Felipe do Carmo Amorim

Engenharia Mecânica

felipeamorim@vm.uff.br

Equação do Calor

RESUMO

O fenômeno da condução de calor através de um cilindro pode ser analisado

matematicamente por meio do uso de equações diferenciais parciais. Utilizando argumentos

físicos pode-se mostrar como é realizada a formulação da equação do calor em um cilindro. O

estudo da equação do calor, não somente para o caso desde trabalho, mostra-se fundamental

em numerosos campos científicos, portanto a dedução do problema em coordenadas cilíndricas

oferece uma melhor compreensão a respeito desse importante assunto.

Palavras-chave: calor, Bessel, Laplaciano, cilindro.

INTRODUÇÃO

Na metade do século XVII, motivados pelo problema de vibração de cordas, matemáticos

debateram sobre a expansão de funções arbitrária em séries trigonométricas. D’Alambert,

Euler, Bernoulli e Lagrange desenvolveram a matemática da época e aproximaram do que é

hoje conhecido como Série de Fourier.

Utilizando a teoria dos antecessores, em 1807 Fourier submeteu seu primeiro trabalho a

Academia Francesa, onde formalizou e solucionou o problema da condução de calor. Seu

trabalho não foi aceito e um concurso foi feito para premiar quem solucionasse o problema. Em

1811, Fourier submeteu novamente seu trabalho, mas a banca julgadora mais uma vez resolveu

não publicá-lo, alegando falta de rigor. A publicação dos seus trabalhos só ocorreu mais tarde,

quando Fourier tornou-se secretário da Academia.

Assim, a teoria de Fourier foi reconhecida, porém não finalizado, pois novos problemas

surgiram do seu trabalho. Equações diferenciais, Análise, Integral e teoria dos conjuntos foram

algumas das áreas que desenvolveram-se ou aprimoraram-se depois da teoria de Fourier.

APLICAÇÃO

Hoje são conhecidas diversas variações da equação do calor. Na sua forma mais

conhecida, ela modela a condução de calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não

possua fontes de calor, e é escrita:

A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos

campos da ciência. Na matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por

antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento

browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é uma versão mais

geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão

química. A equação do calor é usado em probabilidade e descreve passeios aleatórios. É

aplicada em matemática financeira por esta razão.

É também importante em geometria Riemanniana e, portanto, topologia: foi adaptada

por Richard Hamilton quando definiu o fluxo de Ricci que foi posteriormente usado por Grigori

Perelman para resolver a conjectura de Poincaré topológica.

LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES

Seja o Laplaciano operador diferencial em duas dimensões dado por

Que opera uma função u = u(x,y) de duas variáveis. Todavia muitas vezes trabalhar em

coordenadas cartesianas pode não ser a melhor forma de se abordar um problema. De acordo

com a geometria do problema a utilização das coordenadas polares pode facilitar a obtenção da

solução.

As coordenadas polares são dadas por

Ou ainda

Com essa transformação, a antiga função u = u(x,y) passa a ser v = v(r,θ). Derivando-se u

utilizando-se a regra da cadeia, pode-se obter

Derivando-se novamente

Utilizando novamente a regra da cadeia

Admitindo-se que u(x,y) é de classe C 2, pelo teorema de Schwarz

Logo, podemos escrever uxx como

Analogamente se obtém uyy como

Segundo a definição do Laplaciano

Agora basta resolver as derivadas

Portanto o operador Laplaciano em coordenadas polares se resume a

LAPLACIANO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

Analogamente às coordenadas polares, a transformação das coordenadas cartesianas

para as cilíndricas é dada por

Portanto, como já se calculou uxx e uyy , basta calcular-se uzz . Como não houve qualquer

transformação na variável z, o Laplaciano de uma função u(x,y,z) em coordenadas cilíndricas fica

como

FUNÇÕES DE BESSEL

Equação diferencial de Bessel

As funções de Bessel surgem como soluções da equação diferencial

n≥0 (1)

chamada equação diferencial de Bessel. A solução geral de (1) é dada por

(2)

A solução Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, é chamada função de Bessel

de primeira espécie de ordem n. A solução Yn(x), que não tem limite finito (é não-limitada)

quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de segunda espécie de ordem n, ou função

de Neumann.

