conjunto e equação do 2º grau

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TRABALHO SOBRE TRABALHO SOBRE POTÊNCIA e EQUAÇÃO DO POTÊNCIA e EQUAÇÃO DO 2º GRAU. 2º GRAU. TRABALHO DE MATEMÁTICA FEITO POR TRABALHO DE MATEMÁTICA FEITO POR ANTONIO CARLOS CARNEIRO ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSO ,PROFESSOR DE MATEMÁTICA BARROSO ,PROFESSOR DE MATEMÁTICA GRADUADO PELA UFBA,PÓS GRADUADO EM GRADUADO PELA UFBA,PÓS GRADUADO EM METODÓLOGIA E DIDÁTICA DO ENSINO METODÓLOGIA E DIDÁTICA DO ENSINO SUPERIOR.03/03/2009. SUPERIOR.03/03/2009.

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Page 1: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

TRABALHO SOBRE TRABALHO SOBRE POTÊNCIA e EQUAÇÃO DO POTÊNCIA e EQUAÇÃO DO

2º GRAU.2º GRAU.TRABALHO DE MATEMÁTICA FEITO POR TRABALHO DE MATEMÁTICA FEITO POR

ANTONIO CARLOS CARNEIRO ANTONIO CARLOS CARNEIRO BARROSO ,PROFESSOR DE MATEMÁTICA BARROSO ,PROFESSOR DE MATEMÁTICA

GRADUADO PELA UFBA,PÓS GRADUADO EM GRADUADO PELA UFBA,PÓS GRADUADO EM METODÓLOGIA E DIDÁTICA DO ENSINO METODÓLOGIA E DIDÁTICA DO ENSINO

SUPERIOR.03/03/2009.SUPERIOR.03/03/2009.

Page 2: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

CONJUNTO N:CONJUNTO N:Conjunto dos Números NaturaisConjunto dos Números Naturais

São todos os números inteiros positivos, São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela incluindo o zero. É representado pela

letra maiúscula N.letra maiúscula N.Caso queira representar o conjunto dos Caso queira representar o conjunto dos

números naturais não-nulos (excluindo o números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do zero), deve-se colocar um * ao lado do

N:N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}, ...}

Page 3: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

CONJUNTO Z:CONJUNTO Z:

Conjunto dos Números InteirosConjunto dos Números InteirosSão todos os números que pertencem São todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos). respectivos opostos (negativos). São representados pela letra Z:São representados pela letra Z:

Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Page 4: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

Z+Z+

O conjunto dos inteiros possui alguns O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos- Inteiros não negativosSão todos os números inteiros que não são São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.naturais.É representado por Z+:É representado por Z+:

Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

Page 5: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

Z-Z-

- Inteiros não positivos- Inteiros não positivosSão todos os números inteiros que não são São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:positivos. É representado por Z-:

Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulos- Inteiros não negativos e não-nulosÉ o conjunto Z+ excluindo o zero. É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:Representa-se esse subconjunto por Z*+:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Page 6: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

Z+ e NZ+ e N Z*+ = N*Z*+ = N*

- Inteiros não positivos e não nulos- Inteiros não positivos e não nulosSão todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.Representa-se por Z*-.

Z*- = {... -4, -3, -2, -1}Z*- = {... -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números RacionaisConjunto dos Números RacionaisOs números racionais é um conjunto que engloba os Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicosperiódicos (que repete uma seqüência de algarismos da (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como também conhecidas como dízimas periódicasdízimas periódicas..Os racionais são representados pela letra Q. Os racionais são representados pela letra Q.

Page 7: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

IRRACIONAIS e REAISIRRACIONAIS e REAIS Conjunto dos Números IrracionaisConjunto dos Números Irracionais

É formado pelos números decimais infinitos não-É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. PI. Também são irracionais todas as raízes não exatas, Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)

Conjunto dos Números ReaisConjunto dos Números ReaisÉ formado por todos os conjuntos citados anteriormente É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R. Representado pela letra R.

