a matemática dos labirintos - instituto superior técnicolgodin/evmec2014/labirinto.pdf · escola...
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Escola de Verao de Matematica, Estatıstica e Computacao
A Matematica dos Labirintos
Jose Felix Costa1,2
1Departamento de Matematica, Instituto Superior Tecnico, Universidade de [email protected]
14 – 16 de julho
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As Pontes de Konigsberg
1. As Pontes de Konigsberg
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As Pontes de Konigsberg
Leonhard Euler
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As Pontes de Konigsberg
Leonhard Euler
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As Pontes de Konigsberg
Leonhard Euler
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As Pontes de Konigsberg
Problema das pontes de Konigsberg
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As Pontes de Konigsberg
Problema das pontes de Konigsberg
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As Pontes de Konigsberg
Problema das pontes de Konigsberg
A
B
C
D
Figura: Problema das pontes de Konigsberg. O problema concreto (a esquerda) eresolvido depois de interpretado por grafo modelo (a direita).
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As Pontes de Konigsberg
Poema de William Thomas Tutte (1917 – 2002)
Poema de homenagem a EulerSome citizens of KoenigsbergWere walking on the strandBeside the river PregelWith its seven bridges spanned.
“O, Euler come and walk with us”Those burghers did beseech“We’ll walk the seven bridges o’erAnd pass but once by each.”
“It can’t be done” then Euler cried“Here comes the Q. E. D.Your islands are but vertices,And all of odd degree.”
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As Pontes de Konigsberg
Poema de William Thomas Tutte (1917 – 2002)
Poema de homenagem a EulerSome citizens of KoenigsbergWere walking on the strandBeside the river PregelWith its seven bridges spanned.
“O, Euler come and walk with us”Those burghers did beseech“We’ll walk the seven bridges o’erAnd pass but once by each.”
“It can’t be done” then Euler cried“Here comes the Q. E. D.Your islands are but vertices,And all of odd degree.”
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As Pontes de Konigsberg
Poema de William Thomas Tutte (1917 – 2002)
Poema de homenagem a EulerSome citizens of KoenigsbergWere walking on the strandBeside the river PregelWith its seven bridges spanned.
“O, Euler come and walk with us”Those burghers did beseech“We’ll walk the seven bridges o’erAnd pass but once by each.”
“It can’t be done” then Euler cried“Here comes the Q. E. D.Your islands are but vertices,And all of odd degree.”
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As Pontes de Konigsberg
Poema de William Thomas Tutte (1917 – 2002)
Poema de homenagem a EulerSome citizens of KoenigsbergWere walking on the strandBeside the river PregelWith its seven bridges spanned.
“O, Euler come and walk with us”Those burghers did beseech“We’ll walk the seven bridges o’erAnd pass but once by each.”
“It can’t be done” then Euler cried“Here comes the Q. E. D.Your islands are but vertices,And all of odd degree.”
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As Pontes de Konigsberg
Os teoremas de Euler
Leonhard Euler, letter of April 1736“... this type of solution bears little relationship to mathematics, and I donot understand why you expect a mathematician to produce it, rather thananyone else, for the solution is based on reason alone, and its discoverydoes not depend on any mathematical principle.”
Leonhard Euler, letter of March 1736“This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in thatneither geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficientto solve it.”
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As Pontes de Konigsberg
Os teoremas de Euler
Leonhard Euler, letter of April 1736“... this type of solution bears little relationship to mathematics, and I donot understand why you expect a mathematician to produce it, rather thananyone else, for the solution is based on reason alone, and its discoverydoes not depend on any mathematical principle.”
Leonhard Euler, letter of March 1736“This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in thatneither geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficientto solve it.”
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As Pontes de Konigsberg
Os teoremas de Euler
Leonhard Euler, letter of April 1736“... this type of solution bears little relationship to mathematics, and I donot understand why you expect a mathematician to produce it, rather thananyone else, for the solution is based on reason alone, and its discoverydoes not depend on any mathematical principle.”
Leonhard Euler, letter of March 1736“This question is so banal, but seemed to me worthy of attention in thatneither geometry, nor algebra, nor even the art of counting was sufficientto solve it.”
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As Pontes de Konigsberg
Os Teoremas de Euler
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G e euleriano se e so se G e conexo e todo o vertice de G epar.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G e atravessavel se e so se G e conexo e tem exatamentedois vertices ımpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano de Gcomeca num dos vertices ımpares e termina no outro dos vertices ımpares.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G com 2n vertices ımpares pode ser descrito por n atalhosdisjuntos. (Note-se que o numero de vertices ımpares e necessariamentepar.)
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As Pontes de Konigsberg
Os Teoremas de Euler
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G e euleriano se e so se G e conexo e todo o vertice de G epar.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G e atravessavel se e so se G e conexo e tem exatamentedois vertices ımpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano de Gcomeca num dos vertices ımpares e termina no outro dos vertices ımpares.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G com 2n vertices ımpares pode ser descrito por n atalhosdisjuntos. (Note-se que o numero de vertices ımpares e necessariamentepar.)
