campo magnético 1º carrera

1

Tema 10. Campo magnético en el vacío. Inducciónmagnética

10.1. Introducción

10.2. Fuerza magnética. Fuerza de Lorentz

10.3. Fuerza magnética sobre un conductor por el que circula corriente

10.4. Campo magnético de una carga en movimiento

10.5. Campo magnético de un elemento de corriente. Ley de Biot-Savart

10.6. Fuerza magnética entre dos conductores paralelos

10.7. Líneas de campo magnético y flujo magnético. Ley de Gauss

10.8. Ley de Ampère

10.9. Inducción electromagnética. Ley de Faraday

10.10. Autoinducción. Asociación de inductancias

10.11. Energía magnética

1

10.1 Introducción

Todo el mundo utiliza las fuerzas magnéticas, sin ellas no habríani motores eléctricos, ni imágenes de televisión, ni hornosmicroondas ni impresoras. Los aspectos más familiares delmagnetismo son los imanes permanentes que atraen objetos dehierro y que pueden atraer o repeler a otros imanes.

Los fenómenos magnéticos con imanes permanentes seobservaron por primera vez hace 2550 años en Turquía.

La aguja de una brújula que se alinea con el campo magnético dela Tierra es una ejemplo de esta interacción.

2

2

10.1 Introducción

Inicialmente las interacciones magnéticas entre imanespermanentes se describieron utilizando el concepto de polosmagnéticos.

Cada imán permanente está formado por dos polos. Un poloNorte o N, y el otro extremo es el polo Sur o S. Los polosopuestos se atraen y los polos iguales se repelen:

S N N S

S N S N Se atraen

Se repelen

3

10.1 Introducción

El concepto de polo magnético, parece análogo a la cargaeléctrica así decíamos en el tema 7 que había cargas positivas ynegativas y ahora decimos que hay polo norte y polo sur.

Sin embargo esta analogía es errónea ya que hay una diferenciafundamental e importantísima entre la carga eléctrica y el polomagnético. Aunque sí existen cargas positivas y negativasseparadas (protones y electrones) no hay pruebas de que existaun sólo polo magnético aislado, es decir siempre aparecen enpareja. Si un imán permanente lo dividimos en dos partes, cadauna de ellas constará de un polo norte y un polo sur. Losmonopolos magnéticos no existen.

4

3

10.1 Introducción

Cuando se habla de un imán de una brújula decimos que tieneun polo norte y un polo sur, aunque se debería decir máscorrectamente que tiene un polo que “busca el norte” y un“polo que busca el sur”. Por esto se entiende que el polo nortede un imán buscará el polo norte geográfico de la Tierra.

Puesto que el polo norte de un imán es atraído por el polonorte geográfico de la Tierra se concluye que el polo nortegeográfico coincide con el polo sur magnético y viceversa.

El eje magnético terrestre no coincide con el eje geográfico (ejede rotación de la Tierra) de modo que en realidad la indicaciónde la aguja está ligeramente desviada del norte geográfico. Estadesviación se llama declinación magnética.

5

10.1 Introducción

La fuerza magnética terrestre disminuyó un 10% en los últimos 16años, esto la hace más vulnerable a la radiación cósmica, posibleinversión de los polos dentro de 800.000 años.

Polo norte geográfico

Polo sur geográfico

S

N

6

4

10.1 Introducción

Aunque inicialmente trató de explicarse la interacción magnéticaen función de los polos magnéticos. En 1820 un físico danésllamado H.C. Oersted descubrió que cuando colocaba unabrújula cerca de un cable por el que circulaba una corriente laaguja de desviaba, descubrió entonces que la naturalezafundamental del magnetismo es la interacción entre cargaseléctricas en movimiento. A diferencia de las fuerzas eléctricasque actúan sobre cargas fijas o en reposo, las fuerzas magnéticaspueden actuar exclusivamente sobre cargas en movimiento.Este descubrimiento demostró que las interacciones eléctricas ymagnéticas están por tanto íntimamente vinculadas. Losprincipios unificadores del electromagnetismo se expresan conlas ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones representan lasíntesis del electromagnetismo al igual que las ecuaciones deNewton representan la síntesis de la mecánica.

