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Modelagem de Sistemas DinâmicosAlessandro D. Trani Gomes – [email protected] 3 – Transformada de Laplace

A teoria desenvolvida por Laplace permite empregar métodos para soluções de equações algébricas para resolver equações diferenciais lineares invariantes no tempo.

Seja um sinal físico que pode ser representado pela função no domínio do tempo denotada por f(t). A transformada de Laplace de f(t), doravante denotada por L {f(t)} = F(s) é definida por:

)1()()()(£0

dtetfsFtf st

mailto:[email protected]


Analisando-se dimensionalmente o expoente –st, nota-se que o mesmo deve ser adimensional de onde conclui-se que a variável s deve ter mesma dimensão de frequência (T-1) recebendo o nome de frequência complexa.

A transformada de Laplace pode então ser entendida como uma mudança de domínio, onde uma função no domínio do tempo é transformada em outra no domínio da frequência.

A função F(s) é a transformada de Laplace de f(t) e é uma função da freqüência generalizada s = + j . Temos interesse em t > 0.



O retorno do domínio da frequência para o domínio do tempo é obtida pela transformada inversa de Laplace denotada por L-1 {F(s)} = f(t) e definida por:

0,)(2

1)(

tdsesFj

tf tsjc

jc

)(£)( 1 sFtf

ou

A transformada inversa de Laplace possibilita encontrar a função temporal de uma reposta dinâmica de um sistema modelado no domínio complexo‘s’.



Alguns métodos podem ser aplicados na inversão da função no domínio complexo para o domínio tempo. Os métodos mais simples baseiam-se na análise de tabelas de transformações. Porém, dependendo do grau da função F(s), requer-se fracioná-la, de maneira que a função total, por vezes de difícil solução, seja quebrada em parcelas com inversas mais simples. Esse método denomina-se Expansão por Frações Parciais.



a)

b) Função Degrau unitário:

taetf )( dteateedtetfsF taststats

0

)(

00

)()(as

1

Exemplos:

s

dte ts 11£

0



)(lim)(lim0

ssFtfst

TEOREMA DO VALOR FINAL

Para analisar a resposta de um sistema em regime estacionário aplica-se o teorema do valor final que é definido por:

Se uma transformada de Laplace é multiplicada por “s”, o valor do produto fazendo “s” tender a zero é o valor da transformada inversa com “t” tendendo a infinito.

Onde f(t) é uma função qualquer no domínio do tempo



)(lim)(lim)0(0

ssFtffst

TEOREMA DO VALOR INICIAL

Não fornece o valor de f(t) em t = 0, mas num tempo ligeiramente superior a ZERO

Se uma transformada de Laplace é multiplicada por “s”, o valor do produto fazendo “s” tender a infinito é o valor da transformada inversa com “t” tendendo a zero.

Onde f(t) é uma função qualquer no domínio do tempo



Exemplos:



TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

• O método mais conveniente é utilizar a tabela de transformadas inversas;

• A função deve estar numa forma reconhecível na tabela;

• Se a transformada F(s) não puder ser encontrada diretamente na tabela, deve-se expandir em frações parciais para obter funções com transformadas conhecidas;



EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

• O denominador deve ser fatorado em termos de suas raízes reais ou complexas;

• O numerador deve ser, pelo menos, um grau abaixo do denominador;



TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS

1) RAÍZES REAIS DIFERENTES




1) RAÍZES REAIS DIFERENTES (EXEMPLO)




2) RAÍZES REAIS IGUAIS (REPETIDAS)




3) RAÍZES COMPLEXAS

- VEREMOS MAIS TARDE.....


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