dinâmica de fluidos -...

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Dinâmica de Fluidos

Computacional• Computational Fluid Dynamics• CFD

J. Carlos TeixeiraNelson Rodrigues

2016

22

Perspectiva histórica

* Desde cedo o homem tem procurado compreender os fenómenos ligados aos fluídos

# Arquimedes entre 287 e 212 AC realizou estudos que englobavam a área da hidrostática

# Princípio de Arquimedes e parafuso de água

33

Isaac Newton - Inglaterra (1643-1727)

* Uma das figuras mais importantes na ciência

* As suas contribuições para a mecânica dos fluídos englobam:

# A 2ª lei de Newton F=m x a# Relação entre a velocidade das ondas numa

superfície livre com o seu comprimento.

44

Século XVIII e XIX

* Período de trabalho significativo para tentar descrever matematicamente o movimento dos fluidos.# Daniel Bernoulli (1700-1782) derivou a equação

de Bernoulli# Leonhard Euler (1707- 1783) propôs as

equações de Euler que descrevem a conservação do momento para um fluido invíscido.

* Osborne Reynolds (1842-1912)# Regimes de escoamento

* Claude Louis Marie Henry Navier (1785-1836) e George Gabriel Stokes (1819-1903) introduziram o transporte viscoso nas equações de Euler, resultando nas equações de Navier Stokes que são a base dos modelos CFD modernos.

55

Século XX

* Ludwig Prandtl (turbulência; comprimento de mistura)

* von Kármann (turbulência)

* Nikuradse (rugosidade)

* Schlichting (camada limite; boundary layer) – (Stanford)

66

Anos 60 e 70

* Durante os anos 60 a divisão teórica de Los Alamos contribuiu com vários métodos numéricos que ainda estão em uso actualmente, tais como:# Particle-In-Cell (PIC).# Marker-and-Cell (MAC)# Vorticity-Streamfunction Methods# Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE)# k-ε turbulence model

* Durante os anos 70 um grupo liderado por Dr. Brian Spalding no Imperial Collegede Londres desenvolveu:# Parabolic flow codes (GENMIX).# Vorticity-Streamfunction based codes# The SIMPLE algorithm and the TEACH code# The form of the k-e equations that are used today# Upwind differencing# ‘Eddy break-up’ and ‘presumed pdf’ combustion models

77

Anos 80 e 90

* Antigamente, o CFD foi elaborado utilizando códigos académicos e caseiros. Sempre que alguém queria fazer um cálculo CFD tinha de escrever um programa.

* Foi durante este período que a maioria dos códigos CFD comerciais hoje disponíveis originou:# Fluent (UK and US)# Flow3D/CFX (UK and Canada)# Fidap (US)# Polyflow (Belgium)# Phoenix (UK)# Star CD (UK)# SCRYU (Japan)

88

O que é?

* Computational Fluid Dynamics ou CFD é a análise de sistemas que englobam escoamento de fluidos, transferência de calor e massa, e fenómenos associados tais como reacções químicas através de simulação baseada em computação.

99

Importância

* Aerodinâmica de aviões e veículos: impulsão e arrasto.

1010

Importância

* Hidrodinâmica de navios.* Centrais eléctricas: motores de combustão interna e turbinas a gás

1111

Importância

* Turbo-maquinaria: escoamentos em rotores, difusores, etc.* Engenharia electrónica e de eléctrica: arrefecimento de equipamento incluindo

microcircuitos.

1212

Importância

* Engenharia de processos químicos: chamas, mistura e separação, moldes de polímeros

* Ambientes externos e internos de edifícios: carga do vento, aquecimento e ventilação.

1313

Importância

* Engenharia marítima: cargas em estruturas marítimas* Engenharia ambiental: distribuição de poluentes e efluentes.

