fen menos de transporte i eng 1011 -...

Introdução

Estáti a dos Fluidos

Dinâmi a dos Fluidos: formulação integral

Es oamento Vis oso em Dutos

Fen�menos de Transporte I

ENG 1011

Luís Fernando Figueira da Silva

E-mail: luisfer�esp.pu -rio.br

Departamento de Engenharia Me âni a

Pontifí ia Universidade Católi a do Rio de Janeiro

Março 2013

Luís Fernando Figueira da Silva ENG 1011

Introdução




Apli ações

Fen�menos de transporte

Sumário

1

Introdução

Apli ações


2


Equações bási as da estáti a dos �uidos

Manometria

Forças em superfí ies submersas planas

Empuxo

3


Con eitos fundamentais

Formulação integral: Teorema do transporte de Reynolds

Conservação de massa

Conservação de quantidade de movimento linear

Conservação da energia

Formas de trabalho

Forma �nal da equação de onservação de energia

4



Introdução




Apli ações


Transporte de quê?

1

Transporte de massa: m = ρ∀

2

Transporte de quantidade de movimento:

~M = m

~v

3

Transporte de energia: E = me

ρ: densidade

∀: volume

~v : velo idade

e: energia espe í� a

No urso de fen�menos de transporte as propriedades a ima serão

transportadas por meios �uidos


Introdução




Apli ações


O que é um �uido?

É um material que está em um estado físi o tal que se deforma

ontinuamente sob a ação esforços anisotrópi os (tensões

isalhantes), por menor que sejam estes esforços.

Figura: Comparação entre um sólido e um �uido submetidos a esforço

isalhante entre duas pla as paralelas.


Introdução




Apli ações


Onde se apli a a me âni a de �uidos?

O transporte de �uidos tem interação om todas as engenharias,

pois está presente nas seguintes atividades e on�mi as

Agri ultura, pe uária, produção �orestal, pes a e aqui ultura

Indústrias extrativas

Industrias de transformação

Eletri idade e gás

Água, esgoto, atividades de gestão de resíduos e

des ontaminação

Construção

Transporte, armazenamento e orreio

Alojamento e alimentação

Saúde humana e serviços so iais

Artes, ultura, esportes e re reação

. . . ou seja, em 10 dentre as 21 atividades e on�mi as do CNAE!

[fonte: http://www. nae.ibge.gov.br℄


Introdução




Apli ações


Onde se apli a a me âni a de �uidos?

O transporte de �uidos tem interação om todas as engenharias,

pois está presente em

Atmosferas

planetárias

Meteorologia

Conforto térmi o

Biologia

Represas

Instalações industriais

Disperção de

poluentes

Transporte terrestre

Transporte aéreo

Tráfego

Bombas, ventiladores

Lubri� ação

En anamentos

Meteorologia

O eanogra�a

Esportes

. . .


Introdução




Apli ações


Exemplos

Jupiter


Introdução




Apli ações



Se ara terizam por:

Transporte de alguma quantidade: massa, energia, quantidade

de movimento

Presença de uma força motriz

Tendên ia ao equilíbrio

Figura: Exemplo: estados ini ial e

�nal da mistura de dois orpos a

temperaturas diferentes.

Quantidade

transportada: energia

Força motriz:

diferença de

temperatura

Equilíbrio:

T

1

> T

∗ > T

2


Introdução




Apli ações



O orrem através de meios (ex eção: radiação eletromagnéti a)

São afetados pelas ara terísti as dos meios (p. ex. meio

ondutor vs. isolante de alor)

Podem o orrer simultaneamente ou não (p. ex. evaporação:

opo d'água, ontrole térmi o do orpo humano)

Muitas vezes podem ser analisados separadamente

Obede em a leis físi as omuns, des ritas por equações

matemáti as similares (p. ex. lei de Fourier; lei de Fi k)


Introdução




Apli ações


Mais sobre meios

Sólidos ofere em resistên ia a deformação; apresentam deformação

�nita quando submetidos a esforços isalhantes

τ = Gγ

τ = F/A: tensão isalhante; G : módulo de elasti idade ; γ:deformação

Fluidos se deformam ontinuamente quando submetido a um esforço

isalhante

τ = µγ = µ (∂u/∂y )

Lei de Newton da vis osidade, γ: taxa de deformação; µ:vis osidade (propriedade do �uido)

Figura: Sólido vs. �uido (transferên ia de quantidade de movimento da

pla a para o �uido).


