danuzia nascimento figueir^edo federal da bahia-ufba instituto de matem atica e estat stica-ime...
TRANSCRIPT
Universidade Federal da Bahia - UFBAInstituto de Matematica e Estatıstica - IME
Programa de Pos-Graduacao em Matematica
Dissertacao de Mestrado
Teoria de Morse
Danuzia Nascimento Figueiredo
Salvador-Bahia
Julho de 2018
Teoria de Morse
Danuzia Nascimento Figueiredo
Dissertacao de Mestrado apresentada ao
Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da
Universidade Federal da Bahia, como requisito
parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em
Matematica, aprovada em 30 de julho de 2018.
Orientador: Prof. Dr. Mathieu Molitor.
Salvador-Bahia
Julho de 2018
Teoria de Morse
Danuzia Nascimento Figueiredo
Dissertacao de Mestrado apresentada ao
Colegiado da Pos-Graduacao em Matematica da
Universidade Federal da Bahia como requisito
parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em
Matematica, aprovada em 30 de julho de 2018.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Mathieu Molitor
UFBA
Prof. Dr. Luiz Alberto de Oliveira Silva
UFRB
Prof. Dr. Oscar Eduardo Ocampo Uribe
UFBA
3
Aos meus familiares, ma-
rido, amigos e professores.
Agradecimentos
A minha famılia, pelo incentivo, apoio e amor. Em especial, a minha mae (Eva-
nusia), ao meu pai (Divaldo) e minhas irmas (Cristiane e Angelica) que sempre estiveram
ao meu lado de maneira a deixar momentos mais leve e dias mais felizes. Obrigada por
acreditarem e torcerem muito para que este trabalho fosse concluıdo. Nao tenho palavras
para descrever o quao voces foram e sao importantes pra mim.
Ao meu marido, Edvan, meu companheiro de todas horas, por todo amor, incen-
tivo e compressao recebido durante esses dois anos de mestrado. Obrigada por estar ao
meu lado e tornar meus dias mais alegres mesmo diante de momentos difıceis e estressantes
que vivenciei no mestrado.
Minha gratidao especial ao meu orientador, Prof. Dr. Mathieu Molitor. Obrigada
por sua dedicacao, que o fez, muitas vezes, deixar de lado cuidar do seu filho ou descansar
para me orientar. Foram aproximadamente 100 reunioes que tivemos para fazer este
trabalho. Seu profissionalismo e bom humor sempre estiveram presente em todas as
reunioes, e isso contribuiu de maneira significativa para que eu pudesse expor minhas ideias
e duvidas. Obrigada pelo relacionamento saudavel durante os dois anos de mestrado.
Obrigada pela confianca, amizade e ensinamentos. Sou imensamente grata por tudo isso.
Um obrigada especial as minhas amigas e amigos, por sempre estarem ao meu
lado me apoiando e torcendo por mim, independente da distancia. Agradeco pelos bons
momentos de descontracao e comilanca. Tudo fica mais alegre e bonito com voces por
perto.
Por fim, agradeco a CAPES pelo apoio financeiro e ao PGMAT-UFBA pela opor-
tunidade de realizacao deste trabalho.
4
5
“Voce ganha forca, coragem e con-
fianca atraves de cada experiencia
em que voce realmente para e en-
cara o medo de frente.”
(Eleanor Roosevelt)
Resumo
Nesta dissertacao apresentamos uma parte da Teoria de Morse, a qual estuda
como os pontos crıticos de uma funcao definida em uma variedade afetam a forma to-
pologica desse espaco. Nosso objetivo e mostrar que toda variedade compacta sem pontos
crıticos degenerados tem o mesmo tipo de homotopia de um CW-complexo.
Palavras-chave: Teoria de Morse; CW-complexo.
6
Abstract
In this master thesis we present part of the Morse Theory. This theory studies
how the critical points of a function defined on a manifold affect the topological form
of this space. Our goal is to show that all functions without degenerate critical points
defined on a compact manifold have the same homotopy type of a CW-complex.
Keywords: Morse Theory; CW-complex.
7
Sumario
1 Introducao 10
2 Lema de Morse 12
3 Primeiro Teorema de Morse 30
4 Segundo Teorema de Morse 37
4.1 Espaco de adjuncao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Segundo Teorema de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Terceiro Teorema de Morse 66
5.1 CW-complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Terceiro Teorema de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A Topologia 71
B Homotopia 75
C Variedades 89
D Matriz Hessiana 100
E Campos de Vetores e Derivacoes 105
F Curvas Integrais e Fluxos 116
Referencias 124
8
Lista de Figuras
2.1 Sela do Macaco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Toro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Pontos crıticos de T2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1 Pontos crıticos de f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Valores crıticos de f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Conjuntos e0 e Mc1+ε1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Conjunto Mc2−ε2 ∪∂e1 e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Conjunto Mc2+ε2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6 Conjunto Mc3−ε3 ∪∂e1 e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.7 Conjunto Mc3+ε3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.8 Conjunto Mc4−ε4 ∪∂e2 e2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.9 Conjunto Mc+ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.10 Conjunto Mc−ε ∪∂eλ eλ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.11 Conjuntos Mc+ε e E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.12 Legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.13 Conjuntos Mc−ε e f−1([c− ε, c+ ε]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.14 Legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.15 Conjunto Mc+ε = F−1(]−∞, c+ ε]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.16 Conjunto F−1(]−∞, c− ε]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.17 Conjuntos Mc−ε, H e eλ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.18 Legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.19 Conjunto F−1(]−∞, c− ε]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.20 Conjunto Mc−ε ∪ eλ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.21 Regioes de V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.22 Legenda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.23 Grafico de f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Capıtulo 1
Introducao
A Teoria de Morse foi desenvolvida pelo matematico estadunidense Harold Calvin
Marston Morse, logo apos a primeira guerra mundial. A Teoria de Morse estuda a forma
como os pontos crıticos de uma funcao definida em uma variedade (de dimensao finita
ou nao) afetam a forma topologica desse espaco. Uma consequencia classica da Teoria
de Morse, provado neste trabalho, e que toda variedade compacta tem o mesmo tipo de
homotopia que um CW-complexo. Outras aplicacoes e generalizacoes da Teoria de Morse
encontram-se, por exemplo, em [1] e [12].
O objetivo deste trabalho e apresentar os tres primeiros teoremas de Morse. Sejam
M uma variedade suave e f : M −→ R uma funcao suave. Dado a ∈ R. escrevemos
Ma = f−1(]−∞, a]). O primeiro teorema de Morse, afirma que se nao tem valores crıticos
de f em [a, b], entao Ma tem o mesmo tipo de homotopia de Mb. Se f possui um valor
crıtico nao degenerado num certo sentido (veja Definicao 2.4) em [a, b], entao o segundo
teorema de Morse nos diz que Mb tem o mesmo tipo de homotopia de Ma com uma celula
colada. Uma consequencia dos dois primeiros teoremas de Morse e o terceiro teorema de
Morse, o qual afirma que M tem o mesmo tipo de homotopia de um CW-complexo.
No capıtulo 2, introduzimos os conceitos preliminares para se estudar a Teoria
de Morse. Alguns exemplos relacionados a esses conceitos sao apresentados. Alem disso,
abordamos o primeiro resultado classico da Teoria de Morse, o Lema de Morse.
Nos capıtulos 3, 4 e 5 apresentamos e demonstramos o primeiro, segundo e terceiro
teorema de Morse, respectivamente. Nossa apresentacao segue o livro classico de Milnor
[10].
Os apendices contem resultados classicos de Geometria Diferencial e Topologia
Geral usados no texto.
Neste trabalho toda variedade e suave de dimensao finita e paracompacta (veja
detalhes nos Apendices A e C). Alem disso, assumiremos o seguinte resultado, o qual nao
demonstraremos. Toda variedade suave admite uma metrica Riemanniana ([7], p. 329).10
Capıtulo 1. Introducao 11
Para simplificar a escrita do texto, escreveremos apenas “variedade” para nos referirmos
a uma “variedade suave de dimensao finita e paracompacta” e a denotaremos por M.
As figuras foram todas feitas pela autora, usando o aplicativo GeoGebra e o
Pacote TikZ para Latex.
Capıtulo 2
Lema de Morse
O primeiro resultado classico da Teoria de Morse e o Lema de Morse, o qual mos-
tramos neste capıtulo. Dada uma funcao suave f : M −→ R, definida em uma variedade
M, o Lema de Morse nos diz que proximo de um ponto crıtico nao degenerado podemos
encontrar coordenadas locais adequadas tais que a funcao f seja uma forma quadratica.
Esse resultado sera nossa ferramenta principal para a demonstracao do Segundo Teorema
de Morse que sera abordado no capıtulo 4.
Comecamos dando algumas definicoes basicas para o nosso trabalho.
Definicao 2.1. Seja f : M → R uma funcao suave definida em uma variedade M.
(a) Dizemos que um ponto p ∈ M e um ponto crıtico de f, se a diferencial dfp :
TpM → R e nula.
(b) Dado um numero real c, diz-se que o ponto x ∈ M esta no nıvel c, relativamente
a f, quando f(x) = c. Fixado c, o conjunto dos pontos de M que estao no nıvel c e
a imagem inversa f−1(c), a qual e chamada conjunto nıvel de f.
(c) Dizemos que um numero c ∈ R e um valor crıtico de f, se todo ponto do conjunto
de nıvel f−1(c) e um ponto crıtico de f.
O conjunto dos pontos crıticos de f e denotado por Crit(f), i.e.,
Crit(f) := p ∈M | dfp = 0
Para cada ponto crıtico p ∈M de f , definimos uma forma bilinear simetrica Hessp(f) em
TpM como segue. Tome uma carta (U,ϕ) em p e para u, v ∈ TpM , defina
Hessp(f)(u, v) = d2(f ϕ)(ϕ−1(p))dϕ−1p (u), dϕ−1
p (v),
12
Capıtulo 2. Lema de Morse 13
onde d2(f ϕ)(ϕ−1(p)) denota a segunda derivada da funcao f ϕ no ponto ϕ−1(p). A
forma bilinear Hessp(f) esta bem definida (veja Lema D.2), e e chamada de Hessiana de
f em p (veja mais detalhes no Apendice D).
No que se segue E denota um espaco vetorial real de dimensao finita e E∗ denota
o dual de E. O lema a seguir sera de suma importancia para as proximas definicoes.
Lema 2.2. Sejam B = e1, . . . , em ⊂ E uma base de E e b : E × E → R uma forma
bilinear simetrica. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:
(a) o unico vetor x ∈ E tal que b(x, y) = 0 para todo y ∈ E e o vetor x = 0;
(b) a aplicacao b[ : E −→ E∗, definida por 〈b[(x), y〉 = b(x, y), para todo x, y ∈ E e um
isomorfismo linear;
(c) det[bij] 6= 0, onde [bij] e a matriz definida pelos numeros bij := b(ui, uj), com i, j ∈1, . . . ,m.
Demonstracao: (a)⇒ (b). Claramente, a aplicacao b[ : E −→ E∗ esta bem definida e e
linear. Para ver que e bijetiva, basta mostrar que e injetiva, ja que as dimensoes de E e E∗
sao iguais. Seja entao x ∈ E um vetor tal que b[(x) = 0. Isso significa que 〈b[(x), y〉 = 0
para todo y ∈ E o que implica que b(x, y) = 0 para todo y ∈ E. Pela afirmacao (a), segue
que x = 0. Assim, o nucleo de b[ e trivial, e portanto, b[ e injetiva.
(b)⇒ (a). Seja x ∈ E um vetor satisfazendo b(x, y) = 0 para todo y ∈ E. Isso implica
que 〈b[(x), y〉 = 0 para todo y ∈ E, donde b[(x) = 0. Assim x pertence ao nucleo de b[
que e trivial, ja que e um isomorfismo, e portanto x = 0.
(b)⇔ (c). Seja [aij] a matriz de b[ relativamente as bases u1, . . . , um e u∗1, . . . , u∗m(base dual). Primeiro mostremos que a matriz [aij] e igual a matriz [bij]. Por definicao,
para todo j = 1, . . . ,m,
b[(uj) =m∑k=1
akju∗k.
Dado i = 1, . . . ,m, temos entao que:
〈b[(uj), ui〉 = 〈∑m
k=1 akju∗k, ui〉
=∑m
k=1 akj〈u∗k, ui〉=
∑mk=1 akjδki
= aij.
(2.1)
Por outro lado,
〈b[(uj), ui〉 = b(uj, ui) = b(ui, uj) = bij. (2.2)
Capıtulo 2. Lema de Morse 14
Comparando (2.1) e (2.2) deduzimos que aij = bij, para todo i, j = 1, . . . ,m, o que mostra
a afirmacao. A equivalencia entre (b) e (c) decorre imediatamente.
Definicao 2.3. Seja b : E × E → R uma forma bilinear simetrica.
(a) Dizemos que b e nao degenerada se satisfaz uma, e portanto, as tres condicoes
do Lema 2.2.
(b) Diz-se que b e definida negativa quando b(u, u) < 0 para todo vetor u 6= 0 em E.
(c) O indıce de b e a maior dimensao de um subespaco vetorial de E, restrita ao qual
b e definida negativa.
Definicao 2.4. Sejam f : M −→ R uma funcao suave e p ∈M um ponto crıtico de f.
(a) Diz-se que p e um ponto crıtico nao degenerado, se Hessp(f) e uma forma bilinear
nao degenerada. Caso contrario, diz-se que p e um ponto crıtico degenerado.
(b) Diz-se que f e uma funcao de Morse, se todo ponto crıtico de f for nao degene-
rado.
O ındice da Hessp(f) em TpM (as vezes chamado “o ındice de Morse”) sera
referido simplesmente como o ındice de f em p.
A seguir daremos um exemplo de uma funcao de Morse e outro exemplo de uma
funcao que nao e funcao de Morse.
Exemplo 2.5. Seja f : R2 −→ R a funcao definida por, f(x, y) := x3 − 3xy2. O
grafico de f (tambem conhecido como Sela do Macaco) esta na Figura 2.1. Clara-
mente f e uma funcao suave. As derivadas parciais de f no ponto (x, y) ∈ R2 sao:
∂f
∂x(x, y) = 3x2 − 3y2 e
∂f
∂y(x, y) = −6xy.
Logo, (x, y) ∈ R2 e ponto crıtico de f se, e
somente se,3x2 − 3y2 = 0
−6xy = 0,
isto e, x2 = y2
xy = 0,
Figura 2.1: Sela do Macaco.
donde, segue-se que f possui um unico ponto crıtico, o qual e (0, 0). Agora, vejamos que
Capıtulo 2. Lema de Morse 15
(0, 0) e um ponto crıtico degenerado. As derivadas parciais de segunda ordem de f no
ponto (x, y) ∈ R2 sao:
∂f
∂x∂x(x, y) = 6x
∂f
∂y∂x(x, y) = −6y
∂f
∂x∂y(x, y) = −6y
∂f
∂y∂y(x, y) = −6x.
Como a matriz hessiana de f em (0, 0) e a matriz nula, tem-se que (0, 0) e um ponto
crıtico degenerado.
Exemplo 2.6. Seja S1 : x2 + (y −R)2 = r2 o cırculo no plano xy centrado no ponto
(0, R, 0) e de raio r, onde r e R sao numeros reais
positivos tais que 0 < r < R. Seja T2 o toro obtido
pela rotacao de S1 em torno do eixo ox (veja Figura
2.2). Vamos mostrar que a funcao f : T2 −→ Rdefinida por f(x, y, z) = z, e uma funcao de Morse.
Sabemos que T2 e uma superfıcie suave (veja [3], p.
75), e portanto, T2 e uma variedade suave. Definimos
a aplicacao ϕ : R2 −→ T2 por
ϕ(u, v) = (r sinu, (R+r cosu) cos v, (R+r cosu) sin v). Figura 2.2: Toro
Observamos que ϕ nao e uma carta de T2 e a condicao que falha e a injetividade. Alem
disso, a aplicacao ϕ e suave e para todo (a, b) ∈ R2, tem-se que dϕ(a,b) e um isomorfismo.
Assim, para encontrarmos os pontos crıticos de f , basta encontrarmos os pontos crıticos
def ϕ : R2 −→ R
(u, v) 7−→ (R + r cosu) sin v.
As derivadas parciais de (f ϕ) no ponto (u, v) sao:∂(f ϕ)
∂u(u, v) = −r sin(u) sin(v)
∂(f ϕ)
∂v(u, v) = (R + r cos(u)) cos(v).
Logo, (u, v) e ponto crıtico de (f ϕ) se, e somente se,−r sin(u) sin(v) = 0 (1)
(R + r cos(u)) cos(v) = 0. (2)
Como −1 ≤ cos(u) ≤ 1 e 0 < r < R, tem-se que r cos(u) ≤ r < R, donde
Capıtulo 2. Lema de Morse 16
(R + r cos(u)) > 0. Assim, segue-se da igualdade (2) que
v = π/2 + kπ, ∀ k ∈ Z.
Como sin(π/2 + kπ) = ±1, deve-se ter na igualdade (1) sin(u) = 0, isto e,
u = lπ, ∀ l ∈ Z.
Agora, seno e cosseno sendo funcoes periodicas de perıodo 2π, para encontrarmos os
pontos crıticos de f basta considerarmos
u = 0, π e v =π
2,3π
2.
Assim, os pontos crıticos de f sao:
p1 = ϕ(0, 3π/2)
= (r sin(0), (R+ r cos(0)) cos(3π/2), (R+ r cos(0)) sin(3π/2))
= (0, 0,−(R+ r)).
p2 = ϕ(π, 3π/2)
= (r sin(π), (R+ r cos(π)) cos(3π/2), (R+ r cos(π)) sin(3π/2))
= (0, 0,−R+ r).
p3 = ϕ(π, π/2)
= (r sin(π), (R+ r cos(π)) cos(π/2), (R+ r cos(π)) sin(π/2))
= (0, 0, R− r).p4 = ϕ(0, π/2)
= (r sin(0), (R+ r cos(0)) cos(π/2), (R+ r cos(0)) sin(π/2))
= (0, 0, R+ r). Figura 2.3: Pontos crıticos de T2.
Para verificar que os p′is, com i = 1, . . . , 4, sao pontos crıticos nao degenerados, basta
mostrar que detHesspi(f ϕ) 6= 0, para todo i = 1, . . . , 4. Um calculo direto mostra que
Hesspi(f ϕ)(u, v) =
[−r cos(u) sin(v) −r sin(u) cos(v)
−r sin(u) cos(v) −(R + r cos(u)) sin(v)
]
Entao temos:
• p1 = ϕ1(0, 3π/2) = (0, 0,−(R + r)).
Hessp1(f ϕ)(0, 3π/2) =
[r 0
0 R + r
]
Logo, detHessp1(f ϕ)(0, 3π/2) = r(R + r) 6= 0. Agora, dado w = (x, y) ∈ Tp1T2
nao nulo, tem-se que
Capıtulo 2. Lema de Morse 17
Hessp1(f ϕ)(w,w) = rx2 + 0xy + 0yx+ (R + r)y2
= rx2 + (R + r)y2 > 0,
e portanto, o ındice de p1 e 0.
• p2 = ϕ1(π, 3π/2) = (0, 0,−R + r).
Hessp2(f ϕ)(π, 3π/2) =
[−r 0
0 R− r
]
Logo, detHessp2(f ϕ)(π, 3π/2) = −r(R− r) 6= 0. Agora, dado w = (x, y) ∈ Tp2T2
nao nulo, tem-se que
Hessp2(f ϕ)(w,w) = −rx2 + 0xy + 0yx+ (R− r)y2
= −rx2 + (R− r)y2.
Como R− r > 0, tem-se que o ındice de p2 e 1.
• p3 = ϕ2(π, π/2) = (0, 0, R− r).
Hessp3(f ϕ)(π, π/2) =
[r 0
0 r −R
]
Logo, detHessp3(f ϕ)(π, π/2) = r(r −R) 6= 0. E facil ver que o ındice de p3 e 1.
• p4 = ϕ2(0, π/2) = (0, 0, R + r).
Hessp4(f ϕ)(0, π/2) =
[−r 0
0 −(R + r)
]
Logo, detHessp4(f ϕ)(0, π/2) = r(r + R) 6= 0. E facil ver que o ındice de p4 e
2. Portanto, todos os pontos crıticos de f sao nao degenerados, e assim, f e uma
funcao de Morse.
Os proximos dois lemas serao essenciais na demonstracao do resultado principal
desse capıtulo, que e o Lema de Morse. O primeiro deles e um resultado bem interessante,
enquanto que o segundo lema e bem tecnico.
Lema 2.7. Seja V uma vizinhanca convexa de 0 em Rm e seja f : V −→ R uma funcao
suave tal que f(0) = 0. Entao
f(x1, . . . , xm) =m∑i=1
xigi(x1, . . . , xm), ∀x ∈ V,
Capıtulo 2. Lema de Morse 18
onde gi, com i = 1, . . . ,m, e uma funcao suave definida em V e tal que gi(0) = ∂f∂xi
(0).
Demonstracao: Para cada (x1, . . . , xm) ∈ V fixo definamos
α : [0, 1] −→ V, t 7−→ (tx1, . . . , txm).
Observa-se que o caminho α e suave e esta bem definido, pois V e convexo. Pelo Teorema
Fundamental do Calculo obtemos que
1∫0
(f α)′(t)dt = f(α(1))− f(α(0)) = f(x1, . . . , xm)− f(0) = f(x1, . . . , xm).
Agora,
(f α)′(t) = dfα(t)α
′(t) =
m∑i=1
∂f
∂xi(tx1, . . . , txm)xi
Daı,
f(x1, . . . , xm) =
1∫0
m∑i=1
∂f
∂xi(tx1, . . . , txm)xidt =
m∑i=1
xi
1∫0
∂f
∂xi(tx1, . . . , txm)dt
Definamos gi(x1, . . . , xm) =1∫0
∂f∂xi
(tx1, . . . , txm). Observamos que com essa definicao a
funcao g satisfaz as condicoes desejadas, pois como a aplicacao f e suave segue que cada
derivada parcial ∂f∂xi
tambem e. E vale
gi(0) =
1∫0
∂f
∂xi(0)dt =
∂f
∂xi(0).
Lema 2.8. Sejam U ⊆ Rm um subconjunto aberto contendo o ponto 0 e f : U −→ R uma
aplicacao suave da forma:
f(z1, . . . , zm) = g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k
zizjHij(z1, . . . , zm),
onde 1 ≤ k ≤ m, as funcoes g,Hij : U −→ R sao suaves e Hij = Hji para todo par de
ındices i, j ∈ k, . . . ,m, (se k = 1 assuma que g e a funcao constante). Se a matriz
(Hij(0)) e diferente da matriz nula, entao existem
• conjuntos abertos V, V ⊆ Rm contendo o ponto 0, com V ⊆ U ;
• um difeomorfismo ϕ : V −→ V ; e
Capıtulo 2. Lema de Morse 19
• aplicacoes suaves Hij : V −→ R, com Hij = Hji para todo par de ındices i, j ∈k, . . . ,m,
tais que para todo (y1, . . . , ym) = y ∈ V,
(f ϕ)(y1, . . . , ym) = g(y1, . . . , yk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k
yiyjHij(y1, . . . , ym) e Hkk(0) 6= 0.
Demonstracao: Como a matriz (Hij)(0) nao e a matriz nula existem ındices r e s tais
que Hrs(0) 6= 0. Assim, temos tres casos a considerar.
Caso 1: Hkk(0) 6= 0.
Como Hkk e uma funcao contınua existe um conjunto aberto V ⊆ Rm contendo o ponto
0 tal que para todo ponto x em V tem-se que Hkk(x) 6= 0. Daı tome ϕ como a aplicacao
identidade e Hij = Hij.
Caso 2: Hkk(0) = 0 e Hss(0) 6= 0 para algum ındice s ∈ k + 1, . . . ,m.Note que neste caso o tamanho da matriz (Hij(0)) e pelo menos 2× 2, pois senao seria a
matriz nula, mas isto e um absurdo. Considere ψ : Rm −→ Rm a aplicacao definida por
ψ(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk−1, xs, xk+1, . . . , xs−1, xk, xs+1, . . . , xm).
Pela continuidade da funcao Hss em 0, existe um conjunto aberto V ⊆ U contendo o ponto
0 tal que para todo x ∈ V tem-se que Hss(x) 6= 0. Seja ϕ =: ψ|V : V −→ V := ψ(V ) a
restricao de ψ ao conjunto V . Restringindo o conjunto V se necessario, podemos supor
que V = ψ(V ) ⊆ U . A composta f ϕ esta bem definida no conjunto V . Logo se x ∈ Ve z ∈ V sao tais que ϕ(x) = z = (z1, . . . , zm), entao:
z1 = x1,...
zk−1 = xk−1
zk = xs,
zk+1 = xk+1,...
zs−1 = xs−1,
zs = xk,
zs+1 = xs+1,...
zm = xm.
(2.3)
Capıtulo 2. Lema de Morse 20
Considere a permutacao σ : k, . . . ,m −→ k, . . . ,m dada por
σ(i) :=
s, se i = k;
k, se i = s;
i, se i 6= s, k.
Definimos Hij(x) := Hσ(i)σ(j)(z). Com isso, e levando em consideracao (2.3), temos:
f(ϕ(x)) = f(z) = g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k
zizjHij(z)
= g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i≥k
(zizkHik(z) + zizsHis(z)
)+∑i,j≥kj 6=kj 6=s
zizjHij(z)
= g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) + zkzkHkk(z) + zszkHsk(z) + zkzsHks(z) + zszsHss(z)
+∑
i≥k+1i 6=s
(zizkHik(z) + zizsHis(z)
)+∑i,j≥kj 6=kj 6=s
zizjHij(z)
= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + xsxsHkk(z) + xkxsHsk(z) + xsxkHks(z) + xkxkHss(z)
+∑
i≥k+1i 6=s
(xixsHik(z) + xixkHis(z)
)+∑i,j≥kj 6=kj 6=s
xixjHij(z)
= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + xsxsHss(x) + xkxsHks(x) + xsxkHsk(x) + xkxkHkk(x)
+∑
i≥k+1i 6=s
(xixsHis(x) + xixkHik(x)
)+∑i,j≥kj 6=kj 6=s
xixjHij(x)
= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k
xixjHij(x),
onde Hkk(0) = Hss(0) 6= 0. Alem disso, a matriz (Hij(0)) e simetrica, pois
• Hlj = Hσ(l)j = Hlσ(l) = Hjl, com l = s, k e j ∈ k + 1, . . . , s− 1, s+ 1, . . . ,m;
• Hil = Hiσ(l) = Hσ(l)i = Hli, com l = s, k e i ∈ k + 1, . . . , s− 1, s+ 1, . . . ,m; e
• Hsk = Hks = Hsk = Hks.
Isso conclui o Caso 2.
Caso 3: Hss(0) = 0, para todo s ∈ k, . . . ,m.Sejam r, s ∈ k, . . . ,m tais que s < r e Hrs(0) 6= 0. Considere a funcao ψ : Rm −→ Rm
definida por (x1 . . . xm) 7−→ (x1, . . . , xs−1, xr − xs, xs+1, . . . , xr−1, xr + xs, xr+1, . . . , xm).
Pela continuidade da funcao Hrs em 0, existe um conjunto aberto V ⊆ U contendo o
ponto 0 tal que para todo x ∈ V tem-se que Hrs(x) 6= 0. Seja ϕ =: ψ|V : V −→ V := ψ(V )
Capıtulo 2. Lema de Morse 21
a restricao de ψ ao conjunto V . Restringindo o conjunto V se necessario, podemos supor
que V = ψ(V ) ⊆ U . A composta f ϕ esta bem definida no conjunto V. Logo se x ∈ Ve z ∈ V sao tais que ϕ(x) = z = (z1, . . . , zm), entao:
z1 = x1,...
zs−1 = xs−1,
zs = xr − xs,zs+1 = xs+1,
...
zr−1 = xr−1,
zr = xr + xs,
zr+1 = xr+1,...
zm = xm.
(2.4)
Definimos as seguintes funcoes de modo que Hij(x) = Hji(x) para todo x ∈ V e para
todos i, j ∈ k, . . . ,m:
• Hrr(x) := Hss(z) +Hrr(z) + 2Hrs(z),
• Hss(x) := Hss(z) +Hrr(z)− 2Hrs(z),
• Hrs(x) := Hrr(z)−Hss(z),
• Hir(x) := His(z) +Hir(z), com i 6= s, r,
• His(x) := Hir(z)−His(z), com i 6= s, r,
• Hij(x) := Hij(z), com j 6= s, r e i 6= s, r.
Levando em conta as funcoes definidas anteriormente e (2.4), temos:
af(ϕ(x)) = f(z) = g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k
zizjHij(z)
= g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i≥k
(zizsHis(z) + zizrHir(z)
)+∑i,j≥kj 6=s,r
zizjHij(z)
= g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) +∑i≥k
(zizsHis(z) + zizrHir(z)
)+
∑j≥kj 6=s,r
(zszjHsj(z) + zrzjHrj(z)
)+∑i,j≥ki 6=s,rj 6=s,r
zizjHij(z)
Capıtulo 2. Lema de Morse 22
f(ϕ(x)) = g(z1, . . . , zk−1, 0, . . . , 0) + zszsHss(z) + zszrHsr(z) + zrzsHrs(z) + zrzrHrr(z)
+∑i≥ki 6=s,r
(zizsHis(z) + zizrHir(z)
)+∑j≥kj 6=s,r
(zszjHsj(z) + zrzjHrj(z)
)+∑i,j≥ki 6=s,rj 6=s,r
zizjHij(z)
+∑i≥ki 6=s,r
(zizsHis(z) + zizrHir(z)
)+∑j≥kj 6=s,r
(zszjHsj(z) + zrzjHrj(z)
)+∑i,j≥ki 6=s,rj 6=s,r
zizjHij(z)
= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + (xr − xs)(xr − xs)Hss(z) + (xr − xs)(xr + xs)Hsr(z)
+ (xr + xs)(xr − xs)Hrs(z) + (xr + xs)(xr + xs)Hrr(z) +∑i≥ki 6=s,r
(xi(xr − xs)His(z)
+ xi(xr + xs)Hir(z))
+∑j≥kj 6=s,r
((xr − xs)xjHsj(z) + (xr + xs)xjHrj(z)
)+∑i,j≥ki 6=s,rj 6=s,r
xixjHij(z)
= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + xrxr(Hss(z) +Hsr(z) +Hrs(z) +Hrr(z)
)+ xrxs
(Hrr(z)
− Hss(z))
+ xsxr(Hrr(z)−Hss(z)
)+ xsxs
(Hss(z) +Hrr(z)−Hsr(z)−Hrs(z)
)+
∑i≥ki 6=s,r
(xixr(His(z) +Hir(z)) + xixs(Hir(z)−His(z))
)+∑j≥kj 6=s,r
(xrxj(Hsj(z) +Hrj(z))
+ xsxj(Hrj(z)−Hsj(z)))
+∑i,j≥ki 6=s,rj 6=s,r
xixjHij(z)
= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) + xrxrHrr(x) + xrxsHrs(x) + xsxrHsr(x) + xsxsHss(x)
+∑i≥ki 6=s,r
(xixrHir(x) + xixsHis(x)
)+∑j≥kj 6=s,r
(xrxjHrj(x) + xsxjHsj(x)
)+∑i,j≥ki6=s,rj 6=s,r
xixjHij(x)
= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) +∑i≥k
(xixrHir(x) + xixsHis(x)
)+∑j≥kj 6=s,r
(xrxjHrj(x)
+ xsxjHsj(x))
+∑i,j≥ki 6=s,rj 6=s,r
xixjHij(x)
= g(x1, . . . , xk−1, 0, . . . , 0) +∑i,j≥k
xixjHij(x),
onde Hrr(0) = 2Hrs(0) 6= 0 e Hss(0) = −2Hrs(0) 6= 0. Alem disso, e claro que a matriz
(Hij(0)) e simetrica e existem dois elementos da diagonal principal, Hrr(0) e Hss(0), nao
nulos, e portanto, aplicando o Caso 2 concluımos a prova do Caso 3.
Lema 2.9 (Lema de Morse). Sejam M uma variedade de dimensao m e p ∈M um ponto
crıtico nao degenerado de uma funcao suave f : M → R. Entao existe uma carta (V, ϕ),
com ϕ(0) = p, tal que
(f ϕ)(x1, · · · , xm) = f(p)− x21 − · · · − x2
k + x2k+1 + x2
k+2 + · · ·+ x2m,
onde k e o ındice de f em p. Tal carta e chamada carta de Morse.