7

10.1 Introducción

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x xx x x x x x x

Campo vectorial en dirección perpendicular al papel con sentido hacia fuera del papel

Campo vectorial en dirección perpendicular al papel con sentido hacia dentro del papel

En el desarrollo de este tema van a ser fundamentales lasrepresentaciones en tres dimensiones. Para facilitar esos dibujos,se va a seguir el convenio en el que la dimensión definida por ladirección perpendicular al papel (en sentido hacia dentro del papel ohacia fuera del papel) es la siguiente:

Eje z >0 Eje z <00k >

0k <

8

5


10.1. Introducción


10.3. Fuerza magnética sobre un conductor por el que circula corriente








10.11. Energía magnética

9

10.2 Fuerza magnética. Fuerza de Lorentz

Para introducir el campo magnético, repasamos la interacción eléctrica que vimos en los temas anteriores:

Una distribución de cargas en reposo produce un campoeléctrico, , en el espacio que la rodeaEl campo eléctrico ejerce una fuerza sobre cualquier cargaq0 que se encuentre en ese campo que está dada por:

E

EqF

=

Un conjunto de cargas en movimiento produce un campomagnético en el espacio circundanteEl campo magnético ejerce una fuera sobre cualquier otracarga en movimiento presente en el campo

10

6


En la electrostática, la interacción entre cuerpos se describeutilizando el concepto de campo eléctrico. Además de un campoeléctrico, la región del espacio que rodea a una carga eléctricamóvil también contiene un campo magnético.

B

Campo magnético magnitud vectorial,

Se puede definir el campo magnético, en algún punto del espacioen términos de la fuerza magnética, , que el campo ejercesobre una partícula cargada que se mueve con velocidad:

BF

11


Se han realizado varios experimentos acerca del movimiento departículas cargadas observando los siguientes resultados:

1. La magnitud de la fuerza magnética es proporcional a lacarga (q) y a la rapidez de la partícula (v)

2. La magnitud y la dirección de la fuerza magnética dependede la velocidad de la partícula y de la magnitud y direccióndel campo magnético

3. Cuando una partícula cargada se mueve en la direcciónparalela al vector campo magnético, la fuerza magnética queactúa sobre la partícula es nula

12

7


Se han realizado varios experimentos acerca del movimiento departículas cargadas observando los siguientes resultados:

4. Cuando el vector velocidad, , de la partícula forma unángulo ≠0 con el campo magnético, , la fuerza magnéticaactúa en la dirección perpendicular tanto a v como a B, esdecir es perpendicular al plano que forman y

5. La fuerza magnética ejercida sobre una carga positiva estáen el sentido opuesto, al sentido de la fuerza ejercida sobreuna carga negativa que se mueve en la misma dirección

6. La magnitud de la fuerza magnética es proporcional al senθ,siendo θ el ángulo que forman y

B

BF

B

B

v

v

v

13


BvqFB

×=

Todas estas observaciones pueden resumirse escribiendo la siguiente ecuación para la fuerza magnética:

•Si q>0, la fuerza tiene sentido de Bv

×

•Si q<0, la fuerza tiene sentido contrario a Bv

×

IMPORTANTE REPASAR :

PRODUCTO VECTORIALREGLA DE LA MANO DERECHAó REGLA DEL SACACORCHOS

14

8


Producto vectorial

iBB

=kAA

=

jAB0B

00k

0B

A0j

00

A0i

00B

A00

kji

BAC

=+−==×=

Ojo!! ABBA

×≠×

jAB00

0Bk

A0

0Bj

A0

00i

A00

00B

kji

ABD

−=+−==×=

15


x>0

y>0

z>0

CONVENIO SIGNOS

Horario <0

Antihorario >0

Producto vectorial

iBB

=kAA

=

B

A

BAC

×=

B

A

ABD

×=

llevo A sobre Bpor camino más corto

BAC

×=

ABD

×=

llevo B sobre Apor camino más corto

16

9


Producto vectorial

iBB

=jvv

=

kBvqk0B

v0q

00B

0v0

kji

qBvqFB

−===

×=

•Si q>0

•Si q<0 kvBqFB

+=

kvBqFB

−= B

BF

B

BF

-

+

17


18

10


19

-


a) b) c)

Caso b)

kB0

vvqj

00

0vqi

0B

0vq

0B0

0vv

kji

qBvqFy

yxx

y

y

y

yxB

−−+

−−

−=−−=

×=

kBvqj0i0F yxB

−+= kBvqF yxB

−=

20

11


Hay varias diferencias entre las fuerzas eléctricas y magnéticas:

1. La fuerza eléctrica actúa en la dirección del campoeléctrico mientras que la fuerza magnética actúa en ladirección perpendicular al campo magnético

2. La fuerza eléctrica actúa sobre una cargaindependientemente de que esté en reposo o enmovimiento, mientras que la fuerza magnética actúa sólosobre cargas móviles

