sistemas de controle ii - unidade 1-1

Unidade 1: Anlise de sistemas de controle pelo mtodo da resposta em frequncia

Sistemas de Controle II

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Sumrio (parte 1) Introduo Diagramas de Bode

Sistemas de Controle II - Prof. Leandro Scala da Rocha 2013/1

Introduo

Resposta em Freqncia: Resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal;

Mtodos de resposta em freqncia: Varia-se a frequncia do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante;

Forma Grfica: Diagrama de Bode ou grfico logartmico Diagrama de Nyquist ou diagrama polar Diagrama do Logaritmo do mdulo versus ngulo de fase (carta de

Nichols)

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A resposta em regime permanente da funo de transferncia de um sistema pode ser obtida diretamente a partir da funo de transferncia senoidal.

Obteno das Respostas em Regime Permanente s Entradas Senoidais


Introduo

Sistema Estvel, Linear, invariante no tempo

Se a entrada for um sinal senoidal, a sada em regime permanente tambm ser um sinal senoidal com a mesma freqncia, mas possivelmente o mdulo e o ngulo de fase sero diferentes.


Introduo

Objetivo: Mostrar que aps esperar at que as condies de regime permanente sejam alcanadas, a resposta em freqncia pode ser calculada substituindo-se s por j na funo de transferncia. Ser mostrado tambm que a resposta em regime permanente dada por:

Relao de amplitude entre a sada e a entrada senoidal

Defasagem, ou diferena de fase, entre a entrada senoidal e a sada senoidal

Resposta em Regime Permanente s Entradas Senoidais


Introduo



Introduo

Repetindo o mesmo procedimento para



Multiplicando os dois lados da igualdade por e avaliando no ponto igual s = -j

Introduo



Introduo

A amplitude do sinal de sada dada pelo produto da amplitude do sinal de entrada pelo mdulo de G(j )

O ngulo de fase da sada, difere do ngulo de fase da entrada pelo valor de



Introduo



Introduo

Exemplo 8.1.


Introduo

Exemplo 8.1.

Concluses:

Se for pequeno: a defasagem da sada ser pequena e a amplitude da resposta da sada ser K vezes a amplitude da entrada;

Se for grande: a amplitude da resposta (sada) ser pequena e quase inversamente proporcional a . A defasagem se aproxima de -90 medida que tende a infinito;

Essa uma rede de atraso de fase.


Introduo

Exemplo 8.2.


Introduo

Diagramas de Bode

Dois grficos traados em relao freqncia em escala logartmica: Grfico do Mdulo em dB

Grfico do ngulo de fase

Representao padro do logartmo do mdulo de G(j ) a base do logartmo 10:

A unidade da representao do mdulo o decibel (db)

A multiplicao dos mdulos pode ser convertida em soma.


Fatores Bsicos de G(j )H(j )

Ganho K

Fatores integral e derivativo (j )1

Fatores de primeira ordem (1+j )1

Fatores quadrticos [1+2 (j n)+(j n)2]1

Uma vez familiarizados com a construo dos grficos logartmicos destes fatores bsicos possvel utiliz-los na construo de um grfico logartmico composto por qualquer forma geral de G(j )H(j ).

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Diagramas de Bode

O Ganho K

Um nmero maior que uma unidade possui um valor positivo em decibis;

Um nmero menor que uma unidade tem valor negativo;

A curva do mdulo em dB de um ganho constante K uma reta horizontal de valor 20 log K decibis;

O ngulo de fase do ganho K zero;

O efeito da variao do ganho K na funo de transferncia deslocar para cima ou para baixo a curva de mdulo em dB da funo de transferncia por um valor constante correspondente, sem nenhum efeito na curva de ngulo.


Diagramas de Bode

Converso de um Nmero de dB


Diagramas de Bode

O Ganho K - Propriedades

Quando um nmero aumenta de um fator 10, o valor correspondente em dB fica acrescido de 20

Estendendo a anlise:

O recproco de um nmero difere apenas no sinal:


Diagramas de Bode


O valor de logartmico de 1/j em decibis :

O ngulo de fase de 1/j decibis constante e igual a -90.

No diagrama de Bode as relaes entre as freqncias so dadas em termos de oitavas e dcadas: Uma oitava um intervalo compreendido entre 1 e 2 1, onde 1

qualquer valor de freqncia.

Uma dcada um intervalo compreendido entre 1 e 10 1, onde 1 qualquer

valor de freqncia.

Exemplo: a distncia horizontal entre =1 e =10 igual a distncia horizontal entre =3 e =30.


Diagramas de Bode

Grfico de -20log dB versus

Em escala logaritmica ser uma reta

Localiza-se um ponto (0 dB, =1)

Como

a inclinao da reta ser -20dB/dcada (ou -6 dB/oitava)


Diagramas de Bode

De forma anloga, o mdulo de j em decibis :

O ngulo de fase 90o

A curva do logartmo do mdulo uma reta com inclinao de 20db/dcada



Diagramas de Bode

Diagrama de Bode de G(j ) = 1/j e G(j ) = j


Diagramas de Bode

Se a funo de transferncia possuir o fator (1/j )n ou (j )n , as grandezas logaritmicas se tornaro respectivamente:

Ou

As inclinaes passam a ser respectivamente -20n dB/dcada ou 20n dB/dcada

O ngulo de fase de (1/j )n igual a -90.n em toda a faixa de freqncia, enquanto que o de (j )n igual a 90.n em toda a faixa de freqncia.



Diagramas de Bode


O mdulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+j T) :


Diagramas de Bode

Para baixas frequncias,

como w1/T


Para >>1/T, a curva de mdulo em dB ento, uma reta com inclinao de -20dB/dcada (ou -6dB/oitava);

A representao logartmica da curva de resposta em freqncia pode ser aproximada por duas assntotas.


Diagramas de Bode


Frequncia de canto, ou frequncia de quebra ou mudana de inclinao


Diagramas de Bode



Diagramas de Bode


A FT (1/(1+j T) tem as caractersticas de um filtro passa-baixas.

Para freqncias acima e 1/T, o mdulo em dB cai rapidamente para o infinito

No filtro passa baixas, a sada pode seguir, com fidelidade, a entrada senoidal para baixas freqncias

Em altas freqncias, a amplitude tende a zero e o ngulo de fase de sada tende a -90.

Se a entrada tem muitos harmnicos, os componentes de baixa freqncia so reproduzidos com fidelidade na sada, enquanto os componentes de alta freqncia so atenuados na amplitude ou defasados.

Um elemento de primeira ordem fornece uma duplicao na sada somente para fenmenos constantes ou lentamente variveis.


Diagramas de Bode



Diagramas de Bode

Fatores de primeira ordem (1+j )n


Diagramas de Bode

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