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FAAP – Faculdade de Administração
Código da Disciplina: 2CE591 – PESQUISA OPERACIONAL 1
1. INTRODUÇÃO
Histórico:
O termo Pesquisa Operacional foi utilizado pela 1ª vez na Grã-Bretanha, em
1938, para designar o estudo sistemático de problemas estratégicos e táticos
decorrentes de operações militares.
Um grupo de especialistas (matemáticos, físicos, engenheiros...) foi
designado para avaliar e reposicionar adequadamente os radares do sistema
de defesa aérea da Grã-Bretanha, antes e durante a 2ª Guerra Mundial.
Como ciência, a Pesquisa Operacional surgiu para resolver de forma mais eficiente
problemas de otimização advindos da complexidade da administração das
organizações. Seus métodos visam auxiliar na seleção da melhor maneira de se
operar um sistema, usualmente sob condições que exijam a utilização de recursos
limitados.
Problemas de tomada de decisão são freqüentes em nosso dia a dia, como por
exemplo, escolher uma refeição a ser consumida em um restaurante ou em qual
restaurante ir almoçar, ou ainda qual filme assistir neste final de semana. É preciso
selecionar uma alternativa que satisfaça um ou mais objetivos. Nem sempre o
processo de tomada de decisão possui um único objetivo e assim devemos ponderá-
los, com o intuito de encontrar a melhor solução.
Intuição e experiência são as principais características empregadas pelos chamados
métodos qualitativos para a tomada de decisão. Mas muitas vezes o problema é
novo, complexo ou demasiadamente importante e nos faz optar por um método
quantitativo para chegar a uma decisão final. Este requer uma estruturação do
problema, seguida de sua representação matemática e da utilização de métodos de
análise apropriados. A solução produzida pelo método quantitativo adotado deve
então ser recomendada ao tomador de decisão.
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Em um processo de decisão por um método quantitativo, podemos citar 5 fases que
compõem um projeto de Pesquisa Operacional:
1. Formulação do problema (entendê-lo e definir o objetivo)
2. Construção do modelo (estabelecer variáveis e gerar alternativas)
3. Obtenção da solução
4. Teste do modelo e avaliação da solução (comparar as alternativas com
outras, avaliar os riscos)
5. Implantação e acompanhamento da solução (manutenção)
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2. PROGRAMAÇÃO LINEAR
É uma técnica de otimização bastante utilizada na resolução de problemas
que tenham seus modelos representados por expressões lineares.
Pela sua simplicidade e a possibilidade de aplicação em uma considerável
diversidade de problemas, tornou-se um recurso bastante difundido.
Função objetivo: obtida com as
mesmas variáveis das restrições, a
ser maximizada ou minimizada
Restrições: todas as possibilidades
e limitações levantadas do problema
Quanto a resolução, temos:
a) Problema com duas variáveis,
- Gráfica
solução: - Análise matemática
- Algoritmo (Método Simplex).
b) Problema com um número qualquer de variáveis
solução: - Análise matemática
- Algoritmo (Método Simplex)
Podemos elaborar um ¨roteiro¨, para auxiliar na montagem do problema:
1. Identificar as variáveis de decisão:
O problema, por exemplo, refere-se à programação de produção, portanto as
variáveis de decisão são definidas como as quantidades a produzir no
período.
2. Definir o objetivo:
Por exemplo, maximizar os lucros, ou minimizar os custos.
PROGRAMAÇÃO LINEAR
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3. Função objetivo:
Expressão que calcula o valor do objetivo em função das variáveis de
decisão.
4. Identificar as restrições:
Relação linear montada com as variáveis de decisão.
Ex 1:
Um fazendeiro deseja otimizar as plantações de arroz e milho na sua fazenda. O
fazendeiro quer saber as áreas de arroz e milho que devem ser plantadas para que
o seu lucro nas plantações sejam o máximo. O seu lucro por unidade de área
plantada de arroz é 5 u.m., e por unidade de área plantada de milho é 2 u.m. As
áreas plantadas de arroz e milho não devem ser maiores que 3 e 4 respectivamente.
Cada unidade de área plantada de arroz consome 1 homem-hora. Cada unidade de
área plantada de milho consome 2 homens-hora. O consumo total de homens-hora
nas duas plantações não deve ser maior que 9.
Solução:
- variáveis de decisão:
x1 = área a ser plantada com arroz
x2 = área a ser plantada com milho
- Objetivo:
Maximizar o lucro
- Função objetivo:
Lucro unitário de x1 = 5 u.m.
Lucro unitário de x2 = 2 u.m.
- Restrições:
áreas a serem plantadas: arroz: x1 ≤ 3
milho: x2 ≤ 4
consumo de homens hora:
milho: 2 homens hora por unidade de área plantada
consumo total nas 2 plantações ≤ 9 x1 + 2 x2 ≤ 9
Lmáx = 5 x1 + 2 x2
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2.1 MÉTODO GRÁFICO
a) Construir a reta correspondente a cada equação montada a partir das
restrições.
I
II
para x1 = 0 0 + 2 x2 = 9 x2 = 4,5
III
para x2 = 0 x1 + 2.0 = 9 x1 = 9
b) Testar para cada reta qual a região que corresponde à solução da inequação.
Escolher um ponto qualquer fora da reta e substituir os valores na inequação,
verificando se a condição é verdadeira ou falsa.
