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DINÂMICA DOS DINÂMICA DOS FLUIDOS FLUIDOS

COMPUTACIONALCOMPUTACIONAL

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Problemas de engenhariaProblemas de engenharia

Métodos analíticosMétodos analíticos

Métodos experimentaisMétodos experimentais

Métodos numéricosMétodos numéricos

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Problemas de engenhariaProblemas de engenharia

E r r o d e m o d e l a g e m

S o l u ç ã o A n a l í t i c a

E r r o s n u m é r i c o s

S o l u ç ã o N u m é r i c a

M é t o d o s N u m é r i c o s

M o d e l o M a t e m á t i c o( e q u a ç ã o q u e r e p r e s e n t a o f e n ô m e n o r e a l )

M É T O D O S T E Ó R I C O S

E r r o s e x p e r i m e n t a i s

R e s u l t a d o e x p e r i m e n t a l

E x p e r i m e n t o( e m c a m p o o u l a b o r a t ó r i o )

M É T O D O S E X P E R I M E N T A I S

F E N Ô M E N O R E A L( O b s e r v a d o n a n a t u r e z a )

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Métodos analíticosMétodos analíticos

Soluções contínuas sobre o domínio.Soluções contínuas sobre o domínio. Soluções fechadas.Soluções fechadas. Baixos custos de implementação.Baixos custos de implementação.

Geometrias e condições de contorno Geometrias e condições de contorno simples.simples.

Geralmente restrito a problemas lineares.Geralmente restrito a problemas lineares. Possuem erros de modelagem.Possuem erros de modelagem.

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Métodos analíticosMétodos analíticos Equação de Laplace bidimensional:Equação de Laplace bidimensional:

( ) ( )∑∞

=

+

π

π

π+−

π=θ

1

1 112,

n

n

LWn

senh

Lyn

senh

L

xnsen

nyx

Fonte: Incropera et al. (2008)

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Métodos experimentaisMétodos experimentais Trabalham com a configuração real.Trabalham com a configuração real. Possibilidade de ser executado na Possibilidade de ser executado na

ausência de modelos matemáticos ausência de modelos matemáticos adequados.adequados.

Custo elevado.Custo elevado. Dificuldades de realização (questões de Dificuldades de realização (questões de

segurança, reprodução de condições segurança, reprodução de condições reais).reais).

Dificuldades de medição.Dificuldades de medição. Possuem erros experimentais.Possuem erros experimentais.

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Métodos experimentaisMétodos experimentais

Fonte: http://est.ualg.pt/est/index.p

hp?option=com_content&task=vi

ew&id=107&Itemid=106

Fonte: http://iar-ira.nrc-cnrc.gc.ca/press/news_1_16a_e.html

8

Métodos experimentaisMétodos experimentais

Fonte: http://stoa.usp.br/fep0114/weblog/5703

.html

9

Métodos numéricosMétodos numéricos

Geometrias e condições de contorno Geometrias e condições de contorno complexas.complexas.

Menor custo e redução significativa no Menor custo e redução significativa no tempo de obtenção dos resultados.tempo de obtenção dos resultados.

Simulações de risco (explosões, radiação, Simulações de risco (explosões, radiação, poluição)poluição)

Erros de modelagem e numéricos.Erros de modelagem e numéricos. Condições de contorno.Condições de contorno.

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Métodos numéricosMétodos numéricos

Fonte: http://www.onera.fr/photos-en/simulations/ariane5.php

Fonte: http://www.ansys.com/solutions/fluid-dynamics.asp

Fonte: http://www.cpge.utexas.edu/new_generation/

11

Métodos numéricosMétodos numéricos

Fonte: http://www.health.gov.mt/impaedcard/issue/issue2/1125/1125.htm Fonte: http://www.symscape.com/node/261

12

Métodos numéricosMétodos numéricos

Fonte: http://www.sinmec.ufsc.br/sinmec/atividad

es/resultados/escoamento.html

Fonte: http://www.flomerics.com/casestudies/detail

s_casestudies_efd.php?id=1153

13

Métodos numéricosMétodos numéricos

Fonte: http://www.cham.co.uk/phoenics/d_polis/d

_applic/appcom.htm

Fonte: http://www.cham.co.uk/phoenics/d_polis/d_

applic/d_power/tact.htm

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Definição de CFDDefinição de CFD “Área da computação científica que estuda

métodos computacionais para simulação de fenômenos que envolvem fluidos em movimento com ou sem trocas de calor” (Fortuna, 2000).