Introdução




Apli ações


Mais sobre �uidos

Líquidos a força oesiva entre as molé ulas é forte. Possui

superfí ie livre

Gases a força oesiva entre as molé ulas é fra a. O upam

todo o re ipiente

Compressíveis: quando há variação apre iável de volumes

devido à ompressão. Gases em geral se omportam assim.

In ompressíveis: quando a variação do volume é pequena

para grandes ompressões. A maioria dos líquidos se omporta

desta forma.


Introdução




Apli ações


Propriedades de �uidos

Matéria é formada por molé ulas em movimento, olidindo. As

propriedades da matéria estão rela ionadas om o

omportamento mole ular

1

Colisão om as paredes: pressão

2

O upação do espaço: densidade

3

Energia inéti a: temperatura

Entender o omportamento da matéria ne essitaria onsiderar

ada molé ula, onhe endo sua história, velo idade, a eleração

e modos de iterações. Isto é inviável sem um tratamento

estatísti o, devido ao elevado número de molé ulas.

Na maioria das apli ações da engenharia, desejamos estudar

uma quantidade de volume de �uido ontendo um grande

número de molé ulas: hipótese do ontínuo: admite-se que

os �uidos são meios ontínuos, esque endo-se da sua estrutura

mole ular.


Introdução




Apli ações


Hipótese do ontínuo

Num meio ontínuo a massa é distribuída ontinuamente no

espaço; pode ser de�nida a densidade:

ρ = lim

∆∀→0

∆m

∆∀

Figura: Densidade do �uido em um volume elementar ∆∀.

para efeito da hipótese do ontínuo, onsidera-se que quando

∆∀ = ∆∀′ então ∆∀ = 0


Introdução




Apli ações


Hipótese do ontínuo

Falha quando as dimensões envolvidas forem da ordem do

aminho médio livre entre olisões mole ulares: 1, 6 10−5

m

nas CNTP. (o movimento de satélites deve ser des rito usando

a �Teoria Cinéti a dos Gases�).

Faz om que todas as propriedades dos �uidos sejam ampos:

ρ = ρ(~x , t), ~v = ~v(~x , t), e = e(~x , t)


Introdução




Apli ações


Propriedades importantes

Massa determinada quantidade de matéria. É medida

omparativamente om uma unidade padrão. Independe do

ampo

Força Segunda lei de Newton

~F = m

~a

de�ne a massa de um objeto sujeito à força

~F que adquire

a eleração~a

Peso

~P é a força que age sobre um objeto sujeito a um ampo de

a eleração gravita ional~g

~P = m

~g


Introdução




Apli ações


Propriedades importantes

Pressão: resultante da olisão das molé ulas om as paredes

do re ipiente p =∣

∣

∣

~F

∣

∣

∣/∣

∣

∣

~A

∣

∣

∣

Densidade: rela iona-se om a o upação do espaço pela

matéria ρ = m/∀

Densidade relativa: razão entre a densidade da substân ia e

a densidade da água d = ρ/ρH

2

O

Temperatura: T mede a energia inéti a das molé ulas

Con entração: razão entre a massa de um omponente, m

i

,

e a massa total da mistura w

i

= m

i

/m


Introdução




Apli ações


Dimensões e unidades

Dimensões: expressam a nossa observação sobre uma

grandeza

Unidades: utilizadas para des rever uma dimensão

Dimenões Unidades (SI)

omprimento L m

tempo T s

massa M kg

temperatura θ K

velo idade L T

−1

m/s

a eleração L T

−2

m/s

2

força M L T

−2

N (kg m/s

2

)

energia, alor, trabalho M L

2

T

−2

J (N m)

potên ia M L

2

T

−3

W (J/s)


Introdução





Manometria


Empuxo

Sumário

1

Introdução

Apli ações


2



Manometria


Empuxo

3







Formas de trabalho


4



Introdução





Manometria


Empuxo

Estáti a dos �uidos

Um �uido é onsiderado estáti o quando as partí ulas não se

deformam, isto é, estão em repouso ou em movimento de

orpo rígido.