Page 8: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

N<Z<Q<RN<Z<Q<R

Page 9: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

POTENCIAÇÃO:POTENCIAÇÃO: DefiniçãoDefinição

Potenciação significa multiplicar um número real Potenciação significa multiplicar um número real (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a (base) por ele mesmo X vezes, onde X é a potência (número natural). Exemplo:potência (número natural). Exemplo:

32 (leia-se "três elevado ao quadrado", ou "três 32 (leia-se "três elevado ao quadrado", ou "três elevado à segunda potência" ou ainda "três elevado à segunda potência" ou ainda "três elevado à dois").elevado à dois").

No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele No exemplo, precisamos multiplicar o 3 por ele mesmo. Ficando: 3.3 = 9. mesmo. Ficando: 3.3 = 9.

Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27Então 33 = 3 . 3 . 3 = 3 . 9 = 27

Page 10: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

PROPRIEDADES:PROPRIEDADES: Algumas outras definições que podem ser utilizadas:Algumas outras definições que podem ser utilizadas:

a1 = aa1 = aa0 = 1a0 = 1

PropriedadesPropriedades1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some 1 - Multiplicação de potências de bases iguais = mantenha a base e some os expoentes:os expoentes:

an . am = an+m an . am = an+m

2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os 2 - Divisão de potências de bases iguais - mantenha a base e subtraia os expoentes: expoentes:

(an) / (am) = an-m , "a" diferente de zero.(an) / (am) = an-m , "a" diferente de zero.

3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes:3 - Potência de potência = mantenha a base e multiplique os expoentes:

(am)n = am . n(am)n = am . n

Page 11: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

ATENÇÃO:ATENÇÃO:

As potências abaixo NÃO são iguais:As potências abaixo NÃO são iguais:

(am)n(am)n

e e

amnamn

na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na na primeira, resolvemos o que está entre parênteses primeiro, já na segunda, nós devemos elevar segunda, nós devemos elevar mm à à nn, e depois elevar , e depois elevar aa ao resultado da ao resultado da operação anterior. operação anterior.

4 - (a . b)n = an . bn4 - (a . b)n = an . bn

5 - (a/b)n = an/bn , "b" diferente de zero.5 - (a/b)n = an/bn , "b" diferente de zero.

Potenciação com números negativosPotenciação com números negativosObserve os exemplos abaixo:Observe os exemplos abaixo:

(-3)2 = 9(-3)2 = 9-32 = -9-32 = -9

Page 12: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

CUIDADO COM O SINAL:CUIDADO COM O SINAL: sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará sinal de negativo ( - ) na frente do três, só fará

parte da potenciação quando estiver dentro de um parte da potenciação quando estiver dentro de um parêntese, caso contrário, ele continua no seu parêntese, caso contrário, ele continua no seu lugar no resultado. lugar no resultado.

Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, Porém, no primeiro exemplo, o expoente é 2, número par, por isto o negativo do 3 ao final se número par, por isto o negativo do 3 ao final se transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado transforma em positivo. Se fosse 3, o resultado seria negativo:seria negativo:(-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27(-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = 9 . (-3) = -27

se tirarmos os parêntesesse tirarmos os parênteses

-33 = - 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27-33 = - 3 . 3 . 3 = -9 . 3 = -27

Page 13: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

POTENCIA:POTENCIA:

Utilizamos a potenciação para representar Utilizamos a potenciação para representar uma multiplicação de fatores iguais. Por uma multiplicação de fatores iguais. Por Exemplo: 4*4*4 = 64 , utilizando a Exemplo: 4*4*4 = 64 , utilizando a potenciação podemos escrever a potenciação podemos escrever a expressão 4*4*4, da seguinte forma 4³. expressão 4*4*4, da seguinte forma 4³. A seguir mostraremos definições de A seguir mostraremos definições de potenciação e regras básicas. potenciação e regras básicas.

Page 14: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

P1:P1:

Propriedades da potenciaçãoPropriedades da potenciação

Multiplicação de potências de Multiplicação de potências de mesma base: “conservar a base mesma base: “conservar a base e somar os expoentes”.e somar os expoentes”.

Page 15: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

P2:P2:

Divisão de potências de mesma Divisão de potências de mesma base: “conservar a base e somar base: “conservar a base e somar os expoentes”.os expoentes”.