Demonstracao: Primeiro mostremos que se existe tal expressao para f , entao k deve ser
Capıtulo 2. Lema de Morse 23
o ındice de f em p. Seja entao(V, ϕ
)uma carta em p com coordenadas locais z1, . . . , zm
tal que
(f ϕ)(z1, . . . , zm) = f(p)− z21 − · · · − z2
k + z2k+1 + · · ·+ z2
m.
Um calculo direto mostra que:
∂2(f ϕ
)∂zi∂zj
(0) =
−2 se i = j ≤ k,
2 se i = j > k,
0 caso contrario,
(2.5)
donde a representacao matricial de Hessp(f) em relacao a base ∂∂z1
∣∣p, . . . , ∂
∂zm
∣∣p
e:
−2. . .
−2
2. . .
2
k linhas
m− k linhas
Sejam F e G os subespacos de TpM gerados pelos vetores ∂∂z1
∣∣p, . . . , ∂
∂zk
∣∣p
e ∂∂zk+1
∣∣p,
. . . , ∂∂zm
∣∣p, respectivamente.
Afirmacao 1: A restricao de Hessp(f) ao conjunto F e uma forma bilinear F ×F −→ Rdefinida negativa.
Com efeito, ja sabemos que
Hessp(f)
(∂
∂zi
∣∣∣∣p
,∂
∂zi
∣∣∣∣p
)= −2, ∀i ≤ k.
Seja v ∈ F um vetor nao nulo. Como os vetores ∂∂z1
∣∣p, . . . , ∂
∂zk
∣∣p
formam uma base do
subespaco F podemos escrever
v = a1∂
∂z1
∣∣∣∣p
+ · · ·+ ak∂
∂zk
∣∣∣∣p
,
com ai ∈ R. Daı,
Hessp(v, v) =k∑
i,j=1
aiaj∂2(f ϕ)
∂zi∂zj(0, . . . , 0) = −2(a2
1 + · · ·+ a2k) < 0.
Como v ∈ F e arbitrario a afirmacao esta provada.
Capıtulo 2. Lema de Morse 24
Afirmacao 2: A restricao de Hessp(f) ao conjunto G e uma forma bilinear G×G −→ Rdefinida positiva.
A prova dessa afirmacao e analoga a demonstracao da Afirmacao 1.
Afirmacao 3: O subespaco F e o maior subespaco de TpM no qual a forma bilinear
Hessp(f) e negativa.
Suponha por absurdo que exista um subespaco F de TpM de dimensao estritamente maior
que k no qual Hessp(f) e negativa. Das relacoes
dim(F +G) = dim(F ) + dim(G)− dim(F ∩G) e F +G = TpM,
deduzirıamos que:
dim(F ∩G) = dim(F ) + dim(G)− dim(F +G)
= dim(F ) + dim(G)− dim(TpM)
> k + (m− k)−m= 0.
Assim, dim(F ∩ G) 6= 0 o que implicaria a existencia de um elemento u nao nulo na
intersecao F ∩ G. Por definicao de F terıamos que Hessp(f)(u, u) < 0. Mas por outro
lado, a Afirmacao 2 e o fato de que u ∈ G implicariam que Hessp(f)(u, u) > 0, o que e
um absurdo. Isso conclui a prova da Afirmacao 3. Portanto, k e o ındice de Hessp(f).
Mostremos agora que existe uma carta (V, ϕ) com coordenadas locais y1, . . . , ymque satisfaz as condicoes do enunciado. Sem perda de generalidade podemos assumir
f(p) = 0 (pois caso f(p) 6= 0 definirıamos f = f − f(p) e assim, f(p) = 0 e
(f ϕ)(x1, . . . , xm) = −x21 − · · · − x2
k + x2k+1 . . . x
2m). Seja (V1, ϕ1) uma carta de p em
M . Sem perda de generalidade podemos assumir que V1 e uma bola aberta centrada no
vetor nulo e ϕ1(0) = p. Considere a funcao f1 = f ϕ1. Pelo Lema 2.7, podemos escrever
f1(z1, . . . , zm) =m∑i=1
zigi(z1, . . . , zm), (2.6)
para todo (z1, . . . , zm) ∈ V1, onde cada gi : V1 −→ R e uma funcao suave que satisfaz
gi(0) = ∂f1∂zi
(0) para todo i = 1, . . . ,m. Como 0 e um ponto crıtico de f1 sabemos que
0 = ∂f1∂zi
(0) = gi(0) para todo i = 1, . . . ,m e portanto, aplicando o Lema 2.7 novamente
para cada funcao gi obtemos a seguinte expressao para f1:
Capıtulo 2. Lema de Morse 25
f1(z1, . . . , zm) =m∑i=1
zi
m∑j=1
zjhij(z1, . . . , zm) (2.7)
=∑i,j≥1
zizjhij(z1, . . . , zm), (2.8)
para todo (z1, . . . , zm) ∈ V1, onde cada hij : V1 −→ R e uma funcao suave que satisfaz
hij(0) = ∂gi∂zj
(0) para todos i, j = 1, . . . ,m.
Podemos observar que
f1 = 12f1 + 1
2f1
=1
2
∑i,j≥1
zizjhij +1
2
∑i,j≥1
zizjhij
=1
2
∑i,j≥1
zizjhij +1
2
∑i,j≥1
zjzihji
=∑i,j≥1
zizj
(hij + hji
2
)=
∑i,j≥1
zizjhij,
onde hij : V1 −→ R e a funcao definida por hij := 12(hij + hji). Assim,
f1(z1, . . . , zm) =∑i,j≥1
zizjhij(z1, . . . , zm). (2.9)
Observamos que hij = hji e que hij(0) = 12∂2f1∂zi∂zj
(0) para todos i, j = 1, . . . ,m (para ver
isso, derive duas vezes (2.6) e avalie em 0 levando em conta as relacoes hij(0) = ∂gi∂zj
(0)).
Observamos tambem, a partir de (2.9), que a matriz Hessiana em 0 da aplicacao f1 e a
matriz(hij(0)
)=(
12∂2f1∂zi∂zj
(0))
, que e invertıvel, pois e uma representacao matricial de
Hessp(f), a qual e nao degenerada. Daı, pelo Lema 2.8 podemos assumir que h11(0) 6= 0,
e portanto pela continuidade de h11 existe uma vizinhanca V1 de 0 em Rm tal que para
todo z ∈ V1 tem-se que h11(z) 6= 0. Logo, fazendo algumas manipulacoes algebricas,
podemos reescrever (2.9) como:
f1(z) = h11(z)
[z2
1 + 2z1
m∑j=2
zjh1j(z)
h11(z)
]+
m∑i,j≥2
zizjhij(z), (2.10)
Capıtulo 2. Lema de Morse 26
onde z = (z1, . . . , zm) ∈ V1. Ainda podemos reescrever (2.10) como:
f1(z) = h11(z)
(z1 +
m∑j=2
zjh1j(z)
h11(z)
)2
+m∑
i,j≥2
zizjhij(z)− h11(z)
(m∑j=2
zjh1j(z)
h11(z)
)2
. (2.11)
Para simplificar os calculos introduzimos a funcao ψ1 : V1 −→ Rm definida por
(z1, . . . , zm) 7−→(z1 +
∑mj=2
h1j(z1,...,zm)
h11(z1,...,zm)zj, z2, . . . , zm
). A matriz jacobiana de ψ1 no ponto
0 ∈ V1 e da forma: 1 · · · ∗
. . ....
1
.Como o determinante da matriz jacobiana de ψ1 no ponto 0 ∈ V1 e igual a 1 temos que
dψ1(0) e um isomorfismo. Logo, pelo Teorema da funcao inversa existem vizinhancas
V2 e V2 de 0 e ψ1(0) ∈ Rm, respectivamente, tais que ϕ2 = ψ1|V2 : V2 −→ V2 e um
difeomorfismo. Note que se z ∈ V2 e y ∈ V2 sao tais que ϕ2(z) = y, entao:y1 = z1 +
∑mj=2 zj
h1j(z)
h11(z),
y2 = z2,...
ym = zm.
(2.12)
Considere agora a funcao f2 := f1 ϕ−12 definida em V2. Dado y = ϕ2(z) ∈ V2, temos que,
levando em conta (2.12):
f2(y) =(f1 ϕ−1
2
)(y)
= f1(z)
= h11(z)
(z1 +
m∑j=2
zjh1j(z)
h11(z)
)2
+m∑
i,j≥2
zizjhij(z)− h11(z)
(m∑j=2
zjh1j(z)
h11(z)
)2
= h11
(ϕ−1
2 (y))y2
1 −
(m∑j=2
yj(h1j
(ϕ−1
2 (y))
h11
(ϕ−1
2 (y)))2
+∑i,j≥2
yiyjhij(ϕ−1
2 (y)).
Ve-se que a aplicacao f2 e da forma f2(y) = h11
(ϕ−1
2 (y))y2
1 + ξ(y), onde
ξ(y) =: −h11
(ϕ−1
2 (y))( m∑
j=2
yjh1j
(ϕ−1
2 (y))
h11
(ϕ−1
2 (y)))2
+∑i,j≥2
yiyjhij(ϕ−1
2 (y)).
Seja ψ2 : V2 −→ Rm a aplicacao definida por y 7−→(y1
√|h11 ϕ−1
2 (y)|, y2, . . . , ym), onde
Capıtulo 2. Lema de Morse 27
y = (y1, . . . , ym). A matriz jacobiana de ψ2 no ponto 0 e da forma:√|h11 ϕ−1
2 (0)| · · · ∗
1...
. . .
1
O determinante da matriz jacobiana de ψ2 no ponto 0 e igual a
√|h11 ϕ−1
2 (0)| que e
diferente de zero. Logo, pelo Teorema da funcao inversa, existem vizinhancas V3 e V3 de
0 e ψ2(0), respectivamente, tais que ϕ3 = ψ2|V3 : V3 −→ V3 e um difeomorfismo. Note que
se y ∈ V3 e x ∈ V3 sao tais que ϕ3(y) = x entao:x1 = y1
√|h11 ϕ−1
2 (y)|,x2 = y2,...
xm = ym.
(2.13)
Restringindo V3 se for necessario, podemos supor V3 ⊆ V2. Assim, faz sentindo definir
f3 := f2 ϕ−13 : V3 −→ R. Dado x = ϕ3(y) ∈ V3, temos que, levando em conta (2.13):
f3(x) =(f2 ϕ−1
3
)(x)
= f2(y)
= h11
(ϕ−1
2 (y))y2
1 + ξ(y)
= h11
(ϕ−1
2
(ϕ−1
3 (x))) x1√∣∣h11
(ϕ−1
2
(ϕ−1
3 (x)))∣∣2
+ ξ(ϕ−1
3 (x))
= ±x21 + ξ
(ϕ−1
3 (x)),
onde o sinal depende do sinal de h11(0).
Lembramos que
ξ(y) =: −h11
(ϕ−1
2 (y))( m∑
j=2
yjh1j
(ϕ−1
2 (y))
h11
(ϕ−1
2 (y)))2
+∑i,j≥2
yiyjhij(ϕ−1
2 (y)).
Considere as funcoes Hij =: hij ϕ−12 ϕ−1
3 e ξ1 =: ξ ϕ−13 definidas em V3. Com isso
podemos escrever:
Capıtulo 2. Lema de Morse 28
ξ1(x) = −H11(x)
m∑j=2
xjH1j(x)
H11(x)
2
+∑i,j≥2
xixjHij(x)
= −∑i,j≥2
xixjH1i(x)H1j(x)
H11(x)+∑i,j≥2
xixjHij(x)
= −∑i,j≥2
xixjH ij(x) +∑i,j≥2
xixjHij(x)
=∑i,j≥2
xixj(Hij(x)−H ij(x)
)=
∑i,j≥2
xixjHij(x),
onde H ij(x) =:H1i(x)H1j(x)
H11(x)e Hij(x) =: Hij(x) −H ij(x). Observamos que Hij = Hji,
pois Hij = Hij − H ij = Hji − Hji = Hji. Assim, podemos escrever f3(x) = ±x21 +∑
i,j≥2
xixjHij(x).
Nota-se que se (Hij) = [0], terıamos f3(x) = ±x21 o que implicaria Hessp(f) e
igual a [±2 0
0 0
],
mostrando que Hessp(f) e degenerada (caso m > 1), mas isso e um absurdo.
Pelo Lema 2.8, podemos supor que H22(0) 6= 0. Aplicado novamente os argu-
mentos anteriores, podemos ver que f(x) = ±x21 ± x2
2 +∑i,j≥3
xixjGij(x), onde Gij(x) e
uma funcao suave e e tal que Gij = Gji para todos i, j ∈ 3, . . . ,m. Aplicando o mesmo
metodo a aplicacao f(x) = ±x21 ± x2
2 +∑i,j≥3
xixjGij(x) e prosseguindo analogamente,
chegamos ao desejado.
Observacao 2.10. Existe outra prova do Lema de Morse, a qual foi dada por Palais (veja
[2], p. 368).
Corolario 2.11. Os pontos crıticos nao degenerados sao isolados em Crit(f).
Demonstracao: Seja p um ponto crıtico nao degenerado de ındice k. Pelo Lema de
Morse (Lema 2.9), existe (V, ϕ) uma carta de M tal que ϕ(0) = p e
(f ϕ)(x) = f(p)− (x21 + · · ·+ x2
k) + x2k+1 + · · ·+ x2
m.
Da igualdade f = f ϕ ϕ−1, segue-se
dfq = d(f ϕ)ϕ−1(q) dϕ−1q .
Capıtulo 2. Lema de Morse 29
Assim, para encontrarmos os pontos crıticos de f basta encontrarmos os pontos crıticos de
f ϕ, pois ϕ−1 e um difeomorfismo. Dado x = (x1, . . . , xm) ∈ V, temos que as derivadas
parciais de f ϕ no ponto x sao:
∂(f ϕ)
∂xi(x) = −2xi, se 1 ≤ i ≤ k;
∂(f ϕ)
∂xi(x) = 2xi, se k + 1 ≤ i ≤ m.
Logo x ∈ V e um ponto crıtico de f ϕ se, e somente se,
−2xi = 0, se 1 ≤ i ≤ k;
2xi = 0, se k + 1 ≤ i ≤ m.
Assim, o unico ponto crıtico de f ϕ em V e x = 0. Como ϕ(0) = p, tem-se que p e unico
ponto crıtico de f em ϕ(V ). Logo, Crit(f) ∩ ϕ(V ) = p. Isso mostra que p e um ponto
isolado de Crit(f).
Corolario 2.12. Se M e compacta e f : M −→ R e uma funcao de Morse, entao
Crit(f) = p ∈M ; p e um ponto crıtico nao degenerado
e finito.
Demonstracao: Tem-se que o conjunto Crit(f) e fechado (veja a Proposicao 4.1 ([7],
p.78)). Pelo Corolario 2.11, para cada p ∈ Crit(f), existe uma vizinhanca Vp de p que
contem apenas p como ponto crıtico nao degenerado. Consideremos a seguinte cobertura
de M :
C = (Crit(f))c ∪ Vp; p ∈ Crit(f),
onde (Crit(f))c denota o complementar de Crit(f) em M. Pela compacidade de M, segue-
se que existe uma subcobertura finita C ′ de C que cobre M, e portanto, existem p1, . . . , pk,
tais que M = (Crit(f))c ∪⋃ki=1 Vpi . Assim,
M ∩ Crit(f) =(
(Crit(f))c ∪⋃ki=1 Vpi
)∩ Crit(f)
= ((Crit(f))c ∩ Crit(f)) ∪(⋃k
i=1 (Vpi ∩ Crit(f)))
= ∅ ∪(⋃k
i=1pi)
= p1, . . . , pk.
Logo, existem apenas k pontos crıticos nao degenerados, o que mostra o desejado.
Capıtulo 3
Primeiro Teorema de Morse
O Primeiro Teorema de Morse que provamos neste capıtulo nos diz que dada
f : M −→ R uma funcao suave, definida numa variedade M, os conjuntos f−1(]−∞, a])
e f−1(] −∞, b]) tem o mesmo tipo de homotopia, se nao existir valores crıticos de f em
[a, b], onde a, b ∈ R sao tais que a < b.
O lema a seguir sera um dos principais argumentos para a demonstracao do
Primeiro Teorema de Morse.
Lema 3.1. Sejam a, b ∈ R tais que a < b e seja g : R −→ R uma funcao derivavel com
a seguinte propriedade: para todo t ∈ R tal que g(t) ∈ [a, b], tem-se g′(t) = 1. Valem as
seguintes afirmacoes.
(a) Suponha que exista t0 ∈ R tal que g(t0) ∈ [a, b]. Entao para todo t ∈ [t0, t0+b−g(t0)],
g(t) = t+ g(t0)− t0.
(b) Suponha que exista t0 ∈ R tal que g(t0) ≥ b. Entao g(t) ≥ b para todo t ≥ t0.
Em particular, segue de (a) e (b) que se g(t0) = a para algum t0 ∈ R, entao esse t0 e
unico.
Demonstracao: Prova (a). Seja
A = s ∈ [t0, t0 + b− g(t0)]; g|[t0,s](t) = t+ g(t0)− t0, para todo t ∈ [t0, s].
Vamos mostrar que A = [t0, t0 + b− g(t0)]. Note que A 6= ∅, pois t0 ∈ A. Observamos que
se s ∈ A, entao [t0, s] ⊆ A. Seja (sn)n∈N uma sequencia de pontos em A tal que sn −→ l,
com l ∈ R. Dado n ∈ N tem-se que g|[t0,sn](t) = t + g(t0) − t0 para todo t ∈ [t0, sn]. Em
particular, se existir algum n ∈ N tal que l ≤ sn entao l ∈ A. Agora, se sn < l para todo
n ∈ N, segue da continuidade de g em l que
g(l) = limt→l−
g(t) = limn→+∞
g(sn) = limn→+∞
sn + g(t0)− t0 = l + g(t0)− t0.30
Capıtulo 3. Primeiro Teorema de Morse 31
Isso mostra que l ∈ A, e portanto, A e fechado. Agora, vejamos que A e aberto. Para isso
mostremos que se s ∈ A, entao s e ponto interior de A. Primeiro, considere s ∈ A, s 6= t0
e s 6= t0 + b− g(t0). Como s ∈ A tem-se que g(t) = t+ g(t0)− t0 para todo t ∈ [t0, s]. Em
particular,
• g(s) = s+ g(t0)− t0 > t0 + g(t0)− t0 ≥ t0 + a− t0 = a,
• g(s) = s+ g(t0)− t0 < (t0 + b− g(t0)) + g(t0)− t0 = b.
Entao g(s) ∈]a, b[. Pela continuidade de g existe ε > 0, tal que g(]s − ε, s + ε[) ⊆]a, b[,
e portanto, vale g(t) ∈]a, b[ para todo t ∈]s − ε, s + ε[. Logo, por hipotese temos que
g′(t) = 1, para todo t ∈]s− ε, s + ε[, e portanto, g(t) = t + k para todo t ∈]s− ε, s + ε[,
onde k e uma certa constante. Para descobrir a constante k, note que por um lado s ∈ A,e portanto, g(s) = s+ g(t0)− t0. Por outro lado, temos pela continuidade de g em s que
g(s) = limt→s
g(t) = limt→s
t+ k = s+ k.
Entao s+ g(t0)− t0 = s+ k, o que implica que k = g(t0)− t0. Assim, ]s− ε, s+ ε[⊆ A.
Se s = t0 entao por hipotese g(t0) ∈ [a, b]. Como g′(t0) = 1, existe δ > 0 tal que g|]t0−δ,t0+δ[
e estritamente crescente. Pela continuidade de g, podemos diminuir δ de tal maneira que
se t ∈ [t0, t0 + δ[, entao g(t) ∈ [a, b]. Por hipotese sabemos que g′(t) = 1, para todo
t ∈]t0, t0 + δ[, logo g(t) = t + k′ em ]t0, t0 + δ[, onde k′ e uma certa constante. Para
descobrir a constante k′, temos que
g(t0) = limt→t+0
g(t) = limt→t+0
t+ k′ = t0 + k′,
donde k′ = g(t0)− t0. Assim, g(t) = t+g(t0)− t0 em [t0, t0 + δ[, e portanto, [t0, t0 + δ[⊆ A.
Resta considerar o caso s = t0 +b−g(t0). Mas esse caso e trivial, pois como ja observamos,
se s = t0 + b − g(t0), entao [t0, t0 + b − g(t0)] ⊆ A. Agora, sabemos que o intervalo
[t0, t0 + b − g(t0)] e conexo e mostramos que o conjunto A e nao vazio, aberto e fechado
em [t0, t0 + b − g(t0)]. Logo A = [t0, t0 + b − g(t0)]. Isso conclui a demonstracao do item
(a).
Prova (b). Seja t0 ∈ R tal que g(t0) ≥ b. Seja
Ω := x ∈ [t0,+∞[; g(t) ≥ b, ∀ t ∈ [t0, x].
O conjunto Ω e nao vazio, pois t0 ∈ Ω. Para mostrar o desejado procedemos por absurdo.
Suponha que exista s > t0 tal que g(s) < b. Assim, Ω ⊆ [t0, s], donde segue que Ω e um
Capıtulo 3. Primeiro Teorema de Morse 32
conjunto limitado superiormente, e portanto, possui um supremo, o qual denotamos por
α := sup Ω.
Afirmamos que:
(i) [t0, α] ⊆ Ω;
(ii) g(α) = b;
(iii) α > t0.
Prova (i). Considere (αn)n∈N uma sequencia em Ω tal que αn −→ α. Seja t ∈ [t0, α[
arbitrario. Como αn −→ α > t, existe n ∈ N tal que αn > t. Pela definicao de Ω, segue-se
que t ∈ Ω. Assim, [t0, α[⊆ Ω. Para ver que α tambem pertence a Ω, basta mostrar que
g(α) ≥ b (ja que [t0, α[⊆ Ω). Mas isso e obvio, pois g(αn) ≥ b para todo n ∈ N, e portanto,
g(α) = limn→+∞ g(αn) ≥ b.
Prova (ii). Para provar isso, basta mostrar que g(α) > b e absurdo. Suponha entao
que g(α) > b. Pela continuidade de g em α, existe ε > 0 tal que g(t) > b para todo
t ∈]α − ε, α + ε[. Disso, e da inclusao [t0, α] ⊆ Ω, deduzimos que [α, α + ε/2] ⊆ Ω, o que
contradiz a definicao de α. Logo g(α) = b.
Prova (iii). Se g(t0) = b, sabemos por hipotese que g′(t0) = 1, e portanto, existe δ > 0 tal
que g(t) > b para todo t ∈]t0, t0 + δ[. Isso implica que [t0, t0 + δ[⊆ Ω. Agora, se g(t0) > b,
segue pela continuidade de g no ponto t0 que existe ε > 0 tal que g(t) > b para todo
t ∈]t0 − ε, t0 + ε[. Em particular, [t0, t0 + ε[⊆ Ω. Portanto, em qualquer caso teremos
α > t0. Isso conclui a demonstracao da afirmacao.
Para concluir a demonstracao do item (b) note que por hipotese g′(α) = 1.
Logo existe δ > 0 tal que g(t) < b para todo t ∈]α − δ, α[. Em particular, temos que
g(α− δ/2) < b. Diminuindo δ se necessario, podemos supor que α− δ/2 > t0, e portanto,
g(α− δ/2) ≥ b, ja que α− δ/2 ∈ Ω. Assim, g(α− δ/2) < b e g(α− δ/2) ≥ b, um absurdo.
Segue o desejado.
Observacao 3.2. De maneira analoga prova-se o Lema 3.1 quando a derivada tem sinal
negativo. Nesse caso o enunciado e da seguinte forma. Sejam a, b ∈ R tais que a < b e
seja h : R −→ R uma funcao derivavel com a seguinte propriedade: para todo t ∈ R tal
que h(t) ∈ [a, b], tem-se h′(t) = −1. Valem as seguintes afirmacoes.
(a) Suponha que exista t0 ∈ R tal que h(t0) ∈ [a, b]. Entao para todo t ∈ [t0, t0+h(t0)−a],
h(t) = −t+ h(t0) + t0.
(b) Suponha que exista t0 ∈ R tal que h(t0) ≤ a. Entao h(t) ≤ a para todo t ≥ t0.
Capıtulo 3. Primeiro Teorema de Morse 33
Sejam M uma variedade, f : M −→ R uma funcao e a, b ∈ R tais que a < b.
Denotamos por
Ma := f−1(−∞, a] = q ∈M ; f(q) ≤ a;M[a,b] := f−1([a, b]) = q ∈M ; a ≤ f(q) ≤ b;M]a,b[ := f−1(]a, b[) = q ∈M ; a < f(q) < b.
Teorema 3.3. (Primeiro Teorema de Morse) Seja f : M −→ R uma funcao suave
e sejam a, b ∈ R tais que a < b. Suponha que o conjunto M[a,b] seja compacto e nao
contenha pontos crıticos de f. Valem as seguintes afirmacoes.
(a) Existe um difeomorfismo G : M −→M tal que G(Ma) = Mb.
(b) Ma e um retrato por deformacao de Mb, de modo que a aplicacao inclusao Ma →Mb
seja uma equivalencia de homotopia.
Demonstracao: Prova (a). Seja 〈, 〉 uma metrica Riemanniana emM. Considere o campo
de vetores suave grad f definido em M. Seja F : M −→ R a funcao definida por
F (p) = 〈(grad f)p, (grad f)p〉.
Pela continuidade de F, o conjunto U := F−1(R − 0) e aberto em M e contem M[a,b],
pois se p ∈ M[a,b], tem-se dfp 6= 0, o que implica (grad f)p 6= 0, e portanto, F (p) 6= 0.
Agora, o campo de vetores em U definido por
p 7−→ (grad f)p〈(grad f)p, (grad f)p〉
,
e claramente suave. Como M[a,b] ⊆ U, tem-se que U e uma vizinhanca de q para todo
q ∈M[a,b]. Logo, o campo de vetores em M[a,b],
X : M[a,b] −→ TM, q 7−→ (grad f)q〈(grad f)q, (grad f)q〉
,
e suave no sentido da Definicao F.17.
Pelo Lema A.12, existe uma vizinhanca compacta W de M[a,b]. Considerando o conjunto
aberto int(W ). Segue-se do Lema F.19 que existe um campo de vetores X : M −→ TM
suave tal que supp X ⊆ int(W ). Assim, X satisfaz as condicoes do Lema F.15, uma vez
que W e um subconjunto compacto de M e Xq = 0 para todo q /∈ W . Logo, o fluxo
global de X, o qual denotamos por Ψ : D(X) −→M, (t, p) 7−→ γp(t), tem como domınio
D(X) = R×M.
Para cada t ∈ R definamos a aplicacao Ψt : M −→ M, p 7−→ Ψ(t, p). Essa aplicacao
Capıtulo 3. Primeiro Teorema de Morse 34
e um difeomorfismo, uma vez que o fluxo global e suave. Para mais detalhes sobre as
propriedades do fluxo global de um campo de vetores, veja ([7], p. 209).
Afirmacao 1: Ψb−a(Ma) ⊆Mb.
Sejam q ∈ Ma e γq a curva integral maximal de X com condicao inicial q. Denotamos
por g := f γq. Devido a igualdade Ψt(q) = γq(t), usaremos livremente g em vez de
(fΨt)(q). Assim, para mostrarmos a inclusao desejada basta mostrarmos que g(b−a) ≤ b.
Afirmamos que g satisfaz as condicoes do Lema 3.1. De fato, claramente g e uma funcao
suave e se γq(t) ∈M[a,b] para algum t ∈ R, entao temos
g′(t) =d(f γq)
dt(t) =
⟨dγqdt
(t), (grad f)γq(t)
⟩=
⟨Xγq(t), (grad f)γq(t)
⟩=
1
〈(grad f)γq(t), (grad f)γq(t)〉〈(grad f)γq(t), (grad f)γq(t)〉
= 1.
Para mostrarmos o desejado consideremos dois casos.
Caso 1: g(t) 6= a para todo t ≥ 0.
Afirmamos que g(t) ≤ a para todo t ≥ 0. Com efeito, como q ∈ Ma e por hipotese
g(0) 6= a deve-se ter g(0) = f(q) < a. Suponha que exista r > 0 tal que g(r) > a. Logo,
pelo Teorema do Valor Intermediario, existe s ∈]0, r[ tal que g(s) = a. Mas isso contradiz
a hipotese de que g(s) 6= a. Isso conclui a prova da nossa afirmacao.
Agora, o fato de que g(t) < a para todo t ≥ 0, implica, em particular, que
g(b− a) < a. Mas como a < b, tem-se g(b− a) < b.
Caso 2: existe t0 ≥ 0 tal que g(t0) = a.
Aplicando o item a) do Lema 3.1 tem-se g(t) = t + a − t0, para todo t ∈ [t0, t0 + b − a].
Para mostrarmos que g(b − a) ≤ b podemos supor que b − a ∈ [t0, t0 + b − a], pois caso
contrario terıamos b − a < t0, e portanto, seguiria da unicidade de t0 que g(b − a) < a,
logo g(b− a) < b. No caso em que b− a ∈ [t0, t0 + b− a], temos
g(b− a) = b− a+ a− t0 = b− t0 ≤ b.
Isso conclui a prova da Afirmacao 1.
Considere o campo de vetores −X definido em M. De maneira analoga ao campo
X mostra-se que o domınio do fluxo global de −X e R ×M. Denotamos por Φ o fluxo
global de −X.Convem lembrar a seguinte relacao entre as curvas integrais dos campos X e
Capıtulo 3. Primeiro Teorema de Morse 35
−X. Dada γ a curva integral de X com condicao inicial γ(0), tem-se que η definida por
η(t) = γ(−t) e a curva integral de −X com condicao inicial η(0) = γ(0). De fato,
η′(t) = −γ′(−t) = −Xγ(−t) = −Xη(t).
Note que dado t ∈ R, Ψt = (Φt)−1.
Afirmacao 2: Φb−a(Mb) ⊆Ma.
Sejam q ∈ Mb e ηq a curva integral maximal de −X com condicao inicial q. Denotamos
por h := f ηq. Devido a igualdade Φt(q) = ηq(t), usaremos livremente h em vez de
(fΦt)(q). Assim, para mostrarmos a inclusao desejada basta mostrarmos que h(b−a) ≤ a.
Afirmamos que h satisfaz as condicoes da Observacao 3.2. De fato, claramente h e uma
funcao suave e se ηq(t) ∈ M[a,b] para algum t ∈ R, entao por um calculo analogo ao
anterior mostra-se que h′(t) = −1.
Para mostrarmos a inclusao desejada consideremos dois casos.
Caso 1: q ∈Ma e h(t) 6= a para todo t ≥ 0.
De maneira analoga ao Caso 1 da Afirmacao 1, mostra-se que h(t) < a para todo t ≥ 0.
Em particular, h(b− a) < a.
Caso 2: q ∈M[a,b].
Nesse caso h(0) ∈ [a, b]. Portanto, segue-se da Observacao 3.2 que
• para todo t ∈ [0, f(q)− a] tem-se que h(t) = −t+ f(q)
• para todo t ≥ f(q)− a tem-se que h(t) ≤ a.
Do primeiro item concluımos que
h(f(q)− a) = −f(q) + a+ f(q) = a.
Em particular, se f(q) = b, tem-se h(b − a) = a. Agora, se f(q) 6= b temos que
0 ≤ f(q)− a < b− a, e portanto, segue do segundo item que h(b− a) ≤ a. Isso conclui a
prova da Afirmacao 2.
Afirmacao 3: Φb−a(Mb) = Ma.
Como vale(Ψb−a
)−1= Φb−a, segue-se que (Φb−a|Mb
) (Ψb−a|Ma) = IdMa . Assim, dado
y ∈Ma, tem-se:
y = IdMa(y) = [(Φb−a|Mb) (Ψb−a|Ma)](y) = Φb−a(Ψb−a(y)) ∈ Φb−a(Mb).