Como um �uido não suporta tensões isalhantes sem se

deformar, em um �uido estáti o só atuam tensões normais

(pressão). A pressão exer ida em um ponto é igual em todas

as direções.

O estudo de estáti a de �uidos é importante em diversas

apli ações, omo manometria, propriedades da atmosfera,

forças em sistemas hidráuli os e forças em orpos submersos.


Introdução





Manometria


Empuxo


Considere a segunda lei de Newton:

∑

i

~F

i

= m~a, onde m é a

massa da par ela de �uido onsiderada

Num �uido estáti o,~a = 0 ⇒

∑

i

~F

i

= 0

Dois tipos de força atuam sobre �uido:

1

as de superfí ie,

~F

s

, devidas à pressão e

2

as de orpo,

~F

, asso iadas ao peso do �uido.

~F

s

+ ~F

= 0


Introdução





Manometria


Empuxo


Considere um � ubo de �uido� elementar

Figura: Elemento de �uido utilizado para o balanço de forças.

Força de orpo:

~F

= m~g = ρd∀~g = ρdxdydz~g

Força de superfí ie, na direção x : [p(x)dydz − p(x + dx)dydz ]~ı


Introdução





Manometria


Empuxo


Desenvolvendo a expressão de

~F

s

. . .

~F

s

= [p(x)dydz − p(x + dx)dydz ]~ı

+ [p(y)dxdz − p(y + dy)dxdz ]~

+ [p(z)dxdy − p(z + dz)dxdy ]~k

=1

dx

[p(x)dxdydz − p(x + dx)dxdydz ]~ı

+1

dy

[p(y)dxdydz − p(y + dy)dxdydz ]~

+1

dz

[p(z)dxdydz − p(z + dz)dxdydz ]~k


Introdução





Manometria


Empuxo


ou seja . . .

~F

s

=−

{[

p(x + dx) − p(x)

dx

]

~ı

+

[

p(y + dy) − p(y)

dy

]

~

+

[

p(z + dz) − p(z)

dz

]

~k

}

dxdydz


Introdução





Manometria


Empuxo


O que impli a em . . .

~F

s

= −

(

∂p

∂x~ı+

∂p

∂y~+

∂p

∂z~k

)

dxdydz = −∇pdxdydz

Do equilíbrio de forças:

~F

s

+ ~F

= 0 ⇒ −∇pdxdydz + ρdxdydz~g = 0

Temos a equação da estáti a dos �uidos:

−∂p

∂x+ ρg

x

= 0

−∇p + ρ~g = 0 ⇒ −∂p

∂y+ ρg

y

= 0

−∂p

∂z+ ρg

z

= 0


Introdução





Manometria


Empuxo

Variação da pressão em um �uido estáti o

Fluido estáti o: superfí ie livre é sempre normal à a eleração lo al

(da gravidade).

Figura: Sistema de

oordenadas empregado.

g

x

= 0 ⇒∂p

∂x= 0

g

y

= 0 ⇒∂p

∂y= 0

g

z

= −g ⇒∂p

∂z= −ρg

dp = −ρgdz →

∫

p(z)

p

0

dp = −ρg

∫

z

0

dz → p(z) = p

0

− ρgz

(hipótese de �uido in ompressível: ρ = onstante)


Introdução





Manometria


Empuxo


Como a pressão no fundo geralmente não é onhe ida, tomar a

origem no fundo não é um pro edimento práti o. Normalmente, a

pressão na superfí ie do líquido é onhe ida (atmosféri a, p

atm

).

Figura: Mudança do

sistema de oordenadas.

dh = −dz → dp = ρgdh →

∫

p(h)

p

atm

dp = ρg

∫

h

0

dh →

p(h) = p

atm

+ ρgh

Diferença de pressão entre dois pontos em �uidos estáti os:

p

A

= p

atm

+ ρghA

p

B

= p

atm

+ ρghB

}

⇒ p

A

− p

B

= ρg(hA

− h

B

)

Pontos na mesma horizontal possuem a mesma pressão.


