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CARLOS HENRIQUE RODRIGUES BATISTA DA SILVA

ANÁLISE DE MODELOS MATEMÁTICOS

DE PILAR-PAREDE PELO MEF

NATAL-RN

2019

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Carlos Henrique Rodrigues Batista da Silva

Análise de modelos matemáticos

de pilar-parede pelo MEF

Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade Monografia,

submetido ao Departamento de Engenharia Civil da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos

requisitos necessários para obtenção do Título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Orientadora: Profª. Drª. Selma H. Shimura da Nóbrega

Coorientador: Prof. Dr. Petrus Gorgônio B. da Nóbrega

Natal-RN

2019

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Silva, Carlos Henrique Rodrigues Batista da.

Análise de modelos matemáticos de pilar-parede pelo MEF / Carlos Henrique Rodrigues Batista da Silva. - 2019.

74f.: il.

Monografia (Graduação)- Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil,

Natal, 2019.

Orientadora: Dra. Selma Hissae Shimura da Nóbrega.

Coorientador: Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega.

1. Pilar-parede - Monografia. 2. Núcleo estrutural -

Monografia. 3. Modelos matemáticos - Monografia. 4. Método dos

Elementos Finitos - Monografia. I. Nóbrega, Selma Hissae Shimura

da. II. Nóbrega, Petrus Gorgônio Bulhões da. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624


Análise de modelos matemáticos

de pilar-parede pelo MEF

Trabalho de conclusão de curso na modalidade

Monografia, submetido ao Departamento de

Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte como parte dos requisitos

necessários para obtenção do título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Aprovado em 31 de maio de 2019:

___________________________________________________

Profª. Drª. Selma Hissae Shimura da Nóbrega – Orientador

___________________________________________________

Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega – Coorientador

___________________________________________________

Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Examinador interno

___________________________________________________

Eng. Me. Raul Omar de Oliveira Dantas – Examinador externo

Natal-RN

2019

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, cujo amor, dedicação e apoio

estiveram sempre presentes.

À minha avó, Chaguinha (in memoriam), por

todo o cuidado, amor e carinho que recebi.

AGRADECIMENTOS

A Deus, por me guiar e permitir que chegasse até aqui. Toda honra e toda glória sejam

dadas a Ele para todo o sempre.

À minha família, Carlos, Suedy, Maria Clara e tia Luzinete, que sempre me apoiaram e

acreditaram no meu potencial, não medindo esforços para me ajudar a superar as barreiras que

surgiram ao longo do caminho.

A Mariana, minha amada, por seu apoio incondicional em todos os momentos, pela

paciência nos dias difíceis e por compreender minhas necessidades.

A Fernanda e Stênio, por contribuírem decisivamente para o sucesso dessa jornada.

Aos meus orientadores, Prof.ª Selma Nóbrega e Prof. Petrus Nóbrega, pelo empenho,

paciência e disponibilidade em me orientar, solucionando minhas dúvidas ao longo das

disciplinas da graduação e do desenvolvimento deste trabalho, contribuindo indubitavelmente

para o meu desenvolvimento acadêmico.

A todos os professores que me acompanharam durante a graduação, em especial ao Prof.

Roberto Medeiros por tamanha dedicação ao exercício do magistério, e à Prof.ª Juliana Tinôco

pela ajuda concedida no momento de necessidade. A contribuição de cada um é imensurável.

Aos colegas de turma que estiveram comigo ao longo desses anos tornando o caminho

menos árduo e mais prazeroso.

Por último, mas não menos importante, aos amigos: Daniel Alves, Danilo Barbosa e

Rafael Victor pela amizade, companhia e camaradagem, presentes até nas disciplinas mais

sofridas (e como foram)!


RESUMO

ANÁLISE DE MODELOS MATEMÁTICOS DE PILAR-PAREDE PELO MEF

Neste trabalho, foram estudados modelos matemáticos com grau de complexidade crescente

para representar os pilares-parede com seção transversal em formato U, U enrijecido e E, tendo

sido utilizado para as análises o código comercial ADINA, baseado no Método dos Elementos

Finitos. Foram propostos quatro modelos: o primeiro, caracterizado pela utilização de um

elemento unidimensional regido pela teoria de Euler-Bernoulli; o segundo, caracterizado

também por um elemento unidimensional, mas regido pela teoria de Timoshenko; o terceiro,

consistindo de uma malha de elementos de viga dispostos verticalmente e representando cada

uma das superfícies do pilar-parede em estudo; o quarto modelo, formado por uma malha de

elementos de casca. Os resultados foram comparados, a depender do modelo matemático, às

soluções analíticas disponíveis na literatura técnica e/ou àqueles obtidos a partir da avaliação

de um modelo considerado mais complexo e cujas respostas se aproximam mais da realidade,

denominado modelo matemático abrangente. Constatou-se que a modelagem por elemento

unidimensional considerando a deformação por cisalhamento conduz a resultados satisfatórios

reforçando as imposições da NBR 6118:2014 e Eurocode 2 (2004) quanto à sua consideração.

Entretanto, o modelo matemático discretizado por uma malha de elementos de viga ainda requer

ajustes a fim de melhorar sua capacidade em representar adequadamente o comportamento do

pilar-parede.

Palavras-chave: Pilar-parede. Núcleo estrutural. Modelos matemáticos. Método dos Elementos

Finitos.

ABSTRACT

ANALYSIS OF SHEAR-WALLS MATHEMATICAL MODELS USING FEM

In this work, mathematical models with increasing degree of complexity were used to idealize

shear wall structures with U, C and E cross section, using the commercial code ADINA, based

on the Finite Element Method. Four models were proposed: the first one, featured by a one-

dimensional element governed by the Euler-Bernoulli’s theory; the second one, also featured

by a one-dimensional element, but governed by Timoshenko’s theory; the third, consisting of

beam elements in vertical arrangement; the fourth, described by a mesh of shell elements. The

results were compared, depending on the mathematical model, to the analytical solutions

available in the technical literature and/or those obtained from the analysis of a more complex

mathematical model and whose outcome is closer to reality, identified as comprehensive

mathematical model. It was verified that the one-dimensional modeling considering shear

deformation leads to satisfactory results asserting the impositions of NBR 6118:2014 and

Eurocode 2 (2004) regarding its consideration. However, the mathematical model consisting of

vertical beam arrangement still requires adjustments in order to adequately represent the

behavior of the shear wall.

Keywords: Shear wall. Core wall. Mathematical models. Finite Element Method.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1: Modelo proposto por Yagui (1971) .......................................................................... 16

Figura 2: Elemento de núcleo utilizado por Mori (1992) e Matias Jr. (1997) .......................... 17

Figura 3: Modelo estrutural de um sistema de contraventamento misto .................................. 21

Figura 4: Modelo estrutural e diagramas em função da rigidez do pórtico .............................. 22

Figura 5: Centro geométrico de pilar-parede de seção aberta .................................................. 23

Figura 6: Decomposição do pilar-parede em faixas verticais................................................... 23

Figura 7: Deformada de viga conforme modelo de Euler-Bernoulli ........................................ 27

Figura 8: Deformação de viga conforme modelo de Timoshenko ........................................... 29

Figura 9: Sequência de modelos matemáticos .......................................................................... 32

Figura 10: Modelos matemáticos para análise de edificações .................................................. 33

Figura 11: Exemplo de cobertura curva – sistema físico.......................................................... 34

Figura 12: Sequência de modelos matemáticos em elementos finitos para análise de uma laje

de cobertura curva submetida a carregamento vertical ............................................................ 35

Figura 13: Cobertura curva – modelagem unidimensional ...................................................... 35

Figura 14: Cobertura curva – modelagem por elementos bidimensionais (EPD) .................... 36

Figura 15: Cobertura curva – modelagem por elementos de casca .......................................... 37

Figura 16: Cobertura curva – modelagem por elementos tridimensionais ............................... 37

Figura 17: Processo de análise por elementos finitos ............................................................... 40

Figura 18: Planta de forma do pavimento-tipo ......................................................................... 43

Figura 19: Seções transversais com geometria (a) U, (b) U enrijecido e (c) E ........................ 43

Figura 20: Modelos matemáticos hierárquicos para o pilar-parede com seção transversal U –

(a) viga de Euler; (b) viga de Timoshenko; (c) malha de elementos de viga; (d) casca ........... 45

Figura 21: Rigid link – ampliação da Figura 20c...................................................................... 47

Figura 22: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção U .......................... 50

Figura 23: Decomposição da seção transversal em alinhamentos verticais no pilar-parede em

formato U .................................................................................................................................. 51

Figura 24: Modelo 3 com seção U – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7 pavimentos;

(c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos ..................................................... 52

Figura 25: Modelo 4 com seção U – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7 pavimentos;


Figura 26: Modelo tridimensional da estrutura no TQS – edifício com 7 pavimentos e pilar-

parede com seção transversal U................................................................................................ 54

Figura 27: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção U enrijecido ......... 57


formato U enrijecido ................................................................................................................. 58

Figura 29: Modelo 3 com seção U enrijecido – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7

pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos................................. 59

Figura 30: Modelo 4 com seção U enrijecido – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7

pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos................................. 60

Figura 31: Modelo tridimensional da estrutura no TQS – edifício com 14 pavimentos e pilar-

parede com seção transversal U enrijecido............................................................................... 60

Figura 32: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção E........................... 63


formato E .................................................................................................................................. 65

Figura 34: Modelo 3 com seção E – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7 pavimentos;


Figura 35: Detalhe das condições de contorno – ampliação da Figura 34a ............................. 66



LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Coeficientes de arrasto em vento de baixa turbulência ............................................ 48

Tabela 2: Forças horizontais resultantes nas lajes dos pavimentos [kN] ................................. 48

Tabela 3: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em U ............................................... 49

Tabela 4: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção transversal U .. 54

Tabela 5: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U – edifício com 7

pavimentos ................................................................................................................................ 55

Tabela 6: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U – edifício com 14

pavimentos ................................................................................................................................ 55

Tabela 7: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em U enrijecido .............................. 57

Tabela 8: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção transversal U

enrijecido .................................................................................................................................. 61

Tabela 9: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U enrijecido – edifício

com 7 pavimentos ..................................................................................................................... 61

Tabela 10: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U enrijecido – edifício

com 14 pavimentos ................................................................................................................... 62

Tabela 11: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em E ............................................. 64

Tabela 12: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção transversal E . 67

Tabela 13: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal E para – edifício com

7 pavimentos ............................................................................................................................. 68

Tabela 14: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal E para – edifício com

14 pavimentos ........................................................................................................................... 68

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................. 12

1.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 12

1.2. OBJETIVOS .............................................................................................................. 14

1.3. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ......................................................................... 15

1.4. RETROSPECTIVA HISTÓRICA ............................................................................. 16

CAPÍTULO 2 – PILAR-PAREDE ........................................................................................ 20

CAPÍTULO 3 – TEORIA DE FLEXÃO DE VIGAS .......................................................... 25

3.1. BREVE RELATO HISTÓRICO ............................................................................... 25

3.2. EULER-BERNOULLI ............................................................................................... 26

3.3. TIMOSHENKO ......................................................................................................... 28

CAPÍTULO 4 - OS MODELOS MATEMÁTICOS HIERÁRQUICOS ........................... 31

CAPÍTULO 5 – ANÁLISE ESTRUTURAL PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS .................................................................................................................................. 38

5.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 38

5.2. PROCESSO DE MODELAGEM .............................................................................. 39

CAPÍTULO 6 – ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS DE PILAR-PAREDE 42

6.1. MODELOS MATEMÁTICOS .................................................................................. 44

6.2. AÇÕES HORIZONTAIS .......................................................................................... 47

6.3. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO U ........................................................................... 49

6.4. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO U ENRIJECIDO ................................................... 56

6.5. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO E ........................................................................... 63

CAPÍTULO 7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................... 70

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 72

12

CAPÍTULO 1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS

1.1. INTRODUÇÃO

A competição por uma fração de espaço nas capitais e regiões metropolitanas do Brasil

e do mundo tem impulsionado o fenômeno da verticalização nos grandes centros urbanos. No

Brasil, esse efeito fica evidente a partir da década de 80 com a concepção e o desenvolvimento

de edificações cada vez mais elevadas. Aliado a isso, há o avanço da ciência e tecnologia,

atuando no desenvolvimento de materiais diversos, como ligas metálicas, compósitos mais

resistentes e materiais leves, permitindo a execução de estruturas mais esbeltas e com maior

capacidade resistente.

