operadores diferenciais

7/21/2019 Operadores Diferenciais

http://slidepdf.com/reader/full/operadores-diferenciais-56da81493b191 1/26

Equações Diferenciais

Aula 11

Prof. Onézimo Cardoso



Operadores Diferenciais

• Em Cálculo, usamos frequentemente a letramaiúscula para denotar derivação, isto é:

• O símolo é c!amado de Operador Diferencial;

• Ele transforma uma função diferenciável em outrafunção:

•



• O operador diferencial tamém possui

propriedade de #inearidade:

• Em que e são constantes$

• Di%emos portanto que é um Operador

Diferencial Linear;

•



Derivadas de Ordem Superior• Derivadas de ordem superior podem ser

e&pressas em termos de de uma maneiranatural:

• 'ara o caso (eral, temos:

•

Em que representa uma função su)cientementediferenciável$

•



Observação

• E&pressões polinomiais envolvendo , tais

como:

• *ão tamém operadores diferenciais

lineares$

•



!uaç"es Diferenciais• +ualquer equação diferencial linear pode ser

e&pressa em termos de

• é c!amado de Operador Diferencial Linear de

Se#unda Ordem com Coe$cien%es

Cons%an%es;

•



&emplo• equação diferencial pode ser escrita como:

• -m Operador Diferencial Linear de '(ésima

ordem

• Com coe)cientes constantes, pode ser fatorado

quando o polin.mio característico tamém se

fatora$

•



&emplo• pode ser fatorado como ou $

•

'ara uma função duas ve%es diferenciável, tem/seentão:

• 'ara constatar a a)rmação, tome , então:

•



• De modo análo(o, se colocarmos , então•



Observação

• O fato descrito anteriormente condu% a

uma importante propriedade (eral:

Fatores de um operador diferencial linearcom coecientes constantes comutam;



&emplo

• O operador pode ser escrito como:•



&emplo

• equação diferencial pode ser escrita como•

d l d



Operador Anulador• *e é um operador diferencial com coe)cientes

constantes e é uma função su)cientementediferenciável, tal que

• Então di%emos que é um anulador da função$

• 'or e&emplo, se é uma função constante, então $

•

inda e assim por diante$

•



• 0emos portanto que o operador diferencial anula

cada uma das funções:

• Como consequ1ncia do fato anterior 2untamente

com a propriedade de que a derivação pode serfeita termo a termo, temos que, dado um

polin.mio

• Ele é anulado por um operador que anula a maior

pot1ncia de $

•

l



&emplo

• Encontre um operador diferencial que anula $

• *aemos que , e daí se(ue que

•



Observação

• s funções que são anuladas por um

operador diferencial linear de -ésima

ordem são simplesmente aquelas que

podem ser otidas a partir da solução

(eral para a equação diferencial

!omo(1nea $

•

l



&emplo

• O operador diferencial anula cada uma das

funções

•

'ara ver isso, note que a equação au&iliar daequação !omo(1nea é $

• Como é uma rai% de multiplicidade , a solução

(eral é

•

l



&emplo

• Encontre um operador anulador para e para

• 3ote que:

• E

•

ã



Observação• +uando e são números reais, a f4rmula quadrática

possui raí%es comple&as , , amas de multiplicidade $

• 'ortanto o operador diferencial anula cada uma das

funções:

•

l



&emplo• Da discussão anterior, temos:

• E

• -ma ve% que e são duas funções linearmente

independentes na solução (eral , o operador

tamém anula qualquer cominação linear dessas

funções$

•

l



&emplo• 0emos que ou anula $

• E portanto, tamém anula qualquer cominação

linear dessas funções$

•



l



&emplo

• Encontre um operador diferencial que anula ;

• 3ote que

•

0emos portanto que o produto anula a cominaçãolinear dada$

•

l



&emplo

• Encontre um operador diferencial que anula $

• 3ote que:

•

#o(o, o produto dos dois operadores anula acominação linear dada$

•

Observaç o



Observaç o• O operador diferencial que anula uma função não é

único$

• 'or e&emplo, saemos que anula

• 5as operadores de ordem superior tamém anulam ,

a e&emplo de e $• Em (eral, procuramos o operador diferencial de

menor ordem possível$

•



&erc)cios *.+

• Duas questão entre 6 e 7$

• Duas questões entre 8 e 67$

• Duas questões entre 68 e 9$

• Duas questões entre 96 e ;9$

operadores diferenciais

Documents