el ti id d li d à i f t t d t telasticidade aplicada à...

SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO

Pós-graduação em Engenharia de Transportes

El ti id d li d à I f t t d T tElasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes

MAJ MONIZ DE ARAGÃO

DEFORMAÇÕES:

• Campo de deslocamentos; Componentes de deformação; Relações deformação-deslocamento; Deformação linear específica numa direção qualquer; Deformações Principaisespecífica numa direção qualquer; Deformações Principais.

Referências bibliográficas:• Introdução à Teoria da Elasticidade, Villaça, S. F., Taborda Garcia,

L. F., COPPE/UFRJ, 4ª Ed., 2000.• Theory of Elasticity, Timoshenko, S. P., Goodier, J.N., McGraw-Hill

Classic Textbook Reissue Series, 3rd Ed., 1970.

Deformações:Campo de deslocamentosCampo de deslocamentos

Solicitações externas atuando em um corpo deformável:Solicitações externas atuando em um corpo deformável:

Mudança de forma e dimensõesdimensões

Configuração inicial indeformada Configuração final deformada


Um ponto A do corpo que na configuração inicial tem as coordenadasUm ponto A do corpo, que na configuração inicial tem as coordenadas x, y, z, sofre um deslocamento u, e passa para a posição A*.

wvu ,,u

zyxvv ,, zyxuu ,,

zyxww ,, zyxww ,,

As coordenadas A* são então dadas por x+u, y+v, z+w, e o

CAMPO DE DESLOCAMENTOS determinado pelas funções u, v, w.


Observações:Observações:

• Tendo em vista a continuidade do sólido no processo de deformação, as funções escalares u, v, w devem ser contínuas e unívocas.

• O campo de deslocamentos pode ser decomposto em duas parcelas:

• Movimento de corpo rígido (translação do ponto)

• Deslocamento com mudança de forma e dimensões do corpo (alongamentos, encurtamentos)

O movimento do corpo rígido pode ser sempre eliminado mediante a• O movimento do corpo rígido pode ser sempre eliminado mediante a introdução adequada de vínculos.

Ex: Deslocamento com mudança de dimensões

Movimento de Corpo rígidomudança de dimensões Corpo rígido

F

Componentes de DeformaçãoComponentes de Deformação

D f ã ( t i )• Deformação (strain)

• Deformação linear específica

Alongamento relativos

• Alongamento relativo

Deformação no ponto A e na direção s:

Relação entre o alongamento sofrido pelo segmento elementar e o seu comprimento inicial, ao passar da configuração inicial para aao passar da configuração inicial para a deformada.

ss dsds ds

dsdsAB

ABBA

1****


D f ã l ( h i t i )• Deformação angular (shearing strain)

• Distorçãost

Distorção no ponto A associada às direções s, t :

BACst*** ˆ

2

2

Redução do ângulo originariamente reto entre AB e BC.


O estado de deformação em um ponto A fica completamenteO estado de deformação em um ponto A fica completamente determinado se forem conhecidas as componentes de deformação (linear e angular) em três direções ortogonais.

Referindo-se ao sistema cartesiano global xyz, tem-se as seguintes componentes de deformação:

, , , , , yzxzxyzyx

De forma análoga ao estado de tensões, conhecidas essas componentes é possível calcular a deformação linear numa direção qualquer, ou a d f ã l i d d di õ t i ideformação angular associada a um par de direções ortogonais quaisquerno ponto A.


A deformação em todo o corpo fica determinada conhecendo-se o campo de deformações, ou seja, as componentes de deformação como funções de posição:como funções de posição:

zyx zyx

zyxz,y,xz,y,x

yy

xx

zyxz,y,xz,y,x

xzxz

xyxy

z,y,xzz z,y,xyzyz

Relações Deformação – Deslocamento( d d t i )(coordenadas cartesianas)Sejam (A*) (B*) (C*) as projeções de A* B* C* no plano xy Logo:Sejam (A ), (B ), (C ) as projeções de A , B , C no plano xy. Logo:

O deslocamento (de primeira ordem) na direção x do ponto Bé igual a:

du dxx

u

devido ao aumento de

dxxu

da função u com o aumento da coordenada x

Relações Deformação - Deslocamentoç ç

Sejam (A*) (B*) (C*) as projeções de A* B* C* no plano xy Logo:Sejam (A ), (B ), (C ) as projeções de A , B , C no plano xy. Logo:

cosBAudxuudx **

cosBAudxx

udx

cosCAvdyvvdy **

cosCAvdyy

vdy

*** BAC

BAC2

dxxv

sen

** BA

sen

dyyu

** CA

ysen


Hipótese de pequenas mudanças de configuração; Hipótese de pequenas mudanças de configuração;

Componentes de deformação consideradas muito pequenas em presença da unidade;

y

****x

****

dyCACA

dxBABA

1

1

y

****** BACBAC xy****** BACBAC

22

11

cos ;sen

cos ;sen


Reescrevendo se as equações tem se: Reescrevendo-se as equações, tem-se:

xu1dxuBAudx

xuudx xx

cos** xx

yv1dyvCAvdy

yvvdy yy

cos**

yy

xyxy*** BAC

2 vu

2

vdxxvdx

xv

sen

xyxy

xdxBAsen

x**

1

dyudyu

Com as projeções nos outros dois planos cartesianos, são obtidas as demais expressões das

yu

dy

yy

CA

yysen

y**

1

relações deformação-deslocamento.

