doi:10.20396/revpibic.v0i0.id

Equações diferenciais parciais de evolução e aplicações.

Pedro L. T. Neves*, Bianca M. R. Calsavara

ResumoNeste projeto são estudadas equações diferenciais parciais de evolução de segunda ordem, mais especificamente asequações do calor e da onda. Para estas equações são analisadas existência, unicidade e algumas propriedades desolução para os casos unidimensional e n-dimensional. Também são vistas algumas aplicações destas equações.

Palavras-chave:Equações diferenciais parciais de evolução, Equação da onda, Equação do calor.

IntroduçãoO projeto possui como objetivo o estudo das equaçõesdo calor e da onda. Estas são equações diferenciaisparciais que descrevem, por exemplo, a difusão do calorem sólidos homogêneos e a propagação de ondasfísicas, respectivamente.Para a equação da onda e do calor unidimensionaisforam obtidos resultados de existência e unicidade desolução. Para a equação da onda também foram obtidosdomínio de dependência e velocidade de propagaçãofinita. E para a equação do calor, um princípio demáximo, a velocidade de propagação infinita e umprincípio de regularidade.Na parte do projeto dedicada às equações do calor e daonda n-dimensionais, foram obtidos resultados análogosaos mencionados acima, porém, utilizando outrosmétodos.

Resultados e DiscussãoA princípio, foram analisadas as equações do calor e daonda unidimensionais (na variável espacial) e, emseguida, generalizou-se o estudo para mais dimensões. Para ambos os casos, questões fundamentais, comoexistência e unicidade de solução, foram abordadasinicialmente. Algumas diferenças e semelhanças entre assoluções destas equações, então, puderam serobservadas, tanto em termos dos métodos que levam àssoluções quanto às características destas.Começando pela equação do calor unidimensional, foiobtida solução da mesma para diferentes condiçõesiniciais e de fronteira utilizando o método de separaçãode variáveis. Em seguida, foi analisado o caso nãohomogêneo utilizando o método de variação dosparâmetros. Posteriormente, foram tratados Princípios deMáximo, continuidade de solução em relação aos dadosiniciais e unicidade de solução. Além disso, foram vistasaplicações em propagação de calor em uma barra, paravárias situações, e variação de temperatura no solo.Para a equação da onda unidimensional foramconsiderados problemas de corda vibrante em váriassituações, como corda finita, infinita, com extremos fixosou não, etc., para as quais foram obtidas soluçõesatravés do método de separação de variáveis.Propriedades, como energia, harmônicos, e ressonância,também foram analisadas. Finalmente foi obtida asolução da equação da onda unidimensional nãohomogênea utilizando o método de D’Alembert.Foi, então, feita a generalização dos dois problemascitados para dimensão n>1. No caso da equação do

calor n-dimensional homogênea, foi derivada suasolução fundamental e, assim, obtida a solução de umproblema de valor inicial (PVI). O princípio de Duhamelfoi utilizado para encontrar soluções da equação do calorn-dimensional não homogênea. Para a solução daequação do calor foram obtidas propriedades deregularidade, Princípio de Máximo, obtido pelapropriedade do valor médio, e unicidade.Para a obtenção de solução da equação da onda foiempregado o método das médias esféricas no caso de nímpar, e o método de descida para n par.É importante ressaltar aqui a utilidade dos métodos deenergia, através dos quais foram obtidos unicidade paraambas as equações, unicidade inversa (backwardsuniqueness) para a equação do calor, domínio dedependência e velocidade de propagação finita para aequação da onda.

ConclusãoEste projeto, através do aprofundamento que dá àsequações do calor e da onda, possibilita a descoberta eutilização de diversas ferramentas matemáticasimportantes na investigação de equações diferenciaisparciais. O trabalho fornece uma visão rica eaprofundada dos métodos utilizados e da teoriamatemática que os sustenta, além da contextualizaçãodas equações citadas.

AgradecimentosAqui, deixo expressa minha gratidão à Profa. Bianca, porter me orientado e auxiliado no desenvolvimento desteprojeto, que foi de fundamental importância para meuamadurecimento acadêmico. Agradeço à Unicamp porter possibilitado a realização deste trabalho, motivo peloqual também deixo meus agradecimentos ao PIBIC e aoPICME. Por fim, gratifico a família e amigos por suafundamental presença e suporte individual._______________

1. Evans, L., Partial Differential Equations, American MathematicalSociety, 1998.

2. Farlow, S.J., Partial Differential Equations for Scientists andEngineers, Editora Dover, 1993.

3. Figueiredo, D.G. de Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, 4ªedição, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2005.

4. Guidorizzi, H.L., Cálculo, Vol. 4, 5ª edição, Ed. LTC, 2004.

Rev trab. Iniciaç. Cient. UNICAMP, Campinas, SP, n.26, p. out. 2018