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AULA 09 – MEDIDAS DE DISPERSÃO – PARTE 3

Olá, amigos!

Hoje é o dia de resolvermos todas as questões pendentes de Medidas de Dispersão! Por meio destas resoluções, veremos como o assunto costuma ser cobrado em prova! Ok? Espero que todos já tenham ao menos tentado resolvê-las! Vamos lá!

Dever de Casa

01. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o

valor do desvio médio é: a) 2,1 d) 2,8 b) 2,4 e) 3,1 c) 2,6 Sol.: Quando a questão fala em desvio médio, está, na verdade, falando em Desvio Médio Absoluto, ou em Desvio Absoluto Médio. Vimos que estes nomes são todos sinônimos!

Começaremos por onde? Pela fórmula! É sempre assim: a fórmula é o ponto de partida da resolução!

Uma vez que nosso conjunto é representado por um rol, teremos que:

DAM para ROL: n

XXiDAM

∑ −=

Assim, olhando para o numerador, vemos que a Média ( X ) ainda não é nossa conhecida! Vamos, pois, calcular a Média. Teremos:

( ) 7

535

5119753

==++++

== ∑nXi

X

Agora, ainda de olho no numerador, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:

(Xi- X )={(3-7), (5-7), (7-7), (9-7), (11-7)} = {-4, -2, 0, 2, 4}

Ocorre que a fórmula não pede apenas (Xi- X ). Ela pede o módulo de (Xi- X ).

Assim, teremos:

(Xi- X ) ={4, 2, 0, 2, 4}

E a soma destes elementos será:

( )∑ =++++=− 1242024XXi

Com isso, chegamos ao numerador da fórmula do Desvio Absoluto Médio! E quanto ao denominador? O que significa esse n? Ora, significa número de elementos do conjunto! E quantos são? São 5. Assim, concluindo a resolução, diremos que:

DAM=12/5 DAM=2,4 Resposta!



02. (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) O desvio padrão do conjunto de dados A={2,

4, 6, 8, 10} é, aproximadamente: a) 2,1 b) 2,4 c) 2,8 d) 3,2 e) 3,6 Sol.: Este enunciado fala agora em Desvio Padrão! Uma vez que nosso conjunto é um rol, e que não foi dito em momento algum que se tratava de uma amostra, calcularemos o S da seguinte forma:

Desvio Padrão Populacional para Rol: ( )

nXXi

S ∑ −=

2

O primeiro passo será descobrir o valor da Média do conjunto. Teremos:

( ) 6

530

5108642

==++++

== ∑nXi

X

Agora, construiremos o conjunto (Xi- X ). Teremos:

(Xi- X )={(2-6), (4-6), (6-6), (8-6), (10-6)} = {-4, -2, 0, 2, 4}

O numerador da fórmula pede que nós encontremos agora o conjunto dos quadrados de

(Xi- X ). Fazendo isso, teremos:

(Xi- X )2={(-4)2, (-2)2, (0)2, (2)2, (4)2} = {16, 4, 0, 4, 16}

Continuando a análise do numerador, teremos agora que somar os elementos do conjunto construído acima. Teremos:

( ) ( )∑ =++++=− 4016404162

XXi

Este é o nosso numerador! E o denominador é n (número de elementos do conjunto). Assim, teremos, finalmente, que:

( )

nXXi

S ∑ −=

2

8540

==S =2,8 Resposta!

03. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma

amostra de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho registradas para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, o valor do desvio padrão desta amostra é:

a) 3 c) 10

b) 9 d) 30 Sol.: Novamente aqui o enunciado quer saber o valor do desvio padrão do rol. Mas, diferentemente do exemplo anterior, por duas vezes é dito que o conjunto representa uma amostra. O que significa isso, em termos práticos? Significa que nossa fórmula terá que ser corrigida, com um acréscimo de menos 1 no denominador. Lembrados? A equação será a seguinte:

( )

1

2

−−

= ∑n

XXiS

O primeiro passo será o cálculo da Média. Teremos:



( ) 0,3

1030

1010644222000

==+++++++++

=X

Na seqüência, construiremos o conjunto (Xi- X ). Fazendo isso, teremos:

(Xi- X )={(0-3), (0-3), (0-3), (2-3), (2-3), (2-3), (4-3), (4-3), (6-3), (10-3)}

Assim:

(Xi- X )={(-3), (-3), (-3), (-1), (-1), (-1), (1), (1), (3), (7)}

Elevando todo mundo ao quadrado, teremos:

(Xi- X )2={(-3)2, (-3)2, (-3)2, (-1)2, (-1)2, (-1)2, (1)2, (1)2, (3)2, (7)2}

Daí:

(Xi- X )2={9, 9, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 49}

O numerador da fórmula pede que somemos esses elementos. Faremos:

( )∑ =−2

XXi (9+9+9+1+1+1+1+1+9+49)=90

O denominador, por sua vez, será (n-1), uma vez que estamos diante de uma amostra. Assim, sendo que n=10, então (n-1)=9.

Aplicando a fórmula inteira, teremos:

( )

1

2

−−

= ∑n

XXiS 10

990

==S Resposta!

Repare apenas que se nos esquecêssemos de pôr o -1 no denominador (por conta da amostra!), chegaríamos a uma outra opção de resposta, que não seria a correta!

Adiante!

04. (Fiscal de Rendas RJ 2003 FJG) O desvio-padrão populacional dos valores 30,

40 e 50 é igual, aproximadamente, a: A) 8 B) 8,16 C) 10 D) 10,16

Sol.: Questão semelhante à segunda. O conjunto é uma população e está representado por um rol. Comecemos pela fórmula. Teremos:

Desvio Padrão Populacional para Rol: ( )

nXXi

S ∑ −=

2

Descubramos logo o valor da Média do conjunto. Teremos:

( ) 40

3120

3504030

==++

== ∑nXi

X


(Xi- X )={(30-40), (40-40), (50-40)} = {-10, 0, 10}





(Xi- X )2={(-10)2, (0)2, (10)2} = {100, 0, 100}


( ) ( )∑ =++=− 20010001002

XXi


( )

nXXi

S ∑ −=

2

67,663

200==S =8,16 Resposta!

