dinâmica dos fluidos

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] Última atualização: 03/10/2005 17:54 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 2

Capítulo 18 - Dinâmica dos Fluidos

Problemas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Problemas Resolvidos 12. Em um furacão, o ar (densidade 1,2 kg/m3) sopra sobre o telhado de uma casa a 110 km/h. (a)

Qual a diferença de pressão entre o interior e o exterior da casa que tende a arrancar o teto? (b) Qual o módulo da força devida a esta diferença de pressão sobre um teto de 93 m2? (Pág. 94)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação, onde A é a área do telhado:

Aie

F

ve

(a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) do telhado da casa:

2 21 12 2i i i e ep gy v p gy veρ ρ ρ+ + = + + ρ

A pressão no interior é a pressão atmosférica (p0), enquanto que a pressão no exterior é p. Considerando-se que os pontos i e e encontram-se no mesmo nível em relação ao solo, teremos yi = ye = y. Pode-se considerar que a velocidade do ar no interior (vi) é aproximadamente zero. Logo:

2102i ep gy p gy veρ ρ ρ+ + = + +

21 560,1851 Pa2i e ep p vρ− = =

560 Pai ep p− ≈

(b) ( ) 52.097,222 Ni eF p p A= − =

52 kNF ≈ Esta força é equivalente ao peso de uma massa de cerca de 5 toneladas, ou seja, cerca de cinco carros de passeio.

[Início] 13. As janelas de um edifício medem 4,26 m por 5,26 m. Num dia de tempestade, o vento está

soprando a 28 m/s paralelamente a uma janela do 53o andar. Calcule a força resultante sobre a janela. A densidade do ar é 1,23 kg/m3. (Pág. 94)

Solução. Aplicando-se a equação de Bernoulli a pontos localizados no interior (i) e no exterior (e) da janela do prédio:

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2

2 21 12 2i i i e ep gy v p gy veρ ρ ρ+ + = + + ρ


Considerando-se que a pressão no interior é a pressão atmosférica (p0), que a pressão no exterior é p, que yi = ye e que a velocidade do ar no interior (vi) é aproximadamente zero, teremos:

20

12

p p vρ≈ +

Nesta equação, chamamos a velocidade do ar no exterior simplesmente de v. Logo:

20

12

p p vρ− ≈ (1)

A força resultante sobre o vidro será: ( ) ( )0 0F p p A p p DH= − = − (2)

Na Eq. (2), D é a largura e H é a altura da janela. Substituindo-se (1) em (2):

21 10.804,048 N2

F v DHρ≈ =

10,8 kNF ≈ Esta força é exercida de dentro para fora do edifício. Quanto maior for a velocidade do vento no exterior, maior será a diferença de pressão sobre a janela e, portanto, maior será a força. Caso esta força seja maior que a força máxima de coesão do material que compõe o vidro, haverá ruptura do mesmo.

[Início] 15. A Fig. 30 mostra um líquido escoando por um orifício em um tanque de grandes dimensões a

uma distância h abaixo da superfície do líquido. O tanque é aberto na parte superior. (a) Aplicando a equação de Bernoulli à linha de corrente que liga os pontos 1, 2 e 3, mostre que a velocidade com que o líquido sai do orifício é 2v g= h . Este resultado é conhecido como lei de Torricelli. (b) Se a saída do orifício apontasse diretamente para cima, qual seria a altura máxima atingida pelo jato de líquido? (c) Como a viscosidade ou a turbulência afetariam a sua análise?

(Pág. 94)

Solução. (a) Considere o seguinte esquema da situação:


3


v

y

0

h 1

2

Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2, teremos:

2 21 1 1 2 2

1 12 2

p gy v p gy v2ρ ρ ρ+ + = + + ρ

A análise da situação revela que p1 = p2 = p0, em que p0 é a pressão atmosférica. Considerando-se que o diâmetro do tanque é muito maior do que o diâmetro do orifício, temos que v1 << v2. Logo, se observarmos o escoamento por curto período de tempo podemos supor que v1 ≅ 0. De acordo com o referencial adotado temos y2 = 0. Portanto:

20 0

10 02

p gh p vρ ρ+ + = + +

212

gh v=

2v g= h

Este resultado é o mesmo obtido para um corpo solto em queda livre de uma altura h. (b) Considere o seguinte esquema:

v

y

0

h 1

2

3

Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 3 e 4, teremos:

2 23 3 3 4 4

1 12 2


No topo do jato líquido a velocidade de escoamento é zero.

20 0

10 02

p v p ghρ ρ+ + = + +max

Substituindo-se o resultado do item (a):

max1 22

gh ghρ ρ=

maxh h=

Este resultado é esperado, pois sendo o fluido ideal não há dissipação de energia mecânica durante o fluxo. Logo, a energia potencial gravitacional inicial que é convertida em energia cinética no item (a) é reconvertida em potencial no item (b).


4


(c) A viscosidade do líquido dissiparia parte da energia mecânica do sistema, enquanto que a turbulência ocasionaria perda de pressão. Em ambos os casos, o resultado prático seria a diminuição da velocidade de saída do fluido em (a) e da altura em (b).

