tecnicas de modelagem matem´ atica para um problema real

Tecnicas de Modelagem Matematica para um Problema Real na Industria deProducao de Ampolas e Potes

Magna Paulina de Souza Ferreira

Claudio Fabiano Motta ToledoUniversidade de Sao Paulo

Instituto de Ciencias Matematica e de Computacao (USP–ICMC)13566-590 – Sao Carlos, SP – Brasil

[email protected]@icmc.usp.br

Flaviana Moreira de Souza AmorimUniversidade Federal Rural do Semi-Arido-UFERSA

59625-900 – Mossoro, RN – [email protected]

Marcio da Silva ArantesInstituto de Ciencias Matematicas e de Computacao

Instituto SENAI de Inovacao em Sistemas [email protected]

RESUMOO presente trabalho visa apresentar os estudos desenvolvidos sobre problemas de di-

mensionamento de lotes e planejamento de producao em industrias de recipientes de vidro. Essaabordagem representa a realidade da Industria de Producao de Ampolas e Potes (IPAP), cuja de-cisao a ser tomada consiste em dimensionar a quantidade de potes e ampolas produzida ao longodo tempo para atender uma demanda. Considerando a realidade da fabrica, foi desenvolvido ummodelo matematico pra tratar o problema e elaboradas restricoes adicionais para melhorar o desem-penho computacional do modelo. As instancias foram geradas atraves de dados reais, dessa formaas solucoes foram analisados e comparados utilizando os solvers CPLEX e Gurobi. Para validar ainclusao das restricoes adicionais, foram analisadas as solucoes considerando o modelo com e semtais restricoes. Os resultados mostram que ambos os solvers possuem um bom desempenho.

PALAVRAS CHAVE. Modelagem Matematica, Industrias de Recipientes de Vidro, Planeja-mento da Producao.

Topicos (IND - PO na Industria, PM - Programacao Matematica, OC - Otimizacao Combi-natoria)

ABSTRACTThis current work aims to present the studies developed on lot sizing and scheduling

problems in glass container industries. This approach represents the reality of the Pot and AmpouleProduction Industry (PAPI), whose decision to be taken is to measure the quantity of pots andampoules produced over time to meet demand. Considering the reality of the plant, a mathematical

model was developed to treat the problem and additional constraints have been developed in orderto improve the computational performance of the model. The instances were generated through realdata, in this way the solutions were analyzed and compared using the solvers CPLEX and Gurobi.In order to validate the inclusion of additional constraints, the solutions were analyzed consideringthe model with and without those restrictions. The results show that both solvers have a goodperformance.

KEYWORDS. Mathematical Modeling, Glass Container Industries, Production Planning.

Paper topics (IND - OR in the industry, PM - Mathematical Programming, OC - Combinato-rial Optmization)1. Introducao

O planejamento da producao e dimensionamento de lotes tem sido uma area de interessede varios pesquisadores. A modelagem matematica aplicada aos problemas industriais tem se tor-nado cada vez mais eficaz e capaz de definir sequencias de producao, visando minimizar custos egarantindo atendimento da demanda. Um dos propositos do planejamento da producao e obter umaligacao entre suprimento e demanda, garantindo que os processos produtivos ocorram eficaz e efici-entemente, produzindo produtos e servicos requeridos pelos consumidores[Slack et al., 2009].

A recente conjuntura economica mundial tem passado por crises que deixam consequenciasserias para os paıses, principalmente aqueles em desenvolvimento. Na tentativa de se adaptar aessa nova fase e continuar no mercado, as industrias de recipientes de vidro tiveram que readaptarsuas instalacoes, reduzindo os custos e mantendo a qualidade do servico prestado aos seus clientes[Industry, 2018]. As industrias de recipientes de vidro lidam com a producao de determinadosprodutos em um horizonte de tempo. Um dos maiores desafios enfrentados por essas industrias emanter a eficiencia produtiva e atendimento a demanda, associados a uma reducao de custos.