Note que a pertinencia acima segue da Afirmacao 1. Logo, para todo y ∈Ma, tem-se que
y ∈ Φb−a(Mb), isto e, Ma ⊆ Φb−a(Mb). Por outro lado, mostramos na Afirmacao 2 que
Capıtulo 3. Primeiro Teorema de Morse 36
Φb−a(Mb) ⊆Ma. Portanto, Φb−a(Mb) = Ma e Φb−a|Mb: Mb −→Ma e bijecao. Isso conclui
nossa afirmacao. Agora, tomando G = Ψb−a, concluımos a prova do item (a).
Prova (b). Considere a aplicacao H : Mb × [0, 1] −→Mb, definida por
H(q, t) =
q, se q ∈Ma
Ψt(f(q)−a)(q), se q ∈M[a,b].
Afirmamos que:
(i) H(q, 0) = IdMb.
(ii) H(q, 1) ∈Ma para todo q ∈Mb.
(iii) H(q, t) ∈Ma para todo q ∈Ma.
(iv) H : Mb × [0, 1] −→Mb e uma aplicacao contınua.
A unica propriedade enunciada que nao e trivial e a continuidade de H. Para ver isso,
note que ]−∞, a] e [a, b] sao conjuntos fechados em R, e portanto, segue da continuidade
da f que Ma e M[a,b] sao conjuntos fechados em M. Assim, Ma e M[a,b] sao fechados em
Mb, e portanto, Ma × [0, 1] e M[a,b] × [0, 1] sao fechados em Mb × [0, 1]. Agora,
Mb × [0, 1] = (Ma ∪M[a,b])× [0, 1] = (Ma × [0, 1]) ∪ (M[a,b])× [0, 1]).
Claramente as restricoes H|Ma×[0,1] e H|M[a,b]×[0,1] sao contınuas. Alem disso, se q ∈Ma ∩M[a,b], temos que
• H|Ma×[0,1](q, t) = q e
• H|M[a,b]×[0,1](q, t) = Φt(f(q)−a)(q) = Φ0(q) = q.
Logo, pelo Lema A.6, H e contınua.
Segue-se das quatro afirmacoes anteriores que Ma e um retrato por deformacao
de Mb.
Capıtulo 4
Segundo Teorema de Morse
Neste capıtulo apresentamos os conceitos e resultados sobre colagem de espacos
topologicos que serao necessarios para enunciar e provar o Segundo Teorema de Morse
(veja 4.10).
4.1 Espaco de adjuncao
Sejam X um espaco topologico, Y um conjunto e π : X −→ Y uma aplicacao
sobrejetiva.
Definicao 4.1. A topologia quociente em Y determinada por π e definida de-
clarando um subconjunto U ⊆ Y sendo aberto se, e somente se, π−1(U) e aberto em
X.
Se, na definicao acima, Y for um espaco topologico, entao π e chamada aplicacao
quociente.
Seja ∼ uma relacao de equivalencia em X. Denotamos por X/ ∼ o conjunto das
classes de equivalencia de X. Seja π : X −→ X/ ∼ a projecao natural que leva cada ponto
em sua classe de equivalencia. Dotado com a topologia quociente determinado por π, o
espaco X/ ∼ e chamado de espaco quociente (ou espaco de identificacao) de X
determinado por ∼ .
Definicao 4.2. Sejam X e Y dois espacos topologicos. A uniao disjunta de X e Y e
o conjunto
X t Y = (X × 0) ∪ (Y × 1).
Observamos que existem aplicacoes injetivas canonicas i0 : X −→ X t Y e i1 :
Y −→ X tY, definidas como i0(x) = (x, 0) e i1(y) = (y, 1), respectivamente. Geralmente,
identificamos implicitamente X com sua imagem na uniao disjunta, vendo assim X como
um subconjunto de X t Y. A mesma observacao vale para Y.37
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 38
Definimos a topologia da uniao disjunta em XtY, declarando um subconjunto
A ⊆ X t Y como sendo aberto se, e somente se, A ∩X e aberto em X e A ∩ Y e aberto
em Y.
Proposicao 4.3. (Propriedades da topologia da uniao disjunta) Sejam X, Y espacos
topologicos e X t Y munido com a topologia da uniao disjunta.
(a) Um subconjunto F ⊆ X t Y e fechado se, e somente se, F ∩X e fechado em X e
F ∩ Y e fechado em Y.
(b) Cada aplicacao inclusao i0 : X −→ X t Y e i1 : Y −→ X t Y e um mergu-
lho topologico, isto e, e um homeomorfismo sobre a imagem munida da topologia
induzida.
Demonstracao: Veja ([7], p.604).
Teorema 4.4. Sejam X, Y espacos topologicos e π : X −→ Y uma aplicacao quociente.
Se B e um espaco topologico, uma aplicacao F : Y −→ B e contınua se, e somente se,
F π : X −→ B e contınua.
Demonstracao: Veja ([7]. p.605).
Sejam X e Y espacos topologicos, A ⊆ X um subespaco e ϕ : A −→ Y uma
aplicacao contınua. Definimos a relacao de equivalencia “ ∼ ” em X t Y, pondo(x1, 0) ∼ (x2, 0) se x1 = x2 ou ϕ(x1) = ϕ(x2);
(x, 0) ∼ (y, 1) se ϕ(x) = y;
(y1, 1) ∼ (y2, 1) se y1 = y2.
As classes de equivalencia sao dadas por:
• [(x, 0)] = (x, 0) se x ∈ X − A;
• [(x, 1)] = (x, 1) se x ∈ Y − ϕ(A);
• [(x, 0)] = (x, 0), (x′, 0), (ϕ(x), 1); ϕ(x′) = ϕ(x), x′ ∈ A se x ∈ A;
• [(y, 1)] = (y, 1), (x, 0); ϕ(x) = y, x ∈ A se y ∈ ϕ(A).
Definicao 4.5. O espaco quociente de X t Y/ ∼, munido da topologia quociente, e cha-
mado espaco de adjuncao. Denotamos este espaco quociente por Y ∪ϕX (ou Y ∪AX)
e dizemos ser formado colando X a Y ao longo de A via a aplicacao de colagem ϕ
(ou ainda ao longo de A).
Observacao 4.6. Convencionamos que se Y = ∅, entao Y ∪A X = X.
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 39
Um caso particular de espaco de adjuncao e o seguinte. Sejam M um espaco
topologico e X e Y dois subespacos fechados de M tais que X ∩ Y 6= ∅. Considere a
aplicacao de colagem ϕ = i : X ∩ Y −→ Y, como sendo a aplicacao inclusao. A relacao
de equivalencia correspondente no espaco X t Y e tal que:
• [(x, ε)] = (x, 1), (x, 0) se x ∈ X ∩ Y ;
• [(x, ε)] = (x, ε) se x /∈ X ∩ Y,
onde ε ∈ 0, 1.Note que, dados x, y ∈ X ∪ Y e ε, ε′ ∈ 0, 1, temos que
(x, ε) ∼ (y, ε′)⇒ x = y. (4.1)
Lema 4.7. Considere X ∪ Y munido da topologia induzida. Entao os espacos X ∪ Y e
Y ∪X∩Y X sao homeomorfos.
Demonstracao: Seja g : X ∪ Y −→ Y ∪X∩Y X a aplicacao definida por
g(x) = [(x, ε(x))] ,
onde
ε(x) =
0, se x ∈ X;
1, se x ∈ Y −X.
Vamos provar que:
i) g e bijetiva;
ii) g e h sao contınuas, onde h = g−1.
Prova i). Vamos exibir a inversa de g. Seja h : Y ∪X∩Y X −→ X ∪ Y a aplicacao definida
por
h([(x, ε)]) = x.
• h esta bem definida;
Com efeito, isso segue imediatamente de (4.1).
• g h = IdY ∪X∩YX
Seja (x, ε) ∈ Y ∪X∩Y X, com ε ∈ 0, 1. Como
(g h)([(x, ε)]) = g(x) = [(x, ε(x))] ,
devemos mostrar que
[(x, ε)] = [(x, ε(x))] .
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 40
Seja ε ∈ 0, 1, Por um lado, temos
[(x, ε)] =
(x, 1), (x, 0), se x ∈ X ∩ Y ;
(x, ε), se x /∈ X ∩ Y,
isto e,
[(x, ε)] =
(x, 1), (x, 0), se x ∈ X ∩ Y ;
(x, 0), se x ∈ X − Y = X −X ∩ Y ;
(x, 1), se x ∈ Y −X = Y −X ∩ Y.(4.2)
Por outro lado, temos
[(x, ε(x))] =
[(x, 0)] , se x ∈ X;
[(x, 1)] , se x ∈ Y −X,
isto e,
[(x, ε(x))] =
(x, 1), (x, 0), se x ∈ X ∩ Y ;
(x, 0), se x ∈ X −X ∩ Y ;
(x, 1), se x ∈ Y −X.(4.3)
Comparando (4.2) e (4.3), ve-se que [(x, ε)] = [(x, ε(x))] , para todo [(x, ε)] ∈Y ∪X∩Y X. Portanto, (g h) = IdY ∪X∩YX .
• h g = IdX∪Y .
De fato,
(h g)(x) = h([(x, ε(x))]) = x.
Logo, h e a inversa de g.
Prova ii). Primeiro vamos mostrar que h e contınua. Pelo Teorema 4.4, basta mostrarmos
que
h π : X t Y −→ X ∪ Y(x, ε) 7−→ x,
e contınua, onde ε ∈ 0, 1. Seja F ⊆ (X ∪ Y ) fechado. Temos
(h π)−1(F ) = (h π)−1 [(F ∩ (X −X ∩ Y )) ∪ (F ∩ (Y −X ∩ Y )) ∪ (F ∩X ∩ Y ))]
= (h π)−1(F ∩ (X −X ∩ Y )) ∪ (h π)−1(F ∩ (Y −X ∩ Y ))∪(h π)−1(F ∩X ∩ Y )
= (F ∩ (X −X ∩ Y )× 0) ∪ (F ∩ (Y −X ∩ Y )× 1)∪((F ∩X ∩ Y )× 0) ∪ ((F ∩X ∩ Y )× 1)
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 41
(h π)−1(F ) = [F ∩ (X −X ∩ Y ) ∪ (F ∩X ∩ Y )]× 0∪[F ∩ (Y −X ∩ Y ) ∪ (F ∩X ∩ Y )]× 1
= (F ∩X)× 0 ∪ (F ∩ Y )× 1.
Agora,
(h π)−1(F ) ∩ (X × 0) = [((F ∩X)× 0) ∪ ((F ∩ Y )× 1)] ∩ (X × 0)= [(F ∩X)× 0] ∩ (X × 0) ∪ [(F ∩ Y )× 1] ∩ (X × 0)= (F ∩X ∩X)× 0 ∪ ∅= (F ∩X)× 0
e
(h π)−1(F ) ∩ (Y × 1) = [((F ∩X)× 0) ∪ ((F ∩ Y )× 1)] ∩ (Y × 1)= [(F ∩X)× 0] ∩ (Y × 1) ∪ [(F ∩ Y )× 1] ∩ (Y × 1)= ∅ ∪ (F ∩ Y ∩ Y )× 1= (F ∩ Y )× 1.
Por hipotese sabemos que X, Y sao fechados em M e F e fechado em X ∪ Y. Esses fatos
implicam que F e fechado em M. Logo F∩X e F∩Y sao fechados em M, e portanto, F∩Xe fechado em X e F ∩ Y e fechado em Y. Pela Proposicao 4.3 segue-se que (h π)−1(F ) e
fechado em X t Y, e portanto, h e contınua.
Agora, vejamos que g e contınua. Seja A ⊆ Y ∪X∩Y X um subconjunto fechado.
Considerando π : X t Y −→ Y ∪X∩Y X a projecao definida anteriormente, e facil ver que
π−1(A) = (F × 0) ∪ (G × 1), onde F = π−1(A) ∩ X e G = π−1(A) ∩ Y, e usando o
item (a) da Proposicao 4.3 tem-se que F e G sao fechados em X e Y, respectivamente.
Vamos mostrar que g−1(A) = H ∩ (X ∪ Y ), com H fechado em M.
Afirmacao: g−1(A) = F ∪G.Primeiro, vamos mostrar que g−1(A) ⊆ F ∪G. Se x ∈ g−1(A), entao,
g(x) = [(x, ε(x))] = π(x, ε(x)) ∈ A,
isto e, (x, ε(x)) ∈ π−1(A) = (F × 0) ∪ (G × 1). Isso implica que x ∈ F ∪ G. Agora,
vejamos a outra inclusao. Considere x ∈ F ∪G. Analisaremos dois casos.
Caso 1: x ∈ F.Temos que
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 42
g(x) = π(x, ε(x))
= π(x, 0) (pois x ∈ F ⊆ X)
∈ π(F × 0)⊆ π((F × 0) ∪ (G× 1))= π(π−1(A))
= A.
Caso 2: x ∈ G.Se x ∈ G ∩ (Y −X), a prova e analoga ao caso anterior. Agora, vejamos o caso em que
x ∈ G ∩X. Note que
F ∩ Y = (π−1(A) ∩X) ∩ Y. (4.4)
Temos que:
g(x) = π((x, ε(x)))
= π((x, 0)) (pois x ∈ G ∩X)
∈ π((G ∩X)× 0)= π((π−1(A) ∩ Y ) ∩X)× 0)= π((F ∩ Y )× 0) (veja (4.4))
⊆ π(F × 0)⊆ π((F × 0) ∪ (G× 1))= π(π−1(A))
= A.
Logo, em qualquer um dos casos, temos que x ∈ π−1(A). Isso conclui a prova da nossa
Afirmacao.
Agora, o fato que F e G sao fechados em X e Y, respectivamente, implica que existem
fechados M1 e M2 em M tais que:
F = M1 ∩X e G = M2 ∩ Y. (4.5)
Assim, temos
g−1(A) = F ∪G (veja a Afirmacao)
= (M1 ∩X) ∪ (M2 ∩ Y ) (veja (4.5))
= [(M1 ∩X) ∪ (M2 ∩ Y )] ∩ (X ∪ Y ).
Como M1, M2, X e Y sao fechados em M, segue que H = (M1 ∩X)∪ (M2 ∩Y ) e fechado
em M, e assim, g−1(A) e fechado em X ∪ Y.
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 43
4.2 Segundo Teorema de Morse
Sejam Mm uma variedade, f : M −→ R uma funcao suave e a, b numeros reais
tais que a < b. Nesta secao estudamos o tipo de homotopia de Mb quando f possui um
unico ponto crıtico nao degenerado em M[a,b].
No que se segue usaremos a seguinte terminologia e notacao para todo inteiro
k ≥ 0 :
• Bk= x ∈ Rk : ‖x‖ ≤ 1 - Bola fechada de centro 0 e raio 1 em Rk.
• Bk = x ∈ Rk : ‖x‖ < 1 - Bola aberta de centro 0 e raio 1 em Rk.
• Sk−1 = x ∈ Rk : ‖x‖ = 1 - Esfera de centro 0 e raio 1 em Rk.
Usamos a notacao ‖.‖ para indicar a norma euclidiana. No caso em que k = 0 definamos
R0 = 0 e S−1 = ∅.
Definicao 4.8.
(a) Uma celula fechada de dimensao k (ou k-celula fechada) e um par (ek, ω),
onde ek e um subconjunto de X e ω : Bk −→ ek e um homeomorfismo.
(b) Uma celula aberta de dimensao k (ou k-celula) e um par (ek, ω), onde ek e
um subconjunto de X e ω : Bk −→ ek e um homeomorfismo.
Notacao 4.9. Usaremos a notacao ek para indicar uma k-celula e a notacao ek para
indicar uma k-celula fechada, mencionando o homeomorfismo ω somente quando for ne-
cessario.
Define-se o bordo de (ek, ω) como sendo o conjunto dado por:
∂ek =: q ∈ ek; ‖ω−1(q)‖ = 1,
onde a notacao ‖.‖ indica a norma euclidiana.
Teorema 4.10. (Segundo Teorema de Morse) Sejam f : M −→ R uma funcao suave e
p um ponto crıtico nao degenerado com ındice λ, tal que f(p) = c. Suponha que exista
ε0 > 0 tal que f−1([c− ε0, c+ ε0]) seja compacto e nao contenha nenhum ponto crıtico de
f alem de p. Entao, para todo 0 < ε ≤ ε0 suficientemente pequeno, o conjunto Mc+ε tem
o mesmo tipo de homotopia que o conjunto Mc−ε ∪∂eλ eλ.
Antes de provarmos o Teorema 4.10 daremos um exemplo. Sejam M = T2 o toro
(de dimensao 2 em R3) considerado no Exemplo 2.6 e f : T2 −→ R uma funcao definida
por f(x, y, z) = z. Provamos no Exemplo 2.6 que f possui quatro pontos crıticos nao
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 44
degenerados: p1, p2, p3 e p4. Sejam f(p1) = c1, f(p2) = c2, f(p3) = c3 e f(p4) = c4 os
valores crıticos de f.
Figura 4.1: Pontos crıticos de f. Figura 4.2: Valores crıticos de f.
Da definicao de f segue que c1 < c2 < c3 < c4, e portanto, existem ε1, ε2, ε3 e ε4, ambos
numeros reais positivos, tais que:
• c1 + ε1 < c2;
• c2 + ε2 < c3;
• c3 + ε3 < c4.
• c1 < c2 − ε2;
• c2 < c3 − ε3; e
Entao o Teorema 4.10 nos diz que os seguintes pares de conjuntos tem o mesmo tipo de
homotopia (abaixo, o sımbolo “≈” significa que os conjuntos considerados tem o mesmo
tipo de homotopia - veja mais detalhes no Apendice B).
Figura 4.3: Conjuntos e0 e Mc1+ε1
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 45
Figura 4.4: Conjunto Mc2−ε2 ∪∂e1 e1 Figura 4.5: Conjunto Mc2+ε2
Figura 4.6: Conjunto Mc3−ε3 ∪∂e1 e1 Figura 4.7: Conjunto Mc3+ε3
Figura 4.8: Conjunto Mc4−ε4 ∪∂e2 e2
A demonstracao do Teorema 4.10 sera consequencia dos lemas a seguir. Fixamos
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 46
os seguintes elementos e notacoes.
• Uma carta de Morse (U,ϕ) em p, com coordenadas locais u1, . . . , um. Assim, vale:
• ϕ(0) = p; e
• f(ϕ(x1, . . . , xm)) = c − x21 − · · · − x2
λ + x2λ+1 + · · · + x2
m, para todo
x = (x1, . . . , xm) ∈ U.
• Um numero real ε > 0 satisfazendo ε ≤ ε0, com ε0 sendo o ε0 do enunciado do
Teorema 4.10, tal que B[0,√
2ε] ⊆ U, onde B[0,√
2ε] = x ∈ Rm; ‖x‖ ≤ 2εdenota a bola fechada centrada no ponto 0 e de raio
√2ε.
• As funcoes suave ξ, η : ϕ(U) −→ [0,+∞[, definidas por
ξ(q) = (u1(q))2 + · · ·+ (uλ(q))2
η(q) = (uλ+1(q))2 + · · ·+ (um(q))2,
onde λ e o ındice de p em f (como no enunciado do Teorema 4.10). Definimos essas
duas funcoes apenas para simplificar a notacao.
• Uma funcao suave µ : R −→ R que satisfaz:
• µ(0) > ε;
• µ(r) = 0 para todo r ≥ 2ε;
• −1 < µ′(r) ≤ 0 para todo r ∈ R, onde µ′(r) = dudr
; e
• µ(r) 6= 0, para todo r ∈ [0, 2ε[.
• A funcao F : M −→ R definida por:
F (q) =
f(q), se q /∈ ϕ(U)
f(q)− µ(ξ(q) + 2η(q)), se q ∈ ϕ(U).
• O elipsoide E := z ∈ ϕ(U); ξ(z) + 2η(z) ≤ 2ε.
Abaixo, representamos os conjuntos Mc+ε, Mc−ε∪eλ e E na carta de Morse (U,ϕ).
As linhas coordenadas representam os planos uλ+1 = · · · = um = 0 e u1 = · · · = uλ = 0,
respectivamente; o cırculo representa o bordo da bola de raio√
2ε; e as hiperboles repre-
sentam as hipersuperfıcies f−1(c− ε) e f−1(c+ ε).
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 47
Figura 4.9: Conjunto Mc+ε. Figura 4.10: Conjunto Mc−ε ∪∂eλ eλ.
Figura 4.11: Conjuntos Mc+ε e E . Figura 4.12: Legenda.
Lema 4.11. (Propriedades de F ) Sejam f, p e ε > 0 como no enunciado do Teorema
4.10. A funcao F e suave e goza das seguintes propriedades:
(a) F (q) ≤ f(q) para todo q ∈M.
(b) F (q) = f(q) para todo q ∈ Ec, onde Ec denota o complementar de E em M.
(c) F−1(]−∞, c+ ε]) = f−1(]−∞, c+ ε]) = Mc+ε.
(d) Crit(f) = Crit(F ).
(e) Crit(F ) ∩ F−1([c− ε, c+ ε]) = ∅.
(f) Mc−ε ⊂ F−1(]−∞, c− ε]) ⊆Mc+ε.
Demonstracao: Prova (a). Segue imediatamente do fato que µ satisfaz µ(r) ≥ 0, para
todo r ≥ 0, e da definicao de F.
Prova (b). Primeiro, vejamos que E ⊆ ϕ(B[0,√
2ε])
(veja Figura 4.11). Seja a ∈ E . Como
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 48
η(z) ≥ 0, para todo z ∈ ϕ(U), temos
ξ(a) + 2η(a) = ξ(a) + η(a) + η(a) ≥ ξ(a) + η(a).
Por hipotese tem-se que ξ(a) + 2η(a) ≤ 2ε, logo
ξ(a) + η(a) ≤ ξ(a) + 2η(a) ≤ 2ε,
ou seja, a ∈ ϕ(B[0,√
2ε]). Isso mostra a inclusao desejada. Agora, pela definicao de
F sabemos que F (q) = f(q) para todo q /∈ ϕ(U). Dessa forma, resta analisarmos o
caso em que q ∈ (ϕ(U)− E), uma vez que E ⊆ ϕ(U). Mas, se q ∈ (ϕ(U)− E) temos que
ξ(q)+2η(q) > 2ε. Logo, µ(ξ(q)+2η(q)) = 0 (por definicao de µ), e portanto, F (q) = f(q).
Isso mostra o item (b).
F e suave. Para mostrar que F e suave, basta provar que F |ϕ(U) e F |(M−ϕ(B[0,√
2ε])) sao
suaves, uma vez que ϕ(U) e(M − ϕ
(B[0,√
2ε]))
sao conjuntos abertos que cobrem
M. Claramente ϕ(U) e um conjunto aberto. Agora, pra ver que(M − ϕ
(B[0,√
2ε]))
e aberto em M, note que ϕ(B[0,√
2ε])
e fechado em M, pois pela compacidade de
B[0,√
2ε] e continuidade de ϕ segue-se que ϕ(B[0,√
2ε])
e compacto em ϕ(U), e portanto,
e compacto em M. Como M e um espaco Hausdorff, tem-se que ϕ(B[0,√
2ε])
e fechado
em M . A suavidade de F |ϕ(U) e obvia. Para mostrar que F |(M−ϕ(B[0,√
2ε])) e suave, basta
provar que
F |(M−ϕ(B[0,√
2ε])) = f |(M−ϕ(B[0,√
2ε])),
mas isso decorre do fato que(M − ϕ
(B[0,√
2ε]))⊆ Ec (veja item (b) deste lema). Pelo
Lema C.12, F e suave.
Prova (c). A inclusao
f−1(]−∞, c+ ε]) ⊂ F−1(]−∞, c+ ε]),
segue imediatamento do item (a) deste lema. Agora, mostremos a outra inclusao, isto e,
F−1(]−∞, c+ ε]) ⊂ f−1(]−∞, c+ ε]). Pelo item (b) deste lema sabemos que as funcoes
F e f coincidem no conjunto Ec , logo F−1(]−∞, c+ ε])∩ Ec ⊆ f−1(]−∞, c+ ε]). Resta
mostrar que F−1(] −∞, c + ε]) ∩ E ⊆ f−1(] −∞, c + ε]). Se F−1(] −∞, c + ε]) ∩ E = ∅,nao tem nada para fazer. Se F−1(]−∞, c+ ε]) ∩ E 6= ∅, basta mostrar que
E ⊂ f−1(]−∞, c+ ε])
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 49
(veja Figura 4.11). Para ver isso, considere q ∈ E . Temos que
f(q) = c− ξ(q) + η(q) ((U,ϕ) e uma carta de Morse)
≤ c+ 12ξ(q) + η(q) (Segue do fato que ξ(q) ≥ 0, ∀q ∈ ϕ(U))
≤ c+ ε. (Segue do fato que q ∈ E)
Logo, q ∈ f−1(]−∞, c+ ε]).
Prova (d). Seja q ∈M. Se q pertence ao conjunto aberto Ec, entao F e f coincidem (veja
item (b) deste lema), e portanto, dFq = dfq. Nesse caso, os pontos crıticos de F e f sao
os mesmos. Agora, vejamos o caso em que q ∈ E . Da igualdade F = F ϕ ϕ−1, segue-se
dFq = d(F ϕ)ϕ−1(q) dϕ−1q .
Assim, para encontrarmos os pontos crıticos de F basta encontrarmos os pontos crıticos
de F ϕ, pois ϕ−1 e um difeomorfismo. Dado x = (x1, . . . , xm) ∈ U, temos que
(F ϕ)(x) = c− (x21 + · · ·+ x2
λ) + x2λ+1 + · · ·+ x2
m−µ(x2
1 + · · ·+ x2λ + 2(x2
λ+1 + · · ·+ x2m)).
Denotando por s = x21 + · · ·+ x2
λ + 2(x2λ+1 + · · ·+ x2
m), as derivadas parciais de F ϕ no
ponto x sao∂(F ϕ)
∂xi(x) = −2xi − µ′(s)2xi, se 1 ≤ i ≤ λ;
∂(F ϕ)
∂xi(x) = 2xi − µ′(s)4xi, se λ+ 1 ≤ i ≤ m.
Logo x ∈ U e um ponto crıtico de F ϕ se, e somente se,2xi(−1− µ′(s)) = 0, se 1 ≤ i ≤ λ;
2xi(1− 2µ′(s)) = 0, se λ+ 1 ≤ i ≤ m.
Como −1 < µ′(r) ≤ 0, para todo r ∈ R, segue-se que
−1− µ′(s) < 0 e 1− 2µ′(s) ≥ 1.
Logo, o unico ponto crıtico de F ϕ em U e x = 0. Como ϕ(0) = p, tem-se que p e unico
ponto crıtico de F em ϕ(U). Isso conclui a prova da afirmacao.
Prova (e). Pelos itens (a) e (c) deste lema, tem-se que F−1([c−ε, c+ε]) ⊂ f−1([c−ε, c+ε])(veja as Figuras 4.13 e 4.14 abaixo). Pelo item (d) deste lema e a hipotese de que p e o
unico ponto crıtico de f em f−1([c − ε, c + ε]), segue-se que o unico candidato a ponto
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 50
crıtico de F em F−1([c− ε, c+ ε]) e p. Mas p /∈ F−1([c− ε, c+ ε]), pois
F (p) = f(p)− µ(0) = c− µ(0) < c− ε.
A desigualdade estrita segue do fato que ε < µ(0).
Prova (f). Primeiro vejamos a inclusao Mc−ε ⊂ F−1(] −∞, c − ε]) (veja a Figura 4.16).
Pelo item (a) deste lema segue-se que Mc−ε ⊆ F−1(] −∞, c − ε]). Agora, provamos no
item (e) deste lema que F (p) < c− ε, e portanto, p ∈ F−1(]−∞, c− ε]). Por outro lado,
p nao pertence ao conjunto Mc−ε, pois c − ε < f(p) = c. Isso garante a inclusao estrita.
A inclusao F−1(]−∞, c− ε]) ⊂Mc+ε e obvia (veja item (c) deste lema).
Figura 4.13: Conjuntos Mc−ε e f−1([c− ε, c+ ε]). Figura 4.14: Legenda.
Corolario 4.12. F−1(] − ∞, c − ε]) e um retrato por deformacao de Mc+ε = f−1(] −∞, c+ ε]).
Figura 4.15: Conjunto
Mc+ε = F−1(]−∞, c+ ε]).
Figura 4.16: Conjunto F−1(]−∞, c− ε]).
Demonstracao: Pelo item (c) do Lema 4.11, sabemos que F−1(] −∞, c + ε]) = Mc+ε.
Logo, para provar o desejado, basta mostrar que F−1(] − ∞, c − ε]) e um retrato por
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 51
deformacao de F−1(]−∞, c+ε]). Para ver isso, basta observar que F satisfaz as hipoteses
do Teorema 3.3:
• F−1([c+ ε, c− ε]) e um conjunto compacto.
De fato, pelos itens (a) e (c) do Lema 4.11, temos que F−1([c − ε, c + ε]) e um
subconjunto fechado do compacto f−1([c−ε, c+ε]), logo F−1([c−ε, c+ε]) e compacto.
• Nao existem pontos crıticos de F em F−1([c− ε, c+ ε]).
Com efeito, segue do item (e) do Lema 4.11.
O resultado segue.
Observacao 4.13. A grande diferenca entre f e F e a condicao (e) do Lema 4.11, que
nos diz que F nao possui pontos crıticos em F−1([c− ε, c + ε]), ao contrario de f, o que
nos permite aplicar o Teorema 3.3 no Corolario acima.
Dado Z ⊆M, denotaremos por Z o fecho do conjunto Z com respeito a topologia
de M.
Definamos
H := F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε e
eλ := q ∈ ϕ(U); ξ(q) ≤ ε e η(q) = 0.
Note que eλ e naturalmente uma λ-celula fechada. Alguns autores chamam o conjunto H
de “alca”. Assim, a regiao Mc−ε ∪H e descrita como Mc−ε com uma “alca” colada.
Figura 4.17: Conjuntos Mc−ε, H e eλ. Figura 4.18: Legenda.
Lema 4.14. Sejam H e eλ como definidos anteriormente. Entao valem as seguintes
afirmacoes.
(a) H 6= ∅ e H ⊆ E .
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 52
(b) F−1(]−∞, c− ε]) = Mc−ε ∪H.
(c) Mc−ε ∩H 6= ∅ e Mc−ε ∩H = f−1(c− ε) ∩H.
(d) eλ ⊆ H.
(e) Mc−ε ∩ eλ = ∂eλ.
Demonstracao: Prova (a). Segue da demonstracao do item (f) do Lema 4.11 que p ∈F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε ⊆ H. Logo, H 6= ∅.Agora, vejamos que H ⊆ E . Primeiro vamos mostrar que E e fechado em M. Claramente Ee fechado em ϕ(U), e sabemos pela prova do item (b) do Lema 4.11 que E e um subconjunto
do compacto ϕ(B[0,√
2ε]). Logo, E e compacto em ϕ(U), e portanto e compacto em M.
Como M e Hausdorff tem-se que E e fechado em M.
Agora, vejamos que
F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε ⊆ E
(veja Figura 4.17). Para ver isso, suponha por absurdo que exista q ∈ (F−1(] −∞, c −ε]) −Mc−ε) tal que q /∈ E . Pelo item (b) do Lema 4.11, segue-se que f(q) = F (q). Mas
isso e um absurdo, pois por hipotese temos F (q) ≤ c − ε e f(q) > c − ε. Isso mostra a
inclusao desejada. Portanto, pelo dois fatos que acabamos de provar segue que
H = F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε ⊆ E = E .
Prova (b). Pelo item (f) do Lema 4.11 tem-se que Mc−ε ⊂ F−1(] − ∞, c − ε]). Assim,
podemos escrever
F−1(]−∞, c− ε]) = Mc−ε ∪(F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε
).
Logo,
F−1(]−∞, c− ε]) = Mc−ε ∪(F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε
)= Mc−ε ∪
(F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε
)= Mc−ε ∪H.
Como F−1(]−∞, c− ε]) e Mc−ε sao conjuntos fechados em M, segue-se que
F−1(]−∞, c− ε]) = Mc−ε ∪H. (4.6)
Prova (c). Primeiro vejamos que Mc−ε ∩ H 6= ∅. Afirmamos que ∂eλ ⊆ Mc−ε ∩ H. Seja
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 53
q ∈ ∂eλ. Pela definicao de ∂eλ, sabemos que ξ(q) = ε e η(q) = 0.Vejamos que q ∈Mc−ε∩H.
• q ∈Mc−ε.
De fato, como por hipotese vale ξ(q) = ε e η(q) = 0, temos que
f(q) = c− ξ(q) + η(q) = c− ε.
