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Ensino Superior

3 – Transformada de Laplace

Amintas Paiva Afonso

Introdução aos Sistemas Dinâmicos

Sumário

3.1 Introdução

3.2 Revisão das variáveis complexas e das funções complexas.

3.3 Transformada de Laplace.

3.4 Teoremas da Transformada de Laplace.

3.5 Transformada inversa de Laplace.

3.1 Introdução

3.2 Definição da Transformada de Laplace

0dte st

f(t) = uma função de tempo t em que f(t) = 0 para t < 0

s = uma variável complexa

F(s) = transformada de Laplace de f(t)

L = Operador de Laplace - um símbolo operacional que indica que a grandeza que ele antecede vai ser tranformada por meio da integral de Laplace

Então, a transformada de Laplace de f(t) é dada por:

0

dttfesF st )()(L [f(t)]= Desde que a integral convirja


Portanto, o método consiste em resolver equações diferenciais como se fossem equações algébricas.

Definição: Dada uma função f(t) definida no intervalo [0, ) definimos a sua transformada de Laplace, F(s), por

0

))((L)()( tfdttfesF st

Supondo que a integral convirja pelo menos para algum valor de s.


• Por meio de sua utilização, podemos converter muitas funções comuns, como funções senoidais, amortecidas e funções exponenciais, em funções algébricas de uma variável

complexa s.

• A transformada de Laplace é um método operacional que pode ser usado de maneira proveitosa para solucionar equações diferenciais lineares.

• Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo.

• Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada em

uma equação algébrica em uma variável complexa s.


• Se a equação algébrica em s for solucionada em termos da variável dependente, então a solução da equação diferencial (a transformada de Laplace inversa da variável dependente) poderá ser obtida por meio da tabela das transformadas de Laplace.


Vantagens da Transformada de Laplace

• Converte uma equação diferencial linear em uma equação algébrica, facilitando a sua solução. Obtém-se tanto a solução transitória quanto a permanente;

• Conversão de vários tipos de função em funcões algébricas;

• Permite o uso de técnicas gráficas para a previsão do desempenho do sistema, sem necessitar resolver suas equações diferenciais.


Aplicando a Definição

Exemplo 1:


Exemplo 2:


Exemplo 3:


Exemplo 4:


Transformação Linear

Transformamos através do operador L funções f(t), na variável t, em funções F(s), na variável s.

Sabe-se que uma integral definida em um intervalo ilimitado é chamada de integral imprópria e é definida como um limite de integrais definidas em intervalos finitos; Assim:

a

A

aAdttfdttf )(lim)(

Onde A é um real positivo. Se a integral de a até A existe para todo A > a e se o limite quando A existir, então dizemos que a integral imprópria converge para aquele valor limite. Caso contrário, diverge.

Exemplo 1: Seja f(t) = 1/t , t 1, então

1)/1( dtt

Converge?

Adttdttdttf

A

AAlnlim)/1(lim)/1()(

11 1

Logo, a integral imprópria diverge.

2?)( divergedttf

Exemplo 2: Seja f(t) = 1/t 2, t 2, então a integral

Temos que:

2/1)/1(lim)/1(lim)/1( |22

2

2

2

A

A

A

Atdttdtt

Logo a integral dada converge para o valor 1/2.

Teorema: Se f é seccionalmente contínua em t a, se |f(t)| g(t) quando t M para alguma constante positiva M e se

aMdttfentãoconvergedttg )(,)(

também converge. Por outro lado, se f(t) g(t) 0 para t M e se

aMdttfentãodivergedttg )(,)(

também diverge.

Teorema: (Existência da transformada de Laplace).

Suponha que:

1) f seja seccionalmente contínua no intervalo 0 t A para qualquer A positivo;

2) |f(t)| Keat quando t M, onde K, a e M são constantes reais com K e M necessariamente positivas. Então, a transformada de Laplace L [f(t)] = F(s), definida pela equação

L [f(t)] = F(s) = ,)(0

dttfe st

Existe para s > a.

Exemplo 3: Seja f(t) = 1, t 0. Então

01

1100

ss

dtedteLA

st

A

st .lim)(

Exemplo 4: Seja f(t) = sen(at), t 0. Então

00

sdtatsenesFatsenL st ,)()())((

Temos integrando por partes

])cos()cos(

[lim)(00

| dtatea

s

a

atesF

A stAst

A

Finalmente, F(s) = a / (s 2 + a 2), s > 0

Exemplo 5: Seja f(t) = eat, t 0, então

dtedteesFeL tasatstat

0

)(

0)()(

L

F(s)

aF(s) + bF(s)

sF(s) – f(0)

s 2F(s) - sf(0) - f’(0)

f(t)

af(t) + bf(t)

f ’(t)

f ”(t)

Transformada de Laplace

Teorema: Suponha que f seja contínua e que f’ seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A.

Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)| ke at para t M. Então L[f’(t)] existe para s > a e, além disso, L[f’(t)] = sL[f(t)] = sL[f(t)] – f(0).

Corolário: Suponha que as funções f, f’, f”, ..., f(n-1) sejam contínuas e que f(n) seja seccionalmente contínua em qualquer intervalo 0 t A. Suponha, além disso, que existam constantes k, a e M tais que |f(t)| ke at , |f’(t)| ke at ...|f(n-1)(t)| ke at para t M. Então L[f(n)(t)] existe para s > a e é dado por

L[f(n)(t)] = snL[[f(t)] – sn-1f(0) - ... - sf(n-2)(0) – f(n-1)(0).