1414

Importância

* Engenharia biomédica: escoamento de sangue pelas artérias e veias; e do ar pelas vias respiratórias

1515

Vantagens

* Baixo custo na fase de projecto# Não é necessária a construção de modelos físicos# O custo em relação ao anterior provém sobretudo da obtenção de poder

computacional e das licenças

* Baixo custo na fase de projecto# As simulações podem ser realizadas num espaço de tempo relativamente

curto# Facilidade de mudar a situação de teste

* Capacidade de estudar situações perigosas na vida real

* Capacidade de simular condições ideais (adiabáticas, fluxos constantes…)

1616

Limitações

* Modelos computacionais# O CFD só pode ser tão preciso quanto os modelos em que este é baseado

* Erros numéricos# Erros por aproximação# Erros por truncatura

* Está dependente da precisão na definição do problema que muitas vezes é aproximado

1717

Equações de conservação (eq Navier-Stokes)

Massa

Momentum x, y, z

Energia

0 ut

xxxx Su

xpuu

tu

grad

yyyy Su

ypuu

tu

grad

iSTkupuiti

grad

zzzz Su

zpuu

tu

grad

2222222

2 uλyu

zu

xu

zu

xu

yu

zu

yu

xuμΦ zyzxyxzyx

1818

a 2 dimensões:

0

yu

xu yx

xx

yxx

xx SxP

dyuuu

ydxuuu

x

yy

yyy

yx SyP

dyu

uuydx

uuu

x

0

yu

xu yx

Problemas convectivos ou difusivos! Interpolação

1919

Equações de conservação (Simplificações)

Escoamento invíscido (Euler)

Momentum xx

xxx S

xpuu

tu

0 ut

2020


creeping flow (Stokes)(Re<<1)

Momentum xx

ex: meios porosos, micro fluidos

0 ut

0grad

xx Suxp

2121


Aproximação de Boussinesq (cont)

se não constante (g cte)

Tratar a parte variável apenas no termo de fonte (massa)

iii ggg 00

000 TTgg ii

2222

Discretização das Equações

Porquê

Linearizar

2323

Equações de conservação

Formulação diferencial

Formulação integral

Teorema de Gauss

Sut

grad

CVCVCVCV

dVSdVdVudVt grad

ACV

dAdV ana

2424

Equações de conservação

(significado)

Em estado estacionário:

CVAACV

dVSdAdAudVt grad nn

CVAA

dVSdAdAu grad nn

2525

Volumes finitos; difusão

Formulação diferencial

Formulação integral

Aplicando o Teorema de Gauss:

Sut

grad

CVCVCVCV

dVSdVdVudVt grad

CVAACV

dVSdAdAudVt grad nn

2626


Só difusão:

a 1D:

0grad CVA

dVSdA n

0ˆˆ

dVSdAix

iA

0

dVSx

Ax

Awe

0

dVSdAxk Ak

2727


0

dVSx

Ax

Awe

2828


PE

PEee

e xA

xA

WP

WPww

w xA

xA

2929


PPu SSdVS

0

PPu

WP

WPww

PE

PEee SS

xA

xA

uEePE

eWw

WP

wPPw

WP

we

PE

e SAx

Ax

SAx

Ax

Agrupando:

onde:

3030


uEEWWPP Saaa

Wa Ea Pa

wWP

w Ax e

PE

e Ax PPW Saa

Exemplo:

3131


KW/m1000m01.0

2

2

kA

Linear

Expandindo em séries de Taylor

3232

Interpolação

ePEee 1

PE

PEee

e xA

xA

PE

Pee xx

xx

.....2

1 2

2

x

xxxx eEPeePEee

Up-wind

Expandindo em séries de Taylor

3333

Interpolação

0. se ,0. se ,

eE

ePe nu

nu

.....2 2

22

x

xxx

xx PePePe

QUICK (quadratic upwind interpolation)

Erro de 3ª ordem!!

3434

Interpolação

UUUUDUe gg 21

UUDUD

UUeUe

xxxxxxxxg

1

UUDUUU

eDUe

xxxxxxxxg

2

Derivada temporal

3535

Integração no tempo

SxTk

xtTcp

Δtt

t

Δtt

t

Δtt

tp SdVdtdVdt

xTk

xdVdt

tTc

CVCVCV

Δtt

t

tt

t we

e

w

tt

tp VdtSdt

xTkA

xTkAdVdt

tTc

VTTcdVdttTc PPp

e

w

tt

tp

0

Onde calcular temperatura?