3. La fuerza eléctrica realiza un trabajo para desplazar unapartícula cargada mientras la fuerza magnética no trabajacuando se desplaza la partícula:

0dBvqdFWb

a

b

a

Bba =

×== →

dBv ⊥

×

0º90cos =21


Unidades del campo magnético:

Algunos órdenes de magnitud del campo eléctrico:•Superficie de la Tierra 10-4 T•Imán de barra 10-2 T•Unidad médica de IRM 1.5T•Cerebro humano (impulsos nerviosos) 10-13 T

BvqFB

×= )T(Tesla

mAN

msC

N1

→=−

G10T 4=)G(Gauss)T(Tesla →SI CGS

22

12


×+= BvEqF

Fuerza de Lorentz

Cuando una partícula cargada se desplaza a través de una regióndel espacio en donde hay campo eléctrico y magnético,ambos campos ejercen fuerza sobre la partícula siendo lafuerza total:

×+=+= BvqEqFFF BE

23


10.1. Introducción


10.3. Fuerza magnética sobre un conductor por el que circula

corriente








10.11. Energía magnética24

13

10.3 Fuerza magnética sobre un conductorpor el que circula corriente

Podemos calcular la fuerza magnética sobre un conductor por elque circula corriente empezando por la fuerza magnética sobreuna sola carga en movimiento dentro de ese conductor.

En esta figura se muestra un segmentorecto de un cable conductor de longitud L ysección transversal A, la corriente va de laparte inferior a la superior. El cable está enun campo magnético uniforme dirigidohacia dentro y perpendicular al plano.Supongamos que las cargas son positivas.

x x x x x x x

x x x x x x x


B

L I

A

+v

BF

iBvqiº90senBvqBvqFB

−=

−=×=

25


Podemos deducir la expresión para la fuerza total sobre laspartículas en movimiento en un conductor de longitud L y consección transversal A, utilizando el mismo lenguaje que en eltema anterior cuando hablamos de corriente eléctrica.

x x x x x x x

x x x x x x x


B

L I

A

+v

BF

Sea n el número de cargas móviles porunidad de volumen, entonces nAL será elnúmero total de cargas en ese trozo.

La magnitud de la fuerza magnética total sobre las cargas que se mueven en ese segmento será:

inALqvBFB

−= iLBqvnAFB

−= iLBIFB

−=

I=corriente

26

14


Si el campo magnético es uniforme pero no es perpendicular alplano del cable sino que forma un ángulo φ con él, sólo lacomponente perpendicular al cable (y por tanto a la velocidad)ejerce una fuerza:

φ== senBLILBIFB

φ=⊥ BsenB

BLIFB

×=

Donde es un vector que tiene de módulo la longitud del cable y la dirección y sentido de la corriente.

L

plano xy

B

I

F

paralelaB

perpendB

φL

27


1. ¿Qué sucede si las cargas en movimiento son negativas?

En este caso una corriente hacia arriba, corresponde a unavelocidad hacia abajo pero debido a que q<0, la dirección dees la misma que la anterior.

Por lo tanto las ecuaciones siguientes son válidas tanto paracargas positivas como negativas,

e incluso cuando ambos tipos de cargas están presentescomo es el caso de los materiales semiconductores o en lassoluciones iónicas.

LBIFB =BLIFB

×=

28

15


29


2. ¿Qué ocurre si el alambre no es recto?

En este caso podemos dividir el alambre en infinitos trozos delongitud, , lo suficientemente pequeños cómo para poderconsiderarlos como rectos.

d

Ba

dL b La fuerza magnética, , sobre cada

trocito del alambre será:BFd

BdIFd B

×=Podemos integrar esta expresión a lo largo detoda la longitud del cable para encontrar lafuerza total sobre el conductor.

×=b

a

B BdIF

En esta ecuación a y b

representan los extremos del cable

I

30

16


Como estamos suponiendo que el campo magnético es uniforme,puede sacarse de la integral obteniendo:

BdIFb

a

×

= B

Esta cantidad representa el vectorsuma de todos los elementos delongitud entre a y b, es decir lalongitud total del cable.

b

a

d

B'LIFB

×=

La fuerza magnética que actúa sobre unaalambre curvo que conduce una corrienteen un campo magnético uniforme, esequivalente, a la fuerza sobre un alambrerecto tendido entre los extremos delalambre curvo

B

a

d'L b

L

31


Si el alambre curvo es una espira cerrada entonces tendremos:

( ) BdIFB

×=

0d =

BdIFb

a

B

×

=

espira cerrada

N0FB =

La fuerza magnética que actúa sobre una espiracerrada que conduce una corriente en un campomagnético uniforme, es nula.