Introdução





Manometria


Empuxo


Porque a altura de líquido é a mesma em todos os re ipientes?

Figura: Posição da superfí ie em vasos omuni antes.


Introdução





Manometria


Empuxo

Manometria

Man�metro é um dispositivo para medir diferença de pressão entre

dois pontos.

Figura: Man�metro

em U.

p

B

= p

A

p

C

= p

atm

+ ρgH

Como os pontos B e C

estão em uma mesma

horizontal de um tre ho

ontínuo de �uido:

p

A

= p

atm

+ ρgHQuando as duas pernas do man�metro estão na mesma altura:

H = 0; pA

= p

atm

A pressão em relação a pressão atmosféri a é

denominada pressão manométri a p

A−man = p

A

− p

atm


Introdução





Manometria


Empuxo

Exemplo 1

Um man�metro possui um diâmetro interno uniforme D = 6, 35mm. O tubo em �U� é par ialmente preen hido om água. Em

seguida, um volume de 3,25 m

3

de óleo om densidade de

800 kg/m

3

é adi ionado no lado esquerdo, omo mostrado na

�gura. Cal ule a altura de equilíbrio H se ambas as pernas estão

abertas para a atmosfera.

Figura: Exemplo 1.


Introdução





Manometria


Empuxo

Exemplo 2

Água es oa no interior dos tubos A e B . Óleo lubri� ante está na

parte superior do tubo e U invertido. Mer úrio está na parte inferior

dos dois tubos em U. Determine a diferença de pressão p

A

− p

B

.

Figura: Exemplo 2.


Introdução





Manometria


Empuxo


Uma vez que não pode haver tensões isalhantes num �uido em

repouso, a força hidrostáti a sobre qualquer elemento da superfí ie

deve ser normal a ele.

Figura: Comporta submersa.

pressão lo al

p = p

0

+ ρg(D + y sin θ)

força elementar em dA:

d

~F = −~n(p − p

0

)dA

o sinal negativo indi a que a

força atua no sentido ontra a

superfí ie.


Introdução





Manometria


Empuxo


A resultante das forças hidrostáti as que atuam no orpo é dada

pela integral da força em ada ponto.

Figura: Comporta

submersa.

Força resultante:

~F =

∫

d

~F

= −~nρg

∫

L

0

∫

W

0

(D + y sin θ)dxdy

= −~nρg

∫

W

0

dx

∫

L

0

(D + y sin θ) dy

ou

~F =

−~kρgWL

(

D + L sin θ2

)

≡ −~nF


Introdução





Manometria


Empuxo


O ponto de apli ação, y

∗, da força resultante, F

r

, deve ser tal que

o seu torque em relação a qualquer eixo seja igual ao torque da

força distribuida.

F

r

y

∗ =

∫

ydF

Figura: Torque da força distribuida sobre a omporta.


Introdução





Manometria


Empuxo

Exemplo 1

A superfí ie in linada mostrada na �gura, arti ulada ao longo de A,

tem 5 m de largura. Determine a força resultante, F

r

, da água e do

ar sobre a superfí ie in linada.

Figura: Exemplo 3.5.


Introdução





Manometria


Empuxo

Exemplo 2

A omporta é arti ulada em H e tem 3 metros de largura em um

plano normal ao diagrama mostrado. Cal ule a força requerida em

A para manter a omporta fe hada.

Figura: Exer i io 3.64.


Introdução





Manometria


Empuxo

Exemplo 3

Uma portinhola de a esso triangular deve ser providen iada na

lateral de uma forma ontendo on reto líquido. Determine a força

resultante que age sobre a portinhola e seu ponto de apli ação.

Figura: Exer i io 3.50.


Introdução





Manometria


Empuxo

Empuxo

É a resultante das forças de pressão na direção verti al.

