2. Movimento em uma Dimenso Contedo:

2.1 - Posio em uma Dimenso2.2 - Deslocamento em uma Dimenso2.3 - Velocidade Mdia2.4 - Velocidade Instantnea2.5 - Acelerao Mdia2.5 - Acelerao Mdia2.6 - Acelerao Instantnea2.7 - Anlise Grfica do Movimento2.8 - Movimento com Acelerao Constante2.9 - Queda Livre2.10 - O Problema Inverso

2 Movimento em Uma Dimenso

- A Mecnica estudo o movimento e suas causas.

- A descrio do movimento feita pela Cinemtica.

- As causas do movimento descrito pela Dinmica.

- Iniciaremos o estudo do movimento em uma Dimenso (1-D).- Iniciaremos o estudo do movimento em uma Dimenso (1-D).

01

Em cinemtica:

- o tempo um conceitos primitivo.

- Para determinar a posio de um objeto (ponto material) definimos um eixo orientado.

2.1 Posio em Uma Dimenso

definimos um eixo orientado.

- A posio do objeto depende (observador) do referencial.02

2.2 Deslocamento em Uma DimensoEm um movimento unidimensional, o deslocamento decorrido em um

intervalo de tempo:

t= tf - ti onde, definido como:

x = xf - xi

ti instante de tempo inicialtf instante de tempo final

xi posio inicialx posio finalxf posio final

Exemplo: Posio de um dragster em dois instantes de tempo.

03

Incio Final

2.3 Velocidade Mdia

t

xvm

=

if

iftt

xx

=

>

0000

sem

m

vx

vx

Graficamente: Vm entre ti e ti + t

ii txttxv+

=

)()(

04

t

x

ii

iim ttt

txttxv

++

=

)()(

t

x

= tan=

ti ti+t

Exerccio 1:Determine a velocidade mdia do dragster na figura abaixo.

x

Resoluo: A velocidade mdia dada por:

05

t

xvm

=

3258

1419277

=

=

smvm /86=

2.4 Velocidade Instantnea

Tomando intervalos de tempo

cada vez menores:

t

xtv

t

=

lim

0)(

dxtv =)(

dtdx

tv =)(

a derivada da posio em relao ao tempo.

06

Exerccio 2:Uma partcula descreve um movimento segundo a seguinte equao horria x(t) = 2t2

+ 5t , onde x dado em metros e t dado em segundos. Determine (a) a velocidademdia entre os intervalos t = 2 s e t = 5 s; e (b) a velocidade instantnea para t = 2 s.Resoluo:(a) Devemos encontrar as posies da partcula nos instantes t = 2 s e t = 5 s.

)5(5)5(2)5( 2 +=xmx 75)5( =

)2(5)2(2)2( 2 +=xmx 18)2( =

25)2()5(

=

xxvm

31875

=mv 3=mv

smvm /19=

(b) Derivando em relao ao tempo a expresso x(t), encontramos a velocidadeinstantnea da partcula em qualquer instante de tempo. Assim,

( )ttdtd

dttdx

tv 52)()( 2 +==

]/[54)( smttv +=

5)2(4)2( +=vsmv /13)2( =

07

Exerccio 3:A posio da partcula em funo do tempo mostrada na figura abaixo. (a)Encontre a velocidade instantnea em t = 2s. Em quais instantes a velocidade zero? (c) Determine o intervalo de tempo em que a velocidade negativa.

)(mx

45,8 =x

Resoluo: Traando-se uma reta tangente acurva passando peloponto t = 2s, o clculoda tangente dado por:

st 2=

08

)(st

25 =t 35,4)2( =

=

t

xv

smv /5,1)2( =

2.5 Acelerao Mdia

t

vam

=

if

iftt

vv

=

Graficamente: am entre ti e ti + t

ii tvttva+

=

)()(V(m/s)

09

t

v

ii

iim ttt

tvttva

++

=

)()(

t

v

= tan=

ti ti+t

2.6 Acelerao Instantnea

Tomando intervalos de tempo

cada vez menores:

t

vta

t

=

lim

0)(

dvta =)(

dtdv

ta =)(

a derivada da velocidade em relao ao tempo.

OBS:A acelerao tambm obtida derivando duas vezes a equao da posio em funo do tempo.

