UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

UNIDAD DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

ÁREA: CIENCIAS E INGENIERÍA

MATEMATICA

TEMA: Lógica matemática

AUTORES:

- RAMIRO MAXIMILIANO AGUAGUIÑA BERMEO- LUIS FERNANDO LOPEZ CORDOBA- SERGIO STEPHEN ALVARADO TAPIA

PARALELO: IV “1”

DOCENTE: ING. PAULINA ROBALINO

RIOBAMBA – ECUADORABRIL- AGOSTO 2016

ContenidoINTRODUCCION..................................................................................................................3

JUSTIFICACION...................................................................................................................4

OBJETIVOS...........................................................................................................................5

PROPOSICIONES..................................................................................................................7

Elementos de la lógica simbólica........................................................................................7

2. PROPOSICIONES LOGICAS........................................................................................7

3. CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES............................................................8

4. OPERADORES LOGICOS.............................................................................................8

5. Ejercicios Resueltos.......................................................................................................16

INTRODUCCION

Tradicionalmente se ha dicho que la lógica se ocupa del estudio del razonamiento. Esto hoy

en día puede  considerarse  desbordado por  la  enorme extensión y diversidad que  ha 

alcanzado esta  disciplina,  pero puede servirnos como primera  aproximación a su

contenido. Un matemático competente distingue  sin  dificultad  una  demostración

correcta  de  una  incorrecta, o mejor  dicho,  una  demostración de  otra  cosa  que aparenta

serlo pero que no lo es. Sin embargo,  no le preguntéis qué es lo que en- tiende  por

demostración, pues —a menos que además sepa lógica— no os sabrá responder,  ni falta 

que le hace.  El matemático se las arregla  para  reconocer  la validez de un argumento o sus

defectos posibles de una forma improvisada pero, al menos en principio,  de total 

fiabilidad.  No necesita  para  su tarea  contar  con un concepto  preciso de demostración. 

Eso es en cambio lo que ocupa al lógico: El matemático demuestra, el lógico estudia  lo que

hace el matemático cuando demuestra. Aquí  se vuelve  obligada  la pregunta de hasta  qué 

punto  tiene  esto  interés y hasta  qué punto  es una  pérdida de tiempo.   Hemos dicho que

el matemático se las arregla  solo sin necesidad  de que nadie le vigile los pasos, pero

entonces, ¿qué hace ahí el lógico?  Posiblemente la mejor forma de justificar el estudio de

la lógica sea dar una visión, aunque breve, de las causas históricas que han dado a la lógica

actual tal grado de prosperidad.

.

JUSTIFICACION

La lógica matemática consiste en el estudio a áreas como son la Lógica y la Matemática

que tienen relación con otras áreas como la computación, como con la formulación de

operadores lógicos que contiene sucesiones matemáticas, al igual que también nos ayuda en

la creación de programas de computadora, también aporta en la función de algunas

máquinas como lo es el detector de mentiras que usan algoritmos matemáticos que dan

resultado a una verdad o mentira. Con lo antes expuesto, se evidencia la necesidad de crear

material didáctico o recopilar información del tema como aporte para una mejor

comprensión de dicho tema.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Construir un proceso lógico matemático para distinguir la verdad o la falsedad de las

proposiciones

OBJETIVOS ESPECIFICOS

1. Distinguir una proposición según su valor de verdad.

2. Interpretar expresiones lógicas sencillas.

3. Ser capaz de aplicar las herramientas aprendidas.

PROPOSICIONES

Elementos de la lógica simbólica

1. ENUNCIADO: Se denomina enunciado a toda frase u oración.

Ejemplo:

11 es un número primo

¿Qué día es?

Los enunciados que tienen significados matemáticamente son aquellos que pueden ser

considerados como verdaderos o falsos.

Enunciados Abiertos o simples: son aquellos que tiene un único valor de

verdad. Es el que no tiene otro enunciado como parte componente.

Ejemplo:

“Las rosas son rojas”.

Enunciados Cerrados o compuestos:  un enunciado compuesto contiene otro

enunciado como componente.

Ejemplo:

“Las rosas son rojas y las violetas son azules”.

2. PROPOSICIONES LOGICAS

Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es

verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez.

3. CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES

Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo enunciado.

Ejemplos:

Hoy es viernes.

Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más

proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas

conectivos lógicos.

Ejemplos:

5 es Primo y 2 es par.

4. OPERADORES LOGICOS

4.1 CONJUNCIÓN.

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la

proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ∧ q. Esta proposición será

verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean. Obsérvese

que de la definición dada se sigue directamente que si p y q son, ambas, verdaderas

entonces p ∧ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ∧ q

es falsa. Por lo tanto su tabla de verdad vendrá dada por:

Tabla N°1. Tabla de la verdad conjunción, Si p ∧ q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad. (Aguaguiña. M. Fuente Texto de matemáticas.)

Ejemplo:

Trabajo mucho.