Escolhido (2,1)
I x1 ≤ 3
2 ≤ 3 (V)
II x2 ≤ 4
1 ≤ 4 (V)
x1 = 3
x2 = 4
x1 + 2 x2 = 9
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III x1 + 2 x2 ≤ 9
2 + 2 . 1 ≤ 9
4 ≤ 9 (V)
c) Encontrar os pontos referentes aos vétices do polígono formado.
C = encontro das retas I e III , portanto temos: x1 = 3 x1 + 2 x2 = 9
3 + 2 x2 = 9
2 x2 = 6
x2 = 3
D = encontro das retas II e III , portanto temos: x2 = 4 x1 + 2 x2 = 9
x1 + 2 . 4 = 9
x1 = 1
A (0,0)
B (3,0)
C (3,3)
D (1,4)
E (0,4)
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d) Substituir os valores dos vértices do polígono na função objetivo.
Lmáx = 5 x1 + 2 x2
A (0,0) = 0
B (3,0) = 15
C (3,3) = 21
D (1,4) = 13
E (0,4) = 8
Verificamos que o ponto C é o que fornece o maior valor para a função objetivo,
portanto temos que Lmáx = 21
Concluímos que o lucro máximo do fazendeiro é de 21 unidades monetárias,
desde que plante 3 unidades de área de arroz e 3 unidades de área de milho.
Ex 2:
Uma empresa produz artigos de alta qualidade em três seções de produção. Como
os produtos partilham as capacidades de produção das seções e sofrem as
restrições (resumidas no quadro), pede-se determinar as quantidades a serem
produzidas para a obtenção de lucro máximo.
Capacidade utilizada por unidade de
produção
Seção nº Produto 1 Produto 2 Capacidade
disponível
1 2 1 10
2 1 1 6
3 1 4 20
Lucro unitário ($) 3 2
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Ex 3:
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é de
1000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1800 unidades monetárias.
A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para
fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de
1200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais de P1
e 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa
maximize seu lucro nesses itens? Construa o modelo de programação linear para
esse caso.
Ex 4: Representar graficamente a solução do sistema:
x1+3x2 ≤ 12
2x1+x2 ≥ 16
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Ex 5: Maximizar L= 2x1+5x2 na região de soluções do gráfico
1,6
4,8
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2.2 MÉTODO SIMPLEX
Como já citado anteriormente, problemas com mais de 2 variáveis não poderiam ser
solucionados com o método gráfico. Desta forma é necessário o estudo de outro
procedimento para a busca de soluções. Será apresentado mais um procedimento
geral para resolução de problemas de programação linear, denominado "Método
Simplex", que foi desenvolvido em 1947 por George B. Dantzig.
É um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a solução
ótima de um problema de PROGRAMAÇÃO LINEAR.
Um algoritmo é a descrição de um conjunto de ações que resultam em uma
sucessão finita de passos até a obtenção de um resultado. Este conjunto de ações
inclui um procedimento para iniciar e um critério para terminar.
A seguir vamos resolver pelo método SIMPLEX o Ex 2, que foi resolvido em aula
pelo método gráfico.
Objetivo: maximizar o lucro
Função objetivo:
Restrições: 2 x1 + x2 ≤ 10
x1 + x2 ≤ 6
x1 + 4 x2 ≤ 20
Solução:
Com o auxílio de variáveis de folga transformamos as inequações em
equações. Vamos acrescentar 1 variável de folga para cada equação.
2 x1 + x2 + x3 + 0 x4 + 0 x5 = 10
x1 + x2 + 0 x3 + x4 + 0 x5 = 6
x1 + 4 x2 + 0 x3 + 0 x4 + x5 = 20
Adicionar as variáveis de folga na função objetivo, com o coeficiente zero.
L = 3 x1 + 2 x2
L - 3 x1 - 2 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 = 0
L = 3 x1 + 2 x2
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Montar a 1ª tabela SIMPLEX
L X1 X2 X3 X4 X5 T
0 2 1 1 0 0 10
0 1 1 0 1 0 6
0 1 4 0 0 1 20
1 -3 -2 0 0 0 0
Determinar o elemento PIVOT
a) Identificar a coluna que corresponde ao elemento mais negativo (na função
objetivo) = COLUNA PIVOT
b) Dividir o elemento da coluna T pelo elemento da coluna PIVOT , fazer isso
para cada linha.
A linha que originar o menor quociente positivo = LINHA PIVOT
c) No encontro linha PIVOT x coluna PIVOT = ELEMENTO PIVOT
L X1 X2 X3 X4 X5 T
0 2 1 1 0 0 10 52
10
0 1 1 0 1 0 6 61
6
0 1 4 0 0 1 20 201
20
1 -3 -2 0 0 0 0
COLUNA PIVOT
Determinar a nova LINHA PIVOT
LINHA PIVOT = 0 2 1 1 0 0 10
÷ 2 = elemento PIVOT = 0 1 0,5 0,5 0 0 5
Função objetivo
LINHA PIVOT
= nova Linha PIVOT
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Montar a nova tabela SIMPLEX (2ª)
Reescrever cada uma das outras linhas, fazendo :
Nova 2ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 1 0,5 0,5 0 0 5
× (-1) = 0 -1 -0,5 -0,5 0 0 -5
2ª linha = 0 1 1 0 1 0 6
Nova 2ª linha = 0 0 0,5 -0,5 1 0 1
Nova 3ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 1 0,5 0,5 0 0 5
× (-1) = 0 -1 -0,5 -0,5 0 0 -5
3ª linha = 0 1 4 0 0 1 20
Nova 3ª linha = 0 0 3,5 -0,5 0 1 15
Nova 4ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 1 0,5 0,5 0 0 5
× (3) = 0 3 1,5 1,5 0 0 15
4ª linha = 1 -3 -2 0 0 0 0
Nova 4ª linha = 1 0 -0,5 1,5 0 0 15
Nova Linha PIVOT
× elemento da coluna PIVOT da linha que será reescrita, com o sinal trocado
+ linha original NOVA LINHA
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L X1 X2 X3 X4 X5 T
0 1 0,5 0,5 0 0 5
0 0 0,5 -0,5 1 0 1
0 0 3,5 -0,5 0 1 15
1 0 -0,5 1,5 0 0 15
Analisando a solução encontrada, vemos que ainda não é a solução ótima, pois
ainda há elementos negativos nos coeficientes da função objetivo (valores
indicados em vermelho)
Repetir o processo até que não existam mais elementos negativos na função
objetivo.
