Métodos Numéricos em Finanças � ISEG/UTL Fernando Gonçalves

Diferenças �nitas para a equação de Laplace.

Considere o problema de valor de fronteira para a equação de Laplace

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 se (x, y) ∈ (0, 40)× (0, 30)

u(x, 0) = u(x, 30) = 0, se x ∈ [0, 40]

u(0, y) = y(30− y), u(40, y) = 0 se y ∈ [0, 30].

(1)

Para aproximar a solução do problema (1), vamos usar um esquema de diferenças �nitas

numa grelha uniforme com ponto genérico (ih, jh)

Z2h = {(x, y) : x = ih, y = jh, i = 0, . . . ,M, j = 0, 1, . . . , N} ,

com h = 10, M = 4 e N = 3.

1

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Consideremos a seguinte discretização do problema (1)

U j−1i − 2U j

i + U j+1i

h2+U j

i−1 − 2U ji + U j

i+1

h2= 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2

U0i = U3

i = 0, i = 0, . . . , 4

U j0 = u(0, jh) = jh(30− jh), U j

4 = 0, j = 0, . . . , 3,

(2)

onde U ji := U(ih, jh), com (ih, jh) ∈ Z2

h, e h = 10.

1. Consistência.

Vamos assumir que u ∈ C44 ((0, 40)× (0, 30)) ∩ C([0, 40]× [0, 30]) e denotar uj

i = u(ih, jh).

Das expansões de Taylor

• uji+1 = uj

i + h

(∂u

∂x

)j

i

+h2

2

(∂2u

∂x2

)j

i

+h3

6

(∂3u

∂x3

)j

i

+O(h4)

• uji−1 = uj

i − h(∂u

∂x

)j

i

+h2

2

(∂2u

∂x2

)j

i

− h3

6

(∂3u

∂x3

)j

i

+O(h4)

• uj+1i = uj

i + h

(∂u

∂y

)j

i

+h2

2

(∂2u

∂y2

)j

i

+h3

6

(∂3u

∂y3

)j

i

+O(h4)

• uj−1i = uj

i − h(∂u

∂y

)j

i

+h2

2

(∂2u

∂y2

)j

i

− h3

6

(∂3u

∂y3

)j

i

+O(h4),

obtemos

• Dx+D

x−u

ji =

uji−1 − 2uj

i + uji+1

h2=

(∂2u

∂x2

)j

i

+O(h2)

• Dy+D

y−u

ji =

uj−1i − 2uj

i + uj+1i

h2=

(∂2u

∂u2

)j

i

+O(h2).

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Se u é solução do problema exacto (1) então

(Dx+D

x− +Dy

+Dy−)u

ji = Dx

+Dx−u

ji +Dy

+Dy−u

ji =

((∂2u

∂x2

)j

i

+O(h2)

)+

((∂2u

∂y2

)j

i

+O(h2)

)

= O(h2) +O(h2) = O(h2).

Em conclusão, o erro de truncatura do esquema

τ ji =uji−1 − 2uj

i + uji+1

h2+uj−1i − 2uj

i + uj+1i

h2

satisfaz

τ ji = O(h2).

2. Solvabilidade.

A equação

U j−1i − 2U j

i + U j+1i

h2+U j

i−1 − 2U ji + U j

i+1

h2= 0

do problema (2) tem a forma mais simples

4U ji −

(U j−1

i + U j+1i + U j

i−1 + U ji+1

)= 0.

Vamos escrever esta equação para cada um dos 6 pontos "interiores"(ih, jh) do domínio

discreto, i.e., para i = 1, . . . , 3, j = 1, . . . , 2 (o valor dos restantes 14 pontos é dado pelas

condições de fronteira). Por exemplo, a equação para o ponto (1h,1h) escreve-se

4U11 −

(U0

1 + U21 + U1

0 + U12

)= 0,

ou, passando para o segundo membro os termos conhecidos,

4U11 − U2

1 − U12 = U0

1 + U10 .

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Obtemos o sistema linear

4U11 −U2

1 −U12 = U0

1 + U10

−U11 +4U2

1 −U22 = U2

0 + U31

−U11 +4U1

2 −U22 −U1

3 = U02

−U21 −U1

2 +4U22 −U2

3 = U32

−U12 +4U1

3 −U23 = U0

3 + U14

−U22 −U1

3 +4U23 = U3

3 + U24 ,

ou, especi�cando os segundos membros,

4U11 −U2

1 −U12 = 200

−U11 +4U2

1 −U22 = 200

−U11 +4U1

2 −U22 −U1

3 = 0

−U21 −U1

2 +4U22 −U2

3 = 0

−U12 +4U1

3 −U23 = 0

−U22 −U1

3 +4U23 = 0,

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ou ainda, em forma matricial,

4 −1 −1 0 0 0

−1 4 0 −1 0 0

−1 0 4 −1 −1 0

0 −1 −1 4 0 −10 0 −1 0 −4 −10 0 0 −1 −1 4

·

U11

U21

U12

U22

U13

U23

=

200

200

0

0

0

0

.

Finalmente, resolvendo a equação matricial obtemos

U11

U21

U12

U22

U13

U23

=

76.1904761905

76.1904761905

28.5714285714

28.5714285714

9.5238095238

9.5238095238

.

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