O mundo não é unidimensional

A Física em 2 e 3 dimensões

• Referências:• “Mecânica Vetorial para Engenheiros”• F.P. Beer &E.R. Johnston Jr.• 5ª

edição seção11.13 e 11.14 e 12.11

• Exemplos clássicos:– Lançamento oblíquo– Movimento de uma carga em um campo

magnético– Elétron em torno do núcleo– O sistema solar

• Para descrever, explicar estes movimentos precisamos de um sistema de referência

• Porque diferentes sistemas de coordenadas?

PARA SIMPLIFICAR!A escolha do sistema de coordenadas vai

depender das forças de interação entre os componentes e da geometria.

Nem sempre o sistema cartesiano tradicional com os eixos x,y,z será o melhor

Um exemplo do ensino médio: o plano inclinado

Fx =max ;; Fy =max

A necessidade de um novo sistema de coordenadas

• O pêndulo simples:

Duas forças atuam sobre a massa m. Tensão na corda e força peso. A força peso é constante, mas a tensão varia com o tempo, pois sua direção varia com o tempo.

Qual o melhor sistema de referência para este caso?

MMM

MMM

x

y

Não parece muito bom pois as coordenadas x e y da bolinha mudam. Teremos x(t) e y(t).

Coordenadas polares

x

ϴ

y Pr

Para determinar a posição P precisamos de dois números, ou x e y ou r e ϴ.

x = r cos(ϴ) .. y=rsen(ϴ)

A escolha depende do sistema. Qualquer sistema pode ser escolhido, mas em um deles a solução ( encontrar a posição como função do tempo) é mais fácil.

A segunda lei de Newton em coordenadas polares

• A velocidadecomo passar de vx

re

rr re

Mas muda com o tempo!

( )

mas:

rr r

r

r

r rr r r

d ed d drv r re e rdt d dt dt

d e edd e ed

d e d edr dr d dr dv e r e r e r edt dt dt d dt dt dt

ˆ ˆcos( ) ( )ˆ ˆ( ) cos( ) (perpendicular a )

ˆ ˆ ˆ ˆ( cos( ) ( )) [ ( ) cos( )]

r

r

r

r

e i jsen

e isen j ede d di jsen isen jdt dt dtd e ed

2

2

2

2

2

( ) ( 2 ) ( )

( )

( )

igual a

já resolvemos!.Movimento oscilatório!

ra r r e r r e r e

mL mgsen

d g gsendt L LÉ

d x kxdtque

Voltando ao pêndulo

MMM

ϴF r =0 F ϴ =mg sen(ϴ) e r é constante

2( ) ( 2 )ra r r e r r e

Outro exemplo

• Forças centrais

Força depende somente da distância entre os objetos e atua somente na direção que une os objetos.

.

2

2

22

2 2 3

22

3

2 2

3 2

( )

( ) ( 2 )

( 2 ) 0

constante=L

( ) ( )

1( ) ( ( ) )2

r

r

r

F F r e

a r r e r r e

r r

mr

L Lrmr m r

Lma m r r mr F rmr

L d Lmr F r V rmr dr mr

2

2

a força for central:

( 2 ) 01( ) 02

1 constante2

Se

r rd rdt

r

• O que isto significa:

rdϴ

r

d ϴ

Área =basexaltura/2

dA=1/2 r r dϴ

2

2

2

a força for central:

( 2 ) 01( ) 02

1 constante2

cosntante!

constante

L=mr(r )

( expressão correta é L=mr constante)

Se

r rd rdt

r

dAdtL m r

dradt

Segunda lei de Kepler: A linha que une um planeta até o Sol percorre áreas iguais em tempos iguais.

Para um objeto sob a ação de uma força central o momento angular é constante!

• A equação radial

2

2

2

22

2 3

22

3

( )

( )

( )

constante=L

( ) ( )

r

r

r

r

F F r e

a r r e

a r r

mr

L Lrmr mr

Lma m r r mr F rmr

• A equação radial2

23

2

3

2

2

( ) ( ) ( )

( )

( ( ) )2

rLma m r r m r F rmr

Lmr F rmr

d Lmr V rdr mr

• V=-k/r• 1...força gravitacional -sempre atrativa• 2. força eletrostática -repulsiva ou atrativa

22

3

2

3

2

2

( ) ( ) ( )

( )

( )2

Vamos analisar os dois "potenciais"

rLma m r r m r F rmr

Lmr F rmr

d k Lmrdr r mr

V=-1/rV

-120

-100

-80

-60

-40

-20

00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Atrativo. Partícula irá para a origem. (Terra cai no Sol- elétron- colapsa no núcleo!)

V=1/r2

V

0

100

200

300

400

500

600

700

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Repulsivo , partícula vai para o infinito. Nada fica em “órbita”

Os dois simultaneamente!V

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Agora temos um ponto de mínimo diferente de zero e diferente de infinito!

• Voltando para a segunda lei de Newton e a equação diferencial:

22

2 3

22

3

2

22

2 2

( ) ( )

1( )

1[ ] [ ] [ ( )]

1 1( ) ( )

r

L Lrmr mr

Lma m r r mr F rmr

dr dr d L dr L drdt d dt mr d m d rd dr d dr d d L drdt dt d dt dt d m d rL drm r d r

2 2 2 32 2

2

2

2 2

2

2

2

fazendo u=1/r

( )

( )

:

cos( )

1 [1 cos( )]

L d L uu u kum d md ku u md LSolução

ku C mL

ouk m

r LCLk

Seções cônicas!!. Hypatia de Alexandria!