modelos matemáticos

1/78Abril 26 2006Curso de validación de procesos de inactivación microbiana

Modelos matemáticosModelos matemáticos

Anto

nio

Mart

ínez,

Janeth

Luna y

Bern

ard

o C

lavijo

Unid

ad A

soci

ada d

e C

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Anto

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Mart

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no


As

nece

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tors

resp

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cern

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rod

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,

An

nex II


Generalidades sobre los modelos matemáticos predictivos

Generalidades sobre los modelos matemáticos predictivos


Every model is wrong. The question is, how much wrong still useful it can be. (Box and Draper)


MICROBIOLOGÍA PREDICTIVA

Campo de estudio que combina elementos de microbiología,

matemáticas y estadística para desarrollar modelos que

describan y predigan matemáticamente el crecimiento o

muerte de los microorganismos, cuando se les somete a

condiciones medioambientales específicas (Whiting, 1995).


Los modelos son descripciones simplificadasde la realidad

La realidad descrita por el modelo es una parte de la realidad total llamada espacio

modelo


Los modelos deben reflejar lo que está pasando y deben ser capaces de predecir con precisión los estados presente y futuro de las cosas que

describen

Hay que ser conscientes de que un modelo no puede dar una representación total de la realidad.

Un modelo particular puede describir algún aspecto de forma muy adecuada mientras que

falla en la descripción de otro


Suposiciones en modelizaciónEspacio Modelo: No se puede modelizar todo, hayque escoger la parte de la realidad que se quieremodelizar. A esto se le llama espacio modelo yno tiene conexión con el resto de la realidad

espacio modelorealidad


Se define como todos los factores que juegan un papel en la determinación del fenómeno bajo estudio, los conocidos y no conocidos

Espacio modelo:


Fenómeno: Los modelos se usan para describir relaciones entre variables dependiente e indepen-dientes.

V. dependiente

V. Independientes

Relación Fenómeno


Para poder modelizar un fenómeno en un espacio modelo determinado es necesario entender la relación entre las variables depen-diente e independientes. Este ejercicio ayudará a elegir el modelo apropiado


Microbiología predictiva

El objetivo de la microbiología predictiva esconseguir un Espacio Modelo para describir unFenómeno de forma matemática o probabilística

Espacio modelo

Fenómeno

Medioambiene TemperaturapHaw

Respuesta microbianaCrecimientoInactivación


La microbiología predictiva no revela, generalmente, comportamientos inesperadosde los microorganismos.

La Microbiología predictiva cuantifica los efectos de la interacción entre dos o más factores y permite la interpolación decombinaciones de factores no comprobadosde forma explícita


Clasificación de los modelos

Modelos de nivel primario:

Modelos de nivel secundario:

Superficie de respuesta

Modelo de Bigelow

Modelos de nivel terciario:Tejedor y Martínez


Los modelos de nivel primario describencambios en el número de microorganismos u otras respuestas microbianas con el tiempo.

0

2

4

6

8

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

time (h)

conc

. (lo

g10

cfu/

ml)

0

2

4

6

8

10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

time (h)

conc

. (lo

g10

cfu/

ml)

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30

time (h)

conc

. (lo

g10

cfu/

ml)

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30

time (h)

conc

. (lo

g10

cfu/

ml)

inactivación crecimiento


Los modelos secundarios describen lasrespuestas de los parámetros de los modelosprimarios a los cambios en las condiciones medioambientales

5.6

6

6.4

6.8

1

2

3

4

5

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4

-1

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4

-1

Ln(

spec

.g.r

ate)

NaCl (%) pH

superficie de respuesta


Los modelos terciarios son programas deordenador que transforman a los modelosprimarios y secundarios en herramientas de facil uso para los usuarios del modelo

Inactivación crecimiento


Consideraciones en el desarrollo de un modelo

Precisión en el ajuste. Capacidad de predecir combinaciones de factores no probadas. Incorporación de todos los factores relevantes. Que tenga el mínimo número de parámetros. Especificación del término de error. Los parámetros deben tener un significadobiológico y valores realistas. Reparametrización si se mejoran las propiedades estadísticas.


