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Equações do 2º Grau 8ª Série Prof. Arthur Bernd

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Page 1: Equações do 2º Grau 8ª Série Prof. Arthur Bernd. Definição Uma equação do 2º grau é uma equação do tipo: A denominação 2º grau corresponde ao expoente

Equações do 2º Grau

8ª SérieProf. Arthur Bernd

Page 2: Equações do 2º Grau 8ª Série Prof. Arthur Bernd. Definição Uma equação do 2º grau é uma equação do tipo: A denominação 2º grau corresponde ao expoente

Definição

Uma equação do 2º grau é uma equação do tipo:

A denominação “2º grau” corresponde ao expoente de grau 2 da incógnita.

Assim como no caso das equações do 1º grau, utilizamos as equações do 2º grau com o objetivo de resolver problemas.

.0 e reais números são e , onde

02

acba

cbxax

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Alguns exemplos Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, e

destacamos em cada caso os valores de a, b e c.

10 e 2

1 , 1

0102

3 e 1 , 5

035

7 e 2 , 3

0723

2

2

2

cba

xx

cba

xx

cba

xx

Page 4: Equações do 2º Grau 8ª Série Prof. Arthur Bernd. Definição Uma equação do 2º grau é uma equação do tipo: A denominação 2º grau corresponde ao expoente

1 , 5 , 3

0153

153

0 , 4 , 7

047

047

8 , 0 , 2

082

028

2

2

2

2

2

cba

xx

xx

cba

xx

xx

cba

x

x

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Equações completas e incompletas

Dizemos que uma equação é completa quando . Por exemplo:

Dizemos que uma equação é incompleta quando. Por exemplo:

0 e 0 cb

0532 2 xx

0e/ou 0 cb

02

093

05

2

2

2

x

x

xx

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Solução de uma equação

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar para qual(is) valor(es) da incógnita a igualdade é verdadeira.

Por exemplo, dada a equação

0126516)1(51 :obtemos 1-por

ossubstituím quando pois solução, é não 1 lado, outroPor

061046252 :obtemos 2por

ossubstituím quando pois solução, é 2 quedizer podemos

065

2

2

2

x

x

x

x

xx

Page 7: Equações do 2º Grau 8ª Série Prof. Arthur Bernd. Definição Uma equação do 2º grau é uma equação do tipo: A denominação 2º grau corresponde ao expoente

Exercícios

Pág. 46 Exercícios 1, 2 e 4 (a, b, c, d)

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Resolução de equações incompletas Incompleta do tipo b=0 Exemplo:

.2 ;2 é solução conjunto O

equação. da soluções são 2 e 2 que significa 2 escritaA

2

4

4

3

12

123

0123

2

2

2

2

S

x

x

x

x

x

x

x

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Outro exemplo:

3 ;3

3

3

7

21

217

0217

2

2

2

2

S

x

x

x

x

x

Page 10: Equações do 2º Grau 8ª Série Prof. Arthur Bernd. Definição Uma equação do 2º grau é uma equação do tipo: A denominação 2º grau corresponde ao expoente

Outro exemplo:

. é solução conjunto o Logo,

IR 9

9

2

18

182

0182

2

2

2

2

x

x

x

x

x

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Exercícios: pág. 47 6 (a, b, c, d, e, h, i) 7 (a, f, g, h)

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Incompleta do tipo c=0 Exemplo:

5 ;0

5

05

0

:maneira seguinte da seguimos seja,Ou

0. é termo2º oou

0, é termo1º oou 0, é produto um Quando

05

052

S

x

x

x

xx

xx

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Outro exemplo:

0 ;2

72

7

72

072

0

072

072 2

S

x

x

x

x

xx

xx

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Outro exemplo:

0444

444

4222

42

2

2

22

2

xx

xx

xx

x

0 ;4

4

04

0

04

042

S

x

x

x

xx

xx

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Exercícios

Pág. 47 Exercícios 6 (a, c, d, e, i) e 7 (c, f, h)

Pág. 48 Exercícios 10 (a, b, c, e, h, i) e 11

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Fórmula de Bhaskara

Para resolver equações do 2º grau completas (e as incompletas também) devemos utilizar a fórmula geral de resolução (conhecida no Brasil como Fórmula de Bhaskara).

