Equações de segundo grau

Profª. Drª. Soraya Regina Sacco

Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda a

equação do tipo:

Com a, b e c números reais e

02 cbxax

0a

Equação na forma canónica

0cbxax2

Termo em x2 Termo em x Termo independente

Mas afinal o que é uma equação do 2º grau?

EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA

1) DEFINIÇÃO

• Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda

equação que assume a forma:

ax² + bx + c = 0

Onde:

x é a incógnita

a, b e c são números reais, com a ≠ 0

a é coeficiente do termo em x²

b é coeficiente do termo em x

c é o coeficiente do termo independente de x

x

y

-2 -1 0 1 2

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

-2 -1 0 1 2

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Complete a tabela:

Equação do

2º grau

Equação na

forma canónica a b c

082 x

523 2 xx

02 x

2

2

1xx

33

15 2 xx

0523 2 xx

082 x

02 x

02

1 2 xx

033

15 2 xx

1

1

1

0

0 0

0

8

3 2 5

2

1

53

1 3

Termo em x e/ou o termo independente

são nulos.

Equações do

2º grau

Completas

Incompletas

Todos os termos são diferentes de zero.

0523 2 xx

033

15 2 xx

082 x

02 x

02

1 2 xx

Equações Incompletas

Como vimos, existem três tipos de equações incompletas:

0 e com , 0 2 cacax1.

0 com , 0 2 aax2.

0 e com , 0 2 babxax3.

, a e c IR

, a IR

, a e b IR

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º

GRAU

1º CASO: Equação do tipo ax² + bx = 0.

a) O quadrado de um número real positivo é igual ao seu quíntuplo. Determine esse número.

RESOLUÇÃO

Representando o número procurado por x obtemos a equação:

x² = 5x

x² - 5x = 0 - Forma reduzida.

x.(x – 5) = 0 - Fator comum em evidência.

Para que o produto entre dois números reais seja igual a zero um desses dois números precisa ser zero. Logo:

x = 0 - Uma raiz da equação.

ou

x – 5 = 0 x = 5 - Outra raiz da equação.

As raízes da equação são 0 e 5.

Resposta: Como o problema nos pede um número real positivo, concluímos que o número procurado é o 5.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º

GRAU

b) Determine os números reais que satisfazem a equação: 3m² - 21m = 0.

RESOLUÇÃO

3m² - 21m = 0

m.(3m – 21) = 0 - Fator comum em evidência.

m = 0 - Uma raiz da equação.

ou

3m – 21= 0

m = 7 - Outra raiz da equação.

As raízes da equação são 0 e 7.

Resposta: Os números procurados são 0 e 7.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º GRAU

2º CASO: Equação do tipo ax² + c = 0. a) Do quadrado de um número real subtraí 2 e obtive 34. Qual é

esse número?

RESOLUÇÃO

Representando o número procurado por x, obtemos a equação:

x² - 2 = 34

x² - 2 – 34 = 0

x² - 36 = 0

x² = 36

x = + = +6 , pois (+ )² = 36

x = - = - 6 , pois (- )² = 36

x = ± 6

As raízes da equação são -6 e 6.

Resposta: O número real procurado é -6 ou 6.

36

36

36

36

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º

GRAU b) Quais os valores reais de x que satisfazem a proporção: ?

RESOLUÇÃO

x² = 45 - Propriedade fundamental das proporções.

x = - ou x = +

x = - ou x = +

x = ±

As raízes da equação são - e +

RESPOSTA: Os valores de x procurados são - e + .

=3

15

x

x

45 45

3 5 3 5

3 5

3 5 3 5

3 5 3 5

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º

GRAU

c) Existem números reais que satisfazem a equação m² + 9 = 0 ?

RESOLUÇÃO

m² + 9 = 0

m² = - 9

m = - ou m = +

Temos que: não representa um número real.

RESPOSTA: Não existem números reais que satisfaçam tal

equação.

- 9 - 9

- 9

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º

GRAU

• Seja a equação do 2º grau na forma normal:

ax² + bx + c = 0, com a≠0.

• Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam,

utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara:

• Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação e

representado pela letra grega delta ( ). Assim:

b b² 4.a.cx

2.a

b

x2.a

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

• Se (positivo), a equação do 2º grau terá duas raízes reais e diferentes : x’ ≠ x”.

• Se (nulo), a equação terá duas raízes reais e iguais: x’ = x”.

• Se (negativo) , a equação não terá raízes reais: e .

0

0

0

x' x"

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

a) Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0.

- Temos que: a=1, b=-5 e c=4.

- Calculando o discriminante da equação, obtemos:

- Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara:

- A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.

b² 4.a.c ( 5)² 4.1.4 25 16

9

1

2

b ( 5) 9 5 3x

2.a 2.1 2

5 3 8x 4

2 2

5 3 2x 1

2 2

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

b) Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0.

- Calculando o discriminante, obtemos:

- Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:

- A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.

6² 4.3.3 36 36

0

1

2

6 0 6 0p

2.3 6

6p 1

6

6p 1

6

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º GRAU

c) Determine as raízes reais da equação: 4y² - 2y + 1 = 0.

- Calculando o discriminante da equação:

- Aplicando na fórmula de Bhaskara, obtemos:

- Observe que no Conjunto dos Números Reais não existe raiz de

índice par de radicando negativo.

- Logo, a equação não tem raízes reais.

( 2)² 4.4.1 4 16

12

( 2) 12y

2.4