L X1 X2 X3 X4 X5 T
0 1 0,5 0,5 0 0 5 105,0
5
0 0 0,5 -0,5 1 0 1 25,0
1
0 0 3,5 -0,5 0 1 15 28,45,3
15
1 0 -0,5 1,5 0 0 15
COLUNA PIVOT
= ELEMENTO PIVOT
LINHA PIVOT = 0 0 0,5 -0,5 1 0 1
÷ 0,5 = elemento PIVOT = 0 0 1 -1 2 0 2
= LUCRO
= nova Linha PIVOT
LINHA PIVOT
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Montar a nova tabela SIMPLEX (3ª)
Nova 1ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 0 1 -1 2 0 2
× (-0,5) = 0 0 -0,5 0,5 -1 0 -1
1ª linha = 0 1 0,5 0,5 0 0 5
Nova 1ª linha = 0 1 0 1 -1 0 4
Nova 3ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 0 1 -1 2 0 2
× (-3,5) = 0 0 -3,5 3,5 -7 0 -7
3ª linha = 0 0 3,5 -0,5 0 1 15
Nova 3ª linha = 0 0 0 3 -7 1 8
Nova 4ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 0 1 -1 2 0 2
× (0,5) = 0 0 0,5 -0,5 1 0 1
4ª linha = 1 0 -0,5 1,5 0 0 15
Nova 4ª linha = 1 0 0 1 1 0 16
L X1 X2 X3 X4 X5 T
0 1 0 1 -1 0 4
0 0 1 -1 2 0 2
0 0 0 3 -7 1 8
FUNÇÃO OBJETIVO = 1 0 0 1 1 0 16
OK ! Não há nºs negativos na função
A empresa deve produzir 4 produtos P1 e 2 produtos P2 para obter lucro
máximo de $ 16.
= LUCRO
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Ex 6: Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 150
u.m. e o lucro unitário de P2 é de 250 u.m. A empresa necessita de 2 horas para
fabricar uma unidade de P1 e de 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo
mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas
para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos P1 e
P2 não devem ultrapassar 60 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Pede-se:
a) Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o
lucro da empresa.
b) Determinar as quantidades a serem produzidas para obtenção do lucro máximo
(utilizar o método SIMPLEX)
Ex 7: Resolva pelo método Simplex o problema:
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3
Sujeito a: x1+ 2x2 + x3 ≤ 430
3x1 + 2x3 ≤ 460
x1 + 4x2 ≤ 420
x1, x2, x3 ≥ 0
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2.3 DUALIDADE Em determinadas situações, a quantidade de cálculos necessária para resolver um
modelo linear pelo método Simplex pode ser reduzida. O modelo inicial chamado
Primal, pode ser substituído por outro modelo chamado Dual, cuja solução é mais
rápida.
Uma vez conhecida a solução do Dual, conhece-se em consequência a solução do
Primal.
A seguir vamos resolver pela DUALIDADE o Ex 2, que já foi resolvido pelo método
GRÁFICO e pelo método SIMPLEX.
Objetivo: maximizar o lucro
Função objetivo:
Restrições: 2 x1 + x2 ≤ 10
x1 + x2 ≤ 6
x1 + 4 x2 ≤ 20
Solução:
Teremos um modelo DUAL constituído por:
A cada restrição do PRIMAL, corresponderá uma variável de decisão (yi) no
DUAL.
Para o ex, temos: 2 x1 + x2 ≤ 10 → y1
x1 + x2 ≤ 6 → y2
x1 + 4 x2 ≤ 20 → y3
As parcelas da função objetivo no DUAL serão obtidas pelo produto da
variável (yi) pelo termo independente (a direita) da restrição correspondente.
L = 3 x1 + 2 x2
D = 10 y1 + 6 y2 + 20 y3
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Restrições: Cada variável de decisão (xi) no PRIMAL gera uma restrição no
DUAL.