Portanto, temos o desejado.
• q ∈ H.Seja (qn)n∈N a sequencia em M, cujo termo geral e qn = (1 − 1/n)q (visto que e
um resultado local, podemos supor que M e um subconjunto de Rm, e portanto,
escreveremos qn = (1 − 1/n)q, em vez de qn = ϕ((1 − 1/n)ϕ−1(q))). Claramente
qn −→ q, logo se mostrarmos que qn ∈(F−1(]−∞, c−ε])−Mc−ε
), para todo n ≥ 1,
teremos que q ∈ H. E facil ver que qn ∈ eλ, para todo n ∈ N. Primeiro, vejamos que
qn ∈ F−1(]−∞, c− ε]). Temos que:
F (qn) = f(qn)− µ(ξ(qn) + 2η(qn))
= c− ξ(qn) + η(qn)− µ(ξ(qn) + 2η(qn))
= c− (1− 1/n)2ξ(q)− µ((1− 1/n)2ξ(q)) (η(qn) = 0)
= c− (1− 1/n)2ε− µ((1− 1/n)2ε) (q ∈ ∂eλ)
Entao,
F (qn) ≤ c− ε ⇔ c− (1− 1/n)2ε− µ((1− 1/n)2ε) ≤ c− ε⇔ (1− 1/n)2ε+ µ((1− 1/n)2ε) ≥ ε
⇔ µ((1− 1/n)2ε) ≥ ε− (1− 1/n)2ε.
(4.7)
Pelo Teorema da Desigualdade do Valor Medio, tem-se que
|µ(0)− µ((1− 1/n)2ε)| ≤ sup|µ′(r)|(1− 1/n)2ε].
Como µ e decrescente e −1 < µ′(r) ≤ 0 para todo r ∈ R, vem que
µ(0)− µ((1− 1/n)2ε) ≤ (1− 1/n)2ε.
Logo,
µ((1− 1/n)2ε) ≥ µ(0)− (1− 1/n)2ε
> ε− (1− 1/n)2ε (µ(0) > ε).(4.8)
Comparando (4.7) e (4.8), concluımos que qn ∈ F−1(]−∞, c− ε]) para todo n ∈ N.
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 54
Agora, resta mostrar que qn /∈Mc−ε, ou seja, que f(qn) > c− ε. Temos que:
f(qn) = c− ξ(qn) + η(qn)
= c− (1− 1/n)2ξ(q) (η(qn) = 0)
= c− (1− 1/n)2ε (q ∈ ∂eλ).
Entao,
f(qn) > c− ε ⇔ c− (1− 1/n)2ε > c− ε⇔ −(1− 1/n)2ε > −ε⇔ (1− 1/n)2ε < ε
⇔ (1− 1/n)2 < 1.
Como (1− 1/n) < 1, para todo n ≥ 1, segue-se que f(qn) > c− ε.Isso mostra que ∂eλ ⊆ (Mc−ε∩H), e em particular, (Mc−ε∩H) 6= ∅, como querıamos
mostrar.
Agora vejamos que Mc−ε ∩ H = f−1(c − ε) ∩ H. A inclusao “⊇” e trivial. Para provar
a outra inclusao basta mostrar que Mc−ε ∩H ⊆ f−1(c− ε). Para mostrar isso, considere
q ∈Mc−ε∩H. Suponha que q /∈ f−1(c−ε), logo deve-se ter ou f(q) < c−ε ou f(q) > c−ε.Como por hipotese q ∈ Mc−ε, tem-se que f(q) > c − ε nao ocorre. Agora, f(q) < c − εtambem nao ocorre, pois
q ∈ H = F−1(]−∞, c− ε]) ∩ z ∈M ; f(z) > c− ε
⊆ F−1(]−∞, c− ε]) ∩ z ∈M ; f(z) > c− ε
⊆ F−1(]−∞, c− ε]) ∩ z ∈M ; f(z) ≥ c− ε.
Portanto, deve-se ter q ∈ f−1(c− ε).
Prova (d). Seja q ∈ eλ. Consideremos tres casos.
Caso 1: q ∈ ∂eλ.Provamos no item (c) deste lema que ∂eλ ⊆ H.
Caso 2: q = p.
Provamos no item (a) deste lema que p ∈ H.
Caso 3: q ∈ (eλ − ∂eλ) e q 6= p.
Nesse caso, temos que 0 < ξ(q) < ε. Aplicando o Teorema do Valor Medio e usando o fato
que µ′(r) > −1 para todo r ∈ R, tem-se que −1 < µ(ξ(q))−µ(0)ξ(q)
, isto e, −ξ(q) − µ(ξ(q)) <
−µ(0). Logo,
F (q) = c− ξ(q)− µ(ξ(q)) < c− µ(0) < c− ε,
onde usamos a hipotese µ(0) > ε. Assim, q ∈ F−1(]−∞, c− ε]). Por outro lado, f(q) =
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 55
c− ξ(q) > c− ε, e portanto, q /∈Mc−ε. Assim, q ∈ (F−1(]−∞, c− ε])−Mc−ε) ⊆ H.
Prova (e). De fato, seja q ∈ Mc−ε ∩ eλ. Como q ∈ eλ, tem-se que ξ(q) ≤ ε e η(q) = 0.
Logo, segue-se f(q) = c−ξ(q) ≥ c−ε. Por outro lado, tem-se f(q) ≤ c−ε, pois q ∈Mc−ε.
Assim,
c− ε ≤ f(q) ≤ c− ε.
Portanto, deve-se ter f(q) = c − ε, isto e, ξ(q) = ε. Logo, Mc−ε ∩ eλ ⊆ ∂eλ. Para
provar a outra inclusao, considere q ∈ ∂eλ. Assim, ξ(q) = ε e η(q) = 0, donde f(q) =
c − ξ(q) + η(q) = c − ε. Isso implica que q ∈ Mc−ε. Como por hipotese q ∈ ∂eλ, tem-se
que q ∈ eλ. Logo, ∂eλ ⊆Mc−ε ∩ eλ. Isso prova o desejado.
Lema 4.15. Mc−ε ∪ eλ e um retrato por deformacao de Mc−ε ∪H = F−1(]−∞, c− ε]).
Figura 4.19: Conjunto F−1(]−∞, c− ε]). Figura 4.20: Conjunto Mc−ε ∪ eλ.
Antes de provarmos o Lema 4.15 introduziremos alguns subconjuntos de ϕ(U), os
quais facilitarao a prova do Lema 4.15. Aproveitaremos a importancia desses subconjuntos
para organizar e demonstrar suas propriedades no proximo lema.
Denotamos por V o conjunto
ϕ(U) ∩(Mc−ε ∪H
)= ϕ(U) ∩ F−1(]−∞, c− ε]).
Como H ⊂ ϕ(U), tem-se que
V =(ϕ(U) ∩Mc−ε
)∪H. (4.9)
Decompomos V em tres regioes:
R1 = q ∈ V ; ξ(q) ≤ ε,R2 = q ∈ V ; ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) + ε e
R3 = q ∈ V ; η(q) + ε ≤ ξ(q).
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 56
Figura 4.21: Regioes de V. Figura 4.22: Legenda.
Lema 4.16. Sejam R1, R2 e R3 como definimos acima. Valem as seguintes afirmacoes.
(a) R1 ⊆ H.
(b) R2 = (H−int(R1))∪(f−1(c−ε)∩ϕ(U)), onde int(R1) denota o interior do conjunto
R1 em V.
(c) R3 = ϕ(U) ∩Mc−ε.
(d) H = R1 ∪ (R2 ∩H).
(e) R1 ∩R3 = R1 ∩Mc−ε = z ∈ V ; ξ(q) = ε e η(q) = 0 = ∂eλ.
(f) R2 ∩R3 = R2 ∩Mc−ε = f−1(c− ε) ∩ ϕ(U).
(g) R1 ∩R2 = a ∈ V ; ξ(a) = ε.
Demonstracao: Prova (a). Claramente eλ ⊆ R1. Pelo item (d) do Lema 4.14, eλ ⊆ H.
Agora, consideremos q ∈ R1 tal que ξ(q) ≤ ε e η(q) > 0. Temos entao:
f(q) = c− ξ(q) + η(q)
≥ c− ε+ η(q) (Segue da hipotese ξ(q) ≤ ε)
> c− ε. (Segue do fato que η(q) > 0)
Isso implica que q /∈ ϕ(U) ∩Mc−ε. Mas como q ∈ V = (ϕ(U) ∩Mc−ε) ∪ H, (veja (4.9))
deve-se ter q ∈ H.
Prova (b). Primeiro vamos mostrar que R2 ⊆(H − int(R1)
)∪ (f−1(c− ε) ∩ ϕ(U)). Para
provar isso vamos considerar dois casos. Seja q ∈ R2.
Caso 1: ξ(q) < η(q) + ε.
Note que segue imediatamente da definicao de R2 que q /∈ int(R1). Logo, para provar
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 57
a inclusao desejada, basta mostrar que q ∈ H, o que pode ser feito mostrando que q /∈ϕ(U) ∩Mc−ε (veja (4.9)). Mas, isso e obvio:
f(q) = c− ξ(q) + η(q) > c− η(q)− ε+ η(q) = c− ε.
Caso 2: ξ(q) = η(q) + ε.
Temos que
f(q) = c− ξ(q) + η(q) = c− η(q)− ε+ η(q) = c− ε,
isto e, q ∈ f−1(c− ε). Como q ∈ R2 ⊆ V ⊆ ϕ(U), vem que q ∈ f−1(c− ε) ∩ ϕ(U).
Agora, vejamos a outra inclusao. Seja q ∈ (H− int(R1)). Do fato que q ∈ H, segue-se que
c−ε ≤ f(q) (veja demonstracao do item (c) do Lema 4.14). Assim, c−ε ≤ c−ξ(q)+η(q),
donde ξ(q) ≤ η(q) + ε. Como por hipotese q /∈ int(R1), tem-se que ε ≤ ξ(q). Logo,
ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) + ε, e portanto, q ∈ R2. Agora, se q ∈ f−1(c − ε) ∩ ϕ(U) temos que
c− ε = f(q) = c− ξ(q) + η(q), donde, ξ(q) = η(q) + ε. Logo, q ∈ R2.
Prova (c). Primeiro, vamos mostrar que ϕ(U)∩Mc−ε ⊆ R3. Seja q ∈ ϕ(U)∩Mc−ε. Temos
f(q) = c− ξ(q) + η(q) ≤ c− ε,
donde, η(q) + ε ≤ ξ(q), e assim, q ∈ R3. Para mostrar a outra inclusao, considere q ∈ R3.
Temosf(q) = c− ξ(q) + η(q)
≤ c− η(q)− ε+ η(q)
= c− ε.
Portanto, q ∈Mc−ε. Como R3 ⊆ V ⊆ ϕ(U), tem-se que q ∈ ϕ(U) ∩Mc−ε.
Prova (d). Primeiro vejamos a inclusao R1 ∪ (R2 ∩ H) ⊆ H. Sabemos do item (a) deste
lema que R1 ⊆ H. Como (R2 ∩H) ⊆ H, temos o desejado. Agora, provemos a inclusao
H ⊆ R1 ∪ (R2 ∩ H). Seja q ∈ H. Pelo item (a) deste lema sabemos que R1 ⊆ H,
logo se q ∈ R1 nao temos nada para fazer. Suponhamos que q ∈ (H − R1). Como
q ∈ H = F−1(]∞, c− ε])−Mc−ε, temos que c − ε ≤ f(q) = c − ξ(q) + η(q), donde
ξ(q) ≤ η(q) + ε. Por outro lado, temos que q ∈ (H − R1, ) e H ⊆ V, o que implica que
ξ(q) > ε, e portanto, vale ε ≤ ξ(q). Logo, ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) + ε, isto e, q ∈ R2. Assim,
q ∈ R2 ∩H. Segue o desejado.
Prova (e). Primeiro mostraremos a igualdade R1 ∩ R3 = ∂eλ. A inclusao “⊇” decorre
imediatamente das definicoes de R1 e R3. Agora, vejamos a outra inclusao. Seja q ∈R1 ∩R3. Logo vale
η(q) + ε ≤ ξ(q) ≤ ε,
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 58
o que e possıvel somente se η(q) = 0 e ξ(q) = ε, isto e, se q ∈ ∂eλ. Isso prova a igualdade
desejada.
Agora, provemos a igualdade R1 ∩ R3 = R1 ∩Mc−ε. A inclusao R1 ∩ R3 ⊆ R1 ∩Mc−ε
decorre do fato que R3 ⊆ Mc−ε (veja item (c) deste lema). Para provar a outra inclusao
consideremos q ∈ R1 ∩Mc−ε. Do fato que q ∈Mc−ε, temos
f(q) = c− ξ(q) + η(q) ≤ c− ε ⇔ −ξ(q) + η(q) ≤ −ε⇔ η(q) + ε ≤ ξ(q).
Como q ∈ R1 implica que q ∈ V. Portanto, q ∈ R3.
Prova (f). Primeiro mostraremos a igualdade R2 ∩ R3 = f−1(c − ε) ∩ ϕ(U). Dado q ∈R2 ∩R3, segue-se das definicoes de R2 e R3 que
η(q) + ε ≤ ξ(q) ≤ η(q) + ε.
Logo, deve-se ter ξ(q) = η(q) + ε. Isso implica que
f(q) = c− ξ(q) + η(q) = c− η(q)− ε+ η(q) = c− ε,
donde, q ∈ f−1(c − ε). Como por hipotese q ∈ R2 ∩ R3 ⊂ V ⊂ ϕ(U), segue-se que
q ∈ f−1(c − ε) ∩ ϕ(U). Agora, vejamos a outra inclusao. Dado q ∈ f−1(c − ε) ∩ ϕ(U),
temosf(q) = c− ε ⇔ c− ξ(q) + η(q) = c− ε
⇔ −ξ(q) + η(q) = −ε⇔ η(q) + ε = ξ(q)
Logo, q ∈ R2 ∩R3.
Agora, provemos a igualdade R2 ∩ R3 = R2 ∩Mc−ε. A inclusao R2 ∩ R3 ⊆ R2 ∩Mc−ε
decorre do fato que R3 ⊆ Mc−ε (veja item (c) deste lema). Para provar a outra inclusao
consideremos q ∈ R2 ∩Mc−ε. Do fato que q ∈Mc−ε, temos
f(q) = c− ξ(q) + η(q) ≤ c− ε ⇔ −ξ(q) + η(q) ≤ −ε⇔ η(q) + ε ≤ ξ(q).
Como q ∈ R2 implica que q ∈ V. Portanto, q ∈ R3.
Prova (g). A inclusao “⊇” decorre imediatamente das definicoes de R1 e R2. Agora, veja-
mos a outra inclusao. Seja q ∈ R1 ∩R2. Logo vale,
ε ≤ ξ(q) ≤ ε,
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 59
donde implica que ξ(q) = ε. Isso prova a igualdade desejada.
Demonstracao do Lema 4.15: Seja r : Mc−ε ∪ H × [0, 1] −→ Mc−ε ∪ H a aplicacao
definida como segue
r(q, t) =
r1(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), tuλ+1(q), . . . , tum(q)), se q ∈ R1;
r2(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), stuλ+1(q), . . . , stum(q)), se q ∈ R2;
r3(q, t) = q, se q ∈Mc−ε,
onde st e o numero real definido por
st =
t+ (1− t)√
ξ(q)−εη(q)
, se η(q) > 0; e
0, se η(q) = 0,
para todo q ∈ R2.
Afirmacao 1: st ∈ [0, 1].
De fato, dado q ∈ R2 temos duas possibilidades: η(q) = 0 ou η(q) > 0. Se η(q) = 0 ja
temos o desejado. Agora, se η(q) > 0 tem-se 0 ≤ ξ(q)− ε ≤ η(q), e portanto,√ξ(q)− εη(q)
≤
√η(q)
η(q)= 1.
Logo,
t+ (1− t)
√ξ(q)− εη(q)
≤ t+ (1− t) = 1,
donde st ≤ 1. Agora, como t ∈ [0, 1] segue-se que (1− t) ≥ 0, e portanto, st ≥ 0.
Afirmacao 2: Mc−ε ∪R1 ∪R2 = Mc−ε ∪H.De fato, primeiro vamos provar que Mc−ε∪R1∪R2 ⊆Mc−ε∪H. Seja q ∈Mc−ε∪R1∪R2.
Se q ∈Mc−ε, claramente q ∈Mc−ε∪H. Se q ∈ R1, sabemos do item (a) do Lema 4.16 que
R1 ⊆ H, logo q ∈Mc−ε ∪H. Por fim, se q ∈ R2, sabemos do item (b) do Lema 4.16 que
R2 = (H − int(R1)) ∪ (f−1(c− ε) ∩ ϕ(U)).
Como (H−a ∈ V ; ξ(a) < ε) ⊆ H e (f−1(c−ε)∩ϕ(U)) ⊆Mc−ε, segue que, em qualquer
caso, q ∈Mc−ε ∪H.Agora, vejamos a outra inclusao. Seja q ∈ Mc−ε ∪ H. Se q ∈ Mc−ε e claro que q ∈Mc−ε ∪ R1 ∪ R2. Assim, resta considerarmos o caso em que q ∈ H. Mas esse caso segue
do fatos que H = R1 ∪ (H − R1) e (H − R1) ⊆ (H − int(R1)) ⊆ R2 (veja itens (a) e (b)
do Lema 4.16). Isso conclui a prova da Afirmacao 2.
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 60
Vamos mostrar que:
(a) r esta bem definida, isto e,
(i) r((Mc−ε ∪H)× [0, 1]) ⊆Mc−ε ∪H;
(ii) r1 ≡ r2 em R1 ∩R2 × [0, 1];
(iii) r1 ≡ r3 em R1 ∩Mc−ε × [0, 1];
(iv) r2 ≡ r3 em R2 ∩Mc−ε × [0, 1].
(b) r(q, 1) = q, para todo q ∈Mc−ε ∪H;
(c) r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ, para todo q ∈Mc−ε ∪H;
(d) r(q, t) = q, para todo q ∈Mc−ε ∪ eλ;
(e) r e uma aplicacao contınua.
Prova (a)− (i) Seja q ∈ H = R1 ∪ (R2 ∩H)) (veja item (d) do Lema 4.16). Definamos a
funcao g : [0, 1] −→ R por
g(α) = c− ξ(q) + α2η(q)− µ(ξ(q) + 2α2η(q)).
A derivada de g e dada por g′(α) = 2αη(q) − µ′(ξ(q) + 2α2η(q))4αη(q) e g′(α) ≥ 0,
pois η(a) ≥ 0, para todo a ∈ ϕ(U), e −1 < µ′(t) ≤ 0, para todo t ∈ R. Claramente,
g e uma funcao contınua, e portanto, dados α1, α2 ∈ [0, 1] tais que α1 < α2, temos que
g(α1) ≤ g(α2). Agora, note que g(α) = F (ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), αuλ+1(q), . . . , αum(q))). Em
particular, temos g(1) = F (q), e como q ∈ H, segue-se que g(1) = F (q) ≤ c− ε, e assim,
vale g(α) = F (ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), αuλ+1(q), . . . , αum(q))) ≤ c − ε, para todo α ∈ [0, 1],
donde
ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), αuλ+1(q), . . . , αum(q)) ∈ F−1(]−∞, c− ε]),
para todo α ∈ [0, 1]. Mas, sabemos pelo item (b) do Lema 4.14 que F−1(]−∞, c− ε]) =
Mc−ε ∪H. Isso conclui a prova de que r((Mc−ε ∪H)× [0, 1]) ⊆Mc−ε ∪H.
Prova (a)− (ii) Seja q ∈ R1 ∩R2. Temos dois casos a considerar.
Caso 1: η(q) = 0.
Neste caso st = 0, e portanto, r2(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0). Por outro lado,
η(q) = 0 implica uλ+1(q) = · · · = um(q) = 0, e assim, r1(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0).
Logo, r1(q, t) = r2(q, t).
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 61
Caso 2: η(q) > 0.
Pelo item (g) do Lema 4.16 tem-se que R1 ∩R2 = a ∈ V ; ξ(a) = ε. Assim, temos
st = t+ (1− t)
√ξ(q)− εη(q)
= t+ (1− t)
√0
η(q)= t.
Isso implica que r2(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), tuλ+1(q), . . . , tum(q)) = r1(q, t).
Prova (a)− (iii) Pelo item (e) do Lema 4.16 tem-se que R1 ∩Mc−ε = ∂eλ, e portanto,
uj(q) = 0 para todo q ∈ R1 ∩Mc−ε e j ∈ λ+ 1, . . . ,m. Assim, temos
r1(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), t0, . . . , t0)
= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0)
= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q))
= ϕ ϕ−1(q)
= q.
Como r3(q, t) = q, por definicao, segue que r1(q, t) = r3(q, t), para todo (q, t) ∈ R1 ∩Mc−ε × [0, 1].
Prova (a)− (iv) Seja q ∈ R2 ∩Mc−ε = f−1(c − ε) ∩ ϕ(U) (veja item (f) do Lema 4.16).
Temos dois casos a considerar.
Caso 1: η(q) = 0.
De maneira analoga a prova que fizemos em Prova (a)− (iii), ve-se que r2(q, t) = r3(q, t).
Caso 2: η(q) > 0.
Pelo item (f) do Lema 4.16, f(q) = c− ε, ou seja, ξ(q) = η(q)− ε, donde
st = t+ (1− t)
√ξ(q)− εη(q)
= t+ (1− t)
√η(q) + ε− ε
η(q)= 1.
Logo,
r2(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q)) = ϕ ϕ−1(q) = q = r3(q, t).
Isso conclui a prova do item (a).
Agora, vamos provar que valem os itens (b), (c) e (d). Note que se q ∈ Mc−ε e
imediato da definicao de r que q satisfaz os tres itens. Assim, resta provar que os tres
itens sao satisfeitos quando q ∈ H = R1 ∪ (R2 ∩H) (veja item (d) do Lema 4.16), e para
isso consideramos dois casos.
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 62
Caso 1: q ∈ R1.
• r(q, 1) = q;
De fato, isso segue imediatamente das igualdades
r(q, 1) = r1(q, 1) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q)) = ϕ ϕ−1(q) = q.
• r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ;Temos que:
r(q, 0) = r1(q, 0) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0uλ+1(q), . . . , 0um(q))
= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0).
Como q ∈ R1, tem-se que ξ(q) ≤ ε. Disso, mais o fato das ultimas m−λ coordenadas
de r(q, 0) serem nulas, segue-se que r(q, 0) ∈ eλ. Logo, r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ.
• r(q, t) = q; para todo q ∈ R1 ∩ (Mc−ε ∪ eλ).Nesse caso, deve-se ter q ∈ eλ, pois
R1 ∩ (Mc−ε ∪ eλ) = (R1 ∩Mc−ε) ∪ (R1 ∩ eλ)= (R1 ∩Mc−ε) ∪ eλ (Segue do fato de eλ ⊆ R1)
= ∂eλ ∪ eλ (Veja item (e) do Lema 4.16)
= eλ.
Assim, vale uλ+1(q) = · · · = um(q) = 0. Entao temos
r(q, t) = r1(q, t) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), t0, . . . , t0)
= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0)
= ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q))
= ϕ ϕ−1(q)
= q,
para todo t ∈ [0, 1].
Caso 2: q ∈ R2.
Primeiro vamos analisar o caso em que η(q) = 0. De maneira analoga a prova que fizemos
em Prova (a)− (iii), ve-se que r(q, t) = r2(q, t) = q. Agora, suponhamos η(q) > 0.
• r(q, 1) = q;
De fato, temos que
s1 = 1 + 0
√ξ(q)− εη(q)
= 1.
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 63
Logo,
r(q, 1) = r2(q, 1) = ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q)) = ϕ ϕ−1(q) = q.
• r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ;Nesse caso s0 =
√ξ(q)−εη(q)
. Logo,
f(r(q, 0)) = f(r2(q, 0)) = f(u1(q), . . . , uλ(q), s0uλ+1(q), . . . , s0um(q))
= c− ξ(q) + s20η(q)
= c− ξ(q) +[( ξ(q)−ε
η(q)
) 12
]2
η(q)
= c− ξ(q) + ξ(q)− ε= c− ε.
Isso mostra que r(q, 0) ∈Mc−ε, e portanto, r(q, 0) ∈Mc−ε ∪ eλ.
• r(q, t) = q, para todo q ∈ R2 ∩ (Mc−ε ∪ eλ) e η(q) > 0.
Como estamos no caso em que η(q) > 0, segue que R2 ∩ eλ = ∅. Assim, resta
analisarmos o caso em que q ∈ R2 ∩Mc−ε. O desejado segue do item (a)− (iv).
Isso prova os itens (b), (c) e (d).
Prova (e). Vejamos que as hipoteses do Lema A.6 sao satisfeitas.
• Levando em conta a relacao H = R1 ∪ (R2 ∩H) (veja item (d) do Lema 4.16), ve-se
que (Mc−ε ∪H)× [0, 1] e a uniao de tres conjuntos fechados:
(Mc−ε ∪H)× [0, 1] =(Mc−ε × [0, 1]
)∪(R1 × [0, 1]
)∪((R2 ∩H)× [0, 1]
).
• As restricoes r1 = r|R1×[0,1], r|(R2∩H)×[0,1] e r3 = r|Mc−ε×[0,1] sao contınuas.
Claramente, r1 e r3 sao contınuas. Para ver que r|(R2∩H)×[0,1] e contınua, basta
mostrar que r2 possui uma extensao contınua no bordo de eλ, e que essa extensao
coincide com a aplicacao identidade nesse conjunto (veja a definicao de r). Assim,
devemos mostrar que r2(q, t) −→ q, quando η(q) −→ 0 e ξ(q) −→ ε. Agora, η(q) −→0 implica que uj(q) −→ 0, para todo j ∈ λ + 1, . . . ,m. Como st ∈ [0, 1] tem-se
stuj(q) −→ 0, quando η(q) −→ 0. Portanto,
r2(q, t) −→ ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), 0, . . . , 0),
isto e,
r2(q, t) −→ ϕ(u1(q), . . . , uλ(q), uλ+1(q), . . . , um(q)),
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 64
com uj(q) −→ 0, para todo j ∈ λ+ 1, . . . ,m. Logo,
r2(q, t) −→ ϕ ϕ−1(q) = q.
Ainda deverıamos verificar que as tres restricoes coincidem nas intersecoes comuns. Mas,
isso ja foi feito quando mostramos que a aplicacao r esta bem definida. Isso conclui a
prova do Lema 4.15.
Demonstracao do Teorema 4.10: Segue do Corolario 4.12 e do Lema 4.15 que
Mc−ε ∪H ≈Mc+ε e
Mc−ε ∪ eλ ≈Mc−ε ∪H.
Pela Observacao B.3 item 3), tem-se queMc−ε∪eλ ≈Mc+ε. ComoMc−ε e eλ sao subespacos
fechados deM segue do Lema 4.7 queMc−ε∪eλ eMc−ε∪∂eλeλ sao homeomorfos, e portanto,
Mc−ε ∪∂eλ eλ ≈Mc+ε. Isso conclui a prova do Teorema 4.10.
Observacao 4.17. Mais geralmente, suponha que existam k pontos crıticos nao degene-
rados, p1, . . . , pk com ındices λ1, . . . , λk em f−1(c). Entao uma prova similar mostra que
Mc+ε tem o mesmo tipo de homotopia de Mc−ε ∪∂eλ1 eλ1 ∪ · · · ∪∂eλk eλk .
Observacao 4.18. Para aplicar o Teorema 4.10, deve-se ter o cuidado de garantir que
exista ε > 0 tal que o conjunto f−1([c− ε, c+ ε]) seja compacto. A seguir exibiremos um
exemplo no qual nao podemos aplicar o Teorema 4.10, pois nao existe ε > 0, tal que a
hipotese da compacidade seja cumprida. Considere
f : R −→ R, t 7−→ sin(t).
Claramente, f funcao e suave. Afirmamos que p = π/2 e um ponto crıtico nao degenerado
de f de ındice 1. De fato, como sin′(t) = cos(t) implica que
sin′(π/2) = cos(π/2) = 0.
Logo p e um ponto crıtico de f. Agora, vejamos que p e nao degenerado. Temos que
sin′′(t) = − sin(t). Daı, tem-se
sin′′(π/2) = − sin(π/2) = −1 6= 0.
Portanto, p e um ponto crıtico nao degenerado. E por fim, mostremos que o ındice de p
Capıtulo 4. Segundo Teorema de Morse 65
e igual a 1. Mas isso segue do fato de que Hessπ/2(f) e uma forma definida negativa, pois
Hessπ/2(f)(t, t) = −t2 < 0, para todo t ∈ R− 0.
Isso conclui a prova da nossa afirmacao. Agora, vejamos que nao existe ε > 0 tal que
f−1([1 − ε, 1 + ε]) seja compacto. Como −1 ≤ sin(t) ≤ 1, tem-se f−1([1 − ε, 1 + ε]) =
f−1([1− ε, 1]. Escolhemos ε > 0 tal que valha
f(t0) = 1− ε, para algum 0 < t0 < π/2.
Sabemos que sin(t) = sin(π− t), para todo t ≥ 0. Em particular, f(π− t0) = f(s0) = 1−ε.Sabemos ainda que vale
f(t0) = f(t0 + k2π) = 1− ε e f(s0) = f(s0 + k2π) = 1− ε
para todo k ∈ N. Assim, escrevendo tk = t0 + k2π e sk = s0 + k2π, temos que
f−1([1− ε, 1]) =⊔k∈N
[tk, sk].
Como f−1([1 − ε, 1]) e ilimitado, implica que nao e compacto. Na Figura 4.23 a repre-
sentacao do grafico de f esta de vermelho e o conjunto f−1([1 − ε, 1]) corresponde aos
segmentos de reta de cor azul.
Figura 4.23: Grafico de f.
Capıtulo 5
Terceiro Teorema de Morse
Neste capıtulo introduzimos o conceito de CW-complexo e provamos o Terceiro
Teorema de Morse.
No que se segue usaremos a seguinte terminologia e notacao para todo inteiro
λ ≥ 0 :
• Bλ= x ∈ Rλ : ‖x‖ ≤ 1 - Bola fechada de centro 0 e raio 1 em Rk.
• Bλ = x ∈ Rλ : ‖x‖ < 1 - Bola aberta de centro 0 e raio 1 em Rk.
• Sλ−1 = x ∈ Rλ : ‖x‖ = 1 - Esfera de centro 0 e raio 1 em Rk.
Usamos a notacao ‖.‖ para indicar a norma euclidiana. No caso em que λ = 0 definamos
R0 = 0 e S−1 = ∅.Lembramos que, dado um espaco topologico X, denotamos por:
• (eλ, α) - Celula fechada de dimensao λ (ou λ-celula fechada) contida em X.
• (eλ, α) - Celula aberta de dimensao λ (ou λ-celula) contida em X.
• ∂eλ = q ∈ eλ; ‖α−1(q)‖ = 1 - Bordo de (eλ, α).
Observacao 5.1.
• Usaremos a notacao eλ para indicar uma λ-celula e a notacao eλ para indicar uma
λ-celula fechada, mencionando o homeomorfismo α somente quando for necessario.
Quando nao explicitarmos a dimensao de
• Quando nao explicitarmos a dimensao de uma λ-celula ou λ-celula fechada usaremos
as notacoes e e e, respectivamente.
Definicao 5.2. Seja X um espaco topologico. Uma decomposicao celular E de X e
uma particao de X em subespacos que sao celulas.66
Capıtulo 5. Terceiro Teorema de Morse 67
5.1 CW-complexo
A nocao de CW-complexo e uma extensao da nocao de uma variedade suave
para um cenario puramente topologico. Enquanto uma variedade pode ser vista como o
resultado da colagem de bolas abertas da mesma dimensao, e a colagem sendo feita atraves
de difeomorfismos nas partes comuns, o CW-complexo pode ser visto como o resultado
da colagem de bolas fechados de varias dimensoes, e a colagem sendo feita ao longo dos
bordos atraves de aplicacoes contınuas.
Definicao 5.3. Seja X um espaco topologico. Uma decomposicao celular E de X e
uma particao de X em subespacos que sao celulas.
