métodos matemáticos aplicados a processos químicos e ... cap. v : equações diferenciais...
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1J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos
Capítulo V : Equações DiferenciaisParciais (EDP)
DISCIPLINA
José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. AraújoEngenharia Química – UFRJ
[email protected], [email protected]. 21-2562-7535
2J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
As EDP-2 (Eq. Diferenciais Parciais de Ordem 2) surgem na aplicação de Princípios de Conservação (p.e., Massa, Energia, Quantidade de Movimento) no estudo de Fenômenos de Transporte naturais, como Transferência de Massa, Transferência de Calor, Transferência de Momentum, etc.
A abordagem básica para construção de EDP-2, consiste em:(i) Descrever matematicamente o Princípio de Conservação em
questão, em conexão com a geometria do Domínio Físico (no ℜℜℜℜ 2, ℜℜℜℜ 3, etc) onde o fenômeno ocorre;
(ii) Introduzir expressão fenomenológica para o(s) Fluxo(s) de Transporte pertinentes em termos das variáveis dependentes;
(iii) Operar algebricamente o Princípio de Conservação com a fenomenologia dos Fluxos, resultando EDPs nas variáveis dependentes em termos das variáveis independentes.
3J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
)m.s/gmol("A"deDifusivoFluxo),m/kW(TérmicoFluxo
)m/gmol("A"deãoConcentraç),K(aTemperatur
)m/gmol("A"deãoConcentraç),m/kJ(EnergiadeDensidade
"A"degmolsdeNúmero),kJ(InternaEnergia:Exemplo
deTransportedeFluxo:
deexterioroparaorientadoaUnitárioNormalVetor:n
deFechadaExternaSuperfície:
transportedefenômenoparano)Controlede.Vol(EspacialDomínio:
)V/(deDensidade:
)r,t(defunção,oConservaçãdeincípioPrcomEscalaropriedadePr:)(
)r(posiçãoe)t(tempodofunçãoDependenteVariável:)r,t(
sCartesianaEspaciaissCoordenadatesIndependenVariáveis:
z
y
x
r
TempoteIndependenVariável:t
22
3
33
3
≡
≡
≡
≡
ℜ
=
Ω
Ω
Ω
Ω
Φ
Ψ
ρ
Ω
ΩΦ
ΣΣ
ΓΣ
Γ
ΩΩρ
ΨΨΩ
Ψ
Definições Básicas para EDPs de O(2) – Variáveis e Domínios
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
(.):(.)(.)(.)
(.)(.)
(.):(.)(.)(.)
(.)
:
(.)
(.)
(.)
(.)
2
2
2
2
2
22 EscalarCamposobreLaplaceanoOperador
zyx
VetorialCamposobreaDivergênciOperadorzyx
sCartesianasCoordenadaemGradienteOperador
z
y
x
zyx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇•∇≡∇
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂≡•∇
∂
∂∂
∂∂
∂
≡∇
Definições Básicas para EDPs de O(2) – Operadores Vetoriais
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
Definições Básicas para EDPs de O(2) – Domínio Físico
Γ
Σ
nΦ
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
Princípio de Conservação – Propriedade Escalar sem Geração
( )∫∫∫∫∫ •−=
Σ
Ω
Γ
Ω ΣΦΓρ 23 d.nd.dt
d
Admitindo Γ Constante
( )∫∫∫∫∫ •−=
∂
∂
Σ
Ω
Γ
Ω ΣΦΓρ 23 d.nd.
t
Teorema da Divergência (Gauss) para Γ Simplesmente Conexa
( )∫∫∫∫∫ •=•∇
Σ
Ω
Γ
Ω ΣΦΓΦ 23 d.nd
1a
1c
1b
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
Princípio de Conservação sem Geração – Após Teor. de Gauss
∫∫∫∫∫∫ •∇−=
∂
∂
Γ
Ω
Γ
Ω ΓΦΓρ 33 dd.
t
Equivalentemente, temos :
0dt
3 =
•∇+
∂
∂∫∫∫Γ
ΩΩ ΓΦ
ρ
Como este resultado vale independentemente do tamanho e forma de Γ, o integrando deve ser nulo por toda parte :
0t
=•∇+∂
∂Ω
Ω Φρ
2a
2c
2b
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
Princípio de Conservação sem Geração – Após Teor. de Gauss
∫∫∫∫∫∫ •∇−=
∂
∂
Γ
Ω
Γ
Ω ΓΦΓρ 33 dd.
t
Equivalentemente, temos :
0dt
3 =
•∇+
∂
∂∫∫∫Γ
ΩΩ ΓΦ
ρ
Como este resultado vale independentemente do tamanho e forma de Γ, o integrando deve ser nulo por toda parte :
0t
=•∇+∂
∂Ω
Ω Φρ
2a
2c
2b
Leva à EDP após entrada de ΦΦΦΦΩΩΩΩ e Operação da respectiva Divergência
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
Princípio de Conservação sem Geração
Exemplo 5.1 : Condução de Calor em Sólidos
0t
=•∇+∂
∂Ω
Ω Φρ
.const)m/gmol(molarDensidade
.const)K.gmol/kJ(Cmolarcalorífica.Cap
t
T..C
t
.const)m.K/kW(TérmicaadeCondutividK
FourierdeLeivia)m/kW(CondutivoFluxo:TK
)K(aTemperatur
)kJ(InternaEnergia
3
P
P
2
ρ
ρρ
Φ
Ψ
Ω
Ω
Ω
∂
∂≡
∂
∂
≡
∇−≡
≡
≡
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
Exemplo 5.1 : Condução de Calor em Sólidos
⇒=•∇+∂
∂0
t ΩΩ Φ
ρ( ) ⇒=∇−•∇+
∂
∂0.. TK
t
TCP ρ TK
t
TCP
2.. ∇=∂
∂ρ
Tt
T 2∇=∂
∂α )/(
2 smTérmicadeDifusividaC
K
P
≡=ρ
α
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
t
Tα
Equação da Condução Transiente de Calor
3
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
Princípio de Conservação sem Geração
Exemplo 5.2 : Contra-Difusão Binária A+B de Massa
0t
=•∇+∂
∂Ω
Ω Φρ
t
C
t
.const)s/m("B"em"A"dedeDifusividaD
DifusãodaFickdeLeivia)m.s/gmol("A"deDifusivoFluxo:CD
)m/gmol("A"deãoConcentraç:C
)m/gmol("A"deãoConcentraç:C
)gmol("A"deMolsdeNúmero
A
2AB
2AAB
3A
3A
∂
∂≡
∂
∂
≡
∇−≡
≡
≡
≡
Ω
Ω
Ω
ρ
Φ
ρ
Ψ
Ω
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)1. Desenvolvimento de EDPs em Fenômenos de Transporte
⇒=•∇+∂
∂0
t ΩΩ Φ
ρ( ) ⇒=∇−•∇+
∂
∂0AAB
A CDt
CAAB
A CDt
C 2∇=∂
∂
AABA CD
t
C 2∇=∂
∂ )/("""" 2 smBemAdedeDifusividaDAB ≡
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
2
2
2
2
z
C
y
C
x
CD
t
C AAAAB
A
Equação da Difusão (Contra-Difusão) de Massa
Exemplo 5.2 : Contra-Difusão Binária A+B de Massa
4
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
)z,y,x,t.e.p(tesIndependenVariáveisdeVetor:
x
x
x
x
2EDPdaDependenteVariável:)x(
n
2
1
=
−
M
Ψ
Esquematizamos a Classificação de EDP-2 Linear Geral em termos de 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e Vetor de n Variáveis Independentes x .
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
∑∑∑== =
=+∂
∂+
∂∂
∂ n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(A ΨΨΨ
EDP-2 Linear Geral em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .
15J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
∑∑∑== =
=+∂
∂+
∂∂
∂ n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(A ΨΨΨ
EDP-2 Linear Geral Não-Homogênea em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .
Coeficientes não dependem da Variável Dependente ψψψψ
Simetria Aij (x) = Aji (x) nos Coeficientes de O(2).Mesmo que não exista poderá ser imposta.
16J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
∑∑∑== =
=+∂
∂+
∂∂
∂ n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(A ΨΨΨ
Maior Ordem de Derivação da Var. Dependente = 2
EDP-2 Linear Geral Não-Homogênea em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
∑∑∑== =
=+∂
∂+
∂∂
∂ n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(A ΨΨΨ
Termo de Não-Homogeneidade
EDP-2 Linear Geral Não-Homogênea em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
∑∑∑== =
=+∂
∂+
∂∂
∂ n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(A ΨΨΨ
Todo problema de EDP-2 pode ser visto como um problema de inversão de um Operador Funcional L levando ΨΨΨΨ em D(x)
EDP-2 Linear Geral Não-Homogênea em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .
)x(DL =Ψ
∑∑∑== =
+∂
∂+
∂∂
∂≡
n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )(.)x(Cx
(.))x(B
xx
(.))x(AL
19J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
∑∑∑== =
=+∂
∂+
∂∂
∂ n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(A ΨΨΨ
EDP-2 Linear Geral Não-Homogênea em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .
SimétricaAA
AAA
AAA
AAA
)x(A T
nn2n1n
n22221
n11211
=
=
L
MOMM
L
L
=
n
2
1
B
B
B
)x(BM
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
∑∑∑== =
=+∂
∂+
∂∂
∂ n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(A ΨΨΨ
EDP-2 Linear Geral Não-Homogênea em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .
2EDPdatipooaminerdet)x(AdeCaracter
Linear2EDPDependenteVariáveldadependemNãoC,B,A
HomogêneaEDP0)x(D
−
−→
→=
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
∑∑∑== =
=+∂
∂+
∂∂
∂ n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(A ΨΨΨ
EDP-2 Linear Geral Não-Homogênea em 1 Variável Dependente ΨΨΨΨ e n Variáveis Independentes x .
aHiperbólic2EDP)em0,0,0sautovalore(indefinida)x(A
Parabólica2EDP)x,0sautovalore(dasemidefininegativa)x(A
Parabólica2EDP)x,0sautovalore(dasemidefinipositiva)x(A
Elíptica2EDP)x,0sautovalore(definidanegativa)x(A
Elíptica2EDP)x,0sautovalore(definidapositiva)x(A
2EDPdatipooaminerdetxpara)x(AdeCaracter
−→=<>•
−→∈∀≤−•
−→∈∀≥−•
−→∈∀<−•
−→∈∀>−•
−∀
Γ
Γ
Γ
Γ
Γ
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
Exemplo 5.3 : Classificar a EDP-2 da Condução de Calor em Estado Estacionário (E.E.)
0z
T
y
T
x
T2
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
Resolução
=∂
∂0
t
Tcom)3(.EqàeCorrespond
Conhecida como a Equação de Laplace
23J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
0z
T
y
T
x
T2
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
y
x
:tesIndependenVariáveis,T:DependenteVariável
.testanConsesCoeficientcomHomogêneaLinearé2EDP
.0D:adeHomogeneidNão,0C:)0(OTermo
0B:)1(OTermo,
100
010
001
A:)2(OTermo
−
=−=
=
=
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
0z
T
y
T
x
T2
2
2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
Elíptica2EDPDefinidaPositivaéA1sAutovalore
0)1(0
100
010
001
.Carac.Eq
:TipoondoClassifica
321
3
−⇒−⇒===
=−⇒=
−
−
−
λλλ
λ
λ
λ
λ
z
y
x
:tesIndependenVariáveis,T:DependenteVariável
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
Exemplo 5.4 : Classificar a EDP-2 da Condução de Calor em Estado Transiente
Resolução
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
t
Tα
26J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
z
y
x
t
:tesIndependenVariáveis,T:DependenteVariável
0z
T
y
T
x
T
t
T2
2
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂− α
.testanConsesCoeficientcomHomogêneaLinearé2EDP
.0D:adeHomogeneidNão,0C:)0(OTermo
0
0
0
1
B:)1(OTermo,
000
000
000
0000
A:)2(OTermo
−
=−=
−
=
=
α
α
α
27J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
Parabólica2EDP
daSemidefiniPositivaéA,0sAutovalore
0)(0
000
000
000
000
.Carac.Eq
:TipoondoClassifica
4321
3
−
−⇒====
=−⇒=
−
−
−
−
αλλλλ
αλλ
λα
λα
λα
λ
z
y
x
t
:tesIndependenVariáveis,T:DependenteVariável
0z
T
y
T
x
T
t
T2
2
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂− α
28J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
Exemplo 5.5 : Classificar a EDP-2 da Onda em 3 Coordenadas Espaciais
Resolução
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂2
2
2
2
2
22
2
2
zyxa
t
ΨΨΨΨ
Conhecida como a Equação da Onda 3D
29J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
z
y
x
t
:tesIndependenVariáveis,:DependenteVariável Ψ
.testanConsesCoeficientcomHomogêneaLinearé2EDP
.0D:adeHomogeneidNão,0C:)0(OTermo
0B:)1(OTermo,
a000
0a00
00a0
0001
A:)2(OTermo
2
2
2
−
=−=
=
−
=
0zyx
at 2
2
2
2
2
22
2
2
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
ΨΨΨΨ
30J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)2. Classificação de EDPs Lineares de Ordem 2
aHiperbólic2EDP
IndefinidaéAa,1sAutovalore
0)a)(1(0
a000
0a00
00a0
0001
.Carac.Eq
:TipoondoClassifica
24321
32
2
2
2
−
⇒===−=
=−+⇒=
−
−
−
−−
λλλλ
λλ
λ
λ
λ
λ
0zyx
at 2
2
2
2
2
22
2
2
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
ΨΨΨΨ
z
y
x
t
:tesIndependenVariáveis,:DependenteVariável Ψ
31J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
O Método de Separação de Variáveis – MSV, encontra aplicação em EDP-2 Lineares e de Coef. Constantes, referentes a domínios finitos, ou semi-infinitos, sob certos tipos de condições de contorno como as condições de contorno lineares e homogêneas na variável dependente e sua derivada.
Assim, podemos dizer que é necessário que os seguintes requisitos estejam atendidos para utilização do MSV:
[1] EDP-2 Linear ou com Coeficientes Constantes[2] Condições de Contorno Lineares envolvendo a Variável
Dependente e/ou suas Derivadas de Ordem 1 nas variáveisindependentes.
32J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
Desta forma, o MSV pode ser usado com EDP-2 Elíptica, Parabólica ou Hiperbólica, sejam elas Homogêneas ou não.
Em essência, no caso mais simples de EDP-2 de Coeficientes Constantes, o que restringe a aplicação do MSV é apenas a natureza das condições de contorno e a topologia do domínio físico do problema.
Condições de Contorno Lineares (na variável dependente) e Homogêneas tendem a favorecer a utilização do MSV.
O MSV utiliza os conceitos de Famílias de Funções Ortogonais, Séries de Fourier e Problemas Sturm-Liouville (PSL).
33J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
O princípio básico do MSV consiste em escrever-se a solução da variável dependente como um produto de funções, cada uma delas expressa em apenas uma das variáveis independentes. Por exemplo na EDP-2 geral abaixo :
∑∑∑== =
=+∂
∂+
∂∂
∂ n
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij )x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(A ΨΨΨ
Aplicar a Separação de Variáveis, consiste em escrever-se a fatoração seguinte para a Solução da Variável Dependente :
)x(X*...)*x(X)*x(X)x(X)x( nn2211
n
1iii∏
=
==Ψ
O problema passa a ser obter solução para cada uma das novas variáveis dependentes separadas Xk( xk ).
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
A Separação é substituída na EDP-2. Se é possível aplicar o MSV, o quadro resultante deverá levar a Problemas de Contorno PVC parcialmente ou totalmente desacoplados em cada uma das variáveis da Separação.
Um PVC totalmente desacoplado tem suas EDO-2 e Condições de Contorno devidamente isoladas da EDP-2 original.
Em PVC parcialmente desacoplado, as condições de contorno não são, por exemplo, isoladas na variável independente respectiva.
Para ser viável a aplicação MSV, só poderá haver um PVCparcialmente desacoplado. Todos os demais deverão ser totalmente desacoplados.
35J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
Sendo possível aplicar o MSV, os PVCs totalmente desacoplados ou terão solução direta ou serão PSLs. A resolução MSV inicia-se por estes PVCs totalmente desacoplados ou PSLs; isto é, PVCs com EDO-2 Linear e Homogênea + Condições de Contorno Lineares e Homogêneas.
)x(X*...)*x(X)*x(X)x(X)x( nn2211
n
1iii∏
=
==Ψ
Ao resolver-se o PSL para a i-ésima variável independente ( xi ),obtém-se uma Família Ortogonal de Funções em xi . Isto define o o termo geral da contribuição de xi na composição da variável dependente através da Separação proposta :
36J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
Por último, ataca-se o PVC gerado na Separação que não é PSL ou que se encontra apenas parcialmente desacoplado; isto é, este PVC dispõe de condições de contorno não homogêneas sem possibilidade de separar da EDP-2 original.
