

rrr

===

+

F

La fuerza sobre la carga es paralela al eje OY en todo momento, lo

cual, provoca una aceleracin en ese eje, mantenindose la velocidad constante

en el eje OX. El resultado es un movimiento parablico, combinacin de ambos movimientos: M.R.U.

(OX), M.R.U.A. (OY).

Septiembre 2006. Cuestin 3.- Un protn que se mueve con una velocidad vr

entra en una regin en

la que existe un campo magntico. B uniforme. Explique cmo es la trayectoria que seguir el protn:

a) Si la velocidad del protn v es paralela a Bb) Si la velocidad del protn v es perpendicular a B

Solucin.

a) La fuerza que acta sobre el protn segn la ley de Lorentz:


17/33

17

( )00senBvqF

BvqF

==

=r

rr

No acta ninguna fuerza sobre el protn, luego seguirn una trayectoria rectilnea y uniforme

paralela al campo B

b) En este nuevo caso, la fuerza ser, aplicando tambin la Ley de Lorentz:( ) kqvB

0B0

00v

kji

qFBvqFr

rrr

rrrr

===

La fuerza ( F ), acta en direccin perpendicular a Byvrr

generando una trayectoria circular en

el plano XZ como muestra la figura.

Modelo 2006. Cuestin 3.- La figura representa una regin en la que existe un campo magnticouniforme B, cuyas lneas de campo son perpendiculares al plano del papel y saliendo hacia fuera del

mismo. Si entran sucesivamente tres partculas con la misma velocidad v, y describe cada una de ellas la

trayectoria que se muestra en la figura (cada partcula est numerada):

a) Cul es el signo de la carga de cada una de las partculas?b) En cul de ellas es mayor el valor absoluto de la relacin

carga-masa (q/m)?

Solucin.

La velocidad inicial de las partculas es ivv = y el campo magntico es kBB = la fuerza que

sufre una partcula cargada que se mueve en un campo magntico (fuerza de Lorente) es ( )BvqF = .En nuestro caso

( ) ( ) jqvBjqvBkiqvBF === a) Cul es el signo de la carga de cada una de las partculas?

Solucin.

La partcula 1 se desva en el sentido positivo de las jvBqjFFy 111rr

== como v y B son

positivos 0q1


18/33

18

b) En cul de ellas es mayor el valor absoluto de la relacin carga-masa (q/m)?Solucin.

Como la trayectoria es circular

R

vmqvBFF

2

centrifugaLorentz ==

==

qm

BvR

RBv

mq

En el grfico se observa que R1 > R2:

0m

qy

m

q

m

q

q

m

q

m

q

m

B

v

q

m

B

v

2

2

3

3

1

1

3

3

1

1

3

3

1

1 =

>

Modelo 2006. Problema 2B.- Dos conductores rectilneos, indefinidos y paralelos, perpendiculares al

plano XY, pasan por los puntos A (80, 0) y B (0, 60) segn indica la figura, estando las coordenadas

expresadas en centmetros. Las corrientes circulan por ambos conductores en el mismo sentido, hacia

fuera del plano del papel, siendo el valor de la corriente I1 de 6 A. Sabiendo que I2> I1 y que el valor del

campo magntico en el punto P, punto medio de la recta que une ambos conductores, es de B = 12x 107

T, determine

a) El valor de la corriente I2b) El mdulo, la direccin y el sentido del campo magntico en el

origen de coordenadas O, utilizando el valor de 12, obtenido

anteriormente.

Datos: Permeabilidad magntica del vaco: 270 NA104=

Solucin.

a. Las lneas de campo son circunferencias concntricas en el hilo siendo el valor del campo

d2

IB o

=

representa una constante caracterstica del medio que recibe el nombre de permeabilidad

magntica. En el vaco su valor es 0= 4 10-7 T m/A.

La distancia que separa a los conductores es

( ) ( ) ( ) m5,02

1d:m1mc100cm80cm60BAd

22 ====+=

Por la regla de la mano derecha sabemos que el campo en el punto P es la resta de los campogenerados por cada conductor.


