equação do 1º e 2º grau
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Equações do 1º grau
Prof: Zaqueu Oliveira
Objetivos
Reconhecer equações do 1º grau. Descrever uma situação por meio de uma
equação do 1º grau. Identificar os elementos de uma equação
do 1º grau. Resolver equações do 1º grau com uma ou
duas incógnitas. Descrever uma situação por meio de um
sistema de duas equações do 1º grau.
História
Resoluções de equaçõesMatemáticos egípcios e babilônicos, há cerca
de 4000 anos, já demonstravam interesse pela resolução de equações, que era feita passo a passo, e as incógnitas eram representadas por figuras e palavras.
Equação do 2º grau com uma incógnita
Rafael possui R$ 43,50, sendo R$ 17,50 em moedas e o restante em cédulas de 2 reais.Quantas cédulas de 2 reais Rafael possui?
2x+17,50 = 43,50 2x = 43,50-17,50 2x = 26 x = 26/2 x = 13
1ºmembro 2º membro
Definição
Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade em que há menos uma letra que representa um número desconhecido, chamada incógnita.
Resolver uma equação é encontrar o valor desconhecido da incógnita, ou seja obter a solução ou a raiz da equação.
Na equação 2x+17,50 = 43,50, por exemplo, a incógnita é x e a raiz ou solução da equação é x=13, pois 2(13)+17,50=43,50.
Equações do 1º grau com duas incógnitas
As equações que podem ser escritas na forma ax+by=c, com a≠0 e b≠0.
x+y=6x y X+y
6 0 6+0=6
5 1 5+1=6
4 2 4+2=6
3 3 3+3=6
2 4 2+4=6
1 5 1+5=6
0 6 0+6=6 0 1 2 3 4 5 6 701234567
Valores Y
Valores Y
Exemplo de Equações do 1º grau
a+5=9, sim
2x+y=10, sim
3y- √6x=0, não
x²+8x+4=0, não
Resolva as equações a) 3x+2=x+5 3x-x=5-2 2x=3 x=3/2 x=1,5 b)7.(x-6)=21 7x-42=21 7x=21+42 7x=63 x=63/7 x= 9
Sistemas de duas equações do 1º grau com duas incógnitas
Em um estacionamento, entre carros e motos, há 12 veículos. A diferença entre o número de carros e o dobro do número de motos é igual a 3.
x+y=12 x-2y=3 => x=3+2y Método da Substituição 3+2y+y=12 3y=12-3 => y=9/3 => y=3 Substitui na 1º, temos x+3=12 => x=12-3 => x=9 S=(9;3)
Equações do 2º grauProf: Zaqueu Oliveira
Objetivos
Reconhecer uma equação do 2º grau. Identificar os elementos de uma equação do 2º grau Classificar equações do 2º grau em completas ou
incompletas. Representar situações por meio de uma equação do
2º grau. Determinar as soluções de uma equação do 2º grau. Determinar o número de raízes reais diferentes de
uma equação do 2º grau analisando o valor do discriminante.
Historia
Equação e Álgebra
A parte da matemática que estuda equações ecálculos em que letras representam números échamada de Álgebra. Os primeiros a usar foramo grego Diofanto de Alexandria (cerca de 250d.C), o francês François Viète (1540-1603).
Equação do 2º grau
Henrique cercou com tela um terreno em forma de quadrado cuja área é 169 m². Quantos metros de tela, no mínimo, Henrique utilizou?
x.x=169 x²=169 x= ±√169 x=± 13
A=169m²
13 m
13 m
Definição:
Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
Observe que:
a representa o coeficiente de x²;b representa o coeficiente de x;c representa o termo independente.
Exemplos:
x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6. Completa 7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. Incompleta x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36. Incompleta
Estudando as raízes de equações do 2º grau
De acordo com o valor de Δ, podem ocorrer três casos. Se Δ>0, possui duas raízes reais e diferentes; Se Δ=0, possui duas raízes reais e iguais; Se Δ<0, não possui raízes reais.
Resolução de Equações Incompletas
Equações da forma:ax² +bx = 0, (c = 0)
De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções:
x = 0
e
x = - b a
Equações da forma:ax² +c = 0, (b = 0)
De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0:
possui duas raízes reais se:- c for um nº positivo
a
não possui raiz real se:- c for um nº negativo
a
Resolução de equações incompletas do tipo ax² +bx=0 e ax² +c=0
1.Determine o conjunto verdade das equações:a) x²-7x = 0 b) x²- 49 = 0 x=-b/a x=-(-7)/1 x=7As raízes será 0 e 7c) 3x² +25=4 → 3x² +25-4=0 → 3x² +21=0 → 3x² =-21x² = -21/3 x² =-7Não existe raiz real para a raiz quadrada de -7
x²=49/1x = √49x= ±7. As raízes é -7 e 7
Resolução de equações completas do tipo ax² +bx +c=0
a) x²+3x-10 = 01º passo. Determinar os valores dos coeficientes a=1, b=3 ,c=-10
2º passo. Substituir os valores na formula discriminante Δ=b²-4.a.c Δ=3²-4.(1).(-10) Δ=9+40 Δ=493º passo. Substituir os valores na formula Resolutiva.
As raízes são 2 e -5.
Composição de uma Equação do
2º Grau, Conhecidas as Raízes
Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos:
ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = 0 a a a a aComo: S = x’+ x” = -b/a e P = x’. x” = c/aPodemos escrever a equação desta maneira:
x2 - Sx + P = 0
Exercício sobre Composição
Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7. Solução: A soma das raízes corresponde a: S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5 O produto das raízes corresponde a: P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14. Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
Sistema de duas equações com duas incógnitas
Guilherme utilizou 72m de tela para cercar um terreno retangular com 315m². Quais são as dimensões desse terreno?
Método da Substituição. substituindo x por 36-y2x+2y=72 x.y =3152x=72-2y (36-y).y =315x=72-2y/2 36y - y² =315x=36-y -y² +36y -315=0
informação
• Perímetro
• Área
Equação
• 2x+2y=72
• x.y=315
Sistema
• 2x+2y=72
• x.y=315
Formula Resolutiva
-y² +36y -315=0 a=-1 , b=36, c=-315 Δ=b²-4.a.c Δ= (36)² - 4.(-1).(315) Δ= 1296-1260=36
15m x 21m
Bibliografia
Slidesdare Google imagens Livro didático Vontade de saber de
matemática Artigos relacionados as equações do 2º
grau.