Neste estágio, a imposição das Condições de Contorno Não Homogêneas citadas acima, deverá dar origem a uma Série de Fourier – em uma ou várias variáveis independentes – construída com as Funções-Base que surgiram na resolução dos PSLsanteriores totalmente separados.
Obtém-se a solução da EDP-2 – sob a forma de série infinita – ao calcular-se os coeficientes da Série de Fourier via ortogonalidade das funções envolvidas nos respectivos intervalos e pesos.
37J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
Observações sobre Mudanças de Variável Dependente :
[1] Visando a introduzir-se termos homogêneos nas condições de contorno – i.e. de modo a permitir o posterior surgimento de PSLs – torna-se às vezes necessário introduzir transformações elementares na Variável Dependente associadas às características geométricas do contorno. Neste ponto, é também comum a introdução de adimensionalizações tanto na Variável Dependente quanto nas Variáveis Independentes. Por exemplo, se a Variável Dependente deve atingir valor mínimo ΨΨΨΨ MIN no ponto Λ do contorno e atingir valor máximo ΨΨΨΨ MAX em outra locação, écomum escrever-se :
MINMAX
MIN
ΨΨ
ΨΨΘ
−
−=
Assim a nova Variável Dependente ΘΘΘΘ, terá C.C. Homogênea na locação Λ
38J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
Observações sobre Mudanças de Variável Dependente :
[2] Nos casos em que a EDP-2 só envolve diferenciação de Ordem 2 (p.e., Equação de Laplace), e há uma Condição de Contorno não-Homogênea com Função Linear (i.e. reta, plano, etc), p.e. :
etc...2.C.C,xbax:1.C.C0 T1
2 +=⇒∈=∇ ΨΣΨ
Isto colocará o Problema como :
É comum o artifício de redefinir a variável Dependente com :
)xba()x()x()xba()x()x( TT ++=⇔+−= ΞΨΨΞ
etc...2.C.C,0x1.C.C0 12 =⇒∈=∇ ΞΣΞ
i.e. além da redução de tamanho, tem-se Homogeneidade em ΣΣΣΣ 1
39J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
Observações sobre o Princípio da Superposição de Soluções (PSS)
Devido à Linearidade obrigatória, tanto na EDP-2 quanto nas Condições de Contorno, é viável a utilização do Princípio de Superposição de Soluções (PSS). O PSS tem uso para:[1] Compor combinação linear de soluções que cumprem
"pedaços" do termo de Não-Homogeneidade da EDP-2, no caso em que as Condições de Contorno são Homogêneas.
[2] Compor combinação linear de soluções que cumprem "pedaços" da Condição de Contorno Não-Homogênea daEDP-2, a qual, por si, não dispõe de Não-Homogeneidade.
[3] Compor combinação linear de soluções que cumprem "pedaços" das Condições de Contorno Não-Homogêneas e"pedaços" da Não-Homogeneidade da EDP-2.
40J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
[1] Combinação linear de soluções cumprindo “pedaços” daNão-Homogeneidade da EDP-2 sob C.C. Homogênea.
0x.C.C,)x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(An
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij =⇒∈=+∂
∂+
∂∂
∂∑∑∑== =
ΨΣΨΨΨ
Quebra-se D( x ) em N contribuições + simples
∑=
=N
1kk )x()x( ΞΨ
Dando N EDP-2 não-homogêneas, + simples, e C.C. homogênea
0x.C.C,)x(DL kkk =⇒∈= ΞΣΞ
∑=
=N
kk xDxD
1
)()(
Após resolvidos cada um destes PVCs, reconstitui-se a solução original pelo PSS
0x.C.C,)x(DL =⇒∈= ΨΣΨ
41J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
[2] Combinação linear de soluções cumprindo “pedaços” dasCondições de Contorno sob Homogeneidade da EDP-2.
)x(Fx.C.C,0)x(Cx
)x(Bxx
)x(An
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij =⇒∈=+∂
∂+
∂∂
∂∑∑∑== =
ΨΣΨΨΨ
Quebra-se F( x ) em N contribuições + simples
∑=
=N
1kk )x()x( ΞΨ
Dando N EDP-2 homogêneas com C.C. + simples
∑=
=N
kk xFxF
1
)()(
Após resolvidos cada um destes PVCs, reconstitui-se a solução original pelo PSS
)x(Fx.C.C,0L =⇒∈= ΨΣΨ
)x(Fx.C.C,0L kkk =⇒∈= ΞΣΞ
42J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)3. EDP-2 – Método de Separação de Variáveis
[3] Combinação linear de soluções cumprindo “pedaços” dasCondições de Contorno e da Não-Homogeneidade da EDP-2.
)x(Fx.C.C,)x(D)x(Cx
)x(Bxx
)x(An
1i ii
n
1i
n
1j ji
2
ij =⇒∈=+∂
∂+
∂∂
∂∑∑∑== =
ΨΣΨΨΨ
Quebrar F( x ) e D( x ) em N termos + simples:
∑=
=N
1kk )x()x( ΞΨ
Dando N PVCs + simples:
=
=
∑
∑
=
=N
1kk
N
1kk
)x(D)x(D
)x(F)x(F
Após resolvidos cada um destes PVCs, reconstitui-se a solução original pelo PSS
)x(Fx.C.C,)x(DL =⇒∈= ΨΣΨ
)x(Fx.C.C,)x(DL kkkk =⇒∈= ΞΣΞ
43J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Exemplo 5.6 : Obter a Distribuição Estacionária de Temperatura no Domínio 2D Abaixo com Equação de Laplace
AB
A
A
A
TTTxLyCC
TTxyCC
TTyLxCC
TTyxCC
y
T
x
T
>=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
,,:4..
,,0:3..
,,:2..
,,0:1..
02
2
2
2
y
xL
LT = TA
T = TB
T = TA
44J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Exemplo 5.6 : Obter a Distribuição Estacionária de Temperatura no Domínio 2D Abaixo com Equação de Laplace
AB
A
A
A
TTTxLyCC
TTxyCC
TTyLxCC
TTyxCC
y
T
x
T
>=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
,,:4..
,,0:3..
,,:2..
,,0:1..
02
2
2
2
y
xL
LT = TA
T = TB
T = TA
EDP-2 Linear (Coeficientes Const.) Homogênea e Elíptica
PVC Linear em 2 vars independentes
45J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#1 Mudança de variável dependente p/ homogeneizar CC1 e CC2
B
A
A
A
TTxLyCC
TTxyCC
TTyLxCC
TTyxCC
y
T
x
T
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
,,:4..
,,0:3..
,,:2..
,,0:1..
02
2
2
2
)y,x().TT(TTTT
TT)y,x( ABA
AB
A ΘΘ −+=⇒−
−=
1,x,Ly:4.C.C
0,x,0y:3.C.C
0,y,Lx:2.C.C
0,y,0x:1.C.C
0yx 2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
Θ
Θ
Θ
Θ
ΘΘ
⇔
PVC Torna-se :
5a
5b
46J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#2 Implementando Separação de Variáveis
)y(Y).x(X)y,x( =Θ
Derivadas da EDP : )2(2
2)2(
2
2
Y.Xy
,Y.Xx
=∂
∂=
∂
∂ ΘΘ
Substituição na EDP : 0Y.XY.X0yx
)2()2(2
2
2
2
=+⇒=∂
∂+
∂
∂ ΘΘ
Y
Y
X
X )2()2(
−=Resulta :
5c
5d
47J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Eq. (5d) tem em seu lado esquerdo dependência em x. Ao mesmo tempo o seu lado direito depende apenas de y ; i.e. tem-se uma função de x igual a uma de y. Ora, x e y são independentes, de modo que isto só pode ocorrer sendo ambas funções iguais a uma constante (a determinar) λλλλ .