Definicao 5.4. Um par (X, E), consistindo de um espaco topologico Hausdorff X e uma
decomposicao celular E de X, e chamado CW -complexo se os seguintes axiomas sao sa-
tisfeitos:
Axioma 1 (Aplicacoes caracterısticas). Para cada λ-celula eλ ∈ E existe uma aplicacao
contınua Φeλ : Bλ −→ X levando Bλ homeomorficamente na celula eλ e o conjunto
Φeλ(Sλ−1) esta contido numa uniao de celulas de dimensoes menores ou iguais a λ− 1 de
X.
Axioma 2 (Finitude do fecho). O fecho e de cada celula e ∈ E intersecta apenas um
numero finito de outras celulas.
Axioma 3 (Topologia Fraca). Um subconjunto A ⊆ X e fechado se, e somente se A ∩ ee fechado para toda celula e ∈ E .
O nome CW-Complexo refere-se aos Axiomas 2 e 3, que nos dao condicoes sobre
a quantidade de celulas que sao permitidas no complexo (para decomposicoes celulares fi-
nitas esses dois axiomas sao sempre trivialmente satisfeitos). A letra “C” significa Closure
finite e a letra “W” para Weak topology.
Definicao 5.5. Seja X um espaco decomposto em celulas. Dado λ ∈ N o conjunto de
todas as celulas de dimensao menor ou igual a λ e chamado λ-esqueleto de X.
De maneira grosseira o Axioma 1 nos diz que as λ- celulas devem ser coladas no
(λ− 1)-esqueleto. A seguir formalizaremos isso.
Exemplo 5.6. A esfera de dimensao n, Sn, admite a seguinte decomposicao (a qual nao
e unica):
Sn = e01 ∪ en2
de modo que a aplicacao caracterıstica f2 : Bn −→ en2 leva o conjunto Sn−1 em um ponto,
isto e, a celula de dimensao zero.
Capıtulo 5. Terceiro Teorema de Morse 68
Exemplo 5.7. Se X e um CW-complexo e ϕ : Sλ−1 −→ Xλ−1 e uma aplicacao contınua,
entao X ∪ϕ Bλ
e um CW-complexo.
Mais geralmente, podemos colar uma famılia inteira de λ-celulas simultanea-
mente. Sejam X um CW-complexo e ϕαα∈Λ uma famılia de aplicacoes contınuas
ϕα : Sλ−1 −→ Xλ−1. Definimos
ϕ : Sλ−1 × Λ −→ Xλ−1
(v, α) 7−→ ϕα(v),
onde Λ tem a topologia discreta e ϕ e contınua. Entao
X ∪ϕ (Bλ × Λ)
e um CW-complexo.
A seguir daremos um metodo para construcao de um CW-complexo.
i) Comecamos com o 0-esqueleto, X0. Este e um espaco discreto.
ii) O n-esqueleto, Xn, e obtido por inducao.
Seja En o conjunto de n-celulas. Escolhemos para cada celula en uma aplicacao ca-
racterıstica e seja Φen|Sn−1 = ϕen . Considerando ϕenen∈En uma famılia de aplicacoes
colagem, obtemos um CW-complexo
Xn−1 ∪ϕ (Bn × En).
Definicao 5.8. Sejam X e Y CW-complexos e f : X −→ Y uma aplicacao contınua.
Dizemos que f e uma aplicacao celular se
f(Xn) ⊆ Y n ∀ n = 0, 1, 2, . . . ,
onde Xn e Y n denotam os n-esqueletos de X e Y, respectivamente.
Teorema 5.9. (Teorema da Aproximacao Celular) Sejam X e Y CW-complexos. Toda
aplicacao contınua f : X −→ Y e homotopica a uma aplicacao celular.
Demonstracao: Veja ([5], p. 349).
5.2 Terceiro Teorema de Morse
Nesta secao provamos o Terceiro Teorema de Morse para uma variedade com-
pacta. Esse teorema tambem e valido para uma variedade que nao seja compacta (veja
Capıtulo 5. Terceiro Teorema de Morse 69
([10], p. 20)). Ressaltamos que no trabalho original de Morse, o Terceiro Teorema de
Morse foi descrito atraves de uma colecao de desigualdades, as quais sao chamadas Desi-
gualdades de Morse. Neste trabalho, abordamos esse teorema com uma linguagem mais
moderna atraves do conceito de CW-complexo.
Teorema 5.10. (Terceiro Teorema de Morse) Seja M uma variedade compacta e
f : M −→ R uma funcao de Morse. Entao a variedade M tem o mesmo tipo de ho-
motopia de um CW-complexo com uma celula de dimensao λ para cada ponto crıtico de
ındice λ.
Para provarmos esse teorema precisaremos dos seguintes lemas.
Lema 5.11. Sejam f1, f2 : ∂eλ −→ Y duas aplicacoes homotopicas. Entao a aplicacao
identidade de Y se estende a uma equivalencia de homotopia
k : Y ∪f1 eλ −→ Y ∪f2 eλ.
Demonstracao: Veja Apendice B, Lema B.6.
Lema 5.12. Seja ϕ : ∂eλ −→ Y uma aplicacao de colagem. Toda equivalencia de homo-
topia f : Y −→ Z se estende para uma equivalencia de homotopia
F : Y ∪ϕ eλ −→ Z ∪fϕ eλ.
Demonstracao: Veja Apendice B, Lema B.8.
Agora, vejamos a demonstracao do Teorema 5.10.
Demonstracao: Como por hipotese M e compacta sabemos pelo Lema 2.12 que Crit(f) e
finito. Assim, sejam c1 < c2 < · · · < cn, os valores crıticos de f. Note que necessariamente,
n ≥ 2. Seja a ∈ R tal que c1 < a < c2. Logo se a < c1, tem-se Ma = ∅. Consideremos
ε > 0 tal que c1 e o unico valor crıtico de f em [c1 − ε, c1 + ε]. Pela Observacao 4.17
segue-se que
Mc1+ε 'Mc1−ε ∪∂eλ1 eλ1 ∪∂eλ2 eλ2 ∪ · · · ∪∂e(λj(c1)−1) eλj(c1) . (5.1)
Como Mc1−ε = ∅, temos
Mc1+ε ' eλ1 ∪∂eλ2 eλ2 ∪ · · · ∪∂e(λj(c1)−1) eλj(c1) = K.
Definimos por h′ : Mc1+ε −→ K a equivalencia de homotopia correspondente. Pela
Observacao 4.17 segue-se que
Mc2+ε 'Mc2−ε ∪ϕ1 eλ1 ∪ϕ2 e
λ2 ∪ · · · ∪ϕj(c2) eλj(c2) , (5.2)
Capıtulo 5. Terceiro Teorema de Morse 70
onde ϕl : ∂eλ −→ Mc2−ε e uma aplicacao de colagem, para cada l ∈ 1, . . . jc2. Segue
do Teorema 3.3 que h : Mc2−ε −→ Mc1+ε e uma equivalencia de homotopia, e portanto,
h′ h : Mc2−ε −→ K e uma equivalencia de homotopia. Logo, aplicando o Lema 5.12
j(c2)− 1-vezes segue-se que
Mc2−ε∪ϕ1 eλ1 ∪ϕ2 e
λ2 ∪· · ·∪ϕj(c2) eλj(c2) ' K∪h′hϕ1 e
λ1 ∪h′hϕ2 eλ2 ∪· · ·∪h′hϕj(c2) e
λj(c2) , (5.3)
onde denotamos a composta h′ h ϕl por h′hϕl, para todo l ∈ 1, . . . jc.Agora, pelo Teorema de Aproximacao Celular (Teorema 5.9) segue-se que cada
h′ h ϕl e homotopica a aplicacao
ψl : ∂eλl −→ Kλl−1,
para todo l ∈ 1, . . . jc. Logo, pelo Lema 5.11 segue-se que
K ∪h′hϕ1 eλ1 ∪h′hϕ2 e
λ2 ∪ · · · ∪h′hϕj(c2) eλj(c2) ' K ∪ψ1 e
λ1 ∪ψ2 eλ2 ∪ · · · ∪ψj(c2) e
λj(c2) . (5.4)
De (5.2) e(5.3) segue-se que
Mc2+ε ' K ∪h′hϕ1 eλ1 ∪h′hϕ2 e
λ2 ∪ · · · ∪h′hϕj(c2) eλj(c2) . (5.5)
De (5.4) e(5.5) segue-se que
Mc2+ε ' K ∪ψ1 eλ1 ∪ψ2 e
λ2 ∪ · · · ∪ψj(c2) eλj(c2) . (5.6)
Repetindo o argumento indutivamente e levando em conta que Mcn+ε = M, obtemos o
desejado.
Apendice A
Topologia
Neste Apendice apresentamos algumas definicoes e resultados de Topologia que
usamos neste trabalho. Alguns resultados aqui apresentados nao terao demonstracoes,
pois sao resultados bem conhecidos e facilmente encontrados em qualquer livro de Topo-
logia.
Definicao A.1. Uma topologia num conjunto X e uma colecao T de subconjuntos de
X, denominados abertos (segundo a topologia T ) satisfazendo as seguintes condicoes:
• X e ∅ pertencem a T .
• Se A1, . . . , An ∈ T , com n ≥ 1, entao ∩ni=1Ai ∈ T .
• Para toda famılia (Aα)α∈I de abertos, ∪Aα ∈ T .
Um espaco topologico e uma par (X, T ), onde X e um conjunto e T e uma topologia
em X.
Frequentemente se diz apenas o espaco topologico X, mencionando T somente
quando for necessario para evitar ambiguidade.
Exemplo A.2. Seja E um espaco vetorial real de dimensao finita m. Definamos uma
topologia em E tomando uma norma qualquer ‖ · ‖ de E e declarando um subconjunto
U de E aberto se para todo p ∈ U existe ε > 0 tal que B(p, ε) ⊆ U , onde B(p, ε) :=
q ∈ E; ‖ p− q ‖< ε. Convenciona-se que o conjunto vazio e aberto.
E facil verificar que isso define uma topologia em E. Observa-se que essa topologia e
independente da norma usada, ja que todas as normas em E sao equivalentes (veja [8]).
Chamamos a topologia assim definida de topologia natural do espaco vetorial E.
Definicao A.3. Seja (X, T ) um espaco topologico. Dado um subconjunto Y em X,
TY := U ∩Y, U ∈ T e uma topologia em Y , a qual chamamos de topologia induzida.71
Apendice A. Topologia 72
Definicao A.4. Sejam X um espaco topologico, p ∈ X e S ⊆ X.
(a) Uma vizinhanca de p e um subconjunto aberto contendo p.
(b) O subconjunto S e fechado se X − S e aberto.
(c) Um ponto p ∈ S e dito ser um ponto isolado de S se existe U ⊆ X vizinhanca
de p, tal que U ∩X = p.
(c) Diremos que X e um espaco de Hausdorff se dados a, b ∈ X, com a 6= b, existem
abertos A1 3 a, A2 3 b tais que A1 ∩ A2 = ∅.
Definicao A.5. Uma aplicacao f : X → Y de um espaco topologico X num espaco
topologico Y , diz-se contınua quando a imagem inversa f−1(B) de qualquer aberto
B ⊂ Y for um aberto em X.
Lema A.6. (Lema de colagem para aplicacoes contınuas) Sejam X e Y espacos to-
pologicos, e suponha que uma das seguintes condicoes e valida:
(a) Sejam B1, . . . , Bn subconjuntos fechados de X tais que X = ∪ni=1Bi.
(b) Seja Bii∈A uma famılia de conjuntos abertos de X tais que X = ∪i∈ABi.
Suponha ainda que para todo i a aplicacao Fi : Bi −→ Y seja contınua e Fi|Bi∩Bj =
Fj|Bi∩Bj . Entao existe uma unica aplicacao contınua F : X −→ Y, cuja restricao em cada
Bi e igual a Fi.
Demonstracao: Veja ([7] p. 602).
Definicao A.7. Um homeomorfismo h : X → Y de um espaco topologico X sobre
o espaco topologico Y e uma aplicacao contınua e biunıvoca de X sobre Y , cuja inversa
h−1 : Y → X tambem e contınua.
Exemplo A.8. Sejam E e F dois espacos vetoriais de mesma dimensao finita. Entao
qualquer aplicacao linear bijetiva f : E −→ F e um homeomorfismo.
Para ver isso, seja B ⊆ F um conjunto aberto. Devemos mostrar que f−1(B) e aberto
em E. Seja ‖ · ‖F uma norma em F . Por definicao da topologia natural de F , existem
pontos ai em B, i ∈ I, e numeros reais εi > 0, tais que B = ∪i∈IBF (ai, εi), onde
BF (ai, εi) := u ∈ F | ‖u− ai‖F < εi.Por outro lado, verifica-se imediatamente que a aplicacao
‖ · ‖E : E −→ R, v 7−→ ‖v‖E := ‖f(v)‖F ,
Apendice A. Topologia 73
e uma norma em E, e claramente vale a seguinte identidade:
f−1(BF (a, ε)) = BE(f−1(a), ε),
onde BE(f−1(a), ε) := v ∈ E | ‖f−1(a)− v‖E < ε. Daı,
f−1(B) =⋃i∈I
f−1(BF (ai, εi)
)=⋃i∈I
BE
(f−1(ai), εi
).
Concluımos que f−1(B) e uma uniao de bolas abertas (relativamente a ‖ ·‖E), e portanto,
e aberto. Segue-se que f e contınua. Analogamente, mostra-se que f−1 e contınua. Logo
f e um homeomorfismo.
Teorema A.9. Todo subespaco compacto de um espaco Hausdorff e fechado.
Teorema A.10. Todo subespaco fechado de um espaco compacto e compacto.
Definicao A.11. Um espaco topologico X e localmente compacto se para todo ponto
x ∈ X existem U uma vizinhanca de x e W ⊆ X subconjunto compacto de X tais que
U ⊆ W .
Lema A.12. Sejam X um espaco topologico Hausdorff e localmente compacto,
K ⊂ X compacto e D ⊂ X um subconjunto aberto tal que K ⊂ D. Entao existe E ⊂ X
subconjunto aberto em X tal que E e compacto e K ⊂ E ⊂ E ⊂ D.
Demonstracao: Seja x ∈ X. Primeiro considere o caso K = x. Por hipotese existe
W ⊂ X compacto e tal que x ∈ W. Pelo Teorema A.9 sabemos que W e fechado em
X, e portanto, segue do Lema A.15 que W e um subespaco normal. Consideremos os
subconjuntos x e B = W −D fechados de W . Como W e normal e K ∩B = ∅ existem
abertos U, V de N tais que x ⊂ U , B ⊂ V e U ∩ V = ∅. Agora, pela definicao de
topologia induzida existem U0 e V0 abertos de X tais que U = U0 ∩W e V = V0 ∩W.Seja E = Int(U). Note que E e aberto em X e alem disso, vale E ⊂ U ⊂ U ⊂ W = W.
Agora, pelo Teorema A.10 sabemos que E e compacto em W, mas como compacidade e
uma propriedade intrınseca segue-se que E e compacto em X.
Falta mostrar que E ⊂ D. Para ver isso, primeiro note que
E ∩ V0 ⊂ U ∩ V0 = (U0 ∩W ) ∩ V0 = (U0 ∩W ) ∩ (W ∩ V0) = U ∩ V = ∅.
Assim, E ⊂ X − V0. Usando o fato de que X − V0 e fechado obtemos que E ⊂ X − V0.
Agora,
E ⊂ [W ∩ (X − V0)] ⊂ [W ∩ (X − (W −D))] = W ∩D ⊂ D.
Apendice A. Topologia 74
Procedemos agora com o caso geral. Pelo que provamos acima para cada x ∈ Kexiste um aberto Ex com Ex compacto e Ex ⊂ D. Claramente temos que K ⊂
⋃x∈K Ex.
Pela compacidade de K existem x1, . . . , xn ∈ K tais queK ⊂⋃ni=1Exi . Seja E =
⋃ni=1Exi .
Sabemos que uniao arbitraria de conjuntos abertos e aberto e assim E e um conjunto
aberto. Alem disso, vale
K ⊂ E ⊂ E =n⋃i=1
Exi ⊂ D.
Definicao A.13. Seja X um espaco topologico.
(a) Uma colecao X de subconjuntos de X e dita localmente finita se para todo ponto
x ∈ X existe uma vizinhanca de x que intersecta no maximo um numero finito de
conjuntos de X .
(b) Sejam U e V coberturas de X. Diz-se que V e um refinamento de U se para cada
V ∈ V existe U ∈ U tal que V ⊆ U.
(c) Dizemos que X e paracompacto se toda cobertura aberta de X admite um refina-
mento aberto localmente finito.
Teorema A.14. Se X e um espaco Hausdorff e paracompacto, entao X e normal.
Lema A.15. Seja X um espaco topologico.
(a) Se X e normal e A ⊆ X e um subconjunto fechado em X, entao A e normal.
(b) Se X e Hausdorff e A ⊆ X e um subconjunto de X, entao A e Hausdorff.
(c) Se X e Hausdorff e localmente compacto, e A ⊆ X e um subconjunto fechado ou
aberto de X, entao A e localmente compacto.
Apendice B
Homotopia
Neste apendice apresentamos conceitos e algumas observacoes sobre homotopia.
Ambos serao usados nos enunciados dos principais teoremas deste trabalho. Alem disso,
provamos os lemas cruciais para demonstrar o Terceiro Teorema de Morse. Observamos
que os lemas aqui enunciados envolvem espaco de adjuncao (veja mais detalhes no Capıtulo
4).
Definicao B.1. Sejam X e Y espacos topologicos e f, g : X −→ Y aplicacoes contınuas.
Diz-se que f e homotopica a g se existe uma aplicacao contınua H : X × [0, 1] −→ Y
tal que
H(x, 0) = f(x) e H(x, 1) = g(x),
para todo x ∈ X. A aplicacao H e chamada homotopia entre f e g. Se f e homotopica a
g, escrevemos f ≈ g.
Definicao B.2. Sejam X e Y espacos topologicos e seja f : X −→ Y uma aplicacao
contınua. Diz-se que f e uma equivalencia de homotopia se existe uma aplicacao
g : Y −→ X contınua que satisfaz as seguintes propriedades:
(g f) ≈ IdX e (f g) ≈ IdY .
Observacao B.3.
(a) Se f : X −→ Y e uma equivalencia de homotopia, dizemos que os espacos X e Y
tem o mesmo tipo de homotopia e escrevemos X ≈ Y
(b) Dizemos que uma aplicacao g : Y −→ X como na definicao acima e uma inversa
de homotopia de f.
(c) Se g : Y −→ X satisfaz apenas (g f) ≈ IdX (resp. (f g) ≈ IdY ), g e chamada
uma inversa de homotopia a esquerda (resp. direita) de f.75
Apendice B. Homotopia 76
(d) A relacao “equivalencia de homotopia” e uma relacao de equivalencia.
Definicao B.4. Sejam X um espaco topologico e A um subespaco de X. Diz-se que A e
um retrato por deformacao de X se existe uma aplicacao contınua H : X × I −→ X
tal que H(x, 0) = x e H(x, 1) ∈ A para todo x ∈ X, e H(a, t) = a para todo a ∈ A.
A homotopia H e chamada uma retracao por deformacao de X em A. A aplicacao
r : X −→ A definida por r(x) = H(x, 1) e uma retracao de X em A, e H e uma
homotopia entre a aplicacao identidade de X e a aplicacao j r, onde j : A −→ X e
inclusao.
Observacao B.5. Se A e um retrato por deformacao de X, entao A e X tem o mesmo
tipo de homotopia.
Sejam Y um espaco topologico e (eλ, α) uma λ-celula fechada de um certo espaco
topologico X. Dado x ∈ Bλnao nulo, podemos escrever x = tu, onde
u =x
‖x‖e t = ‖x‖.
Note que t = ‖x‖ ∈ [0, 1], pois x ∈ Bλ. Assim, dado z ∈ eλ, tem-se que z = α(tu), para
algum u ∈ Sλ−1 e para algum t ∈ [0, 1].
Lema B.6. Sejam f1, f2 : ∂eλ −→ Y duas aplicacoes homotopicas. Entao a aplicacao
identidade de Y se estende a uma equivalencia de homotopia
k : Y ∪f1 eλ −→ Y ∪f2 eλ.
Demonstracao: Se z ∈ eλ, tem-se que z = α(tu), com t ∈ [0, 1] e u ∈ Sλ−1. Dado
ε ∈ 0, 1, definamos k pondo:
k([z, ε]) =
k1([z, ε]) = k1([z, 1]) = [z, 1], se z ∈ Y ;
k2([z, ε]) = k2([α(tu), 0]) = [α(2tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 12;
k3([z, ε]) = k3([α(tu), 0]) = [h(α(u), 2− 2t), 1] , se 12≤ t ≤ 1,
onde h e a homotopia entre f1 e f2, isto e, h : ∂eλ× [0, 1] −→ Y e uma aplicacao contınua
que satisfaz:
h(α(u), 0) = f1(α(u)) e h(α(u), 1) = f2(α(u)). (B.1)
• A aplicacao k esta bem definida, isto e,
i) Se (z, ε) ∼ (z′, ε′), entao k([z, ε]) = k([z′, ε′]), com ε, ε′ ∈ 0, 1.
ii) k2 ≡ k3 se t = 1/2 e z = α(u/2).
Apendice B. Homotopia 77
Prova i). Para provar isso, vamos usar as classes de equivalencia do espaco quociente
Y ∪f1 eλ que foram descritas no capıtulo anterior. Analisaremos casos.
CASO 1: z ∈ (eλ − ∂eλ) ou z ∈ (Y − f1(∂eλ)).
Nesse caso, nao temos nada para fazer, pois [z, ε] = (z, ε).CASO 2: z ∈ ∂eλ.Sabemos que
[z, 0] = (z, 0), (x, 0), (f1(z), 1); f1(z) = f1(x), x ∈ ∂eλ. (B.2)
Logo, qualquer [z′, ε′] ∈ Y ∪f1 eλ tal que (z, 0) ∼ (z′, ε′) deve-se ter (z′, ε′) ∈ [z, 0].
Agora, como z ∈ ∂eλ tem-se que z = α(u), para um certo u ∈ Sλ−1. Disso, mais
(B.1), segue-se que
k([z, 0]) = k([α(u), 0]) = k3([α(u), 0]) = [h(α(u), 0), 1] = [f1(α(u)), 1]. (B.3)
Obtemos de (B.1) e (B.2) que
k([x, 0]) = k([α(v), 0]) = k3([α(v), 0]) = [h(α(v), 0), 1] = [f1(α(v)), 1] = [f1(α(u)), 1], (B.4)
onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Da definicao de k em Y tem-se que
k([f1(z), 1]) = k1([f1(z), 1]) = [f1(z), 1]. (B.5)
Comparando (B.3), (B.4) e (B.5) temos o desejado.
CASO 3: z ∈ f1(∂eλ) ⊆ Y.
Sabemos que
[z, 1] = (z, 1), (x, 0); f1(x) = z, x ∈ ∂eλ. (B.6)
Logo, qualquer [z′, ε′] ∈ Y ∪f1 eλ tal que (z, 1) ∼ (z′, ε′) deve-se ter (z′, ε′) ∈ [z, 1].
Da definicao de k em Y segue-se que
k([z, 1] = k1([z, 1]) = [z, 1] (B.7)
Agora, de (B.1) e (B.6) temos que
k([x, 0]) = k([α(v), 0]) = k3([α(v), 0]) = [h(α(v), 0), 1] = [f1(α(v)), 1] = [z, 1], (B.8)
onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Comparando (B.7) e (B.8) temos o
desejado.
Apendice B. Homotopia 78
Prova ii). Por um lado, temos
k2
([α(u
2
), 0])
=[α(
2u
2
), 0]
= [α(u), 0].
Por outro lado, tem-se que
k3
([α(u
2
), 0])
=
[h
(α(u), 2− 2
1
2
), 1
]= [h(α(u), 1)] = [f2(α(u)), 1],
onde a ultima igualdade decorre de (B.1). Descrevendo a classe de f2(α(u)) ∈f2(∂eλ) de maneira analoga ao que fizemos em (B.6) tem-se que [α(u), 0] = [f2(α(u)), 1].
Isso conclui a prova de que k esta bem definida.
• k e uma aplicacao contınua.
E facil ver.
Dado ε ∈ 0, 1, seja l : Y ∪f2 eλ −→ Y ∪f1 eλ a aplicacao definida por:
l([w, ε]) =
l1([w, ε]) = l1([w, 1]) = [w, 1], se w ∈ Y ;
l2([w, ε]) = l2([α(tu), 0]) = [α(2tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 12;
l3([w, ε]) = l3([α(tu), 0]) = [h(u, 2t− 1), 1], se 12≤ t ≤ 1.
A prova de que l esta bem definida, e analoga ao que fizemos para provar que k esta bem
definida. Alem disso, a continuidade de l tambem prova-se de maneira analoga a prova
da continuidade de k.
Afirmacao 1. l k : Y ∪f1 eλ −→ Y ∪f1 eλ e homotopica a aplicacao identidade de Y ∪f1 eλ.Para provarmos a Afirmacao 1, devemos definir uma aplicacao H : Y ∪f1 eλ × [0, 1] −→Y ∪f1 eλ que satisfaz:
a) H e contınua;
b) H ([z, ε], 0) = (l k)([z, ε]), ∀ [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ.
c) H ([z, ε], 1) = (IdY ∪f1eλ)([z, ε]), ∀ [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ.
Antes de exibirmos a aplicacao H, explicitaremos l k, e para isso, analisaremos os se-
guintes casos. Seja [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ.
• z ∈ Y.(l k)([z, ε]) = l(k1([z, 1])) = l1([z, 1]) = [z, 1].
• z = α(tu), para um certo u ∈ Sλ−1 e 0 ≤ t ≤ 14.
Apendice B. Homotopia 79
(l k)([z, ε]) = (l k)([α(tu), 0)])
= l(k2([α(tu), 0]))(0 ≤ t ≤ 1
4
)= l([α(2tu), 0])
= l2([α(2tu), 0])(0 ≤ 2t ≤ 1
2
)= [α(4tu), 0].
• z = α(tu), para um certo u ∈ Sλ−1 e 14≤ t ≤ 1
2.
(l k)([z, ε]) = (l k)([α(tu), 0)])
= l(k2([α(tu), 0]))(
14≤ t ≤ 1
2
)= l([α(2tu), 0])
= l3([α(2tu), 0])(
12≤ 2t ≤ 1
)= [h(α(u), 4t− 1), 1].
• z = α(tu), para um certo u ∈ Sλ−1 e 12≤ t ≤ 1.
(l k)([z, ε]) = (l k)([α(tu), 0)])
= l(k3([α(tu), 0]))(
12≤ t ≤ 1
)= l([h(α(u), 2− 2t), 1])
= l1([h(α(u), 2− 2t), 1]) (h(α(u), 2− 2t) ∈ Y )
= [h(α(u), 2− 2t), 1] (Veja a definicao de l em Y ).
Assim, temos que
(l k)([z, ε]) =
(l k)1([z, ε]) = [z, 1], se z ∈ Y ;
(l k)2([z, ε]) = [α(4tu), 0], se z = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 14;
(l k)3([z, ε]) = [h(α(u), 4t− 1), 1], se z = α(tu) e 14≤ t ≤ 1
2;
(l k)4([z, ε]) = [h(α(u), 2− 2t), 1], se z = α(tu) e 12≤ t ≤ 1.
Agora, definamos H : Y ∪f1 eλ × [0, 1] −→ Y ∪f1 eλ por:
H([z, ε], s) =
H1([z, ε], s) = H1([z, 1], s)
= [z, 1], se z ∈ Y ;
H2([z, ε], s) = H2([α(tu), 0], s)
= [α((4− 3s)tu), 0], se z = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 14−3s ;
H3([z, ε], s) = H3([α(tu), 0], s)
= [h(α(u), t(4− 3s)− 1), 1], se z = α(tu) e 14−3s ≤ t ≤
2−s4−3s ;
H4([z, ε], s) = H4([α(tu), 0], s)
= [h(α(u), 12 (4− 3s)(1− t)), 1], se z = α(tu) e 2−s4−3s ≤ t ≤ 1.
A aplicacao H esta bem definida. De fato, para provarmos isso devemos mostrar que
Apendice B. Homotopia 80
i) H2 ≡ H3 quando t = 14−3s
.
ii) H3 ≡ H4 quando t = 2−s4−3s
.
iii) Se (z, ε) ∼ (z′, ε′), entao H([z, ε], s) = H([z′, ε′], s), com ε, ε′ ∈ 0, 1.
Prova i). Por um lado, temos
H2
([α
(u
(4− 3s)
), 0
], s
)=
[α
((4− 3s)
u
(4− 3s)
), 0
]= [α(u), 0].
Por outro lado, tem-se que
H3
([α
(u
4− 3s
), 0
], s
)=
[h
(α(u),
1
(4− 3s)(4− 3s)− 1), 1
])= [h(α(u), 0), 1]
= [f1(α(u)), 1] (Veja (B.1)).
Como (f1(α(u)), 1) ∼ (α(u), 0) temos o desejado.
Prova ii). Por um lado, temos
H3
([α
((2− s)u4− 3s
), 0
], s
)=
[h
(α(u),
(2− s)(4− 3s)
(4− 3s)− 1), 1
])= [h(α(u), 1− s), 1]
(B.9)
Por outro lado, tem-se que
H4
([α
((2− s)u4− 3s
), 0
], s
)=
[h
(α(u),
1
2(4− 3s)
(1−
((2− s)4− 3s
))), 1
]=
[h
(α(u),
1
2(4− 3s)− 1
2(2− s)
), 1
]=
[h
(α(u), 2− 3s
2− 1 +
s
2
), 1
]= [h(α(u), 1− s), 1]
(B.10)
Comparando (B.12) e (B.13) temos o desejado.
Prova iii). Para provar isso, vamos usar as classes de equivalencia do espaco quociente
Y ∪f1 eλ que foram descritas no capıtulo anterior. Analisaremos casos.
CASO 1: z ∈ (eλ − ∂eλ) ou z ∈ (Y − f1(∂eλ)).
Nesse caso, nao temos nada para fazer, pois [z, ε] = (z, ε).CASO 2: z ∈ ∂eλ.
Apendice B. Homotopia 81
Sabemos que
[z, 0] = (z, 0), (x, 0), (f1(z), 1); f1(z) = f1(x), x ∈ ∂eλ. (B.11)
Logo, qualquer [z′, ε′] ∈ Y ∪f1 eλ tal que (z, 0) ∼ (z′, ε′) deve-se ter (z′, ε′) ∈ [z, 0]. Agora,
como z ∈ ∂eλ tem-se que z = α(u), para um certo u ∈ Sλ−1. Disso, mais (B.1), segue-se
que
H([z, 0], s) = H4([α(u), 0], s) =[h(α(u), 1
2(4− 3s)(1− 1)
), 1]
= [h(α(u), 0), 1]
= [f1(α(u)), 1].
(B.12)
Obtemos de (B.1) e (B.11) que
H([x, 0], s) = H4([α(v), 0], s) =[h(α(v), 1
2(4− 3s)(1− 1)
), 1]
= [h(α(v), 0), 1]
= [f1(α(v)), 1]
= [f1(α(u)), 1],
(B.13)
onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Da definicao de H em Y tem-se que
H([f1(z), 1], s) = H1([f1(z), 1], s) = [f1(z), 1]. (B.14)
Comparando (B.12), (B.13) e (B.14) temos o desejado.
CASO 3: z ∈ f1(∂eλ) ⊆ Y.
Sabemos que
[z, 1] = (z, 1), (x, 0); f1(x) = z, x ∈ ∂eλ. (B.15)
Logo, qualquer [z′, ε′] ∈ Y ∪f1 eλ tal que (z, 1) ∼ (z′, ε′) deve-se ter (z′, ε′) ∈ [z, 1]. Da
definicao de H em Y segue-se que
H([z, 1], s) = H1([z, 1], s) = [z, 1] (B.16)
Agora, de (B.1) e (B.15) temos que
H([x, 0], s) = H4([α(v), 0], s) = [h(α(v), 0), 1] = [f1(α(v)), 1] = [z, 1], (B.17)
onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Comparando (B.16) e (B.17) temos o desejado.
Prova a). H e contınua.
E facil ver.