O projeto de estruturas esbeltas exige maior nível de cuidado dos profissionais

envolvidos na concepção estrutural dada a possibilidade de instabilidade global por se tratar de

uma estrutura mais propensa a deslocamentos horizontais. Os efeitos de instabilidade surgem à

medida que esses deslocamentos se constituem em excentricidades para o carregamento vertical

ocasionando acréscimos de esforços secundários na estrutura, os chamados efeitos de segunda

ordem.

Dessa forma, em se tratando de ações horizontais, os sistemas de contraventamento

tornaram-se indispensáveis à estabilidade dessas edificações, e sua escolha constitui uma etapa

decisiva durante a elaboração do projeto estrutural. Dada sua importância, esses sistemas

passaram a ser amplamente utilizados, sendo os responsáveis por resistir às diversas solicitações

horizontais, como a ação do vento, ou mesmo aquelas oriundas de abalos sísmicos.

Os sistemas de contraventamento podem ser compostos por grupos de pórticos, por

pilares-parede, ou ainda por um sistema misto, no qual tem-se conjuntos de pórticos trabalhando

solidariamente a pilares-paredes.

Em um sistema estrutural, as cargas tendem a se direcionar aos elementos de maior

rigidez, destacando-se assim a importância dos pilares-parede como elementos de

contraventamento. O pilar-parede, assim como os pórticos, contribui com a estabilidade global

da edificação à medida que confere à estrutura considerável acréscimo de rigidez lateral,

reduzindo os deslocamentos laterais e, consequentemente, os efeitos de segunda ordem.

13

De acordo com a norma brasileira para projeto de estruturas em concreto armado, NBR

6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, em seu item 14.4.2.4, pilares-

parede são definidos como elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente

dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão, podendo ser compostos

por uma ou mais superfícies associadas. Além disso, para que se tenha um pilar-parede, em

alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser, obrigatoriamente, menor que 1/5 da

maior, sendo ambas consideradas na seção transversal do elemento estrutural.

Ainda segundo a mesma norma, conforme descrito no item 14.8.1, permite-se

representar o pilar-parede por um elemento linear, desde que seja considerada a deformação

por cisalhamento e o ajuste de sua rigidez à flexão para o comportamento real. Há também, no

item 15.9.1, um adendo para a consideração dos pilares-paredes como elementos lineares no

conjunto resistente da estrutura: sua seção transversal deve ter a forma mantida por travamentos

adequados em todos os pavimentos e deve-se proceder a avaliação dos efeitos de 2ª ordem

locais e localizados. Para avaliação desses efeitos, permite-se dividir o pilar-parede em faixas

verticais, conforme trata o item 15.9.3, que deverão ser analisadas como pilares isolados. Esse

procedimento será mais bem detalhado no capítulo 2.

Destaca-se que essas considerações estão presentes na norma brasileira para projeto de

estruturas em concreto armado desde a sua primeira edição em 2003, e não passou por

modificações significativas desde então.

Semelhante à NBR 6118:2014, tem-se o ACI 318-14 e o Eurocode 2 (2004), que

normatizam os projetos de estruturas em concreto armado nos Estados Unidos e nos países que

compõem a União Europeia, respectivamente.

O ACI 318-14 não traz ressalvas quanto à análise estrutural de pilares-parede. Já o

Eurocode 2 (2004), conforme item 6.3.3, indica que para seções abertas pode ser necessário

considerar a torção causada pelo empenamento, e no caso de seções muito esbeltas a análise

deve ser conduzida utilizando um modelo constituído por uma malha de elementos de vigas.

Além disso, no anexo I, item I.2 (7), estabelece que se o sistema de contraventamento for

composto pela combinação de pórticos e pilares-parede, devem ser consideradas as

deformações tanto por efeito de flexão quanto por cisalhamento.

Dessa forma, considerando o avanço da tecnologia pelo desenvolvimento dos hardwares

e das ferramentas computacionais disponíveis, bem como as prescrições apresentadas pelo

Eurocode 2 (2004), percebe-se que a sugestão da NBR 6118:2014no item 14.8.1, a qual permite

14

a representação de uma superfície por um elemento linear, é um procedimento simplificado

que pode conduzir resultados insatisfatórios por não ser possível representar adequadamente o

comportamento do elemento estrutural.

Portanto, este trabalho se justifica pela necessidade de se obter um modelo para análise

computacional, também conhecido como modelo matemático, mais representativo e fiel ao

comportamento estrutural de pilares-parede, uma vez que muito se avançou na análise de

estruturas com o uso de métodos numéricos.

Neste trabalho foram considerados modelos matemáticos com grau de complexidade

crescente para representar os pilares-parede com geometria em formato U, U enrijecido e E,

tendo sido utilizado na análise o código comercial ADINA – Automatic Dynamic Incremental

Nonlinear Analysis –, baseado no Método dos Elementos Finitos.

Os resultados foram comparados, a depender do modelo matemático, às soluções

analíticas disponíveis na literatura técnica e/ou àqueles obtidos a partir da avaliação de um

modelo considerado mais complexo e cujas respostas se aproximam mais da realidade,

denominado modelo matemático abrangente. Além disso, adicionalmente, foi utilizado o

Sistema CAD/TQS para comparação dos resultados considerando uma modelagem

tridimensional. Destaca-se que este sistema possui parâmetros internos de flexibilização das

ligações, e diversos outros critérios aplicados ao concreto armado, que produzem respostas as

quais sabe-se de antemão, não serem exatamente iguais àquelas decorrentes das análises pelo

Método dos Elementos Finitos. Todavia, o CAD/TQS é utilizado para que se possa avaliar a

ordem de grandeza das respostas.

Em se tratando de um trabalho em nível de graduação, convém destacar que não serão

considerados os efeitos de não-linearidade (física ou geométrica), haja vista a complexidade

envolvida para tal, restringindo-se, portanto, a análises em regime elástico e teoria de primeira

ordem.

1.2. OBJETIVOS

Geral

O trabalho tem como objetivo geral estudar o comportamento de pilares-parede com

vistas a obter um modelo matemático eficiente para a análise estrutural desse elemento com

seção transversal em formato U, U enrijecido, e E.

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Específicos

• Avaliar modelos matemáticos adequados à análise estrutural de pilares-parede

compostos por mais de uma superfície;

• Avaliar o comportamento dos pilares-parede utilizando modelos matemáticos

discretizados por elementos de viga e de casca;

• Compreender o comportamento desse elemento estrutural.

1.3. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

O presente estudo é organizado em sete capítulos, a saber:

O primeiro capítulo consiste na apresentação das considerações iniciais sobre o tema,

incluindo a motivação do trabalho e seus objetivos, e uma sucinta retrospectiva histórica dos

estudos já desenvolvidos sobre pilares-parede com a finalidade de contextualizar o trabalho

para o leitor.

O segundo capítulo direciona a atenção para o elemento estrutural pilar-parede. Nele,

são abordadas as recomendações normativas para a análise estrutural desse elemento, o conceito

de sistemas de contraventamento, sua função e composição, além dos comportamentos

característicos de pilares-parede, pórticos e suas interações.

O terceiro capítulo apresenta a teoria envolvida no estudo dos elementos lineares

submetidos à flexão, também conhecida como teoria de vigas. Nesse capítulo, há um breve

relato histórico sobre a evolução do estudo das vigas e os estudiosos envolvidos, com destaque

para a família Bernoulli, Leonhard Euler e Stephen Timoshenko. Em seguida, são apresentados

os modelos teóricos utilizados nesse trabalho e suas peculiaridades.

O quarto capítulo trata da análise estrutural e os modelos matemáticos, abordando de

forma introdutória as definições de modelo matemático e modelagem hierárquica, destacando

sua importância e outros conceitos relevantes envolvidos.

O quinto capítulo é dedicado à apresentação do Método dos Elementos Finitos

abordando suas características e evidenciando as etapas do processo de análise.

O sexto capítulo apresenta as geometrias de pilares-parede analisadas, os modelos

matemáticos propostos e suas características, e as ferramentas computacionais utilizadas. Os

16

resultados obtidos pela análise dos modelos através do Método dos Elementos Finitos são

apresentados e comparados aos valores de referência.

O sétimo capítulo consiste de comentários gerais sobre os modelos matemáticos

analisados, bem como das conclusões sobre o estudo desenvolvido.

Por fim, são apresentadas as referências utilizadas para o desenvolvimento dessa

monografia.

1.4. RETROSPECTIVA HISTÓRICA

O objetivo desta seção é apresentar brevemente, com auxílio de uma contextualização

histórica, como tem se desenvolvido os estudos sobre pilares-parede e sua interação com outros

componentes da estrutura.

Yagui (1971) desenvolveu um modelo de análise para pilares-parede que consiste na

substituição de cada superfície do pilar-parede por um elemento linear vertical posicionado no

ponto médio da lâmina com suas respectivas características de rigidez, representando o pilar, e

um elemento linear disposto horizontalmente, elemento de viga, engastado no pilar ao nível de

cada pavimento com as extremidades em balanço e rigidez infinita à flexão no plano da

superfície que representa, sendo o comprimento deste igual à largura do pilar-parede. O referido

conjunto pilar-viga é denominado “pórtico plano equivalente”, ilustrado na Figura 1. No caso

de um núcleo rígido esse modelo permite considerar a interação das forças de cisalhamento

através das vigas concorrentes entre os painéis constituintes do elemento estrutural.

Figura 1: Modelo proposto por Yagui (1971)

Fonte: Adaptado de Pereira, A. (2000)

17

Mori (1992) avaliou a interação tridimensional entre os núcleos estruturais e os demais

componentes do sistema estrutural (pórticos, pilares isolados e vigas horizontais). As análises

foram conduzidas em regime elástico e baseadas em teoria de segunda ordem desprezando os

efeitos de deformação por cisalhamento, resultando no desenvolvimento de um código

denominado CEASO (sigla para Cálculo de Edifícios Altos em teoria de Segunda Ordem). A

modelagem do núcleo se deu por um elemento linear com 7 deslocabilidades por extremidade

(ver Figura 2), considerando o empenamento, posicionado no centro de cisalhamento da seção

transversal. Verificou que os resultados fornecidos pelo modelo de Yagui (1971) são

praticamente coincidentes com os obtidos em suas análises.

Matias Jr. (1997) estudou a interação entre os núcleos rígidos e os demais componentes

das estruturas de contraventamento (pórticos e pilares isolados) de uma edificação considerando

a influência da rigidez de suas ligações às fundações e a não linearidade geométrica. Para isso,

com base no CEASO desenvolvido por Mori (1992), desenvolveu o programa CEASO 01

regido pela teoria de Euler-Bernoulli. Modelou o núcleo estrutural a partir de um elemento

linear com sete deslocabilidades por extremidade, posicionado no centro de cisalhamento da

seção. Constatou que a rigidez ao empenamento do núcleo não tem influência significativa na

resistência à torção do sistema, pois sua contribuição é ínfima quando comparada à obtida pela

rigidez lateral dos demais elementos de contraventamento.

Figura 2: Elemento de núcleo utilizado por

Mori (1992) e Matias Jr. (1997)

Fonte: Matias Jr. (1997).