Se a variável independente x em (1) é substituída por λx, (λ constante), a equação

resultante é

(3)

com solução geral

(4)

A equação diferencial (1) ou (3) é obtida, por exemplo, a partir da equação de Laplace

expressa em coordenadas cilíndricas (ρ, Φ, z).

O Método de Frobenius

Um método importante para a obtenção de soluções de equações diferenciais tais como

a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma

(5)

Onde ck, = 0, para k<0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0, que se

supõe diferente de zero.

Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação β

(constante) (chamada equação indicial), bem como equações que podem servir para determinar

as constantes ck.

Funções de Bessel de primeira espécie

Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como

(6)

Ou

(7)

onde (n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo Г(n+1) = n!, Г(1) = 1. Para n=0, (6) se torna

(8)

A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. Se n é metade de um inteiro ímpar, Jn(x)

pode-se exprimir em termos de senos e cossenos Pode-se definir uma função J-n(x) n>0,

substituindo-se n por –n em (6) ou (7), Se n é inteiro, então pode-se mostrar que

(9)

Se n não é inteiro Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução

geral de (1) é

n ≠ 0,1,2,3,4,5,6,... (10)

Funções de Bessel de segunda espécie

Define-se a função de Bessel de segunda espécie de ordem n como

n ≠0,1,2,3,...

(11)

n =0,1,2,3,...

Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):

(12)

onde γ = 0,5772156... é a constante de Euler.

(13)

Função Geratriz de Jn(x)

A função

(12)

é a função geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. È d grande

utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n – propriedades

que, freqüentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.

Fórmulas de Recorrência

Os resultados abaixo valem para todo n:

Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz.

Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6, respectivamente.

As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, com Yn(x) substituindo

Jn(x).

Funções relacionadas com as funções de Bessel

As funções Hankel de primeira e segunda espécies definem-se, respectivamente, por

(15)

Funções de Bessel modificadas. Define-se a função de Bessel modificada de primeira

espécie de ordem n como

(16)

Se n é inteiro,

(17)

mas se n não é inteiro, In(x) e I-n(x) são linearmente independentes.

A função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem n é definida como

n ≠0,1,2,3,... (18)

n =0,1,2,3,...

Essas funções verificam a equação diferencial

(19)

e a solução geral desta equação é

(20)

ou, se n ≠ 0,1,2,3,4,...,

(21)

Funções Ber, Bei, Ker, Kei. As funções Bern(x) e Bein(x) são respectivamente as partes real

e imaginária de

, onde

(22)

As funções Kern(x) e Kein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de

, onde

(23)

Essas funções são úteis em relação à equação

(24)

que surge na engenharia elétrica e em outros campos da técnica. A solução geral desta equação

é

(25)

Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x), Ker(x),

Kei (x), respectivamente.

Equações transformáveis na equação de Bessel

A equação:

(26)

onde k, α, r, β são constantes, admite a solução geral

(27)

onde . Se α = 0, a equação é uma equação de Cauchy ou Euler e tem como

solução

(28)

Fórmulas assintóticas para funções de Bessel

Para grandes valores de x temos as seguintes fórmulas assintóticas:

(29)

Zeros das funções de Bessel

Pode-se mostrar que, n é real, Jn(x) = 0 tem um número infinito de raízes todas reais. A

diferença entre raízes sucessivas tende a na medida em que as raízes aumentam de valor. Este

fato pode ser constatado pela expressão (29). Pode-se ver também que as raízes de Jn(x) = 0 (os

zeros de Jn(s) estão entre as raízes de Jn-1(x) =0 e as de Jn+1 (x) = 0. Observações análogas valem

para Yn(x).

Ortogonalidade das funções de Bessel de primeira espécie

Se λ e μ são duas constantes diferentes, pode-se mostrar que

(30)

enquanto que

(31)

De (30) pode-se ver que, se λ e μ são duas raízes distintas quaisquer da equação

(32)

onde R e S são constantes, então

(33)

o que equivale afirmar que as funções e são ortogonais em (0,1). Notes-se

como casos especiais de (32), λ e μ podem ser duas raízes distintas de Jn(x) = 0 ou de J’n(x)=0.

Pode-se dizer também que as funções e são ortogonais em relação à função

densidade (função peso) x.