Prova b). Seja [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ. Se z ∈ Y segue imediatamente das definicoes de H e l k
Apendice B. Homotopia 82
que
H([z, ε], 0) = H1([z, 1], 0) = [z, 1] = (l k)([z, 1]). (B.18)
Agora, suponha z = α(tu) ∈ eλ, para um certo u ∈ Sλ−1 e t ∈ [0, 1]. Temos
H([α(tu), 0], 0) =
H2([α(tu), 0]) = [α(4tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 1
4 ;
H3([α(tu), 0]) = [h(α(u), 4t− 1), 1] , se 14 ≤ t ≤
12 ;
H4([α(tu), 0]) = [h(α(u), 2− 2t), 1] , se 12 ≤ t ≤ 1.
(B.19)
Comparando (B.18) e (B.19) com a definicao de lk, ve-se que H([z, ε], 0) = (lk)([z, ε]),
para todo [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ.
Prova c). Seja [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ. Se z ∈ Y segue imediatamente das definicoes de H e
IdY ∪f1eλque
H([z, ε], 1) = H1([z, 1], 1) = [z, 1] = IdY ∪f1eλ([z, 1]). (B.20)
Agora, suponha z = α(tu) ∈ eλ, para um certo u ∈ Sλ−1 e t ∈ [0, 1]. Temos
H([α(tu), 0], 1) =
H2([α(tu), 1]) = [α(tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 1;
H3([α(tu), 1]) = [h(α(u), t− 1), 1] = [h(α(u), 0), 1] , se 1 ≤ t ≤ 1;
H4([α(tu), 1]) =[h(α(u), 12 −
12 t), 1]
= [h(α(u), 0), 1] , se 1 ≤ t ≤ 1.
Como H esta bem definida tem-se que
H([α(tu), 0], 1) = H2([α(tu), 1]) = [α(tu), 0], com 0 ≤ t ≤ 1. (B.21)
Comparando (B.20) e (B.21) com a definicao de IdY ∪f1eλ, ve-se que
H([z, ε], 1) = (IdY ∪f1eλ)([z, ε]),
para todo [z, ε] ∈ Y ∪f1 eλ. Isso conclui a prova da Afirmacao 1.
Afirmacao 2. k l : Y ∪f2 eλ −→ Y ∪f2 eλ e homotopica a aplicacao identidade de Y ∪f2 eλ.Para provarmos a Afirmacao 2, devemos definir uma aplicacao G : Y ∪f2 eλ × [0, 1] −→Y ∪f2 eλ que satisfaz:
a) G e contınua;
b) G ([w, ε], 0) = (k l)([w, ε], ∀ [w, ε] ∈ Y ∪f2 eλ.
c) G ([w, ε], 1) = IdY ∪f2eλ([w, ε]) ∀ [w, ε] ∈ Y ∪f2 eλ.
Definimos G (de maneira similar a definicao de H), pondo:
Apendice B. Homotopia 83
G([w, ε], s) =
G1([w, ε], s) = G1([w, 1], s) = [w, 1], se w ∈ Y ;
G2([w, ε], s) = G2([α(tu), 0], s) = [α((4− 3s)tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 14−3s ;
G3([w, ε], s) = G3([α(tu), 0], s) = [h(α(u), 1− β1), 1], se 14−3s ≤ t ≤
2−s4−3s ;
G4([w, ε], s) = G4([α(tu), 0], s) = [h(α(u), 1− β2), 1], se 2−s4−3s ≤ t ≤ 1,
onde β1 = t(4− 3s)− 1 e β2 = 12(4− 3s)(1− t). Procedendo de maneira analoga ao que
fizemos na Afirmacao 1, temos o desejado. Isso conclui a prova da Afirmacao 2.
Lema B.7. Se uma aplicacao F tem uma inversa homotopica a esquerda L e uma inversa
homotopica a direita R, entao F e uma equivalencia de homotopia. Alem disso, tanto R
quanto L e uma inversa homotopica de F.
Demonstracao: Por hipotese temos as seguintes relacoes
L F ≈ IdL e F R ≈ IdR,
onde IdL e IdR sao as aplicacoes identidades correspondentes. Essas relacoes implicam
que
i) L (F R) F ≈ L IdR F = L F ≈ IdL; e
ii) L ≈ L (F R) = (L F ) R ≈ R.
Do item ii) obtemos
L F ≈ L (F R) F = (L F ) R F ≈ R F.
Pelo item i) segue-se que R F ≈ IdL, e portanto, R e uma inversa homotopica de F. De
maneira analoga, mostra-se que L e outra inversa homotopica de F.
Lema B.8. Seja ϕ : ∂eλ −→ Y uma aplicacao de colagem. Toda equivalencia de homo-
topia f : Y −→ Z se estende para uma equivalencia de homotopia
F : Y ∪ϕ eλ −→ Z ∪fϕ eλ.
Demonstracao: Nesta demonstracao denotaremos o espaco eλtZ por (eλ×0)∪ (Z×2). Usaremos essa notacao para evitar confusao com o espaco eλ tY, o qual denotamos
por (eλ×0)∪ (Y ×1). Alem disso, denotaremos um elemento y ∈ eλ por α(tu), para
um certo u ∈ Sλ−1 e para algum t ∈ [0, 1]. Dado ε ∈ 0, 1, definamos F pondo:
F ([y, ε]) =
F1([y, ε]) = F1([y, 1]) = [f(y), 2], se y ∈ Y ;
F2([y, ε]) = F2([α(tu), 0]) = [α(tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 1.
Apendice B. Homotopia 84
• F esta bem definida, isto e, se (y, ε) ∼ (y′, ε′), entao F ([y, ε]) = F ([y′, ε′]), com
ε, ε′ ∈ 0, 1.De fato, para provar isso, vamos usar as classes de equivalencia do espaco quociente
Y ∪ϕ eλ que foram descritas no capıtulo anterior. Analisaremos casos.
CASO 1: y ∈ (eλ − ∂eλ) ou y ∈ (Y − ϕ(∂eλ)).
Nesse caso, nao temos nada para fazer, pois [y, ε] = (y, ε).CASO 2: y ∈ ∂eλ.Sabemos que
[y, 0] = (y, 0), (x, 0), (ϕ(y), 1); ϕ(y) = ϕ(x), x ∈ ∂eλ. (B.22)
Logo, qualquer [y′, ε′] ∈ Y ∪ϕ eλ tal que (y, 0) ∼ (y′, ε′) deve-se ter (y′, ε′) ∈ [y, 0].
Agora, como y ∈ ∂eλ tem-se que y = α(u), para um certo u ∈ Sλ−1. Isso implica
que
F ([y, 0]) = F2([α(u), 0]) = [α(u), 0]. (B.23)
Por outro lado, temos
F ([x, 0]) = F2([α(v), 0]) = [α(v), 0] (B.24)
onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Da definicao de F em Y tem-se que
F ([ϕ(y), 1]) = F1([ϕ(y), 1]) = [f(ϕ(y)), 2]. (B.25)
Comparando (B.23), (B.24) e (B.25) temos o desejado.
CASO 3: y ∈ ϕ(∂eλ) ⊆ Y.
Sabemos que
[y, 1] = (y, 1), (x, 0); ϕ(x) = y, x ∈ ∂eλ. (B.26)
Logo, qualquer [y′, ε′] ∈ Y ∪ϕ eλ tal que (y, 1) ∼ (y′, ε′) deve-se ter (y′, ε′) ∈ [y, 1].
Da definicao de F em eλ segue-se que
F ([x, 0]) = F2([α(v), 0]) = [α(v), 0)], (B.27)
onde x = α(v), para um certo v ∈ Sλ−1. Agora, levando em conta a definicao de F
em Y e (B.26) segue-se que
F ([y, 1]) = F1([y, 1]) = [f(y), 2] = [f(ϕ(α(v))), 2]. (B.28)
Comparando (B.28) e (B.27) temos o desejado.
Apendice B. Homotopia 85
• F e contınua.
De fato, a prova e analoga a prova de que k e contınua (veja Lema B.6).
Sejam g : Z −→ Y uma homotopia inversa de f e
G : Z ∪fϕ eλ −→ Y ∪gfϕ eλ
a aplicacao definida por:
G([z, ε]) =
G1([z, ε]) = G1([z, 2] = [g(z), 1], se z ∈ Z;
G2([z, ε]) = G2[α(tu), 0] = [α(tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 1,
onde ε ∈ 0, 2.
• G esta bem definida;
De fato, a prova e analoga a prova de que F esta bem definida.
• G e contınua.
De fato, a prova e analoga a prova de que k e contınua.
Afirmacao 1. (g f ϕ) e homotopica a ϕ.
De fato, como f e equivalencia de homotopia e g e sua inversa homotopica, tem-se que
g f : Y −→ Y e homotopica a aplicacao IdY : Y −→ Y, isto e, existe h : Y × [0, 1] −→ Y
contınua que satisfaz
h(y, 0) = (g f)(y) e h(y, 1) = IdY (y) = y. (B.29)
Definamos h : ∂eλ × [0, 1] −→ Y pondo
h(x, r) := h(ϕ(x), r).
Uma vez que h e contınua, temos que h tambem e contınua. Alem disso, h satisfaz:
h(x, 0) = h(ϕ(x), 0) = g f(ϕ(x)) e h(x, 1) = h(ϕ(x), 1) = ϕ(x). (B.30)
Isso conclui a prova da Afirmacao 1.
Agora, considerando f1 = (g f ϕ) e f2 = ϕ no Lema B.6, segue-se que a
aplicacao
K : Y ∪gfϕ eλ −→ Y ∪ϕ eλ,
Apendice B. Homotopia 86
definida por
K([z, ε]) =
K1([z, ε]) = K1([z, 1]) = [z, 1], se z ∈ Y ;
K2([z, ε]) = K2([α(tu), 0]) = [α(2tu), 0], se 0 ≤ t ≤ 12;
K3([z, ε]) = K3([α(tu), 0]) =[h(α(u), 2− 2t), 1
]= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t), 1] , se 1
2≤ t ≤ 1,
onde ε ∈ 0, 1 e h e a homotopia entre (g f ϕ) e ϕ, e uma equivalencia de homotopia.
Afirmacao 2. K GF : Y ∪ϕeλ −→ Y ∪ϕeλ e homotopica a aplicacao identidade IdY ∪ϕeλ .
Para provarmos a Afirmacao 2, devemos definir uma aplicacao q : Y ∪ϕ eλ × [0, 1] −→Y ∪ϕ eλ que satisfaz:
1) q e contınua;
2) q ([y, ε], 0) = (K G F )([z, ε]), ∀ [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ;
3) q ([y, ε], 1) = IdY ∪ϕeλ([z, ε]), ∀ [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ;
Antes de exibirmos a aplicacao q, explicitaremos K G F, e para isso, analisaremos os
seguintes casos. Seja [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ, com ε ∈ 0, 1.
• y ∈ Y.(K G F )([y, ε]) = (K G)(F1([y, 1]))
= (K G)([f(y), 2])
= K(G1([f(y), 2]) (f(y) ∈ Z)
= K1([g(f(y)), 1]) (g(f(y)) ∈ Y )
= [g(f(y)), 1].
• y = α(tu), para algum u ∈ Sλ−1 e 0 ≤ t ≤ 12.
(K G F )([y, ε]) = (K G)(F2([α(tu), 0]))
= (K G)([α(tu), 0])
= K(G2([α(tu), 0])
= K([α(tu), 0])
= K2([α(tu), 0])
= [α(2tu), 0].
Apendice B. Homotopia 87
• y = α(tu), para algum u ∈ Sλ−1 e 12≤ t ≤ 1.
(K G F )([y, ε]) = (K G)(F2([α(tu), 0]))
= (K G)([α(tu), 0])
= K(G2([α(tu), 0])
= K([α(tu), 0])
= K3([α(tu), 0])
= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t), 1].
Assim, dado ε ∈ 0, 1, temos
(KGF )([y, ε]) =
(K G F )1([y, ε]) = (K G F )1([y, 1])
= [g(f(y)), 1], se y ∈ Y ;
(K G F )2([y, ε]) = (K G F )2([α(tu), 0])
= [α(2tu), 0], se y = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 12 ;
(K G F )3([y, ε]) = (K G F )3([α(tu), 0])
= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t), 1] , se y = α(tu) e 12 ≤ t ≤ 1,
Dado ε0, 1 vejamos que q : Y ∪ϕ eλ × [0, 1] −→ Y ∪ϕ eλ definida por
q([y, ε], s) =
q1([y, ε], s) = q1([y, 1], s) = [h(y, s), 1], se y ∈ Y ;
q2([y, ε], s) = q2([α(tu), 0], s) =
[α
(2tu
1 + s
), 0
], se y = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 1 + s
2;
q3([y, ε], s) = q3([α(tu), 0], s)
= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t+ s), 1], se y = α(tu) e1 + s
2≤ t ≤ 1,
e a homotopia procurada. Analogamente ao que ja fizemos, ve-se que q esta bem definida
e e contınua.
Prova 2). Seja [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ. Temos
q([y, ε], 0) =
q1([y, ε], 0) = q1([y, 1], 0)
= [h(y, 0), 1] = [(g f)(y), 1], se y ∈ Y ;
q2([y, ε], 0) = q2([α(tu), 0], 0) = [α (2tu) , 0] , se y = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 1
2;
q3([y, ε], 0) = q3([α(tu), 0], 0)
= [h(ϕ(α(u)), 2− 2t), 1], se y = α(tu) e1
2≤ t ≤ 1,
(B.31)
onde a igualdade [h(y, 0), 1] = [(g f)(y), 1] segue de (B.29). Comparando (B.31) com a
expressao explıcita de K G F dada acima, tem-se que
q ([z, ε], 0) = (K G F )([z, ε]), ∀ [z, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ.
Apendice B. Homotopia 88
Prova 3). Seja [y, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ. Temos
q([y, ε], 1) =
q1([y, ε], 1) = q1([y, 1], 1)
= [h(y, 1), 1] = [y, 1], se y ∈ Y ;
q2([y, ε], 1) = q2([α(tu), 0], 1)
=[α(
2tu1+1
), 0]
= [α(tu), 0], se y = α(tu) e 0 ≤ t ≤ 1;
(B.32)
onde a igualdade [h(y, 1), 1] = [y, 1] segue de (B.29). Comparando (B.32) com a definicao
de IdY ∪ϕeλ , tem-se que
q ([z, ε], 1) = IdY ∪ϕeλ([z, ε]), ∀ [z, ε] ∈ Y ∪ϕ eλ.
Isso conclui a prova da Afirmacao 2. Note que provamos na Afirmacao 2 que (K G) e
uma inversa homotopica a esquerda de F, isto e, (K G) F ≈ IdL1 , onde L1 = Y ∪ϕ eλ.Como
(K G) F = K (G F ),
segue-se que K (G F ) ≈ IdL1 , e portanto, (G F ) e uma inversa homotopica a direita
de K, mas sabemos que K e uma equivalencia de homotopia, logo K possui uma inversa
homotopica a esquerda. Pelo Lema B.7, segue-se que (G F ) e uma inversa homotopica
de K, donde (G F ) K ≈ Id. Como
(G F ) K = G (F K),
tem-se que G (F K) ≈ Id. Isso mostra que (F K) e uma inversa homotopica a direita
de G. Agora, uma demonstracao similar a que fizemos pra F, mostra que G possui uma
inversa a esquerda. Logo, pelo Lema B.7, segue-se que (F K) e uma inversa homotopica
de G, donde (F K) G ≈ Id. Como
(F K) G = F (K G),
tem-se que F (K G) ≈ Id, e portanto, (K G) e uma inversa homotopica a direita de
F. Como mostramos na Afirmacao 2, que (K G) e uma inversa homotopica a esquerda
de F, segue-se que F e uma equivalencia de homotopia.
Apendice C
Variedades
No que se segue o sımbolo m designara qualquer numero natural tal que m > 1,
exceto onde se deixar explıcito um sentido diferente. Assim como, M designara um espaco
topologico.
Definicao C.1. Uma carta de M de dimensao m e um par (U,ϕ) onde:
• U ⊆ Rm e um subconjunto aberto em Rm;
• ϕ : U →M e um homeomorfismo de U sobre o conjunto aberto ϕ(U) ⊆M , munido
da topologia induzida.
Se p ∈ ϕ(U), onde (U,ϕ) e uma carta de M , diz-se entao que (U,ϕ) e uma carta em p.
Definicao C.2. Um atlas de dimensao m e classe C∞ de M e uma colecao A =
(Uα, ϕα);α ∈ A de cartas de M de dimensao m e classe C∞ tal que:
•⋃α∈A
ϕα(Uα) = M ;
• para todos α, β ∈ A tais que ϕα(Uα) ∩ ϕβ(Uβ) 6= ∅, temos que
ϕ−1β ϕα : ϕ−1
α (ϕα(Uα) ∩ ϕβ(Uβ)) → ϕ−1β (ϕα(Uα) ∩ ϕβ(Uβ)) e um difeomorfismo de
classe C∞.
Sejam α, β ∈ A tais que ϕα(Uα) ∩ ϕβ(Uβ) 6= ∅. As aplicacoes da forma ϕ−1β ϕα sao
chamadas mudancas de coordenadas.
Definicao C.3. Dois atlas A e B de M de dimensao m e classe C∞ sao compatıveis
se A ∪ B e um atlas de M de dimensao m e classe C∞. Escrevemos entao A ∼ B.
Lema C.4. A relacao “∼” e uma relacao de equivalencia no conjunto dos atlas de di-
mensao m e classe C∞ de M .
89
Apendice C. Variedades 90
Demonstracao: A reflexividade e a simetria de ∼ sao obvias. Vamos mostrar que ∼ e
transitiva. Sejam A := (Uα, ϕα);α ∈ A, B := (Vβ, ψβ); β ∈ B e C := (Wλ, ξλ);λ ∈C tres atlas de M de dimensao m e classe C∞. Supondo que A ∼ B e B ∼ C devemos
mostrar que A ∼ C, i.e., que todas as mudancas de coordenadas da forma ξ−1λ ϕα e
ϕ−1α ξλ, com α ∈ A, λ ∈ C, sao de classe C∞. Por “simetria”, basta mostrar que todas
as aplicacoes ξ−1λ ϕα sao de classe C∞.
Seja p ∈M . Como A, B e C sao atlas de M existem ındices α ∈ A, β ∈ B e λ ∈ C e pontos
x, y, z ∈ Rn tais que p = ϕα(x) = ψβ(y) = ξλ(z). Definamos os seguintes conjuntos:
R1 := ϕ−1α
(ϕα(Uα) ∩ ψβ(Vβ) ∩ ξλ(Wλ)
)e R2 := ψ−1
β
(ϕα(Uα) ∩ ψβ(Vβ) ∩ ξλ(Wλ)
).
Os atlas A e B sendo compatıveis, temos que ψ−1β ϕα : ϕ−1
α
(ϕα(Uα) ∩ ψβ(Vβ)
)→
ψ−1β
(ϕα(Uα) ∩ ψβ(Vβ)
)e de classe C∞, e portanto, a sua restricao ao conjunto R1 e
de classe C∞ tambem. Analogamente, ξ−1λ ψβ |R2 e de classe C∞. Assim, ξ−1
λ ϕα∣∣R1
=(ξ−1λ ψβ
)∣∣R2(ψ−1β ϕα
)∣∣R1
e a composta de duas aplicacoes de classe C∞, e portanto,
e de classe C∞. O ponto p sendo arbitrario, concluımos que ξ−1λ ϕα e de classe C∞ no
conjunto ϕ−1α
(ϕα(Uα) ∩ ξλ(Wλ)
).
Dado um atlas A de M , denotamos por [A] := B;A e B sao atlas compatıveisa sua classe de equivalencia.
Exemplo C.5. (Espaco Euclidiano Rm). O par (Rm, IdRm) e obviamente uma uma
carta de Rm (munido da sua topologia natural) de dimensao m. Portanto, o conjunto
A := (Rm, IdRm) e um atlas de classe C∞ de Rm.
Considerando m = 1, o par (R, IdR) e uma carta de R, assim como (R, ϕ), onde ϕ : R→R, e dada por ϕ(t) := t3. Os conjuntos A = (R, IdR) e B = (R, ϕ) sao atlas de R,
mas nao sao atlas compatıveis, pois ϕ−1 nao e diferenciavel no ponto 0.
Definicao C.6. Uma variedade de dimensao m e classe C∞ e um par (M, [A]), onde
M e um espaco topologico de Hausdorff e [A] e a classe de equivalencia de um atlas de
dimensao m e classe C∞, a qual e chamada de estrutura diferenciavel de (M, [A]).
A definicao C.6 se generaliza para variedades de classe Ck, k ≥ 1, mas neste
trabalho nos restringimos em estudar apenas os resultados de variedade de classe C∞.
Entao a partir de agora evitaremos mencionar a classe de uma variedade. Alem disso,
escreveremos M em vez de (M, [A]) e Mm para indicarmos a dimensao de M .
Definicao C.7. Seja (M, [A]) uma variedade de dimensao m. Uma carta (U,ϕ) de di-
mensao m e classe C∞ do espaco topologico M e dita ser uma carta da variedade Mm
se A ∪ (U,ϕ) e um atlas de M de dimensao m e classe C∞.
Apendice C. Variedades 91
Observacao C.8. Seja (U,ϕ) uma carta da variedade (M, [A]). Dado um subconjunto
aberto V de U , verifica-se que (V, ϕ|V ) e uma carta da variedade M .
Exemplo C.9. Vejamos alguns exemplos de variedades.
• O espaco euclidiano Rm. E uma variedade de dimensao m em relacao ao atlas
A = (Rm, IdRm).
• Espaco vetorial real de dimensao finita. Seja E um espaco vetorial real de
dimensao finita m. Dada uma base B = e1, . . . , em de E, definamos
ϕB : Rm −→ E, (x1, . . . , xm) 7−→ x1e1 + · · ·+ xmem.
Claramente, ϕB e uma aplicacao linear bijetiva, e de acordo com o exemplo A.8, e
um homeomorfismo (relativamente as topologias naturais do Rm e E). Sendo assim,
A = (Rm, ϕB) e um atlas de E.
• Subconjuntos abertos. Todo subconjunto aberto U ⊆ M numa variedade Mm
e naturalmente uma variedade de dimensao m. Se A := (Uα, ϕα);α ∈ A e um
atlas que define a estrutura diferenciavel de M , entao verifica-se que o conjunto
A|U :=
(Uα, ϕα);α ∈ A
, onde
i) A := α ∈ A;ϕα(Uα) ∩ U 6= ∅ ;
ii) Uα := ϕ−1α
(ϕα(Uα) ∩ U
), α ∈ A;
iii) ϕα := ϕα|Uα : Uα −→ U, α ∈ A,
e um atlas de dimensao m no conjunto U .
Definicao C.10. Sejam Mm e Nn duas variedades e f : M → N uma aplicacao contınua.
Diz-se que f e de classe C∞ ou suave, se para toda carta (U,ϕ) de M e para toda
carta (V, ψ) de N tais que ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V )) 6= ∅, a aplicacao
ψ−1 f ϕ : ϕ−1(ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V ))→ Rn
e de classe C∞.
A composta ψ−1 f ϕ e chamada de expressao local de f nas cartas (U,ϕ) e (V, ψ).
Para provar que uma aplicacao entre variedades seja suave pela definicao acima
pode ser bastante trabalhoso. Existem outras maneiras de caracterizar a suavidade de
aplicacoes entre variedades. A seguir estao duas delas.
Apendice C. Variedades 92
Proposicao C.11. (Caracterizacao das aplicacoes C∞) Sejam Mm e Nn duas variedades
e f : M → N uma aplicacao (nao necessariamente contınua). As seguintes afirmacoes
sao equivalentes:
1. f e de classe C∞, isto e, e contınua e satisfaz as condicoes da definicao C.10.
2. Para todo ponto p ∈ M , existem uma carta (U,ϕ) de M em p e uma carta (V, ψ)
de N em f(p) tais que f(ϕ(U)
)⊂ ψ(V ) e ψ−1 f ϕ : U → Rn e de classe C∞.
Demonstracao: (1) ⇒ (2) Seja p ∈ M arbitrario. Escolhemos uma carta (U,ϕ) de
M em p e uma carta (V, ψ) de N em f(p). Como ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V )
)6= ∅, ja que
p pertence a esse conjunto, temos pelo fato de f ser de classe C∞ que a composta
ψ−1 f ϕ : ϕ−1(ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V ))
)→ Rn e de classe C∞.
Pela Observacao C.8, sabemos que o par (U , ϕ) e uma carta de M em p, onde
U = ϕ−1(ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V ))
)ϕ = ϕ|U .
E imediato verificar que f(ϕ(U)
)⊆ ψ(V ), e pela afirmacao (1), temos que ψ−1 f ϕ :
U → Rn e de classe C∞. Assim, (U , ϕ) e (V, ψ) satisfazem as condicoes da afirmacao (2).
(2) ⇒ (1) Primeiro, mostramos que f e contınua. Seja p ∈ M arbitrario e seja
O ⊆ N um conjunto aberto contendo o ponto f(p). Pela afirmacao (2), existem duas
cartas (U,ϕ) e (V, ψ) de M e N , respectivamente, tais que:
• p ∈ ϕ(U) e f(p) ∈ ψ(V );
• f(ϕ(U)
)⊂ ψ(V );
• ψ−1 f ϕ : U −→ Rn e de classe C∞.
Agora, ψ−1(O ∩ ψ(V )
)e um conjunto aberto em V contendo ψ−1
(f(p)
). Pela continui-
dade de ψ−1 f ϕ no ponto ϕ−1(p), existe um conjunto aberto W ⊆ U contendo ϕ−1(p)
e e tal que(ψ−1 f ϕ
)(W ) ⊆ ψ−1
(O∩ψ(V )
), donde f
(ϕ(W )
)⊆ O∩ψ(V ) ⊆ O. Como
ϕ(W ) e uma vizinhanca aberta de p, concluımos que f e contınua no ponto p. O ponto p
sendo arbitrario, concluımos que f : M −→ N e contınua.
Agora, verificaremos que todas as expressoes locais de f sao de classe C∞. Sejam entao
(U,ϕ) e (V, ψ) duas cartas de M e N , respectivamente, tais que ϕ(U) ∩ f−1(ψ(V )
)6= ∅.
Seja x ∈ ϕ−1(ϕ(U) ∩ f−1
(ψ(V )
))arbitrario. Vamos mostrar que existe uma vizinhanca
aberta de x em U na qual a aplicacao ψ−1 f ϕ e de classe C∞.
Pela afirmacao (2), existem duas cartas (U , ϕ), (V , ψ) de M e N , respectivamente, satis-
fazendo as condicoes da afirmacao (2) no ponto p = ϕ(x) (isto e, p ∈ ϕ(U), f(p) ∈ ψ(V ),
Apendice C. Variedades 93
f(ϕ(U)
)⊆ ψ(V ) e ψ−1 f ϕ : U −→ Rn e C∞).
Seja W ⊆ U o conjunto definido por:
W := ϕ−1(ϕ(U) ∩ ϕ(U) ∩ f−1
(ψ(V ) ∩ ψ(V )
)).
O fato de f ser contınua implica que W e aberto em U , e claramente, x ∈ W . Restringindo
ψ−1 f ϕ ao conjunto W , podemos escrever
ψ−1 f ϕ |W=(ψ−1 ψ
)(ψ−1 f ϕ
)(ϕ−1 ϕ
)∣∣W
(C.1)
Essa composta esta bem definida, pois:
i)(ϕ−1 ϕ
)(W ) = ϕ−1
(ϕ(U) ∩ ϕ(U) ∩ f−1
(ψ(V ) ∩ ψ(V )
))⊆ U , e
(ψ−1 f ϕ
)esta
bem definida em U .
ii)(ψ−1fϕ
) [(ϕ−1 ϕ
)(W )
]=(ψ−1fϕ
) [ϕ−1
(ϕ(U) ∩ ϕ(U) ∩ f−1
(ψ(V ) ∩ ψ(V )
))]=(ψ−1 f
)(ϕ(U) ∩ ϕ(U) ∩ f−1
(ψ(V ) ∩ ψ(V )
))⊆ ψ−1
(ψ(V ) ∩ ψ(V )
)e o conjunto
ψ−1(ψ(V ) ∩ ψ(V ) e o domınio da aplicacao ψ−1 ψ.
Assim, a composta (C.1) esta bem definida e e de classe C∞ (duas mudancas de coorde-
nadas e(ψ−1 f ϕ
)que e suave por hipotese). A proposicao segue.
Lema C.12. (Lema de colagem para aplicacoes suave) Sejam X e Y espacos topologicos
e seja Bii∈A uma cobertura de conjuntos abertos de X, isto e, X = ∪i∈ABi. Suponha que
para todo i a aplicacao Fi : Bi −→ Y seja suave e Fi|Bi∩Bj = Fj|Bi∩Bj para todo i, j ∈ A.Entao existe uma unica aplicacao suave F : X −→ Y, cuja restricao em cada Bi e igual
a Fi.
Demonstracao: Veja [7].
Nosso objetivo agora e definir a derivada de uma aplicacao entre variedades. Mas
antes disto precisamos dar algumas definicoes.
SejaMm uma variedade. Dado p ∈M definimosAp :=
(U,ϕ, u); (U,ϕ) uma carta
de M em p e u ∈ Rm.
Lema C.13. A relacao (U,ϕ, u) ∼p (V, ψ, v) se, e somente se, d(ψ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u) = v e
uma relacao de equivalencia em Ap.
Demonstracao: Reflexividade: Dada uma carta (U,ϕ) de M em p, temos que ϕ−1 ϕ =
IdU , donde, d(ϕ−1 ϕ
)ϕ−1(p)
(u) = d(IdU
)ϕ−1(p)
= IdRm(u) = u.
Simetria: Suponha que (U,ϕ, u) ∼p (V, ψ, v). Agora, ψ−1 ϕ : ϕ−1(ϕ(U) ∩ ψ(V )
)→
ψ−1(ϕ(U) ∩ ψ(V )
)e um difeomorfismo cuja inversa e ϕ−1 ψ, donde (ϕ−1 ψ) (ψ−1
ϕ) = Idϕ−1(ϕ(U)∩ψ(V )), o que implica, pela regra da cadeia, que d(ϕ−1 ψ)ψ−1(p)d(ψ−1
Apendice C. Variedades 94
ϕ)ϕ−1(p)(u) = u. Como por hipotese d(ψ−1 ϕ)ϕ−1(u) = v temos que d(ϕ−1 ψ)ψ−1(p)(v) =
u, o que mostra que (V, ψ, v) ∼p (U,ϕ, u).
Transitividade: Suponha que (U,ϕ, u) ∼p (V, ψ, v) e que (V, ψ, v) ∼p (W, ξ, w). Entao
temos que
d(ξ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u) = d(ξ−1 ψ ψ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u)
= d(ξ−1 ψ)ψ−1(p) · d(ψ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u)
= d(ξ−1 ψ)ψ−1(p)(v) = w.
A penultima e a ultima igualdade resultam da hipotese d(ψ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u) = v e d(ξ−1 ψ)ψ−1(p)(v) = w, respectivamente. Assim, d(ξ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u) = w e portanto, (U,ϕ, u) ∼p(W, ξ, w).
Definicao C.14. O espaco tangente de M no ponto p ∈ M e o quociente TpM :=
Ap/ ∼p.
Os elementos de TpM sao chamados vetores tangentes.
Denotamos por [U,ϕ, u]p a classe de equivalencia de (U,ϕ, u) em Ap.
Proposicao C.15. Sejam Mm uma variedade e p ∈ M . Entao, o espaco tangente TpM
possui uma estrutura canonica de espaco vetorial real.
Demonstracao: Sejam [U,ϕ, u]p, [U,ϕ, v]p dois vetores tangentes de TpM e λ um numero
real. Definimos em TpM as seguintes operacoes:
i) a adicao, [U,ϕ, u]p + [U,ϕ, v]p := [U,ϕ, u+ v]p ∈ TpM ;
ii) a multiplicacao por um escalar real, λ[U,ϕ, u]p = [U,ϕ, λu]p ∈ TpM.
Primeiro, vejamos que estas definicoes estao bem definidas. Seja (U , ϕ) uma outra
carta de M em p tal que (U,ϕ, u) ∼p (U , ϕ, u) e (U,ϕ, v) ∼p (U , ϕ, v). Devemos mostrar
que
i) (U,ϕ, u+ v) ∼p (U , ϕ, u+ v), isto e, d(ϕ−1 ϕ
)ϕ−1(p)
(u+ v) = u+ v; e
ii) (U,ϕ, λu) ∼p (U , ϕ, λu), isto e, d(ϕ−1 ϕ
)ϕ−1(p)
(λu) = λu.
Mas aplicando a propriedade de linearidade da derivada no primeiro membro das duas
igualdade acima segue o resultado.