Page 16: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

P3:P3:

Potência de potênciaPotência de potênciaMultiplicação de potências de mesmo Multiplicação de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e expoente: “conservar os expoentes e multiplicar as bases”.multiplicar as bases”.

Divisão de potências de mesmo Divisão de potências de mesmo expoente: “conservar os expoentes e expoente: “conservar os expoentes e dividir as bases”.dividir as bases”.

Page 17: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

QQ Números racionais (Q)Números racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é o conjunto O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados por dos números que podem ser representados por uma expressão decimal finita ou periódica.uma expressão decimal finita ou periódica.

Por exemplo, 3/8 é um numero racional e é o Por exemplo, 3/8 é um numero racional e é o mesmo que 0,375, 1/9 é o mesmo que 0,1111...mesmo que 0,375, 1/9 é o mesmo que 0,1111...

Observe que na divisão continuada do Observe que na divisão continuada do numerados numerados pp pelo denominador pelo denominador qq, só podem , só podem ocorrer restos diferentes, daí a periodicidade.ocorrer restos diferentes, daí a periodicidade.

Page 18: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

DEFINIÇÃO:DEFINIÇÃO:

Entende-se por dízima periódica, como uma Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto representação numérica, tanto decimal quanto fracionária, onde existe uma seqüência finita de fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente.algarismos que se repetem indefinidamente.

Exemplos: Exemplos:

2/7 = 0,285714285... 2/7 = 0,285714285... 1/9 = 0,111111111...1/9 = 0,111111111...4/13 = 0,307692307...4/13 = 0,307692307...

Page 19: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

CLASSIFICAÇÃO:CLASSIFICAÇÃO:

Dízimas periódicas simplesDízimas periódicas simples: Quando o : Quando o período aparece logo após à virgula.período aparece logo após à virgula.

Exemplos:Exemplos:

2/3 = 0,6666666....... Período: 62/3 = 0,6666666....... Período: 64/13 = 0,307692307.... Período: 4/13 = 0,307692307.... Período: 30769230769231/33 = 0,93939393.... Período: 9331/33 = 0,93939393.... Período: 93

Page 20: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

DIZÌMAS COMPOSTAS:DIZÌMAS COMPOSTAS:

Dízimas periódicas compostasDízimas periódicas compostas: Quando : Quando existe uma parte não repetitiva entre a existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a parte periódica. vírgula e a parte periódica.

Exemplos:Exemplos:

35/42 = 0,833333.... Período: 3 , Parte não 35/42 = 0,833333.... Período: 3 , Parte não periódica: 8 periódica: 8 44/45 = 0,977777.... Período: 9 , Parte não 44/45 = 0,977777.... Período: 9 , Parte não periódica: 9periódica: 935/36 = 0,972222.... Período: 2 , Parte não 35/36 = 0,972222.... Período: 2 , Parte não periódica: 97 periódica: 97

Page 21: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

PROPRIEDADES:PROPRIEDADES:

Potencias:Potencias:

Page 22: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

ATIVIDADES:ATIVIDADES:

Page 23: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

CONTINUAÇAO:CONTINUAÇAO:

Page 24: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

EXPOÊNTE NEGATIVO:EXPOÊNTE NEGATIVO:

Page 25: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

PRODUTO DE POTÊNCIAS:PRODUTO DE POTÊNCIAS:

Page 26: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

DIVISÃO DE POTÊNCIAS:DIVISÃO DE POTÊNCIAS:

Page 27: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

POTÊNCIA DE POTÊNCIA:POTÊNCIA DE POTÊNCIA:

Page 28: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

POTÊNCIAS COM EXPOÊNTES POTÊNCIAS COM EXPOÊNTES IGUAISIGUAIS

Page 29: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

EXPOÊNTES IGUAS NA EXPOÊNTES IGUAS NA DIVISÃO:DIVISÃO:

Page 30: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

RADICAIS:RADICAIS:

Page 31: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

RAIZ EXATA:RAIZ EXATA:

Page 32: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

EXEMPLO 2:EXEMPLO 2:

Page 33: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

VOLUME:VOLUME:

Page 34: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau
Page 35: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

RADICAIS:RADICAIS:

Page 36: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

RADICAIS:RADICAIS:

Page 37: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

EQUAÇÃO 2º GRAU:EQUAÇÃO 2º GRAU:

Mostraremos na seqüência como o matemático Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Page 38: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

SEJA A EQUAÇÃO:SEJA A EQUAÇÃO:

a x² + b x + c = 0a x² + b x + c = 0 com a não nulo e dividindo todos os com a não nulo e dividindo todos os

coeficientes por a, temos:coeficientes por a, temos: x² + (b/a) x + c/a = 0x² + (b/a) x + c/a = 0 Passando o termo constante para o Passando o termo constante para o

segundo membro, teremos:segundo membro, teremos: x² + (b/a) x = -c/ax² + (b/a) x = -c/a Prosseguindo, faremos com que o lado Prosseguindo, faremos com que o lado

esquerdo da equação seja um quadrado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2aquadrado de b/2a a ambos os membros da a ambos os membros da equação para obterequação para obter

Page 39: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

DEDUÇÃO:DEDUÇÃO:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²Simplificando ambos os lados da Simplificando ambos os lados da

equação, obteremos:equação, obteremos:[x+(b/2a)][x+(b/2a)]2 2 = (b² - 4ac) / 4a²= (b² - 4ac) / 4a²

Page 40: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

OBSERVE:OBSERVE:

Extraindo a raiz quadrada de cada Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa obteremos duas respostas para a nossa equação:equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²] ouou x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

Page 41: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

CONCLUSÃO:CONCLUSÃO:

A FORMULA:A FORMULA:

Page 42: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

x² - 5 x + 6 = 0x² - 5 x + 6 = 0 Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6 Escrever o discriminante D = b²-4ac.Escrever o discriminante D = b²-4ac. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1 Escrever a fórmula de Bhaskara:Escrever a fórmula de Bhaskara: Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na

fórmula:fórmula: x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3

x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

Page 43: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

VEJA:VEJA:

Page 44: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

vejaveja Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é Essa equação é da forma ax2 + bx + c = 0 e é

chamada de equação do 2º grau.chamada de equação do 2º grau. Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0. Os coeficientes a, b e c são números reais e a ¹ 0.

Veja os exemplos:Veja os exemplos: l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes l Na equação 2x2 - 4x + 5 = 0, os coeficientes

são:são: a = 2, b = - 4 e c = 5a = 2, b = - 4 e c = 5 l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são:l Na equação x2 + 5x = 0, os coeficientes são: a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o a = 1, b = 5 e c = 0 (não existe o

termo independente de x)termo independente de x) l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são:l Na equação 2x2 - 9 = 0, os coeficientes são: a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o a = 2, b = 0 e c = - 9 (não existe o

termo do 1º grau em x)termo do 1º grau em x)

Page 45: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

Incompleta:Incompleta: l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são:l Na equação 4x2 = 0, os coeficientes são: a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois a = 4, b = 0 e c = 0 (faltam dois

termos)termos) A equação que encontramos no problema inicial é A equação que encontramos no problema inicial é

uma equação completa, pois não tem uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º coeficientes nulos. Quando uma equação do 2º grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é grau possui um ou dois coeficientes nulos ela é chamada de incompleta. Aprenderemos como chamada de incompleta. Aprenderemos como resolver os diferentes tipos de equação resolver os diferentes tipos de equação incompletas ainda nesta aula. As equações incompletas ainda nesta aula. As equações completas serão estudadas na próxima aula.completas serão estudadas na próxima aula.

Page 46: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

OBS:OBS: Você se lembra de que, quando definimos Você se lembra de que, quando definimos

equação do 2º grau, escrevemosequação do 2º grau, escrevemos que a é diferente de zero. O que aconteceria se a que a é diferente de zero. O que aconteceria se a

fosse igual a zero? fosse igual a zero? Vamos substituir a por zero na equação ax2 Vamos substituir a por zero na equação ax2

+ bx + c = 0. + bx + c = 0. A equação ficará assim:A equação ficará assim:

0 . x + bx + c = 00 . x + bx + c = 0 bx + c = 0 ® equação do 1º grau.bx + c = 0 ® equação do 1º grau. Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não Portanto, o coeficiente do termo de 2º grau não

pode ser zero pois, anulando esse termo, a pode ser zero pois, anulando esse termo, a equação deixa de ser do 2º grau.equação deixa de ser do 2º grau.