05. (AFC-94) Uma empresa que possui 5 máquinas copiadoras registrou em cada

uma delas no último mês (em 1000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias, respectivamente. O valor da variância desta população é:

a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 25 Sol.: Esta questão pede o cálculo da Variância Populacional de um Rol. Começaremos, como sempre, pondo a fórmula no papel. É a seguinte:

Fórmula da Variância Populacional para Rol: ( )

nXXi

S ∑ −=

2

2

Como primeiro passo, teremos que descobrir a Média do conjunto. Teremos:

( ) 25

5125

53027252320

==++++

== ∑nXi

X


(Xi- X )={(20-25), (23-25), (25-25), (27-25), (30-25)} = {-5, -2, 0, 2, 5}



(Xi- X )2={(-5)2, (-2)2, (0)2, (2)2, (5)2} = {25, 4, 0, 4, 25}


( )∑ −2

XXi = 58


( )

nXXi

S ∑ −=

2

2 S2=558

=11,6 Resposta!



06. (Controlador de arrecadação RJ 2004 FJG ) Os valores de uma amostra de

cinco elementos são: 4, 3, 3, 5 e 5. A variância dessa amostra é de: A) 4,00 b) 3,00 c) 2,33 d) 1,00 Sol.: A questão agora pede o cálculo da Variância Amostral. Ou seja, nosso conjunto agora representa não mais a população, e sim apenas uma amostra! Isso influencia nossas contas, como já sabemos! O denominador da fórmula terá que receber o menos 1. Assim:

Fórmula da Variância Amostral para Rol: ( )

1

2

2

−−

= ∑n

XXiS

Antes de mais nada, convém que coloquemos esses elementos em ordem crescente, para que se configure realmente o rol. Teremos:

(3, 3, 4, 5, 5)

Agora, sim! Na seqüência, descobriremos a Média do conjunto. Teremos:

( ) 0,4

520

555433

==++++

== ∑nXi

X


(Xi- X )={(3-4), (3-4), (4-4), (5-4), (5-4)} = {-1, -1, 0, 1, 1}



(Xi- X )2={(-1)2, (-1)2, (0)2, (1)2, (1)2} = {1, 1, 0, 1, 1}


( )∑ −2

XXi = 4


( )

1

2

2

−−

= ∑n

XXiS S2=

44

=1,0 Resposta!

07. (AFPS-2002/ESAF) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a

opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 Sol.: Novamente se pede o cálculo da Variância de um Rol. Embora não tenha sido usada a palavra amostra de forma expressa, o enunciado indica que devemos calcular a Variância Amostral, no instante em que determina que deveremos usar o denominador 4 nos nossos cálculos. Ora, se o conjunto tem n=5 elementos, e usaremos 4 no denominador, é porque está sendo feita a correção da fórmula para o caso da amostra!

Colocando a fórmula no papel, teremos:



Fórmula da Variância Amostral para Rol: ( )

1

2

2

−−

= ∑n

XXiS

Antes de mais nada, convém que coloquemos esses elementos em ordem crescente, para que se configure realmente o rol. Teremos:

(2, 3, 4, 4, 7)

Agora, sim! Na seqüência, descobriremos a Média do conjunto. Teremos:

( ) 0,4

520

574432

==++++

== ∑nXi

X


(Xi- X )={(2-4), (3-4), (4-4), (4-4), (7-4)} = {-2, -1, 0, 0, 3}



(Xi- X )2={(-2)2, (-1)2, (0)2, (0)2, (3)2} = {4, 1, 0, 0, 9}


( )∑ −2

XXi = 14


( )

1

2

2

−−

= ∑n

XXiS S2=

414

=3,5 Resposta!

08. (AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram

obtidos de uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23

Os valores seguintes foram calculados para a amostra:

Σi Xi = 490 e Σi Xi2 – (Σi Xi )2/ 50 = 668

Assinale a opção que corresponde à mediana e à variância amostral, respectivamente (com aproximação de uma casa decimal) a) (9,0 13,6) d) (8,0 13,6) b) (9,5 14,0) e) (9,0 14,0) c) (8,0 15,0) Sol.: Esta questão pede duas coisas: a Mediana e a Variância Amostral. O conjunto, como vemos, está representado por um rol.

Comecemos pela Mediana. Ora, se o conjunto é um rol, então faz diferença se o n é o número par ou ímpar! Neste caso, temos que n=50, logo, um número par.



E se n é um número par, significa que haverá duas posições centrais no conjunto! Estas serão determinadas assim:

1ª Posição central: (n/2) = 50/2 = 25ª posição!

2ª Posição central: a vizinha posterior = 26ª posição.

Pronto! De resto, basta descobrir agora quais são os elementos que ocupam, respectivamente, estas duas posições; e depois fazer a média deles dois, ou seja, somá-los e dividir por dois o resultado da soma.

Esta média nem será necessária, uma vez que as duas posições centrais são, ambas, ocupadas por um mesmo elemento (9). Assim, chegamos à primeira resposta:

Md=9,0.

E quanto à Variância Amostral? Ora, percebamos que o enunciado nos forneceu um dado adicional. Foi dito que:

Σi Xi2 – (Σi Xi )2/ 50 = 668

Será que esse dado vai servir de alguma coisa?

Para saber disso, precisamos colocar no papel as duas fórmulas: a básica e a desenvolvida. Teremos:

Fórmula Básica da Variância Amostral para Rol:

( )1

2

2

−−

= ∑n

XXiS

Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Rol:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑ ∑

nXi

Xin

S2

22 .1

1

Ora, se bem observarmos, perceberemos que o dado adicional da questão aparece na fórmula desenvolvida da variância! Sim! Todos enxergaram? Ele é o colchete da fórmula! Já todo calculado para nós, de bandeja! Assim, ficou evidenciado que adotaremos a equação desenvolvida para resolver essa questão, e com imenso benefício para nós!

Teremos:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑ ∑

nXi

Xin

S2

22 .1

1 [ ] 6,13

49668668.

15012 ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−=S Resposta!

Essa questão foi da prova do Fiscal da Receita de 1998. Foi a minha primeira tentativa (frustrada) de virar fiscal. Lembro como se fosse hoje, que eu olhava para esse dado adicional e pensava comigo: tenho certeza que isso serve para alguma coisa... Infelizmente, à época, eu não conhecia ainda a fórmula desenvolvida da variância. Uma pena!

Adiante!



09. (AFC-94) A média e a variância do conjunto dos salários pagos por uma

empresa eram de $285.000 e 1,1627x1010, respectivamente. O valor da variância do conjunto dos salários após o corte de três zeros na moeda é:

a) 1,1627x107 c) 1,1627x105 b) 1,1627x106 d) 1,1627x104 Sol.: Aqui vem uma questão fácil, mas interessante! Ela explora uma propriedade da variância: a propriedade do produto e divisão!

Foi dito que haverá um corte de 3 zeros na moeda.