18

Pereira, G. (1997), efetuou quatro análises comparativas considerando diferentes

modelagens para o núcleo estrutural, sendo elas: pórtico plano equivalente proposto por Yagui

(1971); processo proposto por B. S. Taranath, em 1968, baseado na teoria de flexo-torção;

processo simplificado, no qual os trechos do núcleo localizados entre travamentos consecutivos

são substituídos por elementos de barra simples posicionados no centro de torção do núcleo; e

o processo prático (pilar-parede isolado), no qual não são consideradas as forças de interação

entre os painéis que compõem o núcleo. Concluiu que o processo simplificado não representa

adequadamente o núcleo estrutural submetido à torção por não considerar as tensões

suplementares decorrentes do empenamento, ao passo que o modelo proposto por Yagui, por

considerar as forças de interação entre os painéis, representa satisfatoriamente, isto é, com

pequenas divergências comparado ao modelo de referência, o comportamento do elemento

estrutural em análise.

Torres (1999) analisou o efeito da deformação por esforço cortante nas estruturas de

contraventamento de edifícios com múltiplos andares em teoria de primeira ordem. Para tal,

implementou modificações no programa elaborado por Matias Jr. (1997), o CEASO 01, de

modo que a deformação por cortante fosse considerada durante a análise linear. Concluiu que

a modelagem por barras regidas pela teoria de Timoshenko conduz à redução da rigidez das

estruturas à torção e favorece a redistribuição de esforços cortantes entre o núcleo e os pilares,

com maior efeito nos pavimentos inferiores.

Pereira, A. (2000) realizou análises semelhantes às efetuadas por Pereira, G. (1997)

utilizando o processo dos deslocamentos e o Método dos Elementos Finitos, concluindo que o

processo simplificado e o modelo considerando a teoria de flexo-torção só apresentam grandes

discrepâncias entre si quando a estrutura analisada apresenta rotações elevadas. Além disso,

verificou que a utilização da modelagem proposta por Yagui (1971) quando comparada a

modelos que consideram o empenamento do núcleo pode resultar em esforços solicitantes

inferiores aos que realmente atuam sobre os demais elementos de contraventamento, deixando

seu dimensionamento contra a segurança.

Silva (2014) desenvolveu um modelo para análise tridimensional não linear geométrica

de edifícios considerando o empenamento dos núcleos estruturais e a interação solo-estrutura.

Para tal, foi considerada a influência de todos os componentes do sistema estrutural, com o

núcleo sendo modelado por um elemento finito de viga com sete deslocabilidades e aprimorado

de modo a considerar a presença dos diafragmas rígidos. Com base nas análises realizadas,

19

concluiu que as lajes agregam considerável rigidez ao núcleo estrutural, sendo este efeito mais

evidente quando a estrutura trabalha submetida à torção.

Batista (2014) estudou o comportamento de um pilar-parede com seção transversal

retangular mediante a utilização de modelos matemáticos discretos regidos pelas teorias de

Euller-Bernoulli e Timoshenko, e utilizou um modelo discretizado por elementos de casca para

validação dos resultados. Concluiu que a modelagem do pilar-parede por meio de uma malha

de elementos de viga dispostos na vertical e travados horizontalmente ao nível dos pavimentos

também por elementos de viga, mas com rigidez infinita, conduz a resultados satisfatórios e a

interação entre o pilar-parede e os demais elementos constituintes da superestrutura pode ser

feita de modo simplificado através de uma mola linear com rigidez equivalente.

Medeiros (2014), por meio do Método dos Elementos Finitos, desenvolveu um estudo

voltado à viabilidade do emprego de malhas de elementos de viga na discretização de núcleos

estruturais comparando seus resultados com os obtidos através de modelagens mais refinadas

utilizando elementos de casca. Além disso, procedeu também com a análise modal dos

diferentes modelos, obtendo resultados consistentes dos modos de vibração e frequências

naturais tanto para o núcleo isolado quanto para o pavimento como um todo. Concluiu que os

modelos utilizando essas malhas possuem potencial para fornecer bons resultados em

comparação a modelos mais complexos com elementos finitos de casca, principalmente quando

o elemento é submetido apenas aos efeitos de flexão.

Por fim, este trabalho dá continuidade ao estudo desenvolvido por Batista (2014) e busca

a determinação de um modelo matemático eficiente para a análise de pilares-parede de seção

delgada aberta como alternativa à análise simplificada por barra isolada sugerida pela NBR

6118:2014.

20

CAPÍTULO 2 – PILAR-PAREDE

O pilar-parede se constitui em um elemento de extrema importância para uma

edificação, pois compõe o sistema de contraventamento da estrutura e tem a capacidade de

conferir ao conjunto a rigidez lateral suficiente para minimizar os deslocamentos horizontais,

permitindo assim a redução dos efeitos de segunda ordem globais.

Os sistemas de contraventamento são conjuntos de elementos responsáveis por garantir

a estabilidade lateral da estrutura: seja por redução do comprimento de flambagem das peças,

seja por acréscimo de rigidez lateral ocasionando a redução dos deslocamentos horizontais.

Esses sistemas podem apresentar comportamentos distintos quando de sua solicitação por ações

externas. O desempenho e a configuração deformada de um contraventamento composto apenas

por pórticos são diferentes dos apresentados por um sistema composto somente por pilares-

parede. Para compreender esse fato é preciso ter em mente como esses elementos estruturais se

comportam isoladamente.

Os pórticos se caracterizam pela associação de pilares e vigas trabalhando em conjunto

para resistir às solicitações horizontais e trabalham submetidos preponderantemente aos efeitos

de flexão. Por aspectos econômicos e construtivos, as características geométricas desses

elementos estruturais são replicadas ao longo dos pavimentos-tipos adotando seções que

atendam às situações mais críticas para o dimensionamento. Por isso, verifica-se que os pórticos

de pavimentos próximos ao topo são geometricamente superdimensionados, de modo que os

deslocamentos relativos no topo são menores que os verificados nos pavimentos iniciais e

intermediários da edificação.

Por sua vez, os pilares-parede podem trabalhar submetidos predominantemente aos

efeitos de esforço cortante ou de momento fletor, a depender de sua classificação quanto à

esbeltez. Wight e MacGregor (2009), ao tratar sobre pilares-parede com seção transversal

retangular, afirmam que os efeitos de cisalhamento são predominantes em elementos curtos,

com relação altura/comprimento inferior a 2. Quando essa relação é superior a 3, o elemento

estrutural é classificado como esbelto, ou delgado, e predominam os efeitos de flexão. Para o

caso de pilares-parede com razão altura/comprimento variando entre 2 e 3 o comportamento

apresentado é uma combinação de efeitos de flexão e cisalhamento.

É válido destacar que o pilar-parede esbelto, isolado e submetido aos efeitos de flexão

se comporta de modo análogo a uma viga perfeitamente engastada e em balanço. Assim, em

21

oposição ao que se constata para o caso dos pórticos, os maiores deslocamentos relativos se

verificam na região de topo do elemento estrutural.

De acordo com Araújo (2014), em um sistema de contraventamento misto (ver Figura

3), o comportamento do conjunto é fortemente influenciado pelas forças de interação

decorrentes da compatibilização dos deslocamentos, haja vista que o topo do pilar-parede

apresenta maiores deslocamentos que os sofridos pelo pórtico. Desse modo, segundo Wight e

MacGregor (2009), o pórtico poderá ou não constituir um impedimento à deformação do pilar-

parede a depender de sua rigidez.

Figura 3: Modelo estrutural de um sistema de

contraventamento misto

Fonte: Adaptado de Wight e MacGregor (2009).

Para os casos em que o pórtico seja muito rígido, sua representação no modelo estrutural,

ver Figura 4a, pode ser feita por meio de um apoio no topo do pilar-parede. Caso contrário, o

sistema pode ser modelado como uma viga perfeitamente engastada e em balanço.

À medida que a rigidez lateral do pórtico diminui em comparação com a rigidez lateral

do pilar-parede, a restrição ao deslocamento no topo desse último também diminui, com o

22

módulo da reação horizontal tendendo a zero para o caso de o pórtico associado à parede

estrutural ser muito flexível (WIGHT; MACGREGOR, 2009).

Assim, em função da rigidez dos pórticos e, consequentemente, da intensidade de

restrição ao deslocamento do topo do pilar-parede, os diagramas de esforço cortante e momento

fletor podem variar conforme ilustrado na Figura 4b e c, respectivamente.

Figura 4: Modelo estrutural e diagramas em função da rigidez do pórtico

Fonte: Adaptado de Wight e MacGregor (2009).

Relativamente à NBR 6118:2014, define-se, de acordo com o item 14.4.2.4, pilar-parede

como um elemento de superfície, usualmente posicionado na vertical, sobre o qual prevalecem

esforços de compressão e cuja maior dimensão, no contexto da seção transversal, não exceda

cinco vezes a menor dimensão. Mais adiante, no item 14.8.1, permite-se a representação do

pilar-parede de forma simplificada como elemento linear posicionado no centro geométrico

(CG) da respectiva seção transversal do elemento estrutural, ver Figura 5, devendo ser

considerado o efeito de deformação por cisalhamento e o ajuste da rigidez à flexão.

Além disso, a NBR 6118 permite, no item 15.9.3, a consideração do efeito localizado

de segunda ordem através de um processo aproximado no qual o pilar-parede é subdividido em

faixas verticais (ver Figura 6), de modo que cada faixa é analisada como pilar isolado.

23

Figura 5: Centro geométrico de pilar-

parede de seção aberta

Fonte: Autor (2019).

Figura 6: Decomposição do pilar-parede

em faixas verticais

Fonte: Adaptado da NBR 6118:2014.

É preciso destacar que para aplicação desse processo a esbeltez de cada superfície que

compõe o pilar-parede deve ser inferior a 90, e a largura de cada faixa vertical deve respeitar a

seguinte relação:

ai = 3 h ≤ 100 cm

Sendo,

ai a largura da faixa i;

h a espessura da lâmina do pilar-parede.

24

Medeiros (2014) relata que em casos onde a presença do núcleo de rigidez provoca

assimetria na estrutura do edifício, pela não coincidência do centro de rigidez com o centro de

massa do pavimento, a sua representação por um único elemento conduz a modelos que não

representam de maneira adequada o real comportamento da estrutura.

Por fim, neste trabalho são realizados estudos sobre o comportamento dos pilares-parede

e a adequação de sua idealização para análise computacional por meio de vigas dispostas

verticalmente, isoladas ou posicionadas nos CG de faixas verticais, com o intuito de avaliar as

considerações para sua análise.

25

CAPÍTULO 3 – TEORIA DE FLEXÃO DE VIGAS

Neste capítulo será apresentada uma contextualização histórica acerca da evolução do

estudo de vigas submetidas à flexão e a contribuição de alguns estudiosos. Em seguida, serão

apresentados os dois principais modelos clássicos para análises de vigas: o modelo de Euler-

Bernoulli; e o modelo de Timoshenko.

O conhecimento sobre as teorias abordadas neste capítulo para análise estrutural de

elementos lineares submetidos à flexão é essencial à boa compreensão deste trabalho, pois, na

construção dos modelos matemáticos, são aplicados modelos teóricos diferentes para que seja

possível avaliar a influência dos efeitos inclusos em cada um na simulação do comportamento

do elemento estrutural.

3.1. BREVE RELATO HISTÓRICO

O estudo acerca do comportamento de vigas teve início há muitos séculos. De acordo

com Troyano (2003), o primeiro pesquisador a estudar o fenômeno de flexão foi Leonardo da

Vinci, sendo responsável por descrever os efeitos da flexão no Códice de Madrid, seguido por

Galileu Galilei que conduziu análises de vigas simplesmente apoiadas e em balanço.

Ainda segundo Troyano (2003), no século XVII, Edme Mariotte conduziu estudos em

vigas de madeira observando a distribuição de tensões ao longo da seção transversal, e

identificou a presença de tensões de tração em uma borda da seção e de compressão na borda

oposta. No mesmo período, Jacob Bernoulli iniciou os estudos sobre a curvatura elástica das

vigas aplicando conceitos de cálculo diferencial, e concluiu que o momento fletor em cada

seção é proporcional à curvatura da viga nessa respectiva seção. Essa informação seria base

para o estudo de outros estudiosos, como Euler, mais adiante no século XVIII.