Como el conjunto de elementos delongitud forma en este caso unpolígono cerrado, la suma vectorialdebe ser cero. Esto se desprendedel procedimiento gráfico de lasuma de vectores por el método delpolígono

B

I

d32

17


Ej. Los cuatro alambres de la figura conducen la misma corriente del punto A al punto B através del mismo campo magnético. ¿Qué alambre experimenta la mayor fuerza magnética?Clasifique la magnitud de la fuerza magnética de mayor a menor.

B

0m 1m 2m 3m 4m

A

B

0m 1m 2m 3m 4m

A B

B

0m 1m 2m 3m 4m

AB

B

( )Bm4IFB α

A

0m 1m 2m 3m 4m

BB

( )Bm5.3IFB α

( )Bm2IFB α

( )Bm3IFB αCaso a Caso b

Caso c Caso d

( ) ( ) ( ) ( )dcasoFacasoFbcasoFccasoF BBBB >>>33


Fuerza magnética sobre un alambre por el que circula corrientea través de un campo magnético:

xxxxx

xxx

xxxxx

xxx

B

I

iB0

0LI

B00

0L0

kji

IBLIFB

−=

−=

×=

iBLIF

−=B

kBB

−=

jLL

=

BF

El cable se desvía hacia la izquierda

34

18


Fuerza magnética sobre un alambre por el que circula corrientea través de un campo magnético:

xxxxx

xxx

xxxxx

xxx

B

I

iB0

0LI

B00

0L0

kji

IBLIFB

−−

=−

−=

×=

iBLIFB

=

kBB

−=

jLL

−=

BF

El cable se desvía hacia la derecha

35


Fuerza magnética sobre un alambre a través de un campomagnético:

xxxxx

xxx

xxxxx

xxx

B

I=0

N0FB =

kBB

−=

El cable no se desvía permanece vertical

I=0

La fuerza magnética que actúa sobre el

cable es nula

36

19


10.1. Introducción



corriente









10.4 Campo magnético de una carga en movimiento

Vamos a estudiar el campo magnético creado por una carga enmovimiento. Al igual que en el campo eléctrico, llamaremospunto fuente al punto donde se encuentra la carga que produceel campo y punto campo al punto P donde deseamos encontrarel campo magnético.

En el tema 1 encontramos que el campo eléctrico esproporcional a q y a 1/r2, donde r es la distancia del punto fuenteal punto donde se calcula el campo. Y que la dirección de paraq>0 era la de es decir la del vector que une el punto fuentecon el punto campo.

E

r

¿Qué ocurre con el campo magnético?

38

20


Los experimentos demuestran que es proporcional a q y a1/r2 pero la dirección de no es a lo largo de la recta que vadesde el punto fuente al punto campo, en vez de ello el vectores perpendicular al plano que contiene esa línea y el vectorvelocidad,

B

B

v

Además el módulo de es proporcional a la velocidad y al senβ,siendo β el ángulo que forman y r

v

B

Así pues consideremos una partículacargada en el plano xy, y queremoscalcular el campo magnético en elpunto P.+

v

r

P

β plano xy

39


La magnitud o el módulo de en el punto P a una distancia r dela partícula está dado por:

B

+v

r P

β

plano xy

20

r

senvq

4B

βπ

μ=

donde μ0/4π es una constante

Tenemos que poner también la dirección y el sentido de quedecíamos que era perpendicular al plano formado por y . Loescribimos así:

B

r

v

20

r

r̂vq4

B×

πμ=

Campo magnético parauna carga puntual convelocidad constante

β=×=β sen1vrvsenv

Utilizando:

B

μ0 es la permeabilidad del vacío

μ0 = 4π 10−7 Tm/A

40

21


+v

r P

β

plano xy

Si la carga es q>0

20

r

r̂vq4

B×

πμ=

B

Si la carga es q<0 r̂vacontrariosentidoB ×

r̂vaigualsentidoB ×

-v

r P

β

plano xy

B

llevopor camino más corto

r̂sobrev

llevopor camino más corto

r̂sobrev

41


+v

r

Q

β=0plano xy

En cualquier punto (Q) que pertenezca a la línea que pasa por lacarga es decir paralela a

20

r

r̂vq4

B×

πμ=

T0BQ =

v

v

paralela a

+v

r

S

β

plano xy

B

Campo magnético en otropunto (S)

Q

P

42

22


10.1. Introducción



corriente








10.11. Energía magnética 43

10.5 Campo magnético de un elemento de corrienteLey de Biot-Savart

Al igual que en el campo eléctrico, existe un principio desuperposición de los campos magnéticos. Así el campo magnéticoasociado a varias cargas en movimiento es la suma vectorial delos campos producidos por cada una de las cargas.