Figura: Cál ulo do empuxo.

dF

z

= d

~F

2

~k + d

~F

1

~k

= −p2

d

~A

2

~k − p

1

d

~A

1

~k

= (p2

− p

1

)dAz

= ρghdAz

= ρgd∀

F

z

=

∫

dF

z

= ρg∀; ∀ : volume submerso.


Introdução





Manometria


Empuxo

Exemplo 1

Determine as leituras das es alas A e B indi adas na �gura.

Despreze o peso do re ipiente. A ro ha possui uma massa de 15 kg

e volume de 0,001 m

3

. O volume de água no tanque é de 20 litros.

Figura: Ro ha submersa.


Introdução





Manometria


Empuxo

Exemplo 2

Em uma operação de derrubada de árvores, uma tora de madeira

�utua rio abaixo em direção a uma serraria. É uma ano se o, e o

leito do rio está tão baixo que, em alguns lo ais a profundidade é

de 60 m. Qual é o maior diâmetro da tora que pode ser

transportada desta forma? Considere uma distân ia mínima de

3 m entre o fundo do rio e a tora e uma densidade relativa de 0,8.


Introdução





Manometria


Empuxo

Exer í ios re omendados para P1

Manometria: 3.23 3.26

Forças superfí ies submersas: 3.52 3.57 3.62 3.67

Formulação integral: 4.35 4.39 4.63 4.64

Os números se referem à 7a edição do livro-texto.

As páginas orrespondentes estão no site:

ombustao.usuarios.rd .pu -rio.br


Introdução









Sumário

1

Introdução

Apli ações


2



Manometria


Empuxo

3







Formas de trabalho


4



Introdução









Es oamento de �uidos

O es oamento dos �uidos é determinado a partir do onhe imento

da velo idade em ada ponto do es oamento, isto é, a partir do

ampo de velo idade

Tipos de es oamento:

Regime permanente: ∂()/∂t = 0

Regime transiente: ∂()/∂t 6= 0

Es oamento uniforme: a velo idade é a mesma em qualquer

ponto do es oamento

Es oamento não uniforme: a velo idade varia de ponto para

ponto do es oamento

Figura: Es oamento uniforme e não uniforme.


Introdução









Tipos de es oamento

Es oamento laminar: movimento regular

Es oamento turbulento: apare em turbilhões no es oamento,

ausando um movimento de mistura. O turbilhamento provo a

um regime não permanente. Porém, o tempo ara terísti o de

�utuação turbulenta ≪ es ala de tempo do es oamento

Figura: Es oamento laminar, transição e turbulento.


Introdução









Tipos de es oamento

No es oamento laminar, eventuais perturbações são amorte idas e

desapare em (Fig. a).

Durante a transição, turbulên ia esporádi a surge (Fig. b).

Durante o regime turbulento, o es oamento �utua ontinuamente

(Fig. ).

Figura: Es oamento laminar, transição e turbulento.


Introdução









Es oamento turbulento

A análise estatísti a baseia-se no fato de que o es oamento

turbulento pode ser des rito por um valor médio u e mais uma

�utuação u

′(muitas vezes da ordem de 1 % a 10% de u)

Figura: Flutuação turbulenta de velo idade, u = u + u

′.

Para o engenheiro, muitas vezes é su� iente onhe er o

omportamento do valor médio.


Introdução









Experiên ia de Reynolds

O es oamento turbulento o orre a altas velo idades. A transição é

ara terizada pelo número de Reynolds, Re = ρVD/µ

Re < 2300: es oamento laminar

2300 < Re < 5000: transição

Re > 5000: es oamento turbulento

Figura: Es oamento laminar e turbulento em um tubo, mistura de um

orante.


Introdução









Leis de onservação em linguagem matemáti a

massa:

dM

dt

= 0 ⇒

d

dt

∫

∀(t)ρd∀ = 0

quantidade de movimento:

d

dt

∫

∀(t)

~V ρd∀ = ~

F

onde

~F é a soma de todas as

forças que agem sobre a

massa M ontida em ∀(t).

Figura: Representação de um

elemento de volume.


Introdução










energia:

d

dt

∫

∀(t)

(

u +~V · ~V

2

)

ρd∀

= Q + W

u : energia interna, Q, W :

taxas de alor e trabalho.