Assim, quem ganhava 1000, com esses três zeros a menos, passará a ganhar 1. Quem ganhava 2000 vai ganhar 2; quem ganhava 3000 vai ganhar 3.

Concordam?

E qual é a operação matemática que faz com que 1000 vire 1, 2000 vire 2, e 3000 vire 3?

Dividir por 1000, claro! E 1000 é o mesmo que 103.

Tudo bem até aqui?

Assim, concluímos: todos os elementos do conjunto original (salários originais) foram divididos por uma mesma constante (103).

O que diz a propriedade da Variância sobre isso? Diz que a nova variância, ou seja, a variância do novo conjunto, será igual à variância do conjunto original dividida pelo quadrado da constante!

Quem é o quadrado de 103? É 106.

Isso é uma propriedade da potenciação. Potência de potência! Repete a base e multiplicam-se os expoentes. Lembrados? O que fizemos foi isso:

(103)2 = 10(3x2) = 106

Melhorou?

Assim, a nova variância será dividida por 106. Teremos:

Nova Variância = 6

10

10101627,1 x

= 1,1627x104 Resposta!

Nesta última conta foi usada uma outra propriedade da potenciação: a divisão de potencia de mesma base. O que se faz neste caso? Repete-se a base, e subtraem-se os expoentes! A base é 10. Foi repetida. Os expoentes eram 10 e 6. Foram subtraídos. E o que restou? 10 elevado a 4.

Entendido? Adiante!

10. (BACEN-94) Em certa empresa, o salário médio era de $90.000,00 e o desvio

padrão dos salários era de $10.000,00. Todos os salários receberam um aumento de 10%. O desvio padrão dos salários passou a ser de:

a) $ 10.000,00 d) $ 10.900,00 b) $ 10.100,00 e) $ 11.000,00 c) $ 10.500,00 Sol.: Todos os salários receberam um aumento de 10%. Como traduzir esta informação para uma operação matemática? Esse é o X da questão!

Aumento de 10% significa um produto! Por quanto? Por 1,10.

Se o aumento fosse de 15%, multiplicaríamos por 1,15.

Se fosse por 30%, multiplicaríamos por 1,30.



E assim por diante!

E se, ao invés de aumento, fosse redução de 10%? O que faríamos? Multiplicaríamos por 0,90.

Se fosse redução de 20%, multiplicaríamos por 0,80.

Se fosse redução de 30%, multiplicaríamos por 0,70. E assim por diante!

Pois bem! Se todos os elementos do conjunto foram multiplicados por uma mesma constante (1,10), o que ocorrerá ao novo desvio padrão? De acordo com a propriedade, o novo desvio padrão será também multiplicado pela mesma constante!

Assim: Novo Desvio Padrão = 10.000 x 1,10 = 11.000 Resposta!

11. (FISCAL DO TRABALHO-94) Do estudo do tempo de permanência no mesmo emprego de dois grupos de trabalhadores (A e B), obtiveram-se os seguintes resultados

para as médias X a e X b e desvios-padrão Sa e Sb.

Grupo A: X a = 120 meses e Sa=24 meses

Grupo B: X b = 60 meses e Sb=15 meses É correto afirmar que: a) a dispersão relativa no grupo A é maior que no grupo B b) a média do grupo B é 5/8 da média do grupo A c) a dispersão absoluta do grupo A é o dobro da dispersão absoluta do grupo B d) a dispersão relativa do grupo A é 4/5 da dispersão relativa do grupo B e) a média entre os dois grupos é de 180 meses Sol.: Essa questão é meramente conceitual!

Precisamos saber o que é Dispersão Absoluta e o que é Dispersão Relativa. E isso já aprendemos:

Dispersão Absoluta = Desvio Padrão;

Dispersão Relativa = Coeficiente de Variação.

Sabendo disso, podemos criar uma pequena tabela, para organizar melhor os dados da questão. Teremos:

Média Desvio Padrão

(Dispersão Absoluta)

CV

(Dispersão Relativa)

Grupo A 120 24 (24/120)=0,20

Grupo B 60 15 (15/60)=0,25

Pronto! Chegamos à resposta! Vejam aí a opção D: A dispersão relativa de A é 4/5 da dispersão relativa de B.

É verdade isso? 0,20 = (4/5)x0,25 ??

Sim! Então aí está! Letra D Resposta!

12. (TCU-93) O quadro abaixo apresenta a renda mensal per capita das

localidades A e B: Localidade Média Desvio Padrão

A 50 10 B 75 15

Assinale a opção correta:



a) O intervalo semi-interquartílico é dado por [10, 15] b) A renda da localidade A é mais homogênea que a renda na localidade B c) O coeficiente de variação é 50/75 d) A renda da localidade B é mais homogênea que a da localidade A e) Os coeficientes de variação de renda nas localidades A e B são iguais Sol.: Questão semelhante à anterior!

Façamos o quadro completo. Teremos:

Média Desvio Padrão CV

Grupo A 50 10 (10/50)=0,20

Grupo B 75 15 (15/75)=0,20

De imediato, morreu a questão! Basta verificar o texto da opção E, a qual nos diz que os dois coeficientes de variação são iguais!

Uma observação: o CV é indicativo de homogeneidade do conjunto:

Quanto menor o CV, mais homogêneo é o conjunto;

Quanto maior o CV, menos homogêneo é o conjunto.

Ok? Adiante!

13. (TCDF-1995) Uma pesquisa de preços de determinado produto, realizada em

dois mercados, produziu os resultados mostrados na tabela abaixo:

Mercado Preço Médio (R$/kg) Desvio Padrão (R$/kg) I 5,00 2,50 II 4,00 2,00

Com base nesses resultados, é correto afirmar que a) no mercado I, a dispersão absoluta dos preços é menor que no mercado II. b) o mercado I apresenta uma dispersão relativa (de preços) maior que a do mercado II. c) no mercado I, a dispersão relativa é igual à dispersão absoluta. d) no mercado I, a dispersão relativa dos preços é igual a do mercado II. e) considerando os mercados I e II como se fossem um único mercado, a dispersão

absoluta da distribuição resultante é igual a 4,5. Sol.: Outra questão na mesma linha!



Grupo I 5,0 2,5 (2,5/5,0)=0,5

Grupo II 4,0 2,0 (2,0/4,0)=0,5

Como já sabemos o que é dispersão absoluta e dispersão relativa, resta-nos analisar as opções de resposta, para concluir que a correta é a letra D, que diz que os dois CV são iguais!

Adiante!