Supongamos entonces al igual que hemos hecho en ocasionesanteriores, que el conductor está formado por muchos trocitos yelegimos uno de longitud y de área transversal A, por el quecircula una corriente I:

d

v

P

β plano xy

d

I

El trocito tiene un volumen Ad. Siexisten n partículas por unidad devolumen cada una de ellas con carga q, lacarga total de ese trozo será:

qdAndQ =44

23


Aplicando la ecuación deducida en el punto anterior para elcampo eléctrico de una carga en movimiento, tendremos que elmódulo del campo (dB) producido por ese trocito es:

qdAndQ =2

0

r

vsendQ4

dBβ

πμ=

20

r

vsenqdAn4

dBβ

πμ= Teniendo en cuenta la expresión para la

corriente eléctrica vista en el tema anterior:

qvAnI =

20

r

sendI4

dBβ

πμ=

45


Esta ecuación se puede escribir vectorialmente como:

20

r

r̂dI4

Bd×

πμ=

Ley de Biot-SavartCampo magnético de un conductorpor el que circula una corriente (I)

d Vector de módulo d y dirección ysentido los de la corriente

×

πμ=

20

r

r̂dI4

B

v

P

β

d

Iv

β

d

I

S

B

B

46

24


Regla de la mano derecha: si ponemos elpulgar en el sentido que va la corriente, lamano nos da la dirección en la que apuntael campo magnético.

I

B

B

B

B

B

B

B

B

47


I

B

I

B

x

Conductor recto situado en el eje z por el que circula una corriente dirigida hacia

fuera de la hoja

Conductor recto situado en el eje z por el que circula una corriente dirigida hacia

dentro de la hoja

48

25


10.1. Introducción



corriente









10.6 Fuerza magnética entre dos conductores paralelos

Hemos visto ya cómo se calcula la fuerza magnética que produceun conductor por el que circula una corriente, cuando sobre élactúa un campo magnético uniforme externo. Como un conductorestablece su propio campo magnético, es sencillo entender quedos conductores que llevan corriente ejercen fuerzas magnéticasentre sí.

Considere dos alambres muy largos paralelos y rectos, separadosuna distancia a y que conducen corrientes I1 e I2 en la mismadirección:

aI1

I2

50

26

Se puede determinar la fuerza producida por el alambre debido aun campo magnético establecido por el otro alambre.

El alambre 2 que conduce una corriente I2produce un campo magnético en laposición del alambre 1. Calculemos estecampo:

a2I

B 202 π

μ=

aI1

I2

r̂d ×

Módulo, tomamos la expresión calculada en la sección anterior para el campo que produce un hilo muy largo:

La dirección y el sentido del campo vendrán dados por el producto vectorial


51

aI1

I2 010

00d

kji

r̂d

=×

ka2I

B 202

πμ=

El campo magnético sobreun punto del alambre 1estará dirigido hacia fuerade la hoja en el eje z

kr̂d

+→×

La fuerza magnética que el alambre 2 ejerce sobre el 1 será:

2121 BIF

×=212121 BIº90senBIF ==


52

27

aI1

I2 a2I

IF 20121 π

μ=

Sustituyendo en la ecuación anterior el valor del campo magnético, obtenemos:

La dirección y el sentido de la fuerza vendrán dados por el producto 2B

×

2

2

B00

00d

kji

B

=× j2

−→× B ja2I

IF 20121

πμ

−=El sentido de la fuerza es hacia el

alambre 2 es decir se atraen.


53

Conductores paralelos que conducen corriente en el mismosentido se atraen, y conductores paralelos que llevan corrienteen sentido contrario se repelen.

I1

I2

I1

I2

21F

12F

21F

12F

SE REPELENSE ATRAEN


54

28


Si colocamos una espira rectangular por la que circula una corriente eléctrica en el interior de un campomagnético uniforme, la espira experimentará un giro. Si la espira se conecta a un eje, podremos convertirla energía eléctrica que circula por la espira en energía mecánica. Precisamente esta es la base de losmotores eléctricos, aunque en lugar de emplear una espira utilizaremos una bobina, ya que así el efectoresultante será mucho mayor.

55

campo magnético 1º carrera

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