De acordo com Timoshenko (1983), o trabalho de Jacob Bernoulli seguiu pelo século

XVIII através de seus orientados: o sobrinho, Daniel Bernoulli; e seu aluno, Leonhard Euler.

Daniel Bernoulli derivou a equação diferencial da vibração lateral de barras prismáticas e se

dedicou ao estudo desses modos de vibração. Leonhard Euler, por sua vez, interessou-se pela

geometria das curvas elásticas, sendo o responsável por resolver a equação diferencial da curva

elástica estabelecida décadas antes por seu orientador, Jacob Bernoulli. Euler também

26

desenvolveu o estudo acerca da flambagem de colunas que resultou na equação de determinação

da carga crítica de flambagem, também conhecida como carga crítica de Euler. Trabalhando

em conjunto, Daniel Bernoulli e Leonhard Euler desenvolveram o modelo que ficou conhecido

como teoria de viga de Euler-Bernoulli, baseada nos resultados obtidos anteriormente pelos

estudos de Jacob Bernoulli. Essa teoria será abordada em maiores detalhes na seção 3.2.

Já no século XIX, Henri Navier ao estudar o fenômeno da flexão em barras prismáticas

estabeleceu que seções transversais inicialmente planas permanecem planas e perpendiculares

ao eixo longitudinal do elemento em sua configuração deformada. Essa consideração ficou

conhecida como Hipótese de Navier; e com base nela e fazendo uso da Lei de Hooke concluiu

que a linha neutra de uma viga submetida exclusivamente aos efeitos de flexão contém

obrigatoriamente o centro de gravidade da seção transversal.

Por fim, no início do século XX, Timoshenko avançou com estudos acerca da influência

das tensões cisalhantes nas deformações das vigas submetidas à flexão simples, de modo que

em 1921 introduziu a teoria que ficou conhecida como teoria de viga de Timoshenko. Essa

teoria será abordada em maiores detalhes na seção 3.3.

Atualmente, existem diversos modelos teóricos aplicáveis a elementos estruturais, tais

como: Euler-Bernoulli; Timoshenko; Kirchhoff-Love; Reissner-Mindlin; Koiter; e Naghdi. Os

dois primeiros se aplicam a vigas – elementos lineares, que apresentam uma das dimensões com

ordem de grandeza bem superior às demais –, os terceiro e quarto modelos são aplicáveis a

placas, e os dois últimos se destinam a cascas – elementos de superfície, que apresentam duas

dimensões com a mesma ordem de grandeza e a outra com ordem bem inferior.

Essas teorias dialogam entre si, diferindo-se apenas pelo tipo de elemento estrutural

sobre o qual são aplicadas. As teorias de Kirchhoff-Love e Koiter se assemelham à de Euler-

Bernoulli por não considerar os efeitos de deformação por cisalhamento nos elementos de placa

e casca, respectivamente, enquanto que as teorias de Reissner-Mindlin e Naghdi estão próximas

à de Timoshenko por considerar os efeitos de distorção das seções.

3.2. EULER-BERNOULLI

O modelo de viga de Euler-Bernoulli apresenta-se como uma simplificação da Teoria

da Elasticidade, sendo o modelo mais simples para a determinação dos deslocamentos em um

elemento linear. Nele, admite-se que os deslocamentos laterais são nulos; que as seções

27

transversais permanecem planas1 e perpendiculares ao eixo longitudinal do elemento na

configuração deformada – hipótese de Navier –; e que os pontos contidos numa mesma seção

reta apresentam deslocamentos transversais iguais (ver Figura 7).

Bernoulli percebeu que a curvatura de uma viga é proporcional ao momento fletor e a

partir dessa observação obteve a equação diferencial da Linha Elástica (LE), que mais tarde foi

aprimorada por Euler.

Figura 7: Deformada de viga conforme modelo de Euler-Bernoulli

Fonte: Adaptado de Martha e Burgos (2014).

A equação diferencial da linha elástica de uma viga pela teoria de Euler-Bernoulli tem

a seguinte configuração:

d2w

dx2= −

M

EI (1)

dw

dx= β (2)

1 Rigorosamente, a hipótese das seções planas se verifica nas peças, ou trechos de peças, submetidos à flexão

pura; porém, também se considera a sua validade para as peças, ou trechos de peças, submetidos à flexão

simples.

28

Sendo 𝛽 o ângulo de rotação da seção reta, medido entre as posições na situação inicial

indeformada e na configuração deformada.

Timoshenko e Gere (1984) destacam que esta expressão somente se aplica aos casos em

que o material se comporta em regime elástico linear e as inclinações da LE são pequenas.

A consideração da ortogonalidade das seções na situação deformada, significa que não

há consideração das deformações por efeito de cisalhamento. Isto fica evidenciado pela análise

da Eq. (1), em que se verifica apenas a influência do momento fletor.

Dessa forma, a teoria de Euler-Bernoulli considera apenas as deflexões decorrentes da

flexão pura.

3.3. TIMOSHENKO

A teoria de Timoshenko tem como base a teoria de Euler-Bernoulli, distinguindo-se pela

consideração adicional das deflexões decorrentes do cisalhamento. Assim, o modelo de

Timoshenko considera os efeitos do esforço cortante, momento fletor e inércia à rotação.

Sabe-se que os efeitos oriundos das tensões de cisalhamento se tornam mais evidentes

em peças pouco esbeltas, também classificadas como curtas. Nessas peças, os efeitos de flexão

não se sobrepõem aos de cisalhamento, de modo que não é possível desprezar as deformações

decorrentes por atuação de esforço cortante.

No entanto, não há consenso sobre critérios objetivos para determinar quando seria

possível desprezar as deflexões ocasionadas por tensões cisalhantes. Porém, há relatos na

literatura sobre a razão altura/comprimento, como afirmam Wight e MacGregor (2009, p. 937,

tradução nossa) que “a resistência e o comportamento de paredes de cisalhamento curtas

[relação altura/comprimento menor ou igual a 2, conforme apresentando no capítulo 2 do

presente trabalho], de um ou dois pavimentos, geralmente são comandados pelo cisalhamento.”

O esforço cortante se propaga sobre os pontos da seção transversal do elemento sob a

forma de tensões cisalhantes cuja distribuição varia ao longo da altura, sendo máxima nos

pontos situados sobre a linha neutra e nula nos pontos pertencentes às extremidades.

De acordo com Timoshenko e Gere (1984), a referida variação de tensões provoca

distorções angulares na seção reta, dando origem a um acréscimo nas deflexões. Esse acréscimo

29

se evidencia pelo surgimento de rotações, que são associadas à derivada do deslocamento

transversal (ver Figura 8).

Figura 8: Deformação de viga conforme modelo de Timoshenko

Fonte: Adaptado de Martha e Burgos (2014).

É importante destacar que essa distorção invalida a hipótese das seções perpendiculares

ao eixo longitudinal do elemento. Pela teoria de Timoshenko, admite-se que as seções

transversais permanecem planas, mas não necessariamente ortogonais ao eixo da peça.

A equação diferencial da linha elástica de uma viga pela teoria de Timoshenko tem a

seguinte configuração:

d2w

dx2= −

M

EI−

V

G∙fsA (3)

dw

dx− γ = β (4)

Na qual o segundo termo do lado direito da Eq. (3) representa a deformação provocada

pela distorção da seção, sendo fs o fator de forma para cisalhamento, também denominado fator

de cisalhamento, ou ainda fator para efeito do cortante. Esse fator é definido por Timoshenko e

30

Gere (1984, p. 348) como “[...] uma quantidade adimensional que pode ser calculada para cada

uma das formas de vigas [...]”.

O fator de cisalhamento surge na expressão multiplicando o valor da área em virtude da

variação da tensão cisalhante sobre a seção, conforme discutido anteriormente. O produto fsA

representa a área efetiva de cisalhamento, isto é, um valor de área para o qual a tensão de

cisalhamento pode, por aproximação, ser considerada constante em toda sua superfície.

31

CAPÍTULO 4 - OS MODELOS MATEMÁTICOS HIERÁRQUICOS

A etapa de análise estrutural computacional consiste na idealização da estrutura real em

um modelo matemático de modo a permitir sua resolução, culminando na obtenção de

parâmetros inerentes ao tipo de elemento utilizado (esforços internos, deslocamentos, tensões,

deformações, reações de apoio, gradientes de temperaturas, etc.) para compreensão de seu

comportamento e eventual dimensionamento.

A análise estrutural [...] é a etapa do projeto na qual é realizada uma previsão

do comportamento da estrutura. Nela são utilizadas todas as teorias físicas e

matemáticas resultantes da formalização da engenharia estrutural como

ciência. (MARTHA, 2010, p. 3)

Assim, um modelo matemático, também denominado modelo estrutural, é a idealização

de uma estrutura real (problema físico) pela adoção de hipóteses simplificadoras viabilizando

sua resolução, de modo que seu comportamento seja representado adequadamente.

A modelagem hierárquica aplicada à análise de estruturas revolucionou a forma como

se conduzem os projetos, pois, conforme relatam Bucalem e Bathe (2011), seus conceitos

básicos podem ser aplicados em análises diversas, como o estudo de sólidos ou fluidos, ou ainda

em problemas extremamente complexos.

O princípio da utilização de modelos hierárquicos é construir uma sequência de modelos

matemáticos em ordem crescente de complexidade (ver Figura 9); com o primeiro modelo

sendo o mais simples e com menor quantidade de variáveis envolvidas, e o último, denominado

“modelo abrangente”, capaz de considerar todos os efeitos os quais submetem o problema real.

É importante deixar claro que a escolha da sequência de modelos é fortemente

influenciada pela experiência do analista e pelo conhecimento acerca do problema em estudo,

uma vez que esta ordem deixa implícito quais aspectos são mais preponderantes no

comportamento do problema real.

O modelo abrangente não deve necessariamente ser resolvido, ele tem a função

meramente de atuar como referência teórica para os demais. Isso se deve ao fato de este modelo

incluir todas as variáveis envolvidas no fenômeno analisado, sendo muitas delas de difícil

obtenção, inviabilizando sua análise.

32

Figura 9: Sequência de modelos matemáticos

Fonte: Adaptado de Bucalem e Bathe (2011).

Todavia, é preciso destacar que não há um modelo matemático capaz de representar

com perfeição, por mais refinado que seja, o comportamento real do elemento em análise tendo

em vista a quantidade de variáveis presentes na natureza, de modo que a escolha do modelo é

fortemente influenciada pelo conhecimento e experiência do engenheiro (BATHE, 2010;

SORIANO, 2009).

Convém ainda destacar a definição de “modelo matemático confiável”: trata-se de

qualquer modelo capaz de fornecer resultados com a precisão requerida pelo analista. Outro

conceito importante é o de “modelo matemático mais eficiente”, que diz respeito ao modelo

matemático confiável de menor ordem hierárquica.

Bucalem e Bathe (2011) destacam que iniciar as análises partindo de modelos

demasiadamente complexos não é adequado, uma vez que modelos dessa natureza tendem a

dificultar a identificação de quais efeitos são mais preponderantes na determinação do

comportamento do elemento estrutural; efeitos estes facilmente identificados quando da análise

de modelos mais simples. Além disso, a solução de modelos muito elaborados é mais complexa

e tende a ser inviabilizada pelo custo computacional envolvido, além de produzir uma

quantidade exacerbada de resultados, que podem ser inclusive de difícil interpretação. Não há,

portanto, benefício em trabalhar com modelos de ordem superior à do modelo matemático mais

eficiente.

Assim, em consequência da modelagem hierárquica, é possível convergir para um

modelo matemático capaz de representar o comportamento de um elemento ou sistema

estrutural de forma mais simples e confiável, pela redução da quantidade de variáveis a serem

consideradas durante o processo, sem que haja prejuízo dos resultados que se deseja avaliar.