Considerando este cenario de industrias de recipientes de vidro, estamos lidando com sis-tema de producao em uma Industria de Producao de Potes e Ampolas (IPPA) localizada em MinasGerais. O problema estudado neste trabalho considera dados reais fornecidos pela IPPA mencio-nada. Nessa empresa, ha um unico forno ligado a tres maquinas, na qual duas dessas maquinasfabricam em conjunto apenas ampolas e a terceira fabrica potes.

No presente trabalho estamos lidando com a producao de potes juntamente com a producaode ampolas. A principal decisao a ser tomada consiste em dimensionar a quantidade de potes e am-polas que devem ser produzidas ao longo de um horizonte de tempo para atender a certa demanda.O problema abordado sera chamado Problema na Industria de Vidro - Producao de Potes e Ampolas(PIV-PPA).

Com o objetivo de melhorar o desempenho computacional do modelo, foram adiciona-das restricoes auxiliares na abordagem considerada. Portanto esse trabalho tem duas principaiscontribuicoes: A primeira e a proposta de um modelo matematico de Programacao Linear InteiraMista para o PIV-PPA, voltado especificamente para a realidade e objetivos da IPPA considerada. Asegunda contribuicao se baseia na comparacao das solucoes obtidas atraves de dois solvers, CPLEXe Gurobi, ambos sendo os mais utilizados para resolver problemas de otimizacao. Comparacoeslevando em consideracao o modelo com e sem as restricoes adicionais tambem sao analisadas.

Este artigo esta organizado da seguinte forma: a secao 2 revisa trabalhos relacionados.Detalhes sobre o problema estudado sao apresentados na secao 3 e a secao 4 introduz o modelomatematico. O metodo as instancias e os resultados computacionais sao reportados na secao 5. Asconclusoes seguem na secao 6.

2. Revisao da LiteraturaConsiderando propostas que abrangem os estudos de problemas de dimensionamentos de

lotes em industrias de recipientes de vidro, em [Almada-Lobo et al., 2008] os autores estudam oplanejamento da producao a curto prazo, onde o objetivo e satisfazer as ordens diarias de producao eatender a demanda sem atrasos. Um estudo a respeito da variacao de aquecimento e de extracao doforno e introduzido em [Fachini et al., 2017], onde os autores relatam esses impactos na producao.

Os estagios do processo de formacao de gobs foram modelados em [Hyre et al., 2004]com a finalidade de prever a espessura final das garrafas. Ao modelar todo o processo envolvido,as informacoes obtidas foram usadas para desenvolver novos equipamentos e controlar algoritmospara aumentar as taxas de producao e embalagem. Um problema de longo prazo na producao degarrafas de bebidas e estudado em [Guimaraes et al., 2012]. A modelagem abordada consiste ematribuir e programar lotes de producao em um ambiente com diversas plantas, onde a transferenciade produtos finais entre plantas e considerada.

Motivados em resolver problemas gerais de dimensionamento de lotes e sequenciamentonas linhas de producao, os autores em [Seeanner et al., 2013] propoem uma combinacao dameta-heurıstica Variable Neighborhood Decomposition Search (VNDS) com a heurıstica Fix-and-Optmize (F&O). O novo procedimento e capaz de determinar simultaneamente tamanhos de lotes esequencias para linhas paralelas e multiplos estagios de producao.

Os autores em [Toledo et al., 2016], discutem o planejamento da producao e distribuicaode recipientes de vidro com multiplas instalacoes. Um modelo de programacao linear inteiro mistoe proposto para descrever e solucionar de forma exata o problema, assim como heurısticas e meta-heurısticas combinadas a tecnicas de programacao matematica sao utilizadas.