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As Pontes de Konigsberg
Os Teoremas de Euler
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G e euleriano se e so se G e conexo e todo o vertice de G epar.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G e atravessavel se e so se G e conexo e tem exatamentedois vertices ımpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano de Gcomeca num dos vertices ımpares e termina no outro dos vertices ımpares.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G com 2n vertices ımpares pode ser descrito por n atalhosdisjuntos. (Note-se que o numero de vertices ımpares e necessariamentepar.)
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As Pontes de Konigsberg
Os Teoremas de Euler
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G e euleriano se e so se G e conexo e todo o vertice de G epar.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G e atravessavel se e so se G e conexo e tem exatamentedois vertices ımpares. Nomeadamente, todo o atalho euleriano de Gcomeca num dos vertices ımpares e termina no outro dos vertices ımpares.
Teorema (Teorema de Euler-Hierholzer)Um multigrafo G com 2n vertices ımpares pode ser descrito por n atalhosdisjuntos. (Note-se que o numero de vertices ımpares e necessariamentepar.)
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As Pontes de Konigsberg
Os teoremas de Euler
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u1 un
u`u3
= vi
C
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Os teoremas de Euler
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Os teoremas de Euler
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As Pontes de Konigsberg
As pontes do rio Madison
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Plantas e Redes
2. Plantas e Redes
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Plantas e Redes
Plantas, vide [Cha85]
R
D E
A B C
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B C
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Plantas e Redes
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Plantas, vide [Cha85]
R
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Plantas, vide [Cha85]
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
R4 R5 R6
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas e Redes
Plantas
R1 R2 R3
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas e Redes
Plantas
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Plantas e Redes
“Doodleling”
Casa do Pai NatalQuais das seguintes figuras podem ser desenhadas sem levantar a caneta do papel, iniciando odesenho num dos vertices e sem repetir arestas?
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Plantas e Redes
“Doodleling”
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
Casa do Pai Natal
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Plantas e Redes
“Doodling a lot”: Pitagoras, Maome e Tutte (vide [BC87])
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Plantas e Redes
Quantas vezes e necessario levantar a caneta do papel? (Vide [BC87])
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Labirintos
2. Labirintos
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Labirintos
Catedral de Notre Dame d’Amiens
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Labirintos
Catedral de Notre Dame d’Amiens
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Labirintos
Catedral de Notre Dame de Chartres
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Labirintos
Labirinto de Hever Castle
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Labirintos
Labirinto de New Hampton
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Labirintos
Labirinto de Wiltshire (Somerset)
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Labirintos
Labirinto de Reignac sur Indre (Franca)
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Labirintos
Labirinto de New Hampton
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Labirintos
Labirinto de New Hampton (vide [BLW06])
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O Labirinto de Dedalo
4. O Labirinto de Dedalo
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O Labirinto de Dedalo
O labirinto de Dedalo
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O Labirinto de Dedalo
O Labirinto de Dedalo
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O Labirinto de Dedalo
O labirinto de Dedalo
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O Labirinto de Dedalo
Labirinto de Creta
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O Labirinto de Dedalo
O labirinto de Dedalo
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O Labirinto de Dedalo
O labirinto de Dedalo
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O Labirinto de Dedalo
O labirinto de Dedalo
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O Labirinto de Dedalo
O labirinto de Dedalo
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O Labirinto de Dedalo
O labirinto de Dedalo
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O Labirinto de Dedalo
O labirinto de Dedalo na Eneida de Virgılio
Eneida, Livro V, trad. Joao Franco BarretoComo ja na alta Creta o monstruosoLabirinto se diz teve tecidoUm caminho tao cego, e portentoso,Com outros mil caminhos dividido;Que era assaz intrincado e duvidosoError, e tao confuso e incompreendido,Que aos que entravam nele era impossıvelSair daquela confusao terrıvel:
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O Labirinto de Dedalo
Labirinto da Quinta da Regaleira em Sintra
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O Labirinto de Dedalo
O labirinto de Dedalo nas Metamorfoses de Ovıdio
Metamorfoses, Livro VIII, trad. Paulo Farmhouse AlbertoCeleberrimo pelo seu talento na arte da arquitetura, Dedaloencarrega-se da obra, baralha os sinais e faz o olhar enganar-seem retorcidas curvas e contracurvas de corredores sem conta.Tal como na Frıgia o Meandro nas lımpidas aguas se divertefluindo e refluindo num deslizar que confunde, e, correndoao encontro de si proprio, contempla a agua que ha-de vir,e, voltando-se ora para nascente, ora para o mar aberto, empurra a sua correntesem rumo certo, assim enche Dedaloos inumeraveis corredores de equıvocos. A custo ele propriologrou voltar a entrada: de tal modo enganador era o edifıcio.