Pode-se, também, estudar fenômenos associados ao escoamento de fluidos e transferência de calor, como reações químicas (Versteeg e Malalasekera, 1995).

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Alguns assuntosAlguns assuntos estudados em CFD estudados em CFD

Aerodinâmica. Hidrodinâmica. Turbomáquinas. Engenharia elétrica e eletrônica. Engenharia de processos químicos. Reservatórios de petróleo. Climatologia. Engenharia biomédica.

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Códigos em CFDCódigos em CFD

Estruturados ao redor de algoritmos Estruturados ao redor de algoritmos numéricos.numéricos.

Elementos principais:Elementos principais: Pré-processamento.Pré-processamento. SolverSolver (método de solução). (método de solução). Pós-processamento.Pós-processamento.

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Obtenção da solução numéricaObtenção da solução numérica

Definição do problema.Definição do problema. Definição do modelo numérico.Definição do modelo numérico. Discretização do domínio de cálculo.Discretização do domínio de cálculo. Discretização do modelo matemático.Discretização do modelo matemático. Obtenção da solução numérica.Obtenção da solução numérica. Visualização e análise de resultados.Visualização e análise de resultados.

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Definição do problemaDefinição do problema

Modelo matemático: equações, condições Modelo matemático: equações, condições de contorno e iniciais.de contorno e iniciais.

Geometria do domínio de cálculo.Geometria do domínio de cálculo.

Propriedades dos meios sólido(s) e Propriedades dos meios sólido(s) e fluido(s) envolvidos no problema.fluido(s) envolvidos no problema.

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Definição do modelo numéricoDefinição do modelo numérico

Tipo de malha.Tipo de malha. Método numérico.Método numérico. Tipos de aproximações numéricas.Tipos de aproximações numéricas. Variáveis de interesse.Variáveis de interesse. Método de solução do sistema de Método de solução do sistema de

equações (equações (solversolver).). Critérios de convergência do processo Critérios de convergência do processo

iterativo.iterativo. Estimadores de erros numéricos.Estimadores de erros numéricos.

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Discretização do domínioDiscretização do domínio

Geração da malha na qual a solução Geração da malha na qual a solução numérica é obtida.numérica é obtida.

Fonte: www.nasa.gov Fonte: Wang (2006)

21

Discretização do modelo Discretização do modelo matemáticomatemático

Os termos das equações do modelo Os termos das equações do modelo matemático (bem como condições de matemático (bem como condições de contorno e iniciais) são aproximados contorno e iniciais) são aproximados através de um método numérico, gerando através de um método numérico, gerando um sistema de equações algébricas um sistema de equações algébricas (discretizadas).(discretizadas).

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Obtenção da solução Obtenção da solução numéricanumérica

Utilização de um método (Utilização de um método (solversolver) direto ) direto ou iterativo para solução de um sistema ou iterativo para solução de um sistema de equações.de equações.

[ ][ ] [ ]bxA =

[ ] [ ] [ ]bAx 1−=

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Análise e visualizaçãoAnálise e visualização

Gráficos bi e tridimensionais.Gráficos bi e tridimensionais. Isolinhas, isorregiões e isossuperfícies.Isolinhas, isorregiões e isossuperfícies. Vetores.Vetores. Estimativas de erros de modelagem e Estimativas de erros de modelagem e

numéricos.numéricos.

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Métodos numéricosMétodos numéricos

Diferenças Finitas.Diferenças Finitas.

Volumes Finitos.Volumes Finitos.

Elementos Finitos.Elementos Finitos.

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Diferenças FinitasDiferenças Finitas Método mais antigo para solução numérica Método mais antigo para solução numérica

de EDP’s.de EDP’s.