2

a

lei da termodinâmi a:

d

dt

∫

∀(t)sρd∀ ≥

Q

T

s : entropia T : temperatura

Figura: Representação de um

elemento de volume.


Introdução










observa-se que apare e sempre um termo na forma

d

dt

∫

∀(t)α(t)d∀

onde α é uma grandeza por unidade de volume

onservação de massa: α = ρ

onservação de quantidade de movimento linear: α = ρ~V

onservação de energia: α = ρ(

u +~V ·~V2

)

2

a

lei da termodinâmi a: α = ρs


Introdução









Cál ulo de

d

dt

∫

∀(t) α(t)d∀

d

dt

∫

∀(t)α(t)d∀ = lim

∆t→0

1

∆t

{

∫

∀(t+∆t)α(t +∆t)d∀ −

∫

∀(t)α(t)d∀

}

= lim

∆t→0

1

∆t

{(

∫

∀(t+∆t)α(t +∆t)d∀ −

∫

∀(t+∆t)α(t)d∀

)

+

(

∫

∀(t+∆t)α(t)d∀ −

∫

∀(t)α(t)d∀

)}

= lim

∆t→0

(

∫

∀(t+∆t)

α(t +∆t)− α(t)

∆t

d∀

)

+ lim

∆t→0

1

∆t

(

∫

∀(t+∆t)α(t)d∀ −

∫

∀(t)α(t)d∀

)


Introdução









Cál ulo de

d

dt

∫

∀(t) α(t)d∀

d

dt

∫

∀(t)α(t)d∀ =

∫

∀(t)

∂α

∂td∀

+ lim

∆t→0

1

∆t

(

∫

∀(t+∆t)−∀(t)α(t)d∀

)

ou

d

dt

∫

∀(t)α(t)d∀ =

∫

∀(t)

∂α

∂td∀+

∫

S(t)α(t)~V · ~n dA

Figura: Translação e

deformação do volume do

sistema.


Introdução









Teorema do transporte de Reynolds

A eq. a ima vale para qualquer massa �xa de volume ∀(t),in luindo as massas que, a ada instante, o upam um volume de

ontrole �xo no espaço VC :

d

dt

∫

∀(t)α(t)d∀ =

∫

VC

∂α

∂td∀+

∫

SC

α(t)~V ·~n dA

d

dt

∫

∀(t)α(t)d∀ =

d

dt

∫

VC

α(t)d∀+

∫

SC

α(t)~V ·~n dA Figura: Volume de ontrole

�xo no espaço.


Introdução










dM

dt

= 0 ⇒d

dt

∫

∀(t)ρd∀ = 0

logo, do teorema do

transporte,

d

dt

∫

VC

ρd∀+

∫

SC

ρ~V ·~n dA = 0

Figura: Representação de

um elemento de volume.


Introdução









Signi� ado físi o dos termos

Figura:

d

dt

∫

VC

ρd∀: Taxa de

variação om o tempo da

massa dentro do VC .

Figura:

~V · ~n dA: Volume

que sai por dA por unidade

de tempo.


Introdução









Casos espe iais

es oamento permanente (

∂∂t

= 0):

d

dt

∫

VC

ρd∀ = 0 ⇒

∫

SC

ρ~V · ~n dA = 0

�uido in ompressível (ρ = onstante):

d

dt

∫

VC

ρd∀ = ρdVC

dt

= 0 ⇒

∫

SC

ρ~V · ~n dA = 0

e, omo ρ 6= 0,

∫

SC

~V · ~n dA = 0


Introdução









Exemplo 1

Considere o es oamento ompressível e permanente através do

dispositivo mostrado. Determine o módulo da vazão volumétri a

através da abertura 3 e veri�que se o �uxo é para fora ou para

dentro do dispositivo.

Figura: Problema 4.22.


Introdução









Exemplo 2

Água es oa em regime permanente através de um tubo de

omprimento L e raio R = 75 mm. Cal ule a velo idade de entrada

uniforme U, se a distribuição de velo idade através da saída é dada

por

u = u

max

(

1−r

2

R

2

)

u

max

= 3m/s.