λ=−=Y
Y
X
X )2()2(
48J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
1)L(Y).x(X1,x,Ly:4.C.C
0)0(Y).x(X0,x,0y:3.C.C
0)y(Y).L(X0,y,Lx:2.C.C
0)y(Y).0(X0,y,0x:1.C.CY
Y
X
X )2()2(
=⇔=∀=
=⇔=∀=
=⇔=∀=
=⇔=∀=
=−=
Θ
Θ
Θ
Θ
λ 6a
6b
Neste estágio, o PVC-2 apresenta-se como :
49J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Devido à Homogeneidade de CC1, CC2 e CC3, e graças à forma separada em (6a), é possível desacoplar PVC(x) e PVC(y), sendo o primeiro totalmente definido e o segundo parcialmente, pois CC4 não permite explicitar Y(L) :
1)L(Y).x(X,x,Ly:4.C.C
0)0(Y).x(X,x,0y:3.C.C
0)y(Y).L(X,y,Lx:2.C.C
0)y(Y).0(X,y,0x:1.C.CY
Y
X
X )2()2(
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=−= λ
#3 Desacoplando PVCs Ordinários : PVC(x) + PVC(y)
0)L(X,Lx:2.C.C
0)0(X,0x:1.C.CX
X )2(
==
==
= λ
0)0(Y,0y:3.C.CY
Y )2(
==
−= λ
50J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#4 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
0)L(X,Lx:2.C.C
0)0(X,0x:1.C.CX
X )2(
==
==
= λ
0)L(X,Lx:2.C.C
0)0(X,0x:1.C.C
0X.X )2(
==
==
=− λ
0ba,1ba
Lb,0a
0)x(q,1)x(p,1)x(r
PSLÉ
2211 ====
==
===
⇓
1)x(psob]L,0[em)x(XFamíliaDá n =⊥
51J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Solução : Eq. Característica :Raízes :
#4 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
0)L(X,Lx:2.C.C
0)0(X,0x:1.C.C
0X.X )2(
==
==
=− λ
λθ
λθ
θ
±=
=−
=
0
)x.exp()x(X2
Lb,0a,1)x(p:PSL ===
52J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Caso 1 : λλλλ > 0 →→→→ Raízes Reais Distintas
#4 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
=−+
=+
0)Lexp(C)Lexp(C
0CC
21
21
λλ
Raízes :Solução EDO Hom. :
Aplicando CCs :
)xexp(C)xexp(C)x(X 21H λλ
λθ
+−=
±=
Só Sol. Trivial : 0)x(X0CC H21 =⇒==
53J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Caso 2 : λλλλ = 0 →→→→ Raíz Real Dupla
#4 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
=+
=+
0L.CC
00.CC
21
21
Raízes :Solução EDO Hom. :
Aplicando CCs :
x.CC)x(X
0
21H +=
=±= λθ
Só Sol. Trivial : 0)x(X0CC H21 =⇒==
54J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Caso 3 : λλλλ < 0 →→→→ Raizes Complexas Conjugadas
#4 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
Raízes :Solução EDO Hom. :
Aplicando CCs :
)x(senC)xcos(C)x(X
i)(
21H λλ
λλλθ
−+−=
−±=−−±=±=
=−+−
=+
0)L(senC)Lcos(C
00.CC
21
21
λλ
0)L(sen =− λSol. Não Trivial com
55J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Caso 3 : λλλλ < 0 →→→→ Raizes Complexas Conjugadas
#4 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
Raízes :Solução EDO Hom. :
Aplicando CCs :
)x(senC)xcos(C)x(X
i)(
21H λλ
λλλθ
−+−=
−±=−−±=±=
Sol. Não Trivial com
,...)2,1n(L
n
,...)2,1n(nL0)L(sen
2
22
n
n
=−=⇒
=±=−⇒=−
πλ
πλλ
)L
xn(sen)x(X)x(senC)x(X n2H
πλ =⇒−=
=−+−
=+
0)L(senC)Lcos(C
00.CC
21
21
λλ
0C,0C 21 ≠=
56J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#4 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
0)L(X,Lx:2.C.C
0)0(X,0x:1.C.C
0X.X )2(
==
==
=− λ Lb,0a,1)x(p:PSL ===
1)x(psob]L,0[em)x(X
,...)2,1n()L
xn(sen)x(X
,...)2,1n(L
n
n
n
2
22
n
=⊥
==
=−=
π
πλ
⇓
PVC(x) Finalizado.λλλλn , Xn Obtidos.
57J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#5 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(y)
PVC(x) finalizou com
0)0(Y,0y:3.C.CY
Y )2(
==
−= λ
,...)2,1n()L
xn(sen)x(X,
L
nn2
22
n ==−=ππ
λ
Convém escrever PVC(y) também indexado em n (n = 1,2,...)
0)0(Y,0y:3.C.C
Y
Y
n
nn
)2(n
==
−= λ
0)0(Y,0y:3.C.C
,...)2,1n(0YY
n
nn)2(
n
==
==+ λ⇒
58J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Solução : Eq. Característica :
Raízes Reais ≠≠≠≠ :
#5 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(y)
L
n
0
)y.exp()y(Y
nnn
n2n
nn
πθλθ
λθ
θ
±=⇒−±=
=+
=
0)0(Y,0y:3.C.C
,...)2,1n(0YY
n
nn)2(
n
==
==+ λ ,...)2,1n(L
n2
22
n =−=π
λ Não é PSL
Solução EDO Hom. : )exp()exp()( 21 L
ynC
L
ynCyY nnn
ππ+−=
Aplicando CC3 : n1n2n2n1 CC0CC −=⇒=+
Resulta :
−−= )exp()exp()( 1 L
yn
L
ynCyY nn
ππ
59J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
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#6 Resumo Resolução PVCs Ordinários :
,...)2,1n()L
ynexp()
L
ynexp(C)x(Y n1n =
−−=ππ
1)x(psob]L,0[em)x(X,,...)2,1n()L
xn(sen)x(X
,...)2,1n(L
n
nn
2
22
n
=⊥==
=−=
π
πλ
60J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#7 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) :
,...)2,1n()L
ynexp()
L
ynexp(C)x(Y n1n =
−−=ππ
1)x(psob]L,0[em)x(X
,...)2,1n()L
xn(sen)x(X
n
n
=⊥
==π
)y(Y).x(X)y,x( =Θ 5c
⇓
∑∞
=
=1n
nn )y(Y).x(X)y,x(Θ
61J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#7 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) :
∑∞
=
−−=1n
n1 L
xnsen.)
L
ynexp()
L
ynexp(C)y,x(
πππΘ
1)x(psob]L,0[em)L
xn(sen =⊥
π
62J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#7 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) :
∑∞
=
−−=1n
n1 L
xnsen.)
L
ynexp()
L
ynexp(C)y,x(
πππΘ
1)x(psob]L,0[em)L
xn(sen =⊥
π
1,x,Ly:4.C.C
0,x,0y:3.C.C
0,y,Lx:2.C.C
0,y,0x:1.C.C
0yx 2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
Θ
Θ
Θ
Θ
ΘΘChecando Aplicação de CCs do PVCOriginal ...
Resta Aplicar CC4
63J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
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#8 Aplicando C.C. Remanescente na Solução da EDP :
∑∞
=
−−=1n
n1 L
xnsen.)
L
ynexp()
L
ynexp(C)y,x(
πππΘ
Esta é uma Série de Fourier para a Função 1. Os Coeficientes C1n são obtidos com a Ortogonalidade das Funções sen(nππππx/L) em [0,L] sob p(x)=1
⇓
∑∞
=
−−=
1nn1 L
xnsen.)nexp()nexp(C1
πππ
64J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
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#8 Aplicando C.C. Remanescente na Solução da EDP :
∑∞
=
−−=
1nn1 L
xnsen.)nexp()nexp(C1
πππ
⇓
∫
∫
−−
=L
0
2
L
0n1
dx).L
xn(sen)nexp()nexp(
dx).L
xn(sen
Cπ
ππ
π
65J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
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#8 Aplicando C.C. Remanescente na Solução da EDP :
2
L)nexp()nexp(
))1(1(n
L
C
n
n1ππ
π
−−
−−=
)1)1((n
L)1)n(cos(
n
L
0
L
)L
xncos(
n
Ldx).
L
xn(sen n
L
0
−−−=−−=−=∫ ππ
π
π
π
π
2
L
0
L
)L
xn2(sen
n4
L
2
Ldx
2
)L
xn2cos(1
dx).L
xn(sen
L
0
L
0
2 =−=−
= ∫∫π
π
ππ
πππ n)nexp()nexp(
))1(1(2C
n
n1−−
−−=
66J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#9 Consolidando a Solução da EDP para T(x,y) : Exemplo 5.6
πππ n)nexp()nexp(
))1(1(2C
n
n1−−
−−=
∑∞
=
−−=1n
n1 L
xnsen.)
L
ynexp()
L
ynexp(C)y,x(
πππΘ
)y,x().TT(TT ABA Θ−+=
7b
7a
7c
67J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#10 Aproximantes N=10,20,50, TA=0C, TB=100C, L=10m Ex. 5.6
68J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#10 Aproximantes N=10,20,50, TA=0C, TB=100C, L=10m Ex. 5.6
69J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#10 Aproximantes N=10,20,50, TA=0C, TB=100C, L=10m Ex. 5.6
70J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Exemplo 5.7 : Obter a Distribuição Estacionária de Temperatura no Domínio 2D Abaixo com Equação de Laplace
y
xL
LT = TB
T = TD
T = TA T = TC
ABCD
D
C
B
A
2
2
2
2
TTTT
TT,x,Ly:4.C.C
TT,x,0y:3.C.C
TT,y,Lx:2.C.C
TT,y,0x:1.C.C
0y
T
x
T
>>>
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
PVC Linear 2 vars independ.