33

Dessa forma, tem-se conhecimento de quais efeitos são preponderantes para a representação do

fenômeno em estudo e quais podem ser desconsiderados.

Utilizando os conceitos de modelos matemáticos hierárquicos, é possível estudar e

prever o comportamento de estruturas diversas, descartando, em alguns casos, a necessidade da

construção de modelos em escala reduzida para realização de ensaios físicos em laboratório.

No âmbito do projeto de estruturas, há alguns modelos matemáticos possíveis para

análises dos elementos estruturais que compõem os edifícios. Os modelos mais conhecidos são

apresentados a seguir (ver Figura 10).

Figura 10: Modelos matemáticos para análise de edificações

Fonte: Kimura (2007).

34

Como se pode verificar, há diferentes modelos matemáticos para análise dos elementos

estruturais em uma edificação, dentre eles: viga contínua, grelha e pórtico. É preciso identificar

qual representa satisfatoriamente as condições a serem avaliadas.

No processo de análise da edificação, por exemplo, as lajes, vigas e pilares podem ser

estudados isoladamente utilizando-se de modelos simples. Nessa situação, para as lajes são

utilizados os métodos aproximados (Marcus, Bares, Czerny, entre outros) e a distribuição do

carregamento para as vigas é realizada com auxílio das áreas de influência definidas pelas linhas

de ruptura dos painéis. Então, é aplicado o modelo de vigas contínuas para análises desses

elementos estruturais, com os pilares representados por apoios simples. Por fim, as reações de

apoio são aplicadas aos pilares como carga concentrada, não havendo transferência de

momentos fletores.

Kimura (2007) aponta as limitações da análise isolada de elementos estruturais

destacando a não consideração do trabalho conjunto da estrutura: ligação viga-pilar articulada

impedindo a transferência de momento fletor entre esses elementos; a impossibilidade de

avaliação dos efeitos decorrentes de ações horizontais; dentre outros.

Considerando a análise estrutural pelo Método dos Elementos Finitos, deve-se idealizar

a representação do meio contínuo (problema real) em um meio discreto formado por elementos

conectados por nós (modelo discreto). Como exemplo, considera-se uma laje de cobertura curva

apoiada em pilares (ver Figura 11). A sequência de modelos hierárquicos pode ser organizada

conforme apresentado na Figura 12.

Figura 11: Exemplo de cobertura curva – sistema físico


35

Figura 12: Sequência de modelos matemáticos em elementos finitos para análise de uma laje

de cobertura curva submetida a carregamento vertical


Na primeira modelagem (ver Figura 13), são considerados elementos finitos

unidimensionais de viga, posicionados ao longo do eixo longitudinal. A partir da análise desse

modelo matemático é possível a determinação, por exemplo, dos diagramas de esforços

internos, das reações de apoio (vínculos externos) e dos deslocamentos relativos ao eixo

longitudinal.

Figura 13: Cobertura curva – modelagem unidimensional


Avançando, tem-se a modelagem a partir de elementos bidimensionais em Estado Plano

de Deformações (EPD) no plano vertical, ver Figura 14, agregando mais uma dimensão à

análise. O EPD se configura quando uma das tensões (sigma z) é não nula, o que implica que

as deformações transversais ao plano de análise são nulas. Através da análise desse modelo

matemático é possível determinar a distribuição de tensões na seção transversal, bem como as

deformações e os deslocamentos decorrentes da ação de forças externas. É interessante observar

36

que a determinação dos diagramas de esforços internos através da análise desse modelo não é

possível.

Figura 14: Cobertura curva – modelagem por elementos bidimensionais (EPD)


Em seguida, tem-se o modelo constituído por elementos bidimensionais de casca (ver

Figura 15), sendo a representação do elemento estrutural a partir de sua superfície média.

Evidencia-se a capacidade desses elementos em reproduzir a curvatura do elemento estrutural,

característica que não é encontrada nos modelos anteriores. Os resultados da análise desse

modelo se traduzem em termos de deslocamentos, deformações e em distribuição de tensões ao

longo da superfície média da estrutura idealizada. A vantagem na utilização destes elementos

de casca consiste no fato de que permitem a representação da estrutura com sua curvatura

original, e não facetada, como no caso dos elementos bidimensionais de placas (que seria uma

outra opção de modelo matemático), fornecendo respostas requeridas mais satisfatórias.

Por fim, tem-se a modelagem por elementos tridimensionais (ver Figura 16),

caracterizada pelo acréscimo da terceira dimensão, tornando possível a representação das

características volumétricas do elemento estrutural conforme a situação real. A partir da análise

desse modelo matemático obtém-se os parâmetros de deslocamentos e deformações, sendo

possível avaliar também, simultaneamente, a distribuição de tensões ao longo da altura e na

superfície média do elemento estrutural. Em consequência disso, essa modelagem é capaz de

reproduzir a ocorrência de concentração de tensões, por exemplo, nas três dimensões, o que não

seria possível com o modelo matemático contendo elementos do EPD ou elementos de casca.

Pode-se afirmar que, por ocasião específica desse exemplo, o modelo tridimensional, em

decorrência de suas características, é classificado como abrangente.

37

Figura 15: Cobertura curva – modelagem por

elementos de casca


Figura 16: Cobertura curva – modelagem por

elementos tridimensionais


É oportuno ressaltar a possibilidade de identificação, mesmo que de forma limitada, de

regiões sujeitas à ocorrência de concentração de tensões através, também, da análise dos

modelos bidimensionais (EPD e casca).

38

CAPÍTULO 5 – ANÁLISE ESTRUTURAL PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS

5.1. INTRODUÇÃO

Ao longo do tempo, desenvolveram-se diversos métodos aplicáveis à análise de

estruturas, tais como os métodos analíticos, os métodos energéticos e os métodos numéricos.

Os métodos analíticos se caracterizam pelo emprego de equações diferenciais ordinárias

ou parciais para descrever o comportamento do elemento estrutural baseadas em hipóteses

simplificadoras. Todavia, convém destacar que a solução por esse método nem sempre é

possível, uma vez que poucas equações diferenciais possuem solução analítica. Essa solução só

é viável para situações nas quais o elemento estrutural está submetido a carregamentos simples

e possui geometria e vínculos externos bem definidos.

Já os métodos energéticos são fundamentados no conceito de equilíbrio entre a energia

potencial das ações externas e a energia de deformação, e se constituem em aplicações dos

teoremas energéticos. Dentre eles, destacam-se: Método da Energia de Deformação, Método da

Carga Unitária, Método da Flexibilidade, Método da Rigidez.

Por fim, tem-se os métodos numéricos, que utilizam hipóteses simplificadoras para

estabelecer equações que representem o comportamento do elemento estrutural. Esses métodos

surgiram com o intuito de viabilizar a solução das equações diferenciais e caracterizam-se pelo

emprego de sistemas computacionais; dentre eles, destacam-se: o Método das Diferenças

Finitas, o Método dos Elementos Finitos, e o Método dos Elementos de Contorno.

O desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos (MEF) ocorreu durante a década

de 1950 como fruto dos estudos desenvolvidos pelos engenheiros Turner, Clough, Martin,

Argyris, Topp e Kelsey, baseado nos conceitos do Método dos Deslocamentos e auxiliado pelo

advento dos computadores.

Essa ferramenta, antes utilizada apenas para resolução de problemas da mecânica dos

sólidos, foi aperfeiçoada ao longo dos anos, com aplicações nas mais diversas áreas da

engenharia. Todavia, a disseminação do MEF somente ocorreu na década de 90, graças à

evolução do poder de processamento dos computadores e seus programas. Atualmente, é o

método mais utilizado para solução de problemas na área da engenharia de estruturas.

39

5.2. PROCESSO DE MODELAGEM

O Método dos Elementos Finitos é um método aproximado e, de acordo com Soriano

(2009), sua essência é a substituição de leis complexas, que representam o modelo matemático

e que por vezes são desconhecidas, por leis simples, mas que garantam a convergência da

solução através de duas maneiras: uma delas ocorre à medida que se reduz o tamanho dos

elementos, reduzindo assim as eventuais distorções entre os comportamentos real e teórico; a

outra se dá pelo acréscimo do número de nós em cada elemento, resultando em polinômios de

ordem superior com capacidade de representar o comportamento de forma mais adequada.

As etapas do processo de análise estrutural pelo MEF estão apresentadas na Figura 17.

A análise estrutural utilizando elementos finitos envolve a transformação do problema

real em um modelo matemático pela adoção de hipóteses simplificadoras para representar o

comportamento do elemento estrutural por meio de equações diferenciais.

A construção do modelo matemático é caracterizada pela idealização do problema

físico. É fundamental definir quais as hipóteses a serem admitidas sobre o comportamento da

estrutura, de modo a simplificar o problema e facilitar o processo de solução. Conforme

indicado na Figura 17, essas hipóteses incluem: geometria, que diz respeito à configuração

adotada para o elemento estrutural em análise; o comportamento cinemático do modelo

estrutural; as propriedades dos materiais, módulo de elasticidade, regime de comportamento

elástico ou plástico; identificação do carregamento; e, por fim, as condições de vinculação dos

elementos componentes da estrutura e o meio externo.

O modelo matemático em elementos finitos constitui um modelo discreto. Nele, os

infinitos pontos constituintes do modelo contínuo são representados por uma quantidade finita

de pontos (denominados nós).

A etapa que sucede a construção do modelo discreto é a análise da solução numérica.

Bucalem e Bathe (2011) afirmam que, a partir das respostas obtidas, o analista poderá avaliar

se os resultados obtidos atendem aos do modelo matemático de referência (abrangente) com

adequada precisão. Caso a solução não seja satisfatória, é possível refinar o modelo discreto a

partir de modificações na malha de elementos finitos, ou na quantidade de nós presentes no

elemento de modo a melhorar a função aproximadora.

40

Figura 17: Processo de análise por elementos finitos

Fonte: Adaptado de Bathe (2010).

Para verificação da convergência quando a solução é desconhecida, é usual comparar os

resultados do modelo discreto com os obtidos mediante análise desse mesmo modelo com

discretização maior da malha de elementos, ou ainda com os resultados obtidos por análises de

modelos mais abrangentes.

41

O passo seguinte se caracteriza pela avaliação do modelo matemático já calibrado, e

validado por resultados experimentais ou modelos analíticos. Deve-se verificar se as hipóteses

adotadas para o modelo em estudo são capazes de representar adequadamente os efeitos

considerados importantes e desejados pelo engenheiro. Caso não sejam, é necessário aprimorar

as hipóteses adotadas na definição do modelo matemático e refazer as análises.

Por fim, e com base nos resultados obtidos, pode-se optar pela otimização do projeto

através da alteração de alguns parâmetros, como modificações na geometria, condições de

contorno, dentre outros. Em consequência disso, obtém-se um novo sistema físico, o qual deve,

mais uma vez, ser submetido ao processo de análise.

42

CAPÍTULO 6 – ANÁLISE DOS MODELOS MATEMÁTICOS DE PILAR-PAREDE

Este capítulo tem por finalidade apresentar a metodologia utilizada no desenvolvimento

do trabalho, isto é, os modelos matemáticos propostos, os programas computacionais e análises

realizadas, bem como seus respectivos resultados.

Diferentes modelos matemáticos foram estudados com o intuito de avaliar

comparativamente os resultados obtidos, oferecendo alternativas à modelagem de pilares-

parede. Foram consideradas apenas ações horizontais decorrentes da incidência de vento sobre

a edificação, e com intensidades compatíveis com as verificadas nos projetos de edifícios na

cidade de Natal.