Introdução









Exemplo 3

Um a umulador hidráuli o é projetado para reduzir as pulsações de

pressão no sistema hidráuli o de uma máquina operatriz. Para o

instante mostrado, determine a taxa à qual o a umulador ganha ou

pede óleo hidráuli o.



Introdução









Conservação da quantidade de movimento

d

dt

∫

∀(t)

~V ρd∀ = ~

F

S

+ ~F

B

~F

S

... forças de superfí ie,

i.e. forças que agem sobre

SC

~F

B

... forças de orpo, i.e.

forças que agem sobre a

massa em VC

Figura: Conservação da

quantidade de

movimento.

logo, do teorema do transporte,

F

S

F

B

d

dt

VC

V d

SC

V V n dA


Introdução









Equação da onservação da quantidade de movimento

no sist. de oordenadas artesianas em que

~V = u~ı+ v~+ w

~k ,

dir. x : F

Sx

+ F

Bx

= d

dt

∫

VC

uρd∀+∫

SC

uρ~V · ~n dA

dir. y : F

Sy

+ F

By

= d

dt

∫

VC

vρd∀+∫

SC

vρ~V · ~n dA

dir. z : F

Sz

+ F

Bz

= d

dt

∫

VC

wρd∀+∫

SC

wρ~V · ~n dA

Figura: Fluido que ruza a fronteira do VC .


Introdução









Exemplo 1

Cal ule a força requerida para manter o tampão �xo na saída do

tubo de água. A vazão é 1,5 m

3

/s e a pressão a montante é

3,5 MPa.



Introdução









Exemplo 2

Um jato de água saindo de um bo al esta ionário a 10 m/s

(A

j

= 10 m

2

) atinge uma pá de�etora ujo ângulo de urvatura é

θ = 40

o

, montada sobre um arrinho, onforme o mostrado.

Determine o valor de M requerido para manter o arrinho

esta ionário. Se o ângulo da pá, θ, for regulável, tra e um grá� o

da massa, M, ne essária para manter o arrinho esta ionário omo

uma função de θ, para 0 ≤ θ ≤ 180

o

.



Introdução









Exemplo 3

Água es oa em regime permanente através do bo al mostrado,

des arregando para a atmosfera. Cal ule a omponente horizontal

da força na junta �angeada. Indique se a junta está sob tração ou

ompressão.



Introdução









Conservação de energia em linguagem matemáti a

Q − W =dE

dt

Q =

∫

S(t)~q · ~n dA

~q: vetor �uxo de alor

E =

∫

∀(t)eρd∀

e ≡ u+ 1

2

~V · ~V ...energia total por

unidade de massa (u é a energia

interna por unidade de massa)

Figura: Elementos da equação de

onservação de energia.


Introdução









De omposição do termo W

W : trabalho por unidade de tempo (potên ia).

W = W

eixo

+ W

outros

+ W

B

+ W

S

W

eixo

trabalho que sai do VC por um eixo que atravessa SC

W

outros

outros trabalhos (devidos a forças elétri as,

magnéti as, et .)

W

B

trabalho asso iado às forças de orpo que sai do VC

W

S

trabalho asso iado às forças de superfí ie que sai do

VC


Introdução









Análise do termo W

B

W

B

= −

∫

M

~V · ~g dM

onde o sinal negativo é ne essário

pois de�nimos W > 0 quando sai

do VC .

es olhendo um sist. de

oordenadas tal que~g = −g~k e

~V = u~ı+ v~+ w

~k , temos

~V ·~g = −wg = −

dz

dt

g =d

dt

(−gz)Figura: Elementos da equação de



Introdução









Análise do termo W

B

substituindo,

W

B

=d

dt

∫

M

gz dM =d

dt

∫

∀(t)ρgz d∀

do teorema do transporte de Reynolds,

W

B

=d

dt

∫

VC

ρgz d∀+

∫

SC

gzρ~V · ~n dA


Introdução









Análise do termo W

S

W

S

= −

∫

S(t)

~V ·~t dA

onde o sinal negativo é ne essário

pois de�nimos W > 0 quando sai

do VC .

