Assuntos destes slides:

• Modelos matemáticos.

• Modelagem matemática do espaço PVT Equações de Estado (EDE).

• Equações de estado analíticas derivadas do Teorema dos estados Correspondentes (TEC):

– EDE LK e EDE LKP

Modelo matemático (1)

• Elaboração do modelo matemático: tradução do problema em termos abstratos;

• Resolução do problema usando o modelo desenvolvido: solução do problema no mundo abstrato, para as condições desejadas, definidas pelas variáveis abstratas;

• Interpretação dos resultados obtidos com o modelo matemático: a solução, quando alcançada, é traduzida em linguagem física e real.

• Ver livro texto Capítulo 1 – item 1.1

Modelo matemático (2)

• Normalmente o resultado da representação do fenômeno físico por uma modelagem é uma equação.

Equação!!

“Sendo uma forma econômica de retratar a realidade, a equação é uma mensagem cifrada, compreensível por quem domina os conceitos nela representados, não importando o idioma de quem a criou nem de quem a lê” (Venturoli T., Beleza matemática, Veja, 37 (47), ed 1881:140-1, 24/11/2004).

Esquema de resolução

Qual o fenômeno a ser modelado?

• Obtenção de um modelo matemático para representar o espaço PVT.

• Mas o que é o espaço PVT?

Projeções do espaço PVT

Projeções do espaço PVT (outra visão)

Modelo matemático do espaço PVT

• Um modelo matemático do espaço PVT chama-se Equação de Estado (EDE ou EOS, em inglês, de “Equation of State”). Podem ser:– Gráficas (exs.: Gráficos Generalizados para Z e r, SKatz para

gás natural), geralmente derivadas do Teorema dos Estados Correspondentes (TEC).

– Analíticas (Cúbicas, BWR, Virial, etc.).

– As EDE analíticas são mais conhecidas como “Equações de Estado” do que as EDE gráficas.

• Algumas das mais práticas são as derivadas do TEC.

• A equação de Gás Ideal (GI) é a EDE mais simples (uso limitado).

EDE GI. Quando usar?

Çengel, Y. A.; Boles, M. A. Thermodynamics,An Engineering Approach,5th Ed., New York, McGraw YHill, 2006.

Qualidades desejadas para uma EDE

• Forma simples;

• Uma única EDE válida para uma ampla faixa de densidades (ou seja: deveria servir para representar TODO o espaço PVT, abrangendo gases, líquidos e sólidos);

• Poder representar dados PVT para qualquer tipo de substância (apolares, polares, etc.);

• Poder ser adaptada para misturas;

• Poder ser usada para o cálculo de outras propriedades termodinâmicas (H, S, U, Cp, etc.);

• Satisfazer determinadas condições (esta é a qualidade mais importante).

Dificuldades para a modelagem do espaço PVT

• Como o espaço PVT é complexo não existe (ainda) uma EDE que satisfaça todas (ou a maioria) das qualidades.

• Mas a condição de definição e existência do ponto crítico tem que ser verificada, obrigatoriamente.

Condição de definição e existência do ponto crítico

Onde achar este assunto no livro?

• Ver as Tabelas 3.1 a 3.5:– Tabela 3.1. Condições que as equações de estado

devem satisfazer.– Tabela 3.2. Qualidades que as equações de estado

devem apresentar.– Tabela 3.3. Classificação segundo o tipo de

modificação imposta à equação do gás ideal (GI).– Tabela 3.4. Classificação segundo o tipo de

representação e o número de parâmetros.– Tabela 3.5. Classificação segundo o tipo de

abordagem de obtenção (ver Capítulo 2 – item 2.5.3).

• ATENÇÃO: isto é assunto de prova – Estudem e, se tiverem dúvidas tirá-las com o professor.

EDE derivadas do TEC

• As EDE em forma gráfica foram vistas.

• Dentre as analíticas, existem:

– A EDE de Lee e Kesler ou EDE LK

– A EDE de Lee e Kesler e Plöcker (ou EDE LKP)

• Essas duas são muito usadas com hidrocarbonetos e suas misturas.

EDE LK (1)

• A EDE LK tem a seguinte forma:

0r

r

0 ZZZZ

onde:

2r

2r

2r

3r

45r

2rrr

rrk

v~exp

v~v~T

c

v~D

v~C

v~B

1T

v~PZ

sendo que k = 0 ou r

EDE LK (2)

3r

42r

3

r

21

T

b

T

b

T

bbB 2

r

3

r

21

T

c

T

ccC

r

21

T

ddD

Parâmetro Substância “simples” Substância-referência b1 0,1181193 0,2026579 b2 0,265728 0,331511 b3 0,154790 0,027655 b4 0,030323 0,203488 c1 0,0236744 0,0313385 c2 0,0186984 0,0503618 c3 0,0 0,016901 c4 0,042724 0,041577 d1 x 104 0,155488 0,48736 d2 x 104 0,623689 0,0740336

0,65392 1,226

0,060167 0,03754

EDE LK (3)

cr T/TT cr v~/v~v~

c

ccc

P

RTZv~ 085,02905,0Zc

6brbr

br

6brbr

br

Sbr

i

T43577,0Tln4721,13T

6875,152518,15

T169347,0Tln28862,1T

09648,692714,5Pln

EDE LK (4)

SbrP

é a temperatura de ebulição normal reduzidabrTpressão de vapor na temperaturanormal de ebulição

cSb

Sbr PPP

cbbr TTT

EDE LK – Regras de Mistura

3i j

ccjic3

1

j

31

jMv~v~xx

8

1v~

i

iiM x

M

M

M

c

cM

cv~

TR)0,085(0,2905P

ijcc

3

i jccji

c

c kTTv~v~xxv~8

1T

ji

31

j

31

ij

M

M

kij é um parâmetro empírico (de interação binário),obtido por ajuste de dados experimentais

EDE LKP – Regras de Mistura

EDE LK serve para misturas de moléculas semelhantes.A Modificação de Plöcker estende uso para misturas

assimétricas: as misturas de moléculas diferentes.

ijccci j

ji

c

c kTT)v~(xx)v~(

1T

jiij

M

M

para misturas simétricas ( ) = 0~ ~v vc ci j

para misturas asimétricas = 0,25