Relações Deformação – Deslocamento LinearesRelações Deformação Deslocamento Lineares

Na notação cartesiana: ,,,, 321 zyxxxx Na notação cartesiana:

,,,,,,,,

321

321

wvuuuuzyxxxx

...,,...,, xyxx1211

u

1vu1

vxu

y

x

xzxz

xyxy

1wu121

xv

yu

21

zwy

z

y

yzyz

xzxz

21

yw

zv

21

2xz2

z 2yz2

x é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementar originalmente na direção x.

x é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x.

Relações Deformação – Deslocamento LinearesRelações Deformação Deslocamento Lineares

Na notação cartesiana:Na notação cartesiana:

,,,, 321

wvuuuuzyxxxx

vxu

x

...,,...,,,,,,

xyxx1211

321 wvuuuu

wyv

y

zz

x é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementar originalmente na direção x.

x é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x.

Deformações angularesç g

vu

yxxy

yw

zv

xy

zyyz

yxxy

xw

zu

yz

zxxz

Deformações angularesç g

yxxyyxxy xv

yu

21

21

21É conveniente imaginar uma rotação

de corpo rígido do elemento em torno

zxxzzxxz xw

zu

xy

21

21

21

222p gdo eixo transversal de forma a seobter uma deformação angular igualsofrida por cada uma das faces

zyyzzyyz yw

zv

21

21

21transversais, com magnitude igual à

metade de distorção total no plano.

Tensor

Assim, modificando-se as relações para deformações angulares para xy ,yz e xz , obtém-se o tensor (de deformações), que é uma entidadematemática que obedece a certas leis de transformação:matemática que obedece a certas leis de transformação:

xzxyxx

yzyyyx

xzxyxx

zzzyzx

Notar que os termos da diagonal principal representam as deformaçõeslineares enquanto os termos situados fora da diagonal, cujos valores sãosimétricos em relação à diagonal, são as deformações transversais(angulares).

Convenção de sinais nas deformaçõesç ç

Deformação linear positiva: extensão do comprimento unitário

Deformação angular positiva:redução do ângulo originariamente retoredução do ângulo originariamente reto

Deformação linear numa direção qualquerç ç q q

Na figura abaixo um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s éNa figura abaixo, um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s é representado na sua configuração inicial.

co-senos diretores:co senos diretores:

xs

dsdx ,cos

ys

dsdymds

,cos

zs

dsdzn ,cos


Após a deformação o segmento passa para a posição P*Q* de comprimento ds*Após a deformação o segmento passa para a posição P Q de comprimento ds .

As projeções dos deslocamentos up e uq sobre a direção s são dadas por:

wnvmuuu PPs

ddus

ds

dsuu s

PsQs


Considerando se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:Considerando-se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:

dsudsduuds s

*

dsdu

ds

dsudsds

uds

dsdsds s

ss

s

*

Desenvolvendo a derivada direcional da função u nadirecional da função u na direção s....


Desenvolvendo a derivada direcional da função u na direção s....

ssss udzdudydudxdudu

ç ç

ss udsdzdsdydsdxds

ndz

wnvmudmdy

wnvmuddx

wnvmud

mndydw

dzdvn

dzdu

dxdwm

dydu

dxdvn

dzdwm

dydv

dxdu

222

mnnmnm 222 mnnmnm yzxzxyzyxs


s

xzxyxx

T

nm

nm yzyyyxs

M

nn zzzyzx

222 mnnmnm yzxzxyzyxs 222


mnnmnm yzxzxy2

z2

y2

xs

A expressão acima nos dá a deformação linear em torno de um ponto emuma direção qualquer (definida pelos seus co-senos diretores) em funçãoç q q ( p ) çdas deformações lineares segundo os eixos coordenados e dasdistorções nos planos coordenados.

Vê-se assim que as deformações segundo três eixos coordenados, ou seja, um tensor de deformações, é suficiente para definir o

ESTADO DE DEFORMAÇÃO

em torno de um ponto qualquer (assim como nas tensões).