2 x1 + x2 ≤ 10
x1 + x2 ≤ 6
x1 + 4 x2 ≤ 20
1ª restrição 2ª restrição
Suas parcelas serão obtidas pelo produto da variável (yi) pelo coeficiente do (xi) das
restrições do PRIMAL e o termo independente será o coeficiente do xi
correspondente da função objetivo do PRIMAL. Lembrando que todas as restrições
no DUAL devem ser do tipo ≥
Assim temos:
Para o método SIMPLEX, as restrições devem ser ≤ , portanto vamos × (-1)
todas as inequações do sistema:
- 2 y1 - y2 - y3 ≤ - 3
- y1 - y2 - 4 y3 ≤ - 2
A função objetivo fica: -1 +10 y1 + 6 y2 + 20 y3 = 0 Com o auxilio das variáveis de folga, temos:
- 2 y1 - y2 - y3 + y4 + 0 y5 = - 3
- y1 - y2 - 4 y3 + 0 y4 + y5 = - 2
-1 +10 y1 + 6 y2 + 20 y3 + 0 y4 + 0 y5 = 0
Montar a 1ª tabela SIMPLEX
D y1 y2 y3 y4 y5 T
0 -2 -1 -1 1 0 -3
0 -1 -1 -4 0 1 -2
-1 10 6 20 0 0 0
2 y1 + y2 + y3 ≥ 3
y1 + y2 + 4 y3 ≥ 2
Função objetivo
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Determinar o elemento PIVOT
a) Identificar a linha que corresponde ao elemento mais negativo = LINHA
PIVOT
b) Dividir o elemento da FUNÇÃO OBJETIVO pelo elemento da linha PIVOT ,
fazer isso para cada coluna.
A coluna que originar quociente menos negativo ( ou ainda o mais positivo) =
COLUNA PIVOT
c) No encontro linha PIVOT x coluna PIVOT = ELEMENTO PIVOT
D y1 y2 y3 y4 y5 T
0 -2 -1 -1 1 0 -3
0 -1 -1 -4 0 1 -2
-1 10 6 20 0 0 0
52
10
6
1
6
20
1
20
COLUNA PIVOT
Determinar a nova LINHA PIVOT
LINHA PIVOT = 0 -2 -1 -1 1 0 -3
÷ (-2) = elemento PIVOT = 0 1 0,5 0,5 -0,5 0 1,5
= nova Linha PIVOT
Função objetivo
LINHA PIVOT
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Montar a nova tabela SIMPLEX (2ª)
Nova 2ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 1 0,5 0,5 -0,5 0 1,5
× (1) elemento da coluna
PIVOT com sinal trocado = 0 1 0,5 0,5 -0,5 0 1,5
2ª linha = 0 -1 -1 -4 0 1 -2
Nova 2ª linha = 0 0 -0,5 -3,5 -0,5 1 -0,5
Nova 3ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 1 0,5 0,5 -0,5 0 1,5
× (-10) = 0 -10 -5 -5 5 0 -15
3ª linha = -1 10 6 20 0 0 0
Nova 3ª linha = -1 0 1 15 5 0 -15
D y1 y2 y3 y4 y5 T
0 1 0,5 0,5 -0,5 0 1,5
0 0 -0,5 -3,5 -0,5 1 -0,5
-1 0 1 15 5 0 -15
Analisando a solução encontrada, vemos que ainda não é a solução ótima, pois
ainda há elementos negativos nos coeficientes da coluna T (valores indicados em
vermelho)
Repetir o processo até que não existam mais elementos negativos na
coluna T.
= LUCRO
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D y1 y2 y3 y4 y5 T
0 1 0,5 0,5 -0,5 0 1,5
0 0 -0,5 -3,5 -0,5 1 -0,5
-1 0 1 15 5 0 -15
0 25,0
1
28,4
5,3
15
10
5,0
5
0
COLUNA PIVOT
= ELEMENTO PIVOT
Determinar a nova LINHA PIVOT
LINHA PIVOT = 0 0 -0,5 -3,5 -0,5 1 -0,5
÷ (-0,5) = elemento PIVOT = 0 0 1 7 1 -2 1
Montar a nova tabela SIMPLEX (3ª)
Nova 1ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 0 1 7 1 -2 1
× (-0,5) = 0 0 -0,5 -3,5 -0,5 1 -0,5
1ª linha = 0 1 0,5 0,5 -0,5 0 1,5
Nova 1ª linha = 0 1 0 -3 -1 1 1
Nova 3ª linha
Nova LINHA PIVOT = 0 0 1 7 1 -2 1
× (-1) = 0 0 -1 -7 -1 2 -1
3ª linha = -1 0 1 15 5 0 -15
Nova 3ª linha = -1 0 0 8 4 2 -16
= nova Linha PIVOT
LINHA PIVOT
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D y1 y2 y3 y4 y5 T
0 1 0 -3 -1 1 1
0 0 1 7 1 -2 1
-1 0 0 8 4 2 -16
OK ! Não há nºs negativos na coluna T (sem levar em conta a linha da FUNÇÃO OBJETIVO,
onde T será sempre negativo = DUAL), portanto encontramos a solução ótima
Lucro máximo de $ 16.
Ex 8:
Vamos considerar o exemplo de programação da produção de dois itens P1 e P2, a
partir de recursos R1 e R2. O quadro abaixo resume os dados:
PRODUTOS Recursos R1 por
unidade
Recursos R2 por
unidade LUCRO por unidade
P1 2 10 50
P2 3 5 90
Disponibilidade de
Recursos 300 1000
Construa o modelo DUAL do problema, resolvendo-o para obtenção do Lucro
Máximo.
= LUCRO
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3. TRANSPORTE
Os custos de transporte de produtos acabados significam uma grande % na
estrutura do custo do produto final.
Assim, há a necessidade de uma solução que ¨MINIMIZE¨os custos com
transporte.