14. (AFRF-2002.2) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi

observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes: Grupo Média Desvio padrão A 20 4 B 10 3

Assinale a opção correta.



a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de desvios padrão pela diferença de médias. e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos. Sol.: Uma curiosidade: as três questões anteriores, que traziam rigorosamente o mesmo modelo desta aqui, caíram em provas de 1993, 1994 e 1995. Ora, qual não foi a surpresa de muita gente, minha inclusive, ao encontrar novamente o mesmo enunciado numa prova de 2002! Moral da história: a Esaf reutiliza questões antigas, vez por outra! De sorte que vale a pena, muitíssimo, conhecer bem as provas passadas! Quanto mais, melhor!



Grupo A 20,0 4,0 (4/20)=0,20

Grupo B 10,0 3,0 (3/10)=0,30

Vemos, sem maiores dificuldades, que o CV do grupo B é maior que o CV do grupo A. É o que está sendo dito na alternativa c.

Logo: Letra C Resposta!

15. (AFC-94) Seja X uma variável aleatória com média aritmética x = 10 e desvio-padrão S = 3. Considere as variáveis: y = 2x +1 e z = 2x. A única afirmação errada é:

a) as variáveis y e z tem a mesma média aritmética. b) o desvio padrão de y é 6. c) as variáveis y e z têm o mesmo desvio padrão. d) a média de y é 21. e) as variáveis x e z têm o mesmo coeficiente de variação. Sol.: Aqui começa uma seqüência de questões que envolvem a variável transformada! Questões muito fáceis, diga-se de passagem!

A variável original é a X.

Neste enunciado, há duas variáveis transformadas: Y e Z, assim definidas:

Y=2X+1 e Z=2X

Conhecemos a média e o desvio padrão da variável original X.

Fazendo o desenho de transformação da variável para a variável Y, teremos:

1º)x2 2º)+1

Xi Yi

Agora, aplicando a propriedade da média, que é influenciada pelas quatro operações, teremos:

1º)x2 2º)+1



x =10 =y (10x2)+1=21

Xi Yi

Aplicando a propriedade do desvio padrão, que só é influenciado por produto e divisão (multiplica-se ou divide-se pela própria constante), teremos:

1º)x2 2º)+1

Sx=3,0 Sy=(3x2)=6,0

Xi Yi

Temos ainda que a variável Z é definida por: Z=2.X

Construindo o caminho de transformação da variável e aplicando as mesmas propriedades acima, teremos que:

1º)x2

x =10 =Z (10x2)=20

Xi Zi


1º)x2

Sx=3,0 Sz=(3x2)=6,0

Xi Zi

Com isso, chegamos a quatro resultados. Os seguintes:

Média de Y=21 ;

Desvio Padrão de Y = 6,0

Média de Z=20;

Desvio Padrão de Z=6,0

Analisando as opções de resposta, concluiremos que Y e Z tem o mesmo desvio padrão. É o que nos diz a alternativa C.


16. (FTE-PA-2002/ESAF) Um certo atributo W, medido em unidades apropriadas,

tem média amostral 5 e desvio-padrão unitário. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação, para a mesma amostra, do atributo Y = 5 + 5W.

a) 16,7% b) 20,0% c) 55,0% d) 50,8% e) 70,2% Sol.: Começarmos fazendo o desenho de transformação da variável. Teremos:



1º)x5 2º)+5

Wi Yi

O enunciado nos forneceu elementos da variável W, e pediu resultados da variável Y.

Precisamos achar o CV da variável Y. Para tanto, precisaremos conhecer a sua média e o seu desvio padrão. Trabalhando com essas duas medidas, e explorando as suas propriedades, teremos:

1º)x5 2º)+5

w =5 =y (5x5)+5=30

Wi Yi


1º)x5 2º)+5

Sw=1,0 Sy=(1x5)=5,0

Wi Yi

Conhecedores desses resultados, teremos agora condições de calcular o CV de Y. Teremos:

CV=Desvio Padrão/Média CVy=5/30=0,167 = 16,7% Resposta!

17. (AFRF-2003/ESAF) O atributo Z= (X-2)/3 tem média amostral 20 e variância

amostral 2,56. Assinale a opção que corresponde ao coeficiente de variação amostral de X.

a) 12,9% d) 31,2% b) 50,1% e) 10,0% c) 7,7%

Sol.: Novamente, começarmos fazendo o desenho de transformação da variável. Teremos:

1º)-2 2º)÷3

Xi Zi



2º)+2 1º)x3

Conhecemos a Média e o Desvio Padrão da variável transformada Z, e a questão nos pede o cálculo do CV da variável original X.

Para chegarmos à resposta, precisaremos conhecer o valor da Média e do Desvio Padrão de X. Faremos o seguinte:

1º)-2 2º)÷3

Xi Zi 20=Z e S2z=2,56

2º)+2 1º)x3

Daí: X =(20x3)+2 X =62,00

O problema da média está resolvida! Agora, a respeito do desvio padrão tem um chapéu!

Precisamos do Desvio Padrão de X, e a questão nos forneceu a Variância de Z. Ora, para chegarmos ao Desvio Padrão de X, precisamos partir do Desvio Padrão de Z.

Assim, sabendo que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, faremos:

Sz= 56,22 =Sz =1,6

Agora, sim! Aplicando a propriedade do desvio padrão, teremos:

Sx=1,6x3=4,8

Finalmente, teremos que:

CVx= Desvio Padrão de X/Média de X = 1,6/62=0,077

CVx=7,7% Resposta!

18. (AFRF-2000) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a média amostral M = 100 e o desvio-padrão S =13 da variável transformada (X-200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X.

a) 3,0% b) 9,3% c) 17,0% d) 17,3% e) 10,0% Sol.: Questão idêntica à anterior. Façamos o desenho de transformação. Teremos:

1º)-200 2º)÷5

Xi Zi 100=Z e Sz=13,00

2º)+200 1º)x5



Conhecemos a Média e o Desvio Padrão da variável transformada, e queremos calcular o CV da variável original X. Aplicando as propriedades devidas, faremos:

X =(100x5)+200 X =700,00

Sx=13x5=65,00

Daí, finalmente, diremos que:

CVx=65/700 CV=0,093 =9,3% Resposta!

19. (AFRF-2002) Um atributo W tem média amostral a≠ 0 e desvio padrão positivo

b≠1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta. a) A média amostral de Z coincide com a de W. b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário. c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido. d) A média de Z é a/b. e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem. Sol.: Uma questão bem simples. Convém, para facilitar mais ainda nosso raciocínio, que adotemos a nomenclatura com a qual estamos acostumados! Assim, quando a questão diz que a

média de W é a, diremos que é W . O enunciado diz também que o desvio padrão de W é b. Diremos que é Sw.