[Início] 16. Um tanque contém água até a altura H. É feito um pequeno orifício em sua parede, à

profundidade h abaixo da superfície da água (Fig. 31). (a) Mostre que a distância x da base da parede até onde o jato atinge o solo é dado por x = 2 [h(H − h)]1/2. (b) Poderia ser perfurado um orifício a outra profundidade, de modo que este segundo jato tivesse o mesmo alcance? Em caso afirmativo, a que profundidade? (c) Determinar a que profundidade h deveria ser feito um pequeno orifício para que a água que sair por ele atinja o solo à distância máxima da base. Qual é esta distância máxima?

(Pág. 94)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

v2

x

H

1

2

y

h

x Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2:

2 21 1 1 2 2

1 12 2


20 1 0 2

1 102 2

p gy p gy 2vρ ρ ρ+ + = + + ρ

( ) 21 2

12

g y y v2ρ ρ− =

Como y1 − y2 = h, temos:


5


2 2v = gh (1)

Na coordenada x, o jato de fluido possui velocidade constante: 0 xx x v= + t

20x v t= + (2)

Substituindo-se (1) em (2):

2x t gh= (3)

Na coordenada y, o jato de fluido possui movimento com aceleração constante:

20 0

12yy y v t at− = +

20

10 02

y t gt− = −

( ) 212

H h g− − = − t

( )2 H ht

g−

= (4)

Na Eq. (4), t é o tempo que o jato de fluido leva para atingir o solo. Substituindo-se (4) em (3):

( )2 2H h ghx

g−

=

( )2x H h h= − (5)

(b) Sim. Veja o esquema a seguir.

x

H

1y

h

x

h’

A outra profundidade (h’) deve produzir o mesmo alcance x. Isto significa que na expressão:

( ) ( )' '2 2x H h h H h h= − = −

( ) ( )' 'H h h H h h− = −

( )'2 ' 2 0h Hh Hh h− + − =

As raízes desta equação são: '

1h h=

'2h H= − h

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6


'h H h= − (c) O alcance máximo é obtido derivando-se (5) em relação a h e igualando-se o resultado a zero (ponto de máximo da função):

( )( )2 0dx d H h hdh dh

= − =

( )

2 0H hH h h−

=−

2Hh =

[Início] 20. A água represada por um dique tem 15,2 m de profundidade. Um cano horizontal de 4,30 cm de

diâmetro passa através do dique 6,15 m abaixo da superfície da água, como ilustra a Fig. 34. A extremidade do cano no lado seco do dique está tampada. (a) Calcule a força de atrito entre a parede do cano e a tampa. (b) A tampa é removida. Qual o volume de água que escoa pelo cano em 3 horas?

(Pág. 94)


h

y

0

1

2

3 d/2

fatF

(a) Para que a rolha permaneça em equilíbrio estático na horizontal (coordenada x), a força devido à pressão hidrostática, exercida da esquerda para a direita, deve ter o mesmo módulo da força de atrito estático entre a rolha e a represa, exercida da direita para a esquerda. Logo:

( )2 2

2 2 87,6134 N2 4atd ghdf F p A gh πρρ π

⎡ ⎤⎛ ⎞= = = = =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

88 Natf ≈


7


(b) Considere agora o seguinte esquema para a nova situação:

h

y

0

1

2

3 d/2v3

Para determinar o volume escoado é preciso calcular a vazão, que por sua vez depende do cálculo da velocidade de escoamento (v3). Este é feito por meio da aplicação da equação de Bernoulli aos pontos 1 e 3:

2 21 1 1 3 3

1 12 2


20 1 0 3

1 102 2

p gy p gy v3ρ ρ ρ+ + = + + ρ

( ) 21 3

12

g y y v3ρ ρ− =

Como y1 − y3 = h, temos:

3 2v g= h

A vazão no ponto 3 (Vz) vale:

2

3 3 22z

V dV A vt

πΔ ⎛ ⎞= = = ×⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠gh

2

32 172,2810 m4dV gh tπ

Δ = ×Δ =

3170 mVΔ ≈

[Início] 21. Um sifão é um dispositivo para remover líquidos de um recipiente que não pode ser tombado.

Ele funciona como mostra a Fig. 35. O tubo deve ser inicialmente cheio, mas tão logo isso tenha sido feito, o líquido escoará até que seu nível paire abaixo da abertura do tubo em A. O líquido tem densidade ρ e viscosidade desprezível. (a) Com que velocidade o líquido sai do tubo em C? (b) Qual é a pressão no líquido no ponto máximo B? (c) Qual é a maior altura possível h1, a que um sifão pode fazer subir a água?