Exemplo 6: Determine F(s) se f(x) = 3 + 2x2.

Por definição e tabela de transformada, temos:

F(s) = L(3 + 2x2) = 3L(1) + 2L(x2) = 3(1/s) + 2(2/s3) = 3/s + 4/s 3.

Exemplo 7: Resolva a equação diferencial y”– y’– 2y = 0 com y(0) = 1, y’(0) = 0.

Facilmente pode-se encontrar a solução y = 2/3e-t + 1/3e2t usando equação característica.

Usando transformada de Laplace, temos:

L[y”] – L[y’] – 2L[y] = 0,

s2L[y] – sy(0) – y’(0) – [sL[y] – y(0)] – 2L(y) = 0

ou (s2 – s – 2)Y(s) + (1 - s)y(0) – y’(0) = 0

Y(s) = (s – 1) / (s2 – s – 2) = (s – 1) / [(s – 2) (s + 1)]

que acaba chegando à mesma solução.

Exemplo 8: Usando a transformada de Laplace, resolva a equação y” – y’ - 6 = 0, y(0) = 1, y’(0) = -1.

Solução: L[y”] – L[y’] – 6L[y] = 0

s2L[y] – sy(0) – y’(0) – {sL[y] – y(0)} – 6L[y] = 0.

Como L[y] = Y(s), temos:

s2Y(s) – sy(0) – y’(0) – sY(s) + y(0) – 6Y(s) = 0

Y(s)(s2 – s – 6) + 1 – s + 1 = 0

Y(s) = (s –2) / (s2 – s – 6) = (s –2) / (s – 3)(s –+2)

Separando em frações, temos: Y(s) = (1/5)/(s - 3) + (4/5)/(s + 2)

Consultando a tabela de Laplace, temos

Y(s) = (1/5)e3t + (4/5)e-2t = (1/5)(e3t + 4e -2t)

Exemplo 9: Resolva por Laplace a equação: y’ + y = senx, y(0) = 1.

Solução: sY(s) – y(0) + Y(s) = 1 / (s2 +1)

sY(s) – 1 + Y(s) = 1 / (s2 + 1), Y(s)(s + 1) = 1 + 1 / (s2 + 1)

Y(s) = 1/(s + 1) + 1 / (s + 1)(s2 + 1)

Separando em frações, temos:

1/(s + 1)(s2 + 1) = A/(s + 1) + (Bs + C) / (s2 + 1)

Donde A = ½, B = - ½ e C = ½. Então

Y(s) = 1/(s + 1) + (1/2)/(s + 1) – (½)[s/(s2 + 1)] + ½ [1/(s2 + 1)]

Logo:

y = (3/2)e–x – (1/2)cos(x) + (1/2)sen(x) = ½ (3e–x – cos(x) + sen(x))

Função Degrau: A função Degrau unitário, denotado por c, é definida por

ct

ctc

,

,

0

1

A função de Laplace de c é determinada por

0,)()({0

ss

edtedttetL

cs

c

stc

stc

y

t

1

c

y = 1 - c

t

y

c

1

y = c (t)

Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então

L[µc(t) f(t - c)] = e – cs L[f(t)] = e – cs F(s), s > a

Reciprocamente, se f(t) = L –1[F(s)], então

µc(t) f(t - c) = L –1[e – cs F(s)]

Teorema: Se F(s) = L[f(t)] existe para s > a 0 e se c é uma constante positiva, então L[ectf(t)] = F(s - c), s > a + c

Reciprocamente, se f(t) = L –1 {f(t)}, então ect = L –1 {f(s-c)}.

Exemplo 10: Usando a função atseoaatsec

,0

,,1

Reescreva a função atseatseattf

,0,),sen()(

Assim podemos escrever f(t) = a(t) sen(t - a)

ou

atseatseatga atgttf

,0,),()()()(

Teorema: Se f é de ordem exponencial e é de período p, então

sp

p st

e

dttfetfL

10

)()]([

Exemplo 11: Ache a transformada de Laplace da função cujo gráfico é

1

1 2 3 4t

f(t)

Neste caso, f é periódica com período 2, donde

)(

)(

)()]([

s

ss

st

s

st

es

ese

e

dte

e

dttfetfL

11

11

11 2

1

2

1

02

2

0

Exemplo 12: Encontre a transformada de Laplace da função f(t) = t, 0 t < 1, f(t +1) = f(t).

s

st

e

tdtetfL

1

1

0)]([

Integrando por partes, temos

[1 – (1 + s)e –s] / [s2 (1 – e-s)]

Definição de convolução: Sejam f(x) e g(x) E.

A convolução de f(x) e g(x) é dada por

.)()()().(0 x

dttxgtfxgxf

Exemplo: Se f(x) = e 3x e g(x) = e 2x, então f(t) = e 3t e g(t) = e 2(x - t) e

xxx txtxx t eedteedteexgxf 23

0

2)(2

0

3)().(

Teorema: Se L[f(x)] = F(s) e L[g(x)] = G(s), então

L[f(x) . g(x)] = L[f(x)] . L[g(x)] = F(s) . G(s) podem ser escrita na forma L –1[F(s) . G(s)] = f(x) . g(x)

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