Assim, faremos agora o desenho de transformação sugerida pelo enunciado. Teremos:

1º)- W 2º)÷Sw

Wi Zi

Agora, se partirmos com W , chegaremos à Média de Z. Teremos:

Z =(W -W )÷Sw Z =0,

Ora, se é verdade que Z =0, então, também concluiremos que:

CVw=0

SwZSw

=

E qualquer divisão por zero, na linguagem da Esaf, resulta em um valor indefinido!

É o que diz a alternativa C.


20. (ACE-MICT-1998/ESAF) Num estudo sobre a distribuição do preço de venda de um produto obteve-se, a partir de uma amostra aleatória de 25 revendedores, a tabela de freqüências seguinte:



Classe de Preços

mi fi

[ 5 – 9) 7 3[ 9 – 13) 11 5[13 – 17) 15 7[17 – 21) 19 6[21 – 25) 23 3[25 – 29) 27 1

As quantidades mi e fi representam o ponto médio e a freqüência da classe de preços i. Sabendo-se que: Σi(fi mi2) – (Σi fi mi)2 / 25 ≈ 694 assinale a opção que melhor aproxima o desvio padrão amostral. a) 0,5 (347/3)0.5 b) 6 c) 0,9 (345/3)0.5 d) 28,91 e) 8

Sol.: A questão pede o cálculo do desvio padrão amostral.

Pela informação adicional do enunciado, resta evidenciado que devemos trabalhar com a fórmula desenvolvida do desvio padrão amostral. Como o conjunto está em formato de uma Distribuição de Freqüências, teremos que:

Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Freqüências:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑ ∑

nPMfi

PMfin

S2

2 ...

11

Reparem que o dado adicional da questão já é o próprio colchete da fórmula acima.

Assim, sabendo ainda que n=25 elementos, teremos que:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑ ∑

nPMfi

PMfin

S2

2 ...

11

[ ]694.241⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=S ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

24694S

O que é preciso agora é transformar esse resultado ao qual chegamos acima em uma das alternativas de resposta! Usaremos um pouco de álgebra.

Se fatorarmos o denominador, teremos que: 24=2x2x2x3=22x12

Assim:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

24694S ( ) 5,0

2 3/3475,03

347.21

6694.

21

122694 x

xS ===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= Resposta!

21. (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa



a freqüência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%) 70-90 5 90-110 15 110-130 40 130-150 70 150-170 85 170-190 95 190-210 100

Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se

16807

12 =∑ =i ii Zf , onde fi é a freqüência simples da classe i e Zi o ponto médio de

classe transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo X. a) 720,00 b) 840,20 c) 900,10 d) 1200,15 e) 560,30 Sol.: Essa questão é das boas! Envolve uma transformação da variável original. Esta transformação foi fornecida pelo próprio enunciado, e está expressa pela seguinte conta: Z=(X-140)/10. A variável original é a Xi, e está sendo transformada na Zi por meio de duas operações: uma subtração por 140 e depois uma divisão por 10. Pois bem! O que nos pede a questão? Que encontremos a variância amostral. Reparemos que quando se trata de variância, faz toda diferença se estamos trabalhando com uma amostra ou com uma população! As fórmulas para cálculo da variância amostral, conforme já sabemos, são as seguintes:

1

.)( 22

−−

= ∑n

fiXPMS ou

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑∑ n

PMfiPMfi

nS

222 .

..1

1

Como decidir por uma delas? Ora, ambas nos fazem chegar ao mesmo resultado, porém haverá sempre uma que será mais conveniente para nossa resolução, de acordo com os dados adicionais fornecidos pelo enunciado!

Neste caso, o dado adicional foi o seguinte: 168071

2 =∑ =i ii fZ

Onde Zi é o ponto médio transformado, ou seja, o ponto médio da variável Z. Dica: sempre que a questão trouxer em seu enunciado uma transformação da variável, é interessante que nós façamos de pronto um desenho que a represente. Trata-se do desenho de transformação da variável. Teremos: 1ª)-140 2ª)÷10

X Z 2ª)+140 1ª)x10



Voltemos ao dado adicional trazido pelo enunciado: 168071

2 =∑ =i ii fZ

Comparemos esse dado com as duas fórmulas passíveis de serem usadas:

1

.)( 22

−

−= ∑

nfiXPM

S ou ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑∑ n

PMfiPMfi

nS

222 .

..1

1

Pronto! Já temos condição de afirmar que a fórmula boa para essa resolução é a fórmula desenvolvida! A maior! Para ficar melhor de enxergar, troquemos PM (Ponto Médio) por Zi (que é o ponto médio da variável Z), e teremos:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑∑ n

ZifiZifi

nS

222 .

..1

1

Viram? Daquele colchete, já conhecemos o valor da primeira parcela, que é igual a 1680. Sabemos também que para essa distribuição de freqüências, n=200, conforme dito na segunda linha do enunciado (...foram examinados 200 itens...). Daí, até agora, substituindo os valores conhecidos na fórmula, teremos:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑

200.

1680.1200

12

2 ZifiS

Em suma: só nos resta descobrir o valor do numerador da segunda parcela do colchete, ou seja, o valor de (∑fi.Zi)2. Vamos trabalhar as colunas de freqüência da nossa distribuição. A coluna P(%) representa neste caso, conforme já é do nosso conhecimento, a freqüência relativa acumulada crescente (Fac). Daí, construiremos primeiro a coluna da Freqüência Relativa Simples (Fi) e depois a da freqüência absoluta simples (fi). Esse trabalho com as colunas de freqüência é algo cujo conhecimento é imprescindível para nós! E estou contando que todos nós já saibamos fazer isso! O resultado deste trabalho será o seguinte:

Classes Fac Fi fi 70-90 5% 5% 10 90-110 15% 10% 20 110-130 40% 25% 50 130-150 70% 30% 60 150-170 85% 15% 30 170-190 95% 10% 20 190-210 100% 5% 10

n=200 Do que precisamos mesmo? Da parcela (∑fi.Zi)2. Ora, a coluna fi já é nossa conhecida! Resta, pois, encontrarmos quem é o Zi. Sabemos que Zi=(Xi-140)/10, e que este Xi representa o Ponto Médio da variável original. Daí, precisamos logo construir a coluna do Xi. Teremos:

Classes Fac Fi fi Xi 70-90 5% 5% 10 80 90-110 15% 10% 20 100 110-130 40% 25% 50 120 130-150 70% 30% 60 140