10dtdv

ta =)(dtdx

dtd

= 2

2

)(dt

xdta =

Exerccio 4:A velocidade da partcula em um movimento ao longo do eixo x varia no tempode acordo com a expresso vx = (40 - 5t2), em que x dado em metros e t dadoem segundos. (a) Encontre a acelerao mdia no intervalo de tempo de t = 0sat t = 2,0s. (b) determine a acelerao em t = 2s.Resoluo:

(a)02

)0()2(

=

=

vv

t

vam

2)2(540)2( =v sm /20=

(b) A acelerao instantnea em qualquerinstante de tempo calculado por:

dvta =)( ( )2540 td =

11

40)0( =v

24020

=

=

t

vam

2/10 sm=

dtta =)( ( )2540 t

dt=

]/[10)( 2smtta =Assim,

)2(10)2( =a2/20)2( sma =

2.7 - Anlise Grfica do Movimento- Grfico xt

- Movimento da partcula

A partcula est em x = 0, movendo-se no sentido +x

A partcula est a x < 0 e movendo-se nosentido +x (vx > 0), e acelerando (vx e axpossuem mesmo sinal).

A partcula est em x = 0, movendo-se no sentido +x(vx > 0) e a sua velocidade est instantaneamenteinvarivel.

De tC para tD ela acelera no sentido de -x.

De tB para tC ela reduz a velocidade e para momentaneamente em tC.

De tD para tE reduz a velocidade no sentido de -x. 12

- Grfico xt- Movimento da partcula

Em tA a partcula est a x < 0 e movendo-se nosentido +x (vx > 0), e aumentando avelocidade (vx e ax possuem mesmo sinal).

Em tB partcula est a x=0 movendo-se no sentido+x (v >0), e a sua velocidade est instantaneamente+x (vx>0), e a sua velocidade est instantaneamenteinvarivel (ax=0).

Em tC a partcula est instantaneamente emrepouso (vx = 0) e prestes a se mover nosentido x (ax < 0).

Em tD partcula est a x>0 movendo-se nosentido -x (vx0 movendo-seno sentido -x (vx0 possuem o sinaisopostos). 13

- Grfico vt

Em tA a partcula est movendo-se com vx < 0diminuindo em mdulo e ax > 0, mas diminuiem mdulo.

Em tB a partcula tem aceleraoax>0 e vx=0. A partcula paramomentaneamente e inverte desentido e inverte de sentido.sentido e inverte de sentido.

Em tC a partcula para movimenta-secom vx>0 mas a acelerao anula(ax=0) momentaneamente.

Em tD a partcula tem acelerao ax

2.8 Movimento com Acelerao ConstanteNeste movimento, a acelerao mdia am coincide com a acelerao instantnea ax. Assim,

0

=

t

vva

xixfx

tavv xxixf +=

xixf vvv

+=

(Vlido para ax constante)Como ax constante,

(Vlido para a constante)2

xixfmx

vvv

+= (Vlido para ax constante)

Fazendo t = tf ti = t 0 = t

t

xxv

ifmx

= tvxx mxif =

( ) tvvxx xixfif += 21Mas vxf = vxi + axt, Assim

221 tatvxx xxiif ++=

15

tavv xxixf += ( ) tvvxx xixfif += 21Das equaes e ,

( )

+=

x

xixfxixfif

a

vvvvxx 2

1

tavv xxixf +=x

xixfa

vvt

=

( )ifxif xxavv += 222

eliminamos o tempo na equao da velocidade, ou seja,

substitumos na equao da posio para encontrar,

Equaes do movimento com acelerao constante

16

Velocidade como funo do tempo

Posio como funo da velocidade e do tempo

Posio como funo do tempo

Velocidade como funo da posio

Equaes do movimento com acelerao constante

tavv xxixf +=

221 tatvxx xxiif ++=

( ) tvvxx xixfif ++= 21( )ifxif xxavv += 222

Equao do movimento com velocidade constante

Posio como funo da posiotvxx xif +=

2.9 Queda LivreSculo IV a.C. Aristtelis pensou (erroneamente) que os corpos mais pesados caiam mais rapidamente.Sculo XV d.C. Galileu afirmou que um corpo deveria cair com uma acelerao constante.

Com o desenvolvimento da teria dagravitao universal de Newton, mostra-se quea acelerao da gravidade depende da distnciaao centro da Terra e de sua massa.