19/33

19

Aplicando la regla a la disposicin propuesta y trabajando en mdulo:

( )12o1o2o

12 IIR2

R2

I

R2

IBBB ===

o12

R2

BII =

1o

2 I

RB2I +=

A9IA6A3A6NA104

T1012m5,02I 227

7

2 =+=+

=

b. En el punto O el campo creado por los conductores es:

Campo creado por el conductor A:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Tj1015jm8'02

A6NA104j

d2

IBAB 7

271o

1o =

=

==

Campo creado por el conductor B:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ti1040Tim6'02

A12NA104i

d2

IBBB 7

2720

2o

=

=

==

Las direcciones y sentidos de 21 ByB se han deducido teniendo en cuenta la regla de la mano

derecha.El campo total creado por los dos conductores en el punto O, es la suma vectorial de los campos

creados por cada conductor.

Tj1015i1040BBB 7721TOTAL =+=

Septiembre 2005. Cuestin 3.Una partcula cargada penetra con velocidad v en una regin en la que

existe un campo magntico uniforme Br

.Determine la expresin de la fuerza ejercida sobre la partcula en los siguientes casos:

a) La carga es negativa, la velocidad es jvv o rr = y el campo magntico es kBB o rr = .b) La carga es positiva, la velocidad es kjvv o rrr += y el campo magntico es: jBB orr = .

Nota: Los vectores kyj,irrr

son los vectores unitarios segn los ejes X, Y y Z respectivamente.

Solucin.


20/33

20

La expresin general de la fuerza que acta sobre una partcula cargada en movimiento por la

presencia de un campo magntico viene dada por la ley de Lorente.

BvqFrrr

=

a. q < 0 ; ( )0,v0,jvv oo ==r

r

; ( )oo B0,0,kBB ==rr

( ) ( )[ ] ( ) iBvqiBvqB00

0v0

kji

qB0,0,0,v0,qBvqF oooo

o

ooo

rr

rrr

rrr

==

===

b. q > 0 ; ( ) ( )ooo v,v0,kjvv =+=rr

r

; ( )0,B0,jBB oo ==rr

( ) ( )[ ] ( ) iBvqiBvq0B0

vv0

kji

q0,B0,v,v0,qBvqF oooo

o

ooooo

rr

rrr

rrr

=====

Junio 2005. Problema 2B.- Por un hilo conductor rectilneo y de gran longitud circula una corrientede 12 A. El hilo define el eje Z de coordenadas y la corriente fluye en el sentido positivo. Un electrn se

encuentra situado en el eje Y a una distancia del hilo de 1 cm. Calcule el vector aceleracin instantnea

que experimentara dicho electrn si:

a) Se encuentra en reposo.b) Su ve1ocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva del eje Y.c) Su velocidad es de 1 m/ssegn la direccin positiva del eje Z.d) Su velocidad es de 1 m/ssegn la direccin negativa del eje X.

Datos: Permeabilidad magntica del vado o = 4107

N A2

Masa del electrn me =911031

kg

Valor absoluto de la carga del electrn e

= 161019

C

Solucin.La corriente crea un campo magntico

alrededor del hilo, para calcularlo se utiliza la ley de

Ampr.

IdsB oc

=

Para calcular la integral utilizamos el circuito

de la figura c; ya que el campo magntico es tangente alas circunferencias y tiene el mismo valor en todos los

puntos de la circunferencia.

( ) ( )i102I0,10,0B

R2

IBIR2BdsB

2o2

oo

c

v

o

=

===

a. Si el e esta en reposo, la fuerza ser cero, ya que un campo Br

solo ejerce fuerza sobre cargas

en movimiento ( )BvqFrrr

= .

b. Su ve1ocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva deleje OY.

( ) ( )

( )Nk104'38102

106'1A12104

k102

Iei

102

IjeF

24

2

197

2o

2o

r

rrrr

=

=

=

=

=


21/33

21

c. Su velocidad es de 1 m/s segn la direccin positiva

del eje Z.

( ) ( ) ( )

( )jN104'3810212104106'1

j102

IejevBBveF

242

719

2o

r

rrrrr

=

=

=

===

d. Su velocidad es de 1 m/s segn la direccin negativa del eje X.