Equação de conservação na forma Equação de conservação na forma diferencial.diferencial.

Em cada ponto da malha as derivadas Em cada ponto da malha as derivadas (parciais) da equação original é substituída (parciais) da equação original é substituída por aproximações baseadas na expansão por aproximações baseadas na expansão de Taylor e/ou interpolação polinomial.de Taylor e/ou interpolação polinomial.

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Volumes FinitosVolumes Finitos Baseado na forma integral das equações Baseado na forma integral das equações

de conservação.de conservação.

Divisão do domínio em volumes de Divisão do domínio em volumes de controle.controle.

Método conservativo.Método conservativo.

Todos os termos que necessitam de Todos os termos que necessitam de aproximações possuem significado físico.aproximações possuem significado físico.

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Elementos FinitosElementos Finitos

Domínio dividido em um conjunto de Domínio dividido em um conjunto de volumes ou elementos finitos.volumes ou elementos finitos.

Equações multiplicadas por uma função Equações multiplicadas por uma função peso antes de serem integradas; trabalha-peso antes de serem integradas; trabalha-se com a forma variacional das equações.se com a forma variacional das equações.

28

Sistema de coordenadasSistema de coordenadas

Coordenadas cartesianas.Coordenadas cartesianas.

Coordenadas cilíndricas.Coordenadas cilíndricas.

Coordenadas esféricas.Coordenadas esféricas.

Coordenadas generalizadas.Coordenadas generalizadas.

29

Discretização do domínio Discretização do domínio (malhas)(malhas)

Malhas estruturadas.Malhas estruturadas. Malhas uniformes.Malhas uniformes. Malhas uniformes por direção.Malhas uniformes por direção. Malhas não-uniformes.Malhas não-uniformes.

Malhas não-estruturadas.Malhas não-estruturadas.

30

Discretização do domínio Discretização do domínio (malhas)(malhas)

Malha uniforme Malha uniforme por direção Malha não-uniforme

Malha não-ortogonal Malha não-estruturada

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Métodos de solução (Métodos de solução (solversolver))

Sistema de equações não-lineares:Sistema de equações não-lineares: Newton-Raphson; Newton modificado.Newton-Raphson; Newton modificado.

Sistema de equações lineares:Sistema de equações lineares: Métodos diretos: Eliminação de Gauss, TDMA.Métodos diretos: Eliminação de Gauss, TDMA.

Métodos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi.Métodos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi.

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Propriedades dos métodos Propriedades dos métodos de solução numéricade solução numérica

Três conceitos matemáticos são Três conceitos matemáticos são empregados para determinar o sucesso empregados para determinar o sucesso dos códigos em CFD:dos códigos em CFD:

Consistência.Consistência. Estabilidade.Estabilidade. Convergência.Convergência.

33

Propriedades dos métodos Propriedades dos métodos de solução numéricade solução numérica

ConsistênciaConsistência A discretização deve ser exata quando o A discretização deve ser exata quando o

tamanho dos elementos da malha são tamanho dos elementos da malha são reduzidosreduzidos..

EstabilidadeEstabilidade Um método de solução numérica é dito ser Um método de solução numérica é dito ser

estável se ele não amplificar erros que estável se ele não amplificar erros que aparecem durante o processo de solução aparecem durante o processo de solução numérica.numérica.

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Propriedades dos métodos Propriedades dos métodos de solução numéricade solução numérica

ConvergênciaConvergência A solução das equações discretizadas deve A solução das equações discretizadas deve

tender à solução exata das equações tender à solução exata das equações diferenciais, quando o tamanho da malha diferenciais, quando o tamanho da malha tende a zerotende a zero..

Teorema de equivalência de Lax:Teorema de equivalência de Lax: Dados um Dados um problema linearproblema linear de valor inicial e de valor inicial e

uma aproximação por diferenças finitas que uma aproximação por diferenças finitas que satisfaça à condição de consistência, a satisfaça à condição de consistência, a estabilidade é uma condição necessária e estabilidade é uma condição necessária e suficiente para a convergênciasuficiente para a convergência..