EDP-2 Linear (Coeficientes Const.) Homogênea e Elíptica
71J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#1 Princípio da Superposição (PSS): CC = CCA +CCB +CCC +CCD
L
L
TB
TD
TA
TC
≡
L
L
0
0
TA
0
A
L
L
TB
0
0
0
B
+
L
L
0
0
0
TC
C
L
L
0
TD
0
0
D
72J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#1 Princípio da Superposição (PSS): CC = CCA +CCB +CCC +CCD
L
L
TB
TD
TA
TC
≡
L
L
0
0
TA
0
A
L
L
TB
0
0
0
B
+
L
L
0
0
0
TC
C
L
L
0
TD
0
0
D
Cada um dos 4 novos PVCs com a mesmaEDP-2 + CCshomogêneas suficientes p/ PSL
73J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#1 Princípio da Superposição (PSS): CC = CCA +CCB +CCC +CCD
)y,x(T)y,x(T)y,x(T)y,x(T)y,x(T )D()C()B()A( +++=
L
L
TB
TD
TA
TC
L
L
0
0
TA
0
A
L
L
TB
0
0
0
B
L
L
0
0
0
TC
C
L
L
0
TD
0
0
D
74J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#2 Resolução PVCA : CC = CCA
L
L
0
0
TA
0
A
0T,x,Ly:4.C.C
0T,x,0y:3.C.C
0T,y,Lx:2.C.C
TT,y,0x:1.C.C
0y
T
x
T
A
2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
75J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#2 Resolução PVCA : CC = CCA
0T,x,Ly:4.C.C
0T,x,0y:3.C.C
0T,y,Lx:2.C.C
TT,y,0x:1.C.C
0y
T
x
T
A
2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
1,x,Ly:4.C.C
0,x,0y:3.C.C
0,y,Lx:2.C.C
0,y,0x:1.C.C
0yx 2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
Θ
Θ
Θ
Θ
ΘΘ
Viável usar a solução trabalhada no Ex. 5.6 do PVC após a mudança de variável dependente. Aqui deve-se trocar alguns papéis na Eq. (7b) : [1] : Substituir x ↔↔↔↔ y[2] : Substituir x ↔↔↔↔ L-x[3] : Substituir 1 ↔↔↔↔ TA
L
L
0
0
TA
0
A
76J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
πππ n)nexp()nexp(
))1(1(T.2C
nA)A(
n−−
−−=
∑∞
=
−
−−
−=1n
)A(n
)A(
L
ynsen.)
L
)xL(nexp()
L
)xL(nexp(C)y,x(T
πππ
8b
8a
#2 Resolução PVCA : CC = CCA
77J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#3 Resolução PVCB : CC = CCB
0T,x,Ly:4.C.C
0T,x,0y:3.C.C
TT,y,Lx:2.C.C
0T,y,0x:1.C.C
0y
T
x
T
B
2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
L
L
TB
0
0
0
B
78J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#3 Resolução PVCB : CC = CCB
1,x,Ly:4.C.C
0,x,0y:3.C.C
0,y,Lx:2.C.C
0,y,0x:1.C.C
0yx 2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
Θ
Θ
Θ
Θ
ΘΘ
Viável usar a solução trabalhada no Ex. 5.6 do PVC após a mudança de variável dependente. Aqui deve-se trocar alguns papéis na Eq. (7b) : [1] : Substituir x ↔↔↔↔ y[2] : Nada aqui [3] : Substituir 1 ↔↔↔↔ TB
0T,x,Ly:4.C.C
0T,x,0y:3.C.C
TT,y,Lx:2.C.C
0T,y,0x:1.C.C
0y
T
x
T
B
2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
L
L
TB
0
0
0
B
79J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
9b
9a
#3 Resolução PVCB : CC = CCB
∑∞
=
−−=1n
)B(n
)B(
L
ynsen.)
L
xnexp()
L
xnexp(C)y,x(T
πππ
πππ n)nexp()nexp(
))1(1(T2C
nB)B(
n−−
−−=
80J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#4 Resolução PVCC : CC = CCC
0T,x,Ly:4.C.C
TT,x,0y:3.C.C
0T,y,Lx:2.C.C
0T,y,0x:1.C.C
0y
T
x
T
C
2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
L
L
0
0
0
TC
C
81J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#4 Resolução PVCC : CC = CCC
0T,x,Ly:4.C.C
TT,x,0y:3.C.C
0T,y,Lx:2.C.C
0T,y,0x:1.C.C
0y
T
x
T
C
2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
L
L
0
0
0
TC
C
1,x,Ly:4.C.C
0,x,0y:3.C.C
0,y,Lx:2.C.C
0,y,0x:1.C.C
0yx 2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
Θ
Θ
Θ
Θ
ΘΘ
Viável usar a solução trabalhada no Ex. 5.6 do PVC após a mudança de variável dependente. Aqui deve-se trocar alguns papéis na Eq. (7b) : [1] : Nada aqui.[2] : Substituir y ↔↔↔↔ L-y[3] : Substituir 1 ↔↔↔↔ TC
82J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
10b
10a
#4 Resolução PVCC : CC = CCC
πππ n)nexp()nexp(
))1(1(T2C
nC)C(
n−−
−−=
∑∞
=
−
−−
−=1n
)C(n
)C(
L
xnsen.)
L
)yL(nexp()
L
)yL(nexp(C)y,x(T
πππ
83J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#5 Resolução PVCD : CC = CCD
D
2
2
2
2
TT,x,Ly:4.C.C
0T,x,0y:3.C.C
0T,y,Lx:2.C.C
0T,y,0x:1.C.C
0y
T
x
T
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
L
L
0
TD
0
0
D
84J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#5 Resolução PVCD : CC = CCD
D
2
2
2
2
TT,x,Ly:4.C.C
0T,x,0y:3.C.C
0T,y,Lx:2.C.C
0T,y,0x:1.C.C
0y
T
x
T
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
L
L
0
TD
0
0
D
1,x,Ly:4.C.C
0,x,0y:3.C.C
0,y,Lx:2.C.C
0,y,0x:1.C.C
0yx 2
2
2
2
=∀=
=∀=
=∀=
=∀=
=∂
∂+
∂
∂
Θ
Θ
Θ
Θ
ΘΘ
Viável usar a solução trabalhada no Ex. 5.6 do PVC após a mudança de variável dependente. Aqui deve-se trocar alguns papéis na Eq. (7b) : [1] : Nada aqui. [2] : Nada aqui.[3] : Substituir 1 ↔↔↔↔ TD
85J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
11b
11a
#5 Resolução PVCD : CC = CCD
πππ n)nexp()nexp(
))1(1(T2C
nD)D(
n−−
−−=
∑∞
=
−−=1n
)D(n
)D(
L
xnsen.)
L
ynexp()
L
ynexp(C)y,x(T
πππ
86J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#6 Aprox. N=10,20,50,TA=0C,TB=30C,TC=60C,TD=100C,L=10mEx5.7
87J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#6 Aprox. N=10,20,50,TA=0C,TB=30C,TC=60C,TD=100C,L=10mEx5.7
88J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#6 Aprox. N=10,20,50,TA=0C,TB=30C,TC=60C,TD=100C,L=10mEx5.7
89J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Exemplo 5.8 : Obter a Distribuição Estacionária de Pressão Hidrostática em Meio Poroso Infinito em z no Dique abaixo.