3.1 Modelo de Transporte
Origens: representam os fornecedores dos produtos / oferta, limitados às
capacidades individuais.
Destinos: representam os receptores dos produtos / demanda.
Unidades: quantidades transportadas em cada rota escolhida.
Custo do transporte: refere-se ao custo do movimento de uma unidade, de
uma origem para um destino.
Custo total: é obtido com a soma dos custos de todos os transportes
envolvidos.
Ex 9: São dadas no esquema abaixo, as disponibilidades e as necessidades nos
destinos finais, assim como os custos com o transporte de um determinado produto
de uma empresa, a partir de alguns centros de distribuição da mesma, localizados
em diferentes regiões. Tendo o objetivo de minimizar os custos com o transporte,
monte o modelo que representa tal situação.
Origens
Disponibilidades
50
100
120
Total = 270
Destinos
Necessidades
100
170
Total = 270
1
2
3
1
2
C1,1= 10
C1,2= 12
C2,1= 20
C2,2= 8
C3,1= 6 C3,2= 15
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Solução:
Também podemos representar o problema em forma de tabela:
Destino (j)
Origem (i) D1 D2 disponibilidade
O1 10 12 50
O2 20 8 100
O3 6 15 120
necessidade 100 170 270
270
Variáveis de decisão:
Xi,j = quantidade a ser transportada da origem (i) para o destino (j).
Objetivo:
Minimizar os custos com o transporte
Função objetivo:
C = 10 X1,1 + 12 X1,2 + 20 X2,1 + 8 X2,2 + 6 X3,1 + 15 X3,2
Restrições:
X1,1 + X1,2 = 50
X2,1 + X2,2 = 100 quantidade retirada das origens = disponibilidade
X3,1 + X3,2 = 120
X1,1 + X2,1 + X3,1 = 100
X1,2 + X2,2 + X3,2 = 170
Xi,j ≥ 0 para
quantidade transportada para cada destino = necessidade
i = 1,2,3 j = 1,2
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3.2 Sistemas não equilibrados
Podemos ter situações onde não exista a condição de equilíbrio entre a oferta
(disponibilidade da origem) e a demanda (necessidade dos destinos).
Ex 10: Equilibre o quadro abaixo, representativo de um modelo de transporte.
D1 D2 D3
O1 10 12 9 20
O2 4 9 8 30
O3 6 12 10 10
25 36 5 60
66
Solução:
Disponível nas origens = 60 produtos
Necessários nos destinos = 66 produtos
Portanto precisamos de uma ¨origem auxiliar¨ para ¨fornecer a diferença¨ e
equilibrar o sistema.
Diferença = 66 – 60 = 6 produtos
D1 D2 D3
O1 10 12 9 20
O2 4 9 8 30
O3 6 12 10 10
O4 0 0 0 6
25 36 5 66
Obs: Da mesma maneira acontece quando houver mais oferta do que demanda
( ˃ origem e ˂ destino) assim teremos um ¨ DESTINO AUXILIAR¨
Há um desequilíbrio
66
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3.3 O algorítimo dos transportes
A solução poderia ser obtida pelo método SIMPLEX, porém, por suas características
especiais, podemos desenvolver um método que possui:
Fases e critérios = SIMPLEX
Cálculos = simplificados
Assim, a solução básica deve obedecer a 2 condições:
1. Satisfazer as restrições de origem e destino;
2. Não apresentar circuitos entre as variáveis básicas.
3.4 Método do Canto Noroeste
Vamos desenvolver o método para o exercício a seguir, formulando um roteiro para
solução:
Ex 11: No quadro de transporte a seguir, a 4ª linha mostra as necessidades nos
destinos e a 4ª coluna as disponibilidades nas origens. Os outros dados representam
custos unitários de transporte das origens para os respectivos destinos.
D1 D2 D3
O1 10 15 20 40
O2 12 25 18 100
O3 16 14 24 10
50 40 60 150
Determinar o plano de transporte que minimiza o custo total das transferências.
Solução:
1ª parte: montar uma sugestão inicial para o plano de transporte
A partir da cela superior esquerda transportamos o máximo possível da
origem ao destino correspondente.
150
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O próximo transporte será feito na cela contígua (à direita ou abaixo) que
tenha disponibilidade.
D1 D2 D3
O1 10 15 20 40
O2 12 25 18 100
O3 16 14 24 10
50 40 60 150
O destino D1 precisa de 50 produtos, assim vamos transportar os 4º disponíveis
para esse destino.
40 40 40 – 40 = 0
100
10
50 40 60 150
50 – 40 = 10
Falta transportar 10 para o destino D1, assim, vamos pegar da próxima origem, O2
40 40 40 – 40 = 0
10 100 100 – 10 = 90
10
50 40 60 150
50 – 40 = 10
10 – 10 = 0
Continuar com o transporte até que sejam satisfeitas todas as necessidades dos
destinos, assim geramos a tabela a seguir (Solução Inicial):
40 40
10 40 50 100
10 10
50 40 60 150
150
A origem O1 tem 40 produtos disponíveis
150
150
150
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2ª parte: Otimização da solução inicial, ou seja, verificar se a solução inicial é
ótima ou se pode ser melhorada.
a. Acrescentar na tabela da solução básica inicial a coluna Ui e a linha Vj
40 40 U1
10 40 50 100 U2
10 10 U3
50 40 60 150
V1 V2 V3
b. Montar o sistema de equações lineares
Custo correspondente à variável básica Xi,j
A que existe na solução básica
10 – U1 – V1 = 0
12 – U2 – V1 = 0
25 – U2 – V2 = 0
18 – U2 – V3 = 0
24 – U3 – V3 = 0
Obs: o sistema resultante tem seis variáveis e cinco equações, portanto, para
calcular uma solução temos que atribuir um valor a uma das variáveis.