De omposição de

~t:

~t = τ~s + σ~n

τ tensão isalhante

σ tensão normal

�uido newtoniano:

σ = −p + 2µdV

n

dx

n

Figura: Elementos da equação de



Introdução









Análise do termo W

S

aproximação:

σ ≃ −p

i.e., despreza-se a tensão vis osa normal 2µdV

n

dx

n

logo,

W

S

= −

∫

SC

τ ~V ·~s dA+

∫

SC

p

~V · ~n dA

o primeiro termo é nulo sempre que

~V = ~

0 (paredes) ou quando

~V

é paralelo a~n (normal a

~s). Logo, sempre podemos es olher um

VC tal que este termo se anule.

Neste aso,

W

S

=

∫

SC

p

~V · ~n dA


Introdução










Q − W

eixo

− W

outros

=

d

dt

∫

VC

(

u +~V · ~V

2

+ gz

)

ρd∀

+

∫

SC

(

u +p

ρ+

~V · ~V

2

+ gz

)

ρ~V · ~n dA

A entalpia h = u + p

ρapare e no integrando da integral de

superfí ie.

A energia interna ontida em um pedaço de massa atravessa a SC

por efeito da força de pressão, assim o trabalho a ela asso iado

também atravessa a SC .


Introdução









Exemplo

P 4.200 Uma bomba entrífuga, om diâmetro de 0,1 m nos tubos

de sução e des arga, forne e uma vazão de água de 0,02 m

3

/s. A

pressão na sução é de 0,2 m de Hg (vá uo) e a pressão

manométri a na des arga é de 240 kPa. As seções de entrada e de

saída da bomba estão na mesma elevação. A potên ia elétri a

medida no motor da bomba é de 6,5 kW. Determine a e� iên ia da

bomba.


Introdução









Tubo de orrente

Um tubo de orrente é a região do es oamento delimitada por

linhas de orrente. A ada instante, o vetor velo idade é tangente a

uma linha de orrente.

No VC mostrado:

W

eixo

= W

outros

= 0

es oamento em regime

permanente: d/dt = 0

es oamento uniforme em 1 e

em 2

V

tubo de corrente

1

2

Figura: Representação de um tubo

de orrente.


Introdução









Tubo de orrente

Com estas hipóteses, a equação de energia torna-se:

(

u

1

+p

1

ρ1

+V

2

1

2

+ gz

1

)

(−ρ1

V

1

A

1

)

+

(

u

2

+p

2

ρ2

+V

2

2

2

+ gz

2

)

(ρ2

V

2

A

2

) = Q

Apli ando a onservação de massa

m = ρ1

V

1

A

1

= ρ2

V

2

A

2

temos:

m

[(

p

2

ρ2

+V

2

2

2

+ gz

2

)

−

(

p

1

ρ1

+V

2

1

2

+ gz

1

)]

= m

[

δQ

δm− (u

2

− u

1

)

]

om Q = δQδt

= δQδm

δmδt

= δQδmm


Introdução









Tubo de orrente

Pode ser mostrado (usando a segunda lei da termodinâmi a) que

em es oamento in ompressível e sem atrito,

δQ

δm= (u

2

− u

1

)

ou seja:

p

2

ρ+

V

2

2

2

+ gz

2

=p

1

ρ+

V

2

1

2

+ gz

1

A equação de energia reduz-se à equação de Bernoulli!


Introdução









Exemplo

P 6.39 Vo ê olo a a mão aberta para fora da janela de um

automóvel, numa posição perpendi ular ao es oamento de ar.

Considerando, por simpli idade, que a pressão do ar em toda a

superfí ie frontal da sua mão é a pressão de estagnação ( om

respeito ás oordenadas do automóvel), e que a pressão atmosféri a

age sobre o dorso da sua mão, estime a força líquida que vo ê sente

na mão quando o automóvel está a (a) 50 km/h e (b) 100 km/h.


Introdução




Sumário

1

Introdução

Apli ações


2



Manometria


Empuxo

3







Formas de trabalho


4



fen menos de transporte i eng 1011 -...

Documents