A configuração de pavimento-tipo adotada como base foi o exemplo proposto por

Araújo (2014) e ilustrado na Figura 18, considerando o pé esquerdo de 3,00 metros e edifícios

com 7 e 14 pavimentos. Destaca-se que estes últimos foram definidos em função do

comportamento conjunto do pilar-parede e pórticos (Figura 4), ou seja, os pórticos atuam de

forma flexível na situação de 7 pavimentos, ou de forma rígida impondo restrições ao

movimento do pilar-parede, no caso de 14 pavimentos. As vigas possuem seção retangular de

20 x 60 cm, os pilares 20 x 50 cm e a parede estrutural (P6), 20 x 300 cm.

O módulo de deformação secante do concreto (Ecs) foi calculado conforme preconiza a

NBR 6118:2014, considerando concreto pertencente à classe C30, resultando 26.838,400 MPa.

O módulo de elasticidade transversal (G) foi igualmente obtido conforme recomendação da

mesma norma no item 8.2.9, Gc = Ecs 2,4⁄ , resultando G = 11.182,667 MPa.

O pilar-parede (P5) presente na Figura 18 tem caráter meramente ilustrativo, uma vez

que também foram analisadas configurações com seção transversal em U enrijecido e seção E

(ver Figura 19). Em todos os casos, a espessura das lâminas é constante e igual a 15 cm.

Optou-se por utilizar pilares-parede com essa geometria por sua frequente aplicação em

situações reais, desconsiderando o caso de seção retangular tendo em vista o estudo

desenvolvido por Batista (2014) acerca dessa configuração de elemento estrutural.

Valendo-se do conceito de modelos matemáticos hierárquicos, foram propostos, à

semelhança do realizado por Batista (2014), quatro modelos estruturais para análise do

comportamento estrutural do pilar-parede com diferentes geometrias.

43

Figura 18: Planta de forma do pavimento-tipo

Fonte: Adaptado de Araújo (2014).

Sendo,

Pn o enésimo pilar da edificação;

r o centro de cisalhamento do pilar-parede;

c o centro geométrico do pilar-parede;

M o centro de massa do pavimento;

FX a resultante da força de vento no pavimento.

Figura 19: Seções transversais com geometria (a) U, (b) U enrijecido e (c) E


44

As análises aqui discutidas foram realizadas com auxílio do código computacional

ADINA v. 9.4, baseado no Método dos Elementos Finitos, para a avaliação comportamental

dos pilares-parede como elementos isolados da edificação. Para a validação das respostas

aproximadas foram usados códigos computacionais que consideram o comportamento

tridimensional da edificação: o programa implementado por Stabile et al. (2017) e o Sistema

CAD/TQS v. 18.

O ADINA – Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis – é um código

comercial desenvolvido por ADINA R&D, Inc. e reconhecido mundialmente por sua

capacidade de processamento e análises pelo MEF. Trata-se de um código bem consolidado,

empregado em análises de diversas áreas, tais como: acadêmica, indústria aeroespacial,

automotiva, biomédica, mecânica, nuclear, etc.

O programa de Stabile et al. (2017) tem por base o processo rigoroso, descrito por

Araújo (2014), para a determinação das frações das forças horizontais atuantes em cada uma

das estruturas de contraventamento (pórticos, paredes estruturais e pórticos) e os deslocamentos

ao nível dos pavimentos. Por considerar todos os elementos estruturais, sua resposta pode ser

interpretada como resultado do comportamento tridimensional da edificação.

Por fim, o sistema CAD/TQS é um código comercial desenvolvido pela TQS

Informática Ltda. e consolidado no mercado por seus mais de 20 anos de existência. Tem como

finalidade o desenvolvimento (análise estrutural, dimensionamento e detalhamento) de projetos

de estruturas de concreto armado ou protendido e alvenaria estrutural.

6.1. MODELOS MATEMÁTICOS

Os modelos matemáticos utilizados especificamente para análise do pilar-parede isolado

com geometria U estão apresentados na Figura 20. Entretanto, destaca-se que as diretrizes

utilizadas na construção desses modelos foram igualmente aplicadas às demais configurações

(seção U enrijecido e seção E) de pilar-parede analisadas nesse estudo.

O primeiro modelo matemático, Modelo 1, apresentado na Figura 20a, é caracterizado

por um elemento linear vertical posicionado no centro geométrico (CG) do pilar-parede,

discretizado por elementos do tipo Beam com 2 nós e regido pela teoria de Euler-Bernoulli, na

qual a deformação por cisalhamento não é levada em consideração. Assim, em sua configuração

deformada, as seções permanecem planas e perpendiculares ao eixo longitudinal da peça.

45

Figura 20: Modelos matemáticos hierárquicos para o pilar-parede com seção transversal U –

(a) viga de Euler; (b) viga de Timoshenko; (c) malha de elementos de viga; (d) casca


O Modelo 2, apresentado na Figura 20b, sugerido pela NBR 6118:2014 como alternativa

a análises mais complexas, também é caracterizado por um elemento linear vertical situado no

centro geométrico do pilar. De forma análoga ao primeiro, é discretizado por elementos do tipo

Beam com 2 nós cada. Porém, esse modelo é baseado na teoria de Timoshenko, na qual as

seções permanecem planas após sua deformação, mas não necessariamente perpendiculares ao

eixo longitudinal do elemento, devido à deformação por cisalhamento2.

O Modelo 3, apresentado na Figura 20c, tem nível de complexidade mais elevado

quando comparado aos anteriores. Neste modelo, são dispostos 5 alinhamentos verticais na

linha média de cada mesa e outros 7 na linha média da alma, representando seções transversais

2 Conforme visto no item 3.3 deste trabalho, o fator de forma para cisalhamento é função da geometria da seção

transversal e sua determinação pode ser complexa a depender da configuração analisada. Por isso, os fatores de

cisalhamento para as seções utilizadas nesse trabalho foram obtidos com auxílio do programa SHAPE-THIN,

especializado na determinação de parâmetros de seções transversais com paredes finas.

46

com dimensões de 15 x 37 cm e de 15 x 42,86 cm, respectivamente. Essa divisão foi adotada

com base na recomendação da norma NBR 6118: 2014, item 15.9.3, quanto à largura das faixas

verticais (ver Figura 6). Cada um desses alinhamentos é discretizado por elementos do tipo

Beam com 2 nós, conectados entre si por elementos de viga dispostos horizontalmente, com

seção transversal 20 x 60 cm, simulando a presença da laje como diafragma rígido.

Por fim, o Modelo 4, apresentado na Figura 20d, se caracteriza pela utilização de

elementos de casca com 16 nós. Como no modelo anterior, foram adicionados elementos de

viga, com seção transversal 20 x 60 cm, dispostos na horizontal ao nível dos pavimentos

simulando o diafragma rígido. Após análises de modelos matemáticos com diferentes graus de

discretização e verificação da convergência dos resultados, constatou-se que a utilização de

malha com 21 x 8 elementos na superfície da alma, e malhas com 21 x 5 elementos nas

superfícies das mesas, para a configuração de 7 pavimentos, é satisfatória. Já para a

configuração de 14 pavimentos, foi utilizada malha de 42 x 8 e 42 x 5 elementos para as

superfícies da alma e das mesas, respectivamente.

Por ser, ao menos em tese, o mais complexo e, portanto, que mais se aproxima da

realidade, o modelo discretizado por elementos do tipo Shell foi adotado como referência para

efeito de comparação dos resultados.

É importante destacar que nos modelos tridimensionais (Modelo 3 e Modelo 4) os

carregamentos foram aplicados no centro de cisalhamento da seção, pelo fato de que as frações

de carga, obtidas mediante utilização de programa de Stabile et al. (2017) específico para esta

finalidade, estão atreladas a esse ponto. Assim, utilizou-se do artifício de conectar o centro de

cisalhamento à alma da seção por meio de Rigid links, conforme apresentado na Figura 21. Nos

Modelos 1 e 2, a utilização desse recurso não foi necessária.

Os Rigid links são elementos de ligação rígida entre nós que estabelecem uma relação

de comando de um, o nó mestre, sobre o outro, o nó escravo. Essa relação de dependência é

consolidada por meio de equações especiais de restrição. Assim, quando o nó classificado como

mestre sofrer deslocamento, seja por translação ou rotação, o nó escravo será submetido às

mesmas condições, de modo que a distância entre ambos permaneça constante.

47

Figura 21: Rigid link – ampliação da Figura 20c


6.2. AÇÕES HORIZONTAIS

As forças de vento foram calculadas conforme preconiza a NBR 6123:1988 – Forças

devidas ao vento em edificações. Para a análise desenvolvida, foram utilizados somente os

dados de força a 90º, uma vez que essa se constitui a direção de maior inércia do elemento

estrutural ora em análise, o pilar-parede. Devido à variação do fator S2, o vento foi considerado

como uma ação variável ao longo da altura da edificação, porém, linearmente variável ao longo

de um mesmo pavimento. Os parâmetros empregados na determinação das intensidades da

referida ação estão apresentados a seguir:

⎯ Terreno plano: fator topográfico (S1) igual a 1,0;

⎯ Edificação residencial: fator estatístico (S3) igual a 1,0;

⎯ Localização: Natal. Velocidade básica do vento (V0) igual a 30 m/s;

⎯ Rugosidade do terreno: zona urbanizada. Categoria IV;

O edifício, tanto em sua configuração com 7 quanto com 14 pavimentos, pertence à

classe B, uma vez que a maior dimensão de sua superfície frontal, que para estes casos é a altura

e está compreendida entre 20,00 e 50,00 metros.

Os coeficientes de arrasto (Ca) para edificações paralelepipédicas em vento de baixa

turbulência foram extraídos da NBR 6123:1988 e estão apresentados na Tabela 1 em função

48

das características geométricas das edificações analisadas. Os módulos das forças horizontais

em cada nível de laje são apresentados na Tabela 2.

Tabela 1: Coeficientes de arrasto em vento de baixa turbulência

Edificação 𝐋𝟏

𝐋𝟐⁄ 𝐇

𝐋𝟏⁄ Ca

7 pavimentos 1,4 1,4 1,27

14 pavimentos 1,4 2,8 1,38


Tabela 2: Forças horizontais resultantes nas lajes dos pavimentos [kN]

Pav. Altura (m) Quant. de pavimentos

7 14

1 3,00 14,5 15,6

2 6,00 19,4 21,1

3 9,00 21,5 23,4

4 12,00 23,1 25,2

5 15,00 24,6 26,7

6 18,00 25,8 27,9

7 21,00 13,2 29,1

8 24,00 - 30,0

9 27,00 - 30,9

10 30,00 - 31,8

11 33,00 - 32,4

12 36,00 - 33,3

13 39,00 - 33,9

14 42,00 - 17,2


A força resultante nas lajes dos pavimentos foi determinada com base na altura de

influência de cada pavimento. Isso explica o fato de o módulo da força aplicada às lajes de

cobertura ser sempre inferior à verificada no pavimento subjacente, já que sua altura de

influência é metade do pé esquerdo, logo, 1,50 m.

49

Para melhor apresentação dos resultados, os tópicos subsequentes estão divididos em

função da geometria do pilar-parede em análise.

6.3. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO U

• Determinação das ações laterais no pilar-parede com seção transversal U

A distribuição das ações laterais, determinadas por meio do código computacional

desenvolvido por Stabile et al. (2017) com a aplicação das ações de vento FX, indicadas na

Tabela 2, na fachada do edifício, resultou na seguinte configuração de carregamento para o

pilar-parede:

Tabela 3: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em U

Pav. Altura (m) 7 pavimentos 14 pavimentos

Força Torsor Força Torsor

1 3,00 9.702,8 1.046,4 17.683,5 2.524,4

2 6,00 12.993,0 1.013,9 22.256,5 2.235,3

3 9,00 14.085,3 816,4 22.603,7 1.578,2

4 12,00 14.506,5 696,3 21.828,1 1.083,9

5 15,00 14.558,8 652,7 20.461,6 763,5

6 18,00 13.649,9 578,4 19.591,3 613,7

7 21,00 343,0 -661,4 18.219,5 475,3

8 24,00 - - 17.190,4 434,2

9 27,00 - - 15.834,8 391,4

10 30,00 - - 14.973,0 434,7

11 33,00 - - 13.074,8 409,1

12 36,00 - - 10.372,7 349,9

13 39,00 - - 5.637,2 129,7

14 42,00 - - -12.478,2 -910,6


Observa-se que para o edifício com 7 pavimentos, as forças horizontais são todas

positivas, agindo no mesmo sentido, enquanto que para o edifício com 14 pavimentos, somente

a força no último pavimento apresenta mudança de sinal, indicando que os pórticos passaram a

atuar na restrição ao deslocamento lateral.