150-170 85% 15% 30 160 170-190 95% 10% 20 180 190-210 100% 5% 10 200

n=200 Agora, sim: nosso próximo passo é construir a coluna do Zi. Teremos:

Classes Fac Fi fi Xi Zi= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

10140Xi

70-90 5% 5% 10 80 -6 90-110 15% 10% 20 100 -4 110-130 40% 25% 50 120 -2 130-150 70% 30% 60 140 0 150-170 85% 15% 30 160 2 170-190 95% 10% 20 180 4 190-210 100% 5% 10 200 6

n=200 Voltemos agora para nosso objetivo: (∑fi.Zi)2. Próximo passo? Construir a coluna (fi.Zi), e somar seus valores. Teremos:

Classes Fac Fi fi Xi Zi= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

10140Xi

fi.Zi

70-90 5% 5% 10 80 -6 -60 90-110 15% 10% 20 100 -4 -80 110-130 40% 25% 50 120 -2 -100 130-150 70% 30% 60 140 0 0 150-170 85% 15% 30 160 2 60 170-190 95% 10% 20 180 4 80 190-210 100% 5% 10 200 6 60

n=200 (∑fi.Zi)=-40 Quase lá! O que queremos? (∑fi.Zi)2. Daí, teremos: (-40)2=1600. Agora só precisamos completar a fórmula e fazer as contas. Ficaremos com:

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= ∑

200.

1680.1200

12

2 ZifiSz ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

20016001680.

19912Sz

19916722 =Sz

E: SZ

2=8,4020 Bem que esta poderia ser nossa resposta! Só que ainda não é! Claro que não! O que encontramos foi a variância da variável transformada! E o que a questão pede é a variância da variável original. É aí que entra aquele tal desenho de transformação da variável. O resultado que temos até aqui (8,4020) está do lado da variável Z. Teremos: 1ª)-140 2ª)÷10 X Z Sz

2=8,4020 2ª)+140 1ª)x10



Para chegarmos à variância do lado de cá, ou seja, da variável original X, teremos que percorrer o caminho de baixo, lembrando das propriedades da variância. Variância é influenciada por produto ou divisão? Sim! Multiplicaremos (ou dividiremos) a variância pelo quadrado da constante! Logo, se a primeira operação do caminho de baixo é uma multiplicação por dez, então faremos com a variância um produto pelo quadrado de dez, ou seja, multiplicaremos por 100 (cem). Já no tocante à segunda operação do caminho de baixo, lembraremos que a variância não é influenciada por operações de soma ou subtração. Ou seja, a segunda operação (soma com 140) não será realizada! Teremos: 1ª operação) 8,4020 x 100 = 840,20 2ª operação) Não realizaremos! Daí: Variância da Variável Original = Sx

2=840,20 Resposta! 22. (AFRF-2002.2) O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro,

numa amostra de tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de freqüências seguinte:

Classes Freqüência

(f) 29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

Assinale a opção que corresponde ao desvio absoluto médio do atributo X. a) 16,0 d) 18,1 b) 17,0 e) 13,0 c) 16,6 Sol.: O ponto de partida da resolução, como sabemos, é a fórmula! Neste caso, a nossa é a seguinte:

n

fiXPMDMA

∑ −=

.

O enunciado chamou a medida de desvio absoluto médio. Poderia ser também desvio médio absoluto ou simplesmente desvio absoluto. São sinônimos. Esta nunca foi uma medida muito explorada em provas de estatística, embora sempre tenha figurado entre os programas! Os passos de resolução serão determinados, obviamente, pela fórmula. Olhando para a equação, veremos aquilo que já dispomos, e o que ainda não temos e precisamos encontrar. Voltemos a olhar para a nossa distribuição de freqüências e para a fórmula:



Classes Freqüência (f)

29,5-39,5 4 39,5-49,5 8 49,5-59,5 14 59,5-69,5 20 69,5-79,5 26 79,5-89,5 18 89,5-99,5 10

O que já temos? Olhemos para a equação! Temos os Pontos Médios? Ainda não! Então é

nosso primeiro passo: construir a coluna dos Pontos Médios. Teremos:

Classes fi PM 29,5-39,5 4 34,5 39,5-49,5 8 44,5 49,5-59,5 14 54,5 59,5-69,5 20 64,5 69,5-79,5 26 74,5 79,5-89,5 18 84,5 89,5-99,5 10 94,5

A fórmula agora pede a Média. Já a temos? Ainda não! Então é nosso próximo passo está

definido: calcular a Média! É como se fossem duas questões em uma! Usaremos o método da variável transformada. Teremos:

Classes fi PM ( ) YiPM

=−

105,34

Yi.fi

29,5-39,5 4 34,5 0 0 39,5-49,5 8 44,5 1 8 49,5-59,5 14 54,5 2 28 59,5-69,5 20 64,5 3 60 69,5-79,5 26 74,5 4 104 79,5-89,5 18 84,5 5 90 89,5-99,5 10 94,5 6 60

∑Yi.fi=350

Daí, encontrando a média da variável transformada Y, teremos:

n

fiYiY ∑=

. 50,3

100350

==Y

Agora, fazendo as operações do caminho de volta da transformação da variável, teremos: 1º) 3,5 x 10 = 35,0

2º) 35 + 34,5 = 69,5 X =69,5

A equação do Desvio Médio Absoluto pede agora a diferença (PM- X ). Teremos:

Classes fi PM (PM- X ) 29,5-39,5 4 34,5 -35

n

fiXPMDMA

∑ −=

.



39,5-49,5 8 44,5 -25 49,5-59,5 14 54,5 -15 59,5-69,5 20 64,5 -5 69,5-79,5 26 74,5 5 79,5-89,5 18 84,5 15 89,5-99,5 10 94,5 25

Reparando melhor na fórmula, veremos que ela pede o valor absoluto da coluna que acabamos de construir. O módulo! E o efeito do módulo é, senão outro, transformar em positivo quem estiver negativo. Daí, tomando a última coluna construída, faremos:

Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )| 29,5-39,5 4 34,5 -35 35 39,5-49,5 8 44,5 -25 25 49,5-59,5 14 54,5 -15 15 59,5-69,5 20 64,5 -5 5 69,5-79,5 26 74,5 5 5 79,5-89,5 18 84,5 15 15 89,5-99,5 10 94,5 25 25

A fórmula agora pede que multipliquemos essa coluna por fi. Teremos:

Classes fi PM (PM- X ) |(PM- X )| |(PM- X )|.fi 29,5-39,5 4 34,5 -35 35 140 39,5-49,5 8 44,5 -25 25 200 49,5-59,5 14 54,5 -15 15 210 59,5-69,5 20 64,5 -5 5 100 69,5-79,5 26 74,5 5 5 130 79,5-89,5 18 84,5 15 15 270 89,5-99,5 10 94,5 25 25 250

n=100 ∑|(PM- X )|.fi=1300

Agora, sim! Já temos tudo para aplicarmos a fórmula do DMA. Teremos, enfim, que:

n

fiXPMDMA

∑ −=

.