Uma metodologia que consiste na aplicacao de um metodo exato e duas heurısticas, sendouma construtiva e outra de melhoria, sao apresentadas em [Amorim et al., 2018]. Trata-se daproposta de um modelo que combina restricoes capazes de definir a configuracao das linhas deproducao e o atendimento da demanda, dentro de um planejamento de curto e longo prazo emapenas uma planta.

Com o objetivo de avancar o estado da arte, o modelo apresentado nesse artigo e umaextensao da proposta apresentada em [Amorim, 2018]. Os autores estudam o problema de di-mensionamento de lotes em uma Industria de Producao de Potes e Ampolas (IPPA), localizada emMinas Gerais, mas apenas a producao de potes foi considerada. O presente artigo passa a tratar aproducao de potes juntamente com a de ampolas. Novas variaveis sao introduzidas a fim de obtercenarios que representem cada vez melhor a realidade da IPPA estudada.

3. Problema na Industria de Recipientes de Vidro - Producao de Potes e AmpolasO processo de producao em uma IPPA em geral e composto por duas etapas principais.

Na primeira etapa, os componentes que constituem o vidro como sılica, barrilha, calcario e vidrosreciclaveis (cacos) sao derretidos no forno. Na segunda etapa, os recipientes sao produzidos emmaquinas de moldagem.

A empresa que forneceu os dados para o estudo de caso apresenta um unico forno rege-nerativo com porta traseira ligado a tres maquinas para a producao de dois tipos de produtos: potese ampolas. Duas dessas maquinas, como visto na Figura 1, trabalham em conjunto para a producaode um mesmo tipo de ampola. As maquinas possuem a mesma configuracao de quatro secoes gotadupla, onde uma se concentra em fazer a parte externa do produto, enquanto a outra se dedica aparte interna do produto. A terceira maquina tem por objetivo realizar somente a producao de po-tes, utilizando seis secoes que podem ser ativadas para producao diaria do produto. Dessa forma, amaquina de potes nao produz ampolas e as maquinas de ampolas nao produzem potes.

Figura 1: Ilustracao da planta real.

1 2 3 4 5 6 7 8

1

10

2 3 4 5 6 7 8 9

1

10

2 3 4 5 6 7 8 9

Fonte: Adaptada de [Amorim, 2018] .

Os recipientes de potes e ampolas produzidos pela empresa variam de acordo com o peso eo custo de producao. Para cada tipo de ampola e de pote, ha uma extracao diaria prevista em um diade producao em que o setup nao ocorre. Dois outros aspectos tambem sao considerados: demandaempurrada, avaliacao do desperdıcio e ramp-up. Na demanda empurrada, ha uma incerteza que etratada atualmente com o uso de um estoque de seguranca baseado em previsoes. A avaliacao dodesperdıcio considera o impacto do refugo (scrap) na produtividade, ou seja, itens produzidos queserao descartados por ma qualidade. A duracao de um set-up e de aproximadamente 8 horas. Aposo set-up, a producao dos produtos nos primeiros horizonte de tempo e instavel, acarretando umaperda maior na producao. Tal variacao na producao e chamada de ramp-up . A duracao de umramp-up e de aproximadamente 72 horas, apos esse perıodo sera atingida a producao diaria normal.

A Figura 2 ilustra a relacao entre a meta de producao e o produzido para potes em umdeterminado mes. Notamos que a producao varia em torno da meta, sendo produzido em algunsdias menos do que o planejado.

Figura 2: Variacao da producao de potes durante um mes.

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

40,000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Qu

anti

dad

e d

e P

ote

s

Dias de Planejamento

Planejado x Produzido

Fonte: Elaborada pela autora.

A Figura 3 representa a producao de ampolas durante um determinado mes. Podemosnotar que nesse cenario nao e alcancada a meta diaria de producao na maioria dos dias. Umaobservacao importante e que entre os dias 9 e 11 houve uma queda na producao, devido a troca deproduto (set-up) e ao efeito do ramp-up. Em um ambiente fabril, alguns aspectos devem ser levadosem consideracao como, por exemplo, um mal funcionamento das maquinas que pode acarretar

menor quantidade de producao. Nesse sentido, um dos maiores desafios da industria e manter oatendimento da demanda, produzir produtos com qualidade e minimizar os seus custos.

