modelos matemáticos para epidemias
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Modelos Matemáticos para Epidemias
Roberto André Kraenkel, IFT-UNESP
http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel
São Paulo, 11 de Abril de 2013IFUSP
Outline
1 Um pouco de históriaA peste de AtenasPesteA pandemia de influenza de 1918 - gripe espanhola
2 ModelosO modelo SIR
3 Modelos para doenças transmitidas por vetoresMaláriaModelo de Ross-MacDonald
4 Contribuições RecentesCondicionantes Ecológicos da Malária
5 Comentários Finais
Epidemias históricas
Nem os médicos eram capazes de enfren-tar a doença, já que de início tinham detratá-la sem lhe conhecer a natureza e quea mortalidade entre eles era maior por es-tarem mais expostos a ela, nem qualqueroutro recurso humano era da menor valia.
As preces feitas nos santuários, ou os ape-los aos oráculos e atitudes semelhantes,foram todas inúteis e afinal a populaçãodesistiu delas, vencida pelo flagelo.
A Peste de Atenas
A Peste de Atenas foi uma epidemiaque atingiu Atenas ∼ 430 AC,durante a guerra do Peloponeso.
Foi descrita pro Tucídides: calores nacabeça, tosse forte, bile, espasmosviolentos, ...
1/3 da população morreu, inclusivePéricles.
Não se sabe ao certo que doençaprovocou esta epidemia. Pesquisasrecente apontam para tifoepidêmico, cujo agente infeccioso éuma bactéria ( Rickettsia prowazekii)transmitida por piolhos.
Sabe-se que sua origem foi africana.
Epidemias históricas
Cito, longe, tarde.
Peste
A peste é uma doença infecciosa causadapela bactéia Yersinia pestis. Há várias formasde peste:
peumônica, afeta os pulmões e é transmissívelde humano para humano diretamente.bubônica, ataca os gânglios linfáticos e étransmitida pela pulga Xenopsylla cheopis (apulga do rato). A pulga adquire a bactéria aopicar um rato.septicêmica, passa à corrente sanguínea einfecta diversos orgãos.
Se não tratada, a peste induz altamortalidade. Antibióticos são eficientes.
Se aplicados em algumas horas!
Histórias da Peste.
Tamanho medo e pensamentos fantasiosos tomavam conta das pessoas que todos recorriam à mesmaatitude, que era de evitar totalmente os doentes e as suas posses. Assim fazendo, pensavam quepoderiam salvar a sua vida (Bocaccio, Decameron).
A Peste.Três pandemias ;
Peste de Justiniano, (541 DC,), Espalhou-sea partir de Constantinopla e provocou amorte de 25 % da população doMediterrâneo. No entanto, pouco sepropagou para dentro do continente.A Peste Negra, (1347), entrando na Europapela Sicília, matou 1/3 da populaçãoeuropéia.A terceira pandemia, começando na Chinaem 1855 matou 12 milhões de pessoas naChina e na ÍndiaPaul Louis Simond; "Naquele dia de 2 dejunho de 1898, experimentei uma emoçãoinexprimível ao pensar que havia acabado dedesvendar um segredo que angustiava ahumanidade desde a aparição da peste nomundo".
A peste ainda existe em níveis muito baixos hoje,sobretudo nas regiões áridas dos EUA. Usualmentenão leva à morte, devido ao uso de antiobióticos.
Epidemics: history
Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (PedroDantas)
A pandemia de influenza de 1918A pandemia de influenza de 1918 foi devida a umaforma particularmente severa do virus influenza A.
Durou de 1918 a 1919.
Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.
Aproximadamente 50 milhões de pessoas morreramdevido à doença. 500 milhões (quase 1/3 dapopulação mundial) de pessoas foram atingidas.
É transmitida diretamente de pessoa à pessoa.
Em São Paulo, a primeira morte aconteceu em 21 deoutubro de 1918. No fim de novembro, a epidemiahavia passado..
Modelos Matemáticos
As bases da epidemiologia matemática
Comecemos com algumas simplificações.A população é "bem-misturada",E espacialmente homogênea,
O que define implicitamente as escalas de tempo e espaço davalidade dos modelos.,Vamos classificar indivíduos em três classes:
S susceptíveis;I infectantes ( ou infecciosos, ou ainda, infectados);R recuperados (pode incluir imunes e mortos)
Modelos Matemáticos
Modelo mais simples
Não estamos interessados na dinâmica da população em si.Queremos saber a dinâmica da passagem entre as classes S,I,R.Queremos sobretudo caracterizar uma possível epidemia:condições para que ocorra, sua prevalência, se chegará a umfim ou não.Vamos supor que o tamanho da população é constante, N.É va’lida essa aproximação para doenças cujo tempocaracterístico de infecção é pequeno. Isso vale para muitasdoençaa: gripe, rubéola, sarampo, ....
Kermack & McKendrick (1927)
A taxa per capita de variação no número de susceptíveis épropocional ao número de infectados:
dS
dt= −rSI
onde r é a taxa de infecção e pode depender de N.