1001300

=DMA DMA=13,00 Resposta!

23. (AFRF-2000) Tem-se um conjunto de n mensurações X1, ... , Xn com média

aritmética M e variância S2, onde M = (X1 + ... + Xn )/ n e S2 = (1/ n) Σi ( Xi – M )2 . Seja θ a proporção dessas mensurações que diferem de M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Assinale a opção correta.

a) Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente,

mas sabe-se que 0,25 ≥ θ. b) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na

realidade tem-se θ = 5% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.



c) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 95% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

d) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 30% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

e) O conhecimento de M e S é suficiente para determinar θ exatamente, na realidade tem-se θ = 15% para qualquer conjunto de dados X1, ... , Xn.

Sol.: O enunciado nos fala que para um dado conjunto o valor da média vale M e a variância vale S2. Ora, sabemos que variância é o quadrado do Desvio-Padrão. Logo, se variância é S2, então o Desvio-Padrão será apenas S (a raiz quadrada da variância). Fala também acerca de uma proporção θ, que é a proporção dos elementos do conjunto que diferem da Média M, em valor absoluto, por pelo menos 2S. Quando se diz “em valor absoluto” queremos dizer uma diferença para mais e para menos. Nosso intervalo está, pois, estabelecido: (Média-2S a Média+2S). Teremos: M-2S M M+2S Pois bem! O que a questão quer saber? A proporção dos elementos que diferem da média por pelo menos 2S. Esse pelo menos significa no mínimo. E no mínimo vai significar além de 2S. Ou seja: queremos saber a proporção dos elementos que estão fora do intervalo (M-2S a M+2S). Essa proporção fora do intervalo será uma proporção máxima ou uma proporção mínima? Máxima, conforme já aprendemos! Seria mínima caso fosse a proporção dos elementos dentro do intervalo. Sabendo disso tudo, só nos resta seguir os passos aprendidos acima. Teremos: 1º Passo) Calculamos o valor D que é a diferença entre qualquer dos limites do intervalo e a média do conjunto. M-2S M M+2S D D Daí, encontramos que a distância D=2S.



2º Passo) Calcular a fração K. Teremos:

K=SD

k=(2S/S) k=2

3º Passo) Aplicar o Teorema de Tcheb. Teremos:

PMÁXIMA= 2

1K

PMÁXIMA=(1/4)=0,25

Ora, a questão chamou esta proporção de θ. Daí, se θ é uma proporção máxima, é

porque seu valor será menor ou igual a 0,25. Esta é a nossa resposta. Vejamos o que diz a opção a: “Apenas com o conhecimento de M e S não podemos determinar θ exatamente, mas sabe-se que 0,25 ≥ θ” É exatamente o que encontramos! Letra A Resposta! 24. (AFRF-2003) As realizações anuais Xi dos salários anuais de uma firma com

N empregados produziram as estatísticas

( ) 00,200.1$1

00,300.14$1

5,0

1

2

1

RXXN

S

RXN

X

N

ii

N

ii

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

==

∑

∑

=

=

Seja P a proporção de empregados com salários fora do intervalo [R$ 12.500,00; R$ 16.100,00]. Assinale a opção correta.

a) P é no máximo 1/2 d) P é no máximo 1/2,25 b) P é no máximo 1/1,5 e) P é no máximo 1/20 c) P é no mínimo 1/2 Sol.: Esta questão já foi resolvida na aula passada! Desculpem! 25. (AFPS 2002/ESAF) Sejam X1, X2, X3, ... , Xn observações de um atributo X.

Sejam

( )∑

∑

=

=

−=

=

n

ii

n

ii

xxn

s

xn

x

1

22

1

1

1

Assinale a opção correta.



a) Pelo menos 95% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. b) Pelo menos 99% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.

c) Pelo menos 75% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S.

d) Pelo menos 80% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. e) Pelo menos 90% das observações de X diferem de x em valor absoluto por menos que 2S. Sol.: Esta questão pergunta, em outras palavras, qual a proporção de elementos localizados dentro do intervalo que vai de (Média–2S) até (Média+2S).

Ora, na questão 23 (duas atrás), descobrimos a proporção dos elementos que ficam fora deste mesmo intervalo. Lá, por ser proporção do lado de fora, era uma proporção máxima!

E aqui, por ser uma proporção dentro do intervalo, será uma proporção mínima!

Aprendemos, na aula passada, que: Pmínima = 1 – Pmáxima

Assim: Pmínima=1-0,25 Pmínima=0,75

É o que diz a letra C das alternativas: pelo menos (=no mínimo) 75% das observações de X diferem da média, em valor absoluto, por menos que 2S.

Prestem atenção para o seguinte:

...diferem por menos que... = proporção dentro!

...diferem por pelo menos... = proporção fora!


(AFC-94) Para a solução das três próximas questões considere os dados da tabela abaixo, que representa a distribuição de freqüências das notas em uma prova de estatística aplicada em três turmas de 100 alunos cada.

Freqüências das Notas na Prova de Estatística Classes de Notas TURMA 01 TURMA 02 TURMA 03 0 |— 2 2 |— 4 4 |— 6 6 |— 8 8 |— 10

20 40 30 6 4

10 15 50 15 10

5 10 70 10 5

Total 100 100 100 26. (AFC-94) Assinale a afirmação correta: a) Moda (turma 2) < Moda (turma 3) d) Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) b) Média (turma 1) > Média (turma 2) e) Mediana (turma 2) > Mediana (turma 3) c) Média (turma 2) < Média (turma 3)

Sol.: Uma seqüência muito interessante de questões! O enunciado apresenta, em uma única tabela, três distribuições de freqüência. Separadamente, seriam elas as seguintes: A primeira:

Classes Turma 01 fi

0 – 2 20 2 – 4 40 4 – 6 30



6 – 8 6 8 – 10 4

A segunda:

Classes Turma 02 fi

0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 6 – 8 15 8 – 10 10

A terceira:

Classes Turma 03 fi

0 – 2 5 2 – 4 10 4 – 6 70 6 – 8 10 8 – 10 5

Ora, a primeira coisa que procuraremos enxergar numa distribuição de freqüências é se ela é simétrica ou não! Como saber se uma distribuição é simétrica? Usando a técnica do elevador! No que consiste? Vamos aplicar a técnica na segunda tabela fornecida pela questão. Basta seguir os seguintes passos: 1º) Identificamos qual é a fi da classe intermediária!