Verifica-se sem nenhuma dificuldade que as operacoes assim definidas satisfazem os axio-
mas de um espaco vetorial.
Seja (U,ϕ) uma carta de Mm. Como ϕ−1 e uma aplicacao de ϕ(U) para U ⊂Rm, existem m-funcoes x1, . . . , xm : ϕ(U) → R tais que para todo q ∈ ϕ(U), ϕ(q) =
Apendice C. Variedades 95
(x1(q), . . . , xm(q)). As funcoes x1, . . . , xm sao chamadas as coordenadas locais da
carta (U,ϕ).
Seja e1, . . . , em a base canonica de Rm e seja (U,ϕ) uma carta de M em p com
coordenadas locais x1, . . . , xm. Dado i = 1, . . . ,m, usaremos a seguinte notacao:
∂
∂xi
∣∣∣∣p
:= [U,ϕ, ei]p.
O lema a seguir nos dara uma base do espaco tangente de uma variedade Mm em
um ponto p ∈M . Em particular, veremos que a dimensao de TpM e m.
Lema C.16. Seja (U,ϕ) uma carta de Mm com coordenadas locais x1, . . . , xm. Entao,
para todo p ∈ ϕ(U), os vetores∂
∂x1
∣∣∣∣p
, . . . ,∂
∂xm
∣∣∣∣p
formam uma base de TpM .
Demonstracao: Primeiro, vejamos que os vetores ∂∂x1
∣∣p, . . . , ∂
∂xm
∣∣p
sao linearmente in-
dependente. Sejam α1, . . . αm numeros reais e seja e1, . . . em a base canonica de Rm.
Entao, supondo que∑m
i=1 αi∂∂xi
∣∣p
= 0, temos
m∑i=1
αi∂
∂xi
∣∣∣∣p
=
[U,ϕ,
m∑i
αiei
]p
= [U,ϕ, 0]p.
Ou seja,∑m
i=1 αiei = 0, pois 0 = d(ϕ−1 ϕ
)ϕ−1(p)
(∑m
i=1 αiei) = d(Id)ϕ−1(p) (∑m
i=1 αiei) =∑mi=1 αiei. Logo, deve-se ter αi = 0 para todo i = 1, . . . ,m, e portanto, segue o resultado.
Agora, mostremos que o conjunto B =
∂∂x1
∣∣p, . . . , ∂
∂xm
∣∣p
gera TpM , isto e, todo
vetor tangente e combinacao linear dos elementos do conjunto B.
Seja [U,ϕ, u]p ∈ TpM . Como u ∈ Rm, existem λ1, . . . , λm tais que u =∑m
i=1 λiei. Daı,
[U,ϕ, u]p =m∑i=1
λi[U,ϕ, ei]p =m∑i=1
λi∂
∂xi
∣∣∣∣p
.
No proximo exemplo vamos descrever o espaco tangente em um ponto arbitrario
de um espaco vetorial de dimensao finita, visto como variedade.
Exemplo C.17. Seja E um espaco vetorial de dimensao finita m e seja V ⊆ E um
subconjunto aberto. Seja B = e1, . . . , em uma base de E. Sabemos que A = (Rm, ϕB)e um atlas de E (visto como variedade), onde
ϕB : Rm −→ E, (x1, . . . , xm) 7−→ x1e1 + · · ·+ xmem.
Apendice C. Variedades 96
Sabemos tambem que V sendo um aberto em E, ele e naturalmente uma variedade (veja
exemplo C.9). Uma carta global de V e dada por (UB, ψB), onde:
• UB = ϕ−1B (V );
• ψB : UB 7−→ V, ψB := ϕB|UB .
Dado p ∈ V , definamos a aplicacao linear bijetiva gB : TpV −→ Rm por
gB([UB, ψB, v]p
):= v;
onde v ∈ Rm. Logo, TpV e Rm sao espacos isomorfos.
Exemplo C.18. Um caso particular do exemplo acima e quando E = R e V = I ⊆ Re um intervalo aberto. Neste caso, o vetor de TtI correspondente ao vetor 1 ∈ R pela
identificacao TtI ∼= R e denotado por ∂t.
Lema C.19. Dadas duas bases B e B de E, temos que ϕB gB = ϕB gB.
Demonstracao: Primeiro, mostremos que gB (gB)−1 = ϕ−1B ϕB. Dado u ∈ Rm, temos
que
gB (gB)−1(u) = gB([UB, ψB, u]p
)= gB
([UB, ψB, d
(ψ−1B ψB
)(u)]p
)= d
(ψ−1B ψB
)ψB(p)
(u),
e como ψ−1B ψB e a restricao a um conjunto aberto da aplicacao linear ϕ−1
B ϕB, concluımos
que
gB (gB)−1(u) = ϕ−1B ϕB(u),
como haverıamos afirmado. Assim,
ϕB gB =(ϕB gB
)(g−1
B gB)
= ϕB (gB g−1
B
) gB
= ϕB (ϕ−1B ϕB
) gB
=(ϕB ϕ−1
B)(ϕB gB
)= ϕB gB.
Observacao C.20. O lema anterior diz que a aplicacao
ϕB gB : TpV −→ E
Apendice C. Variedades 97
e independente da escolha da base B. Assim, a identificacao TpV ∼= E (por meio de
ϕB gB) e natural. No que se segue identificaremos estes dois espacos sem fazer mais
comentarios.
Definicao C.21. Sejam M e N duas variedades e seja f : M → N uma aplicacao suave.
A derivada de f no ponto p ∈M e a aplicacao linear
dfp : TpM → Tf(p)N
definida por
dfp([U,ϕ, u]p
):=[V, ψ, d
(ψ−1 f ϕ
)ϕ−1(p)
(u)]f(p)
,
onde (U,ϕ) e carta de M em p e (V, ϕ) e carta de N em f(p).
Lema C.22. A aplicacao linear dfp : TpM → Tf(p)N esta bem definida.
Demonstracao: Sejam (U , ϕ, u) ∈ [U,ϕ, u]p e (V , ψ) uma carta de N em f(p). Devemos
mostrar que
(V, ψ, d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u)
)∼p(V , ψ, d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u)
),
isto e,
d(ψ−1 ψ)ψ−1(f(p))d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u) = d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u). (C.2)
Desenvolvendo o segundo membro da igualdade (C.2) temos
d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u) = d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)
(d(ϕ−1 ϕ)ϕ−1(p)(u)
)= d
((ψ−1 f ϕ
)(ϕ−1 ϕ
))ϕ−1(p)
(u)
= d(ψ−1 f ϕ
)ϕ−1(p)
(u)
= d(ψ−1 ψ)ψ−1(f(p))d(ψ−1 f ϕ)ϕ−1(p)(u).
A primeira igualdade segue do fato da hipotese de (U , ϕ, u) ∼ (U,ϕ, u). Ja a segunda e a
ultima igualdade usamos a regra da cadeia. O resultado segue.
Exemplo C.23. Seja Mm uma variedade e seja U ⊆ M um subconjunto aberto de M .
Relembramos que U e naturalmente uma variedade de dimensao m e que se (V, ψ) e uma
carta de M tal que ψ(V ) ⊆ U , entao o par (V , ψ), ondeV = V,
ψ : V −→ U, p 7−→ ψ(p),
Apendice C. Variedades 98
e uma carta de U .
Afirmamos que a aplicacao inclusao i : U −→ M e suave, e que para todo p ∈ U ,
dip : TpU −→ TpM e uma bijecao. Para ver que i e suave, tome um ponto p ∈ U
arbitrario, e uma carta (V, ψ) de M tal que ψ(V ) ⊆ U. Temos entao que (V , ψ) e uma
carta de U em p tal que i(ψ(V )) ⊆ ψ(V ), e claramente, (ψ)−1 i ψ : V −→ V e suave,
pois e igual a aplicacao identidade de V . Isso mostra que i e suave.
Agora, a derivada de i num ponto p ∈ U e a aplicacao
dip : TpU −→ TpM, [V , ψ, v]p 7−→ [V, ψ, (dIdV )p(v)]p = [V, ψ, v]p.
Claramente e injetiva, e por causa das dimensoes (dim TpU = dimTpM), e tambem
bijetiva. Assim podemos identificar TpU e TpM por meio de dip : TpU −→ TpM.
Exemplo C.24. Seja Mm uma variedade e p ∈M . Considere (U,ϕ) uma carta de M em
p com coordenadas locais x1, . . . , xm. Denotamos por B = e1, . . . , em a base canonica
de Rm e por f = ϕBgB : Tϕ−1(p)U −→ Rm a bijecao descrita na Observacao C.20. Entao,
para todo i = 1, . . . ,m,
(dip dϕϕ−1(p) f−1
)(ei) =
∂
∂xi
∣∣∣∣p
.
Com efeito, usando a notacao do lema C.19, temos que:
(dip dϕϕ−1(p) f−1
)(ei) =
(dip dϕϕ−1(p)
)([UB, ψB, ei]ϕ−1(p)
)= d(i ϕ)ϕ−1(p)
([UB, ψB, ei]ϕ−1(p)
)=
[U,ϕ, d
(ϕ−1 i ϕ
)ϕ−1(p)
ei]p
=[U,ϕ, d(IdU)ϕ−1(p)ei
]p
= [U,ϕ, Id(ei)]p
= [U,ϕ, ei]p
= ∂∂xi
∣∣p.
Ao identificar os espacos Tϕ−1(p)U e Rm por meio de f e Tpϕ(U) e TpM por meio de dip,
podemos entao escrever:
dϕϕ−1(p)(ei) =∂
∂xi
∣∣∣∣p
.
Observacao C.25. Nesse texto, usamos livremente as identificacoes descritas nos exem-
plos C.23 e C.24.
Exemplo C.26. Seja Mm uma variedade. Definimos uma curva em M como sendo
a aplicacao contınua γ : I −→ M, onde I ⊆ R e um intervalo aberto. Dada uma curva
Apendice C. Variedades 99
suave γ : I −→ M e t0 ∈ I, definimos o vetor velocidade de γ em t0, denotado por
γ′(t0), como sendo o vetor
γ′(t0) = dγt0(1),
onde 1 ∈ R ∼= Tt0I (veja Exemplo C.18).
Exemplo C.27. Sejam U ⊆ Rm e V ⊆ Rn dois conjuntos abertos e f : U −→ V uma
aplicacao. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:
a) f e de classe C∞ no sentido da Definicao C.10 (vista como aplicacao entre varie-
dades)
b) f e de classe C∞ no sentido classico (vista como aplicacao entre abertos de dois
espacos vetoriais).
Neste caso, a derivada de f, como definida na Definicao C.21, se identifica com a deri-
vada de f no sentido usual por meio da identificacao da Observacao C.20.
Com efeito, a equivalencia segue imediatamente da Proposicao C.11 considerando as car-
tas (U, IdU) e (V, IdV ) de U e V, respectivamente.
Para provar a segunda parte sejam B1 e B2 bases de Rm e Rn, respectivamente, e seja
p ∈ U. Sabemos que (U, IdU) e (V, IdV ) sao cartas de U e V em p e f(p), respectivamente.
Alem disso, pelo Exemplo C.17 sabemos que as aplicacoes
gB1 : TpU −→ Rm, [U, IdU , u]p 7−→ u e
gB2 : Tf(p)V −→ Rn, [V, IdV , v]f(p) 7−→ v,
sao isomorfismos. Agora seja dfp : TpU −→ Tf(p)V derivada de f no ponto p como
definida na Definicao C.21 e denotamos por Dfp a derivada classica de f no ponto p.
Dado u ∈ Rm, temos que
(gB2 dfp g−1
B1
)(u) = (gB2 dfp)([U, IdU , u]p)
= gB2( [V, IdV , D(Id−1
V f IdU)p(u)]f(p)
)= gB2
([V, IdV , Dfp(u)]f(p)
)= Dfp(u).
Em sıntese temos o seguinte diagrama
TpUdfp //
gB1
Tf(p)V
gB2
RmDfp
// Rn
Apendice D
Matriz Hessiana
Seja f : M → R uma funcao suave em uma variedade suave M de dimensao
m. Lembramos que um ponto crıtico de f e um ponto p ∈ M tal que a diferencial
dfp : TpM → R e nula.
Para cada ponto crıtico p ∈ M de f , definimos uma forma bilinear simetrica
Hessp(f) em TpM como segue. Tome uma carta (U,ϕ) em p e para u, v ∈ TpM , defina
Hessp(f)(u, v) = d2(f ϕ)(ϕ−1(p))dϕ−1p (u), dϕ−1
p (v),
onde d2(f ϕ)(ϕ−1(p)) denota a segunda derivada da funcao f ϕ no ponto ϕ−1(p).
Lema D.1. Sejam (U,ϕ), (V, ψ) duas cartas de M em p, com coordenadas locais x1, . . . , xme y1, . . . , ym, respectivamente. Entao vale
ui =m∑j=1
uj∂(ϕ−1 ψ)i
∂yj
(ψ−1(p)
),
onde u =m∑i=1
ui∂
∂xi
∣∣∣∣p
=m∑j=1
uj∂
∂yj
∣∣∣∣p
∈ TpM , com ui, uj ∈ R para todos i, j = 1, . . . ,m.
Demonstracao: Seja e1, . . . , em a base canonica de Rm. Por definicao temos que
(V, ψ, ej) ∼(U,ϕ, d
(ϕ−1 ψ
)ψ−1(p)
ej)
e ainda que∂
∂yj
∣∣∣∣p
= [V, ψ, ej]p. Agora,
d(ϕ−1 ψ
)ψ−1(p)
ej =m∑i=1
∂(ϕ−1 ψ
)i
∂yj
(ψ−1(p)
)ei.
De acordo com as operacoes que munimos TpM introduzidas na demonstracao da pro-
posicao C.15 vem que
100
Apendice D. Matriz Hessiana 101
∂
∂yj
∣∣∣∣p
=[U,ϕ, d
(ϕ−1 ψ
)ψ−1(p)
ej
]p
=m∑i=1
∂(ϕ−1 ψ
)i
∂yj
(ψ−1(p)
)[U,ϕ, ei]p
=m∑i=1
∂(ϕ−1 ψ
)i
∂yj
(ψ−1(p)
) ∂∂xi
∣∣∣∣p
Entao temos
m∑i=1
ui∂
∂xi
∣∣∣∣p
=m∑j=1
uj∂
∂yj
∣∣∣∣p
=m∑j=1
uj
m∑i=1
∂(ϕ−1 ψ
)i
∂yj
(ψ−1(p)
) ∂∂xi
∣∣∣∣p
=m∑i=1
(m∑j=1
uj∂(ϕ−1 ψ
)i
∂yj
(ψ−1(p)
)) ∂
∂xi
∣∣∣∣p
Pela unicidade dos coeficientes numa mesma base segue-se que
ui =m∑j=1
uj∂(ϕ−1 ψ
)i
∂yj
(ψ−1(p)
)
Lema D.2. Sejam M uma variedade suave de dimensao m, f : M → R uma funcao
suave e p ∈ M um ponto crıtico de f . A forma bilinear Hessp(f) esta bem definida (i.e.
a definicao de Hessp(f) nao depende da escolha da carta em p).
Demonstracao: Sejam (U,ϕ), (V, ψ) duas cartas de M em p, com coordenadas locais
x1, . . . , xm e y1, . . . , ym, respectivamente. Dados u, v ∈ TpM devemos mostrar que
d2(f ϕ)(ϕ−1(p))dϕ−1p (u), dϕ−1
p (v) = d2(f ψ)(ψ−1(p))dψ−1p (u), dψ−1
p (v).
Como u, v ∈ TpM , existem numeros reais ui, vj, vk, ul, com i, j, k, l = 1, . . . ,m, tais que
u =
m∑i=1
ui∂
∂xi
∣∣∣∣p
=m∑l=1
ul∂
∂yl
∣∣∣∣p
,
v =
m∑j=1
vj∂
∂xj
∣∣∣∣p
=
m∑k=1
vk∂
∂yk
∣∣∣∣p
.
Seja e1, . . . , em a base canonica de Rm. Levando em conta as relacoes ∂∂xi|p= dϕϕ−1(p)(ei)
(veja Exemplo C.24), temos que
Apendice D. Matriz Hessiana 102
d2(f ϕ)ϕ−1(p)
(dϕ−1
p (u), dϕ−1p (v)
)= d2(f ϕ)ϕ−1(p)
( m∑i=1
uiei,m∑j=1
vjej
)=
m∑i,j=1
uivjd2(f ϕ)ϕ−1(p)(ei, ej)
=m∑
i,j=1
uivj∂2(f ϕ)
∂xi∂xj(ϕ−1(p)).
Note que a penultima igualdade decorre do fato da aplicacao d2(f ϕ)ϕ−1(p) ser bilinear e
a ultima segue da definicao da segunda derivada. Alem disso, ∂∂xi
(∂(fϕ)∂xj
) = ∂2(fϕ)∂xi∂xj
denota
a entrada ij da matriz Hessiana usual. Procedendo de maneira analoga obtemos que
d2(f ψ)ψ−1(p)(dψ−1p (u), dψ−1
p (v)) =m∑
k,l=1
ulvk∂2(f ψ)
∂yl∂yk(ψ−1(p)).
Entao de acordo com o que fizemos anteriormente devemos provar que
m∑i,j=1
uivj∂2(f ϕ)
∂xi∂xj(ϕ−1(p)) =
m∑k,l=1
ulvk∂2(f ψ)
∂yl∂yk(ψ−1(p)).
Primeiro, vamos provar a seguinte igualdade:
∂2(f ϕ)
∂xj∂xi(ϕ−1(p)) =
m∑k,l=1
∂2(f ψ)
∂yk∂yl(ψ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)l
∂xj(ϕ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)k
∂xi(ϕ−1(p)).
Por hipotese tem-se que f e ϕ sao funcoes suaves, e portanto, de acordo com a Definicao
C.10 segue que f ϕ e suave. Daı juntamente com a regra da cadeia, temos entao
∂(f ϕ)
∂xi(ϕ−1(p)) =
∂(f ψ ψ−1 ϕ)
∂xi(ϕ−1(p))
= d(f ψ ψ−1 ϕ)(ϕ−1(p))(ei)
=m∑k=1
∂(f ψ)
∂yk(ψ−1 ϕ)(ϕ−1(p))
∂(ψ−1 ϕ)k∂xi
(ϕ−1(p)).
E portanto, vale
∂(f ϕ)
∂xi=
m∑k=1
∂(f ψ)
∂yk (ψ−1 ϕ) · ∂(ψ−1 ϕ)k
∂xi.
Com isso temos que:
Apendice D. Matriz Hessiana 103
∂2(f ϕ)
∂xj∂xi=
m∑k=1
∂
∂xj
(∂(f ψ)
∂yk (ψ−1 ϕ) · ∂(ψ−1 ϕ)k
∂xi
)=
m∑k=1
[∂
∂xj
(∂(f ψ)
∂yk (ψ−1 ϕ)
)· ∂(ψ−1 ϕ)k
∂xi
+∂(f ψ)
∂yk (ψ−1 ϕ) · ∂
∂xj
(∂(ψ−1 ϕ)k
∂xi
)]=
m∑k=1
[(m∑l=1
∂2(f ψ)
∂yk∂yl (ψ−1 ϕ) · ∂(ψ−1 ϕ)l
∂xj
)· ∂(ψ−1 ϕ)k
∂xi
+∂(f ψ)
∂yk (ψ−1 ϕ) · ∂
2(ψ−1 ϕ)k∂xj∂xi
].
Como p e ponto crıtico∂(f ψ)
∂yk(ψ−1(p)) = 0. Portanto,
∂2(f ϕ)
∂xj∂xi(ϕ−1(p)) =
m∑k,l=1
∂2(f ψ)
∂yk∂yl(ψ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)l
∂xj(ϕ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)k
∂xi(ϕ−1(p)).
De acordo com a igualdade do Lema D.1 temos
ui =
m∑a=1
ua ·∂(ϕ−1 ψ)i
∂yae vj =
m∑b=1
vb ·∂(ϕ−1 ψ)j
∂yb.
Daı, segue que
m∑i,j=1
uivj∂2(f ϕ)
∂xi∂xj(ϕ−1(p)) =
m∑i,j=1
m∑a=1
ua∂(ϕ−1 ψ)i
∂ya(ψ−1(p))
m∑b=1
vb∂(ϕ−1 ψ)j
∂yb(ψ−1(p))
m∑k,l=1
∂2(f ψ)
∂yk∂yl(ψ−1(p))
∂(ψ−1 ϕ)l∂xj
(ϕ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)k∂xi
(ϕ−1(p))
=
m∑i,j,a,b,k,l=1
(uavb
∂2(f ψ)
∂yk∂yl(ψ−1(p)) · ∂(ϕ−1 ψ)i
∂ya(ψ−1(p))·
∂(ψ−1 ϕ)k∂xi
(ϕ−1(p)) · ∂(ϕ−1 ψ)j∂yb
(ψ−1(p)) · ∂(ψ−1 ϕ)l∂xj
(ϕ−1(p))
)=
m∑a,b,k,l=1
(uavb
∂2(f ψ)
∂yk∂yl(ψ−1(p))
m∑i=1
∂(ϕ−1 ψ)i∂ya
(ψ−1(p))·
∂(ψ−1 ϕ)k∂xi
(ϕ−1(p))
m∑j=1
∂(ϕ−1 ψ)j∂yb
(ψ−1(p))∂(ψ−1 ϕ)l
∂xj(ϕ−1(p))
=
m∑a,b,k,l=1
(uavb
∂2(f ψ)
∂yk∂yl(ψ−1(p))
∂
∂ya
((ψ−1 ϕ
)k ϕ−1 ψ
)·
∂
∂yb
((ψ−1 ϕ
)l ϕ−1 ψ
))
Apendice D. Matriz Hessiana 104
m∑i,j=1
uivj∂2(f ϕ)
∂xi∂xj(ϕ−1(p)) =
m∑a,b,k,l=1
(uavb
∂2(f ψ)
∂yk∂yl(ψ−1(p))
∂
∂ya(πk)
∂
∂yb(πl)
)
=
m∑a,b,k,l=1
(uavb
∂2(f ψ)
∂yk∂yl(ψ−1(p)) · δak · δbl
)
=
m∑k,l=1
ukvl∂2(f ψ)
∂yk∂yl(ψ−1(p)),
onde πk : Rm −→ R, definida por (v1, . . . , vk, . . . , vm) 7−→ vk.
Apendice E
Campos de Vetores e Derivacoes
Seja M uma variedade suave de dimensao m. Denotaremos por TM a uniao
disjunta
TM =⋃p∈M
(p × TpM
)e denotaremos por π a aplicacao:
π : TM −→ M
(p, v) 7−→ p,
chamada aplicacao canonica de TM . O conjunto TM e chamado o fibrado tangente
de M .
Observacao E.1.
a) Habitualmente, identificamos p × TpM com TpM .
b) TM e naturalmente uma variedade de dimensao 2m. Se (U,ϕ) e uma carta de M
com coordenadas locais x1, . . . , xm, entao o par (U , ϕ), onde
• U = U × Rm;
• ϕ : U −→ TM, (q, u = (u1, . . . , um)) 7−→ u1∂∂x1
∣∣ϕ(q)
+ · · ·+ um∂
∂xm
∣∣ϕ(q)
,
e uma carta de TM.
Definicao E.2. Um campo de vetores em M e uma aplicacao suave X : M −→ TM
satisfazendo X(p) ∈ TpM para todo p ∈M .
Observacao E.3.
a) Dado um campo de vetores X : M −→ TM , escreve-se habitualmente Xp em vez de
X(p).105
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 106
b) O espaco dos campos de vetores em M , denotado por X(M), e naturalmente um
espaco vetorial.
Denotaremos por C∞(M) o conjunto das funcoes f : M −→ R de classe C∞.
Note que C∞(M) e naturalmente um espaco vetorial real.
Definicao E.4. Seja p ∈ M . Uma derivacao no ponto p e uma aplicacao R-linear
Dp : C∞(M) −→ R que cumpre a seguinte condicao
Dp(fg) = f(p)Dp(g) +Dp(f)g(p)
para todas f, g ∈ C∞(M).
O conjunto das derivacoes em p e denotado por Der(M, p). E naturalmente um
espaco vetorial real.
Exemplo E.5. Seja p ∈M . Todo elemento v ∈ TpM define uma derivacao em p, a qual
denotamos tambem por v, atraves da formula:
v(f) := d(f ϕ)ϕ−1(p)(u), (E.1)
onde (U,ϕ) e qualquer carta de M em p e u ∈ Rm sao tais que [U,ϕ, u]p = v. Esta
definicao e independente do representante de v usado. Com efeito, sejam (U,ϕ) e (V, ψ)
duas cartas de M em p e sejam u1, u2 ∈ Rm tais que (U,ϕ, u1) vp (V, ψ, u2), isto e,
d(ψ−1 ϕ
)ϕ−1(p)
(u1) = u2. Pela regra da cadeia, temos entao que:
d(f ψ)ψ−1(p)(u2) = d(f ψ)ψ−1(p)d(ψ−1 ϕ
)ϕ−1(p)
(u1) = d(f ϕ)ϕ−1(p)(u1).
Exemplo E.6. Um caso particular do exemplo acima e quando v e da forma v =
[U,ϕ, ei] = ∂∂xi
∣∣p∈ TpM (o i-esimo vetor tangente associado as coordenadas locais x1, . . . ,
xm de uma carta (U,ϕ) de M em p). Neste caso, a formula (E.1) reescreve-se como:
∂
∂xi
∣∣∣∣p
(f) :=∂(f ϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
).
Exemplo E.7. Dado um campo de vetores X ∈ X(M) e uma funcao f ∈ C∞(M),
definamos uma nova funcao X(f) : M −→ R pondo:
X(f)(p) := Xp(f),
onde Xp ∈ TpM esta interpretado como um elemento de Der(M, p) (veja E.6). Mostra-se
que X(f) e uma funcao suave (veja E.17).
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 107
Exemplo E.8. Para toda funcao de valores reais suave, f : M −→ R em uma variedade
Riemanniana (M, g) com ou sem bordo, definimos o campo de vetor chamado o gradiente
de f como sendo o unico campo de vetores que satisfaz
〈grad f,X〉g = Xf
para todo campo de vetor X ∈ X(M).
Lema E.9. (Bump functions) Para todo ε > 0, existe uma funcao β : Rm −→ R de classe
C∞ tal que 0 ≤ β(x) ≤ 1, para todo x ∈ Rm e
β(x) =
1, se ‖ x ‖< 1;
0, se ‖ x ‖≥ 1 + ε,
onde ‖ . ‖ e a norma euclidiana.
Demonstracao: Seja φ : R −→ R a aplicacao definida por:
φ(t) :=
exp
−1(t−a)(b−t)
, se a < t < b;
0, caso contrario.
Mostra-se que φ e uma aplicacao de classe C∞. Integrando φ e normalizando o resultado,
obtemos uma outra funcao:
θ : R −→ R, t 7−→
∫ t
−∞φ(s)ds∫ ∞
−∞φ(s)ds
,
de classe C∞ que satisfaz:
• θ(t) = 0, se t 6 a,
• θ(t) = 1, se t > b.
Suponha a = 1 e b = (1+ε)2. A funcao η(t) = 1−θ(t) e de classe C∞ e e identicamente nula
para t > (1 + ε)2 e igual a 1 quando t 6 1. Finalmente, a funcao Rm −→ R, x 7−→ ‖x‖2
sendo suave, e claro que β(x) = η(‖x‖2
)tambem e suave e tem as propriedades desejadas.
O resultado segue.
Lema E.10. Seja Dp ∈ Der(M, p).
a) Sejam f, g ∈ C∞(M). Suponha que exista um conjunto aberto U ⊆M contendo p e
tal que f ≡ g em U. Entao, Dp(f) = Dp(g);
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 108
b) Se f ∈ C∞(M) e constante, entao Dp(f) = 0.
Demonstracao: Suponha que exista U aberto contendo p tal que f ≡ g em U. Seja (V, ψ)
uma carta de M em p. Usando uma translacao e dilatacao (ou homotetia), se necessario,
podemos supor que:
• ψ(V ) ⊆ U ;
• ψ−1(p) = 0;
• B(0, 2) ⊂ V, onde B(0, 2) = x ∈ Rm; ‖x‖ < 2.
Seja tambem β : Rm −→ R uma bump function, com
• 0 ≤ β(x) ≤ 1 para todo x ∈ Rm;
• β(x) =
1, se ‖x‖ < 1
0, se ‖x‖ ≥ 32.
Definimos B : M −→ R como
B(q) :=
(β ψ−1)(q), se q ∈ ψ(V );
0, caso contrario.
Afirmamos que B e de classe C∞. Com efeito, dado q ∈ M, temos duas possibilidades:
q ∈ ψ(B[0, 3/2]) ou q ∈ W := M − ψ(B[0, 3/2]), onde B[0, 3/2] = x ∈ Rm; ‖x‖ ≤ 3/2denota a bola fechada centrada no ponto 0 do espaco Rm e de raio 3/2.
CASO 1: q ∈ ψ(B[0, 3/2]).
Neste caso, q ∈ ψ(V ), e B ψ = β ψ−1 ψ = β : V −→ R e de classe C∞. Logo B e
suave em qualquer ponto q ∈ ψ(B[0, 3/2]).
CASO 2: q ∈ W := M − ψ(B[0, 3/2]).
Pela continuidade de ψ−1 tem-se que ψ(B[0, 3/2]) e fechado em ψ(V ), o que implica que
o seu complementar W = M −ψ(B[0, 3/2]) e aberto. Logo existe uma carta (V , ψ) de M
em q tal que ψ(V ) ⊆ W . Devemos mostrar que B ψ e suave, mas isso decorre do fato
que B ψ ≡ 0 em V (pois B ≡ 0 fora de ψ(B [0, 3/2]) e ψ(V ) ∩ ψ(B [0, 3/2]) = ∅). Isso
prova nossa afirmacao.
Agora, por causa da hipotese f ≡ g em U , temos que (f − g)B ≡ 0 em M , e portanto,
0 = Dp((f − g)B) = Dp(f − g)B(p) + (f − g)(p)Dp(B) = Dp(f − g) = Dp(f)−Dp(g),
isto e, Dp(f) = Dp(g).
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 109
Para mostrar o item b) basta provar que Dp(1) = 0. Temos que
Dp(1) = Dp(1.1) = 1Dp(1) +Dp(1)1 = 2Dp(1),
donde Dp(1) = 0. A proposicao segue.
Proposicao E.11. Sejam M uma variedade e p ∈ M . Dado um subconjunto aberto
U ⊆M contendo p, a aplicacao
i : Der(U, p) −→ Der(M, p)
definida por:
i(dp)(f) := dp(f |U),
e um isomorfismo linear.
Demonstracao: Claramente, i esta bem definida (pois U e naturalmente uma variedade)
e e uma aplicacao linear. Seja (V, ψ) uma carta de M em p tal que ψ(V ) ⊆ U , ψ−1(p) = 0
e B(0, 2) ⊆ V . Considere uma bump function β : Rm −→ R tal que:
• 0 ≤ β(x) ≤ 1 para todo x ∈ Rm;
• β(x) = 1, se ‖x‖ < 1 e β(x) = 0, se ‖x‖ ≥ 32.
Dada g ∈ C∞(U), denotaremos por g : M −→ R a funcao definida por:
g(q) =
g(q)(β ψ−1)(q), se q ∈ ψ(V )
0, senao.
Note que g : M −→ R e suave. Alem disso, para toda f ∈ C∞(M), f |U ≡ f em
ψ(B(0, 1)), e tambem que para toda g ∈ C∞(U), g|U ≡ g em ψ(B(0, 1)).
Finalmente, considere a aplicacao
K : Der(M, p) −→ Der(U, p),
definida por
(K(Dp))(g) := Dp(g).
A aplicacao K e linear, e temos que:
• (i K)(Dp)(f) = i(K(Dp))(f) = (K(Dp))(f |U) = Dp
(f |U)
= Dp(f), pois f |U ≡ f
em ψ(B(0, 1)) (veja Lema E.10).
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 110
• (K i)(dp)(g) = K(i(dp))(g) = i(dp)(g) = dp(g|U)
= dp(g), pois g|U ≡ g em
ψ(B(0, 1)) (veja Lema E.10).
Isso mostra que i e bijetiva e que i−1 = K. A proposicao segue.