Recibo un Bajo Salario.

(a∧b) Trabajo mucho pero recibo un bajo Salario

4.2 DISYUNCIÓN.

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la

proposición compuesta “p ´o q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición será

verdadera si al menos una de las dos p ´o q lo es.

P Q PᶺQ

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabla N°2. Tabla de verdad Disyunción. Explica si p ∨ q es verdad, entonces una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si p ∨ q es falsa, entonces ambas han de ser falsas. (Alvarado. S. Fuente texto de matemáticas.)

La palabra “o” se usa en el lenguaje ordinario de dos formas distintas. A veces se

utiliza en el sentido de “p ´o q, ´o ambos”, es decir, al menos una de las dos

alternativas ocurre y, a veces es usada en el sentido de “p ´o q, pero no ambos” es

decir, ocurre exactamente una de las dos alternativas.

Por ejemplo, la proposición “El ira a Madrid o a Bilbao” usa “o” con el ´ultimo

sentido. A este tipo de disyunción la llamaremos disyunción exclusiva.

Ejemplo:

o El ira a Madrid

o El ira a Bilbao

o (aVb) El ira a Madrid o a Bilbao.

P Q PVQ

V V V

V F V

F V V

F F F

4.3 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA

Dadas dos proposiciones cualesquiera p ⊻ q, llamaremos disyunción exclusiva de

ambas a la proposición compuesta “p ´o q pero no ambos” y la notaremos p ⊻ q.

Esta proposición será verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas.

Según esta definición una disyunción exclusiva de dos proposiciones p ⊻ q será

verdadera cuando tengan distintos valores de verdad y falsa cuando sus valores de

verdad sean iguales. Su tabla de verdad es, por tanto

Tabla N°3. Tabla de verdad disyunción exclusiva. Explica si p ⊻ q es verdad, únicamente podemos asegurar que una de las dos es verdad y si p ⊻ q es falsa, sólo podemos deducir que ambas tienen el mismo valor de verdad. (Aguaguiña M. Cuaderno de matemáticas.)

4.4 NEGACIÓN

P Q P 

⊻Q

V V F

V F V

F V F

F F V

Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la proposición

“no p” y la notaremos ¬p. Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea

verdadera.

La tabla de verdad de esta nueva proposición, ¬p, es:

P ¬P

V F

F V

Tabla N°4. Tabla de verdad conjunción negativa. Explica el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es siempre opuesto al valor verdadero de la afirmación original. (López F. fuente texto de matemáticas.)

1. Ejemplo.

Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

p1: El Pentium es un microprocesador.

p2: Es falso que el Pentium sea un microprocesador.

p3: El Pentium no es un microprocesador.

2. Ejemplo:

p4: 2 + 2 = 5

p5: Es falso que 2 + 2 = 5

p6: 2 + 2 = 4

3. Solución.

p2 y p3 son, cada una, la negación de p1.

p5 y p6 son, cada una, la negación de p4.

Pues bien, de acuerdo con la tabla de verdad para la negación,

tendremos:

p1 es verdad, luego p2 y p3 son falsas.

p4 es falsa, luego p5 y p6 son verdad.

4.5 CONDICIONAL.

Proposición Condicional Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta

“si p, entonces q”

Se le llama “proposición condicional” y se nota por

p → q

A la proposición “p” se le llama hipótesis, antecedente, premisa o condición

suficiente y a la “q” tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del

condicional. Una proposición condicional es falsa ´únicamente cuando siendo

verdad la hipótesis, la conclusión es falsa (no se debe deducir una conclusión falsa

de una hipótesis verdadera).

De acuerdo con esta definición su tabla de verdad es:

P Q P —›Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Tabla N°5. Tabla de verdad condicional explica si p → q es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que pueden ser ambas verdades, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si el condicional p → q es falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q falsa. (López F. Fuente texto de matemáticas.)

Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional p → q son:

“p soló si q”.

“q si p”.

“p es una condición suficiente para q”.

“q es una condición necesaria para p”.

“q se sigue de p”.

“q a condición de p”.

“q es una consecuencia lógica de p”.

“q cuando p”.

4.6 EL BICONDICIONAL

Ya vimos que (p→q) no es lo mismo que (q→p). Puede ocurrir, sin embargó, que

ambos (p→q) y (q→p) son verdaderas. Por ejemplo, si p: "0 = 1" y q: "1 = 2,"

entonces (p→q) y (q→p) ambas son verdaderas porque p y q ambas son falsas. La

proposición (p ↔ q) se define como la proposición (p→q) (q→p). Por esta razón,

la flecha de doble cabeza ↔ se llama el Bicondicional. Obtenemos la tabla de

verdad para (p ↔ q) construyendo la tabla para (p→q) (q→p), que nos da lo

siguiente.