Como v y B son paralelos, 0F0Bv ==

Modelo 2005. Problema 2A.- Una partcula cargada pasa sin ser desviada de su trayectoria rectilneaa travs de dos campos, elctrico y magntico, perpendiculares entre s. El campo elctrico est producido

por dos placas metlicas paralelas (situadas a ambos lados de la trayectoria) separadas 1 cm y conectadas

a una diferencia de potencial de 80 V. El campo magntico vale 0,002 T. A la salida de las placas, el

campo magntico sigue actuando perpendicularmente a la trayectoria de la partcula, de forma que, sta

describe una trayectoria circular de 1,14 cm de radio. Determine:

a) La velocidad de la partcula en la regin entre las placas.b) La relacin masa/carga de la partcula.

Solucin.

Suponiendo que la carga es positiva:

Sabiendo que la diferencia de potencial entre las placas es 80V y la distancia entre ambas es de

1cm:

( )cN

8000m01'0

V80

d

V

E ==

=

( )

( )jc

N8000jEE

kT002'0B

==

=r

a. Para que no se desve, FB tiene que ser igual a la FE:(en mdulo)

B

EvEqBvq ==

sustituyendo:

sm104

T002'0

cN8000

v 6==

b. Si la partcula describe una circunferencia de 114 cm de radio, podemos utilizar este dato

sabiendo que la fuerza magntica, a la salida de las placas, acta como fuerza centrpeta:


22/33

22

v

BR

q

m

R

vmBvqF

2

m

=

==

Puesto que conocemos todos los datos, slo tenemos que sustituir:

Ckg1057,0

sm104

T002'01014,1q

m 116

2 =

=

Modelo 2005. Problema 2B.-Dos hilos conductores de gran longitud, rectilneos y paralelos, estn

separados una distancia de 50 cm, tal como se indica en la figura. Si por los hilos circulan corrientes

iguales de 12 A de intensidad y con sentidos opuestos, calcule el campo magntico resultante en los

puntos indicados en la figura:

a) Punto P equidistante de ambos conductores.b) Punto Q situado a 50 cm de un conductor y a 100 cm del otro.

Dato: Permeabilidad magntica del vaco 2-70 NA104=

Solucin.

a. El campo total en el punto P es la suma vectorial de los campos producidos por cada corriente.21p BBB +=

Escogemos un sistema de referencia, para dar el carcter vectorial de .B Los dos vectores tienen

la misma direccin y sentido, segn la regla de la mano derecha.

[ ] ( ) Tj1092'1121210252

104jII

a2

BBB

ja2

IBj

a2

IB

5

2

7

21o

21p

2o2

1o1

rrrrr

rrrr

=+

=+=+=

==

b. Para el punto Q, operamos de formaanloga. Por la regla de la mano derecha,

comprobamos que en este caso ByB 21 sonvectores de igual direccin y sentido contrario:


23/33

23

( )

( )jT1048B5'02

12104

5'02

IB

jT1024B12

12104

12

IB

72

72o

2

71

72o

1

rrr

rrr

=

=

=

=

=

=

Restamos por tanto 12 BB para hallar el campo resultado en Q:

( )jT1024B 7Qrr =

Septiembre 2004. Cuestin 4.En una regin del espacio existe un campo magntico uniformedirigido en el sentido negativo del eje Z. Indique mediante un esquema la direccin y el sentido de la

fuerza que acta sobre una carga, en los siguientes casos:

a) La carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje Z.b) La carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje X.

Solucin.a. Teniendo en cuenta que la velocidad y el campo magntico son paralelos, yque el producto vectorial de vectores paralelos es nulo:

( ) 0BvqF == +rrr

La carga es positiva y se mueve en el sentido positivo del eje X con movimiento rectilneo uniforme.

b. En este caso, el campo magntico vendr expresado por un vector de laforma:

( )zB0,0,B =r

y el vector velocidad ser de la forma:

( )00,,vv x=r

El vector fuerza se obtiene como:

( ) ( ) ( ) jBvqjBv1qjB0

0v1q

B00

00v

kji

qBvqF zxzxz

x21

z

x ==

=

== +r

rrr

rrr

Junio 2004. Problema 1B.-Un conductor rectilneo indefinido transporta una corriente de 10 A enel sentido positivo del eje Z. Un protn, que se mueve a 2105 m/s, se encuentra a 50 cm del conductor.Calcule el mdulo de la fuerza ejercida sobre el protn si su velocidad:

a) es perpendicular al conductor y est dirigida hacia l.b) es paralela al conductor.c) es perpendicular a las direcciones definidas en los apartados a) y b).d) En qu casos, de los tres anteriores, el protn ve modificada su energa cintica?