3636


Δtt

t

tt

t WP

WPw

PE

PEePPp VdtSdt

xTTAk

xTTAkVTTc

0

tTTdtT PP

tt

tP

01

explicito

3737


xSxTTk

xTTk

xTTk

xTTkx

tTTc

WP

WPw

PE

PEe

WP

WPw

PE

PEe

PPp

0000

0

1

0

xSxTTk

xTTkx

tTTc

WP

WPw

PE

PEe

PPp

00000

1

xk

txcp

2

Crank-Nicholson

Implícito

3838


21

kxct p

2

1

Convecção-difusão (estacionário)

Exemplo (1D; s/ termo fonte)

3939

Convecção

CVAA

dVSdAdAu gradnn

Su grad

dxd

dxdu

dxd

0dxud

integrando

4040

Convecção

we

we dxdA

dxdAuAuA

0 we uAuA

Fluxos nas faces

4141

Convecção

dxDuF e

WPwPEewwee DDFF

wwee uFuF

we

ee dx

Ddx

D

0 we FF

Interpolação nas faces (diferenças centrais)

transporte

4242

Convecção

2

2PW

w

EPe

dx

uDF

Pe

Interpolação nas faces (upwind)

Fluxos faces

4343

Convecção

WwPe ;

4444

Solução exacta

Interpolação

11

Pe

.Pe

0

0

ee L

x

L

4545

Malhas (vertex centered vs cell centered)

a)i-1 i+1i N1 j-1

j+1

Nxi-1 i i+111

j

Ny

(i,j)

b)

4646

Malhas (estrutura)

x

y

ij xi-1 xi xi+1

x

yyj-1

yj

P

nw ne

sw se

w e

n

s

WW W E

SSW SE

yj+1

EE

NENNW

ne

Sttagered/Colocated grid

4747

Solução (forma)

=* QP

w

SPN

E

APANAS AEAW

Ps

SPs

n

PNn

w

WPw

e

PEe

SPs

PNn

WPw

PEe

Qx

xx

x

xy

xyxv

xvyuyu

2

222

PSSNNEEWWPP QAAAAA

4848

Solução (procedimento): SIMPLE

* A pressão, (incógnita!) faz parte do termo de fonte.

A solução destas equações permite ter uma estimativa do campo de velocidades!

y

x

Sypvuv

tv

Sxpuuu

tu

11

11

ypASvava

xpASuaua

yyl

llPP

xxl

llPP

yPP

yp

xPP

xp

sn

we

4949


* A solução satisfaz a conservação da massa?

Necessidade de correcções para o campo de velocidades e pressão!

0 ssnnwwee uAuAuAuA

'ppp'vvv'uuu

0'''' sssnnnwwweee uuAuuAuuAuuA

nnsseewwssnnwwee uAuAuAuAuAuAuAuA ''''

y'p

aA

v

x'p

aA

u

P

y'P

P

x'P

cPbPbPbPbPb SSNNWWEEPP '''''

n

PN

Pn

ynn

e

PE

Pe

xee

yPP

aA

v

xPP

aA

u

''

'

'''

5050

Solução (Algoritmo): SIMPLE

1 Iniciar campo de pressão (arbitrado), p*

2 Resolver as equações de Momentum e determinar, u*, v*

3 Resolver equação de correcção de pressão, p’

4 Corrigir pressão p**=p*+p’

5 Corrigir velocidades, u**=u*+u’

6 Calcular outras variáveis de interesse

7 Com a nova pressão repetir os passos 2 e seguintes até convergir

5151


* Actualização de variáveis. (factor de relaxação)

* Convergência da soluçãoresíduos

* Solução no tempo ou estacionária

'

'

'

ppp

vvv

uuu

P

u

u

N

uuR

N

igii

1

2

N

ii

N

igii

N

ii

N

igii

u

uuN

u

NN

uuR

1

1

2

1

1

2

5252

FRONTEIRA (condições de)

* ParedesDirichlet

Neumann

* Entradas/saídasfixar valorlivre

* Simetria

b

'bn

0n

5353

MALHA

* O CFD usa a subdivisão do domínio para efectuar a discretização em Volumes Finitos

* Dá-se o nome de malha ao conjuntos de todas as células que constituem o domínio.