Figura 3: Variacao da producao de ampolas durante um mes.

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Qu

anti

dad

e d

e A

mp

ola

s

Dias de produção

Planejado x Produzido


Considerando todos os aspectos relatados ate o presente momento, um modelo modelomatematico baseado na realidade da industria foi proposto. O modelo visa proporcionar meiospara que as industrias tenham seus planejamentos sendo executados com eficacia, considerando osrequisitos da fabrica.

4. Modelagem MatematicaEsta secao descreve o modelo matematico desenvolvido para tratar o PIV-PPA. Inicial-

mente sao definidos os conjuntos, parametros e variaveis.Conjuntos:• i: Ampolas a serem fabricadas i ∈ ΩI .• j: Potes a serem fabricados j ∈ ΩJ .• p: Produtos a serem fabricados p ∈ ΩI ∪ ΩJ .• t: Horizonte de tempo t ∈ 1, ..., T.• s: Dias de ramp-up s ∈ 1, ..., S.• e: Extracao de potes por sessao e ∈ 1, ..., E.

Parametros:• C: Capacidade do forno. (kg)• Cp: Custo real do produto p.• Dpt: Demanda do produto p no perıodo t.• Ip0: Estoque inicial do produto p no perıodo t = 0.• Pp: Peso do produto p. (kg)• Qi: Quantidade de extracao de ampolas i em um dia normal, sem set-up.• Pje: Quantidade de extracao de potes j na sessao e em um dia normal, sem set-up.• Rp: Refugo do produto p.• Lps: Taxa de ramp-up do produto p no dia s apos ocorrer o set-up.• ESp: Estoque de seguranca do produto p.• M : Big M, um valor positivo grande.

Variaveis:• Ipt: Estoque do produto p no perıodo t. (quantidade de ampolas ou potes)

• Ypt: 1 se ha producao do produto p no perıodo t, 0 caso contrario.• PLpt: Producao lıquida do produto p no perıodo t.• PTpt: Producao total do produto p no perıodo t.• Spt: 1 se iniciou a producao do produto p no perıodo t, 0 caso contrario.• Wpts: 1 se o ramp-up do produto p no perıodo t esta no s-esimo dia, 0 caso contrario.• Vpts: Variavel auxiliar para linearizacao.• Zjte: 1 se ha ativacao do pote j no perıodo t configurado para utilizar e sessoes.• Cjtse: Variavel auxiliar para linearizacao.• B: O maior numero de vezes que o estoque de seguranca foi ultrapassado.

As primeiras partes da funcao objetivo (1) minimizam os custos de set-up e ramp-up paraampolas e potes, enquanto

∑pB ∗ESp ∗Cp ∗0.01 e um recurso matematico para evitar a producao

exagerada de um determinado produto.

Min∑i

∑t

∑s

Wits ∗Qi ∗ (1− Lis) ∗ Ci+∑j

∑t

∑s

∑e

Cjtse ∗ Pje ∗ (1− Ljs) ∗ Cj+∑p

B ∗ ESp ∗ Cp ∗ 0.01

(1)

As restricoes (3) e (2) representam as equacoes de balanceamento de estoque.

Ipt = Ip0 + PLpt −Dpt ∀(p, t = 1) (2)

Ipt = Ipt−1 + PLpt −Dpt ∀(p, t > 1) (3)

A restricao (4) equilibra o estoque de seguranca.

IptESp

≤ B ∀(p, t) (4)

A variavel Vpts foi utilizada para representar o produto de Vpts = Wpts ∗ PTpt.