Datos: Permeabilidad magntica del vaco o = 4107 NA2

Valor absoluto de la carga del electrn e = 161019 CSolucin.a.

El campo B creado por el hilo de corriente es tangencial a las circunferencias pertenecientes a

planos perpendiculares al conductor:


24/33

24

Otras vistas del problema son:

La fuerza magntica est expresada por

( )BxvqF = El mdulo de la fuerza es

senBvqF =rrr

donde es el ngulo entre B y v .

Aplicando los datos del enunciado

N1028'1110502

10104102106'190sen

d2

IveF 19

2

7519o

=

==

r

b. El ngulo entre B y v es de nuevo de 90 y por tanto, al igual que en

el apartado anterior.

N1028'190send2

IveF 19o ==

r

c. La direccin perpendicular a z e y, es la x, luego en este caso vr

es paralelo o antiparalelo a Br

y

por tanto la fuerza es nula ya que = 0, y el sen 0 = sen = 0.

d. Una carga en un campo magntico NUNCA ve modifica su energa cintica, ya que la fuerza essiempre perpendicular a la velocidad:

( )BvqFrrr

=

por lo que no realiza trabajo 0EW c ==

Modelo 2004. Problema 2A.-Por dos hilos conductores, rectilneos y paralelos, de gran longitud,separados una distancia de 10 cm, circulan dos corrientes de intensidades 2 A y 4 A respectivamente, ensentidos opuestos. En un punto P del piano que definen los conductores, equidistante de ambos, se

introduce un electrn con una velocidad de 4104 m/s paralela y del mismo sentido que la corriente de2 A. determine:

a) El campo magntico en la posicin P del electrn.b) La fuerza magntica que se ejerce sobre el electrn situado en P.Datos: Permeabilidad magntica del vaco o = 410

7

NA2

Valor absoluto de la carga del electrn e = 161019 C

Solucin.


25/33

25

a. El campo magntico creado en P, es la suma vectorial (dado el carcter vectorial deB ) delcampo que produce cada conductor en el punto P.

El Mdulo del campo magntico viene expresado por:

a2

IB o=

Los dos vectores tienen la misma direccin y sentido, por tanto el campo ( )PB resultante, llevala direccin j

r

+ y el mdulo es la suma escalar de ambos campos ( )21 B,Brr

:

ja2

I

a2

IBBB 2o1o21P

rrrr

+=+=

( ) jIIa2

B 21

oP

rr

+=

Sustituyendo valores numricos

= 2

7

AN104

jT104,2B 5P

rr=

b. La fuerza magntica (de Lorentz) sobre el e en movimiento en P es:

( )BvqFrr

=

Operando el producto vectorial:

( ) ( ) i104104'2106'10104'20

10400

kji

106'1F 4519

5

419r

rrr

==

( ) iN1054,1F 19r

=

Septiembre 2003. Cuestin 3.Una partcula de carga positiva q se mueve en la direccin del eje de

las X con una velocidad constante iaVrr

= y entra en una regin donde existe un campo magntico de

direccin eje Y y mdulo constante jbBrr

= .

a) Determine la fuerza ejercida sobre la partcula en mdulo, direccin y sentido.b) Razone que trayectoria seguir la partcula y efecte un esquema grfico.

Solucin.

a. El modulo de la fuerza es, segn la ley de Lorentz:== senBvqBvqF

rrrrr

donde es el ngulo entre v y B

NbaqF90senbaqF ==rr

La direccin y sentido se hallan mediante el producto vectorial ( )Bvrr

.

( ) kqab0b0

00a

kji

qBvqFr

rrr

rrr

===

kbaqFrr

=


26/33

26

La direccin y sentido del vector fuerza es la del eje z positivo, que tambin se puede deducir a

travs de la regla de la mano izquierda.

b. Trayectoria de la partcula:

La fuerza magntica acta como fuerza centrpeta en cada punto de la trayectoria, haciendo que

describa una circunferencia de radio:

magnticac FFrr

=

Bq

vmR:Bvq

R

vm

2

==

Utilizando los parmetros del problema:

( )mbq

amR

=

Junio 2003. Cuestin 3.Un protn penetra en una regin donde existe un campo magntico uniforme.Explique que tipo de trayectoria que describir el protn si su velocidad es:

a) paralela al campob) perpendicular al campo.c) Qu sucede si el protn se abandona en reposo en el campo magntico?d) En que cambiaran las anteriores respuestas si en lugar de un protn fuera un electrn?