L
H
Dique de rocha porosa, infinito em zÁgua
Rocha impermeável
90J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Identificando o Domínio Físico ΓΓΓΓ e sua Superfície de Controle ΣΣΣΣ
H
Água
Rocha impermeável
ΣΣΣΣ
ΣΣΣΣ
ΣΣΣΣ
ΣΣΣΣ
ΓΓΓΓ
L
91J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
L H
y
xReferencial
)yH(gPP
)0x(MolhadaParedenacaHidrostátiessãoPrdeCampo
)m/kg1000(líquidonoáguadadensidade:
)s/m81.9(gravidade:g,)Pa10(aatmosféricpressão:P
0
3
250
−+=
=
≅
ρ
ρ
0PP =
rocha impermeável
#1 Modelagem Física : EDP de Transporte de Massa
0PP =
92J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
y
x
)m/kg(MPnoáguadedensidade:
)s.m/kg(MPnoáguadefluxo:
:)P.M.E(PorosoMeioemEscoamento
3MP
2MP
ρ
Φ
rocha impermeável
0t
MPemDifusãoda.Eq
MPMP =•∇+
∂
∂Φ
ρ
PK
.P.M.EemDarcydeLei
MP ∇−=Φ
#1 Modelagem Física : EDP de Transporte de Massa
93J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
0t
MPemDifusãoda.Eq
MPMP =•∇+
∂
∂Φ
ρ
PKMP ∇−=Φ
Regime Estacionário0MP =•∇ Φ
Lei de Darcy)Laplacede.Eq(
0P2 =∇
2 Dimensõesindependentes : x, y
0y
P
x
P2
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
#1 Modelagem Física : EDP de Transporte de Massa
94J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#2 Formulação Matemática do Problema
L H
y
xReferencial
)yH(gPP 0 −+= ρ
0PP =
rocha impermeável
0PP =
95J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#2 Formulação Matemática do Problema
L H
y
xReferencial
)yH(gPP 0 −+= ρ
0PP =
rocha impermeável
0PP =
Condições de Contorno
0=Φ• MPn
96J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
0
MP
0
0
2
2
2
2
PP,x,Hy:4.C.C
0y
P0Pn0n,x,0y:3.C.C
PP,y,Lx:2.C.C
)yH(gPP,y,0x:1.C.C
0y
P
x
P
=∀=
=∂
∂⇔=∇•⇔=•∀=
=∀=
−+=∀=
=∂
∂+
∂
∂
Φ
ρ
PVC Linear 2 vars independentes (x,y)
EDP-2 Linear (Coeficientes Const.) Homogênea e Elíptica
#2 Formulação Matemática do Problema
97J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
0,x,Hy:4.C.C
0y
,x,0y:3.C.C
0,y,Lx:2.C.C
yH,y,0x:1.C.C
0yx 2
2
2
2
=∀=
=∂
∂∀=
=∀=
−=∀=
=∂
∂+
∂
∂
Θ
Θ
Θ
Θ
ΘΘ
#3 Versão Final do PVC após mudança de Variável Dependente
g/)P)y,x(P()y,x( 0 ρΘ −=
PVC torna-se
)y,x(gP)y,x(P 0 Θρ+=
98J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#4 Implementando Separação de Variáveis
)y(Y).x(X)y,x( =Θ
Derivadas da EDP : )2(2
2)2(
2
2
Y.Xy
,Y.Xx
=∂
∂=
∂
∂ ΘΘ
Substituição na EDP : 0Y.XY.X0yx
)2()2(2
2
2
2
=+⇒=∂
∂+
∂
∂ ΘΘ
Y
Y
X
X )2()2(
−=Resulta :
12a
12b
99J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Sendo x e y independentes, fórmula (12b) só pode ocorrer sendo ambas funções iguais a uma constante (a determinar) λλλλ .
λ=−=Y
Y
X
X )2()2(
Neste estágio, o PVC-2 apresenta-se como :
0)().(0,,:4..
0)0().(0,,0:3..
0)().(0,,:2..
)().0(,,0:1..
)1(
)2()2(
=⇔=Θ∀=
=⇔=∂
Θ∂∀=
=⇔=Θ∀=
−=⇔−=Θ∀=
=−=
HYxXxHyCC
YxXy
xyCC
yYLXyLxCC
yHyYXyHyxCCY
Y
X
Xλ
12c
)y(Y).x(X)y,x( =Θ
100J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Devido à Homogeneidade de CC2, CC3 e CC4, e graças à forma separada em (12c), é possível desacoplar PVC(x) e PVC(y), sendo o segundo totalmente definido e o primeiro parcialmente, pois CC1 não permite explicitar X(0) :
#5 Desacoplando PVCs Ordinários : PVC(x) + PVC(y)
0)(,:4..
0)0(,0:3.. )1(
)2(
==
==
−=
HYHyCC
YyCC
Y
Yλ
0)(,:2..
)2(
==
=
LXLxCCX
Xλ
0)().(,,:4..
0)0().(,,0:3..
0)().(,,:2..
)().0(,,0:1..
)1(
)2()2(
=∀=
=∀=
=∀=
−=∀=
=−=
HYxXxHyCC
YxXxyCC
yYLXyLxCC
yHyYXyxCCY
Y
X
Xλ
101J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#6 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(y)
0,1,1,0
,0
0)(,1)(,1)(
2121 ====
==
===
bbaa
Hba
yqypyr
PSLÉ
⇓
1)(],0[)( =⊥ ypsobHemxYFamíliaDá n
0)(,:4..
0)0(,0:3.. )1(
)2(
==
==
−=
HYHyCC
YyCC
Y
Yλ
0)(,:4..
0)0(,0:3..
0
)1(
)2(
==
==
=+
HYHyCC
YyCC
YY λ
102J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Solução : Eq. Característica :Raízes : λθ
λθ
θ
−±=
=+
=
0
).exp()(
2
yyY
#6 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(y)
0)(,:4..
0)0(,0:3..
0
)1(
)2(
==
==
=+
HYHyCC
YyCC
YY λ
Caso 1 : λλλλ < 0 →→→→ Raízes Reais Distintas
Raízes :Solução EDO Hom. : )exp()exp()( 21 λλ
λθ
−−+−=
−±=
yCyCyYH
Aplicando CCs :
=−−+−
=−
0)exp()exp(
0
21
21
λλ HCHC
CC
Só Sol. Trivial : 0)(021 =⇒== yYCC H
103J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Caso 2 : λλλλ = 0 →→→→ Raíz Real Dupla
=+
=+
0.
00.
21
21
HCC
CC
Raízes :Solução EDO Hom. :
Aplicando CCs :
yCCyYH .)(
0
21 +=
=−±= λθ
Só Sol. Trivial : 0)(021 =⇒== yYCC H
#6 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(y)
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Caso 3 : λλλλ > 0 →→→→ Raizes Complexas Conjugadas
Raízes :Solução EDO Hom. :
Aplicando CCs :
)cos()()(
)()cos()(
21
)1(
21
λλλλ
λλ
λλθ
yCysenCyY
ysenCyCyY
i
H
H
+−=
+=
±=−±=
=+
=+
0)()cos(
00.
21
21
λλ
λ
HsenCHC
CC
Sol. Não Trivial com
#6 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(y)
,...)2,1n(H4
)1n2(
,...)2,1n()2
1n2(H0)Hcos(
2
22
n
n
=−
=⇒
=−
±=⇒=
πλ
πλλ
)2
)12(cos()
2
)12(cos()()cos()( 1 H
yn
H
ynyYyCyY nH
ππλ
−=
−±=⇒=
0,0 21 =≠ CC
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#6 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(y)
1)(],0[)(
,...)2,1(2
)12(cos)(
,...)2,1(4
)12(2
22
=⊥
=
−=
=−
=
ypsobHemyY
nH
ynyY
nH
n
n
n
n
π
πλ PVC(y) Finalizado.
λλλλn , Yn(y) Obtidos.
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#7 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
PVC(y) finalizou com
0)(,:2..
)2(
==
=
LXLxCCX
Xλ
Convém escrever PVC(x) também indexado em n (n = 1,2,...)
0)(,:2..
)2(
==
=
LXLxCC
X
X
n
nn
n λ
0)(,:2..
,...)2,1(0)2(
==
==−
LXLxCC
nXX
n
nnn λ⇒
,...)2,1(2
)12(cos)(,
4
)12(2
22
=
−=
−= n
H
ynyY
H
nnn
ππλ
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Solução : Eq. Característica :
Raízes Reais ≠≠≠≠ : H
n
xxX
nnn
nn
nn
2
)12(
0
).exp()(
2
πθλθ
λθ
θ
−±=⇒±=
=−
=
Não é PSL
Solução EDO Hom. : )2
)12(exp()
2
)12(exp()( 21 H
xnC
H
xnCxX nnn
ππ −+
−−=
CC2 :
Resulta :
−−
−−−
−= )2
)12(exp().
)12(exp()
2
)12(exp()( 1 H
xn
H
Ln
H
xnCxX nn
πππ
#7 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
0)(,:2..
