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Modelagem de Sistemas DinâmicosAlessandro D. Trani Gomes – [email protected] 1 – Introdução – Modelos

Modelos

Um modelo é uma representação simplificada da realidade, de um processo, de um sistema ou de um problema a ser resolvido.

Embora simplificado, ele faz uma representação suficientemente precisa dos aspectos essenciais do sistema. Ou, se preferir, um modelo é uma abstração ou uma aproximação que é usada para se entender e simular a realidade.

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Tipos de modelos:

• Icônico• Matemático• Diagramático• Representação gráfica



O que é um modelo matemático?

•"É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema, que apresenta conhecimento desse sistema em uma forma utilizável." (Eykhoff, 1974)

•"É um sistema de equações, cuja solução, dado um conjunto de dados de entrada, é representativa da resposta do processo." (Denn, 1986)

•"Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática ele um processo real." (Seborg et al, 2004)



Um modelo matemático para um sistema dinâmico pode ser definido como um conjunto de equações diferenciais que descrevem o comportamento do sistema de maneira precisa, ou o melhor possível. Também recebe o nome de modelo dinâmico.

Modelos com precisão elevada incluem equacionamento complexo onde todos os fenômenos envolvidos no processo são considerados relevantes e os parâmetros devem ser avaliados ou conhecidos precisamente, situação nem sempre possível.



Sistema

O termo sistema é a combinação completa de equipamentos, materiais, energia, componentes que atuam em conjunto para satisfazer um objetivo especificado.



De maneira geral, um modelo matemático pode ser obtido de duas formas:

Modelo analítico – situação quando o sistema físico é conhecido e permite sua análise sendo que os parâmetros são conhecidos ou determináveis.

Modelo experimental – situação em que as aplicações das leis físicas não trazem resultados satisfatórios por que a constituição física do mesmo não é conhecida ou os parâmetros não podem ser conhecidos ou são muito imprecisos. Neste caso recorre-se a experimentos.



Causal x Não-CausalUm sistema causal depende somente de condições presentes ou passadas, e não dependem de estados futuros. Sistemas físicos são todos sistemas causais.

Estático x DinâmicoEstático: processo cujo valor das variáveis permanece constante no tempo. Este tipo de modelo não possui "memória", daí o efeito de uma variável de entrada ser apenas instantâneo. Dinâmico: as variáveis variam no tempo, que é a variável independente. A solução completa consiste dos regimes permanente e transitório. O efeito de um sinal de entrada irá influenciar o comportamento do sistema nos instantes subsequentes.



Determinísticos x Estocásticos

Em um modelo determinístico a saída pode ser calculada de forma exata tão logo se conheça o sinal de entrada e as condições iniciais. Em contraste, um modelo estocástico contém termos aleatórios que tornam impossível um cálculo exato da saída. Os termos aleatórios do modelo podem ser encarados como uma descrição das perturbações. Normalmente, o modelo determinístico engloba apenas o processo, enquanto o estocásticoconsidera também as perturbações e ruídos.



Parâmetros Concentrados x Parâmetros Distribuídos

Nos modelos a parâmetros concentrados as variações espaciais são desprezadas: propriedades (estados) do sistema são considerados homogêneos em todo o volume de controle. Eles são descritos por um número finito de equações diferenciais ou de diferenças ordinárias.Nos modelos a parâmetros distribuídos variações espaciais são consideradas no comportamento das variáveis. Eles são descritos por um número infinito de equações ordinárias ou por equações diferenciais parciais. Todo sistema real é distribuído.



Linear x Não-Linear

Um sistema é chamado linear se a ele se aplica o princípio da superposição. O princípio da superposição estabelece que a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas excitações diferentes é igual à soma das duas respostas individuais a cada uma das excitações.



Princípio da Superposição

Se sua resposta a uma entrada u1(t) é y1(t) e a sua resposta a uma entrada u2(t) é y2(t) o sistema é linear se sua resposta para uma entrada a.u1(t) + b.u2(t) for igual a a.y1(t) + b.y2(t) onde a e b são constantes quaisquer.

Uma forma simples de se verificar a linearidade de um sistema é aplicar o seguinte teste:

F ( x1 + x2 )= f (x1) + f (x2) e f(k.x) = k. f(x)


Invariantes no tempo x Variantes no tempoNos modelos invariantes no tempo, seus parâmetros não variam ao longo do tempo, o oposto ocorrendo no caso de modelos variantes no tempo.

Tempo Contínuo x Tempo DiscretoModelos em tempo discreto descrevem a relação entre entradas e saídas em pontos de tempo discreto.


No nosso curso de Modelagem de Sistemas Dinâmicos, concentraremos nossas atenções para os sistemas:

causais, dinâmicos, determinísticos, com parâmetros concentrados, lineares, invariantes no tempo e contínuos.

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