Solucin.

a.Si v || B como la fuerza es ( ) =

= senBvqFBvqF

rr

=== 0F00sen0 El protn sigue una trayectoria rectilnea y uniforme.

b. ( ) Bvq90senBvqFBvqFBv ===rrrrr

La fuerza es siempre a la velocidad El protn sigue una trayectoria circular uniforme, cuyo radio es:

qB

mvRqvB

R

mv2==

c. = 0v No hay fuerza.

d. Si fuera un e la fuerza ira en sentido contrario y la circunferencia seria de diferente radio.

qBmvRqvB

Rmv

2

==

Modelo 2003. Problema 2A.- Tres hilos conductores rectilneos y paralelos, infinitamente largos,pasan por los vrtices de un tringulo equiltero de 10 cm de lado, segn se indica en la figura. Por cada

uno de los conductores circula una corriente de 25 A en el mismo sentido, hacia fuera del plano del papel.

Calcule:

a) El campo magntico resultante en un punto del conductor C3 debido alos otros dos conductores. Especifique la direccin del vector campo

magntico.

b) La fuerza resultante por unidad de longitud ejercida sobre el conductorC3. Especifique la direccin del vector fuerza.

Datos: Permeabilidad magntica del vaco: o = 4107 NA

2.


27/33

27

Solucin.a. La regla de la mano derecha nos permitedeterminar las lneas del fuerza alrededor de cada hilo,

el campo magntico es tangente a estas y por tanto

perpendicular a la lnea que une los hilos, permitiendo

establecer el ngulo que forma el campo magntico con

unos ejes coordenados situados sobre la posicin delhilo 3.

El campo magntico Br

resultante en un punto

del conductor C3 debido a los otros dos conductores, es la suma vectorial de los campos magnticos

generados por cada hilo.

21 BBBrrr

+=

j30senBi30cosBB 111

rrr

+=

j30senBi30cosBB 222

rrr

=

El mdulo del campo magntico B, generado por un hilo por el que circula una corriente I viene

dado por la expresin:

d2

IB o=

Aplicando la expresin a cada hilo y teniendo en cuenta que las distancias e intensidades son lasmismas:

T1050,102

25104BB 5

7

21

=

==

j2

1105i

2

3105B 551

rrr +=

j2

1105i

2

3105B 552

rrr =

++=+= j

21105i

23105j

21105i

23105BBB 555521

rrrrrrr

Ti105BBB 521

rrrr=+=

b. Primero se calcula la resultante de las fuerzas que actan sobre el tercer hilo, y de ella la fuerza

por unidad de longitud sobre el hilo 3.

Por ser los hilos paralelos y circular corrientes del mismos sentido, las fuerza entre ellos es de

atraccin.

En el esquema adjunto se muestran las fuerzas que actan sobre el hilo

3, la resultante es la suma vectorial de las fuerzas que generan los hilos 1 y 2

sobre el 3.

21 FFFrrr

+=

El modulo de la fuerza entre dos hilos conductores y paralelos es:

N1025,1252510,02

104II

d2

F 1

31

7

131o

1 lll

=

==

N1025,1252510,02

104II

d2

F 1

31

7

132o

2 lll

=

==

j1025,1i0FFF

j2

11025,1i

2

31025,1j30senFi30cosFF

j2

11025,1i

2

31025,1j30senFi30cosFF

13

21

13

13

222

13

13

111

rrrrr

rrrrr

rrrrr

=+=

==

==

l

ll

ll


28/33

28

La fuerza por unidad de longitud del hilo es:

j1025,1F 3

1

rr

=l

Septiembre 2002. Cuestin 2.- Un electrn se mueve con velocidad v en una regin del espaciodonde coexisten un campo elctrico y uno magntico, ambos estacionarios. Razone si cada uno de estos

campos realiza o no trabajo sobre esta carga.Solucin.

Campo magntico. Si la velocidad del electrn vr

y el campo magntico B forman un ngulo

0 .