Termoresistencia y Modelos primarios de inactivación/supervivencia

01234567

116 118 120 122 124 126 128Temperatura (ºC)

Log

N

experimentalpredicho

Bacillus stearothermophilus


Obtención de datos experimentales

A) Tratamiento térmico isotérmico

B) Tratamiento térmico no isotérmico

B.1) La temperatura de la muestra varía conel tiempo

B.2)La temperatura de la muestra varía con eltiempo y después permanece constante hasta la fase de enfriamiento


Modelos de inactivación: Velocidad alta de muerte de los microorganismos por la acción deun agente activo

Modelos de supervivencia: Disminución de la carga microbiana de forma mas lenta y noimplica esterilidad comercial

Los modelos matemáticos son los mismos en ambos casos


Capilares

Data logger

Baño calentamiento Baño enfriamiento


Capilares


Detalle termorresistómetro


Modelos primarios

La modelización matemática comenzó en 1920con los cálculos de tiempo de destrucción térmica.Los valores D y Z se usaron con éxito para asegurar que los alimentos enlatados estabanlibres de riesgo de alteración por Cl. botulinumEstos modelos establecen la relación existenteentre el tiempo y la inactivación de un microorga-nismo a una temperatura dada.

A) Modelos logarítmicos


Los datos experimentales para la obtención delos parámetros, D y Z, que definen la inactivaciónde los microorganismos se pueden analizar de diferentes maneras:

Dos regresiones lineales consecutivas

Una regresión no lineal en un solo paso


DDTT

Tiempo de exposiciónTiempo de exposición

Lo

g.

sup

ervi

vien

tes

Lo

g.

sup

ervi

vien

tes

11

22

33

Curva de supervivenciaCurva de supervivencia Curva de supervivenciaCurva de supervivencia

Dos regresiones lineales


dN

dtkN

LnN=LnNo-ktLnN=LnNo-kt


D tk

T 2 303,

lgN=lgNo-(k/2,303)tlgN=lgNo-(k/2,303)t


zz

TemperaturaTemperatura

Lo

g D

Lo

g D

TT

DDT1T1

DDT2T2

TT11 TT22

Curva de muerte térmicaCurva de muerte térmica Curva de muerte térmicaCurva de muerte térmica


log( ) log( )D D

T T Z

2 1

1 2

1


log logN No

D

t

R

T T

zR

1

10

Tratamiento isotérmicoTratamiento isotérmico Tratamiento isotérmicoTratamiento isotérmico

Una regresión no lineal


SSQNo

N

No

Ni

m

f m

1

2

log log


Tabla 1. Parámetros cinéticos predichos para dos cepas de Bacillus cereus

Temperature D value (min)

(ºC) AV TZ415 AV Z421

Linear Non-linear Linear Non-linear

859095100105

165a

3.90.70.940.170.220.06

ND

17.10.5a

4.040.080.950.02

0.2250.007ND

ND

4020a

1132.50.4

0.600.19

ND

393a

9.80.52.480.060.630.03

z (ºC) 8.10.3 7.970.10 8.00.6 8.40.2

ND not determined.a D value confidence interval (95%).


Log (No/N) predicted

Log

(N

o/N

) ob

serv

ed

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Log (No/N) predicted

Log

(N

o/N

) ob

serv

ed

0 0.5 1 1.5 2 2.50

1

2

3

4

Curvas de equivalencia


0

5

10

15

20

25

-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3

(Log Nexp - Log Ncal)F

req

uen

cy

0

0

5

10

15

20

25

30

35

-0.7 -0.46 -0.22 0.02 0.26 0.5

(Log Nexp - Log Ncal)

Fre

qu

ency

Residuos normalescon media cero


D (min)

z (º

C)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

7.5

7.9

8.3

8.7

9.1

95ºCAV Z421

90ºCAV TZ415

Regiones de confianza conjunta


D (min)

Z (ºC)

1 2 3 4 56

8

10

12

14118 ºC

Z (ºC)

2 4 6 8 10 126

8

10

12

14 115 ºC

Efecto del pH sobre el valor D del

B. stearothermophilus en ensaladilla

D (min)


D (min)

Z (ºC)

1 1,2 1,4 1,6 1,8 26

8

10

12

14121 ºC

D (min)

Z (ºC)

0 1 26

8

10

12

14125 ºC

Efecto del pH sobre el valor D del

B. stearothermophilus en ensaladilla


Tiempo de exposiciónTiempo de exposición

Lo

g.

sup

ervi

vien

tes

Lo

g.

sup

ervi

vien

tes

11

22

33

Diferentes tipos de curvas de supervivencia

Hombro

Cola

Lineal

Concavidad hacia abajo

Concavidad hacia arriba


Los hombros se han atribuido:

a la necesidad de mas de un evento dañino

a la necesidad de una activación de las esporas


Teoría vitalistaTeoría vitalista

Presencia de colas

Distribución de termorresistencia

Teoría mecanicistaTeoría mecanicista

La termorresistenciadepende del ciclo celular en que serecoja


Presencia de artefactos experimentalesMezcla de poblaciones

La curva de supervivenciaes una forma acumulativade distribución de eventos letales con el tiempo