Adotando U1 = 0, temos:
10 – 0 – V1 = 0 → V1 = 10
12 – U2 – 10 = 0 → U2 = 2
25 – 2 – V2 = 0 → V2 = 23
18 – 2 – V3 = 0 → V3 = 16
24 – U3 – 16 = 0 → U3 = 8
150
Cij – Ui – Vj = 0
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c. Calcular os coeficientes das variáveis não básicas
As que não entraram na solução inicial
15 – U1 – V2 → 15 – 0 – 23 = – 8
20 – U1 – V3 → 20 – 0 – 16 = 4
16 – U3 – V1 → 16 – 8 – 10 = – 2
14 – U3 – V2 → 14 – 8 – 23 = – 17
d. Analisar se a solução encontrada é a ótima
Se houverem valores negativos entre os encontrados para os coeficientes das
variáveis não básicas a solução NÃO é a ótima, caso contrário chegamos a melhor
solução para o problema.
Assim, para o exemplo, a solução não é ótima.
Custo desta 1ª solução:
C = 10 X1,1 + 12 X2,1 + 25 X2,2 + 18 X2,3 + 24 X3,3
C = 10 x 40 + 12 x 10 + 25 x 40 + 18 x 50 + 24 x 10 →
e. Montar um circuito de compensação, encontrando a nova solução para
o sistema.
Para o cálculo da nova solução (2ª), a variável que possui o coeficiente negativo de
maior valor absoluto irá entrar na base.
Para o exemplo:
15 – 0 – 23 = – 8
20 – 0 – 16 = 4
16 – 8 – 10 = – 2
14 – 8 – 23 = – 17 entra na base a variável X3,2 = Ɵ
C = 2660
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40 40
10 40 - Ɵ 50 + Ɵ 100
Ɵ 10 - Ɵ 10
50 40 60 150
Escolher o maior valor possível para a variável que entra na base, sem que a
quantidade transportada por alguma variável fique negativa.
Para o exemplo, maior valor possível de Ɵ = 10
Assim a nova solução (2ª) sugerida será:
40 40 U1
10 30 60 100 U2
10 0 10 U3
50 40 60 150
V1 V2 V3
f. Repetir o procedimento e analisar a nova solução sugerida até que se
encontre a melhor solução, ou seja, a de mínimo custo.
Para o exemplo, temos:
Novo sistema de equações lineares:
10 – U1 – V1 = 0
12 – U2 – V1 = 0
25 – U2 – V2 = 0
18 – U2 – V3 = 0
14 – U3 – V2 = 0
Adotando U1 = 0, temos:
150
150
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10 – 0 – V1 = 0 → V1 = 10
12 – U2 – 10 = 0 → U2 = 2
25 – 2 – V2 = 0 → V2 = 23
18 – 2 – V3 = 0 → V3 = 16
14 – U3 – 23 = 0 → U3 = – 9
Novos coeficientes das variáveis não básicas:
15 – U1 – V2 → 15 – 0 – 23 = – 8 a solução não é ótima
20 – U1 – V3 → 20 – 0 – 16 = 4
16 – U3 – V1 → 16 – (– 9) – 10 = 15
24 – U3 – V3 → 24 – (– 9) – 16 = 17 entra na base a variável X1,2 = Ɵ
Custo desta 2ª solução:
C = 10 X1,1 + 12 X2,1 + 25 X2,2 + 18 X2,3 + 14 X3,2
C = 10 x 40 + 12 x 10 + 25 x 30 + 18 x 60 + 24 x 10 →
40 - Ɵ Ɵ 40
10 + Ɵ 30 - Ɵ 60 100
10 10
50 40 60 150
Para o exemplo, maior valor possível de Ɵ = 30
Assim a nova solução (3ª) sugerida será:
10 30 40 U1
40 0 60 100 U2
10 10 U3
50 40 60 150
V1 V2 V3
C = 2490
150
150
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Novo sistema de equações lineares:
10 – U1 – V1 = 0
15 – U1 – V2 = 0
12 – U2 – V1 = 0
18 – U2 – V3 = 0
14 – U3 – V2 = 0
Adotando U1 = 0, temos:
10 – 0 – V1 = 0 → V1 = 10
15 – 0 – V2 = 0 → V2 = 15
12 – U2 – 10 = 0 → U2 = 2
18 – 2 – V3 = 0 → V3 = 16
14 – U3 – 15 = 0 → U3 = – 1
Novos coeficientes das variáveis não básicas:
20 – U1 – V3 → 20 – 0 – 16 = 4
25 – U2 – V2 → 25 – 2 – 15 = 8
16 – U3 – V1 → 16 – (– 1) – 10 = 7
24 – U3 – V3 → 24 – (– 1) – 16 = 9
Não há elementos negativos assim a solução é ótima!