50

• Parâmetros geométricos do pavimento-tipo

Os parâmetros geométricos do pavimento-tipo para o caso de pilar-parede com

geometria U estão apresentados na Figura 22.

Figura 22: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção U

Fonte: Adaptado de Araújo (2014).

• Validação dos resultados do pilar-parede com seção transversal U

O resultado analítico baseado na teoria de Euler-Bernoulli foi obtido em Timoshenko e

Gere (1984). O deslocamento no topo do elemento estrutural é dado pela seguinte expressão:

δ =P x2

6 EI(3L − x) (5)

Sendo,

P a força concentrada aplicada no pilar-parede;

51

L a altura total do pilar-parede;

EI o módulo de rigidez à flexão; E = 26.838,400 MPa; I = 1,4655 m4;

X a distância entre o ponto de aplicação da força concentrada e a base do pilar-parede.

Convém destacar que todas as menções a deslocamento se referem aos deslocamentos

horizontais no topo do pilar-parede na direção das forças solicitantes, FX.

As forças consideradas para cálculo do deslocamento no topo do pilar-parede são as da

Tabela 3. Utilizando-se do Princípio da Superposição dos Efeitos, o resultado analítico para o

deslocamento horizontal provocado pelas forças horizontais atuantes (FX) nos níveis das lajes

para o edifício com 7 pavimentos foi 0,238 cm; para o edifício de 14 pavimentos o deslocamento

calculado foi 3,223 cm.

A distribuição dos alinhamentos verticais na seção transversal do pilar-parede pode ser

observada na Figura 23.

Figura 23: Decomposição da seção transversal em

alinhamentos verticais no pilar-parede em formato U


A Figura 24 apresenta o Modelo 3 para o pilar-parede com geometria U e configuração

de 7 e 14 pavimentos, tanto na situação inicial indeformada quanto na situação deformada de

pós-processamento.

52

Figura 24: Modelo 3 com seção U – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7

pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos


As condições de contorno aplicadas na base do edifício indicam impedimentos aos

deslocamentos lineares e rotacionais nas três direções; e restrições ao deslocamento vertical e

às rotações geradas por torção ao nível dos pavimentos.

A Figura 25 apresenta o Modelo 4 para o pilar-parede com geometria U e configuração

de 7 e 14 pavimentos.

A Figura 26 exibe o modelo tridimensional do edifício de 7 pavimentos com pilar-

parede de seção transversal U analisado por meio do sistema TQS.

53

Figura 25: Modelo 4 com seção U – (a) configuração inicial e (b) deformada de 7

pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos


Para fins de comparação, os deslocamentos obtidos pelo processamento dos modelos

são apresentados sob a forma de tabelas, com a indicação do erro conforme a Eq. (6).

Convém destacar que o erro aqui tratado diz respeito à diferença entre os valores de

deslocamentos avaliados para os modelos matemáticos 1 e 2, e a resposta analítica.

Erro =Deslocamentomod. i−Deslocamentoreferência

Deslocamentoreferência× 100 (6)

Os resultados dos modelos unidimensionais (Modelo 1 e Modelo 2) são validados pela

solução analítica (conforme mostra a Tabela 4) e, assim como os resultados do Modelo 3, são

também comparados ao obtido pelo modelo abrangente (Modelo 4).

54

Figura 26: Modelo tridimensional da estrutura no TQS – edifício com 7 pavimentos

e pilar-parede com seção transversal U


Analisando a Tabela 4, verifica-se que os resultados do Modelo 1, obtidos por

processamento via MEF, como esperado, coincidem com as respostas analíticas desenvolvidas

com base na teoria de Euler-Bernoulli. Pelo mesmo motivo, os erros indicados para os

resultados do Modelo 2, considerando as deformações por cisalhamento, são justificados.

Atesta-se, portanto, a validade dos modelos unidimensionais.

Tabela 4: Validação dos modelos unidimensionais – pilar-parede com seção

transversal U

Modelo Mod. Mat. 7 pav. 14 pav.

Desloc. (cm) Erro Desloc. (cm) Erro

Analítico 0,238 3,223

MEF 1 0,238 0,00% 3,223 0,00%

2 0,258 8,24% 3,301 2,41%


55

As tabelas 5 e 6 indicam os deslocamentos horizontais no topo do edifício obtidos para

cada um dos modelos via MEF para 7 e 14 pavimentos, respectivamente. Os erros calculados

segundo a Eq. (6), em relação aos modelos 1, 2 e 3, foram determinados tendo por base a

resposta do Modelo 4 (abrangente). Os valores destacados em verde representam, por sua vez,

o erro da resposta aproximada do Modelo 4 com a obtida pelo código de Stabile et al. (2017).

Tabela 5: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U –

edifício com 7 pavimentos

Modelo Deslocamento (cm) Erro

1 0,238 -10,19%

2 0,258 -2,64%

3 0,312 17,74%

4 0,265 -19,70%

Cód. Stabile et al. (2017) 0,330


Tabela 6: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U –

edifício com 14 pavimentos


1 3,223 -3,36%

2 3,301 -1,02%

3 1,246 -62,64%

4 3,335 -10,40%



Sabe-se que para o edifício com menor relação altura/comprimento, a deformação por

efeito de cisalhamento é mais significativa que na situação do edifício mais esbelto (maior

relação altura/comprimento), no qual predomina a flexão. Isto pode ser verificado para o

Modelo 1, sem a consideração de cisalhamento, que a resposta mais satisfatória corresponde ao

do edifício com 14 pavimentos (erro de 3,36%). Para avaliar a resposta com influência do

cisalhamento, basta comparar as diferenças entre a resposta do Modelo 1 e a do Modelo 2

mostradas nas Tabelas 5 e 6. Verifica-se que há uma redução maior na diferença da estrutura

com 7 pavimentos (passando de 10,19% para 2,64%), o que indica que a resposta mais

satisfatória é a que considera o efeito de cisalhamento. Comportamento semelhante pôde ser

56

observado quando se tem 14 pavimentos (decaimento de 3,36% para 1,02%, porém, menos

significativo).

Destaca-se que o Modelo 3 fornece resultados insatisfatórios, evidenciados por sua

configuração deformada, ver Figura 24, e pela discrepância nos valores de deslocamentos em

comparação ao modelo abrangente. Portanto, conclui-se que ainda necessita de melhorias.

Os erros calculados pela comparação entre os resultados dos modelos de casca e os

obtidos pela aplicação do código de Stabile et al. (2017) indicam uma resposta mais próxima

desse último. Esse comportamento se justifica pela contribuição dos pórticos e da parede

estrutural na rigidez do sistema que está sendo considerado no Modelo 4.

Finalmente, a título de avaliação da ordem de grandeza dos deslocamentos no topo do

edifício, apresenta-se o deslocamento resultante no topo do pilar-parede fornecido pela

modelagem no TQS, Figura 26, que foi de 0,262 cm para o edifício de 7 pavimentos e 2,362

cm para a configuração de 14 pavimentos.

Neste caso, a comparação entre os resultados do Modelo 4, da estrutura com 7 e 14

pavimentos e o TQS, mostra que o mais satisfatório foi o comportamento do edifício com 7

pavimentos que produziu um erro de 1,15% em detrimento daquele obtido para 14 pavimentos

(41,19% de diferença).

6.4. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO U ENRIJECIDO

• Determinação das ações laterais no pilar-parede com seção transversal U enrijecido

A distribuição das ações laterais nos elementos de contraventamento resultou na

configuração de carregamento para o pilar-parede apresentada na Tabela 7.

Semelhantemente ao observado para o pilar-parede U, a força atuante no 14o pavimento

do edifício teve seu sentido alterado, indicando o trabalho dos pórticos e parede estrutural na

restrição ao deslocamento lateral da estrutura.

57

Tabela 7: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em U enrijecido



1 3,00 9.177,2 2.050,5 16.052,0 5.022,2

2 6,00 12.556,6 1.932,3 20.894,1 4.334,3

3 9,00 13.807,5 1.532,9 21.718,8 3.021,9

4 12,00 14.350,8 1.291,1 21.355,2 2.040,3

5 15,00 14.489,4 1.202,7 20.296,9 1.401,2

6 18,00 13.709,6 1.067,5 19.612,4 1.092,1

7 21,00 1.373,7 -1.380,3 18.401,5 816,9

8 24,00 - - 17.449,2 730,3

9 27,00 - - 16.158,2 647,4

10 30,00 - - 15.291,7 730,4

11 33,00 - - 13.435,9 689,6

12 36,00 - - 10.810,7 590,0

13 39,00 - - 6.284,9 189,7

14 42,00 - - -11.157,7 -1.801,7




geometria U enrijecido estão apresentados na Figura 27.

Figura 27: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-

parede de seção U enrijecido


58

• Validação dos resultados do pilar-parede com seção transversal U enrijecido

Novamente, o resultado analítico baseado na teoria de Euler-Bernoulli foi obtido em

Timoshenko e Gere (1984), valendo-se do Princípio da Superposição dos Efeitos, a partir da

Eq. 5. Para este caso, tem-se: E = 26.838,400 MPa; I = 1,6116 m4.


Tabela 7. Novamente, utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos, o deslocamento

horizontal analítico produzido pelas forças horizontais atuantes nos níveis das lajes para o

edifício com 7 pavimentos foi 0,223 cm; para o edifício de 14 pavimentos o deslocamento

calculado foi 3,091 cm.

A distribuição dos alinhamentos verticais na seção transversal do pilar-parede pode ser

observada na Figura 28.

Figura 28: Decomposição da seção transversal em alinhamentos

verticais no pilar-parede em formato U enrijecido


O Modelo 3, de vigas verticais, para o pilar-parede com seção U enrijecido, nas

configurações de 7 e 14 pavimentos, pode ser observado na Figura 29.

59

Figura 29: Modelo 3 com seção U enrijecido – (a) configuração inicial e (b) deformada

de 7 pavimentos; (c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos


As condições de contorno impostas na base e ao nível dos pavimentos são iguais às

descritas para o pilar-parede U.

A Figura 30 apresenta o Modelo 4 (modelo de casca) para o pilar-parede com seção

transversal U enrijecido.

A Figura 31 mostra o modelo do edifício tridimensional analisado por meio do sistema

TQS e cujas respostas fornecem a ordem de grandeza dos deslocamentos horizontais no topo

dos edifícios em estudo.

Os resultados das análises são apresentados sob a forma de tabelas com indicação do

erro calculado a partir da Eq. (6).

A Tabela 8 apresenta o comparativo entre os deslocamentos obtidos mediante

processamento dos modelos unidimensionais em elementos finitos e as respostas analíticas pelo

modelo teórico de Euler-Bernoulli.

60

Figura 30: Modelo 4 com seção U enrijecido – (a) configuração inicial e (b) deformada



Figura 31: Modelo tridimensional da estrutura no TQS – edifício com 14

pavimentos e pilar-parede com seção transversal U enrijecido


61


transversal U enrijecido




MEF 1 0,223 0,00% 3,091 0,00%

2 0,249 11,76% 3,197 3,41%


Avaliando os resultados apresentados na Tabela 8, nota-se que os valores de

deslocamentos do Modelo 1 coincidem com as respostas analíticas conforme era esperado, uma

vez que compartilham as mesmas hipóteses. Quanto ao Modelo 2, comparando-se os valores

de erro verificados para essa configuração com os obtidos para a seção U (8,24% e 2,41% para

7 e 14 pavimentos, respectivamente), percebe-se que a deformação por cisalhamento no caso

de seção U enrijecido é ainda mais significativa.