( )BvqFmrrr

=

Aparece una fuerza magntica sobre el electrn, siempre perpendicular a vr

, por lo que se

origina una fuerza centrpeta, que genera en el electrn una trayectoria circular de radio:

Bq

VmR

R

vmBvq

2

==

por tanto, la fuerza magntica no realiza trabajo sobre el electrn, ya que no produce una traslacin del

mismo, sino una rotacin, por lo que la fuerza y el desplazamiento forman un ngulo de 90

090cosdFdFW === o

En el caso de que el ngulo entre v y B sea cero:

0senBVqFm ==

no se origina ninguna fuerza magntica

Campo elctrico.

EqFe =

Aparece una fuerza, que desplaza al electrn en la misma direccin del campo y en el mismo

sentido si la carga es positiva o en sentido contrario si es una carga negativa.

Por tanto, se realiza trabajo sobre el electrn:

dEqW0cosdEqWcosdFW ===

Septiembre 2002. Problema 1B. En la figura se presentan dos hilos conductores rectilneos de granlongitud que son perpendiculares al plano del papel y llevan corrientes de intensidades I1 e I2 de sentidos

hacia el lector.

a) Determine la relacin entre I1 e I2 para que el campo magntico B en el punto P sea paralelo a larecta que une los hilos indicada a la figura.

b) Para la relacin entre I1 e I2 obtenida anteriormente, determine la direccin del campo magnticoB en el punto Q (simtrico del punto P respecto del plano perpendicular a la citada recta que une

los hilos y equidistante de ambos).

Nota: b y c son las distancias del punto P a los conductores.

Solucin.

En la figura tenemos dos hilos conductores rectilneos de gran longitud al plano de papel con I1 e I2hacia el lector.a. Se pide hallar la relacin entre I1 e I2 para que el campo magntico B en P sea paralelo a la recta

que une los hilos. Los campos 1Br

y 2Br

que crean los hilos en el punto P son:


29/33

29

Si el campo resultante en P tiene la direccin de la recta que une los dos hilos (direccin OY),

slo tendr componente y, por lo que las componentes x de los dos campos han de anularse entre si:

cosBcosB 21rr

= (1)

Razones trigonomtricas y :

5

3cos

5

4sen ==

5

4cos

5

3sen ==

Desarrollando la expresin (1):

5

4

04'02

I

5

3

03'02

I 2o1o

=

simplificando

04'0

I4

03'0

I3 21 =

Por tanto, la relacin entre I1 e I2 tiene que ser:

304'0

03'04

I

I

2

1 = 1I

I

2

1 = 21 II =

El campo total en el punto P ser: (componente y)

5

3

04'02

I

5

4

03'02

IsenBsenBpB oo21 +=+=

rrr

es decir:

j04'0

03'0

03'0

04'0

10'0

IoBp

r

+

=

j)T(6

I125B op

r

=

b. Se pide para I1 = I2 hallar la direccin de Br

en el punto Q(simtrico a P)

Eje x:


30/33

30

xQ21 BcosBcosB =

5

3

03'02

I

5

4

04'02

IB ooQx

=

r

003'0

3

04'0

4

10

IoB

xQ=

=

r

las componentes x de 1B y 2B se anulan mutuamente.

Eje y:

+= senBsenBB 21Qy

r

+

=

+

=

03'0

04'0

04'0

03'0

10'0

IB

5

4

03'02

I

5

3

04'02

IB oQ

ooQ yy

rr

12

25

1'0

IB oQy

=

=

12

I250B oQy

=

6

oI125B

yQ

La direccin y sentido del campo B en es: j6

I125B oQ

=

Modelo 2002. Cuestin 3.- Una partcula cargada se mueve en lnea recta en una determinada regin.Si la carga de la partcula es positiva Puede asegurarse que en esa regin el campo magntico es nulo?

Cambiara su respuesta si la carga fuese negativa en vez de ser positiva?

Solucin.No puede asegurarse que no exista un campo magntico. Podra existir un campo magntico y la

partcula desplazarse paralela al campo, por lo que no se vera sometida a ninguna fuerza como pone de

manifiesto la ley:

BvqFrrr

= senBvqF =r

Si la partcula se desplaza paralela al campo, = 0 sen = 0 y F = 0, desplazndose conmovimiento rectilneo uniforme.