Cada organismo individual o espora de una poblaciónmuere a un tiempo específico

Otras explicacionesOtras explicaciones

Nueva aproximaciónNueva aproximación


0 8 16 24 32 40

Time (min)

85°C

90°C

95°C

100°C

S(t

) (N

/No

) AVTZ415 strain

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

Curvas con hombros


n

a

t-

e S(t)

Función de supervivenciaFunción de supervivencia Función de supervivenciaFunción de supervivencia

a= Scalan= Forma


El parámetro de forma “n” se puede considerar como un índice de comportamiento

Si n >1 describe una curva con hombroSi n < 1 describe una curva con colaSi n = 1 la curva de supervivencia sera lineal en coordenadas semilogarítmicas y se comportará como una reacción de primer orden

El parámetro de escala “a”se puede considerar como una constante de velocidad de reacción. Similar al Valor D


0.00 3.20 6.40 9.60 12.80 16.00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.0095°C

97.5°C

100°C

102.5°C

105°C

S(t

) (N

/No

)

AVZ421 strain

Curvas de supervivenciaCurvas de supervivencia Curvas de supervivenciaCurvas de supervivencia


nate1-nn- tnaf(t)

Función de densidadFunción de densidad Función de densidadFunción de densidad

frecuencia de muertes por unidad de tiempo


0.00 1.80 3.60 5.40 7.20 9.00

Tiempo (min)

0.00

0.09

0.18

0.27

0.36

0.45

AVZ421 strain

Fre

cuen

cia

(1/m

in)

Curva de distribuciónCurva de distribución Curva de distribuciónCurva de distribución


-1n1a tc Función Gama

Medida de la resistencia térmicaMedida de la resistencia térmica Medida de la resistencia térmicaMedida de la resistencia térmica


t N

(min) Nobs NW NB

0481216

1990000013266000836000034500001417000

1990000013710010762965037598611688864

2413098912433299640615833007221700671

Af - 1.10 1.20

Comparación entre el número supervivientes Comparación entre el número supervivientes

experimentales y predichosexperimentales y predichos

Comparación entre el número supervivientes Comparación entre el número supervivientes

experimentales y predichosexperimentales y predichos


T Weibull distribution Bigelow model

(ºC) scale (a) shape (n) tc (min) D (min)95.097.5100.0102.5105.0

8.34.52.101.350.65

1.361.721.582.031.69

8.04.01.851.200.58

14 5a

5.9 1.52.5 0.51.5 0.5

0.76 0.18

z (ºC) (8.9) 8.1

Parámetros para la distribución Parámetros para la distribución

de Weibull y valor Dde Weibull y valor D

Parámetros para la distribución Parámetros para la distribución

de Weibull y valor Dde Weibull y valor D


0.00 2.40 4.80 7.20 9.60 12.00

Tiempo ( min)

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

Fra

cció

n su

perv

ivie

ntes

Curva de supervivencia para Curva de supervivencia para BacillusBacilluspumilluspumillus en condiciones isotérmicas en condiciones isotérmicas

Curva de supervivencia para Curva de supervivencia para BacillusBacilluspumilluspumillus en condiciones isotérmicas en condiciones isotérmicas


)(

t

tLnS

Función de supervivenciaFunción de supervivencia Función de supervivenciaFunción de supervivencia

n

a


0.00 2.20 4.40 6.60 8.80 11.00

Tiempo( min )

-15

-12

-9

-6

-3

0

90 º C

a =5.47, n =0.32

Ln

frac

tion

of

surv

ivor

sCurva de supervivencia para Curva de supervivencia para BacillusBacillus

pumilluspumillus mediante Weibull en mediante Weibull en condiciones isotérmicascondiciones isotérmicas

Curva de supervivencia para Curva de supervivencia para BacillusBacilluspumilluspumillus mediante Weibull en mediante Weibull en

condiciones isotérmicascondiciones isotérmicas


Ventajas de los métodos no isotérmicosVentajas de los métodos no isotérmicos Ventajas de los métodos no isotérmicosVentajas de los métodos no isotérmicos

Se obtiene una gran información de cada experimento

Se ahorra tiempo

Se ahorra material y costo en mano de hobra

Son mas cercanos a lo que en realidad pasa en un proceso industrial

Métodos no isotérmicosMétodos no isotérmicos Métodos no isotérmicosMétodos no isotérmicos