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O Labirinto de Dedalo
Labirinto de Avaris
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O Labirinto de Dedalo
Labirinto romano
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O Labirinto de Dedalo
Labirinto romano
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O Labirinto de Dedalo
Labirinto moderno (vide [BC87])
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em profundidade
Pesquisa em profundidadeSeja G um grafo conexo e v0 um vertice de G. A arvore de cobertura de Gobtida por pesquisa em profundidade constroi-se da seguinte maneira:
1 Toma-se u = v0 como vertice corrente da pesquisa e n = 0. T0 e aarvore que contem somente o vertice v0.
2 Escolhe-se, caso exista, um vertice vn+1 ainda nao incluıdo em Tn
adjacente a u; toma-se para Tn+1 a arvore que espande Tn com anova aresta vnvn+1; toma-se u := vn+1 e n := n + 1.
3 Repete-se o passo 2 ate que o vertice corrente u nao seja adjacente anenhum vertice de G ainda nao visitado. Se a arvore obtida Tn cobretodo o grafo, entao a pesquisa termina; se nao, retrocede-se para overtice corrente anterior, i.e. toma-se u = vn−1 e n := n + 1;repete-se o passo 2.
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em profundidade
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em profundidade
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em profundidade
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em profundidade
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em profundidade
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v4 v2 v3
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em profundidade
v9 v10 v11
v7 v8 v12
v6 v5 v0 v1
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em profundidade
v9 v10 v11
v7 v8 v13 v12
v6 v5 v0 v1
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em largura
Pesquisa em larguraSeja G um grafo conexo e v0 um vertice de G. A arvore de cobertura de Gobtida por pesquisa em largura constroi-se da seguinte maneira:
1 Toma-se u = v0 como vertice corrente da pesquisa, n = 0 e m = 1.T0 e a arvore que contem somente o vertice v0.
2 Escolhe-se, caso exista, um vertice vn+1 ainda nao incluıdo em Tn
adjacente a u; toma-se para Tn+1 a arvore que espande Tn com anova aresta vnvn+1; toma-se n := n + 1.
3 Repete-se o passo 2 ate que nao existam mais vertices nao visitadosadjacentes a u. Se a arvore obtida Tn cobre ja todo o grafo, entao apesquisa termina; se nao, toma-se o primeiro dos vertices vm queainda nao foi vertice corrente e toma-se m := m + 1; repete-se opasso 2.
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em largura
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em largura
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em largura
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em largura
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em largura
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em largura
v9
v10 v8 v5
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em largura
v11 v12 v9
v10 v8 v5
v7 v4 v0 v1
v6 v3 v2
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e10 e11 e8
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O Labirinto de Dedalo
Pesquisa em largura
v11 v12 v9
v10 v8 v5 v13
v7 v4 v0 v1
v6 v3 v2
e0e3
e2
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e5
e6
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e10 e11 e12e8
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O Labirinto de Dedalo
Labirinto de Gopal
A BC
D E FG
H
JK
LM
N PQ
RS
TU
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O Labirinto de Dedalo
Labirinto de Gopal
A BC
D
EF
G
H
J
K
L
M
N
P
QR S
T
U
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O Labirinto de Dedalo
Algoritmo dos labirintos
Algoritmo dos labirintos1 Sempre que chegar a um vertice nao visitado, siga pela aresta ainda
nao percorrida nele incidente que lhe aprouver;2 Sempre que, por aresta ainda nao percorrida, chegar a vertice ja
visitado ou a vertice de grau 1 (beco sem saıda), recue pela mesmaaresta ate ao vertice precedente;
3 Sempre que por aresta ja percorrida chegar a vertice ja visitado, sigapor nova aresta, se esta existir;
4 Uma aresta ja percorrida duas vezes nao pode mais ser mais usada.
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O Labirinto de Dedalo
O tema do labirinto na poesia (vide compilacao em [Fer08])
Miguel Torga, Diario VIIPerdi-me nos teus bracos, alamedasOnde o tempo caminha e descaminha.Pus a forca que tinhaNa instintiva defesaDe encontrar a saıda, a liberdade.Mas agora Teseu era um poeta,E Ariane a poesia, o labirinto.Desajudado,So me resta cantar, deixar marcadoO panico que sinto.
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O Labirinto de Dedalo
Bibliography I
[BC87] W. W. Rouse Ball and H. S. M. Coxeter. Mathematical Recreations and Essays. Dover Publications, Inc., New York,thirteenth edition, 1892, 1974, 1987.
[BLW06] N. L. Biggs, E. K. Lloyd, and R. J. Wilson. Graph Theory 1736–1936. Clarendon Press, Oxford, 1976, 1986, 2006.
[Cha85] Garry Chartrand. Introduction to Graph Theory. Dover Publications, Inc., New York, 1977, 1985.
[Fer08] Jose Ribeiro Ferreira. Labirinto e Minotauro, Mito de Ontem e de Hoje. UI&D Centro de Estudos Classicos eHumanísticos da Universidade de Coimbra, 2008.
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