35

Propriedades dos métodos Propriedades dos métodos de solução numéricade solução numérica

Teorema de equivalência de Lax:Teorema de equivalência de Lax: Consistência + Estabilidade = Convergência.Consistência + Estabilidade = Convergência.

ConservaçãoConservação Como as equações a serem resolvidas são Como as equações a serem resolvidas são

baseadas em leis de conservação, o esquema baseadas em leis de conservação, o esquema numérico deve respeitar (local e globalmente) numérico deve respeitar (local e globalmente) essas leisessas leis..

36

Propriedades dos métodos Propriedades dos métodos de solução numéricade solução numérica

AcuráciaAcurácia Soluções numéricas: soluções aproximadas.Soluções numéricas: soluções aproximadas. Erros de modelagem.Erros de modelagem. Erros numéricos:Erros numéricos:

Erros de truncamento.Erros de truncamento. Erros de iteração.Erros de iteração. Erros de arredondamento.Erros de arredondamento. Erros de programação.Erros de programação.

Validação e verificação.Validação e verificação.

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ValidaçãoValidação

Grau de fidelidade que um determinado Grau de fidelidade que um determinado modelo apresenta ao representar um modelo apresenta ao representar um fenômeno físico.fenômeno físico.

Comparação de valores obtidos com Comparação de valores obtidos com resultados experimentais (Metha, 1996; resultados experimentais (Metha, 1996; AIAA, 1998; Roache, 1998).AIAA, 1998; Roache, 1998).

38

VerificaçãoVerificação Relacionado ao grau de correção de um Relacionado ao grau de correção de um

modelo implementado, isto é, deve-se modelo implementado, isto é, deve-se confirmar que a implementação de um confirmar que a implementação de um modelo representa sua descrição modelo representa sua descrição conceitual (Metha, 1996; AIAA, 1998; conceitual (Metha, 1996; AIAA, 1998; Roache, 1998).Roache, 1998).

Verificação do código.Verificação do código. Verificação da solução (estimadores de Verificação da solução (estimadores de

erros).erros).

39

Cuidados em CFDCuidados em CFD

Conhecimento dos fenômenos físicos.Conhecimento dos fenômenos físicos.

Adequação dos modelos matemáticos.Adequação dos modelos matemáticos.

Conhecimento dos métodos numéricos Conhecimento dos métodos numéricos envolvidos.envolvidos.

Análise de erros (de modelagem e Análise de erros (de modelagem e numéricos).numéricos).

40

Alguns desafios em CFDAlguns desafios em CFD Transição entre regimes laminar e Transição entre regimes laminar e

turbulento.turbulento. Turbulência.Turbulência. Reações químicas em escoamentos Reações químicas em escoamentos

turbulentos.turbulentos. Escoamentos multifásicos.Escoamentos multifásicos. Interação fluido-estrutura.Interação fluido-estrutura. Atomização.Atomização.

41

Material de referênciaMaterial de referência Livros:Livros:

Fortuna, A. O. Fortuna, A. O. Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Técnicas Computacionais para Dinâmica dos FluidosFluidos, São Paulo: Edusp, 2000., São Paulo: Edusp, 2000.

Maliska, C. R. Maliska, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos ComputacionalComputacional, 2ed, Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004., 2ed, Rio de Janeiro: LTC Editora, 2004.

Ferziger, J. H., Peric, M. Ferziger, J. H., Peric, M. Computational Methods for Fluid Computational Methods for Fluid DynamicsDynamics, 2ed,Berlin: Springer, 2002., 2ed,Berlin: Springer, 2002.

Tannehill, J. C., Anderson, D. A., Pletcher, R. H., Tannehill, J. C., Anderson, D. A., Pletcher, R. H., Computational Fluid Mechanics and Heat TransferComputational Fluid Mechanics and Heat Transfer, 2 ed, New , 2 ed, New York: Taylor & Francis, 1997.York: Taylor & Francis, 1997.

SitesSites www.cfd-online.comwww.cfd-online.com www.cfd-brasil.comwww.cfd-brasil.com ftp://ftp.demec.ufpr.br/Disciplinas/TM797ftp://ftp.demec.ufpr.br/Disciplinas/TM797