Vpts ≥ PTpt −M ∗ (1−Wpts) ∀(p, t, s) (5)

Vpts ≤ PTpt + M ∗ (1−Wpts) ∀(p, t, s) (6)

Wpts ∗M ≥ Vpts ∀(p, t, s) (7)

−Wpts ∗M ≤ Vpts ∀(p, t, s) (8)

A restricao (9) obtem a producao lıquida de potes e ampolas da seguinte forma: se houverset-up do produto, entao ha influencia do ramp-up durante aproximadamente tres dias. Caso naohaja set-up, temos apenas a influencia do refugo na producao dos itens.

PLpt =∑s

Vpts ∗ Lps + (PTpt −∑s

Vpts) ∗ (1−Rp) ∀(p, t) (9)

A restricao (10) afirma que a producao total deve ser igual a capacidade produtiva damaquina em um dia normal, somente se o produto estiver ativado.

PTpt = Qi ∗ Ypt ∀(p ∈ ΩI , t, ) (10)

A restricao (11) permite que se tenha apenas uma ampola ativada na maquina por vez.∑p∈ΩI

Ypt = 1 ∀(t) (11)

As restricoes (12) e (13) representam o set-up, onde a diferenca entre o produto ativo noperıodo atual e no perıodo anterior determinam se ocorre ou nao o set-up.

Spt ≥ Ypt − Yp(t−1) ∀(p, t > 1) (12)

Spt = Ypt ∀(p, t = 1) (13)

A restricao (14) determina os estagios do ramp-up apos a ocorrencia de set-up do produto.

Spt = Wp(t+s)s ∀(p, s, t < T − s) (14)

A restricao (15) limita a producao total de acordo com a capacidade diaria de derretimentodo forno. ∑

p

PTpt ∗ Pp ≤ C ∀(p) (15)

A variavel Cjtse foi utilizada para representar o produto Cjtse = Zjte ∗Wjts nao linear.Portanto a restricao (16) representam uma linearizacao para esse caso.

Cjtse ≥Wjts + Zjte − 1 ∀(j, t, s, e) (16)

A restricao (17) afirma que a producao total de potes dever ser igual a capacidade produ-tiva da secao ativa na maquina em um dia normal, enquanto a restricao (18) garante que a secao damaquina esteja ativa apenas se o pote estiver sendo produzido.

PTjt =∑e

Pje ∗ Zjte ∀(j, t) (17)

∑e

Zjte = Yjt ∀(j, t) (18)

A restricao (19) garante que se tenha um pote por vez sendo fabricada na maquina.∑p∈ΩJ

Ypt = 1 ∀(t) (19)

As restricoes (20) e (21) representam os domınios binarios e contınuos, respectivamente,das variaveis.

Ypt, Spt,Wpts, Zjte ∈ 0, 1 (20)

Ipt, PLpt, PTpt, Vpts, B,Cjtse ≥ 0 (21)

No intuito de melhorar o desempenho computacional ao se resolver o PIV-PPA, atravesde tecnicas de modelagem matematica, algumas restricoes foram acopladas ao modelo proposto.Assim, a restricao (22) limita a quantidade de set-up para potes. Esse recurso diminuiu o numerode combinacoes a serem exploradas pelos metodos de solucao.

∑j

∑t

Sjt ≤J ∗ T

7(22)

As restricoes (23) e (24) juntamente com as restricoes (12) e (13) garantem que, se foirealizado set-up, entao o produto esta ativo no perıodo atual e ele nao estava ativo no perıodoanterior. Neste caso, estamos limitando a regiao de factibilidade das variaveis de set-up.

Sit ≤ yit (23)

Sit ≤ 1− yit−1 (24)

5. Resultados

Os modelos foram codificados em linguagem java atraves da ferramenta Professional Op-timization Framework (ProOF) [Arantes, 2013] e solucionados pelos solvers CPLEX e Gurobi. Otempo de execucao de cada instancia foi de 10 minutos.