Kermack & McKendrick (1927)
A taxa per capita de variação do número de infectados épropocional ao número de susceptíveis menos um fatorrepresentando a passagem para a classe dos removidos
dS
dt= −rSI
dI
dt= rSI − aI
Kermack & McKendrick (1927)
A taxa de variação dos recuperados é proporcional ao número deinfectados .
dS
dt= rSI
dI
dt= rSI − aI
dR
dt= aI
Kermack & McKendrick (1927)
Três equações, três variáveis. Ótimo!:
dS
dt= −rSI
dI
dt= rSI − aI
dR
dt= aI
Vamos agora tirar algumas conclusões a partir destas equações
Modelo SIR
dSdt
= −rSI dIdt
= rSI − aI dRdt
= aI
Vamos ser mais precisos sobre qual pergunta queremosresponder:
Digamos que em t = 0, temos: S(0) = S0, I (0) = I0 and� R(0) = 0 �.Ou seja, temos um certo número de infectados (I0) e desusceptíveis (S0).Dados r , a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Caracterizamos uma epidemia por I (t) > I0 durantealgum tempo.
Modelo: resultados
dSdt
= −rSI dIdt
= rSI − aI dRdt
= aI
Se S0 > a/r teremos uma epidemia, e se S0 < a/r , nãoteremos.Ou:
R0 ≡S0r
a> 1
é a condição para que haja uma epidemiaR0 é chamado de razão reprodutiva básica.Mesmo em modelos mais complexos define-se essa quantidade.
Modelo SIR
Gráficos
Vamos olhar para dinâmica no espaço de fase.
Como temos três variáveis, mas S + I + R = N, o espaço de fase éna prática bi-dimensional.
Note que todas as trajetóriasterminam em I = 0 quandot → ∞. A epidemia cessapor si mesma.Veja que S(t → ∞) 6= 0.
Nem todo mundo adquiriu adoença.
Modelos para doenças transmitidas por vetores
Malária
Muitas doenças não são transmitidas diretamente de pessoa a pessoa. Háum agente transmissor, que é chamdo de vetor da doença.
Mosquitos, carrapatos, pulgas...
Para muitas situações é preciso levar em conta a dinâmica do vetor.
São inúmeras doenças deste tipo: malária, dengue, febre amarela, doençade Lyme, leishmaniose, doença do sono.
A doença mais bem estudada neste caso é a malária.
Fatos sobre a malária
A malária é causada por um protozoário chamado Plasmodium.
Plasmodium é transmitido por mosquitos do genus Anopheles.
Modelo de Ross-MacDonald
Humanos e mosquitos!
Agora consideramos uma população contante de humanos, uma populaçãoconstante de mosquitos, ambos divididos em duas classes, S e I, sem imunidade.
Modelo de Ross-MacDonald
Medidas de Saúde Pública
O modelo de Ross-MacDonald também tem um limiarepidêmico caracterizado por uma razão reprodutiva básica R0.É uma expressão grande que omitimos aqui.Do modelo se conclui que:
Diminuir pela metade o número de mosquitos, diminue R0 pelametade;Diminuir pela metade a taxa de picadas, diminue R0 por umfator 4.!Para dimunir o número de mosquitos usam-se larvicidas.Para diminuiro o número de picadas, usam-se redes deproteção sobre as camas.
Malaria: condicionantes ecológicos
Malária na Mata Atlântica
Os casos de malária na Mata Atlântica são raros.Porém, uma espécie de Anopheles é bastante abundante, A.cruzii. E ele é um vetor da malária.Por que não há malaria na Mata Atlântica?
A Ilha do Cardoso
Estudamos um caso concreto: a Ilha do Cardoso.Não há caso de malária há 30 anos.Usamos dados de coletas de campo sobre abundância demosquitos.O modelo de Ross-MacDonald prevê um R0 > 1.Por que não há malaria na Ilha do Cardoso?
Malaria: condicionantes ecológicos
A dinâmica populacional dos mosquitos
Construímos um novo modelo que leva em contaa competição de Anopheles com outros mosquitos,a existência de outros animais de sangue quente na mata.
Os efeitos disso são:a competição diminui a taxa de picadas infectantes,a presença de outros animais, por um lado, aumenta a taxa dereprodução do mosquito, por outro lado, elimina Plasmodiumdo sistema (o ciclo do patógeno só se completa em humanos).
O modelo usa parâmetros reais, medidos ou inferidos decoletas.
Modelo epidemiológico para malária
Laporta, G.Z. et alli, PLoS Neglected Tropical Diseases 7(3) e2139 (2013).
Malaria: condicionantes ecológicos
A dinâmica populacional dos mosquitos: efeito de competição
Figura : A abundância de mosquitos não-vetores abaixa R0, diminuindo apossibilidade de uma epidemia.
Malaria: condicionantes ecológicos
A dinâmica populacional dos mosquitos: efeito dos não-hospedeiros
Figura : A abundância de outros animais de sangue tem pouco efeito nocaso da Ilha do Cardoso.
Comentários finais
Modelos matemáticos simples podem levar ao entendimentode diversas características de epidemias:
Existe um limiar para que uma epidemia possa acontecer;Epidemias se esgotam por si mesmasNem todas a pessoas são afetadasQuais parâmetros são mais importantes para que haja umaepidemia
Para modelos em casos reais é necessário um maiorrefinamento dos modelos básicos.
Condicionantes ecológicos e/ou ambientaisSazonalidadeEstrutura de contactos entre pessoasPeríodos de incubação....