Deformação angular numa direção qualquerç g ç q q

Analogamente pode-se demonstrar que a distorção entre duas direçõesAnalogamente, pode se demonstrar que a distorção entre duas direções s e t pode ser colocada como:

tstsxytsztsytsxst mmnn2mm22 tstsyztstsxz

tstsxytsztsytsxst

mnnmnn

Deformações Principaisç p

Pode-se mostrar pela análise das expressões anteriores de deformação linear ePode se mostrar pela análise das expressões anteriores de deformação linear e distorção segundo direções arbitrárias, ou pelas propriedades dos Tensores, que o Tensor deformação segundo três novas coordenadas x’, y’, z’ pode ser colocado como:

xzxyxxxzxyxxzxyxxxzxyxxx ''''''''''''

colocado como:

zzzyzx

yzyyyx

zzzyzx

yzyyyx

zzyzxz

zyyyxy

zzyzxz

zyyyxy

'''

'''

'''

'''

''''''

''''''

onde

)'cos()'cos()'cos(),'cos(),'cos(),'cos('''131211

zyyyxyzxyxxxzxyxxx

R

onde:

),'cos(),'cos(),'cos(),cos(),cos(),cos(

'''

'''

333231

232221

zzyzxzzyyyxy

zzyzxz

zyyyxy

R

tRεR ε 'Lei de Transformação do Tensor de 2ª ordem:


Tal como na análise de tensões pode se considerar por hipótese que num pontoTal como na análise de tensões, pode-se considerar por hipótese que num ponto de um sólido em estado de deformação existem três direções ortogonais (principais) em relação às quais a distorção é nula.

As deformações lineares em tais direções são as deformações principais:

Pelas propriedades dos tensores as três direções principais (ortogonais)

321 ,, 321

Pelas propriedades dos tensores, as três direções principais (ortogonais) correspondem à representação do tensor deformação segundo uma matriz diagonal.

Logo, as raízes da equação característica do tensor de deformações correspondem às deformações principais, e seus coeficientes são denominados p ç p p ,de invariantes do estado de deformação.


Seja a direção “e” ma direção principal onde há apenas ma deformação

Seja a direção “e” uma direção principal, onde há apenas uma deformação sem distorções:

mm yzyyyx

xzxyxx

ee

nn zzzyzx

00

nm

nm

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

e

e

e

00

0000

0

nmεexyz Iε

zzzyzxe n

As deformações principais são os autovalores da matriz (tensor) de deformaçõesAs deformações principais são os autovalores da matriz (tensor) de deformações


0eij Idet 0yzeyyx

xzxyex

ezzyzx

0JJJ 3e22e1

3e JJJ 3e2e1e

321iizyx1J

323121zzy

yzy

zzx

xzx

yyx

xyx2J

yxyy

321

xzxyx

3J

321

zzyzx

yzyyx3J

Deformações Principais: sólidos isotrópicosç p p

Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais


T õ P i i i D f õ i i i Di õ P i i iTensões Principais, Deformações principais, Direções Principais


Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais


T õ P i i i D f õ i i i Di õ P i i iTensões Principais, Deformações principais, Direções Principais

Rosetas de Deformaçõesç

yxOBxy 2

Compatibilidade de Deformaçõesp ç

é preciso garantir a integrabilidade das relações• é preciso garantir a integrabilidade das relações deformações-deslocamentos;

bt ã d d d l t• obtenção de um campo de deslocamentos cinematicamente admissível, representado por funções contínuas e unívocas;contínuas e unívocas;

• preservação do meio sólido no processo (de forma a não surgirem trincas ou fissuras);surgirem trincas ou fissuras);

• uma maneira de se assegurar que as deformações sejam tí i é i i i d d l tcompatíveis é iniciar um campo de deslocamentos

contínuo e unívoco e desenvolver as deformações a partir deste campo de conformidadedeste campo de conformidade.

Compatibilidade de Deformaçõesp ç

u

1vu1

vxu

y

x

xyxy

1wu121

xv

yu

21

zwy

z

y

yzyz

xzxz

21

yw

zv

21

2xz2

z 2yz2

32 ux

0

222

xyyx

22 yxy

32 vy

022

yxxyyyx

0222

xzzx

22 xyxy

332 vuxy 0

0

222

22

zxxz

yzzy

xzzx

22 xyyxyxxy

022

zyyzyzy

Bibliografia ComplementarBibliografia Complementar

Exemplos numéricos práticos: Shames, I. H., Introdução à Mecânica dos Sólidos, Prentice

Hall 1983 (Cap 3 e 12)Hall, 1983 (Cap. 3 e 12)

Propriedades dos Tensores:p Reddy, J.N., “Energy Principles and Variationl Methods in

Applied Mechanics”, John Wiley & Sonx, 2nd Ed., 2002 (Capítulo 2 3)(Capítulo 2.3)

Círculo de Mohr Círculo de Mohr Beer Johnston, Resistência dos Materiais Riley, Mecânica dos Materiais

el ti id d li d à i f t t d t telasticidade aplicada à...

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