controle ii
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CONTROLE II. Prof. Samuel Bettoni 11 /09/12. ESPAÇO DE ESTADOS. Espa ço de Estados. O estudo de um sistema de controle discreto que estudamos até o momento foi utilizando o conceito de função de transferência . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
CONTROLE IIProf. Samuel Bettoni 11/09/12
ESPAÇO DE ESTADOS
Espaço de Estados
O estudo de um sistema de controle discreto que estudamos até o momento foi utilizando o conceito de função de transferência.
A questão é que essa abordagem é ineficiente quando temos sistemas que apresentam várias entradas e várias saídas.
Espaço de Estados
Os métodos convencionais são eficientes em lidar com sistemas com única entrada e única saída (SISO – single-input and single-output).
Espaço de Estados
Um sistema de controle moderno pode ter várias entradas e várias saídas. Um método para análise e síntese de sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO – multiple-input and multiple-output) é espaço de estados.
Espaço de Estados
Espaço de Estados
As vantagens da utilização do método espaço de estados: Esse conceito habilita o engenheiro de
projetar um sistema de controle com respeito a uma determinada performance interna.
Habilita o engenheiro a incluir condições iniciais ao projeto.
Espaço de Estados
Se um sistema discreto é invariante no tempo, as equações em espaço de estados podem ser escritas da seguinte forma:
A saída desse sistema também será escrita como:
)](),([)1( kukxfkx
)](),([)( kukxgky
Espaço de Estados
As equações anteriores podem ser reduzidas na forma matricial, dadas por:
)()()(
)()()1(
kkk
kkk
DuCxy
BuAxx
A, B, C e D: matrizes de dimensões apropriadas
Espaço de Estados
Exemplo 1: Deseja-se encontrar o modelo em espaço de
estados (variáveis de estado) do sistema descrito pela equação de diferenças.
)(72,0)1(7,1)()2( kykykuky
Solução
Definindo x1(k) = y(k) e x2(k) = x1(k+1) = y(k+1)
Então, x2(k+1) = y(k+2) = u(k) + 1,7x2(k) - 0,72x1(k)
Através dessas equações podemos escrever:x1(k+1) = x2(k)x2(k+1) = -0,72x1(k) + 1,7x2(k) + u(k)y(k) = x1(k)
Espaço de Estados
Exemplo 2: Deseja-se encontrar o modelo em espaço de
estados (variáveis de estado) do sistema descrito pela equação de diferenças.
Solução
Expressando essas últimas equações na forma matricial, escrevemos:
)(72,0)1(7,1)()2( kykykuky
)(01)(
)(1
0)(
7,172,0
10)1(
kky
kkk
x
uxx
Espaço de Estados
Uma outra maneira de obter as equações em espaço de estados é utilizando a função de transferência no domínio Z.
Seja a função de transferência
sendo a ordem do numerador (n-1) menor do que a ordem do denominador (n).
A ordem do sistema é n.
011
1
012
21
1
...
...)(
azazaz
bzbzbzbzG
nn
n
nn
nn
Espaço de Estados
As equações de estado podem ser escritas na forma matricial:
)(
10
0
0
)(
)(
)()(
001000
000100
000010
)1(
)1(
)1()1(
3
2
1
143210
3
2
1
ku
kx
kx
kxkx
aaaaaakx
kx
kxkx
nnn
)(
)(
)(
...)( 2
1
110
kx
kx
kx
bbbky
n
n
Espaço de Estados
Exemplo 2: Considere que a função de transferência de
um sistema discreto é
Qual as equações de estado correspondente?
5,02
12)(
23
2
zzz
zzzG
Espaço de Estados
Exemplo 2:SoluçãoFazendo as devidas substituições a0 = 0,5 ; a1 = 1 ; a2 = 2 ; b0 = 1 ; b1 = 2; b2 =1
na forma matricial das equações de estado, temos:
)(
)(
)(
121)(
)(
1
0
0
)(
)(
)(
215,0
100
010
)1(
)1(
)1(
3
2
1
3
2
1
3
2
1
kx
kx
kx
ky
ku
kx
kx
kx
kx
kx
kx
Espaço de Estados (Seção 2.10)
Como obter a função de transferência de um sistema dado que o sistema está descrito em espaço de estados?
Uma maneira de obter a função de transferência do sistema a partir das equações de estado é tomar a transformada Z dessas equações de estado e eliminar X(z).
Espaço de Estados (Seção 2.10)
Sendo a equação de estados dada por:
Tomando a transformada Z dessa equação acima e considerando condições iniciais nulas, temos:
)()()1( kukk BAxx
)()(
)()()(
)()()(
)()()0()(
zUz
zUzz
zUzz
zUzz
BXAzI
BAXzX
BAXzX
BAXzxzX
Espaço de Estados (Seção 2.10)
Solucionando a equação anterior para X(z), obtemos:
Sabendo que a saída do sistema é modelada em espaço de estados por:
)()( 1 zUz - BAzIX
)()()( kukky DCx
Espaço de Estados (Seção 2.10)
Aplicando a transformada Z na equação de saída, obtêm-se:
Substituindo o valor de X(z) na equação acima resulta:
)()()( zUzzY DCX
)(]][[)(
)()(][)(1
1
zUzY
zUzUzY-
-
DBA-zIC
DBA-zIC
)()( 1 zUz - BAzIX
Espaço de Estados (Seção 2.10)
Assim, a função de transferência baseada nas equações de estado é dada por:
]][[)()(
)( 1 DBA-zIC -zGzU
zY
Espaço de Estados (Seção 2.10)
Exemplo 3: Seja um sistema descrito pelas seguintes
equações de estado:
Qual a função de transferência desse sistema?
)(11)(
)(5,0
5,0)(
35,045,0
55,035,1)1(
kky
kkk
x
uxx
Espaço de Estados (Seção 2.10)
Exemplo 3:SoluçãoCalculamos primeiramente a parcela [zI-A]-1:
35,155,0
45,035,0)(
72,07,1
35,045,0
55,035,1][
0
0
10
01
2
z
zAzIcof
zzAzI
z
zAzI
z
zzII
35,145,0
55,035,0
72,07,1
1][
)(][
21
1
z
z
zzAzI
AzI
AzIcofAzI
T
Espaço de Estados (Seção 2.10)
Exemplo 3:SoluçãoComo D = 0, BA-zIC 1][)( -zG
72,07,1
1)(
9,05,0
1,05,011
72,07,1
1)(
5,0
5,0
35,145,0
05535,011
72,07,1
1)(
][)(
2
2
2
1
zzzG
z
z
zzzG
z
z
zzzG
zG - BA-zIC