,...)2,1(0)2(
==
==−
LXLxCC
nXX
n
nnn λ,...)2,1(
4
)12(2
22
=−
= nH
nn
πλ
nnnn CH
LnC
H
LnC
H
LnC 1221 )
)12(exp()
2
)12(exp()
2
)12(exp(0
πππ −−−=⇒
−+
−−=
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#8 Resumo Resolução PVCs Ordinários :
1)(],0[)(,,...)2,1(2
)12(cos)(
,...)2,1(4
)12(2
22
=⊥=
−=
=−
=
ypsobHemyYnH
ynyY
nH
n
nn
n
π
πλ
,...)2,1()2
)12(exp().
)12(exp()
2
)12(exp()( 1 =
−−
−−−
−= nH
xn
H
Ln
H
xnCxX nn
πππ
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#9 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) :
)y(Y).x(X)y,x( =Θ ⇒ ∑∞
=
=1n
nn )y(Y).x(X)y,x(Θ
1)(],0[)(,,...)2,1(2
)12(cos)( =⊥=
−= ypsobHemyYn
H
ynyY nn
π
,...)2,1()2
)12(exp().
)12(exp()
2
)12(exp()( 1 =
−−
−−−
−= nH
xn
H
Ln
H
xnCxX nn
πππ
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#9 Recuperação da Separação da Solução da EDP via Eq. (5c) :
1)(],0[2
)12(cos =⊥
−ypsobHem
H
yn π
∑∞
=
−
−−
−−−
−=1n
n1 H2
y)1n2(cos.)
H2
x)1n2(exp().
H
L)1n2(exp()
H2
x)1n2(exp(C)y,x(
ππππΘ
Checando CCs do PVC Original ...
0,x,Hy:4.C.C
0y
,x,0y:3.C.C
0,y,Lx:2.C.C
yH,y,0x:1.C.C
0yx 2
2
2
2
=∀=
=∂
∂∀=
=∀=
−=∀=
=∂
∂+
∂
∂
Θ
Θ
Θ
Θ
ΘΘ
Resta Aplicar CC1
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#10 Aplicando C.C. Remanescente na Solução da EDP :
Esta é uma Série de Fourier para a Função H-y. Os Coeficientes C1n são obtidos com a Ortogonalidade das Funções cos((2n-1)ππππy/2H) em [0,H] sob p(y)=1
⇓
∑∞
=
−
−−
−−−
−=Θ1
12
)12(cos.)
2
)12(exp().
)12(exp()
2
)12(exp(),(
nn H
yn
H
xn
H
Ln
H
xnCyx
ππππ
∑∞
=
−
−
−−=−1n
n1 H2
y)1n2(cos.)
H
L)1n2(exp(1CyH
ππ
yH,0x −== Θ
112J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#10 Aplicando C.C. Remanescente na Solução da EDP :
∑∞
=
−
−
−−=−1n
n1 H2
y)1n2(cos.)
H
L)1n2(exp(1CyH
ππ
∫
∫
−
−−−
−−
=H
0
2
H
0n1
dy).H2
y)1n2((cos
H
L)1n2(exp1
dy).H2
y)1n2(cos()yH(
Cππ
π
⇓
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2
Hdy.)
H
y)1n2(cos(1
2
1dy).
H2
y)1n2((cos
H
0
H
0
2 =
−+=
−∫∫
ππ
π
π
π
π
)1n2(
)1(H2
0
H
H2
y)1n2(sen
)1n2(
H2dy.
H2
y)1n2(cos.H
1n22H
0−
−=
−
−=
− −
∫
∫
∫
−
−−
−
−=
−
H
0
H
0
dy.H2
y)1n2(sen
)1n2(
H2
0
H
H2
y)1n2(sen.y.
)1n2(
H2dy.
H2
y)1n2(cos.y
π
π
π
π
π
114J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
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2
Hdy.)
H
y)1n2(cos(1
2
1dy).
H2
y)1n2((cos
H
0
H
0
2 =
−+=
−∫∫
ππ
π
π
π
π
)1n2(
)1(H2
0
H
H2
y)1n2(sen
)1n2(
H2dy.
H2
y)1n2(cos.H
1n22H
0−
−=
−
−=
− −
∫
−−−
−=
=
−
−+
−
−=
−
−
−
∫
ππ
π
ππ
π
)1n2(
2)1(
)1n2(
H2
0
H
H2
y)1n2(cos
)1n2(
H2
)1n2(
)1(H2dy.
H2
y)1n2(cos.y
1n2
21n2H
0
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
,...)2,1n()1n2(
H8
H
L)1n2(exp1
1C
22n1 =
−
−−−
=ππ
116J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
−
−−−
=22n1
)1n2(
H8
H
L)1n2(exp1
1C
ππ
∑∞
=
−
−−
−−−
−=Θ1
12
)12(cos.)
2
)12(exp().
)12(exp()
2
)12(exp(),(
nn H
yn
H
xn
H
Ln
H
xnCyx
ππππ
#11 Consolidando a Solução da EDP para P(x,y) : Exemplo 5.8
)y,x(gP)y,x(P 0 Θρ+=
117J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#12 Aproximantes N=3,5,10,20, L=10m, H=20m Ex. 5.8
118J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#12 Aproximantes N=3,5,10,20, L=10m, H=20m Ex. 5.8
119J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
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#12 Aproximantes N=3,5,10,20, L=10m, H=20m Ex. 5.8
120J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#12 Aproximantes N=3,5,10,20, L=10m, H=20m Ex. 5.8
121J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Exemplo 5.9 : Obter a Distribuição Espaço-Temporal de Concentração de "A" em Meio de Cultura Infinito em (z , y)
Meio de cultura infinito em (z , y) de espessura L na direção x revestido por película impermeável em x = 0 e em x = L. Em t = 0, o meio encontra-se com 2 camadas de igual espessura e concentrações respectivas CA0 e 0.
Película impermeável
Película impermeável
L/2 Em t=0, CA = 0
Em t=0, CA = CA0L/2x
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Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Película impermeável
L/2 Em t=0, CA = 0
L/2x
0t
C
Difusãoda.Eq
AA =•∇+
∂
∂Φ AABA
AB
CD
.)constD(DifusãodaFickdeLei
∇−=Φ
A2
ABA CD
t
C
Difusãoda.Eq
∇=∂
∂Em 1-D
2A
2
ABA
x
CD
t
C
D1Difusãoda.Eq
∂
∂=
∂
∂
−
Em t=0, CA = CA0
123J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Película impermeável
L/2 Em t=0, CA = 0
L/2x
Condições de Contorno
0n A =•Φ
Película impermeável
Em t=0, CA = CA0
124J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
0x
C0n,t,Lx:2.C.C
0x
C0n,t,0x:1.C.C
2/Lx0,C
2/Lx,0)x(gC,0t:.I.C
x
CD
t
C
AA
AA
0AA
2A
2
ABA
=∂
∂⇒=•∀=
=∂
∂⇒=•∀=
≤≤
>===
∂
∂=
∂
∂
Φ
Φ
Problema de Valor Inicial (PVI) Linear em 2 vars independentes (t,x)
EDP-2 Linear (Coeficientes Const.) Homogênea e Parabólica
#1 Formulação Matemática do Problema : Eq. da Difusão 1-D
125J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#2 Implementando Separação de Variáveis
)x(X).t(T)x,t(CA =
Derivadas da EDP : )1(A)2(2A
2
T).x(Xt
C,)t(T.X
x
C=
∂
∂=
∂
∂
Substituição na EDP : T.X.DT).x(Xx
C
t
C )2(AB
)1(2A
2A =⇒
∂
∂=
∂
∂
T
T
D
1
X
X )1(
AB
)2(
=Resulta :
13a
13b
126J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Sendo t e x independentes, fórmula (13b) só pode ocorrer sendo ambas funções iguais a uma constante (a determinar) λλλλ .