A acelerao de um corpo em queda livre denomina-se acelerao da gravidade, cujo o valor prximo da superfcie da Terra de

9,80 m/s2

Foto de mltiplas exposies de umabola em queda livre que produz umasrie de flashes em intervalos de temposiguais.

17

ao centro da Terra e de sua massa.

Exerccio 5:Um vaso de planta cai do alto de um edifcio e passa pelo 3 andar, situado a 20m acimado cho, 0,5s antes de se espatifar no cho. (a) Qual a altura do edifcio? (b) Com quevelocidade o vaso atinge o cho em m/s e km/h?Resoluo: A queda livre um movimento com acelerao constante, cuja aceleraovale g = 9,8 m/s2. Para encontrar a posio e velocidade, vamos escrever as equaesdo movimento para acelerao constante, ou seja,

(i) y = yi + vyi t (g/2) t2 e (ii) v = vyi gtO sinal ( ) se deve porque a acelerao da gravidade sempre dirigida para baixo.(a) A equao para vaso : y = h 4,9 t2, onde vyi = 0 , considerando que o vaso parte

do repouso. Definindo t o tempo total que o vaso leva no ar, temos y = 20 m para

18

do repouso. Definindo tq o tempo total que o vaso leva no ar, temos y = 20 m parat = tq 0,5 e y = 0 m para t = tq. Substituindo na equao (i), vem

=

=

2

2

)5,0(9,4209,40

q

q

th

th 29,4 qth =

225,19,49,49,420 22 += qqq ttt stq 33,4=29,4 qth = 2)33,4(9,4= mh 92=

(b) Substituindo o tempo de queda tq na equao (ii), vem:

outv y 8,9= )33,4(8,9= smv y /42= hkmv y /150=

2.10 O Problema Inverso

constante)( 0 == vtv

t

xv

=0

tvx = 0

reax

x numericamente igual area compreendida entre otrao do grfico v(t) e o eixo dotempo t.

19

No caso que a velocidade varia no tempo,

iii tvx =

Para calcular x entre t1 e t2,

i

ii tvx

Tomando o limite quando ,esta soma torna-se o valor exato da

0t

i

ixx

esta soma torna-se o valor exato darea entre v(t) e t , e expresso por:

= i

iit

tvx lim0

=2

1

)(t

t

dttvx

20

constante)( 0 == ata

0a

)(ta

t

va

=0

tav = 0

reav

v numericamente igual area compreendida entre otrao do grfico a(t) e o eixo dotempo t.

21

No caso que a acelerao varia no tempo,

iii tav =

Para calcular v entre t1 e t2,

i

ii tav

Tomando o limite quando ,esta soma torna-se o valor exato da

0t

i

ivv

)(ta

esta soma torna-se o valor exato darea entre v(t) e t , e expresso por:

= i

iit

tav lim0

=2

1

)(t

t

dttav

22

Equaes do movimento

O mtodo da integrao til para deduzir as equaes do movimento , principal-mente nos casos que a acelerao ax no constante .

+=t

i tdtavtv0

)()(

Integrando a expresso da acelerao, obtm a velocidade instantnea

Integrando novamente, obtm a posio em funo do tempo.

23

+=t

xi tdtvxtx0

)()(

Exerccio 7: Movimento com acelerao varivelSueli est dirigindo um carro em uma estrada retilnea. No tempo igual t = 0, quando

est se movendo a 10 m/s no sentido positivo do eixo Ox, ela passa por um poste desinalizao a uma distncia x = 50 m. Sua acelerao em funo do tempo dada por

ax = 2,0 m/s2 (0,10 m/s3) t . Deduza uma expresso para a posio e a velocidade em funo do tempo.

Resoluo: Em t = 0 temos que xi = 50 m e vi = 10 m/s. Para encontrar a expresso davelocidade usamos a seguinte relao:

t

( ) t

24

+=t

i tdtavtv0

)()( ( ) +=t

tdtsm0

1,02/10

( ) )/(|05,0210 02 smtt t+=( ) )/()0(05,0)0(2)(05,0)(210 22 smtt ++=

)/(05,0210)( 2 smtttv +=

Para encontrar a equao da posio, integramos a equao obtida para velocidade

+=t

i tdtvxtx0

)()( ( ) )(05,021050 20

mtdttmt

++=

( ) )(|0166,01050 032 mtttm t++=)(0166,01050)( 32 mttttx ++=

25

)(0166,01050)( mttttx ++=