8


y

0

(Pág. 95)

Solução. (a) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e C, teremos:

2 21 12 2S S S C Cp gy v p gy vCρ ρ ρ+ + = + + ρ

Como vS << vC, é razoável desprezar o termo que envolve vS. Logo:

( ) 20 2 0

10 02 Cp g d h p vρ ρ+ + + ≈ + +

( )22Cv g d h≈ +

(b) Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos B e C, teremos:

2 21 12 2B B B C Cp gy v p gy vCρ ρ ρ+ + = + + ρ

( ) 21 2 0

1 02 2B Bp g d h h v p 21

Cvρ ρ+ + + + = + + ρ (1)

De acordo com a equação de continuidade, temos: B B C CA v A v=

Como AB = AB C, isto implica em vBB

0

= vC. Aplicando-se este raciocínio em (1), teremos: ( )1 2Bp g d h h pρ+ + + =

( )0 1B 2p p g d h hρ= − + +

(c) Uma das condições que limitam a altura h1 é a velocidade com que o líquido passa pelo ponto B. Quanto maior for h1, menor será vB. O maior valor que hB 1 pode ter é quando vBB = 0. Logo, aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos S e B, teremos:

2 21 12 2S S S B Bp gy v p gy vBρ ρ ρ+ + = + + ρ

1

( ) ( )0 2 1 20 0Bp g d h p g d h hρ ρ+ + + = + + + +

0 Bp p ghρ= + (2) ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 18 – Dinâmica dos Fluidos

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Na Eq. (2), a soma pB + ρghB 1 deve ter o valor constante p0 (pressão atmosférica). Quanto maior for h1, menor deverá ser pBB para que a soma continue dando p0. O limite dessa situação ocorre quando pB = 0. Neste caso, hB

max

1 = h1max. Portanto: 0 10p ghρ= +

01max 10, 2956 mph

gρ= =

1max 10,3 mh ≈

[Início]

25. Um tubo oco está colado, em uma das extremidades, a um disco DD (Fig. 37). O conjunto é

colocado um pouco acima de um outro disco CC de papelão. Soprando-se pelo tubo, o disco CC é atraído para DD. Seja A a área do papelão e v a velocidade média do ar entre CC e DD. Determinar a força dirigida para cima que atua no papelão, cujo peso deve ser desprezado. Suponha que v0 << v, onde v0 é a velocidade do ar no interior do tubo.

(Pág. 95)


1

2v-v

Fresp0

p

A força resultante sobre o papelão vale: (1) ( )0res resF p A p p= = − A

Para calcular pB, aplicamos a equação de Bernoulli aos pontos 1 e 2: B

2 21 1 1 2 2

1 12 2


Como p1 = p0, ρgy1 ≅ ρgy2 (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezível) e v0 << v, teremos:

20

12

p p vρ= +

20

12

p p vρ− = (2)


10



212resF v Aρ=

[Início]

27. O ar escoa sobre a parte superior da asa de um avião, cuja área é A, com velocidade vs, e sob a

parte inferior da asa com velocidade vi. Mostre que a equação de Bernoulli prevê que a força de sustentação S orientada para cima sobre a asa será

( )2 212 s iS A v vρ= −

onde ρ é a densidade do ar. (Sugestão: Aplique a equação de Bernoulli a uma linha de corrente bem próxima à superfície superior da asa e a outra linha de corrente igualmente próxima à superfície inferior. Você pode justificar o fato de termos considerado as constantes para as duas linhas de corrente iguais?) (Pág. 96)


vi

vs

S

A

B

A força de sustentação (S) é a força resultante da diferença de pressão do ar imediatamente acima e abaixo da asa (pi > ps). (1) (res i sF S p p= = − ) A

O termo pi − ps é pode ser calculado por meio da aplicação da equação de Bernoulli às linhas de corrente do ar bem próximas à asa, nas partes superior e inferior:

2 21 12 2s s s i ip gy v p gy viρ ρ ρ+ + = + + ρ

Como ρgys ≅ ρgyi (a pressão exercida por uma coluna de ar pequena é desprezível), teremos:

( 2 212i s s ip p v vρ− ≈ − ) (2)


( )2 212 s iS A v vρ≈ −

A equação de Bernoulli somente tem validade quando aplicada a pontos sobre a mesma linha de corrente. Para que ela possa ser plicada a pontos que estejam em linhas de corrente diferentes, o escoamento além de ser estacionário, imcompressível e não-viscoso, deverá ser irrotacional. Para


11


que seja irrotacional e homogêneo, as linhas de corrente do escoamento devem ser paralelas e igualmente espaçadas, como no esquema abaixo:

No caso das linhas de corrente que fluem ao longo da asa do avião, essa condição não é satisfeita. Pode-se obter boa aproximação ao tomarmos pontos sobre linhas de corrente bem próximas à asa, acima e abaixo da mesma, como os pontos A e B do esquema inicial.

[Início] 31. Considere o medidor de Venturi da Fig. 9. Aplicando-se a equação de Bernoulli aos pontos 1 e

2, e a equação de continuidade (Eq. 3), verifique a Eq. 11 para a velocidade do escoamento no ponto 1. Eq. 3 1 1 2 2A v A v=

( )( )

'

2 2

2 ghv a

A a

ρ ρ

ρ

−=

− Eq. 11

(Pág. 96)

Solução.

[Início]


12

dinâmica dos fluidos

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