As tabelas 9 e 10 contêm os resultados de deslocamentos no topo do pilar-parede com

seção U enrijecido para as configurações de 7 e 14 pavimentos, respectivamente. Para os

modelos 1, 2 e 3, o erro foi calculado com base nos resultados fornecidos pelo Modelo 4. Para

esse último, o erro foi calculado com base na resposta fornecida pelo código de Stabile et al.

(2017).

Tabela 9: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U

enrijecido – edifício com 7 pavimentos


1 0,223 -11,51%

2 0,249 -1,19%

3 0,282 11,90%

4 0,252 -23,87%



62

Tabela 10: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal U

enrijecido – edifício com 14 pavimentos


1 3,091 -4,10%

2 3,197 -0,81%

3 1,130 -64,94%

4 3,223 -12,75%



Percebe-se, com base nas tabelas 9 e 10, que os resultados do Modelo 1 mostram melhor

aproximação para o edifício com 14 pavimentos (4,10%), indicando que a influência da flexão

é mais significativa do que para o edifício com 7 pavimentos (11,51%). O Modelo 2,

considerando a teoria de Timoshenko, apresenta valores próximos aos de referência com baixo

erro relativo, o que pode ser considerado satisfatório, principalmente, porque a diferença mais

relevante ocorreu entre o Modelo1 e o Modelo 2 para a estrutura com 7 pavimentos (passando

de 11,51% a 1,19%, respectivamente), ou seja, o comportamento governado pelo cisalhamento

é mais expressivo para esta situação. Essa característica se verifica, de forma semelhante, para

o caso de pilar-parede com seção U.

O Modelo 3 para essa configuração de pilar-parede também fornece resultados

insatisfatórios, sendo observadas as mesmas características descritas no modelo matemático

análogo para o caso de pilar-parede com seção transversal U. Sendo assim, conclui-se que essa

modelagem demanda aprimoramentos.

Nota-se, no erro relativo indicado para o Modelo 4, e calculado em comparação ao

resultado de Stabile et al. (2017), comportamento semelhante ao observado para o caso de pilar-

parede com seção em formato U. A diferença relativa se mantém na ordem de 24% para a

configuração de 7 pavimentos e 13% para a de 14 pavimentos. A melhor aproximação neste

último caso, ocorre porque tanto o código de Stabile et al. (2017), quanto o Modelo 4

consideram as rigidezes dos pórticos e paredes estruturais em suas as respostas.

Por fim, apresenta-se o deslocamento resultante no topo do pilar-parede fornecido pela

modelagem no TQS, Figura 31, que foi de 0,117 cm para o edifício de 7 pavimentos e 0,923

cm para a configuração de 14 pavimentos.

63

A comparação entre os resultados do Modelo 4 (da estrutura com 7 e 14 pavimentos) e

o TQS, demonstra que os efeitos tridimensionais tornam-se mais significativos na resposta do

TQS e que o Modelo 4 considerando o pilar-parede isolado, mesmo com as forças atuantes

indicando uma possível restrição ao deslocamento no topo do edifício gerada pelos elementos

de contraventamento, não consegue reproduzir.

6.5. PILAR-PAREDE COM SEÇÃO E



geometria E enrijecido estão apresentados na Figura 32.

Figura 32: Planta de forma do pavimento-tipo com pilar-parede de seção E


64

• Determinação das ações laterais no pilar-parede com seção transversal E

A distribuição das ações laterais nos elementos de contraventamento resultou, para o

pilar-parede com seção transversal E, na configuração apresentada na Tabela 11.

Tabela 11: Forças [N] e momentos [N.m] no pilar-parede em E



1 3,00 9.693,0 959,7 17.655,3 2.270,3

2 6,00 12.988,5 965,6 22.241,8 2.083,2

3 9,00 14.084,3 796,7 22.598,4 1.505,3

4 12,00 14.507,3 691,9 21.828,2 1.062,4

5 15,00 14.559,8 652,4 20.464,5 773,5

6 18,00 13.649,8 575,3 19.595,5 641,1

7 21,00 350,6 -567,6 18.224,2 513,4

8 24,00 - - 17.195,2 476,0

9 27,00 - - 15.839,5 433,4

10 30,00 - - 14.976,9 471,8

11 33,00 - - 13.077,8 439,7

12 36,00 - - 10.374,3 371,3

13 39,00 - - 5.636,9 143,6

14 42,00 - - -12.473,3 -828,0


Observação semelhante às que foram efetuadas em relação às forças atuantes nos

pilares-parede U e U enrijecido pode ser feita para o pilar-parede em formato E.

• Validação dos resultados do pilar-parede com seção transversal E

Como mencionado anteriormente, o resultado analítico baseado na teoria de Euler-

Bernoulli foi obtido em Timoshenko e Gere (1984), valendo-se do Princípio da Superposição

dos Efeitos, a partir da Eq. 5. Para este caso, tem-se: E = 26.838,400 MPa; I = 1,4661 m4.


Tabela 11. O deslocamento horizontal analítico produzido pelas forças horizontais atuantes nos

níveis das lajes para o edifício com 7 pavimentos foi 0,238 cm; para o edifício de 14 pavimentos

o deslocamento calculado foi 3,223 cm.

65

A decomposição da seção transversal do pilar-parede em regiões de influência dos

alinhamentos verticais pode ser observada na Figura 33.

Figura 33: Decomposição da seção transversal em

alinhamentos verticais no pilar-parede em formato E


O Modelo 3 para o pilar-parede com seção transversal E, nas configurações de 7 e 14

pavimentos, pode ser observado na Figura 34.

Em consequência de as condições de contorno impostas ao modelo matemático estarem

pouco legíveis, essas informações podem ser verificadas no detalhe apresentado na Figura 35,

que ilustra a região de apoio do pilar-parede e o nível do primeiro pavimento. Destaca-se que

as restrições de deslocamentos impostas são as mesmas descritas para o pilar-parede U e U

enrijecido.

A Figura 36 apresenta o Modelo 4 para o pilar-parede com seção transversal E nas

configurações de 7 e 14 pavimentos.

Os deslocamentos obtidos pelo processamento dos modelos são apresentados sob a

forma de tabelas, e o erro foi calculado com base na Eq. (6).

66

A Tabela 12 contém os deslocamentos horizontais dos modelos unidimensionais e exibe

o resultado comparativo desses valores com as respostas analíticas, calculadas a partir da Eq. (5)

considerando o modelo teórico de Euler-Bernoulli.

Figura 34: Modelo 3 com seção E – (a) configuração inicial e (b) deformada



Figura 35: Detalhe das condições de contorno – ampliação da Figura 34a


67


(c) configuração inicial e (d) deformada de 14 pavimentos



transversal E




MEF 1 0,238 0,00% 3,223 0,00%

2 0,262 9,97% 3,317 2,92%


Como observado nos casos anteriores, os resultados obtidos pela análise do Modelo 1

coincidem com as respostas analíticas, conforme era de se esperar. A redução do erro indicado

para a resposta do Modelo 2 na configuração de 14 pavimentos em relação à de 7 se justifica

68

pela atenuação dos efeitos de cisalhamento em comparação aos de flexão no comportamento

estrutural do pilar-parede.

As tabelas 13 e 14 exibem os valores dos deslocamentos horizontais no topo do pilar-

parede obtidos por cada modelo matemático, e o comparativo desses resultados com a resposta

do Modelo 4 (abrangente). O erro indicado para o Modelo 4 foi calculado adotando-se como

valor de referência a resposta fornecida pelo código de Stabile et al. (2017).

Tabela 13: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal E

para – edifício com 7 pavimentos


1 0,238 -10,19%

2 0,262 -1,13%

3 0,297 12,08%

4 0,265 -19,70%



Tabela 14: Deslocamentos no topo do pilar-parede com seção transversal E

para – edifício com 14 pavimentos


1 3,223 -3,27%

2 3,317 -0,45%

3 1,176 -64,71%

4 3,332 -10,45%



Nota-se que os valores dos deslocamentos horizontais dos modelos 1 e 4, e os fornecidos

pelo código de Stabile et al. (2017) se assemelham aos apresentados para o caso de pilar-parede

com seção transversal U. Isso se justifica pelos valores dos momentos de inércia da seção U e

da seção E na direção do eixo paralelo às mesas serem próximos (1,4655 m4 e 1,4661 m4,

respectivamente). Assim, a diferença entre os valores de deslocamento, principalmente na

configuração de 7 pavimentos, se torna imperceptível em virtude do truncamento da resposta

em 3 casas decimais.

69

Em razão da semelhança de comportamento dos resultados ora apresentados com os

verificados anteriormente para os casos de pilar-parede com seção transversal em formato U e

U enrijecido, os comentários são semelhantes aos apresentados, não havendo, portanto,

necessidade de destaques adicionais. Contudo, em relação ao sistema TQS, observou-se para o

pilar-parede U enrijecido que as respostas estavam distantes das obtidas pelo código de Stabile

et al. (2017); portanto, para o pilar-parede em formato E, tais resultados não serão apresentados.

70

CAPÍTULO 7 – CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os deslocamentos obtidos a partir dos modelos unidimensionais, para todas as

configurações geométricas de seções transversais estudadas, apresentaram concordância

satisfatória com os oriundos do processamento do modelo de casca e, como já discutido

anteriormente, com as respostas analíticas.

Em todas as análises foi constatado que o Modelo 2, considerando a teoria de

Timoshenko, fornece resultados com pequeno erro relativo em comparação aos do modelo

abrangente, comportamento esse que já era previsto e reforça as imposições da NBR 6118:2014

e Eurocode 2 (2004) quanto à sua consideração.

Os resultados apresentados neste trabalho indicam que as deformações por efeito de

cisalhamento são tão significativas quanto mais curto/robusto for o elemento estrutural. Assim,

conclui-se que o comportamento do pilar parede, elemento estrutural que se destaca por seu

elevado módulo de rigidez à flexão e por ser submetido a forças cortantes de elevada

intensidade, na condição de ser robusto será representado adequadamente pelo modelo teórico

de Timoshenko.

Observa-se que o Modelo 3 apresentou resultados mais flexíveis em relação ao modelo

abrangente para todas as geometrias de seção transversal do pilar-parede com 7 pavimentos.

No entanto, nas configurações com 14 pavimentos, verificaram-se resultados demasiadamente

rígidos quando comparados aos do modelo abrangente. Portanto, conclui-se que o Modelo 3,

principal proposta de estudo deste trabalho, ainda requer ajustes a fim de melhorar sua

capacidade em representar adequadamente o comportamento do pilar-parede.

Por fim, é possível observar a influência da rigidez dos pórticos no comportamento do

pilar-parede conforme descrevem Wight e MacGregor (2009). Nas configurações de 14

pavimentos, há mudança no sentido de atuação da força horizontal solicitante no pilar-parede

ao nível do último pavimento (ver Tabela 3), indicando que os pórticos situados próximos ao

topo da edificação possuem rigidez suficiente para se constituírem um impedimento ao

deslocamento do pilar-parede. Assim, caracteriza-se, para representação do pilar-parede, o

modelo matemático de elemento viga engastada em uma extremidade e apoiada na outra.

Todavia, esse fenômeno não se verifica para os casos de 7 pavimentos, de modo que o modelo

matemático para esses casos é o de viga perfeitamente engastada e em balanço.

71

• Sugestões para trabalhos futuros

Como sugestão para trabalhos futuros, sugere-se:

⎯ Aperfeiçoar a modelagem a partir de uma malha de elementos unidimensionais;

⎯ Avaliar o comportamento do pilar-parede em edificações com diferentes alturas;

⎯ Avaliar a distribuição de esforços nos diversos elementos unidimensionais que

discretizam as lâminas do pilar-parede.

72

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