A seguir relembramos um resultado de Analise no Rm, o qual sera usado para
demonstrar a proposicao que nos dara uma base do espaco Der(M, p).
Teorema E.12. (Formula de Taylor de Primeira Ordem) Seja U ⊆ Rm um
conjunto aberto convexo e seja f : U −→ R uma funcao suave. Fixado a ∈ U , existem
funcoes suaves g1, . . . , gm definidas em U tais que gi(a) = 0 para todo i = 1, . . . ,m e tal
que
f(z) = f(a) +m∑i=1
∂f
∂xi(a)(zi − ai) +
m∑i=1
gi(z)(zi − ai)
para todo z ∈ U.
Demonstracao: Considere h : [0, 1] −→ R definida por h(t) = f((1 − t)a + tz). Pelo
Teorema Fundamental do Calculo,
h(1)− h(0) =
∫ 1
0
h′(t)dt,
donde,
f(z)− f(a) =m∑i=1
(zi − ai)∫ 1
0
∂f
∂xi((1− t)a+ tz)dt, (E.2)
onde usamos a regra da cadeia. Fazendo uma mudanca de variaveis (s = 1− t) na integral
em E.2 temos que∫ 1
0
∂f
∂xi((1− t)a+ tz)dt = −
∫ 0
1
∂f
∂xi(sa+ (1− s)z)ds
=
∫ 1
0
∂f
∂xi(sa+ (1− s)z)ds,
donde integrando por partes, com
u =∂f
∂xi(sa+ (1− s)z),
du =m∑j=1
(aj − zj)∂2f
∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)ds,
v = s,
dv = ds,
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 111
obtemos∫ 1
0
∂f
∂xi(sa+ (1− s)z)ds =
∂f
∂xi(sa+ (1− s)z)s
∣∣∣∣10
−∫ 1
0
s
m∑j=1
∂2f
∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)(aj − zj)ds
=∂f
∂xi(a)−
m∑j=1
(aj − zj)∫ 1
0
∂2f
∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)sds.
Voltando a equacao (E.2), temos que
f(z)− f(a) =
m∑i=1
(zi − ai)
∂f∂xi
(a)−m∑j=1
(aj − zj)∫ 1
0
∂2f
∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)sds
=
m∑i=1
(zi − ai)∂f
∂xi(a) +
m∑i=1
(zi − ai)
− m∑j=1
(aj − zj)∫ 1
0
∂2f
∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)sds
=
m∑i=1
(zi − ai)∂f
∂xi(a) +
m∑i=1
(zi − ai)gi(z),
onde
gi(z) = −m∑j=1
(aj − zj)∫ 1
0
∂2f
∂xi∂xj(sa+ (1− s)z)sds.
Observe que gi(a) = 0. Isso completa a prova.
Proposicao E.13. Seja (U,ϕ) uma carta de M com coordenadas locais x1, . . . , xm.Entao, para todo p ∈ ϕ(U), as derivacoes
∂
∂x1
∣∣∣∣p
, . . . ,∂
∂xm
∣∣∣∣p
formam uma base de Der(M, p).
Demonstracao: Seja dp ∈ Der(ϕ(U), p) ' Der(M, p), e seja f ∈ C∞(ϕ(U)). A aplicacao
f sendo de classe C∞, temos que f ϕ : U −→ R e de classe C∞, e portanto, podemos
aplicar a formula de Taylor no ponto ϕ−1(p). Existem funcoes g1, . . . , gm : Rm −→ R de
classe C∞ tais que:
g1
(ϕ−1(p)
)= · · · = gm
(ϕ−1(p)
)= 0 (E.3)
e tal que para todo y = (y1, . . . , ym) ∈ U ,
(f ϕ)(y) = f(p) +m∑i=1
∂(f ϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
)(yi − xi(p)) +
m∑i=1
gi(y)(yi − xi(p)).
Fazendo ϕ−1(q) = y, obtemos a formula:
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 112
f(q) = f(p) +m∑i=1
∂(f ϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
)(xi(q)− xi(p)) +
m∑i=1
(gi ϕ−1
)(q)(xi(q)− xi(p)),
para todo q ∈ ϕ(U). Os termos f(p),∑m
i=1∂(fϕ)∂xi
(ϕ−1(p)
)e xi(p) sendo constantes, temos
que:
dp(f) = dp(f(p)) +
m∑i=1
∂(f ϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
)dp(xi − xi(p)) + dp
(m∑i=1
(gi ϕ−1
)(xi − xi(p))
)
=
m∑i=1
∂(f ϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
)dp(xi) + dp
(m∑i=1
(gi ϕ−1
)(xi − xi(p))
)
=
m∑i=1
∂(f ϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
)dp(xi) +
m∑i=1
(gi ϕ−1
)(p)dp(xi) + dp
(m∑i=1
(gi ϕ−1
))(xi(p)− xi(p))
=
m∑i=1
∂(f ϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
)dp(xi) +
m∑i=1
(gi ϕ−1
)(p)dp(xi)
=
m∑i=1
∂(f ϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
)dp(xi) (veja (E.3))
=
m∑i=1
dp(xi)∂
∂xi
∣∣∣∣p
(f) (veja ExemploE.6)
=
(m∑i=1
dp(xi)∂
∂xi
∣∣∣∣p
)(f).
A funcao f sendo arbitraria, concluımos que
dp =m∑i=1
αi∂
∂xi
∣∣∣∣p
, onde αi = dp(xi) ∈ R.
Logo, as derivacoes ∂∂xi
∣∣p
geram Der(M, p). Resta mostrar que a famılia
∂∂xi
∣∣p
i=1,...,m
e
linearmente independente.
Sejam entao λ1, . . . , λm ∈ R tais que
λ1∂
∂x1
∣∣∣∣p
+ · · ·+ λm∂
∂xm
∣∣∣∣p
= 0.
Isso significa que para toda funcao f ∈ C∞(ϕ(U)),(m∑i=1
λi∂
∂xi
∣∣∣∣p
)(f) = 0.
Em particular, para f = xj, temos que
m∑i=1
λi∂
∂xi
∣∣∣∣p
(xj) = 0,
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 113
donde obtemosm∑i=1
λi∂(xj ϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
)= 0.
Note que xj ϕ : U −→ R, (y1, . . . , yj, . . . , ym) 7−→ yj, donde∂(xjϕ)
∂xi
(ϕ−1(p)
)= δij, e
portanto,m∑i=1
λiδij = 0.
Resulta daı que λj = 0. Assim, λ1 = · · · = λm = 0 o que implica que
∂∂xi
∣∣p
i=1,...,m
e
linearmente independente.
Proposicao E.14. Seja p ∈ M e seja (U,ϕ) uma carta de M em p com coordenadas
locais x1, . . . , xm. Seja G : TpM −→ Der(M, p) a aplicacao definida por:
G([U,ϕ, u]p) := u1∂
∂x1
∣∣∣∣p
+ · · ·+ um∂
∂xm
∣∣∣∣p
.
Entao esta aplicacao independe da carta usada e e um isomorfismo linear.
Demonstracao: Primeiro mostremos que G esta bem definida. Sejam u, v ∈ Rm e
sejam (U,ϕ) e (V, ψ) duas cartas de M em p tais que (U,ϕ, u) ∼p (V, ψ, v), isto e, d(ψ−1
ϕ)ϕ−1(p)
(u) = v. Sejam ainda x1, . . . , xm e y1, . . . , ym as coordenadas locais associadas
as cartas (U,ϕ) e (V, ψ), respectivamente. Dada f ∈ C∞(M), temos que(m∑i=1
ui∂
∂xi
∣∣∣∣p
)(f) =
m∑i=1
ui∂(f ϕ)
∂xi(ϕ−1(p)) (veja Exemplo E.6)
=m∑i=1
ui∂(f ψ ψ−1 ϕ)
∂xi(ϕ−1(p))
=m∑i=1
ui
m∑j=1
∂(f ψ)
∂yj(ψ−1(p))
∂(ψ−1 ϕ)j∂xi
(ϕ−1(p))
=m∑i=1
ui
m∑j=1
∂
∂yj
∣∣∣∣p
(f)∂(ψ−1 ϕ)j
∂xi(ϕ−1(p))
=m∑j=1
[m∑i=1
ui∂(ψ−1 ϕ)j
∂xi(ϕ−1(p))
]∂
∂yj
∣∣∣∣p
(f)
=
(m∑j=1
vj∂
∂yj
∣∣∣∣p
)(f) (veja Lema D.1)
Logo G independe da carta usada.
Claramente G e uma aplicacao linear. Para provar que G e injetiva mostremos que
Ker(G) = 0. Seja [U,ϕ, u]p ∈ TpM tal que G([U,ϕ, u]p) = 0, isto e, u1∂∂x1
∣∣p
+ · · · +
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 114
um∂
∂xm
∣∣p
= 0. Como as derivacoes ∂∂x1
∣∣p, . . . , ∂
∂xm
∣∣p
formam uma base de Der(M, p) deve-se
ter u1 = · · · = um = 0, ou seja, [U,ϕ, u]p e o vetor nulo. Note que a sobrejetividade segue
diretamente do Teorema do Nucleo e da Imagem. A proposicao segue.
Observacao E.15. Segue da ultima proposicao que TpM e Der(M, p) sao canonicamente
isomorfos.
Definicao E.16. Uma derivacao de M e uma aplicacao linear D : C∞(M) −→C∞(M) satisfazendo para todas f, g ∈ C∞(M),
D(fg) = fD(g) + gD(f).
Lema E.17. Seja X ∈ X(M). Entao, para toda funcao f ∈ C∞(M), a funcao X(f)
X(f) : M −→ R definida por X(f)(p) := Xp(f) e de classe C∞. Alem disso, para
quaisquer f, g ∈ C∞(M), tem-se
X(fg) = fX(g) + gX(f).
Em particular, C∞(M) −→ C∞(M), f 7−→ X(f) e uma derivacao.
Demonstracao: Seja (U,ϕ) uma carta de M com coordenadas locais x1, . . . , xm. Exis-
tem m-funcoes suaves X1, . . . , Xm : U −→ R tais que para todo x ∈ U ,
Xϕ(x) = X1(x)∂
∂x1
∣∣∣∣ϕ(x)
+ · · ·+Xm(x)∂
∂xm
∣∣∣∣ϕ(x)
.
Daı a expressao local de X(f) nas cartas (R, IdR) e (U,ϕ) e dada, para x ∈ U , por
((IdR)−1 X(f) ϕ) (x) = X(f)(ϕ(x)) = Xϕ(x)(f)
=(X1(x) ∂
∂x1
∣∣ϕ(x)
+ · · ·+Xm(x) ∂∂xm
∣∣ϕ(x)
)(f)
= X1(x)∂(fϕ)∂x1
(x) + · · ·+Xm(x)∂(fϕ)∂xm
(x),
que e suave, pois as funcoes Xi e f ϕ o sao.
Isso mostra que X(f) e suave (veja C.11). Falta mostrar a formula X(fg) = fX(g) +
gX(f), mas isto segue imediatamente do fato de que Xp ∈ Der(M, p), onde p ∈M .
Esse lema da uma aplicacao
X(M) −→ Der(M),
onde Der(M) denota o espaco vetorial das derivacoes de M .
Reciprocamente, uma derivacao D ∈ Der(M) define um campo de vetores XD da seguinte
Apendice E. Campos de Vetores e Derivacoes 115
maneira. Dado p ∈M, definimos
evp :=
C∞(M) −→ R,
f 7−→ f(p).
Afirmamos que evp D ∈ Der(M, p). Com efeito,
(evp D)(fg) = evp(D(fg))
= evp(fD(g) + gD(f))
=(fD(g) + gD(f)
)(p)
= f(p)D(g)(p) + g(p)D(f)(p)
= f(p)(evp D)(g) + g(p)(evp D)(f).
A R-linearidade da aplicacao evp D e imediata.
Agora, como Der(M, p) e isomorfo a TpM obtemos assim uma aplicacao
XD :=
M −→ TM
p 7−→ evp D,
que satisfaz π XD = IdM , onde π : TM −→M e a projecao canonica.
Lema E.18. XD : M −→ TM e suave. Em particular, XD e um campos de vetores.
Demonstracao: Seja (U,ϕ) uma carta de M com coordenadas locais x1, . . . , xm. Para
todo x ∈ U podemos escrever
XDϕ(x) = X1(x)
∂
∂x1
∣∣∣∣ϕ(x)
+ · · ·+Xm(x)∂
∂xm
∣∣∣∣ϕ(x)
Como ∂∂xi
∣∣ϕ(x)
(xj) = δij, temos que Xj(x) = XDϕ (xj). Usando uma bump function,
podemos supor que xj esta globalmente definida. Daı temos:
Xi(x) = XDϕ(x)(xi) = (evϕ(x) D)(xi) = evϕ(x)
(D(xi)
)= D(xi)(ϕ)(x)
que e a expressao local da funcao suave D(xi) nas cartas (U,ϕ) e (IdR,R), e portanto, e
suave. Segue-se que Xi : U −→ R e suave, implicando a suavidade de XD : M −→ TM .
Segue o desejado.
Observacao E.19. Segue dos dois lemas anteriores que X(M) e Der(M) sao canonica-
mente isomorfos.
Apendice F
Curvas Integrais e Fluxos
Nesta secao enunciaremos algumas definicoes e resultados sem demonstracoes
com respeito a teoria de equacoes diferencias ordinarias em um espaco vetorial real de
dimensao finita. Em seguida enunciaremos algumas definicoes e resultados com respeito a
teoria de equacoes diferencias ordinarias em variedades suaves, e neste contexto daremos
todos os detalhes e demonstracoes, com excecao do Teorema F.14, cuja demonstracao se
encontra em [7].
Definicao F.1. Seja E um espaco vetorial real de dimensao finita e seja U ⊆ E um
conjunto aberto.
i) Um campo de vetores em U e uma aplicacao X : U −→ E de classe C∞.
ii) Seja X : U −→ E um campo de vetores. Uma curva integral de X e uma curva
γ : I −→ U de classe C∞ definida num intervalo aberto I contendo 0 tal que
γ′(t) = X(γ(t)) para todo t ∈ I. O ponto γ(0) e chamado condicao inicial.
iii) Seja X : U −→ E um campo de vetores. Um fluxo local de X no ponto x0 ∈ U e
uma aplicacao suave
ψ : I × U ′ −→ U,
onde I ⊆ R e um intervalo aberto contendo 0 e U ′ ⊆ U e um conjunto aberto
contendo x0, tal que para todo x ∈ U ′, a restricao de ψ ao conjunto I × x e uma
curva integral de X com condicao inicial x.
Observacao F.2.
i) Dado um campo de vetores X : U −→ E, escreve-se habitualmente Xx em vez de
X(x).
ii) Dado um fluxo local ψ, escreve-se ψt(x) em vez de ψ(t, x).116
Apendice F. Curvas Integrais e Fluxos 117
Teorema F.3. Seja X : U −→ E um campo de vetores. Entao, para todo x ∈ U , existem
um intervalo aberto I ⊆ R contendo 0, um conjunto aberto U ′ ⊆ U contendo x e uma
aplicacao suave ψ : I × U ′ −→ U tais que
i) ψ e um fluxo local de X em x;
ii) Se ψ′ : I × U ′ −→ U e um outro fluxo local de X em x, entao ψ = ψ′. (Unicidade
do fluxo local).
Proposicao F.4. Seja X : U −→ E um campo de vetores e sejam γ1 : I1 −→ U e
γ2 : I2 −→ U duas curvas integrais de X com mesma condicao inicial p = γ1(0) = γ2(0).
Entao, para todo t ∈ I1 ∩ I2, γ1(t) = γ2(t).
Definicao F.5. Seja γk : Ik −→ Uk∈A o conjunto de todas as curvas integrais de X
com condicao inicial x0 ∈ U. Definimos I(x0) =⋃k∈A Ik, e um intervalo aberto contendo
0, e
γx0 :=
I(x0) −→ U,
t 7−→ γk(t), se t ∈ Ik.
A curva γx0 esta bem definida e e uma curva integral de X chamada curva integral
maximal de X com condicao inicial x0.
Agora passamos ao caso das variedades. No que se segue M denotara uma vari-
edade suave de dimensao m e X(M) e o espaco dos campos de vetores suaves de M .
Seja X ∈ X(M) um campo de vetores e seja (U,ϕ) uma carta de M com coorde-
nadas locais x1, . . . , xm. Para todo x ∈ U ,∂
∂x1
∣∣∣∣ϕ(x)
, . . . ,∂
∂xm
∣∣∣∣ϕ(x)
e uma base de Tϕ(x)M , e portanto, existem numeros reais X1(x), . . . , Xm(x) tais que
Xϕ(x) = X1(x)∂
∂x1
∣∣∣∣ϕ(x)
+ · · ·+Xm(x)∂
∂xm
∣∣∣∣ϕ(x)
.
Por outro lado temos que X(ϕ(U)) ⊆ ϕ(U), onde (U , ϕ) e a carta em TM como definida
na Observacao E.1. Logo podemos considerar a expressao local de X nas cartas (U,ϕ) e
(U , ϕ) :
(ϕ−1 X ϕ
)= (x,X1(x), . . . , Xm(x)), com x ∈ U. (F.1)
Apendice F. Curvas Integrais e Fluxos 118
Assim, X e localmente caracterizado pela aplicacao
X(U,ϕ) : U −→ Rm,
x 7−→ (X1(x), . . . , Xm(x)),
o qual e necessariamente suave.
Lema F.6. Seja M uma variedade e seja (U,ϕ) uma carta de M em p, com coordenadas
locais x1, . . . , xm. Seja η : I −→ M uma curva de M . Suponha que existam t0 ∈ I e
ε > 0 tais que η((t0 − ε, t0 + ε)) ⊆ ϕ(U). Denotamos por
η1, . . . , ηm : (t0 − ε, t0 + ε) −→ R as aplicacoes ηi := xi η,
isto e,
(ϕ−1 η)(t) := (η1(t), . . . , ηm(t)), onde t ∈ (t0 − ε, t0 + ε).
Entao, para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε) tem-se que
η′(t) =dη1
dt(t)
∂
∂x1
∣∣∣∣η(t)
+ · · ·+ dηmdt
(t)∂
∂xm
∣∣∣∣η(t)
,
onde dηidt
(t) designa a derivada ηi no sentido usual.
Demonstracao: Seja e1, . . . , em a base canonica de Rm. Para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε)
tem-se:
η′(t) = dϕϕ−1(η(t))d(ϕ−1 η)t∂t
= dϕϕ−1(η(t))
(dη1dt
(t), . . . , dηmdt
(t))
(veja Exemplo C.27)
= dϕϕ−1(η(t))
(e1
dη1dt
(t) + · · ·+ emdηmdt
(t))
=dη1
dt(t)dϕϕ−1(η(t))(e1) + · · ·+ dηm
dt(t)dϕϕ−1(η(t))(em)
=dη1
dt(t)
∂
∂x1
∣∣∣∣η(t)
+ · · ·+ dηmdt
(t)∂
∂xm
∣∣∣∣η(t)
(veja Exemplo (C.24))
Lema F.7. Seja X ∈ X(M) um campo de vetores e seja η : I −→ M uma curva suave
definida num intervalo aberto I. Seja tambem uma carta (U,ϕ) de M tal que J := t ∈I; γ(t) ∈ ϕ(U) 6= ∅. Dado t ∈ J temos a seguinte equivalencia:
γ′(t) = Xγ(t) ⇔ γ′(t) = X(U,ϕ)(γ(t)),
onde γ := ϕ−1 γ IdJ : J −→ U e a expressao local de γ nas cartas (U,ϕ) e (J, IdJ), e
Apendice F. Curvas Integrais e Fluxos 119
onde X(U,ϕ) : U −→ Rm e a expressao local de X, como definida em (F.1).
Demonstracao: E so comparar as expressoes de γ′(t) e Xγ(t) na carta (U,ϕ). Seja entao
x1, . . . , xm as coordenadas locais de (U,ϕ). Escrevendo
γ(t) = (γ1(t), . . . , γm(t))
temos pelo Lema F.6 que
γ′(t) =dγ1
dt(t)
∂
∂x1
∣∣∣∣γ(t)
+ · · ·+ dγmdt
(t)∂
∂xm
∣∣∣∣γ(t)
, (F.2)
para todo t ∈ J. Por outro lado, sabemos que
X(U,ϕ)(x) = (X1(x), . . . , Xm(x)),
onde x ∈ U e Xi : U −→ R e entao,
Xγ(t) = X1(γ(t))∂
∂x1
∣∣∣∣γ(t)
+ · · ·+Xm(γ(t))∂
∂xm
∣∣∣∣γ(t)
. (F.3)
O lema segue da comparacao entre (F.2) e (F.3).
Definicao F.8. Seja X ∈ X(M) um campo de vetores. Uma curva integral de X e
uma curva γ : I −→M de classe C∞ definida num intervalo aberto I contendo 0 tal que
γ′(t) = Xγ(t) para todo t ∈ I. O ponto γ(0) e chamado condicao inicial.
Para a proxima definicao, a qual descrevera a maxima extensao de uma curva
integral, precisamos garantir que tal definicao esteja bem definida. A proxima proposicao
nos assegurara isso.
Proposicao F.9. Seja X ∈ X(M) e sejam γ1 : I1 −→ M e γ2 : I2 −→ M duas curvas
integrais de X com mesma condicao inicial p = γ1(0) = γ2(0). Entao, para todo t ∈ I1∩I2,
γ1(t) = γ2(t).
Demonstracao: Vamos mostrar que o conjunto
Q = t ∈ I1 ∩ I2; γ1(t) = γ2(t)
e aberto e fechado no conjunto conexo I1 ∩ I2. Note que Q 6= ∅, pois 0 ∈ Q.Q e fechado em I1 ∩ I2: Consideremos a aplicacao
γ1 × γ2 : I1 ∩ I2 −→ M ×M,
t 7−→ (γ1(t), γ2(t)),
Apendice F. Curvas Integrais e Fluxos 120
que esta bem definida e que e contınua. Note que
Q = (γ1 × γ2)−1(4), onde 4 = (p, p) ∈M ×M ; p ∈M.
A variedade M sendo Hausdorff, segue-se que 4 ⊂M ×M e fechado, e pela continuidade
de γ1 × γ2, concluımos que Q = (γ1 × γ2)−1(4) e fechado em I1 ∩ I2.
Q e aberto em I1 ∩ I2 : Seja t0 ∈ Q e seja q = γ1(t0) = γ2(t0). Consideremos uma carta
(U,ϕ) de M em q. Pela continuidade de γ1 e γ2 em t0, existe ε > 0 tal que
γ1((t0 − ε, t0 + ε)) ⊂ ϕ(U) e γ2((t0 − ε, t0 + ε)) ⊂ ϕ(U).
Dado, i = 1, 2, definimos Bi : (−ε, ε) −→ U , dada pela formula
Bi(t) := γi(t+ t0) =(ϕ−1 γi
)(t+ t0).
Note que γi e uma aplicacao suave (pois ϕ−1 e γi o sao) e satisfaz γ′i(t) = X(U,ϕ)(γi(t))
para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε). Alem disso, temos que:
• Bi e suave, pois γi : (t0 − ε, t0 + ε) −→ U e (−ε, ε) −→ (t0 − ε, t0 + ε), t 7−→ t0 + t o
sao;
• Bi(0) = ϕ−1(γi(0)) = ϕ−1(p);
• B′i(t) = γ′i(t+ t0) = X(U,ϕ)(γi(t+ t0)) = X(U,ϕ)(Bi(t)).
Assim, B1 e B2 sao duas curvas integrais do campo X(U,ϕ), com condicao inicial o ponto
ϕ−1(p).
Pela proposicao F.4, temos que B1(t) = B2(t) para todo t ∈ (−ε, ε). Daı,
(ϕ−1 γ1
)(t+ t0) =
(ϕ−1 γ2
)(t+ t0) para todo t ∈ (−ε, ε),
e portanto, pela injetividade de ϕ−1 temos que:
γ1(t+ t0) = γ2(t+ t0), para todo t ∈ (−ε, ε),
ou seja,
γ1(t) = γ2(t), para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε),
Segue-se que (t0 − ε, t0 + ε) ⊆ Q. Como t0 foi arbitrario, segue que Q e aberto.
Pela conexidade de I1 ∩ I2, concluımos que Q = ∅ ou Q = I1 ∩ I2. Mas, como 0 ∈ Q,
necessariamente, Q = I1 ∩ I2.
Uma generalizacao imediata da proposicao anterior e a seguinte.
Apendice F. Curvas Integrais e Fluxos 121
Observacao F.10. Seja X ∈ X(M) e sejam γ1 : I1 −→ M e γ2 : I2 −→ M duas curvas
suaves definidas nos intervalos abertos I1 e I2, tais que
• γ′1(t) = Xγ1(t) para todo t ∈ I1;
• γ′2(t) = Xγ2(t) para todo t ∈ I2.
Se γ1(t∗) = γ2(t∗) para um certo t∗ ∈ I1 ∩ I2, entao γ1(t) = γ2(t) para todo t ∈ I1 ∩ I2.
Definicao F.11. Seja γk : Ik −→ Mk∈A o conjunto de todas as curvas integrais de X
com condicao inicial x0 ∈M. Definimos I(x0) =⋃k∈A Ik, e um intervalo aberto contendo
0, e
γx0 :=
I(x0) −→ M,
t 7−→ γk(t), se t ∈ Ik.
A curva γx0 esta bem definida e e uma curva integral de X chamada curva integral
maximal de X com condicao inicial x0.
Definicao F.12. Um fluxo local de M no ponto p ∈ M e uma aplicacao suave ψ :
I × U −→M , onde I ⊆ R e um intervalo aberto contendo 0 e U ⊆M e uma vizinhanca
aberta de p, tal que para todo q ∈ U , a aplicacao I −→ M, t 7−→ ψt(q) e uma curva
integral de X com condicao inicial p.
Definicao F.13. O fluxo global de X e a aplicacao Ψ : D(X) −→ M, (t, p) 7−→ γp(t),
onde D(X) = (t, p) ∈ R×M ; t ∈ I(p).
Teorema F.14. Seja X ∈ X(M) um campo de vetores. Entao,
i) D(X) e aberto em R×M ;
ii) O fluxo global Ψ : D(X) −→M e de classe C∞.
Demonstracao: Veja [7].
Lema F.15. Sejam X ∈ X(M) e K ⊆ M um conjunto compacto. Se Xp = 0 para todo
p /∈ K, entao D(X) = R×M .
Demonstracao: Seja p ∈ M qualquer. Devemos mostrar que I(p) = R. Consideremos
dois casos.
CASO 1: p /∈ K.
Seja γ : R −→ M a curva definida por γ(t) = p para todo t ∈ R. Claramente γ e uma
curva de classe C∞ satisfazendo
γ′(t) = 0 = Xγ(t)
Apendice F. Curvas Integrais e Fluxos 122
para todo t ∈ R. Logo γ e uma curva integral definida no intervalo maximal I(p) = R.
CASO 2: p ∈ K.Seja γ : I(p) −→ M a curva integral maximal de X com condicao inicial γ(0) = p.
Afirmamos que Im(γ) ⊆ K. Com efeito, se Xp = 0, entao γ(t) = p para todo t ∈ I(p)
e como p ∈ K segue o desejado. Se Xp 6= 0 note que para provar nossa afirmacao basta
verificar que Xγ(t) 6= 0, para todo t ∈ I(p). Suponha por absurdo que exista s ∈ I(p)
tal que Xγ(s) = 0. Definimos α : R −→ M a curva constante definida por α(t) = γ(s).
Claramente α e uma curva integral de X com condicao inicial γ(s). Como γ(s) = α(s)
para s ∈ I(p) ∩ R = I(p) segue da Observacao F.10 que γ(t) = α(t) para todo t ∈I(p) ∩ R = I(p), isto e, γ(t) = γ(s) para todo t ∈ I(p), e portanto, 0 = γ′(t) = Xγ(t)
para todo t ∈ I(p), mas isso e um absurdo, pois por hipotese Xp 6= 0. Isso prova nossa
afirmacao.
Falta mostrar que I(p) = R. Pela existencia de fluxos locais, para todo q ∈ K, existem
um intervalo aberto Jq contendo 0, um conjunto aberto Uq ⊆ M contendo q e um fluxo
local definido em Jq × Uq. Pela compacidade de K, existem q1, . . . , qr ∈ K tais que
K ⊆r⋃i=1
Uqi .
Seja ε > 0 tal que
(−ε, ε) ⊆r⋂i=1
Jqi.
Claramente, temos que (−ε, ε)×K ⊆ D(X). Logo, para todo q ∈ K, tem-se (−ε, ε) ⊆ I(q),
e em particular (−ε, ε) ⊆ I(p). Sendo assim, podemos considerar o ponto γp(ε/2) e a curva
γγp(ε/2) : I(γp(ε/2)) −→ K.
Defina c : (−ε, 3ε/2) −→ K por
c(t) :=
γp(t) se t ∈ (−ε, ε),γγp(ε/2)(t− ε/2) se t ∈ (0, 3ε/2) .
Usando a Observacao F.10 com t∗ = ε/2, ve-se que c(t) esta bem definida e e uma curva
integral de X com condicao inicial p. Isso implica que (−ε, 3ε/2) ⊆ I(p). Repetindo o
argumento obtemos que (−ε, ε+ nε/2) ⊆ I(p), para todo n ∈ N, e portanto, (−ε,+∞) ⊆I(p). Da mesma maneira, mostra-se que (−∞, ε) ⊆ I(p).
Corolario F.16. Se M e uma variedade compacta, entao para todo X ∈ X(M), tem-se
que D(X) = R×M.
Apendice F. Curvas Integrais e Fluxos 123
Demonstracao: Basta tomar M = K no ultimo lema.
Sejam M uma variedade suave e A ⊆M um subconjunto arbitrario. Denotamos
por π : TM −→M a projecao canonica.
Definicao F.17.
a) Um campo de vetores ao longo de A e uma aplicacao contınua X : A −→ TM
satisfazendo π X = IdA (ou em outras palavras Xp ∈ TpM para todo p ∈ A).
b) Seja X : A −→ TM um campo de vetores ao longo de A. Diz-se que X e suave se
para cada p ∈ A existem V uma vizinhanca de p em M e X um campo de vetores
suave em V que coincide com X em V ∩ A.
Definicao F.18. Seja X um campo de vetores em M. O suporte de X e o conjunto
supp X := p ∈M ; Xp 6= 0.
Lema F.19. (Lema de Extensao para Campos de Vetores) Sejam M uma varie-
dade suave e A ⊆M um subconjunto fechado. Suponha que X seja um campo de vetores
suave ao longo de A. Dado qualquer conjunto aberto U tal que A ⊆ U, existe um campo
de vetores suave global X em M tal que X |A= X e supp X ⊆ U.
Referencias
[1] AUDIN, M.; DOMIAN M. Morse Theory and Floer Homology. Springer, Lon-
don, 2014.
[2] BANYAGA, A.; HURTUBISE, D. A proof of the Morse-Bott Lemma, Expositiones
Mathematicae, v. 22, n. 4, p. 365-373, 2004.
[3] CARMO, M. P. Geometria Diferencial de Curvas e Superfıcies. 5. ed. Rio de
Janeiro: SBM, 2012.
[4] DUGUNDJI, J. Topology. Boston: Allyn and Bacon Inc., 1966.
[5] HATCHER, A. Algebraic topology. Cambridge University Press , 2002.
[6] JANICH, K. Topology. New York: Springer-Verlag, 1984.
[7] LEE, J. M. Introduction to Smooth Manifolds. 2. ed. Springer New York, 2013.
(Graduate Texts in Mathematics)
[8] LIMA, E. L. Elementos de Topologia Geral. Sao Paulo: Editora da Universidade
de Sao Paulo, 1970.
[9] MASSEY, W. S. A Basic Course in Algebraic Topology. New York: Springer-
Verlag, 1991. (Graduate Texts in Mathematics)
[10] MILNOR, J. Morse Theory. Princeton: Princeton University Press, 1963.
[11] MUNKRES, J. R. Elementary differential topology. Princeton: Princeton Uni-
versity Press, 1966.
[12] NICOLAESCU, L. I. An Invitation to Morse Theory. 2. ed. New York: Springer,
2011.
124
Universidade Federal da Bahia - UFBA
Instituto de Matematica e Estatıstica / Programa de pos-graduacao em Matematica
Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universitario de Ondina, Salvador - BA
CEP: 40170 -110
<http://www.pgmat.ufba.br>