A fórmula de Bhaskara pode ser demonstrada (explicada através de argumentos lógicos e matemáticos), e esta demonstração é a seguinte.

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a

acbbx

a

acbbax

b

acbbax

acbbax

acbbabxxa

b

acabxxa

a

cbxax

c

cbxax

2

4

:2por membros os ambos Dividmos )7º

42

:membros os ambos de Subtraímos )º6

42

:membros os ambos de quadrada raiz a Extraímos )5º

42

:membro primeiro o Fatoramos )4º

444

:membros os ambos a sAdicionamo )3º

444

:4por membros os ambos mosMultiplica )2º

:equação da (lados) membros os ambos em Subtraímos )º1

, 0grau 2º do equação a Dada

2

2

2

22

2222

2

22

2

2

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Então, a fórmula de Bhaskara é a seguinte:

a

acbbx

2

42

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acb

a

bx

acb

4 onde

2

:forma seguinte da Bhaskara de Fórmula a osreescrevem Assim,

. grega letra pela darepresenta é e

equação, da ntediscrimina se-chama 4 expressãoA

2

2

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Exemplo 1:

9

4049

10147

4

0107

2

2

2

acb

xx

5;2

22

4

2

37

52

10

2

372

3712

97

2

S

x

x

x

x

a

bx

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Exemplo 2:

25

2449

3247

4

0372

2

2

2

acb

xx

3;2

12

1

4

2

4

57

34

12

4

574

5722

257

2

S

x

x

x

x

a

bx

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Exemplo 3:

0

1616

4144

4

044

2

2

2

acb

xx

2

22

4

2

04

22

4

2

042

0412

04

2

S

x

x

x

x

a

bx

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Exemplo 4:

S

reais. raízes possui não dada equação a Portanto,

negativos. números de quadrada raiz a

extrair possível é não reais, números nos que,observar devemos

, 23 exige resolução da passo próximo o Como

23

241

3241

4

032

2

2

2

acb

xx

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Exercícios

Pág. 54 Exercícios 13 e 14

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Exemplo 4

16

4864

3448

4

0384

03534

3534

2

2

2

2

2

acb

xx

xxx

xxx

2

3;

2

12

1

8

4

8

482

3

8

12

8

488

4842

168

2

S

x

x

x

x

a

bx

Sempre que necessário, devemos

“organizar” a equação, antes de usar a fórmula de Bhaskara

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Exemplo 5

36

324

8142

4

082

0533

513

2

2

2

2

acb

xx

xxx

xx

2;4

42

8

2

62

22

4

2

622

6212

362

2

S

x

x

x

x

a

bx

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Exercícios

Pág. 55 Exercícios 18 (a, d), 19 (c, e, f) e 20 (a,

d, e)

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Número de raízes

Até o momento, já resolvemos uma série de equações do 2º grau, seja pela Fórmula de Bhaskara ou pelos outros métodos anteriores.

Foi possível perceber a existência de 3 situações diferentes, quanto ao número de raízes de uma equação.

Vimos equações com 2 raízes diferentes, com uma única raiz ou com nenhuma raiz.

Iremos, agora, utilizar um método rápido que permite determinar o número de raízes de uma equação qualquer dada.

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Para determinar o número de raízes de uma equação do 2º grau, basta analisar o :

reais. raízes possui não equação a então

0 Se

real. raiz única uma possui equação a então

0 Se

distintas. reais raízes duas possui equação a então

0 Se

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Exemplos Ex. 1:

reais. raízes possui não equação a Logo

47

7225

6345

:Resolução

0653- b)

distintas. reais raízes duas possui equação a Logo

48

1236

3146

:Resolução

036 a)

:equações seguintes das reais raízes de número o Determine

2

2

2

2

xx

xx

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Ex. 2:

28

16

168

168

0816

0244

: temosPortanto,

.0 ter devemos real, raiz uma ter Para

:Resolução

real. raiz única uma possui

042 equação a de valor qual para Determine

2

2

m

m

m

m

m

m

mxxm

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312

36

3612

3612

01236

01346

: temosPortanto,

.0 ter devemos reais, raízres ter não Para

:Resolução

reais. raízes possui não

0163 equação a de valoresquais para Determine

2

2

k

k

k

k

k

k

xkxk Ex. 3:

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Exercícios

Pág. 59 Exercícios 34 (a, d, f), 35 e 37