λ==T
T
D
1
X
X )1(
AB
)2(
Neste estágio, o PVIapresenta-se como :
≤≤
>===
=⇔=∂
∂∀=
=⇔=∂
∂∀=
==
2/Lx0,C
2/Lx,0)x(gC,0t:.I.C
0)t(T).L(X0x
C,t,Lx:2.C.C
0)t(T).0(X0x
C,t,0x:1.C.C
T
T
D
1
X
X
0AA
)1(A
)1(A
)1(
AB
)2(
λ
13c
127J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Devido à Homogeneidade de CC1, CC2 e graças à forma separada em (13c), é possível desacoplar PVC(x) e PVI(t), sendo o primeiro totalmente definido e o segundo parcialmente, pois CI não permite explicitar T(0) :
#3 Desacoplando PVCs/PVIs Ordinários : PVC(x) + PVI(t)
0)L(X,Lx:2.C.C
0)0(X,0x:1.C.C
X
X
)1(
)1(
)2(
==
==
= λ
λ=T.D
T
AB
)1(
≤≤
>===
=⇔=∂
∂∀=
=⇔=∂
∂∀=
==
2/Lx0,C
2/Lx,0)x(gC,0t:.I.C
0)t(T).L(X0x
C,t,Lx:2.C.C
0)t(T).0(X0x
C,t,0x:1.C.C
T
T
D
1
X
X
0AA
)1(A
)1(A
)1(
AB
)2(
λ
128J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#4 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
1b,0b,1a,0a
Lb,0a
0)x(q,1)x(p,1)x(r
PSLÉ
2121 ====
==
===
⇓
1)x(psob]L,0[em)x(XFamíliaDá n =⊥
0)L(X,Lx:2.C.C
0)0(X,0x:1.C.C
X
X
)1(
)1(
)2(
==
==
= λ
0)L(X,Lx:2.C.C
0)0(X,0x:1.C.C
0XX
)1(
)1(
)2(
==
==
=− λ
129J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Solução : Eq. Característica :Raízes :
λθ
λθ
θ
±=
=−
=
0
)x.exp()x(X2
#5 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
Caso 1 : λλλλ > 0 →→→→ Raízes Reais Distintas
Raízes :Solução EDO Hom. : )xexp(C)xexp(C)y(X 21H λλ
λθ
−+=
±=
Aplicando CCs :
=−+
=−
0)Lexp(C)Lexp(C
0CC
21
21
λλλλ
Só Sol. Trivial : 0)x(X0CC H21 =⇒==
0)L(X,Lx:2.C.C
0)0(X,0x:1.C.C
0XX
)1(
)1(
)2(
==
==
=− λ
130J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Caso 2 : λλλλ = 0 →→→→ Raíz Real Dupla
=+
=+
0C0.C
0C0.C
21
21
Raízes :Solução EDO Hom. :
Aplicando CCs :
x.CC)x(X
0
21H +=
=±= λθ
Há Sol. não Trivial : 1H21 C)x(X0C,0C =⇒=≠
#5 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
Registrando Sol. não Trivial : 1)x(X0 00 =⇒=λ
131J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
Caso 3 : λλλλ < 0 →→→→ Raizes Complexas Conjugadas
Raízes :Solução EDO Hom. :
Aplicando CCs :
)xcos(C)x(senC)x(X
)x(senC)xcos(C)x(X
i
21)1(
H
21H
λλλλ
λλ
λλθ
−−+−−−=
−+−=
−±=±=
=−−+−−−
=+
0)Lcos(C)L(senC
0C0.C
21
21
λλλλ
Sol. Não Trivial com
#5 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
,...)2,1n(L
n
,...)2,1n(nL0)L(sen
2
22
n
n
=−=⇒
=±=−⇒=−
πλ
πλλ
)L
xncos()
L
xncos()x(X)xcos(C)y(X n1H
ππλ =
±=⇒−=
0C,0C 21 =≠
132J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#5 Resolvendo PVCs Ordinários : PVC(x)
,...)2,1n(L
xncos)x(X,
L
nn2
22
n =
=−=
ππλ
PVC(x) Finalizado.λλλλn , Xn(x) Obtidos.
Consolidando soluções não-triviais do PVC(x) : λλλλ = 0 e λλλλ < 0
1)x(X,0 00 ==λ
1)x(psob]L,0[em)x(X
,...)2,1,0n(L
xncos)x(X
,...)2,1,0n(L
n
n
n
2
22
n
=⊥
=
=
=−=
π
πλ
133J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#6 Resolvendo PVIs Ordinários : PVI(t)
PVC(x) finalizou com
λ=T.D
T
AB
)1(
Convém escrever PVI(t) também indexado em n (n = 0,1,2,...)
1)x(psob]L,0[em)x(X
,...)2,1,0n(L
xncos)x(X
,...)2,1,0n(L
n
n
n
2
22
n
=⊥
=
=
=−=
π
πλ
)t..Dexp(C)t(T0T..DTT.D
TnABnnnnAB
)1(nn
nAB
)1(n λλλ =⇒=−⇒=
)L
t.Dnexp(C)t(T
2AB
22
nnπ
−=
134J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#7 Resumo Resolução PVCs/PVIs Ordinários :
1)x(psob]L,0[em)x(X,,...)2,1,0n(L
xncos)x(X
,...)2,1,0n(L
n
nn
2
22
n
=⊥=
=
=−=
π
πλ
,...)2,1,0n()L
t.Dnexp(C)t(T
2AB
22
nn =−=π
Constante de Integração a Determinar com a C.I. não-desacoplada
135J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo
Cap. V : Equações Diferenciais Parciais (EDP)4. Implementação Método de Separação de Variáveis em EDP-2
#8 Recuperação da Separação da Solução da EDP :
)x(X).t(T)x,t(CA = ⇒ ∑∞
=
=0n
nnA )t(T).x(X)x,t(C
1)x(psob]L,0[em)x(X,,...)2,1,0n(L
xncos)x(X
,...)2,1,0n(L
n
nn
2
22
n
=⊥=
=
=−=
π
πλ
,...)2,1,0n()L
t.Dnexp(C)t(T
2AB
22
nn =−=π
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#8 Recuperação da Separação da Solução da EDP :
Checando CCs do PVI ...
Resta Aplicar CI
−= ∑
∞
= L
xncos.
L
t.DnexpC)x,t(C
0n2
AB22
nAππ
0x
C,t,Lx:2.C.C
0x
C,t,0x:1.C.C
2/Lx0,C
2/Lx,0)x(gC,0t:.I.C
x
CD
t
C
A
A
0AA
2A
2
ABA
=∂
∂∀=
=∂
∂∀=
≤≤
>===
∂
∂=
∂
∂
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#9 Aplicando C.I. Remanescente na Solução da EDP :
Esta é uma Série de Fourier para a Função g(x). Os Coeficientes Cn são obtidos com a Ortogonalidade das Funções cos(nππππx/L) em [0,L] sob p(x)=1
⇓ )x(gC,0t A ==
−= ∑
∞
= L
xncos.
L
t.DnexpC)x,t(C
0n2
AB22
nAππ
= ∑
∞
= L
xncos.C)x(g
0nn
π
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#9 Aplicando C.I. Remanescente na Solução da EDP :
+=
= ∑∑
∞
=
∞
= L
xncos.CC
L
xncos.C)x(g
1nn0
0nn
ππ
)1n(
dx).L
xn(cos
dx).L
xncos().x(g
CL
0
2
L
0n ≥=
∫
∫
π
π
)0n(L
dx.1).x(g
dx.1
dx.1).x(g
C
L
0L
0
2
L
00 ===
∫
∫
∫
2
C
L
dx.C
C 0A
2/L
00A
0 ==
∫)1n(
2
L
dx).L
xncos(.C
C
2/L
00A
n ≥=
∫π
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#9 Aplicando C.I. Remanescente na Solução da EDP :
+=
= ∑∑
∞
=
∞
= L
xncos.CC
L
xncos.C)x(g
1nn0
0nn
ππ
2
CC 0A
0 =
>−
>
=
=
−
)ímpar,0n(,n
)1(C2
)par,0n(0
2
nsen.
n
C2C
2
1n
0A
0An
π
π
π
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#10 Consolidando a Solução da EDP para CA (t,x) : Exemplo 5.9
−= ∑
∞
= L
xncos.
L
t.DnexpC)x,t(C
0n2
AB22
nAππ
2
CC 0A
0 =
>−
>
=−
)ímpar,0n(,n
)1(C2
)par,0n(0
C
2
1n
0A
n
π
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#10 Consolidando a Solução da EDP para CA (t,x) : Exemplo 5.9
−+= ∑
∞
= L
xncos.
L
t.DnexpC
2
C)x,t(C
1n2
AB22
n0A
Aππ
>−
>
=−
)ímpar,0n(,n
)1(C2
)par,0n(0
C
2
1n
0A
n
π
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#10 Consolidando a Solução da EDP para CA (t,x) : Exemplo 5.9
−
−−+= ∑
∞
=− L
x)1n2(cos.
L
t.D)1n2(expC
2
C)x,t(C
1n2
AB22
1n20A
Aππ
,...)3,2,1n()1n2(
)1(C2C
1n0A
1n2 =−
−=
−
−π
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#11 Aproximantes N=3,5,10,20, L=100m, Horiz=100s Ex. 5.9
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#11 Aproximantes N=3,5,10,20, L=100m, Horiz=100s Ex. 5.9
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#11 Aproximantes N=3,5,10,20, L=100m, Horiz=100s Ex. 5.9