Custo desta 3ª solução:
C = 10 X1,1 + 15 X1,2 + 12 X2,1 + 18 X2,3 + 14 X3,2
C = 10 x 10 + 15 x 30 + 12 x 40 + 18 x 60 + 14 x 10 →
Solução ótima transportar:
10 unidades da O1 para o D1 → C = 10
30 unidades da O1 para o D2 → C = 15
40 unidades da O2 para o D1 → C = 12
60 unidades da O2 para o D3 → C = 18
10 unidades da O3 para o D2 → C = 14
A um custo mínimo de 2250 unidades monetárias
C = 2250
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Ex 12: Determinar o plano de transporte que minimiza o custo total das
transferências.
D1 D2 D3
O1 12 9 8 10
O2 27 12 15 20
O3 20 9 5 10
O4 30 23 8 15
8 30 17 55
Ex 13: O abastecimento de água de 4 cidades A, B, C e D com demandas diárias de
8, 10, 12 e 15 milhões de litros respectivamente é realizado por três reservatórios
com capacidades de 15, 20 e 25 milhões de litros/dia. O custo de bombeamento por
milhões de litros é o dado na tabela abaixo:
A B C D
R1 2 3 4 5
R2 3 2 5 2
R3 4 1 2 3
Determine o menor custo de bombeamento de forma a atender a demanda das
cidades, sabendo que é possível eliminar-se possíveis excedentes de água, sem
custo adicional.
55
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3.5 Designação
É um caso particular do modelo de transportes onde:
Cada origem tem 1 unidade disponível
Cada destino necessita de 1 unidade
Ou seja, no exemplo de tarefas a serem executadas por trabalhadores, temos que
cada trabalhador deve executar apenas 1 tarefa e cada tarefa deve ser executada
apenas por 1 operador.
Ex 14: O quadro representa os custos de transportes de uma máquina dos locais de
depósito para as fábricas, onde deverão ser instaladas. Designar 1 máquina para
cada fábrica, com o menor custo total disponível no programa.
F1 F2 F3 F4
D1 10 12 15 16
D2 14 12 13 18
D3 10 16 19 15
D4 14 12 13 15
Solução:
1. Subtrair de cada linha seu menor valor.
0 2 5 6
2 0 1 6
0 6 9 5
2 0 1 3
2. Em relação a nova tabela, subtrair de cada coluna seu menor valor.
0 2 4 3
2 0 0 3
0 6 8 2
2 0 0 0
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Portanto, cada linha e cada coluna devem apresentar pelo menos um elemento nulo.
3. Designar origens para destinos nas células em que aparece o
elemento nulo.
Dar preferência a linhas ou colunas que tenham apenas 1 zero disponível.
Cada designação efetuada invalida os outros zeros na linha ou na coluna
da célula designada.
D1 D2 D3 D4
O1 0 2 4 3
O2 2 0 0 3
O3 0 6 8 2
O4 2 0 0 0
D1 D2 D3 D4
O1 0 2 4 3
O2 2 0 0 3
O3 0 6 8 2
O4 2 0 0 0
D1 D2 D3 D4
O1 0 2 4 3
O2 2 0 0 3
O3 0 6 8 2
O4 2 0 0 0
Se a designação se completa, o problema está resolvido. No exemplo a
designação não se completou devido a O3 e ao D3 que não sofreram
designação.
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4. Cobrir os zeros da tabela com o menor número de linhas possível.
Marcar as linhas sem designação ( )
Marcar as colunas com zeros nas linhas marcadas ( )
Marcar as linhas com designação nas colunas marcadas ( )
Voltar a marcar as colunas com zeros nas linhas marcadas, até que não seja
possível marcar novas linhas ou colunas.
Riscar as linhas não marcadas e as colunas marcadas.
D1 D2 D3 D4
O1 0 2 4 3
O2 2 0 0 3
O3 0 6 8 2
O4 2 0 0 0
5. Subtrair o menor valor dentre os números não cobertos de todos os
elementos da tabela, obedecendo a reposição necessária nas linhas e
colunas com zeros, para impedir o aparecimento de custos negativos na
tabela, portanto:
Os elementos não cobertos ficam diminuídos desse número;
Os elementos no cruzamento de coberturas ficam aumentados desse número;
Os outros elementos permanecem iguais.
D1 D2 D3 D4
O1 0 2 4 3
O2 2 0 0 3
O3 0 6 8 2
O4 2 0 0 0
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Menor valor dentre os elementos não cobertos = 2
Os elementos não cobertos ficam diminuídos desse número; (valores
indicados em vermelho)
Os elementos no cruzamento de coberturas ficam aumentados desse número;
(valores indicados em azul)
Os outros elementos permanecem iguais.
D1 D2 D3 D4
O1 0 0 2 1
O2 4 0 0 3
O3 0 4 6 0
O4 4 0 0 0
6. Fazer nova designação, ou seja, voltar ao item 3.
D1 D2 D3 D4
O1 0 0 2 1
O2 4 0 0 3
O3 0 4 6 0
O4 4 0 0 0
D1 D2 D3 D4
O1 0 0 2 1
O2 4 0 0 3
O3 0 4 6 0
O4 4 0 0 0
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Código da Disciplina: 2CE591 – PESQUISA OPERACIONAL 36
D1 D2 D3 D4
O1 0 0 2 1
O2 4 0 0 3
O3 0 4 6 0
O4 4 0 0 0
D1 D2 D3 D4
O1 0 0 2 1
O2 4 0 0 3
O3 0 4 6 0
O4 4 0 0 0
A designação se completou e os custos estão marcados na tabela abaixo.