Séries de funções de Bessel de primeira espécie

Tal como no caso das séries de Fourier, pode-se mostrar qie se F(x) e f’(x) são

seccionalmente contínuas, então em todo ponto de continuidade de f(x) no intervalo 0<x<1

existirá um desenvolvimento em série de Bessel da forma

(34)

onde , , , , , ... são as raízes positivas de (32) com R/S ≥ 0, S ≠ 0 e

(35)

Em qualquer ponto de descontinuidade, a série à direita de (34) converge para

, expressão que pode ser utilizada em lugar do membro esquerdo de (34).

Se S = 0, de modo que , , , , , ... são as raízes de Jn(x) = 0,

(36)

Se R = 0 e n = 0, então a série (34) começa com o termo constante

(37)

Neste caso, as raízes positivas são as de J’n(x) = 0.

Ortogonalidade e séries de funções de Bessel de segunda espécie

Os resultados acima, relativos às funções de Bessel de primeira espécie, podem ser

estendidos às funções de Bessel de segunda espécie.

PROBLEMA PROPOSTO

Seja um cilindro oco muito longo, de raio interno e raio externo ,é feito com material

condutor com difusividade . Se as superfícies interior e exterior são mantidas à temperatura

de 0 ºC e 100 ºC, enquanto a temperatura inicial é (sendo o raio). Determine a

temperatura em um ponto qualquer,em um instante arbitrário .

A figura ilustra esquematicamente o problema. Deseja-se saber como pode descrever a

temperatura no cilindro em coordenadas cilíndricas, ou seja, busca-se uma função

Levando-se em conta a simetria do problema e que este é regido pela equação do calor, o

que se almeja de fato é descobrir como a temperatura se distribui ao longo do tempo entre os

raios interno (a) e externo do cilindro (b), portanto .

SOLUÇÃO

Denotemos por a função que determina a temperatura inicial de um ponto

qualquer no instante inicial dentro de . Pela simetria do problema, observa-se

que a temperatura jamais varia com as variáveis ou .

Utilizando a equação do Calor

Em coordenadas cilíndricas e fazendo as considerações necessárias

Onde as condições de contorno são

Ou seja, a temperatura para um ponto qualquer no cilindro oco em um instante

arbitrário pode ser escrita como uma combinação de

Onde é a solução homogênea, em que as temperaturas externa e interna do

cilindro são 0 C, e é a solução particular em que a temperatura do raio externo é 100

C e independe do tempo t.

Assim sendo, realizar-se-á primeiro a solução para homogênea associada.

Pela separação de variáveis

Façamos , em (1)

Então

Que resultam em

Como

Aplicando-se as condições de contorno para em que ,

obtem-se

Estas equações nos levam à

De (5)

Deste modo,a eq.(4) pode ser escrita como:

e

Do fato, de que e utilizando a eq. (7):

Logo, a solução é

Quanto à solução particular , tem-se a equação

Temperatura estacionaria. Portanto esta equação pode ser considerada ordinária pois as

derivadas são apenas com respeito a . Com isso

Como , tem-se como solução

Aplicando-se as condições de contorno para em que e

Ou que

E a segunda condição

Portanto

Com as constantes determinadas, pode-se escrever

Para escrever a solução final basta lembrar que

Ou seja, a solução final do problema proposto é

É a função que descreve a temperatura para qualquer ponto dentro de um cilindro oco

com raios a interno e b externo as temperaturas 0º C e 100 º C, respectivamente, para qualquer

instante de tempo . O caráter exponencial do tempo na solução homogênea garante que a

distribuição tende a estacionaria conforme o tempo flui. Ou seja

Esta característica da solução vem como conseqüência da equação do calor, mostrando

dessa forma a irreversibilidade desse processo.

Distribuição estacionaria de temperatura em cilindro oco como o descrito no problema. A

figura ajuda a mostrar como a temperatura varia de forma logarítmica. OBS: o gráfico foi

traçado com raios interno e externo e o eixo significa .

CONCLUSÃO

Conforme analisado nesta obra, a equação do calor é de suma importância para a Física

e a Engenharia. Visto que é ferramenta para solucionar inúmeros problemas.Neste artigo foi

exposta a teoria que embasa,a referida equação,como também um exemplo prático.

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer ao professor Altair Souza de Assis pela assistência dada na

realização deste artigo bem como as discussões proveitosas para o entendimento dos conceitos

e de suas aplicações às ciências naturais aqui abordados.

REFERÊNCIAS

1 - Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil

Ltda,1976

2 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a Análise Linear, Volume 3,

Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.

3 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley &

Sons Inc., 1982.

4- E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978.

5 – A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010