* A resolução da malha está ligada à precisão do cálculo.

* Esta deve ser tão pequena de forma a que, idealmente, seja possível dizer que não há variações de propriedades dentro de um volume

5454

MALHA

* EstruturadasFácil de referenciarDifícil de aplicar a geometrias “reais”

* Não estruturadasMuito flexíveis em função da geometriaDifícil de referenciar

* Axi-simétricas

* Compostas (por blocos)

5555

MALHA (exemplos)

5656

MALHA

* QualidadeO que é?Importância da malha

* IndicadoresCGI Celik IB et al (2008), “Procedure for Estimation and Reporting of Uncertainty Due to Discretization in CFD Applications” Journal of Fluids Engineering, 130(7)

Ortogonalidade; skewness (índices)

* Refinamentos locais

* Compostas (por blocos)

* Sliding meshes

5757

TURBULÊNCIA

* Características

´´´

wwwvvvuuu

T

dtuT

u0

2___

2 '1'

_____________

2 ''''' wuzu

zvu

yu

yu

xu

xg

xp

tu

x

Termos adicionais! Modelos de Turbulência

5858

TURBULÊNCIA

* ConceitosEnergia cinética turbulenta

Viscosidade turbulenta

____2

____2

____2 '''

21 wvuk

xu

T

iji

j

j

iTji k

xu

xuuu

32''

________

5959

TURBULÊNCIA (zero equações)

* Prandtl

* Smagorinsky

* Baldvin-Lomaz

kyldydulT

;2

i

j

j

iijijijT x

uxuSSSl

21;2

_________2

i

j

j

iiiiT x

uxul

_________2 ;

6060

TURBULÊNCIA (uma equação)

* Equação de transporte para k

k é uma escala de velocidade para os eddies de grande escala

* Kolomogorov-Prandtl

LkCT '

6161

TURBULÊNCIA (duas equações)

* Distinção entre eddies (conceito de dissipação de energia)

* Equações de transporte

* k-ε; k-ω; lowRe k- ε…..* Outros

____________''

j

i

j

i

xu

xu

2kCT

k

Cxu

kCC

DtDk

xukC

DtDk

j

iijT

j

iijT

2

543

2

'

'

6262

TURBULÊNCIA (parede)

* Wall function

* Near wall treatment

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

y (m)

u (m

/s)

.

sub camadazona intermediaperfil v Karman

6363

2 FASES

* Euleriano-Eulerianoduas fases densas; escoamentos com separação, estratificados

6464

2 FASES

* Euleriano-EulerianoVolume Of Fluid (VOF)

Fluido 1Fluido 1

Fluido 2

Fluido 1

Fluido 2 Fluido 2

0 ut

0.09 0.22 0.00 0.00

0.96 1.00 0.64 0.68

1.00 1.00 1.001.00

21

21

1

1

interface de zona na , ponto um para 10fluido2 de zona na , ponto um para 0fluido1 de zona na , ponto um para 1

,txtxtx

tx

6565

2 FASES

* Euleriano-Lagrangeanofase dispersa; sprays

* eddy-particle interaction (Hewitt, 1980)particle motion

trajectória

turbulência; tempo de cálculo

xD

DxDD

D FguuFdtdu

)(

24Re18

2D

DDD

Cd

F

uud DD

Re232

1 ReReaaaCD

DD uudtdu

ttDDD etuututtu 1

Dudtdx

2'' uu kTLe 3.02

6666

VALIDAÇÃO

* Soluções teóricas

* Dados experimentaisPróprios Laufer (1954) – pipe flowDriven cavityback step e forward step

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