Tratamiento no isotérmicoTratamiento no isotérmico Tratamiento no isotérmicoTratamiento no isotérmico

n

i z

TT

R

t

D

LogNNo

LogLogR

110

1

Ecuación 1


az

TT

zTT

Dz

NNo

Log R

R

11010

10ln

0

0

a=Velocidad de calentamiento

Ecuación 2


Cálculo de las regiones de confianza conjuntaCálculo de las regiones de confianza conjunta Cálculo de las regiones de confianza conjuntaCálculo de las regiones de confianza conjunta

SQ SSQp

m pF p m p

1 ( , )


Temperature

(°C)

Isothermic heating D values (min) Non-isothermic heating D values (min)

118 9.03 10.49

121 3.08 4.38

125 0.93 1.37

z (°C) 7 7.90

No isotérmico con tramo isotérmico


0

1

2

3

4

5

6

7

116 118 120 122 124 126 128

Temperatura (ºC)

Log

N experimentalpredicho

Bacillus stearothermophilus


0

10

20

30

40

50

60

70

80

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

(Log Nexp - Log N cal)

Fre

cuen

cia

Distribución de residuos


1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

D (min)

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0z

(°C

)

125 ºC 124 ºC 123 ºC 122 ºC

Regiones de confianza conjunta


Temperature D (min)

(ºC) non-isothermal Isothermala

85

90

95

100

16.0

3.93

0.96

0.236

17.1 a

4.04 a

0.95 a

0.225 a

z ( C) 8.19 7.97 a

A fb 1.11

Bacillus cereus


Activation rate a Inactivation rate bEquation 1 Equation 2

(ºC/min) (ºC/min) T (ºC) D (min) z (ºC) Afc T (ºC) D (min) z (ºC) Af

c

0.5 0.5

1.0

90

95

90

95

3.50

0.42

5.20

0.46

5.4

4.8

1.17

1.13

90

95

90

95

3.50

0.44

5.00

0.46

5.6

4.8

1.17

1.13

1.0 0.5

1.0

90

95

90

95

3.10

0.58

3.90

0.64

6.9

6.3

1.11

1.18

90

95

90

95

3.10

0.62

3.90

0.66

7.1

6.5

1.12

1.18

Bacillus cereus


5.6

6

6.4

6.8

1

2

3

4

5

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4

-1

-2.6

-2.2

-1.8

-1.4

-1

Modelos secundarios de inactivación


Modelos secundarios

Tanto los parámetros que definen las curvas de Inactivación D ó z, como los que definen las curvasDe crecimiento , se ven afectados por factoresMediombientales pH, ClNa, aw, entre otros.


Los modelos probabilísticos o matemáticos que relacionan las variables dependientes, parámetros cinéticos, con los factores medioambientales son los denominados modelos secundarios


Modelos secundarios de inactivción

Modelo basado en la ecuación de Arrhenius (Davey, 1993)

Lnk = c0+(c1/T)+c2pH+c3(pH)2+


Modelo basado en la ecuación de Bigelow (Mafart y Leguérinel, 1998)

LogD = LogD*-(1/zT)(T-T*)-(1/zpH)2(pH-pH*)2+


Modelo cuadrático polinomial (Fernández y col., 1996)

LogD = c1+c2T+c3pH+c4(TpH)+c5T2+c6(pH)2 +


Modelo básico (Fernández y col., 1996)

LogD = c1+c2T+c3pH+


refref

pHTref TTR

EapHpH

tLn

11exp

),(

Curvas con colas o con hombros

Modelo basado en la distribución de

Frecuencia de Weibull (Fernández y col., 2001)


VALIDACIÓN Y EVALUACIÓN DE LOS MODELOS

Con nuevos datos obtenidos de forma independiente

En condiciones reales de elaboración del alimento

A través de ciertos índices (Estadísticamente)


ANÁLISIS DE LOS MODELOS

Indices estadísticos

Coeficiente de determinación

Estudio de los residuos

Datos influyentes

Multicolinealidad

Índices para evaluar modelos en microbiología de alimentos


Coeficiente de determinación

Este coeficiente indica la proporción de variabilidadde las observaciones de la variable dependiente (lnK)explicada por el conjunto de las variables independientesconsideradas en cada caso.


Estudio de los residuos

Los residuos se definen como la diferencia entre el valorobservado de la variable dependiente y el valor ajustadoen el modelo.


Pruebas habituales para los residuos

Descriptivas básicas

Test de normalidad (Kolmogorov-Smirnov)

Linealidad, homocedasticidad y valores atípicos

Autocorrelación entre residuos consecutivos (Durbin-Watson)

modelos matemáticos

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