El Bicondicional (p ↔ q), que leemos "p si y solo si q" o "p es equivalente a q," se

define por la siguiente tabla de verdad.

p q p↔q

V V V

V F F

F V F

F F V

Tabla N°6. Tabla de verdad bicondicional Explica que si P y Q son verdaderas el bicondicional es verdadero y si P Y Q son falsas es verdadero caso contrario todos son falsos. (Alvarado S. Cuaderno de matemáticas.)

4.7 CONJUNCIÓN NEGATIVA.

Es la unión de dos o más preposiciones por el conectivo lógico (ni) se lee ni p ni q

Tabla N°7. Tabla de verdad conjunción negativa Explica que si P y Q son falsas la proposición es verdadera. (Aguaguiña M. Fuente Texto de matemáticas.)

P Q P ↓ Q

V V F

V F F

F V F

F F V

5. EJERCICIOS RESUELTOS.

Resolver los Siguientes ejercicios de los Operadores Lógicos.

Niegue la siguiente proposición:

Operador de la Negación.

Tengo una Camiseta Azul

No tengo una camiseta azul.

Me voy a Comer Parrillada

No me voy a comer parrillada.

CONJUNCIÓN.

a. Hago mis deberes

b. Salgo a jugar al Parque

(c ∧ d) Hago mis deberes y salgo a jugar al parque.

a. Estudio todos los Libros

b. Conocimiento tengo

(a ∧ b) Estudio todos los Libros más conocimiento tengo.

DISYUNCIÓN.

a. Como todos los Alimentos.

b. Como solo Papas Fritas

(a V b) Como todos los Alimentos o las Papas Fritas.

a. Compro unos Zapatos de Básquet.

b. Compro unos Zapatos de Futbol.

(a V b) Compro unos Zapatos de Básquet o los de Futbol.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.

a. Estoy en Cuenca

b. Estoy en Quito

(a ⊻ b) o estoy en Cuenca o estoy en Quito.

a. Mercurio es un Elemento de la Tabla Periódica

b. 80 es su Numero Atómico.

(a ⊻ b) o mercurio es un Elemento de la Tabla Periódica o 80 es su numero

Atómico.

CONJUNCIÓN NEGATIVA.

Tú Puedes Convencerlo.

Nadie puede Convencerlo.

(a b) Ni tu ni nadie puede convencerlo.

Hoy es sábado.

Tengo Vacaciones.

(a b) Ni hoy es sábado ni tengo vacaciones.

Ejercicios de Aplicación.

Aplicar los siguientes ejercicios los respectivos Operadores.

Operador de la Negación.

a) Tengo un Perro

(¬a) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

b) Tengo Clases el Martes

(¬b) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Conjunción.

c) Limpio mi Cuarto.

d) Puedo salir al Parque.

(c ∧ d) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _

a) Estudio Matemáticas.

b) Probabilidad de sacar una mejor nota.

(a ∧ b) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Disyunción.

a) Juego temprano

b) Juego en la tarde.

(a V b) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _

a) Lavo mi Ropa.

b) Lavo los Platos.

(a V b) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _

Disyunción Exclusiva.

a) Está Lloviendo.

b) Hace Frio.

(a ⊻ b) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

a) Las Rosas son Rojas.

b) 2 es un número par.

(a ⊻ b) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _

Conjunción Negativa.

a) Hoy hay Ofertas.

b) Hacen Descuentos.

(a b) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

a) Las Frutas son Importadas.

b) Tiene mejor precio.

(a b) _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Conclusiones.

1. El aprendizaje de las tablas de verdad es fundamental en el tema para poder

distinguir correctamente cada una de las proposiciones establecidas

2. La utilización practica de los conocimientos que hemos adquirido al estudiar

sobre las proposiciones lógicas

3. Lograr un mejor entendimiento de la lógica matemática para poder realizar

ejercicios de proposiciones

Recomendaciones.

1. Los Operadores lógicos deben ser estudiados con mucha paciencia

ya que son operadores que están presente en diversas situaciones

tanto en la educación de los estudiantes en el área de matemáticas

como lo está en el mundo de las computadoras facilitando diversos

problemas matemáticos que se nos presentan.

2. La lógica matemática debe ser enseñada de una mejor manera a los

estudiantes para aprender a distinguir con mayor facilidad si una

proposición es verdadera o falsa

3. Aprenderse muy bien los operadores lógicos para poder interpretar

expresiones lógicas de una mejor manera

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Bibliografía(Mvillg), M. (Jueves de Abril de 2016). Monografias.com. Obtenido de

http://www.monografias.com/trabajos76/operadores-logicos-booleanos/operadores-logicos-booleanos.shtml

Lopez, F. (2016). Cuaderno de Matematicas (Operadores Logicos). Riobamba: Cuaderno de Matematicas.

Suarez, T. (17 de Septiembre de 2009). Blogspot. Obtenido de Blogspot: http://matematicas6c.blogspot.com/2009/09/12-operadores-logicos.html

Vizuete, D. R. (2016). slideshare. Obtenido de slideshare.