El signo de la carga solo influye en el sentido de la fuerza, si la fuerza en nula, el signo de la

carga no influye.

Septiembre 2001. Cuestin 3.-Una partcula de carga q = 16x1019 C se mueve en un campomagntico uniforme de valor B = 02 T, describiendo una circunferencia en un plano perpendicular a la

direccin del campo magntico con periodo de 32x107 s, y velocidad de 38106 m/s. Calcule:a) El radio de la circunferencia descrita.b) La masa de la partcula.

Solucin.a. Puesto que el periodo del movimiento circular es:

seg102'3T 7=

la velocidad angular es:

srad1096'1

T

2 7=

=

y el radio de la trayectoria lo hallamos relacionando la velocidad angular y la lineal:

0'194mR1096'1

108'3VRRV

7

6

=

=

==

b. El movimiento circular se debe a la fuerza de Lorentz que acta de fuerza centrpeta. A partir dela igualdad:

BvqR

vm

2

=

se despeja la masa de la partcula:


31/33

31

v

BRqm =

sustituyendo los datos:

kg10633'1m 27=

Septiembre 2001. Problema 2A.-Por un hilo conductor rectilneo e infinitamente largo, situadosobre el eje X, circula una corriente elctrica en el sentido positivo del eje X. El valor del campo

magntico producido por dicha corriente es de 3105 T en el punto P (0, -dP, 0), y es de 4105

T en elpunto Q (0, +dq, 0). Sabiendo que dP + dq = 7 cm, determine:

a. La intensidad que circula por el hilo conductor.b. Valor y direccin del campo magntico producido por dicha corriente en el punto de

coordenadas ( 0, 6 cm, 0).

Datos: Permeabilidad magntica del vaco 0 = 4107 N A

2

Las cantidades dP y dq son positivas.

Solucin.a. Las lneas de campo magntico generadas por elconductor son crculos concntricos con el mismo por tanto,en el plano yz.

El campo B que produce una corriente indefinida de

carga en un punto separado una distancia radial a del mismo

es:

a2

IB o

=

por tanto, el campo producido en los puntos Q y P:

-2-d2

IB-1-

d2

IB

p

op

q

oq

=

=

Conociendo el campo en los dos puntos y, sabiendo que :

m107dd 2pq=+

( )

=

=

q2

o5-

q

o5

d1072

IT103

d2

IT104

dividiendo ambas expresiones y simplificando:

( )q

q2

5-

5

d

d107

T310

T104 =

ecuacin de 1 grado que permite calcular qd .

cm4dcm3m03'0d pq ===

y la intensidad ,se puede calcular por -1-, por -2-.

( )7-oo

104siendo6AI

d2BI ===

b. En un punto A del eje y, el campo B tiene de mdulo:

T102B1062

A6104B6cmaSi

a2

IB 5A2

7

Ao

A

=

===

La direccin del vector AB es tangente a la lnea del campo magntico que pasa por ese punto, por tanto

tiene direccin .k

El sentido dado por la regla de la mano derecha es ( )k+ :( )Tk102B 5A

rr =


32/33

32

Junio 2001. Cuestin 3. Un electrn que se mueve con una velocidad de 106 m/s describe una rbitacircular en el seno de un campo magntico uniforme de valor 01 T cuya direccin es perpendicular a la

velocidad. Determine:

a) El valor del radio de la rbita que realiza el electrn.b) El nmero de vueltas que da el electrn en 0001 s.

Datos: Masa del electrn me= 911031 kg

Valor absoluto de la carga del electrn e = 161019

CSolucin.

a. La fuerza de Lorentz que experimenta el electrn, hace que describa una trayectoria circular. Esuna fuerza normal. (siempre perpendicular a la velocidad).

( )BxVqF = El modulo de F es:

90senBVqF =

que es la fuerza centrpeta, por tanto:

BVqR

vm-1-

2

=

de -1-, se despeja el radio de la rbita:

qB

vmR

=

Sustituyendo los valores numricos:

m1068'5R 5=

b. Se calcula el periodo(T) del movimiento circular:

seg3'5710Tv

R2T 10-=

= (tiempo que tarda en dar 1 vuelta)

El n de vueltas ser:

=

revolucinseg

1057'3

seg001'0

10

62'810:vueltasn


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5.3 campo magnético. soluciones.pdf

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