Foram criados 3 conjuntos de instancias, baseados em dados reais da fabrica, cada con-junto possui um total de 10 instancias. O primeiro conjunto, definido como Small, contem 2 tiposampolas (A) e 3 tipos de potes (P) com o horizonte de planejamento (T) de 14 dias (A2P3T14).O segundo grupo, definido como Medium, contem 3 tipos de ampolas e 4 tipos de potes com ohorizonte de planejamento de 31 dias (A3P4T31). O terceiro grupo, definido como Large, contem4 tipos de ampolas e 6 tipos de potes com o horizonte de planejamento de 91 dias. As instanciasdo grupo Large, possui dimensoes compatıveis com a planta real, enquanto as instancias Medium eSmall representam a variabilidade da planta real em um espaco menor de tempo, com a producaode poucos produtos.

5.1. Comparacao das solucoes obtidas atraves dos solves CPLEX e Gurobi.

Os resultados apresentados nesta secao consideram a formulacao do problema com asrestricoes adicionais propostas. A Figura 4 apresenta o tempo de execucao entre as ferramentaspara o grupo de instancias Small. Os dois solvers encontram todos os otimos, onde o tempo mediode execucao do CPLEX foi de 0.7150 segundos, enquanto o tempo medio de Gurobi foi de 0.7507.Podemos notar que nesta analise os dois solvers sao competitivos.

Figura 4: Instancias A2P3T14.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tem

po

de

exe

cuçã

o (

seg)

Grupo Small

CPLEX Gurobi


No grupo de instancias Medium, o Gurobi encontrou 4 otimos enquanto o CPLEX en-controu 3 otimos nesse grupo. A figura 5 apresenta o Gap(%) obtido atraves das duas ferramentas.Como podemos notar, os solvers tambem se mostraram bem competitivos, porem, em metade dasinstancias o Gurobi retorna um Gap melhor.


0.00%

0.50%

1.00%

1.50%

2.00%

2.50%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gap

(%

)

Grupo Medium

Gap Gurobi Gap CPLEX


No grupo de instancias Large, ambas as ferramentas nao conseguiram encontrar solucoesfactıveis para as instancias. Neste caso, foram comparados os limitantes inferiores obtidos por cadasolver. A figura 6 apresenta os limitantes obtidos por cada uma das ferramentas. Neste cenario,o CPLEX foi capaz de obter limitantes duais melhores que o Gurobi em todas as instancias destegrupo.


0

100000

200000

300000

400000

500000

600000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Lim

itan

tes

Grupo Large

Limitante Cplex Limitante Gurobi


Os resultados apresentados nesta analise mostraram que tanto o Gurobi quanto CPLEXsao ferramentas eficazes na solucoes das instancias deste problema, considerando instancias depequeno e medio porte. No conjunto de instancias mais complexas de serem resolvidas, notamosum melhor desempenho do CPLEX em obter limitantes duais para o problema.

5.2. Analise do Modelo com Restricoes auxiliares

Nesta secao, serao comparados as solucoes obtidas atraves dos solvers, considerando omodelo com e sem o uso das restricoes adicionais (22)-(24). Foram usadas para comparacao asinstancias do grupo Small, contendo 2 tipos de ampolas, 3 tipos de potes e um horizonte de plane-jamento de 14 dias.

A figura 7 compara o tempo de execucao da instancia A2P3T14 utilizando a ferramentaCPLEX. Ao considerar o modelo sem as restricoes auxiliares, o tempo computacional para se en-contrar o otimo e razoavelmente maior. Essa questao se torna importante para o tratamento doproblema, pois se tratando de instancias com horizonte de tempo maiores, se torna complexo aobtencao de solucoes viaveis por meio dessa ferramenta.