Classes Turma 02 fi

0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 Classe intermediária! 6 – 8 15 8 – 10 10

2º) Subimos um andar e descemos um andar, e comparamos as duas fi encontradas! Teremos:

Classes Turma 02 fi

0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 6 – 8 15 8 – 10 10

São iguais essas novas fi? Sim! Daí, prossegue a técnica, novamente subindo e descendo um andar! Teremos:

Classes Turma 02



fi 0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 6 – 8 15 8 – 10 10

Iguais novamente? Sim! Ainda tem para onde subir ou descer? Não! Então, acabou a nossa análise, e nossa conclusão é a seguinte: estamos diante de uma distribuição simétrica! Se em qualquer momento dessa análise, ao subir e descer um andar, tivéssemos encontrado fi diferentes, diríamos então que a distribuição não seria simétrica, mas assimétrica. Qual a razão de estarmos fazendo esse estudo? Muito simples: quando a distribuição de freqüências é simétrica, teremos sempre que a Média será igual à Moda, e será igual à Mediana! E essas três medidas serão calculadas da seguinte forma: somaremos o limite inferior da primeira classe com limite superior da última classe, e este resultado dividiremos por dois. Da seguinte forma:

Classes Turma 02 Fi

0 – 2 10 2 – 4 15 4 – 6 50 6 – 8 15

8 – 10 10

X = Mo = Md = ( )

2100+

= 5,0

E não precisamos fazer mais nenhum cálculo! Vamos agora descobrir se a distribuição de freqüências da Turma 03 é simétrica ou não.

Teremos:

Classes Turma 03

fi 0 – 2 5 2 – 4 10 4 – 6 70 6 – 8 10 8 – 10 5

E aí? Simétrica! Daí, concluiremos que:

X = Mo = Md = ( )

2100+

= 5,0

E a distribuição de freqüências da Turma 01? Vejamos:

Classes Turma 01 fi

0 – 2 20 2 – 4 40 4 – 6 30 6 – 8 6



8 – 10 4 Logo no primeiro salto, concluímos que a distribuição é assimétrica! Daí, até o presente momento, já descobrimos que:

X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02 = 5,0

X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03 Sabendo disso, já descartamos as opções a, c e e, as quais comparam medidas relativas às turmas 02 e 03. Restam, portanto, as opções b e d. Analisemos a opção d: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) A Mediana da Turma 02 já sabemos que vale 5,0. Agora, observemos melhor a Tabela da turma 01:

Classes Turma 01 fi

0 – 2 20 2 – 4 40 4 – 6 30 6 – 8 6 8 – 10 4

Uma análise atenta nos fará ver que esse conjunto tem 100 elementos (n=100). Para isso, basta somar a coluna da fi. Também vemos, sem maiores esforços, que só as duas primeiras classes já somam 60 elementos! Sendo 20 na primeira classe e 40 na segunda. Ou seja: mais da metade dos elementos do conjunto estão nas duas primeiras classes. Ora, a Mediana é exatamente aquele elemento que está no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais. Daí, concluímos que a Classe Mediana será a segunda (2 a 4). De sorte que a Mediana dessa distribuição será um valor qualquer inserido nesta classe! Mesmo sem calcular essa Mediana da turma 01, vemos que não haveria como esta medida ser maior que 5, uma vez que 5 é um valor que faz parte da terceira classe (e não da segunda)! Conclusão: Mediana (turma 1) < Mediana (turma 2) Resposta! 27. (AFC-94) A única opção errada é: a) 1º quartil (turma 1) > 1º quartil (turma 3) b) desvio-padrão (turma 2) > desvio-padrão (turma 3) c) média (turma 2) = média (turma 3) d) coeficiente de variação (turma 2) > coeficiente de variação (turma 3) e) na turma 3: média = mediana = moda Sol.: Aqui procura-se pela opção errada!

Observemos que a opção c compara a média das turmas 02 e 03. Já sabemos que são iguais! Descartada está, pois, esta opção!

A opção e afirma que a média, moda e mediana da turma 03 são iguais. Perfeito! Já sabíamos disso, uma vez que se trata de uma distribuição simétrica! Descartamos mais essa opção de resposta!

Restaram as opções a, b e d.

Essas duas últimas comparam duas medidas – Desvio-Padrão e Coeficiente de Variação – das turmas 02 e 03. Acerca dessas turmas, já sabemos que:



X TURMA 02 = Mo TURMA 02 = Md TURMA 02 = 5,0

X TURMA 03 = Mo TURMA 03 = Md TURMA 03

Vejamos qual é o conceito do Coeficiente de Variação: XSCV =

Ora, uma vez que as duas médias são iguais, temos que os denominadores dos Coeficientes de Variação das turmas 02 e 03 são os mesmos!

Se os denominadores são iguais, o que vai definir se um CV é maior que o outro será apenas o numerador, ou seja, o Desvio-Padrão!

Daí, apenas por hipótese, consideremos que seja verdadeiro o que está dito na opção b:

Desvio-Padrão (Turma 02) > Desvio-Padrão (Turma 03)

Ora, se isto acima for verdadeiro, então, resta que será também necessariamente verdadeiro o que está dito na opção d:

coeficiente de variação (Turma 2) > coeficiente de variação (Turma 3)

Perceberam? Claro! Se o denominador (média) é o mesmo para as duas turmas!

Da mesma forma, se considerarmos que o que está dito na opção b é falso, resta que será também necessariamente falsa a opção d. Em suma: uma vez que a média das turmas 02 e 03 são iguais, então as duas opções b e d estão amarradas: ou ambas serão verdadeiras, ou ambas serão falsas.

Como só há uma opção falsa, concluímos (sem precisar fazer uma só conta!) que não podem ser nem a b e nem a d. E o que resta? Resta a Opção A Resposta!

28. (AFC-94) A distribuição de notas é simétrica em relação à média aritmética: a) Nas três turmas c) Nas turmas 1 e 3 e) Nas turmas 2 e 3 b) Nas turmas 1 e 2 d) Somente na turma 1

Sol.: Esta já foi resolvida acima! As distribuições simétricas são as turmas 2 e 3.

Assim: Letra E Resposta!

É isso, meus queridos!

Na próxima aula, avançaremos na matéria! Ok?

Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!

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