Page 47: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

RESOLVENDO:RESOLVENDO:

Resolução de uma equaçãoResolução de uma equação Já vimos, quando estudamos equações do Já vimos, quando estudamos equações do

1º grau, que resolver uma equação é 1º grau, que resolver uma equação é encontrar um valor da variável x que torna encontrar um valor da variável x que torna a equação verdadeira quando a equação verdadeira quando substituímos x por esse valor.substituímos x por esse valor.

No caso da equação do 2º grau, podemos No caso da equação do 2º grau, podemos encontrar até duas soluções diferentes encontrar até duas soluções diferentes para uma equação.para uma equação.

Page 48: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

EXEMPLO 1:EXEMPLO 1: EXEMPLO 1EXEMPLO 1 a) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução daa) Verifique, na equação do problema inicial, se o número 2 é solução da equação.equação. A equação é: x2 + 6x - 16 = 0A equação é: x2 + 6x - 16 = 0 Substituindo x por 2, temos: Substituindo x por 2, temos:

2.2 + 6 . 2 -2.2 + 6 . 2 - 1616 = 0= 0

4 + 124 + 12 -- 1616 = 0= 0

16-16- 1616 = 0= 0 ® sentença verdadeira® sentença verdadeira

Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.Logo, x = 2 é uma solução da equação x2 + 6x - 16 = 0.

Page 49: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

VERIFIQUE:VERIFIQUE:

b) Verifique, na mesma equação, se b) Verifique, na mesma equação, se 1 é solução.1 é solução.

Substituindo x por 1, temos:Substituindo x por 1, temos:1.2 + 6 . 1 -1.2 + 6 . 1 - 1616 = 0= 01 +1 + 66 -- 1616 = 0= 07-7- 1616 = 0= 0 ® sentença falsa® sentença falsaLogo, x = 1 não é solução da Logo, x = 1 não é solução da

equação x2 + 6x - 16 = 0. equação x2 + 6x - 16 = 0.

Page 50: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

EXEMPLO 2:EXEMPLO 2:

EXEMPLO 2 EXEMPLO 2 Resolver a equação Resolver a equação

3x2 - 27 = 0 3x2 - 27 = 0 3x2 = 27 3x2 = 27

x2 = 27 x2 = 27 3 3

x2 = 9 x2 = 9 x = x = ± x = x = ± 9 ® x = + 9 ® x = +

3 3 As soluções da As soluções da

equação são +3 e -3. equação são +3 e -3.

Page 51: Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau

2º CASO:2º CASO: Equações do 2º grau em que c = 0 Equações do 2º grau em que c = 0

(equações do tipo ax2 + bx = 0)(equações do tipo ax2 + bx = 0) Observe que essa equação possui dois Observe que essa equação possui dois

termos em x. Nesse caso, podemos termos em x. Nesse caso, podemos fator ar ax2 + bx, colocando x em fator ar ax2 + bx, colocando x em evidência:evidência:

x (ax + b) = 0x (ax + b) = 0 Obtivemos um produto de dois fatores Obtivemos um produto de dois fatores

que deve ser igual a zero. Logo um que deve ser igual a zero. Logo um dos fatores deve ser nulo:dos fatores deve ser nulo:

x = 0x = 0 ìì Se x (ax + b) = 0, entãoSe x (ax + b) = 0, então ouou îî ax + b = 0 ® ax = -bax + b = 0 ® ax = -b x = -bx = -b aa As soluções da equação são x1 = 0As soluções da equação são x1 = 0

ee x2 = -b x2 = -b aa

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EXEMPLO:EXEMPLO: Resolver a equação 3x2 - 15x = 0. Resolver a equação 3x2 - 15x = 0. x (3x - 15) = 0 x (3x - 15) = 0

x = 0 x = 0 ou ou 3x - 15 = 0 3x - 15 = 0 1515

3x = 153x = 15® x =® x =

33

® x = 5 ® x = 5

As soluções são x1 = 0 e x2 = 5. As soluções são x1 = 0 e x2 = 5.

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