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tem

po

de

exe

cuçã

o(s

eg)

Grupo Small

CPLEXSem restrição Com restrição


A figurao 8 compara o tempo de execucao da instancia A2P3T14 obtido atraves da ferra-menta Gurobi. Neste caso, podemos notar que essa ferramenta nao apresenta grande dificuldadesem lidar com o modelo sem as restricoes auxiliares. Desta forma temos evidencias que o Gurobipossui certa robustez ao solucionar os problemas propostos, sendo menos dependente da aplicacaodas restricoes extras para fortalecimento do modelo.


0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tem

po

de

exe

cuçã

o (

seg)

Grupo Small

GurobiSem restrição Com restrição


6. ConclusaoEste trabalho introduziu um modelo desenvolvido especificamente para a realidade de

uma industria de recipientes de vidro, com a aplicacoes de um metodo exato para resolver o PIV-PPA. Primeiro, uma formulacao de programacao linear inteira mista e introduzida e o conjunto deinstancias e gerado com base em dados reais.

O estudo do modelo foi conduzido considerando restricoes auxiliares que tem por fina-lidade melhorar o desempenho computacional na obtencao de solucao viaveis. Alem disso, foramresolvidas as instancias atraves de dois solvers, CPLEX e Gurobi, que sao os mais utilizados naliteratura. Os resultados mostraram um bom desempenho entre ambos, porem o Gurobi se mostroumenos dependente de restricoes auxiliares nas instancias propostas.

Considerando a complexidade do modelo ao se tratar de planejamentos longos, pretende-se desenvolver como trabalhos futuros uma meta-heurıstica para obter as solucoes do problema.Tambem sera considerado a proposicao de um modelo com tratamento estocasticos, devido asvariacoes produtivas tanto para potes como para ampolas.

ReferenciasAlmada-Lobo, B., Oliveira, J. F., e Carravilla, M. A. (2008). Production planning and scheduling

in the glass container industry: A vns approach. International Journal of Production Economics,114(1):363–375.

Amorim, F. M. S., Toldedo, C. F. M., Arantes, M. S., e Ferreira, M. P. S. (2018). Planejamento daproducao em industrias de recipientes de vidro com abordagens heurısticas. Campinas. XXXVIICongresso Nacional de Matematica Aplicada e Computacional.

Amorim, F. M. d. S. (2018). Modelos matematicos para planejamento da producao em industriasde embalagens de vidro. PhD thesis, Universidade de Sao Paulo. 129 pg.

Arantes, M. S. (2013). Professional optimization framework (ProOF). Version 2.4.0. URL https://github.com/marcio-da-silva-arantes/ProOF/wiki. Acesso em: 07/05/2020.

Fachini, R. F., Esposto, K. F., e Camargo, V. C. B. (2017). Glass container production planningwith warm-ups and furnace extraction variation losses. The International Journal of AdvancedManufacturing Technology, 90(1-4):527–543.

Guimaraes, L., Klabjan, D., e Almada-Lobo, B. (2012). Annual production budget in the beverageindustry. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 25(2):229–241.

Hyre, M., Taylor, R., e Harris, M. (2004). Dynamic computational modeling of the glass containerforming process. In Computer Aided Chemical Engineering, volume 18, p. 205–210. Elsevier.

Industry, C. (2018). Glass container market expected to see steady growth in europe through 2020.Disponıvel: https://www.ceramicindustry.com/articles/95243-glass- container-market-expected-to-see-steady-growth-in-europe-through-2020.

Seeanner, F., Almada-Lobo, B., e Meyr, H. (2013). Combining the principles of variable neigh-borhood decomposition search and the fix&optimize heuristic to solve multi-level lot-sizing andscheduling problems. Computers & Operations Research, 40(1):303–317.

Slack, N., Chambers, S., Johnston, R., et al. (2009). Administracao da producao, volume 747. AtlasSao Paulo.

Toledo, C. F. M., Arantes, M., Hossomi, M. Y. B., e Almada-Lobo, B. (2016). Mathematicalprogramming-based approaches for multi–facility glass container production planning. Compu-ters Operations Research, 74(2016):92–107.

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