F1 F2 F3 F4
D1 10 12 15 16
D2 14 12 13 18
D3 10 16 19 15
D4 14 12 13 15
Resposta:
D1 para F1 custo = 10
D2 para F2 custo = 12
D3 para F4 custo = 15
D4 para F3 custo = 13
CUSTO TOTAL = 50 unidades monetárias
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Código da Disciplina: 2CE591 – PESQUISA OPERACIONAL 37
Ex 15: O quadro representa a quilometragem entre os locais de origem e de
destino onde há a necessidade de entrega de um determinado equipamento.
Determine um programa de expedição de quilometragem mínima, designando
1 equipamento para cada destino.
D1 D2 D3 D4
O1 10 23 8 9
O2 4 5 6 7
O3 12 10 10 8
O4 6 4 9 7
Ex 16: O diretor de uma escola deseja inscrever quatro alunos em um
concurso de matemática que engloba os seguintes assuntos: Álgebra,
Análise, Lógica e Geometria. Somente um aluno pode ser inscrito em cada
assunto e nenhum aluno pode ser inscrito em mais de um assunto porque as
provas do concurso ocorrerão simultaneamente. Para isso ele seleciona seus
quatro melhores alunos, A, B, C e D e lhes aplica os mesmos exames
cobrindo as quatro áreas do concurso. O quadro abaixo indica o número de
pontos que foi deduzido da nota de cada aluno em cada uma das áreas:
Álgebra Análise Lógica Geometria
A 7 10 6 3
B 8 7 8 1
C 4 9 3 5
D 5 4 6 9
Qual aluno deve ser selecionado para cada um dos assuntos do concurso?
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Código da Disciplina: 2CE591 – PESQUISA OPERACIONAL 38
4. ÁRVORES DE DECISÃO São diagramas esquemáticos que mostram em um processo de decisão
Objetivo: encontrar o caminho que leve ao ganho esperado máximo.
Elementos:
Construção: da esquerda para a direita
Análise: da direita para a esquerda
Dentre os processos possíveis, o que nos interessa é aquele em que uma saída
qualquer é influenciada tão somente pela saída anterior.
Partimos de um estado inicial conhecido ( j ) e queremos calcular a probabilidade de
atingir um estado conhecido ( k ) em um número ( r ) de etapas.
?)a/(a P jk r
r = 1
- Resultados alternativos - Interdependência de escolhas
PROCESSO DE
MARKOV
P (ak / aj) 1 = P(aj) x P(ak / aj)
a1
aK
a2
an
aj
Nó: representa um ponto no tempo, podendo ser
- Um ponto controlável (DECISÃO) = usa-se um quadrado. - um fato não controlável (ACASO) = usa-se um circulo. - fim do processo
Ramos: indicam as decisões ou fatos
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Código da Disciplina: 2CE591 – PESQUISA OPERACIONAL 39
r = 2
Ex 17: Se um cliente acabou de adquirir, em uma concessionária, um carro FORD
(n= 0), qual a probabilidade de ele comprar um CREVROLET depois da próxima vez,
ou seja, em sua 2ª compra (n=2) ?
Dadas as probabilidades de compra pela tabela abaixo.
Compra atual
n=0
Próxima compra
n=1
% compra
FORD
% compra
CHEVROLET
% compra
FIAT
FORD 40 30 30
CHEVROLET 20 50 30
FIAT 25 25 50
Solução:
a1 a1
ak
an
aK a1
ak
an
an
a1
ak
an
aj
P (ak / aj) 2 = P(aj) ∑ P(ak / ai) x P(ai / aj)
i = 1
n
FORD
FIAT
CHEVROLET
Compra atual FORD n=0
0,40
0,30
0,30
FORD
CHEVROLET
FIAT
0,25
0,25
0,50
FORD
CHEVROLET
FIAT
0,40
0,30
0,30
0,20
0,50
0,30
FORD
CHEVROLET
FIAT
Compra da próxima vez
n=1
Compra após a próxima vez
n=2
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Código da Disciplina: 2CE591 – PESQUISA OPERACIONAL 40
1ª compra (n=1) 2ª compra (n=2) Probabilidade
conjunta marca probabilidade marca probabilidade
FORD 0,40 CHEVROLET 0,30 0,40 x 0,30 = 0,120
CHEVROLET 0,30 CHEVROLET 0,50 0,30 x 0,50 = 0,150
FIAT 0,30 CHEVROLET 0,25 0,30 x 0,25 = 0,075
∑ = 0,345
O mesmo resultado pode ser obtido se usarmos a técnica de análise oferecida pelas
cadeias de MARKOV.
(0,4 x 0,3) + (0,3 x 0,5) + (0,3 x 0,25) = 0,345
Ex 18: Fez-se uma pesquisa de mercado sobre 3 marcas de refeições X, Y e Z. Todas as
vezes que o cliente compra uma nova embalagem, ele pode comprar a mesma marca ou
mudar para outra em sua próxima compra.
Tais possibilidades estão descritas abaixo:
Compra atual (n=0)
MARCA
Próxima compra (n=1)
% compra X % compraY % compra Z
X 70 20 10
Y 30 50 20
Z 30 30 40
Se um cliente acabou de adquirir a marca X (n=0), qual a probabilidade de ele
comprar a marca Z depois da próxima vez, ou seja, em sua 2 ֺª compra (n=2)?
Monte a árvore de decisão para demonstrar as possibilidades.
0 0,30 0
0 0,50 0
0 0,25 0
0,40 0,30 0,30